矩阵可对角化的条件

第二节矩阵可对角化的条件

定义1 如果矩阵能与对角矩阵相似，则称可对角化。

例1设，则有：，即。从而可对角化。

定理1 阶矩阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。

证明：必要性如果可对角化，则存在可逆矩阵，使得

将按列分块得，从而有

因此有，所以是的属于特征值的特征向量，又由可逆，知线性无关，故有个线性无关的特征向量。

充分性设是的个线性无关的特征向量，它们对应的特征值依次为

，则有。令，则是一个可逆矩阵且有：

因此有，即，也就是矩阵可对角化。

注若，则，对按列分块得，于是有

，即

，从而。可见，对角矩阵的元素就是矩阵的特征值，可逆矩阵就是由的线性无关的特征向量所构成的，并且特征向量的顺序依赖于对角矩阵。

定理2 矩阵的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

证明：设是的个互不相同的特征值，是的属于特征值的特征向量，现对作数学归纳法证明线性无关。

当时，由于特征向量不为零，因此定理成立。

假设的个互不相同的特征值对应的个特征向量是线性无关的。设是的个互不相同的特征值，是的属于特征值的特征向量。又设

(1)

成立。则有，又将(1)式两边同乘得：

从而有,由归纳假设得

，再由两两互不相同可得

,将其代入(1)式得，因此有，从而

线性无关。

推论1 若阶矩阵有个互不相同的特征值，则可对角化，且

。

定理3 设是阶矩阵的个互异特征值，对应于的线性无关的特征向量为，则由所有这些特征向量（共个）构成的向量组是线性无关的。

证明：设，记，，则有，且或是的属于特征值的特征向量。若存在某个，，则由属于不同特征值的特征向量线性无关知

，矛盾。因此有，,又由已知得

,,因此向量组

线性无关。

定理4设是阶矩阵的一个重特征值，对应于的特征向量线性无关的最大个数为，则，即齐次线性方程组的基础解系所含向量个数不超过特征值的重数。

证明：用反证法。由于是的属于特征值的特征向量当且仅当是齐次线性方程组的非零解，因此对应于的特征向量线性无关的最大个数与齐次线性方程组的基础解系所含向量个数相等。设是齐次线性方程组的一个基础解系,且假设,则有。现将扩充为一个维线性无关向量组,其中未必是的特征向量，但有是一个维向量，从而

可由向量组线性表示，即：

因而有：

（2）

其中有个。令，并将(2)式右端矩阵分块表示，则有

，由相似矩阵有相同的特征多项式，得的特征多项式为：

其中是的次多项式。从而至少是的重特征值，与是重特征值矛盾。所以。

定理5 阶矩阵可对角化的充分必要条件是：的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于该特征值的重数(即的每个特征值对应的齐次线性方程组

的基础解系所含向量个数等于该特征值的重数,也即的每个特征子空间的维数等于该特征值的重数）。

证明：设，其中两两不同，且有。

充分性由于对应于的特征向量有个线性无关，又个特征值互异，因此有个线性无关的特征向量，故可对角化。

必要性（反证法）设有一个特征值所对应的线性无关的特征向量的最大个数的重数，则的线性无关的特征向量个数小于，故不能与对角矩阵相似。

例2设，求的特征值和特征向量，并判断是否可对角化？

解：由得的特征值为（二重特征值）。

当时，由，即：

得基础解系为，从而的属于特征值的特征向量为（为任意非零常数）。

当时，由，即：

得基础解系为，从而的属于特征值的特征向量为（为任意非零常数）。

由于的特征值对应的齐次线性方程组的基础解系所含向量个数小于特征值的重数，故

不可对角化。

例3巳知，判断能否对角化？若能对角化，求可逆矩阵，使得为对角阵。

解：由得的特征值为（二重特征值）。

当时，由，即：

得基础解系为，从而的属于特征值的特征向量为（为任意非零常数）。

当时，由，即：

得基础解系为及，从而的属于特征值的特征向量为（为任意不全为零的常数）。

由于的每个特征值对应的齐次线性方程组的基础解系所含向量个数等于特征值的重数，故可对角化。令，则。

例4设是阶矩阵，，判断是否可对角化。

解：设的特征方程的两个根为，则，故有两个不同的特征值，从而可对角化。

例5设实对称矩阵，问是否可对角化？若可对角化，求矩阵，使得为对角阵，并求（为正整数）。

解：由得的特征值为

（三重特征值）。

当时，由，即：

得基础解系为，从而的属于特征值的特征向量为（为任意非零常数）。

当时，由，即：

得基础解系为,,，从而的属于特征值的特征向量为（为任意不全为零的常数）。

由于的每个特征值对应的齐次线性方程组的基础解系所含向量个数等于特征值的重数，故可对角化。令

，则。从而，且

例6设阶矩阵满足（称为幂等矩阵），证明：的特征值只能为或，并且可对角化。

证明：设是的属于特征值的特征向量，则，由，得，所以幂等矩阵的特征值只能为或。

设秩，当秩时，，故可对角化且；当秩时,可逆,由得，故可对角化且;现设。当特征值时,其特征矩阵的秩为。这是因为由,所以

；又，因而

，从而有。再由可得对应于的线性无关的特征向量的最大个数为。设的属于特征值的个线性无关的特征向量为。

当特征值时,由可得对应于的线性无关的特征向量的最大个数为。设的属于特征值的个线性无关的特征向量为

。从而有个线性无关的特征向量，故可对角化。令

，则，其中主对角线上的个数为秩个，的个数为个。