可对角化矩阵的应用

可对角化矩阵的应用 矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类，特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。下面列举几个常见的可对角化矩阵的应用的例子。

1.求方阵的高次幂

例设V 是数域P 上的一个二维线性空间，12,εε是一组基，线性变换σ在12,εε下的矩阵A =2110⎛⎫

⎪-⎝⎭

，试计算k

A 。

解：首先计算σ在V 的另一组基12,ηη下的矩阵，这里

()()121211,,12-⎛⎫

ηη=εε ⎪

-⎝⎭

，

且

σ

在

12

,ηη下的矩阵为

1

112

1112

12

11111121012111

01

2

1

----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎛⎫

⎛⎫== ⎪ ⎪⎪

⎪⎪⎪ ⎪-----

⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝

⎭⎝⎭⎝⎭显然

1

10

10

1k

k

⎛⎫⎛

⎫

= ⎪

⎪

⎝⎭

⎝⎭

，再利用上面得到的关系1

1121111112101201---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

= ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

我们可以得到

1

21111111111211

101201121201111k

k

k k k k k ----+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪

------+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

2.利用特征值求行列式的值。

例：设n 阶实对称矩阵2A =A 满足，且A 的秩为r ，试求行列式2E A -的值。

解：设AX=λX ，X ≠0，是对应特征值λ的特征向量，因

为2A A =，则22X X λE =AE =A =λ，从而有()20X

λ-λ=，因为X ≠0，

所以()1λλ-=0，即λ=1或0，又因为A 是实对称矩阵，所以A 相似于对角矩阵，A 的秩为r ，故存在可逆矩阵P ，使

1

00

0r

E P AP -⎛⎫=

⎪⎝⎭

=B ，其中

r

E 是r 阶单位矩阵，从而

1102220

2r n r n r

E E A PP PBP E B E -----=-=-=

=2

3由特征值与特征向量反求矩阵。

若矩阵A 可对角化，即存在可逆矩阵P 使，其中B 为对角矩阵，则

例 设3阶实对称矩阵A 的特征值为，对应的特征向量为，求矩阵A 。

解：因为A 是实对称矩阵，所以A 可以对角化，即A 由三个线性无关的特征向量，设对应于231λ=λ=的特征向量为

()

123,,T

P X X X =，它应与特征向量

1

P 正交，即

[]1123,00P P X X X =++=，该齐次方程组的基础解系为

()()

231,0,0,0,1,1T

T

P P ==-，它们即是对应于231λ=λ=的特征向量。

取

()123010100,,101,010101001P P P P B -⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

=== ⎪ ⎪

⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

，则

1P A P

B -=，

于是1110

010*******

210101010

0011010011

1010022A PBP -⎛

⎫

⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪

⎪===- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭

4判断矩阵是否相似

例

下述矩阵是否相似123200*********,021,020*********A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

解：矩阵123,,A A A 的特征值都是12λ= (二重)，23λ=，其中

1A 已是对角阵，所以只需判断23,A A 是否可对角化，先考查2A ，

对于特征值1λ=2解齐次线性方程组()220E A X -=得其基础解系为()11,0,0T α=，由于1λ=2是2A 的二重特征值，却只对应于一个特征向量，故2A 不可对角化或者说2A 与1A 不相似。 再考查3A ，对于特征值1λ=2，解齐次线性方程组得基础解系，对于特征值解齐次线性方程组()320E A X -=，得基础解系()()121,0,0,0,1,0T T η=η=，对于23λ=特征值解齐次线性方程组()330E A X -=，得基础解系()31,0,1T η=，由于3A 有三个线性无关的特征向量，所以3A 可对角化，即3A 与1A 相似。

5求特殊矩阵的特征值

例 设A 为n 阶实对称矩阵，且22A A =，又()r A r n =<，

求（1）A 的全部特征值，（2）行列式E A -的值

解：（1）设λ为A 的任一特征值，ξ为A 的对应特征值

λ的特征向量，所以Aξ=λξ，有22A ξ=Aλξ=λξ，又因为22A A =，

所以2A ξ=2Aξ=2λξ，所以2λ=2λ，由此可得λ=2或0，因为A

是实对称矩阵，所以A

必能对角化即22

00⎛⎫

⎪

⎪ ⎪A ~B = ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

，