考研数学真题点评矩阵的合同与相似
矩阵相似与合同
矩阵相似与合同1. 矩阵相似矩阵相似是线性代数中一个重要的概念，它描述了两个矩阵之间的一种关系。
在讨论矩阵相似之前，我们先来回顾一下什么是矩阵。
1.1 矩阵的定义矩阵是由m行n列的数排成的一个矩形阵列，记作A=(a ij)m×n。
其中，a ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
1.2 矩阵相似的定义给定两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得B=P−1AP，则称矩阵A和B相似。
矩阵相似关系具有以下性质：•自反性：任意矩阵A都与自身相似，即A相似于A。
•对称性：如果矩阵A与矩阵B相似，则矩阵B与矩阵A相似。
•传递性：如果矩阵A与矩阵B相似，矩阵B与矩阵C相似，则矩阵A与矩阵C相似。
矩阵相似关系可以看作是一种矩阵之间的等价关系，它保持了矩阵之间的某些性质不变。
2. 矩阵合同矩阵合同是另一种描述矩阵之间关系的概念。
与矩阵相似类似，矩阵合同也是通过一个可逆矩阵来表示两个矩阵之间的关系。
2.1 矩阵合同的定义给定两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得B=P T AP，则称矩阵A和B合同。
矩阵合同关系具有以下性质：•自反性：任意矩阵A都与自身合同，即A合同于A。
•对称性：如果矩阵A与矩阵B合同，则矩阵B与矩阵A合同。
•传递性：如果矩阵A与矩阵B合同，矩阵B与矩阵C合同，则矩阵A与矩阵C合同。
矩阵合同关系也可以看作是一种矩阵之间的等价关系，它同样保持了矩阵之间的某些性质不变。
3. 矩阵相似与矩阵合同的关系矩阵相似和矩阵合同都是描述矩阵之间关系的概念，它们之间的区别在于变换矩阵的不同。
对于矩阵相似，变换矩阵是可逆矩阵P，而对于矩阵合同，变换矩阵是可逆矩阵P的转置P T。
矩阵相似和矩阵合同之间的关系可以通过以下定理来描述：定理 1：设A为n阶矩阵，A与对角矩阵D相似，即存在可逆矩阵P，使得D=P−1AP。
则存在正交矩阵Q，使得D=Q T AQ，其中Q是P的标准正交化矩阵。
定理 2：设A为n阶矩阵，A与对称矩阵S合同，即存在可逆矩阵P，使得S=P T AP。
矩阵的合同-等价与相似的联系与区别
矩阵的合同-等价与相似的联系与区别矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。
若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ?。
2、矩阵等价的充要条件：A B ?.{P Q A B ?同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ?P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ?该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ??二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。
2、矩阵相似的性质：~A B 11~,~,~(,)|E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-?=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立）r(A)=r(B)即的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：~()()A B E A E B λλ?-?-二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵12(,,,)n A λλλ=L ，12(,,,)m B βββ=L1、若向量组（12,,,m βββL ）是向量组（12,,,n λλλL ）的极大线性无关组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。
考研数学：令人头大的相似、合同、等价
考研数学：令人头大的相似、合同、等价摘要：考研数学里关于矩阵的相似、合同、等价的关系有时令大家头晕脑胀，就需要大家对它们的性质、定义要更加清楚，得分才不难。
接下来一起看看三者的纠缠吧。
关于矩阵的相似、合同、等价的关系总结起来就是一句话相似必合同，合同必等价（反之，则不一定）...........背好这一句话基本可以应付70%的填空选择，至于剩下那30%，则需要对各自的性质、定义以及判别的条件有充分的了解。
分割线卡通一、等价的定义两个SxN矩阵A,B等价的充要条件为：存在可逆的s阶矩阵p与可逆的n阶矩阵Q，使得B=PAQ矩阵A与B等价必须具备的两个条件(1)矩阵A与B必为同型矩阵(不要求是方阵)(2)存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q，使B=PAQ矩阵等价的性质(1)反身性:即A~=A(2)对称性:若A~=B，则B~=A.(3)传递性:若A~=B，B~=C，则A~=C.(4)A等价于B的充要条件是r(A)=r(B)(5)设A为m*n矩阵，r(A)合同，C又与B合同，那么C与A合同.(4)合同的两矩阵有相同的二次型标准型.(5)任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵(6)合同矩阵的秩相等三、相似的定义设A,B均为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使P1AP=B，则称矩阵A与B为相似矩阵(若n阶可逆矩阵P为正交阵，则称A与B为正交相似矩阵).矩阵A与B相似，必须同时具备两个条件(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵(2)存在n阶可逆矩阵P，使得P1AP=B矩阵相似的性质(1)反身性:即A~A(2)对称性:若A~B，则B~A.(3)传递性:若A~B，B~C，则A~C.(4)若矩阵A、B相似，则r(A)=r(B)(5)若矩阵A、B相似，则KA~KB(6)若矩阵A、B相似，则A(7)若矩阵A、B相似，f(x)是一个多项式，则f(A)~f(B)注：(1)与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵E本身，与数量矩阵kE相似的n阶方阵只有数量阵kE本身。
2018考研数学线代：矩阵合同与相似的典型题型分析详解
2018考研数学线代：矩阵合同与相似的
典型题型分析详解
合同矩阵与相似矩阵是线性代数中的两个相近概念，它们既有一定的类似性和关联性，但二者又有区别，它们的含义和性质是不同的，有些同学对这两个概念弄不清楚，搞不明白它们之间到底有什么区别，在主流线性代数教材上也没有对它们进行比较分析，在做涉及到这两个概念的习题时也不知道从何下手，为了帮助这些2018考研的同学解决这个难题，本文对合同矩阵和相似矩阵的主要判别方法做一下总结，并对往年考研数学试题中的这类题做些分析。
一、矩阵合同与相似的主要判别方法
从上面的判别方法和典型例题看到，如果两个实对称矩阵相似，则它们的特征值完全相同(包括特征值的重数也相同)，因此它们的正、负惯性指数也分别相等，从而这两个矩阵是合同的，但如果不是实对称矩阵，则相似矩阵不一定是合同矩阵;另外，合同矩阵不一定是相似矩阵，这些区别希望同学们理解。
矩阵等价相似合同的关系
矩阵等价相似合同的关系等价指的是两个矩阵的秩一样。
合同指的是两个矩阵的正定性一样，也就是说，两个矩阵对应的特征值符号一样。
相似是指两个矩阵特征值一样。
相似必等价，合同必等价。
1.等价矩阵：同型矩阵A，B的秩相等，那么A，B等价，即是随意两个秩相等的同型矩阵通过初等变换都可以相互转化相等与另一个。
2.相似矩阵的定义是:存在可逆矩阵P，使得P--1AP=B，则称B是A的相似矩阵。
原因：A与B相似有一个必要条件就是A与B的特征值相同，即|B-aE|=|A-aE|所以|B-aE|=|P--1||A-aE||P|，所以|B-aE|=|P--1AP-aP--1EP|，即|B-aE|=|P--1AP-aE|所以B=P--1AP3.合同矩阵定义：若存在可逆矩阵C,使得C T AC=B，即A与B合同。
对于合同矩阵要从二次型说起，二次型为：f=X T AX。
可通过X=CY变换，即把X=CY带入，于是f=（CY)T A(CY)=Y T[C T AC]Y，其中令C T AC=B，即A与B合同。
首先相似不一定合同，合同也不一定相似，但是如果相似或者合同则必然等价，而等价却不能反推出相似或者合同，原因是前者只能是对方阵，而后者则只需要同型。
相似合同和等价都具有反身性。
对称性和传递性，合同和相似能推出等价是因为他们的秩相等。
而对于矩阵A只有当他是实对称矩阵时，存在C T AC=C--1AC，即这个时候矩阵合同和相似可以等价，这个时候C是正交矩阵，然而当C 不是正交矩阵时，则只能满足其中一个条件，或者说如果P--1AP=B,即A与B相似，但如果P不是正交矩阵，则不能称A与B合同，如果P T AP=B，即A与B合同，但是PP T≠I,则一样不能推出相似。
相似必合同，合同必等价。
等价就是矩阵拥有相同的r。
矩阵合同，C T AC=B，矩阵乘以可逆矩阵他的r不变，r(B)=r(C T AC)=r(AC)=r（A），等价。
同理两矩阵相似一定等价。
矩阵合同和相似
矩阵合同和相似引言矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。
在线性代数中，矩阵合同和相似是两个常见的关系，它们在矩阵的性质和应用中起到了关键作用。
本文将对矩阵合同和相似进行介绍和讨论。
矩阵合同矩阵合同是指两个矩阵具有相同的秩、特征多项式以及特征值的多重性。
具体而言，设A和B是n阶矩阵，如果存在非奇异矩阵P，使得PTAP = B，则称矩阵A和B是合同的。
矩阵合同的性质矩阵合同具有以下性质： - 对于任意n阶矩阵，矩阵与自身合同。
- 若矩阵A与矩阵B合同，则矩阵B与矩阵A合同。
- 若矩阵A与矩阵B合同，且矩阵B与矩阵C合同，则矩阵A与矩阵C合同。
矩阵合同的应用矩阵合同在实际应用中具有广泛的应用，例如： - 物体的正交变换：在三维几何中，通过正交矩阵对物体进行旋转、平移和缩放等变换。
这些变换可以表示为合同关系，通过合同矩阵可以实现物体的坐标变换。
- 矩阵的相似性：矩阵合同是矩阵相似性的一种特殊情况。
在线性代数中，矩阵相似是一种重要的关系，它描述了矩阵在不同基下的表示和性质。
矩阵相似矩阵相似是指两个矩阵具有相同的特征值。
具体而言，设A和B是n阶矩阵，如果存在非奇异矩阵P，使得P-1AP = B，则称矩阵A和B是相似的。
矩阵相似的性质矩阵相似具有以下性质： - 对于任意n阶矩阵，矩阵与自身相似。
- 若矩阵A与矩阵B相似，则矩阵B与矩阵A相似。
- 若矩阵A与矩阵B相似，且矩阵B与矩阵C相似，则矩阵A与矩阵C相似。
矩阵相似的应用矩阵相似在实际应用中具有广泛的应用，例如： - 矩阵对角化：通过相似变换将矩阵对角化，可以简化矩阵的运算和求解。
对角化后的矩阵具有简洁的形式，更容易研究和分析。
- 矩阵的特征值问题：矩阵相似性与特征值问题密切相关。
通过矩阵相似变换，可以将复杂的特征值问题转化为简化的形式，从而更容易求解。
结论矩阵合同和相似是矩阵理论中的两个重要概念，它们在矩阵的性质和应用中起到了关键作用。
矩阵的合同,等价与相似的联系与区别
矩阵的合同，等价与相似的联系与区别一、基本概念与性质（一）等价：1、概念。
若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ≅。
2、矩阵等价的充要条件：A B ≅.{P Q A B ⇔同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。
（二）合同：1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ≅P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ≅该过程成为合同变换。
2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ≅⇔二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。
（三）相似1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。
2、矩阵相似的性质：~A B 11~,~,~(,)|E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-⇒=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立）r(A)=r(B)即的逆相等|A|=|B|3、矩阵相似的充分条件及充要条件：①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。
②充要条件：~()()A B E A E B λλ⇔-≅-二、矩阵相等、合同、相似的关系（一）、矩阵相等与向量组等价的关系：设矩阵 12(,,,)n A λλλ=，12(,,,)m B βββ=1、若向量组（12,,,m βββ）是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。
而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ≅。
矩阵合同与相似
矩阵合同与相似矩阵合同与相似是线性代数领域中重要且相关的概念。
矩阵合同是指两个矩阵A和B满足一定的条件，而矩阵相似是指两个矩阵A和B之间存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP⁻¹。
下面将详细介绍这两个概念及其相关性。
首先，我们来定义矩阵合同。
给定n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP⁻¹，那么矩阵A和B就是合同的。
换句话说，两个矩阵合同的条件是它们可以通过一次相似变换后得到。
根据矩阵合同的定义，我们可以得出以下结论：1. 矩阵合同是一个等价关系。
即，对于任意的矩阵A、B和C，有以下三个性质：- 自反性：A合同于自身，即A≈A；- 对称性：如果A合同于B，则B合同于A；- 传递性：如果A合同于B，且B合同于C，则A合同于C。
2. 矩阵合同保持矩阵的特征值不变。
如果A合同于B，那么A和B具有相同的特征值。
接下来，我们来介绍矩阵相似。
给定n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP⁻¹，那么矩阵A和B就是相似的。
与矩阵合同相似，矩阵相似也是一个等价关系，具有自反性、对称性和传递性。
矩阵合同和相似的联系在于它们都描述了矩阵之间的一种等价关系。
矩阵相似是一种较强的等价关系，因为它要求矩阵A和B之间存在一个可逆矩阵P。
而矩阵合同是相似的一种特殊情况，它只要求存在一个非奇异矩阵P即可。
因此，矩阵相似是矩阵合同的一种更加严格的要求。
矩阵相似在线性代数中有着广泛的应用。
例如，矩阵相似关系可以帮助我们简化矩阵的计算。
通过寻找一组相似变换，我们可以将一个复杂的矩阵转化为一个更加简单的形式，从而便于计算和分析。
此外，矩阵相似还可以帮助我们理解矩阵的几何意义。
对于一个可对角化的矩阵A，如果存在一个相似变换P，使得A=PDP⁻¹，其中D是对角矩阵，那么矩阵A的几何意义就可以通过对角矩阵D来表示。
换句话说，相似变换可以将原始矩阵的几何性质转化为对角矩阵的几何性质，从而更容易理解。
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1 / 1 考研数学真题点评：矩阵的合同与相似
来源：文都教育
相似与合同是矩阵的两种重要关系，也是考研数学重要考点之一。
今年线性代数的第二道大题考查的就是一般方阵相似的证明。
下面我们把相似与合同的判定方法，以及它们之间的关系总结一下：
（）n 阶方阵A 与B 相似⇒A 与B 特征值相同，反之不成立
（）n 阶方阵A 与B 特征值相同，且都可对角化⇒n 阶方阵A 与B 相似
（）实对称矩阵 A 与B 相似⇔A 与B 特征值相同
（）实对称矩阵A 与B 合同⇔A 与B 具有相同的正惯性指数和秩。
（）实对称矩阵A 与B 相似⇒实对称矩阵A 与B 合同，反之不成立。
（）一般n 阶方阵A 与B 相似⇒A 与B 合同
一般n 阶方阵A 与B 合同⇒A 与B 相似
真题解读如下：
证明n 阶矩阵
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111111 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛n 00200100 相似。
【证明】 令⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=111111111 A ，
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n B 00200100 ， 由0||=-A E λ得A 的特征值为n n n ====-λλλ,011
， 由0||=-B E λ得B 的特征值为n n n ====-λλλ,011。
因为A A T =，所以A 可对角化；
对B ，因为1)()0(==-B r B E r ，所以B 可对角化，
因为B A ,特征值相同且都可对角化，所以B A ~。