相似矩阵与矩阵可对角化的条件
相似矩阵与矩阵可对角化的条件
1.1 相似矩阵及其性质
定理
定理 2 设矩阵 A～B ，则 Am～Bm ，其中 m 为正整数． 证明：由 A～B 可知，存在可逆矩阵 P ，使得 P1AP B ，于是 Bm (P1AP)m (P1AP)(P1AP) (P 1AP) P 1APP 1AP P 1AP P 1AmP ，
所以 Am～Bm ．
1
则式（5-3）可写成
A(
p1
，p
，
2
，pn
)
p(
，1 p
，
2
，p n
)
2
n
由此可得 Api i pi (i 1，2， ，n)．因为 P 可逆，P 必不含零列，即 pi 0 (i 1，2， ，n) ．
1.2 矩阵可对角化的条件
定理
充 分 性 ． 设 p1 ，p2 ， ，pn 是 A 的 n 个 线 性 无 关 向 量 ， 它 们 对 应 的 特 征 值 依 次 为
由此可得， A 可对角化时，必有 x y 0 ．
1.2 矩阵可对角化的条件
例题
1 1 1
例5
设矩阵
A
2
42Leabharlann ，判断A是否可相似于一个对角矩阵，并求
A5
．
2 2 0
解： A 的特征多项式为
1 1 1 E A 2 4 2 ( 1)( 2)2 ，
2 2
所以， A 的特征值为 1 1， 2 3 2 ． 对于 1 1，解对应的齐次线性方程组 (E A)x 0 ，可得基础解系 p1 (1，2 ，2) ． 对 于 2 3 2 ， 解 对 应 的 齐 次 线 性 方 程 组 (2E A)x 0 ， 可 得 基 础 解 系 p2 (1，1，0) ，p3 (1，0 ，1) ．
相似矩阵和矩阵对角化的条件
3 0 0 1 ,2 ,3线性无关， 三 个 ， A ~ 0 1 0 ， 共 0 0 1 0 2 -1 相应的可逆阵 (1,2,3 ) 1 1 0 P 1 0 1
例2
1 1 0 A 4 3 0 是否和对角矩阵相似． 判断矩阵 1 0 2 若相似，求出可逆矩阵 P ，使得 P 1 AP .
三. 矩阵可对角化的条件
条件1(充要条件）：A有n个线性无关的特征向量．
证明：必要性
若 A
1 , n
~
2
则存在 阶可逆矩阵 ， n P
使得P1AP . 设P (1 , 2 ,, n )
显然， i (i 1, 2,, n) , 且1 ,2 ,,n 线性无关．
设P (1 , 2 ,, n )
由于 1 ,2 ,,n 线性无关，故Ｐ可逆．于是，
AP A(1 ,2 ,,n )
( A1 , A2 ,, An ) (11 , 22 ,, n n )
AP (11 , 22 ,, nn )
i
i 是A的特征值，i 是A的属于 i 的特征向量．
又 1 , 2 ,, n 线性无关
A有n个线性无关的特征向量
充分性
设Ａ有n个线性无关的特征向量：1 , 2 ,, n , 它们所对应的特征值依次为： 1 , 2 ,, n , 则有
Ai ii (i 1, 2,, n)
第二节
相似矩阵和矩阵对角化的条件
一．相似的定义 设A、B都是n阶方阵，若存在n阶可 逆矩阵P，使得
P AP B
记作 A B 则称A相似于B．
1
矩阵相似与对角化问题
矩阵相似与对角化问题引言矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
在研究矩阵的性质和应用时，矩阵相似与对角化问题是常见且重要的问题之一。
本文将对矩阵相似和对角化的概念、性质和关系加以讨论。
矩阵相似定义给定两个 n × n 矩阵 A 和 B，如果存在一个可逆矩阵 P，使得P⁻¹AP = B，则称A 和 B 相似。
记作A ∼ B。
性质矩阵相似具有以下性质：1.若A ∼ B，则B ∼ A。
2.若A ∼ B，B ∼ C，则A ∼ C。
（相似关系是传递的）3.若A ∼ B，那么 A 的特征多项式和 B 的特征多项式相同。
4.若 A 和 B 相似，则 A 和 B 具有相同的特征值和特征向量。
相似对角化对于相似矩阵 A 和 B，我们可以进行相似对角化，即将 A 变换为一个对角矩阵B。
具体步骤如下：1.设 A 是一个 n × n 矩阵，A 有 n 个线性无关的特征向量。
2.将这 n 个特征向量按列组成矩阵 P。
3.计算P⁻¹AP，得到对角矩阵 B。
对角化的好处是简化了矩阵的计算和处理，形式更加规整，便于求解特定的问题。
对角化问题定义给定矩阵 A，如果存在一个可逆矩阵 P，使得P⁻¹AP = D，其中 D 是一个对角矩阵，则称 A 可对角化。
充分条件一个矩阵 A 可对角化的充分条件是存在 n 个线性无关的特征向量。
如果 A 的 n 个特征向量线性无关，则 A 必定可对角化。
对角化步骤求解矩阵对角化的步骤如下：1.解特征方程 |A - λI| = 0，得到矩阵 A 的特征值λ1, λ2, …, λn。
2.对于每个特征值λi，解特征方程 (A - λiI)xi = 0，得到特征向量 xi。
3.如果通过步骤 2 得到的 n 个特征向量线性无关，则 A 可对角化。
将这些特征向量按列组成矩阵 P，并将对应的特征值按对角线排列得到对角矩阵D。
可对角化的性质可对角化的矩阵具有以下性质：1.可对角化的矩阵 A 的迹等于其特征值之和。
矩阵相似和对角化
矩阵相似和对角化矩阵的相似和对角化是线性代数中重要的概念和技术。
它们在矩阵理论、线性变换和特征值理论等领域具有广泛的应用。
下面将对矩阵相似和对角化进行详细介绍和相关参考内容的分享。
1. 矩阵的相似性（Matrix Similarity）：矩阵相似性是指两个矩阵具有相同的特征值与特征向量。
具体来说，对于n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A与B相似。
矩阵相似性的特性包括：(1) 相似矩阵具有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；(2) 相似矩阵具有相同的迹、行列式和秩；(3) 相似矩阵表示相同的线性变换，只是在不同的坐标系下表示。
矩阵的相似性在计算机图形学、信号处理和网络分析等领域有广泛的应用。
下面是几篇相关的参考文献：- "Matrix Similarity and Its Applications"（作者：Yu Zhang）是一篇介绍矩阵相似性及其应用的综述文章。
它详细讨论了相似矩阵的定义、性质和计算方法，并列举了相似矩阵在网络分析和信号处理中的应用案例。
- "On Similarity of Matrices"（作者：Pe tar Rajković et al.）是一篇关于相似矩阵的形式定义和性质研究的论文。
它推导了相似矩阵的充要条件和相似变换的表达式，并给出了相似矩阵的几何解释和应用示例。
- "Graph Similarity and Matching"（作者：Michaël Defferrard et al.）是一本关于图相似性和匹配算法的专著。
它介绍了基于矩阵相似性的图匹配方法，包括谱聚类、图嵌入和子图匹配等技术，对于矩阵相似性的理解和应用具有参考价值。
2. 矩阵的对角化（Matrix Diagonalization）：矩阵的对角化是指将一个可对角化矩阵相似转化成对角矩阵的过程。
矩阵的相似性与对角化
矩阵的相似性与对角化矩阵是线性代数中的重要概念之一，广泛应用于各个领域。
在矩阵的研究中，相似矩阵和对角化是两个关键概念。
本文将探讨矩阵的相似性和对角化，并分析它们在实际问题中的应用。
一、相似矩阵相似矩阵是指具有相同特征值的矩阵。
具体而言，设A和B为两个n阶矩阵，若存在一个可逆矩阵P，使得PAP^{-1}=B成立，则称A和B相似，P为相似变换矩阵。
矩阵的相似性可以理解为同一线性变换在不同基下的表示。
相似矩阵保持了线性变换的关键属性，例如特征值和特征向量。
对于相似矩阵，它们之间存在一系列重要性质：1. 相似矩阵具有相同的特征值。
设A和B为相似矩阵，如果λ是A 的特征值，则B的特征值也是λ。
2. 相似矩阵具有相同的行列式、迹和秩。
3. 相似矩阵具有相同的特征多项式和最小多项式。
相似矩阵的概念对于矩阵的性质分析和计算求解具有重要意义。
我们可以通过相似矩阵的性质来简化矩阵的计算和求解过程。
二、对角化对角化是将一个矩阵变换为对角矩阵的过程。
一个可对角化的矩阵可以表示为D=P^{-1}AP，其中D为对角矩阵，P为相似变换矩阵。
要判断一个矩阵是否可对角化，需要满足两个条件：1. 矩阵A必须有n个线性无关的特征向量，其中n为矩阵的阶数。
换句话说，A的特征向量必须能够张成整个n维空间。
2. 矩阵A的每一个特征向量都对应一个不同的特征值。
符合上述条件的矩阵A称为可对角化矩阵，对角化的好处在于简化矩阵的计算。
对角矩阵具有简单的形式，只有对角线上有非零元素，其余元素都为零。
对角矩阵的求幂、求逆和乘法等运算都非常容易，因此对角化可以极大地简化矩阵的计算过程。
三、相似矩阵和对角化的应用相似矩阵和对角化在数学和工程中有广泛的应用，下面重点介绍其中几个典型的应用领域：1. 工程中的状态空间表示：在控制系统的分析和设计中，矩阵的相似性和对角化被广泛运用。
通过相似变换将系统的状态空间表示转化为对角形式，可以方便地进行系统的特征分析和控制器设计。
矩阵的相似与对角化
矩阵的相似与对角化矩阵是线性代数中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
对于一个给定的矩阵，我们可以通过相似变换来得到一种新的矩阵，其具有相似的特性。
相似变换可以理解为在某种意义上对矩阵进行了重新标定、旋转或扩张。
而对角化是一种特殊的相似变换，能够将一个矩阵变为对角矩阵，使得矩阵的运算更加简便。
首先，让我们来了解一下相似变换的概念。
对于两个矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得B = P^(-1) * A * P，那么我们称A和B是相似的，P为相似变换矩阵。
相似矩阵具有许多相似的性质，包括特征值和特征向量等。
具体来说，如果v是矩阵A的特征向量，那么Pv就是矩阵B的特征向量，特征值也有相应的关系。
这种相似变换在许多问题中都发挥着重要作用，例如线性变换和空间旋转等。
接下来，我们来介绍一下对角化的概念。
对角化是一种特殊的相似变换，将一个n阶矩阵A变为对角矩阵D。
换句话说，D是一个n阶对角矩阵，且存在一个可逆矩阵P，使得D = P^(-1) * A * P。
对角化的好处在于对角矩阵的运算更加简单。
由于对角矩阵只有对角线上有非零元素，其他位置都是零，所以矩阵乘法和求幂等运算都可以简化为对角元素的运算。
这种简化过程对于一些数值计算问题非常有用，例如求矩阵的幂和指数函数等。
那么对角化的条件是什么呢？首先，一个矩阵A能够被对角化，必须要有n个线性无关的特征向量。
这意味着A的特征向量都是不同的，并且它们可以组成一个完整的基。
其次，对应于不同特征值的特征向量也应该是线性无关的。
当满足了这些条件后，我们就可以通过特征向量构建一个可逆矩阵P，从而对矩阵A进行对角化。
在实际操作中，对角化的步骤如下。
首先，我们需要求出矩阵A的特征值和特征向量。
特征值可以通过解矩阵特征方程来得到，而特征向量则可以通过将特征值带入到(A - λI)x = 0中求解。
接下来，将求得的特征向量组成一个矩阵P，然后计算出其逆矩阵P^(-1)。
最后，我们可以得到对角矩阵D = P^(-1) * A * P。
相似矩阵与对角化
相似矩阵与对角化矩阵是线性代数中最为重要的概念之一，相似矩阵与对角化是矩阵理论中常被提及的概念。
本文将介绍相似矩阵的定义及性质，以及对角化的概念和相关定理。
1. 相似矩阵相似矩阵是指两个矩阵具有相同特征多项式（即它们的特征值相同），这样的矩阵可以通过线性变换相互转化而得到。
具体来说，设A 和 B 是 n 阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵 P，使得 P⁻¹AP = B，则我们称矩阵 A 与 B 相似，记作 A ∼ B。
相似矩阵有以下特性：（1）相似关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性都成立。
（2）相似矩阵具有相同的特征多项式和特征值。
（3）如果 A 与 B 相似，则它们的多项式函数也相似。
2. 对角化对角化是一种将矩阵转化为对角矩阵的操作。
对于 n 阶方阵 A，如果存在一个可逆矩阵 P，使得 P⁻¹AP = D，其中 D 是一个对角矩阵，则我们称 A 可对角化。
对角化有以下几个重要的定理：（1）一个矩阵可对角化的充分必要条件是它有 n 个线性无关的特征向量。
（2）如果一个矩阵 A 有 n 个不同的特征值，则 A 是可对角化的。
（3）如果 A 是可对角化的，则 A 的幂Aⁿ 也可以对角化，其中 n是正整数。
（4）如果 A 可对角化，则存在一个对角矩阵 D，使得 A 和 D 相似。
3. 相似矩阵与对角化的联系相似矩阵和对角化之间存在着密切的联系。
具体来说，如果矩阵 A 和 B 相似，则它们可以通过线性变换相互转化，即存在一个可逆矩阵P，使得 P⁻¹AP = B。
而对角化是相似矩阵的一种特殊情况，即当 P 的选择为 A 的 n 个线性无关的特征向量时，A 可以对角化为对角矩阵 D，即 P⁻¹AP = D。
对角化的好处在于简化了矩阵的计算，对于对角矩阵，其乘法和幂运算均非常简单。
此外，对角矩阵还具有很多重要的性质，如行列式等于特征值的乘积，矩阵的迹等于特征值的和，这些性质在实际应用中有着广泛的应用。
相似矩阵与矩阵的对角化
相似矩阵与矩阵的对角化
用A左乘式（6-11），得 x1Ap1+x2Ap2+…+xk－1Apk－1+xkApk=0 x1λ1p1+x2λ2p2+…+xk－1λk－1pk－1+xkλkpk=0（6-12） 式（6-12）减去式（6-11）的λk倍，得 x1(λ1－λk)p1+x2(λ2－λk)p2+…+xk－1(λk－1－λk)pk－1=0 按归纳法假设p1,p2,…,pk－1线性无关，故xi(λi－ λk)=0(i=1,2,…,k－1).而λi－λk≠0(i=1,2,…,k－1)，于是得 xi=0(i=1,2,…,k－1)，代入式（6-11）得xkpk=0，而pk≠0，得 xk=0.因此，向量组p1,p2,…,pm线性无关. 因此有以下定理：
相似矩阵与矩阵的对角化
解 若用3维向量xi表示第i年后从事这三种职业的人 员总数（单位：万人），则已知
相似矩阵与矩阵的对 角化
相似矩阵与矩阵的对角化
一、 相似矩阵的概念
定义6-5
对n阶方阵A，B，若存在一个n阶可逆矩阵P，使 P－1AP=B
成立，则称矩阵A与B相似或矩阵A相似于B，记作A~B. 矩阵的相似是一种等价关系c，满足以下三个性质： （1）反身性：A与自身相似. （2）对称性：若A与B相似，则B与A相似. （3）传递性：若A与B相似，B与C相似，则A与C相似.
在实际问题中，有时会将问题归结为计算一个 矩阵A的高次幂Ak，一般用矩阵乘积的行乘列法则来 计算矩阵幂是很麻烦的，特别在幂次很大时尤甚.我 们知道，从对角阵的特点可知有如下简单的结论：
相似矩阵与矩阵的对角化
自然想到，当A可对角化时，能否找到一个计算矩 阵的高次幂Ak的简单方法呢？回答是肯定的.事实上，若 A可对角化，则可建立起分解式A=PΛP－1，有
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定理4.8 设矩阵A B, 则Am B m , 其中m为正整数.
证 由 A B，存在可逆矩阵P，有P -1 AP = B，于是 B m = ( P -1 AP ) m = (P -1 AP )(P -1 AP ) (P -1 AP ) = P -1 A m P. 所以 A m B m .
如果对应每一个相异特征值λi (i = 1, 2,....m), 特征矩阵 (λiE-A)的秩等于n-ni , 则齐次方程组(λiE-A)X=0的基 础解系一定含有ni个线性无关的特征向量由定理4.5， . 矩阵A就有n个线性无关的特征向量，这时，矩阵A 一定可以对角化. 一定可以对角化.
反之，如果矩阵A相似于对角矩阵Λ，则可以证明： 对A的ni重特征值λi (i = 1, 2, m), 矩阵(λi E-A)的秩恰 为n-ni , 总结可得
例1 3 4 1 1 4 1 设A= ，P= ,Q = ，则矩阵P, Q都可逆， 5 2 1 2 5 1
1 1 3 4 1 1 1 9 由P AP = = . 1 2 5 2 1 2 2 4
1
1
1 9 可知A . 2 4
又 4 1 3 4 4 ห้องสมุดไป่ตู้ 2 0 2 0 Q 1 AQ = = .所以A 5 1 5 2 5 1 0 7 0 7
4.2 相似矩阵与矩阵可对角化的条件
对角矩阵是最简单的一类矩阵.对任一n阶 A A 矩阵A，是否可将它化为对角矩阵，并保持A 的许多原有的性质，在理论和应用方面都具 有重要意义
一.相似矩阵及其性质
定义4.3 设A,B为n阶矩阵.如果存在一个n阶可逆矩阵P，使得 P－1 AP＝B 则称矩阵A与B相似，记作A B.
由此可得Aα i = λiα i (i = 1, 2, n).因P可逆，P必不含有零列.
即α i ≠ 0(i = 1, 2, n).因此，α i是A的属于特征值λi的特征向量， 并且α1 , α 2 , , α n线性无关.
充分性：设α1 , α 2 , , α n是A的n个线性无关的特征向量，它们对应的 特征值依此为λ1 , λ2 , , λn .记矩阵P=(α1 , α 2 , , α n ). 则P可逆.
对于相似矩阵还有以下性质： 1. 相似矩阵的行列式相等. 2. 相似矩阵的秩相等. 3. 相似矩阵或都可逆或都不可逆.
二.矩阵可对角化的条件
如果n阶矩阵A可以与相似于一个n阶对角矩阵Λ, 则称 A可对角化.Λ称为A的相似标准形（矩阵）.
由例1说明，如果适当选取可逆矩阵P，就可能使P 1 AP 成为对角矩阵然而，并非所有的n阶矩阵都可以对角化. 下面将讨论矩阵可对角化的充要条件. 定理4.9 n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条 件是A有 n个线性无关的特征向量
证明
如果A B，则B A
由A B可知，存在可逆矩阵P，有P -1 AP = B.
于是，A = PBP 1 = ( P 1 ) 1 BP 1，所以B A.
3.传递性
证明
如果A B, B C，则A C.
由A B, B C , 必存在n阶可逆矩阵P, Q，有 P 1 AP = B, Q 1 BQ = C.
解
矩阵A的特征多项式
λ
0
1
det(λ E A) = x λ 1 y = (λ 1) 2 (λ + 1) λ 1 0
所以，A的特征值为λ1 = λ2 = 1, λ3 = 1.根据定理4.10，对于 二重特征值λ1 = λ2 = 1，矩阵A应有两个线性无关的特征向量. 故对应齐次线性方程组(E-A)X=0的系数矩阵(E-A)的秩r(E-A)=1. 又 1 0 -1 1 0 -1 E-A= -x 0 -y → 0 0 x+y -1 0 1 0 0 0 由此可得：A可对角化时，必有x + y = 0.
1
由此可以看出，与A相似的矩阵不是唯一的，也未必是 对角矩阵.然而，对某些矩阵，如果适当选取可逆矩阵P， 就可能使 P 1 AP 成为对角矩阵 相似使同阶矩阵之间的一种重要关系，具有下述性质： 设A,B,C为n阶矩阵，则
1.反身性 A A
证明 由 E 1 AE = A, 可以直接得到结论.
2.对称性
定理4.10 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是 对于A的每一个ni重特征值λi , 特征矩阵(λi E-A)的秩为n-ni .
也可以叙述为：n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是对于 A的每一个ni重特征值λi , 齐次线性方程组(λi E-A)X=0的基础解系 中恰含有ni个特征值.
例2 在上节例4中，我们已求得矩阵 3 2 4 A = 2 0 2 4 2 3 的特征值 λ1 = λ2 = 1(二重 )和 λ3＝8. A的属于特征值(-1)的特征向量为
例3
在上节例5中，我们求得矩阵
1 1 1 A = 0 2 3 0 0 1 的特征值λ1 = λ2 = 1, λ3 = 2, 但是A的属于二重特征值1的线性无关的
T 向量只有α1＝（1，0，0）由定理4.10，可知A不能对角化. .
0 0 1 例4 设矩阵A = x 1 y 可相似于一个对角矩阵，试讨论 1 0 0 x,y应满足的条件.
于是Q 1 P 1 AP）Q = C.即( PQ ) 1 A( PQ) = C. （ 由此可得，A C.
相似矩阵还有下面的性质：
定理4.7 设矩阵A B, 则A, B之间具有相同的特征值.
1
证明
只需证明 A, B具有相同的特征多项式实际上， .
由A B必存在可逆矩阵P，使得P AP＝B，于是 det(λE-B)=det(λE-P1 AP)=det(P1 (λE-A)P) =det(P1 ) det(λE-A)det（P)＝det(λE-A). 所以，A,B具有相同的特征值.
证明
必要性 : 设A ~ Λ.其中
Λ = diag (λ1 , λ2 λn ) 则存在可逆矩阵P, 使得
P 1 AP = Λ, 或AP = PΛ. （4.10) 把矩阵P按列分块，记P = (α1 , α 2 , , α n )，其中α j是P的第j列
则（4.10）可以写成 λ1 λ2 A(α1 , α 2 , , α n )=(α1 , α 2 , , α n ) λn
推论 如果n阶矩阵A有n个互不相同得特征值λ1，λ2 λn， 则A与对角矩阵Λ相似.其中Λ的主对角线的元依此是λ1，λ2 λn .
应注意，由n阶矩阵A可对角化，并不能断定A 必含有n个互不相同的特征值.
在矩阵A的特征值中有重根的情形，可设A的所有 不同特征值为λ1，λ2 λm (m ≤ n).而λi是A的ni重 特征值.于是n1 + n 2 + + n m = n.
T T α 1＝（-1，2，0）,α 2＝（-1，0，1）.A的属于特征值8的特征向量为 T α 3＝（2，1，2）.根据定理 4.10，A可对角化.实际上，设
-1 -1 2 1 P=(α 1， α 2 ,α 3 )= 2 0 1 , Λ = 1 0 1 2 8 则 P 1 AP = Λ.
而
AP =A(α1 , α 2 , , α n )
=(Aα1 , Aα 2 , , Aα n ) =(λ1α1 , λ2α 2 , , λnα n ). λ1 λ2 =(α1 , α 2 , , α n ) λn
两边左乘P 1，得P 1 AP = Λ.即矩阵A与对角矩阵Λ相似.