矩阵可对角化的充分必要条件论文

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可以对角化的矩阵的充要条件

可以对角化的矩阵的充要条件一、引言矩阵是线性代数中重要的概念之一，而对角化则是矩阵理论中的一个重要问题。

对角化是将一个矩阵通过相似变换变为对角矩阵的过程。

对角矩阵具有简单的形式，便于研究和计算。

因此，研究一个矩阵是否可以对角化，以及在什么条件下可以对角化，对于解决线性代数中的实际问题具有重要意义。

二、矩阵的对角化定义一个n阶方阵A可以对角化，即存在一个可逆矩阵P，使得P-1AP=D，其中D是一个对角矩阵。

对角化的过程可以通过相似变换实现，即P-1AP=D，其中P是可逆矩阵。

三、可对角化矩阵的充要条件一个矩阵是否可以对角化有如下的充要条件：1. 矩阵A有n个线性无关的特征向量矩阵A的特征向量是指满足方程Av=λv的非零向量v，其中λ是特征值。

如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，那么可以构成一个可逆矩阵P，P的每一列是一个特征向量，使得P-1AP=D，其中D 是一个对角矩阵，对角线上的元素是矩阵A的特征值。

2. 矩阵A的特征向量的重数等于其特征值的代数重数特征值的代数重数是指特征多项式的根的重数。

如果矩阵A的特征向量的重数等于其特征值的代数重数，那么可以构成一个可逆矩阵P，使得P-1AP=D，其中D是一个对角矩阵，对角线上的元素是矩阵A的特征值。

3. 矩阵A的特征向量构成的向量组的维数等于矩阵A的秩矩阵A的秩是指矩阵A的列向量组的最大线性无关组的向量个数。

如果矩阵A的特征向量构成的向量组的维数等于矩阵A的秩，那么可以构成一个可逆矩阵P，使得P-1AP=D，其中D是一个对角矩阵，对角线上的元素是矩阵A的特征值。

四、例子考虑一个2阶矩阵A=[2 10 3]，我们来判断它是否可以对角化。

首先求解A的特征值，解方程|A-λI|=0，得到特征值λ=2,3。

然后求解特征值对应的特征向量。

对于特征值λ=2，解方程(A-2I)v=0，得到特征向量v1=[1,0]。

对于特征值λ=3，解方程(A-3I)v=0，得到特征向量v2=[1,1]。

矩阵可以对角化的充分必要条件

矩阵可以对角化的充分必要条件矩阵的对角化是线性代数中一个重要的概念，它在许多领域中都有广泛的应用。

在矩阵的对角化中，有一个非常重要的定理，即矩阵可对角化的充分必要条件。

本文将从理论和实际应用两个方面，详细介绍矩阵可对角化的充分必要条件。

一、理论介绍我们来介绍矩阵的对角化。

对于一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP为对角矩阵D，即P^{-1}AP=D，那么我们称矩阵A可对角化，且D为A的一个对角化矩阵。

接下来，我们来介绍矩阵可对角化的充分必要条件。

对于一个n阶方阵A，A可对角化的充分必要条件是存在n个线性无关的特征向量。

为了更好地理解这个条件，我们来解释一下特征向量和特征值。

对于一个n阶方阵A和一个非零向量v，如果满足Av=λv，其中λ为一个常数，那么我们称v为A的一个特征向量，λ为对应的特征值。

特征向量和特征值的概念在线性代数中非常重要，它们可以描述矩阵的性质和变换。

而矩阵可对角化的充分必要条件即存在n个线性无关的特征向量，也就是说，对于一个可对角化的矩阵A，存在n 个不同的特征值和对应的特征向量。

二、实际应用矩阵的对角化在实际应用中有着广泛的应用。

以下我们将介绍两个常见的实际应用场景。

1. 线性变换在线性代数中，矩阵可以表示线性变换。

对于一个可对角化的矩阵A，它可以通过对角化得到一个对角矩阵D。

这样，原来的线性变换就变成了对角矩阵的线性变换。

对角矩阵的线性变换非常简单，只需要对每个坐标轴进行伸缩即可。

这种对角矩阵的线性变换在计算机图形学中有着广泛的应用，可以实现图像的缩放、旋转和平移等操作。

2. 特征值问题矩阵的特征值和特征向量在特征值问题中有着重要的应用。

特征值问题是求解形如Ax=λx的问题，其中A为一个已知矩阵，x为未知向量，λ为未知常数。

矩阵可对角化的充分必要条件即存在n个线性无关的特征向量。

对于特征值问题，我们可以通过对矩阵A进行对角化，得到特征值和特征向量。

特征值问题在物理学、工程学和计算机科学等领域中有着广泛的应用。

浅谈矩阵的对角化问题(浓缩稿)

浅谈矩阵的对角化问题(浓缩版)学号：0807402069 学生姓名：马莉莹指导老师：朱广俊数学科学学院，2008级，数学与应用数学（师范）摘要：矩阵的对角化是矩阵理论中的一个重要问题，本文利用高等代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件；从初等变换、线性方程组、特征子空间等不同角度探究了将一般矩阵和实对称矩阵对角化的若干方法；最后，分析了一些特殊矩阵的对角化问题，如幂等矩阵、幂零矩阵、实对称矩阵和Hermite 矩阵等. 关键词：对角化，特征值，特征向量，相似变换，线性变换.Abstract: Diagonalization of Matrix is an important problem in the matrix theory. We give several conditions of matrix diagonalization by the use of higher algebra related theory. We give some methods of diagonalization of general matrix and real symmetric matrix from different aspects, such as elementary transformation, system of linear equations and characteristic subspace. In the end, we analysis the diagonalization of some special matrix, such as idempotent matrix, nilpotent matrix ，real symmetric matrix and hermite matrix. Keywords : diagonalization ，eigenvalue ，eigenvectors ，similarity transformation ，linear transformation.一．矩阵相似对角化的条件由于矩阵的类型和所在数域的不同，其对角化的条件也不同. 1.任意数域上矩阵相似对角化的条件充要条件设1,,m λλ 为n 阶方阵A 的m 个互异的特征值，且它们的重数分别为1,,m s s ，1,2,,i m = .A 可对角化⇔A 有n 个线性无关的特征向量⇔对于A 的每个特征值i λ,其代数重数等于其几何重数 ⇔()i i r n s λ-=-I A ⇔A的最小多项式无重根⇔1()mii λ=-=∏I A 0⇔对于A 的每个特征值i λ，都有2()()r r λλ-=-I A I A⇔A 的初等因子都是1次的 ⇔A与某个循环矩阵相似充分条件A 有n 个不同特征值⇒A可对角化A的零化多项式无重根⇒A可对角化2.复数域上Hermite 矩阵必可酉相似于对角矩阵.3.实数域上对称矩阵必可正交相似于对角矩阵.二．矩阵对角化的若干方法（一）一般矩阵对角化的方法特征向量法是将矩阵对角化的常规方法，用该方法解决问题时需要求解齐次线性方程组，过程繁琐.下面介绍其它四种将矩阵对角化的方法. 1.矩阵乘积运算法设12,,,s λλλ 是A在数域F 上全部互异的特征值.其重数分别为12,,,s n n n ,且1sii nn ==∑，记i V λ为A 的属于i λ()1,2,,i s = 的特征子空间. 对()i λ-=I A X 0，有：（1）若A 可对角化，则对A 的每一特征值i λ，都有i n 个与之对应的线性无关的特征向量. （2）A 可对角化的充要条件是对于A 的每个特征值i λ,()ii dim V n λ=.采用类比推测，可得定理1.定理1：设12,,,s λλλ 是A 在数域F 上全部互异的特征值，其重数分别为12,,,s n n n ,且1sii nn ==∑，记i W =()1sj j j iλ=≠-∏I A ()1,2,,i s = . 对()()()12s λλλ---= I A I A I A 0，有：（1）若A 可对角化，则矩阵i W 的列向量组中有对应于i λ的i n 个线性无关的特征向量. （2）A 可对角化的充要条件是()i i rank n =W ()1,2,,i s = .定理1表明，要构造可对角化矩阵A 的相似变换矩阵P ,只需对每一特征值i λ，从矩阵乘积()1sj j j i λ=≠-∏I A 中找出i n 个与之对应的线性无关的特征向量，以这样所得的in n=∑个特征向量为列作一个n 阶矩阵即可.例1：设12202120221001⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求可逆矩阵P ，使得1-P A P 为对角矩阵. 解：由2(1)(5)(1)0λλλλ=-+--=I A ，得 11λ=-（二重），25λ=，31λ= ()()()()()123()50λλλ---=----=因为 I A I A I A I A I AI A ，所以A 可对角化.当11λ=-（二重）时：()()()()123584404840448000λλ--⎛⎫ ⎪-=--=-⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭--W I A I A I A I A 取1W 中两个线性无关的特征向量()()12844,04,8,4,0TT=--=--，，，αα. 当25λ=时：()()()()21388808880888000λλ=--⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=---W I A I A I A I A 取2W 中的特征向量()38,8,8,0T=α当31λ=时：()()()()312000000000050008λλ=--=--⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭W I A I A I A I A 取3W 中的特征向量()40,0,0,8T=-α.令()1234=，，，P αααα，则1(1,1,5,1)diag -=--P A P2.Jordan 标准形法由于复数域C 上任意n 阶矩阵A 都相似于一个Jordan 矩阵J ，所以存在可逆矩阵P ，使得1-=P A P J .如果J 为对角矩阵，则A 可对角化，否则，A 不可对角化.由于矩阵P 可逆，所以存在一系列的初等矩阵12,,,t P P P ，使得12t = P P P P .于是有：1112112t t ---= P P P A P P P J .可对A 先施行一次初等行变换后，接着施行一次相应的初等列变换,我们称此种初等变换为对A 施行了一次相似变换.显然，可对A 施行一系列的相似变换，将A 化为Jordan 形矩阵J .例2：设460350361⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭=A ，求可逆矩阵P ，使得1-P A P 为对角矩阵. 解：将A 化为Jordan 标准形3121121346026026011350010010(1)(1)361361001r r r r c c c c --⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⎪⎪⎪--−−−−−−→−−−−−−→ ⎪⎪⎪+⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝=⎝⎭⎭A1221200(2)0102001r r c c -⎛⎫+⨯- ⎪−−−−−−→ ⎪+⨯ ⎪⎝⎭由A 的Jordan 标准形知，矩阵A 可对角化且它的特征值为-2,1,1.上述过程对A 共施行了三次相似变换，且三次初等列变换对应的矩阵分别为：123100100120110,010,010001101001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭P P P所以123120110121⎛⎫⎪==-- ⎪ ⎪--⎝⎭P P P P ，且1211--⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P A P .3.λ矩阵标准形法引理1：设A 是n 阶方阵，则必能用初等变换将λ-I A 变为对角矩阵：12()()()()n t t t λλλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭T 并且多项式 ()(1,2,,)i t i n λ= 的所有根恰好是A 的所有特征值.定理2：设A 是n 阶方阵，{}12()(),(),()n diag t t t λλλλ= T 是对角形λ矩阵，()λP ，()λQ 是可逆的λ矩阵，且满足()()()()λλλλ-=P I A Q T .如果()()()((),)((),())()TTTTTTλλλλλλλ--−−−−−−−−−−→Q I A P I A I T Q Q I.即对()T λ-I A 作初等行变换和初等列变换，使其变为对角矩阵()λT .I 随着()T λ-I A 行的变化而变为()T λQ .则（1）若12(),(),()n t t t λλλ 的所有根12,,s λλλ 都在F 内，则12,,s λλλ 就是A 的所有特征值.（2）对于A 的特征值12,,s λλλ ，设第12,,,m ik k k 行是()i λT 的全部为零的行，则()T i λQ 的第12,,,m ik k k 行即构成iV λ的基.其中iV λ为特征值i λ的特征子空间.（3）A 可对角化⇔,(1,2,)i i i r m i s λ∀== ，此处i r 是i λ的重数.根据定理2即可得到λ矩阵标准形法： (1) 作初等变换：()()()((),)((),())()TTTTTTλλλλλλλ--−−−−−−−−−−→Q I A P I A I T Q Q I设{}12()(),(),,()n diag t t t λλλλ= T ，求出12(),(),,()0n t t t λλλ= 的所有解. (2) 若12(),(),,()0n t t t λλλ= 的解都在F 内，并且对每个解i λ都有()i λT 中零行的数目等于i λ的重数，则A 可对角化，转（3）；否则A 不可对角化，结束.(3) 对于A 的任一特征值i λ，若()i λT 的第12,,,m i k k k 行都为零，则取出()T i λQ 的第 1k ，2k , ,m ik 行构作:1111((),,(),,(),,())m s m sT TTTk kk s k s λλλλ= T Q Q Q Q则12112(,,,)sm m s m diag λλλ-= T AT I I I .例3：设132132264⎛⎫⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭A ，求可逆矩阵T ，使得1-T A T 为对角矩阵. 解：作初等变换：()2112100100100,33601002011222410021T λλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-+-→-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭I A I 按上述方法：（1）记2100002()00λλλλ⎛⎫⎪= ⎪ +⎪⎝⎭-T ，100()112201T λλ⎛⎫⎪=-+- ⎪ ⎪-⎝⎭Q 则1230,2λλλ===（2）当120λλ==时，(0)T 中零行的数目0=的重数2=-当32λ=时，(2)T 中零行的数目2=的重数1=-.所以A 可对角化.（3）当120λλ==时，()()()1001000,00001120021T ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭T Q 取(0)T Q 中与(0)T 中零行所对应的特征向量()11,1,2T=-α，()22,0,1T=-α 当32λ=时，()()()1001002,200011200221T ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭T Q 取(2)T Q 中与(2)T 中零行所对应的特征向量()31,1,2T=--α.令()123121,,101212--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪--⎝⎭T ααα，则1002-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭T A T =4. 数字矩阵对角形法若矩阵A 在数域F 上可对角化，则存在F 上的可逆矩阵T ，使得1-=T AT B 为对角矩阵，且B 的主对角线上的元素为A 的全体特征值.由于矩阵T 可逆，所以存在一系列的初等矩阵12,,,s T T T ，使得12s = T T T T .于是：11111112s s s ----- B =TA T =T T T A T T T ，做初等变换：⎛⎫⎛⎫→⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B I T . 即对A 施行一系列的初等行变换和初等列变换,使其变为对角矩阵B ，对I 只施行相应的初等列变换变为T .在施行初等变换时,可施行若干次行（或列）变换后再施行若干次相应的列（或行）变换，只要保持变换后所得矩阵与A 相似即可.例4：若1111111111111111⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭A ，求可逆矩阵T ，使得1-T A T 为对角矩阵.解：作初等变换：200002001111002011110002111111111111444100031110100444001013114440011131444-⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪⎪⎪--⎛⎫ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭A I 所以A 可对角化.令1111444311144413114441131444⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎪=⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ---⎪⎝⎭T ，则有120000200002002--⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭T A T .利用初等变换将矩阵对角化时，我们可以从变换后的最终矩阵中直接读出相似变换矩阵和对角矩阵，大大简化了求解过程.(二）实对称矩阵对角化的方法Schmidt 正交法是将实对称矩阵对角化的基本方法，使用该方法时需要牢记公式且计算量较大.下面我们介绍另外两种方法. 1.直接正交法该方法从向量正交的基本定义出发，直接从特征子空间中求出正交向量，易于理解和掌握，且在特征值出现重根的情况下,计算量也大为减少.例5：设 1333313333133331---⎛⎫ ⎪--- ⎪= ⎪--- ⎪---⎝⎭A ，求正交矩阵P , 使得1-P A P 为对角矩阵. 解：由3(4)(8)0λλλ-=+-=I A ，得14λ=-（三重），28λ=. 设41234(,,,)T x x x x R =∈X当14λ=-时，解齐次线性方程组(4)--=I A X 0，得1243x x x x =+-.先取一个特征向量1(1,1,0,0)T =α. 设特征向量22222(,,,)T a b c d =α.因2α与1α正交，从而有220a b +=.又因为2222a b d c =+-，所以可得2222a d c =-. 取211(,,0,1)22T =-α.再设特征向量33333(,,,)T a b c d =α.因3α与1α和2α都正交，从而有330a b +=，33311022a b d -+=.又因为3333a b d c =+-，所以可得333a c =-.取3(2,2,6,2)T =---α. 现将1α，2α，3α都单位化：122,,0,022T⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭β，2666,,0,663T ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭β，33333,,,6626T⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭β. 当28λ=时,可求得单位特征向量：41111,,,2222T⎛⎫=-- ⎪⎝⎭β.令1234(,,,)=P ββββ，则()14,4,4,8T diag ----P AP =P AP =.2.度量矩阵法对于n 维欧氏空间V ,令1,,n αα是它的一个基，它的度量矩阵()()()()1111,,,,n n n n ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A αααααααα是正定矩阵,于是A 合同于单位矩阵I ，即可求得n 阶可逆矩阵U ，使得T =U AU I .利用U 和V 的基1,,n αα作一个新基:121(,,,)(,,)n n = βββααU .那么，新基的度量矩阵即为：()()()()1111,,,,n Tn n n ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=U A U Iββββββββ.所以12,,,n βββ是欧式空间V 的标准正交基.例6：设0111101111011110-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭A ，求正交矩阵P , 使得1-P A P 为对角矩阵. 解：由3(1)(3)0λλλ-=-+=I A ，得11λ=（三重），23λ=-. 当11λ=时，解齐次线性方程组()-=I A X 0，得基础解系 1(1,1,0,0)T =α，2(1,0,1,0)T =α，3(1,0,0,1)T =-α当23λ=-时，解齐次线性方程组(3)--=I A X 0，得基础解系4(1,1,1,1)T =--α 则 1234,,,αααα是4R 一组基.记其度量矩阵为B ，那么21101210112004-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭B 对矩阵⎛⎫ ⎪⎝⎭B I 作合同变换：⎛⎫ ⎪⎝⎭B I =2110121011200004100001000010001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭→1000010000100001263026663003630002102⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.取263026663003630002102⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭U ，则有1111T ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭U B U . 利用U 和基1234,,,αααα作新基:12341234(,,,)(,,,)=ββββααααU .则： 122,,0,022T⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭β， 2666,,,0663T⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭β. 33333,,,6662T⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭β， 41111,,,2222T⎛⎫=-- ⎪⎝⎭β.由于1234,,,ββββ的度量矩阵T =U B U I ，故1234,,,ββββ是4R 的标准正交基.令1234(,,,)=P ββββ，则P 是正交矩阵且1T -P AP =P AP .三.特殊矩阵的对角化 1.幂等矩阵定理3：n 阶幂等矩阵A一定可以对角化，并且A的相似标准形是 0r⎛⎫⎪⎝⎭I ，其中()r rank =A ,r I 是r阶单位矩阵.证明：因为2=A A ,所以A 有零化多项式2()(1)g λλλλλ=-=-，因为()g λ无重根，所以A可对角化.而A 的特征值只有0和1，所以A 的相似标准形是0r⎛⎫⎪⎝⎭I ,其中()r rank =A .由该定理可以推出幂等矩阵的若干性质：性质1：幂等矩阵A 的迹等于A 的秩.证明：设A 是数域F 上的一个n 阶幂等矩阵，()r rank =A .如果0r =，则()0()rank tr ==A A .如果r n =，则=A I ．从而()()rank n tr ==A A ．下面设0r n <<.由A 的相似标准形0r⎛⎫⎪⎝⎭I 得： ()((,0))()r rank r tr diag tr ===A I A ．性质2：任意n 阶矩阵A 都可以表示成为一个可逆矩阵与一个幂等矩阵的乘积. 证明：设n 阶方阵A 的秩为r ，则存在n 阶可逆矩阵,P Q 使得： 000r ⎛⎫=⎪⎝⎭I PA Q 所以1111100()()0000r r -----⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭I I A PQ P Q Q Q . 令11--=B P Q ，1000r -⎛⎫=⎪⎝⎭I C Q Q .易知B 为可逆矩阵.因为2=C C ，所以C 为幂等矩阵.即任意n 阶矩阵A 都可以表示成为一个可逆矩阵与一个幂等矩阵的乘积.2.幂零矩阵引理2：若()f λ 为A 的特征多项式，()m λ为A 的最小多项式，则()()f m ==A A 0. 引理3：设12,,,n λλλ 为n 阶矩阵A 的特征值，则对任意的多项式()f x 有()f A 的特征值为12(),(),,()n f f f λλλ .幂零矩阵具有下列性质：性质3：A 为幂零矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为0.证明：（必要性) 若A 为幂零矩阵，则存在正整数k ，使得k =A 0.令0λ为A 的任意一个特征值，则存在≠α0,使得0λ=A αα.由引理3知0k λ为k A 的特征值. 所以存在 ≠β0，使得 0k k λ=A ββ，从而有00k λ=即有00λ=.又由k =A 0，知00kk ==⇒=A A A ，所以 0(1)(1)00k k ⨯-=-=-=-⋅=I A A A . 所以00λ=为A 的特征值.由0λ的任意性知A 的特征值全为0.（充分性）因为A 的特征值全为0, 所以A 的特征多项式为()n f λλλ=-=I A ,由引理2知()n f ==A A 0,所以A 为幂零矩阵.性质4：若A 为幂零矩阵且≠A 0，则A 不可对角化.证明：若A 可对角化，则存在可逆矩阵P ，使得1-=A P DP ，此处D 是n 阶对角形.若A 为幂零矩阵，则存在正整数k ，使得k =A 0，即： 11()k k k --===A P DP P D P 0，因为1110kk k k k ---=====P D P P D P P P D D D ，所以有： 10,,-====D D 0A P DP 0，与题设矛盾.3.幂幺矩阵性质5：幂幺矩阵在复数域上可对角化.证明：若A 为幂幺矩阵，则存在正整数k ，使得k =A I ，所以A 有零化多项式()1k g λλ=-. 因为在复数域上，()g λ的根都是k 次单位根，故()g λ无重根，所以A 可对角化.注意：A 在实数域上不一定可对角化！例如0110-⎛⎫=⎪⎝⎭A ，满足4=A I ，即A 为幂幺矩阵，但是2()1f λλλ=-=+I A 在实数域上无根，所以A 在实数域上不可对角化.4.实对称矩阵性质6：实对称矩阵的不同特征值的特征向量相互正交.性质7：设λ是实对称矩阵的k 重特征值，则对应于特征值λ，矩阵有k 个线性无关的特征向量. 定理4:设A是一个n n ⨯实对称矩阵.则存在一个正交矩阵P,使得()112,,,Tn diag λλλ-== P AP PAP ,并且i λ是实数，1,2,,i n = .证明：设A的互不相等的特征值为12,,,()s s n λλλ≤ ，并且它们的重数依次为1212,,,()s s r r r r r r n +++= .则对于特征值(1,2,,)i i s λ= ，恰有i r 个线性无关的实特征向量.把它们正交化并单位化，即得i r 个单位正交的特征向量.由12s r r r n +++= 知，这样的特征向量共可得n 个.由于不同特征值的特征向量正交，故这n 个单位特征向量两两正交，以它们为列向量作成正交矩阵P ，则：1T -=P AP P AP 为一个实对称矩阵111,,,,,,s s sdiag r r λλλλ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.5.Hermite 矩阵欧氏空间实质上是实数域上的一个内积空间.类似地考虑复数域上的内积空间—酉空间和酉空间上的线性变换.与正交变换和实对称矩阵类似，酉空间中有酉变换与Hermite 矩阵.性质8：设n n C ⨯∈A 是Hermite 矩阵，则A 的特征值均为实数.证明：设λ为A 的特征值，α为其对应的特征向量，即λ=A αα，那么： (,)(,)(,)(,)(,)(,)λλλλ=====ααααααααααααA A 但(,)0>αα，所以λλ=，即λ为实数.性质9：设n n C ⨯∈A 是Hermite 矩阵，则对应于A 的不同特征值的特征向量必正交. 证明：设,λμ是A的两个不同的特征值，,αβ分别是它们所对应的特征向量，则有λ=A αα，μ=A ββ.(,)(,)(,)(,)(,)(,)λλμμ=====αβαβαβαβαβαβA A ，即()(,)0λμ-=αβ.由于A 的特征值为实数，也即()(,)0λμ-=αβ.又因为λμ≠，所以(,)0=αβ，即,αβ正交.引理4：设n n C ⨯∈A ，则存在一个酉矩阵P ，使得1-P A P 是一个上三角形矩阵.定理5：设n n C ⨯∈A ，并且A是Hermite 矩阵，则存在一个酉矩阵P , 使得()112,,,Hn diag λλλ-== P AP PAP ,并且i λ是实数，1,2,,i n = .证明：由引理4知存在一个酉矩阵P ,使得 ()1H ij n n g -⨯===G P AP P AP 是一个上三角形矩阵.又P 是一个酉矩阵，故G 也是Hermite 矩阵.于是，对任意,,1i j i j n ≤<≤，都有ij ji g g =，这迫使当1,2,,,1,2,,,i n j n i j ==≠ 时，有0ij g =；并且i ii g λ=是实数，1,2,,i n = .因此，Hermite 矩阵必定可以对角化，且它的特征多项式的复数根都是实数.。

矩阵可对角化的充分必要条件论文

学号 **************密级兰州城市学院本科毕业论文矩阵可对角化的充分必要条件学院名称：数学学院专业名称：数学与应用数学学生姓名：练利锋********二○一二年五月BACHELOR'S DEGREE THESIS OF LANZHOU CITY UNIVERSITYMatrix diagonalization of the necessary and sufficient conditionCollege : MathematicsSubject : Mathematics and Applied MathematicsName : Lian LifengDirected by : Li XudongMay 2012郑重说明本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的，所以数据、资料真实可靠。

尽我所能，除文中已经注明应用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有的著作权的内容。

对本论文所涉及的研究工作做出的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。

本学位论文的知识产权归属于培养单位。

本人签名 : 日期 :摘要矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。

对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。

本文给出了矩阵可对角化的几个充分必要条件和相应的证明。

关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化ABSTRACTMatrix diagonalization is a very important nature of matrix．Understanding the necessary and sufficient conditions of similarity can be diagonalized , has been a difficult problem in linear algebra．In this paper, several necessary and sufficient conditions and the corresponding proofs of matrix diagonlization have been given．Key words：square；eigenvalue；eigenvector；diagonalization目录第1章绪论 (1)第2章矩阵可对角化的概念 (2)2.1特征值、特征向量的概念 (2)2.2矩阵可对角化的概念 (2)第3章矩阵可对角化的充分必要条件 (4)3.1矩阵可对角化的充分必要条件及其证明 (4)3.2可对角化矩阵的相似对角阵的求法及步骤 (8)第4章矩阵可对角化的应用 (9)第5章结论 (11)参考文献 (12)致谢 (13)第1章绪论矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。

矩阵对角化及应用论文

矩阵对角化及应用理学院数学082 缪仁东指导师：陈巧云摘要:本文是关于矩阵对角化问题的初步研究,对矩阵对角化充要条件的归纳,总结,通过对实对称矩阵,循环矩阵,特殊矩阵对角化方法的计算和研究,让读者对矩阵对角化问题中求特征值、特征向量,求可逆矩阵,使对角化,提供了简便,快捷的求解途征.关键词:对角矩阵;矩阵对角化;实对称矩阵;特征值;特征向量.矩阵对角化是矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,关于矩阵对角化问题的研究,这方面的资料和理论已经很多.但是他们研究的角度和方法只是某个方面的研究,没有进行系统的分类归纳和总结.因此,我就针对这方面进行系统的分类归纳和总结,对一些理论进行应用和举例,给出算法.特别给出了解题时方法的选择.1．矩阵对角化概念及其判定所有非主对角线元素全等于零的n 阶矩阵,称为对角矩阵或称为对角方阵.定义1.1 矩阵A 是数域P 上的一个n 级方阵. 如果存在一个P 上的n 级可逆矩阵X ,使1X AX - 为对角矩阵,则称矩阵A 可对角化.矩阵能否对角化与矩阵的特征值特征向量密切相关.定义 1.2 设A 是一个n 阶方阵,λ是一个数,如果方程组AX X λ= (1)存在非零解向量,则称λ为的A 一个特征值,相应的非零解向量X 称为属于特征值λ的特征向量．（1）式也可写成,()0E A X λ-= (2)这是n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式=0E A λ-, (3)即1112121222120n nn n nna a a a a a a a a λλλ------=---上式是以λ为未知数的一元n 次方程,称为方阵A 的特征方程．其左端A E λ-是λ的n 次多项式,记作()f λ,称为方阵的特征多项式．111212122212()||n nA n n nna a a a a a f E A a a a λλλλλ------=-=---111n n n n a a a λλλ--=++++显然,A 的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解,其个数为方程的次数（重根按重数计算）,因此,n 阶矩阵A 有n 个特征值．设n 阶矩阵()ij A a =的特征值为12,,n λλλ,由多项式的根与系数之间的关系,不难证明（ⅰ）121122n nn a a a λλλ+++=+++;（ⅱ）12n A λλλ=.若λ为A 的一个特征值,则λ一定是方程=0A E λ-的根, 因此又称特征根,若λ为方程=0A E λ-的i n 重根,则λ称为A 的i n 重特征根．方程 ()0A E X λ-=的每一个非零解向量都是相应于λ的特征向量,于是我们可以得到求矩阵A 的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算A 的特征多项式E A λ-；第二步：求出特征方程=0E A λ-的全部根,即为A 的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值λ,求出齐次线性方程组：()0E A X λ-= 的一个基础解系12,,,s ξξξ,则A 的属于特征值λ的全部特征向量是 1122s s k k k ξξξ+++（其中12,,,s k k k 是不全为零的任意实数）．设P 是数域, Mn (P ) 是P 上n ×n 矩阵构成的线性空间, A ∈Mn (P ) , 1,2t ,,λλλ 为A 的t 个互不相同的特征值,高等代数第二版（北京大学数学系几何与代数教研室编）第四版（张和瑞、郝炳新编）课程中,我们学过了矩阵可对角化的若干充要条件如： (1) A 可对角化当且仅当A 有n 个线性无关的特征向量; (2) A 可对角化当且仅当特征子空间维数之和为n ; (3) A 可对角化当且仅当A 的初等因子是一次的; (4) A 可对角化当且仅当A 的最小多项式无重根我们知道线性变换A 的特征多项式为f (λ) ,它可分解成一次因式的乘积1212()()()()i r r r i f λλλλλλλ=---则V 可分解成不变子空间的直和其中i V = {ξ|iri 12-==s V V V V λ⊕⊕⊕（A E ）;ξ∈V}引理 1.1:设A, B 都是n 阶矩阵, 则秩( AB) ≥秩( A) + 秩( B) - n.定理 1.1:设A 是实数域F 上的一个n 阶矩阵, A 的特征根全在F 内, 若1λ, 2λ,...,K λ 是A 的全部不同的特征根, 其重数分别为1r , 2r ,... k r , 那么 (Ⅰ) 可对角化的充要条件是()i j i jE A r λ≠⎛⎫-= ⎪⎝⎭∏秩 j=1, 2,.......k(Ⅱ) 当( 1) 式成立时,()ii jE A λ≠-∏ 的列空间就是A 的属于特征根iλ的特征子子空间.证明: (Ⅰ) 设A 可对角化, 则存在可逆阵T, 使{}11122,,...,k K T AT diag E E E λλλ-=这里右边是分块对角矩阵, j E 为i r 阶单位阵, 于是有()()()11i i i i j i j i j E A T E A T E T AT λλλ--≠≠≠⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∏∏∏秩秩秩={}()122,,...,i K K i j E diag E E E λλλλ≠⎛⎫-⎪⎝⎭∏秩=()()(){}12,,...,,i j i j i j Ki j diag E E E λλλλλλ≠⎛⎫---⎪⎝⎭∏秩 =()0,0,...0,,0,0,...,0i j j j i jdiag E r λλ≠⎛⎫⎧⎫-= ⎪⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭∏秩 j=1,2, ......k.反之,若()()ijE A r λ-=∏秩i=1,2,.....k, 反复用引理可得()()()()()22i j i i i ji jE A E A K n n r k n λλ≠≠-≥---≥---∑∑∏秩r 秩 i j i jn r r ≠=-=∑ j=1,2,...,k.这里用到了齐次线性方程组()0i E A X λ-=的解空间的维数不大于i λ的重数不大于j r 这个结论.于是又()()iii j i jE A n r λ≠≠-=-∑∑秩从而()i iA n r λ-=-秩 i=1,2,......k. 这样的矩阵可以对角化.(Ⅱ)设( Ⅰ)式成立,则A 可对角化.故A 的最小多项式为()1kii x λ=-∏从而()10kii E A λ=-=∏ 即 ()()0i ii jE A E A λλ≠--=∏这就是说,列空间包含在i λ的特征子空间中,但是由(1), ()ii jE A λ≠-∏的列空间的维数是n,它正是j r 的特征子空间的维数,所以结论(Ⅱ) 成立.推论: 设A 为实数域F 上的n 阶矩阵,A 的特征根全为F 内,且1λ, 2λ 是A 的全部不同的特征根, 其维数分别为1r , 2r , 若秩()12E A r λ-=,秩()21E A r λ-=,则A 可以对角化,且()E A λ-的列向量组的极大无关组恰是属于2λ 的极大线性无关的特征向量组,2E A λ-的列向量组的极大无关组恰是属于1λ的极大无关的特征向量组.例1: 判断A=460350361⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭能否对角化,并求特征向量.解: 易知A 的特征根1λ =-2 , 2λ =1.1E A λ- =660350363--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ 和2E A λ- =360360360--⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的秩分别为2与1,故A 可对角化. 又因为可以选取001⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭和210-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭为的列空间的一个基,111⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭是属于1λ的特征向量.定理和推论把判断矩阵是否对角化的问题与求它的特征向量的问题联系起来,给出了一个不用解线性方程组而求得可对角化矩阵的特征向量的方法, 在矩阵的不同特征根较少时, 这个方法较方便.2．实对称矩阵对角化的计算方法我们知道任意实对称矩阵,总正交相似于一对角阵. 该对角阵的对角元即为实对称矩阵的特征值, 正交相似变换矩阵的各列构成相应的特征向量. 给定一实对称阵A ,如何求正交相似变换矩阵P ,使1T P AP PAP -=为对角阵. 理论上的解决方法为:首先利用特征方程: | λI - A | = 0 求出全部特征值,针对不同特征值求出相应的完全特征向量系,合在一起构成实对称阵A 的完全特征向量系. 再利用施密特正交化法得到 A 的规范化正交特征向量系. 以此作为列向量得到正交相似变换矩阵P , 1T PAP PAP -=为对角阵, 参见文献[5 ]. 此方法理论可行,但在具体操作时,由于要事先求出实对称阵A 的全部特征值,操作上有如下困难: (1) 特征方程: | λI- A | = 0 给出困难; (2) 特征方程求根困难(5 次以上的代数方程没有统一的求根公式) . 因此有必要寻求方法.定义2.1 (瑞雷商) 设A 为n 阶实对称阵,对于任一n 维非零列向量x ,称R ( x) =( A x , x)/( x , x) 为关于向量x 的瑞雷商.引理2.1 设A 为n 阶实对称阵, 1λ≥2λ≥......≥n λ 为A 的特征值.()()()()11/{0}/{0},,max ,min,,nnx R x R Ax x Ax x x x x x λλ∈∈== 定义2.2 设w 为n 维列向量,且T w w = 1 ,则n 阶矩阵H = I - 2Tww 称为Householder 阵.引理2.2 Householder 矩阵具有如下性质: (1) TH H =(2) T TH H HH I == ( H 是正交阵) .引理2.3 设x , y ∈nR , x ≠y , X Y =,则存在Householder 矩阵H, 使Hx = y. 其中()()22/TH I x y x y x y =----定理2.1 设A 是实对称矩阵,λ, x (2X= 1) 是A 的一个特征值和相应的特征向量,则存在P 为一个正交阵,使Px =1e = ()1,0,0 0. 且TPAP 的第一行和第一列的第一个元素为λ,其余元素均为零.证设A 是实对称矩阵, 1λ≥ 2λ≥ ...≥ n λ为A 的特征值. 根据引理2.1 ,利用多元函数求极值的拉格朗日乘数法,可求得1λ 及相应的规范化特征向量1X . 不妨假设‖1X ‖ = 1 ,由引理2.3 ,存在1P 为一个正交阵,使11P X =1e =()1,0,0, 0.且TPAP 的第一行和第一列的第一个元素为1λ , 其余元素均为零. 设111100TP AP A λ⎛⎫=⎪⎝⎭, 为对称阵,故1A 也为对称阵,设2λ 及2X 为1A 最大特征值及相应的规范化特征向量,则根据引理2.3 ,存在2Q 为一个正交阵,使()2211,0,0, 0Q x e ==.且212T Q A Q 的第一行和第一列除2λ 外其余元素均为零. 令22100P Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭,容易验证2P 亦为正交阵, 满足:1121122212200000000T TT P P AP P Q AQ A λλλ⎛⎫⎛⎫⎪==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭依此类推, 存在正交阵1p ,2p , ⋯,1n p -, 使得1n p -...2p 1p 121...T T Tn Ap p p D -=,则T PAP =D,其中 D 为对角阵,令121P P P P n -=,则TPAP D =,P 即为将实对称阵对角化的正交相似变换矩阵.例2: 设矩阵210210582811A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 1λ≥2λ≥3λ为A 的特征值.按上面的算法进行对角化,求出正交矩阵P 及特征根和特征向量.解: (1)利用瑞雷商和多元函数求极值的拉格朗日乘数法,可求得1λ = 18 ,相应的特征向量为1122,,333Tx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2) 计算正交矩1p =()()211112/Tp I x e x e x e =----=122333221333212333⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭,满足()1111,0,0T p x e ==且111800090009TP AP ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,至此已实现对角化. 借此可求得= 2λ=9 , 3λ = - 9. 相应的特征向量分别为2212,,333Tx ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭,3221,,333Tx ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.3．循环矩阵对角化方法的研究在复数域 C 上,形如012110121230........................n n n a a a a a a a a A a a a a ---⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭的矩阵,称关于元素列011,,...,n a a a -的循环矩阵.已知n 阶循环矩阵010 (00)01...0 (1)00...0K ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭,并令ii K K = (1,2,,)i n =,称121,,,....,n E K K K -为循环矩阵基本列(其中E = n K 为单位矩阵).循环矩阵基本列有如下特点: ①121,,,...,n E K K K -都是循环矩阵;②n i i K K += ,即n i iK K +=;③n 阶循环矩阵K 有n 个特征根: cossinm mx mxi n nλ=+ (0,1,,1)m n =-④关于元素列0121,,,...,n a a a a -的n 阶循环矩阵 A 可用循环矩阵基本列表示为210121...n n A a E a K a K a K --=++++,反之,能用循环矩阵基本列线性表示的矩阵,则一定是循环矩阵. 循环矩阵的性质性质1 同阶循环矩阵的和矩阵为循环矩阵. 性质2 同阶循环矩阵的乘积满足交换律.性质3 同阶循环矩阵的乘积为循环矩阵. 性质4 循环矩阵的逆矩阵为循环矩阵.n 阶矩阵A 关于多项式函数f (x) 生成的矩阵为f (A) ,A 的特征根与f (A) 的特征根有下面的结论:命题3.1 设f (x) 是一个n - 1 次多项式函数,若λ是矩阵A 的特征根,则 f (λ) 是矩阵f (A) 的特征根.命题3.2 设f (x) 是一个n - 1 次多项式函数,若矩阵A 相似于矩阵B , 则矩f (A) 相似于矩阵f (B) .考察n 阶循环矩阵K,K 的特征多项式为:()211,(n i njjnj E K ei πλλληη-=-=-=-==∏如果n 阶循环矩阵A 记为()210121...n A n A f K a E a K a K a K --==++++不难求得K 中与特征值j η相应的特征向量,记:()11...j j n x ηη-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, ()()22......11j j j j j j j j kx x ηηηηηη⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则由命题3.1得()()()()()jjj j A A Ax f K x f x η==,可以验证()()()()1111000,1,.11,1n n m kmkk k m xxm k mηη---==≠⎧==-=⎨=⎩∑∑.将这n 个两两正交的向量()j x 单位化,可得标准正交基()()()011,,...,n x x x -⎫⎬⎭,令矩阵()()()21011242(1)(1)2(1)(1)(1)111 (1)1...,,...,1..................1...n n n n n n n T x x ηηηηηηηηη-------⎛⎫ ⎪⎪⎫⎪==⎬⎪⎭⎪ ⎪⎝⎭则()()())0111',...n TT x x x --==命题 3.3 任意n 阶循环矩阵()A A f K = 在复数域 C 上都可对角化,即1T AT -=11[(0)(),...,()]n A A A diag f f f ηη-推论 n 阶循环矩阵A 可逆的充要条件是()0iA f η≠(i=0,1,...,n-1).例3:求四阶循环矩阵1234412334122341A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭的特征根,并对角化.解: 令23()1234f x x x x =+++ 得 ()()A A f K =,0100001000011000K ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭由于2i nei πη==, 所以A 的特征根分别为:()()0A f η=10 , ()()1A f η=-2-2i, ()()2A f η=-2, ()()3A f η=-2+2i11111111111211i i T i i ⎛⎫ ⎪--- ⎪= ⎪-- ⎪---⎝⎭, 111111*********i i T i i -⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭4．特殊矩阵特殊对角化的研究前面对实对称矩阵循环矩阵的对角化问题作了研究,本部分主要讨论,当矩阵只有两个特征根时的对角化问题,方法简捷. 对于数域F 上的n 阶矩阵A ,若仅有的两个特征根都在F 内,并且可以对角化,不通过解线性方程组求特征向量,而用初等变换求出可逆矩阵T,使1T AT -为对角形矩阵.定理4.1 设数域F 上的n 阶矩阵A 可以对角化,其特征根为1λ,2λ,如果()10n s n n s B I A p I λ⨯⨯-⎛⎫-⎛⎫−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪*⎝⎭⎝⎭初等变换P,B 为列满秩矩阵,那么(i) A 的属于1λ 的线性无关的特征向量为P 的n s -个列向量;A 的属于2λ的线性无关的特征向量为B 的s 个列向量.(ii) 令T = ( P ,B) ,则T 可逆,且有11122......T AT λλλλ-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中1λ 有n s -个, 2λ有s 个.证因为初等矩阵不改变矩阵的秩,且B 为列满秩,则()12s B I A λλ==-=秩秩的重数. （i ）根据矩阵的初等变换和分块矩阵的运算性质,可得()())()(1,0n n s I A P B λ⨯--*=，从而()10I A P λ-= 因P 为列满秩矩阵,则P 的n s -个列向量为齐次线性方程组()10I A X λ-= 的基础解系,亦即P 的n s - 个列向量为A 的属于1λ的线性无关的特征向量. 又A 可以对角化,且2λ的重数为s ,则有可逆矩阵Q,使得11122......A Q Q λλλλ-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 令1122......D λλλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则有()()()()111212I A I A I Q DQ I Q DQ λλλλ----=--=()()1112QI D QQ I D Q λλ----=()()112Q I D I D Q λλ--- = 10Q OQ -=由于B 的列向量为1I A λ- 的列空间的基,则B 的s 个列向量为齐次线性方程组()10I A X λ-=的基础解系, B 的s 个列向量为A 的属于2λ的线性无关的特征向量.(ii) 因矩阵A 的属于不同特征根的特征向量线性无关,且特征向量的个数之和等于A 的阶数n ,于是, 令 )(,T P B = 即有1T AT D -=例4:令矩阵001010100A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求可逆矩阵T,使得1T AT -为对角形式.解: 方法一,先求A 的特征根()0101010A f λλλλ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭= ()()211λλ-+则1λ = 1 (二重) , 2λ = - 1. 可见,此例为定理所述的情况.对矩阵1I A I λ-⎛⎫⎪⎝⎭作初等列变换,即11011000000001011000100101010010001001I A B I P λ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎛⎫⎛⎫=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪*⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以,由定理4.1 知,A 的属于2λ = - 1 的线性无关的特征向量为()11,0,1Ta =-;A 的属于1λ = 1 的线性无关的特征向量为()20,1,0Ta = , ()31,0,1Ta =令011100011T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,则有1111T AT -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 这与[1 ]的结果一致.方法二在矩阵()I A λ-中,亦可取21λ=-,这时1011000200201011000100101010010001001I A B I P ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎛⎫⎛⎫=→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-*⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则A 的属于1λ=1 的线性无关的特征向量为()11,0,1Ta =-- , ()20,2,0Ta =- ;A 的属于2λ=- 1 的线性无关的特征向量为()21,0,1Ta =-令101020101T --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,则有1111T AT -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.5．常规矩阵对角化方法的新探众所周知,对数域P 上一个n 阶矩阵A 是否存在一个可逆矩阵T ,使得1T AT -为对角形矩阵,当这种矩阵存在时,如何去寻求它.一般有关教材中都是先计算一个行列式,求出A 的特征值,再利用线性方程组和特征向量的有关理论及求法解决此问题的.在这里利用矩阵的初等变换解决此问题的,它比教材中的常规方法简单一些,因为不必解若干的齐次线性方程组,有时也不必计算行列式.5.1理论依据为说话方便,我们规定如果数域P 上,对n 阶矩阵存在一个可逆矩T ,使得1T AT -为对角形矩阵, 则称矩阵在数域P 上可对角化.当可对角化时, 我们说将A 对角化,即指求矩阵T ,使1T AT -为对角形矩阵.若矩阵n 在数域P 上可对角化, 则有P 上可逆矩阵T ,使得1T AT B-=为对角形矩阵.于是B 的主对角线上的元素,即为A 的全体特征值, 并且可表示：12,...S T Q Q Q = 其中i Q 为初等矩阵,i=1,2,...,s,于是,1111112......SS S B QQ Q AQ Q Q ----=,又1i Q -也是初等矩阵, 由初等矩阵与矩阵的初等变换的关系, 即知11Q AQ - , 相当于对A 施行了一次初等行变换与一次初等列变换.这里, 我们称此种初等变换为对A 施行了一次相似变换.显见, 可对A 施行一系列的相似变换化为B .又由, 12...S T EQ Q Q =（E 此处表单位矩阵）可如下进行初等变换, 则可将A 化为对角形矩阵B , 且可求得T ：A AB E T ⎛⎫⎛⎫−−−−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对施行一系列相似变换,对E 只施行其中的初等列变换. 当A 不可对角化时, 也可经相似变换化简A 后, 求得其特征值, 判定它可否对角化. 类似地, 可由111111...S S TQ Q Q E -----=,做如下初等变换则可将A 化为对角形矩阵B,且可求得T 或由B 求A 的特征值, 判定可否对角化：()()A AE B T −−−−−−−→对施行一系列相似变换,对E 只施行其中的初等行变换.并且在施行相似变换时, 不必施行一次行变换后接着施行一次列变换这样进行, 可施行若干次行或列变换后再施行若干次相应的列或行变换, 只要保持变换后, 最后所得矩阵与Ａ相似即可.5.2 应用举例为叙述简便,这里用i r 表示i 第行,i c 表示第i 列,i j r kr +表示用数k 乘第j 行后再加到第i 行上,i j c kc +表示用数k 乘第j 列后再加到第i 列上.例5 求如下矩阵的特征值, 并判定它们可否对角化,若可则将其对角化:(1)511602311A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, (2)1111111111111111B ⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭. 解：（1）由31511`602202r r A +-⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭ 13411402002c c C --⎛⎫⎪−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭,知A 与C 相似. 易得,C 的特征值为2,2,2,且2E-C 的秩为2,所以C 不能对角化,从而知A 的特征值为2,2,2且A 不可以对角化.（2）由1,2,3,41111111111112200111120201111200210001000010001000010001000010000i r r i +=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎪ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1,2,3,4i c c i -=−−−−−→ 1111,2,3,4,2,3,4441112111222202000200002000200002000210001000110011001010101010011001i i r r i c c i -=+=⎛⎫--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−−→−−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-⎝⎭20000200002000021111444311144413114441131444-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭, 知B 可以对角化,B 的特征值为-2,2,2,2.令1111444311144413114441131444T ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--- ⎪=⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ---⎪⎝⎭, 则12000020000200002T AT --⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭.当不易直接用相似变换化简判定时, 可先求出特征值, 再用相似变换.例6判定1200320000230043A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭可否对角化,若可,则将其对角化. 解法1（教材中的方法）由120032000023043x x xE A x x ---=-- ()()()2461x x x =--+,知A 的特征值为4,6,-1,-1.解齐次线性方程组()40E A X -=得一基础解系23100⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解齐次线性方程组()60E A X -=得一基础解系00341⎛⎫ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解齐次线性方程组()0E A X --=得一基础解系1100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,0011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭于是可,A 可对角化,且取201031010*******01T ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪=⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则140060000100001T AT -⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪-⎝⎭.解法2由12003200002300431000010000100001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 2143,r r r r --−−−−→ 12,3412004400002300661000010000100001c c c c ++-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12000400001300061000110000100011--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123423,57r r r r --−−−−−→2100504003001700061000110000100011⎛⎫-- ⎪⎪⎪⎪-- ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭214323,57c c c c --−−−−−→100004000010000621005310053001740017-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭知,A 可对角化,且取.21005310053001740017T ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,11000040000100006T AT --⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭两法比较, 法2比法1简便, 因不必计算行列式和解几个线性方程组.上述内容为本人对各类基本常见的矩阵类型的对角化计算方法,计算技巧的一些探讨,比较传统的计算方法、计算技巧,有一些优越性.计算简便,步骤简单具体,有较强的实用性.参考文献：[1] 张禾瑞赫炳新高等代数[M] 第四版北京：高等教育出版社 1998.166－410[3] 毛纲源线性代数[M] 解题方法与技巧归纳第二版华中科技大学出版社 1997,7.213－241. [4] 丘维声抽象代数[M] 北京：高等教育出版社 2003.160－190.[5] 王萼芳石生明高等代数[M] 北京：高等教育出版社 1987.176－254. [6] 王萼芳高等代数教程[M] 北京清华大学 1996.91－184.[7] 张爱萍循环矩阵的性质及其对角化[J] 广西师范自然科学报,2000,12.No.8.168－170. [8] 高吉全矩阵特征根与特征向量的同步求解方法探讨[J] 数学通报,1991.12.No.7.23－26. [9] 郭亚梅．最小多项式与矩阵的对角化[J]河南机电高等专科学校学报．2006．No.4．106－108． [10]张正成可对角化矩阵的应用[J] 科技资讯.2007.No.24.252－253.[11]张学元线性代数能力试题解题[M] 武汉：华中理工大学出版社, 2000.34－37 [12]向人晶矩阵可对角化的简单判定[J] 数学通报,2003,3.No.12.13－15.[13]靳廷昌有两个特征根矩阵对角化[J] 数学通报,1997,11.No.23.53－57.[14]李世余代数学的发展和展望[J] 广西大学学报．1985．No．1.146－148.[15]周立仁矩阵同时对角化的条件讨论[J] 湖南理工学院学报．2007．Vol.20．No.1．8－10．致谢本论文是在指导师陈巧云老师细心指导下完成.陈老师认真、负责、真诚的做人态度和作为教师对学生不倦教诲的精神,令我很受触动.同时,在论文的选题、修改、定稿都凝聚了陈老师的大量心血.陈老师尽心的指导与严格的监督,促使我最终完成了论文.值此论文完成之际,我谨向陈老师致以深深的敬意和感谢!On the martix diagonatization and application College of science Mathematics 082 Miao Rendong Director:Chen QiaoyunAbstract:This paper initially studied about matrit diagonatization concluding and summarizing about the necessary condition of matrix diagonalization,Through caclulation and research on read synmetrices matrices,cycle matrix,and special matrix diagonalizational ways it proride simple and fast ways of solution on the question of matrix diagonalization in the characteristic root,charateristic rector,and reversible matrix.Key words:diagonal matrix; matrix diagonalizationv; real symmetric matrix;eigenvalue; eigenvectors。

矩阵对角化问题数学毕业论文

矩阵对角化问题高等代数中，在讲到线性空间和线性变换时，一个主要内容是讨论矩阵对角化,即在什么条件下矩阵与对角矩阵相似.而矩阵对角化的原始问题是：设V 是有限维复线性空间,A 是V 上的线性变换，能否在V 中找到一个基,使得A 在这个基下的矩阵比较简单.作为纯粹的几何问题就是V 能否分解成一些不变子空间的直和.讨论这个几何问题的证明对于了解线性空间有很大好处.本文将对V 分解成所谓根子空间的直和给出一种较为初等的证明，并由根子空间分解定理推出线性变换(或n 阶方阵)可对角化的充要条件.把这些充要条件与其他线性变换（或n 阶方阵）可对角化的充要条件进行汇总比较，从而得到线性变换的矩阵对角化的方法的优劣，便于学习和研究根据具体情况选用.1．预备知识1.1有关定义定义 1.1.1[]1 线性空间V 一个变换A 称为线性变换，如果对于V 中任意的元素αβ和数域P 中任意数K 都有A (α+β)=A （α）+A （β）A (k α）=k A(α) 定义1.1.2[]1 设A 是数域P 上的线性空间V 的线性变换，W 是V 的子空间，如果W 中的向量在A 下像仍在W 中，换句话说，对于W 中任一向量ξ，有A ξ∈W ,我们就称W 是的A 不变子空间，简称A -空间.定义 1.1.3[]1设1V ,2V 线性空间V 的子空间，如果和1V +2V 中每个向α=1α+2α,1122,V V αα∈∈是唯一的,这个和就称为直和.定义1.1.4[]1如果数域P 上的n 阶矩阵A 相似于对角阵，则A 可对角化定义1.1.5[]1设A 是数域P 上的n 阶矩阵，如果数域P 上的多项式()f x 使得()f A = 0,则称()f A 以A 为根.在以A 为根的多项式中次数最低且首相系数为1的多项式称为A 的最小多项式.定义1.1.6 设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换，如果存在非零向量V ξ∈,数λ∈P ,m ∈N,使得()0m A λεξ-=，那么称ξ为属于λ的根向量.线性变换A 的属于特征根λ的根向量的全体，再添上零向量所组成的V 的子集是V 的一个子空间，称V 的这个子空间为A 的属于特征值λ的根子空间.Sylvester 不等式设,A B 均为n 阶矩阵，秩（A ）+秩(B )≤n +秩（AB ）1.2 线性空间根子空分解定理引理设A 是n 维复线性空间V 的线性变换, 12,...s λλλ是A 的所有不同的特征值,且12...s V V V V λλλ=++其中12,,...,s V V V λλλ是V 的全部根子空间,则i A λε-在i V λ上为幂零线性变换,而在1211......i i s V V V V V λλλλλ-+++++++上为可逆线性变换.证明不失一般性,只证明1A λε-在1V λ上为幂零线性变换,而在23...s V V V λλλ++上为可逆线性变换.在1V λ中取一个基 12,...t γγγ, 则有正整数12,...t p p p ,使1()0i p i A λεγ-= , i = 1，2，…, t ,取p = max {}12,...t p p p , 有()10pi A λεγ-=, i = 1 ,2…t ,于是对任意γ∈1V λ，令1ti i i k γγ==∑,则1()pA λεγ- =1()pA λε-(1ti ii k γ=∑ )=11()0tPii i k A λεγ=-=∑ ,即在1V λ上,1()p A λε- =ϑ (ϑ为零变换) ,所以1A λε-在1V λ上为幂零线性变换.令W =2...s V V λλ++,若1()A W λε-不可逆,则1()A W λε-一定有一个特征根是0 ,因而1A λε-在W 上有属于特征根0 的特征向量0ξ (0ξ∈W) ,即有10()A W λεξ-=1()A λε-0ξ=0, 亦即010()A ξλξ=(0ξ≠0). 又因0ξ∈W = 2...sV V λλ++ ,所以有0ξ=23...s ξξξ++,其中ii V λξ∈ ( i = 2 ,…,s ) 于是有正整数i m ,使()0im i i A λεξ-= , i = 2 ,…,s ,令()()22...s m m s A A τλελε=--,则τ(i ξ) = ()()22...s m ms A A λελε--i ξ= 0 , i = 2 ,…, s ,从而τ(0ξ) = τ(2ξ) + … + τ(ξs) = 0 , 另一方面, 因为()010A ξλξ=，又τ(0ξ)=21()...()s m m s A A λελε--0ξ=()()2121...0s m ms λλλλ--≠这就导致了矛盾.所以1A λε-在2...s V V λλ++ 上为可逆线性变换.定理1.2.1 (根子空间分解定理) 设A 是n 维复线性空间V 的线性变换, 12,...s λλλ是A 的所有不同的特征值,i V λ是属于i λ 的根子空间, i = 1 ,2 ,…, s ,则12...S V V V V λλλ=⊕⊕⊕.证明设A 的特征多项式为1212()()()...()s s f x x x x γγγλλλ=--- 令()()()ii i f x g x x γλ=- i = 1 ,2 ,…, s , 则12(),(),...,()s g x g x g x 互素, 于是有多项式12(),(),...,()s u x u x u x , 使1()()1si i i g x u x ==∑, 将A 代入上式, 得 1()()si i i g A u A ε==∑,(ε为单位变换), 任给ξ ∈ V ,有ξ =ε(ξ) =()()1s i i i g A u A =⎛⎫⎪⎝⎭∑ξ=1(()())siii g A u A ξ=∑, 记()()i i i g A u A ξξ=, i = 1 ,2 ,…, s ,于是12...s ξξξξ=+++. 下面证明i i V ξ∈ , i = 1 ,2 ,…,s因为()()()i i i f x x g x γλ=-,由哈密尔顿- 凯莱定理()()()i i i A g A f A γλεϑ-== (ϑ为零变换),于是有()i i i A γλεξ-=()()()i i i i A g A u A γλεξϑ-=（ϑ为零变换）即i i V λξ∈, i = 1 ,2,… , s ,所以12...S V V V V λλλ⊂+++,又显然12...S V V V V λλλ⊃+++ ,故12...S V V V V λλλ=+++.再证明上面的和是直和,设12...0,i s i V λαααα++=∈, i = 1 ,2 ,…,s 由引理知i A λε-在i V λ上为幂零变换，所以存在正整数i n ,使得在i V λ上()i n i A λεϑ-=(ϑ为零变换),又由引理，i A λε-在111.......i i s V V V V λλλλ-++++++上为可逆变换,所以()i n i A λε- 在111.......i i s V V V V λλλλ-++++++上也是可逆变换,于是0 =()(0)i n i A λε-=()i n i A λε-（12...s ααα++）= ()i n i A λε-i α+()i n i A λε-（1211...i i s ααααα-++++++）=()i n i A λε-（1211...i i s ααααα-++++++）从而1211...i i s ααααα-++++++=0 ,于是()1211......0i i i s αααααα-+=-+++++= , i = 1 ,2 ,… s,由零向量的表法唯一知12...S V V V V λλλ=⊕⊕⊕ 根子空间分解定理全部证完.运用根子空间分解定理可以推出一些矩阵对角化的充要条件.对角矩阵可以认你为是矩阵中最简单的一种，一些复杂的矩阵可以通过适当的方法化为对角阵.通过相应对角阵的研究学习,可以推知这些复杂矩阵的性质,促进对复杂矩阵的了解,简化很多复杂工作,给学习和研究带来很大方便.下面就矩阵对角化的充要条件作一详细论述.2. 矩阵可对角化的一些充要条件及矩阵对角化方法2.1 特征向量法定理2.1.1 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换, A 的矩阵可以在某一组基下为对角阵充要条件是, A 有n 个线性无关的特征向量.证明设A 在基12,...n εεε下具有对角阵1...n λλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.即i i i A ελε= i=1,2…n 因此, 12,,...,n εεε就是A 的n 个线性无关的特征向量.反过来,如果A 有n 个线性无关的特征向量,那么就取12,,...,n εεε为基.显然, A 在这组基下的矩阵是对角阵. 证毕.例1. 设线性变换A 在基12,,...,n εεε下的矩阵是(1)122212221A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, (2)310410482A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭,问A 是否可以对角化? 解 (1)因为特征多项式为122212221E A λλλλ----=------=()()215λλ+-所以A 的特征值是-1(二重)和5把特征值-1代入齐次方程组得()()()123123123122021202210x x x x x x x x x λλλ---=⎧⎪-+--=⎨⎪--+-=⎩ (1)解得基础解系是101⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦和011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦因此属于-1的两个线性无关的特征向量是112223,ξεεξεε=-=-把特征值5代入(1)得基础解系111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,所以属于5的全部特征向量为3123ξεεε=++ 则A 在基123,,ξξξ下的矩阵为B=100010005-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭(2) E A λ-=310410482λλ--+-=()()212λλ-+，所特征值为1(二重)和-2. 对应特征值1的特征向量为11233620ξεεε=-+ 对应特征值-2的特征向量为23ξε=由此知A 有两个线性无关的特征向量，由定理1知A 不能对角化.运用此定理判定一个线性变换的矩阵是否可以对角化的方法简单易懂,但是过程比较繁琐.先计算一个行列式求出A 的特征值,再利用方程组和特征向量的有关理论及求法计算出A 是否有n 个线性无关的特征向量.计算过程容易出错.下面利用最小多项式给出一个线性变换的矩阵可角化的充要条件.此定理比定理2.1.1简洁实用2.2 最小多项式法引理设A 是一个对角阵A=12A A ⎛⎫⎪⎝⎭，并设1A ,2A 的最小多项式为12(),()g x g x ，那么A 的最小多项式为12(),()g x g x 的最小公倍数[]12(),()g x g x .证明 ()g x =[]12(),()g x g x ，首先12()()()g A g A g A ⎛⎫= ⎪⎝⎭=0.因此()g x 能被A 的最小多项式整除.其次()0h A =.那么12()()()h A h A h A ⎛⎫= ⎪⎝⎭=0, 1()h A =0,2()h A =0,因而11()()g x h x ，22()()g x h x .并由此得()()g x h x .这样就证明了()g x 是A 的最小多项式. 这个结论可以推广到A 为若干矩阵组成的准对角阵的情形.即如果A=1 (00)S A A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，i A 的最小多项式为()i g x ，i=1,2,…,s.那么A 的最小多项式为[]12(),(),...,()s g x g x g x .定理2.2.1 数域P 上n 级矩阵A 与对角阵相似的充要条件为A 的最小多项式是P 上互素的一次因式的乘积.证明根据引理的推广形式，条件的必要性是显然的. 下面证明充分性.根据矩阵和线性变换之间的关系，我们可以定义任意线性变换A 的最小多项式，它等于其对应矩阵A 的最小多项式.所以只需证明,若数域P 上某线性空间V 的线性变换A 的最小多项式()g x 是P 上互素的一次因式的乘积1()()li i g x x a ==-∏，则A 有一组特征向量做成V的基.实际上，由于()0g A V =.由定理 1.2.1同样的步骤可证12...l V V V V =⊕⊕⊕，其中{}()0,i i V A a V ξεξξ=-=∈,把12,...l V V V 各自的基合起来就是V 的基，而每个基向量都属于某个i V ，因而是A 的特征向量. 证毕.推论复数矩阵A 与对角阵相似的充要条件是A 的最小多项式无重根. 不利用定理2.2.1,该推论也可证明.下面给出令一种证明.证明必要性设A 相似diag 12(,...)n λλλ，所以存在可逆矩阵T 使1T AT -=∧,(∧为对角阵),从而1i i T A T -=∧,不妨12,...k λλλ是A 的互不相同的特征根()k n ≤ 记()()()11211()......k k k k k g a a a λλλλλλλλλλ--=---=+++ 因而()11111(...)k k k k T g A T T A a A a A a E T----=+++=1111111...k k k k T A T a T A T a T AT a T ET ------+++=11...k k k a a E -∧+∧++=()g ∧ 而()11...k k k g a a E -∧=∧+∧++=1111211121(,...)(,...)...(,...)k k k k k k n n k k k diag diag a a a diag a a a λλλλλλ---++= 11111.........k k k k k n n k a a a a λλλλ-⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪++⎝⎭=diag ()()()12(),...n g g g λλλ=0所以()g A =0.于是()()A m g λλ，但是()g λ没有重根，因而()A m λ没有重根.充分性设12,...n λλλ为最小多项式()A m λ的互不相同的根,则由()A m λ无重根()A m λ=()()()12...k λλλλλλ---，于是()A m A =()()()12...k A E A E A E λλλ---=0 令rank ()i A E λ-=i γ，则dim I V λ=n -i γ,所以A 共有()()()12...k n n n s γγγ---=个线性无关的特征向量并且显然s n ≤.另一方面()12...1k k n γγγ+++≤-.因而又有()()()12...k s n n n n γγγ=---≥，故s n =.这就说明了A 有n 个线性无关的特征向量由定理2.1.1知A 可对角化. 证毕.例2. 判下列矩阵是否可以对角化.（1）001010110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（2）3131131331311313--⎛⎫⎪-- ⎪⎪-- ⎪--⎝⎭解（1）可求的A 的特征多项式为()()2010101110E A λλλλλλ--=-=-+-由于A 的最小多项式为()()211λλ-+的因式，计算得0A E -≠,0A E +≠.而()A E -()A E +=0.因此A 的最小多项式为()()11λλ-+.显然A 的最小多项式是实数域上互素的一次因式的乘积，从而由定理2.2.1知A 可对角化.（2）可求得A 的最小多项式为E A λ-=3131131331311313λλλλ-----+---+=4λ由于的最小多项式为4λ的因式，计算得A 0≠, 2A =0.因此A 的最小多项式为2λ.从而由定理2.2.1知A 不可对角化.例3 k A =E,则A 与对角阵相似.(k=1，2…)证明由k A E =知A 为多项式()1k f x λ=-的零点，即()f A =0.因A 的最小多项式()()A m f λλ，而()f λ无重根，所以()A m λ无重根，故由推论知A 与对角阵相似.对于单纯的判断一个线性变换的矩阵能否对角化运用定理 2.2.1及其推论是很简洁方便的，它部避免了运用定理2.1.1的繁琐过程.但是对于既要判定某个数域上的线性变换的矩阵是否可对角化，对于可对角化的矩阵又要求出相似变换矩阵及矩阵特征值的题目来说运用定理2.2.1及推论是达不到要求的.而运用定理2.1.1虽然能达到要求但方法却很繁琐.下面给出的方法仅需利用矩阵的乘法运算便可判定一个矩阵是否相似与对角阵，并且在判定的过程中简洁的构造出相似变换矩阵完全不需解性方程组.2.3 矩阵的乘法运算法定理 2.3.1 设12,,...,s λλλ为n 阶矩阵A 的全部相异特征值，其重数分别为12,,...,s n n n ，1sii nn ==∑,则A 与对角阵相似的充要条件是1()si i E A λ=-∏=0.(i=1,2,…,s)证明必要性若A 相似于阵对角阵∧，则存在可逆矩阵P 使得A =P 1...s E E λλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1P -,其中i E 为in 阶单位矩阵（i=1,2,…,s ）于是()i E A λ-=()1i P E P λ--∧=()()111...i i s s E P P E λλλλ--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭,于是1()s i i E A λ=-∏=()11s i i P E P λ-=-∧∏= P ()()1111...s i i si s s i E E λλλλ==⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭∏∏1P - 由于()i j j iE λλ-∏=0（j=1,2,…,s ）.所以1()si i E A λ=-∏=0.充分性因为对于任何n 阶矩阵A 都存在可逆矩阵P ，使得A= P 12...S J J J ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1P -,其中jJ 为jordan 块(j=1,2,...,s).因此要证A 可对角化，只要证j J =j j E λ（j=1,2,…,s ）,由于()i E A λ-=()i P E J λ-1P -=P ()()()1122...i i i s s E J E J E j λλλ-⎛⎫ ⎪-⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭1P - ()()()()111221...i i i i i i s s i E J E J E A P P E J λλλλ-⎛⎫- ⎪ ⎪- ⎪-= ⎪ ⎪⎪-⎪⎝⎭∏∏∏∏所以若()0i iE A λ-=∏.则因P 可逆而有()0i j j iE J λ-=∏（j=1,2,…,s ）.又当i j ≠时()0ijλλ-≠，()i jj EJ λ-可逆，所以()i j j E J λ-0≠，即j j j J E λ=(j=1,2,…,s)定理2.3.2 设12,,...,s λλλ时n 阶矩阵的全部相异特征根，其重数分别为12,...s n n n ，则A 于对角阵相似的充要条件是()j i i jW E A λ≠=-∏的秩为()j j R W n =（j=1,2,…,s ）.证明必要性()()()111...i i j j i i ji s S i E W E A P P E λλλλλ≠-≠⎛⎫- ⎪⎪=-=⎪ ⎪- ⎪⎝⎭∏∏∏=()110...0ijji js P P Eλλ-≠⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∏ 其中0,j j E 分别是j n 阶的零矩阵和单位矩阵（j=1,2,…,s ）.由于P 满秩且i j λλ≠.所以()j R W =()i j j i j R E λλ≠⎛⎫- ⎪⎝⎭∏=()j j R E n =.充分性用反证法假设()i j j i j R E λλ≠⎛⎫- ⎪⎝⎭∏不可对角化，则因几何重数≤代数重数[]5，必至少存在一整数k 使得()k R E A λ->()j R E []3，于是j k ≠时.由sylvester 不等式知j n =()k i j R E A λ≠⎛⎫- ⎪⎝⎭∏≥()()2i i jR E A s n λ≠---∑>()()2j i j n n s n ≠---∑=()()()12i j j i js n n s n n n n n ≠-=--=--=∑矛盾.所以A 可对角化.推论 1 设12,,...,s λλλ为n 阶矩阵A 的相异的特征根，其重数为12,,...,s n n n ，则矩阵j W =()k i jE A λ≠-∏的列向量中由对应于j λ的j n 个线性无关的特征向量.证明因A 可对角化，由定理2.3.1得()i i jE A λ≠-∏=0，()jE A λ-()i i jE A λ≠-∏=()j jE A Wλ-=0.由此，j W 中每一列非零向量都是方程组()i E A λ-X=0解向量,即j λ的特征向量.又有定理2.3.2知()j j R W n =，所以j W 的列向量组中有恰好对应于j λ的j n 个线性无关的特征向量.上述的结论表明，要构造可对角化矩阵 A 的相似变换矩阵P ,完全可以不像传统的方法那样解方程组()k E A λ-X=0，而只需对每一特征值j λ（j=1,2,…,s ）从矩阵乘积()ki jE A λ≠-∏中直接找出jn个与j λ对应的线性无关的特征向量，这样所得的j n n =∑个特征向量为列作一n 阶矩阵即可.推论2 若n 阶可对角化矩阵A 只有两个相异特征值1λ（k 重）和2λ（n k -重），则矩阵()1E A λ-（或()2E A λ-的n k - (或k )个线性无关列向量就是对应2λ（或1λ）的特征向量的极大无关组.这一结论进一步表明，在可对角化矩阵A 只有2个相异特征值的情况下，不仅不需要解方程组，而且不需要计算矩阵的乘积就可以把对应于不同特征值的特征向量立即求出.例4 求下列矩阵A 相似变换矩阵.(1)A =741471444-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ （2）A =1220212022100001⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解（1）A 的特征值1λ=12，2λ=3（二重）21541451448W E A λ-⎛⎫⎪=-=- ⎪ ⎪⎝⎭,124441W E A λ-⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭－４１－４－４１由于()()120E A E A λλ--=,所以A 可对角化，有推论2知1λ的一个特征向量()11,1,1α=-（取1W 的第3列）2λ的2个线性无关的特征向量()()234,5,4,1,1,8αα=-故相似变换矩阵P =()123,,ααα=141151148-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭，1(12,3,3)PAP diag -=（2）A 的特征值1λ=-1(二重)，2λ=5，3λ=1，而()()123W E A E A λλ=--=8448*4400-⎛⎫⎪-⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ()()1300*08E A E A λλ⎛⎫ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪⎝⎭２Ｗ＝,3Ｗ＝88*80⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭由推论2可得1λ的特征向量()()1284404αα''=--=-，，，，，8，-4，0. 23λλ，的特征向量分别为()()3400088880αα==，，，，，，，于是相似变换矩阵为P=()1234αααα，，，==84008440000-⎛⎫⎪⎪⎪--⎪⎝⎭8-488－8 P A 1P -=diag(-1,-1,5,-1).上文讨论了矩阵是否可对角化的判定及矩阵对角化方法问题，给出了简便易行的判定和求法.区别于传统的方法，定理2.3.1定理2.3.2及推论把矩阵对角化问题归结为矩阵的乘法运算，不需要解方程组就可以得到特征向量及相似变换矩阵,但是上述方法都没有达到特征值，特征向量，相似变换矩阵同步求解的效果.下面引入λ-矩阵，改进在一般情形下矩阵对角化的方法，使判定和求解一步到位并得到矩阵对角化十分简单的方法，主要依据下面两个定理.2.4 引入λ-矩阵推出数字矩阵可对角化的充要条件定理2.4.1 设A 是数域P 上的n 阶方阵，()()A E A λλ=-为其特征矩阵E 为n 阶单位阵.如果()A λ经过初等变换化为对角阵()D λ,则A 的特征值为()D λ的对角线上元素的乘积的多项式的根. （证明略）定理2.4.2 在定理2.4.1 的假设下，如果()()(),T A D λλ经初等变换化为()()(),D P λλ,且()D λ为对角阵，则（1）对于A 的每个特征值i λ，()i P λ中与()i D λ的零行对应的行向量生成属于i λ的特征子空间.（2）若A 的特征值都在P 内，设12,,...,s λλλ为A 的全部不同的特征值，其重数分别为12,,...,s γγγ，则A 可以对角化的充要条件是()i D λ中零行的数目=i λ的重数i γ（i=1,2,…,s ）证明 (1)因为()D λ与()T A λ的秩为n ，则总有可逆的λ-矩阵()P λ,()Q λ,使()()()()()()()12(,,...,)T n P A Q diag d d d D λλλλλλλ==.即对()T A λ施行()P λ对应的一些行初等变换和()Q λ对应的一些列初等变换可使()T A λ化为对角阵()D λ，有()()()(),T P A Q E λλλ→()()(),D P λλ (1) 这里相当于初等列变换的()Q λ右乘作用在()T A λ而不作用于E.因为()()()T P A Q λλλ=()D λ，所以()()()()T T T Q A P D λλλλ==()D λ.于是对A 的每个特征值i λ有()()()T T i i i Q A P λλλ=diag(()()()12,,...,i i n i d d d λλλ)设()i D λ中有i m 个零行，相应的i m 个为的对角元记为()()()12...0i i i i i im i d d d λλλ====()1i m n ≤≤，取()T i P λ中对应的列向量1,2,...,i i i im P P P ,则()()T i i Q E A λλ- ()1,2,...,i i i im P P P =0.因为()T i Q λ可逆，所以()i E A λ- ()1,2,...,i i i im P P P =0 （2）由于()T i P λ可逆，故()12,,...,i T T T i i im P P P 列满秩，从而由（2）知12,,...,i T T Ti i im P P P 正是A 属于iλ的i m 个线性无关的特征向量，再从（1）式，注意到()i D λ中n -i m 个非零行是行满秩的.由[]7中定理1知A 属于i λ的线性无关的特征向量就是()i P λ中与()i D λ的零行对应的行向量，他们生成i λ对应的特征子空间.(2) A 可对角化⇔秩()i E A λ-=i n γ-=i n m -,即i m =i γ（i=1,2,…,s ）证毕. 基于以上讨论我们不难得到矩阵对角化的简单方法，其步骤如下： (1)对(),TiE A E λ-作初等变换化为()()(),D P λλ,其中()()()()12(,...,)n D diag d d d λλλλ=，，则A 的特征值恰是()()()12...n d d d λλλ=0的根. (2) 如果A 的特征向量全在P 内，且对每个i λ有()i D λ中零行数目=i λ的重数，则A 可以对角化，否则不可对角化.(3) 对于每个i λ，在()i P λ中取出与()i D λ中零行对应的行向量12,,...,i i i im P P P 得A 属于i λ线性无关的特征向量.(4) 若A 可以对角化，作可逆矩阵()1121,,...,,...,,...,si i im s sm T P P P P P =，则11122(,,...,)s s T AT diag E E E λλλ-=，i E 为i γ阶矩阵.例5 判定下列矩阵可否对角化，若可以求可逆矩阵T ，使1T AT -为对角阵.(1) A =011111011⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ (2) A =321222361-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭解 ()()10100,111010011100T A E λλλλ-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭→2011002011111001λλλλλλλ⎛⎫-- ⎪--- ⎪ ⎪--⎝⎭ →21110010111102011λλλλλ--⎛⎫⎪-+ ⎪ ⎪---⎝⎭→210000101111020011λλλ-⎛⎫ ⎪-+ ⎪ ⎪--⎝⎭→()22100001010111001231λλλλλλλ⎛⎫-⎪-+ ⎪ ⎪⎪---++-++⎝⎭故P 的特征值是120,1λλ==(二重),因()1D 中的零行数目2λ≠的重数,故P 不可对角化.(2)()()2323100121001,22601002240121210010242103T A E λλλλλλλλλλλ⎛⎫----+⎛⎫⎪ ⎪=-+-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+-+⎝⎭⎝⎭()()2100001100001022*******012024241030242103λλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+-+--+-+⎝⎭⎝⎭()()()1000010200120024121λλλλ⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪--+--+⎝⎭故A 的特征值为12λ=（2重根）, 24λ=-.又()2D 中零行数=2=1λ的重数；()4D -的零行数=1=2λ的重数,故P 可对角化，且由()()()2,2D P =100001000012000123⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭可得出()()αβ''＝０，１，２，＝１，－２，－３是A 属于2的线性无关特征向量由()()()4D -，Ｐ－４=100001060012000123⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭得()1,2,3γ'=-是A 属于-4的线性无关的特征向量.令T=011122233⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭,则1224T AT -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭参考文献[1] 北京大学数学系.高等代数.北京：高等教育出版社，第88版，1988.[2] 许以超.代数学引论[]M.上海：社会科学技术出版社，1966[3] 钱吉林.矩阵及其广义矩阵[]M.武汉：华中师范大学出版社.[4] 王心介.高等代数与解析几何[]M.北京：科学出版社,2002.[5] 张远达.线性代数原理.上海：上海教育出版社，1980.[6] 彭海明.对“矩阵特征值与特征向量同步求解方法探讨”的改进意见[]J.数学通报，1993(2):45-47.[7] 刘国洪.王宝智.利用矩阵的初等行变换对矩阵的特征值和特征向量同步求解,数学通报,1996,2.。

矩阵a可对角化的充要条件

矩阵a可对角化的充要条件矩阵a可对角化的充要条件引言矩阵的对角化是线性代数中一个重要的概念，能够简化矩阵的计算和分析过程。

在研究矩阵可对角化的条件时，我们需要探讨其充要条件。

充分条件矩阵a可对角化的充分条件是存在一个可逆矩阵P，使得矩阵P-1AP为对角矩阵。

即：P-1AP = D其中D为对角矩阵，其主对角线元素为矩阵a的特征值。

必要条件矩阵a可对角化的必要条件是矩阵a有n个线性无关的特征向量，其中n为矩阵a的维数。

充要条件的证明充分性证明对于矩阵a可对角化的充分条件，我们需要证明存在一个可逆矩阵P，使得矩阵P-1AP为对角矩阵。

假设矩阵a的特征值为λ1, λ2, …, λn，对应的特征向量为v1, v2, …, vn。

我们可以将特征向量按列放在一个矩阵中，记作P=[v1, v2, …, vn]由于特征向量v1, v2, …, vn是线性无关的，矩阵P是可逆的。

我们可以计算P-1AP：P-1AP = [P-1v1, P-1v2, ..., P-1vn</s ub>] [λ1v1, λ2v2, ..., λnvn] = [λ1P -1v1, λ2P-1v 2, ..., λnP-1vn</s ub>]由于P是可逆矩阵，P-1v1, P-1v2, …, P-1vn也是线性无关的特征向量，且它们对应的特征值分别为λ1, λ2, …, λn。

矩阵可对角化的充要条件

矩阵可对角化的充要条件文化教育２００７年（第３６卷）第４期矩阵可对角化的充要条件贾秀芹（青海师范大学数学系，青海西宁摘要：本文给出矩阵可对角化的一个充要条件，并得到一个结论。

关键字：可逆的对角化维数（ＡＢ）≥秩（Ａ）＋秩（Ｂ）－ｎ．引理：设Ａ，Ｂ都是ｎ阶矩阵，则秩定理：设Ａ是实数域Ｆ上的一个ｎ阶矩阵，Ａ的特征根全在Ｆ内，若λ１，λ２，…λｋ是Ａ的全部不同的特征根，其重数分别为ｒ１，ｒ２…ｒｋ，那么（Ⅰ）可对角化的充要条件是秩（１）式成立时，（Ⅱ）当（!（１）８１０００８）（Ⅱ）设（１）式成立，则Ａ可对角化，故Ａ的极小多项式为（ｘ－λｉ）从而!ｉ＝１ｋ这就是说，ｉ≠ｊ!（λｉＥ－Ａ）的列空间包含在λｊ的特征子空间中，但是由（１），（!ｉ≠ｊλｉＥ－Ａ）的列空间的维数是ｒｊ，它正是λｊ的特征λｉＥ－Ａ）的列空间就是Ａ的属于ｉ≠ｊ特征根λｉ的特征子空间。

证明：（Ⅰ）设Ａ可对角化，则存在可逆阵Ｔ，使这里右边是分块对角矩阵，Ｅｉ为ｒｊ阶单位阵，于是有子空间的维数，所以结论（Ⅱ）成立。

推论：设Ａ为实数域Ｆ上的ｎ阶矩阵，Ａ的特征根全为Ｆ内，且λ１，λ２是Ａ的全部不同的特征根，其维数分别为ｒ１，ｒ２，若秩（λ２Ｅ－Ａ）＝ｒ１，则Ａ可以对角化，且λＥ－Ａ的列向量（λ１Ｅ－Ａ）＝ｒ２，秩组的极大无关组恰是属于λ２的极大线性无关的特征向量组，λ２Ｅ－Ａ的列向量组的极大无关组恰是属于λ１的极大无关的特征向量组。

上述定理把判断矩阵是否对角化的问题与求它的特征向量的问题联系起来，给出了一个不用线性方程而求得可对角化矩阵的特征向量的方法，在矩阵的不同特征根较少时，这个方法较方便。

例：判断Ａ＝#４－３－３６－５－６００１$能否对角化，并求特征向量。

解：易知Ａ的特征根λ１＝－２，λ２＝λ３＝１反之，若秩可得则反复引用引理λ１Ｅ－Ａ＝%－６３３－６３６００－３&和和λ２Ｅ－Ａ＝%－３３３－６６６０００&的秩分别为２与１，故可以对角化。

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本学位论文的知识产权归属于培养单位。

本人签名 : 日期 :摘要矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。

对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。

本文给出了矩阵可对角化的几个充分必要条件和相应的证明。

而对角矩阵作为矩阵中比较特殊的一类，其形式简单，研究起来也非常方便。

研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显，矩阵相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。

相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式、特征根、行列式……如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作是没有区别的，这时研究一个一般的可对角化矩阵，只要研究它的标准形式——一个对角形矩阵就可以了。

而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。

线性代数中矩阵是否可以对角化,是矩阵的一条很重要的性质。

矩阵对角化也是《高等代数》和《线性代数》中矩阵理论这一部分的主要内容。

人们对此研究得出了很多有用的结论。

诸如一些充要条件：n阶方阵A可以对角化的充要条件是它有n个线性无关的特征向量；方阵A可以对角化的充要条件是它的最小多项式没有重根；还有复方阵A可以酉相似于对角形矩阵的充要条件是它为正规矩阵，此外,还有一些充分条件。

然而,所有这些结论都相对比较抽象,特别是对于大学一年级的新生，抽象化的结论不便于学生的理解和记忆，因此,一些学生在学完《高等数学》和《线性代数》的相关知识后不久,便相继忘掉了一些重要的结论。

但是,一个普遍的现象是这些学生对高中、初中的数学知识比较熟悉,且记忆深刻，因此,若能将一些大学数学知识和高中、初中的一些知识进行类比,则这些新的数学知识与理论便会易于理解和记忆。

在本课题中通过阅读参考文献、查阅相关资料，初步总结出了矩阵可对角化的若干充分必要条件，并给予了相应的证明过程。

12第2章矩阵可对角化的概念2.1 特征值、特征向量的概念定义1 设A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换, 如果对于数域P 中的一个数0λ存在一个非零向量ε使得ελε0=A ,那么0λ称为A 的一个特征值，而ε 称为A 的属于特征值0λ的一个特征向量。

求方阵A 的特征值与特征向量的步骤：(1)由特征方程A E -λ=0求得A 的n 个特征值，设t λλλ,,,21 是A 的互异特征值,其重数分别为t n n n ,,,21 则n n n n t =+++ 21。

(2)求解齐次线性方程组()0=-X A E i λ()t i ,,2,1 =,其基础解系s i i i p p p ,,,21 (t i n s i i ,,2,11 =≤≤，)就是A 所对应特征值i λ的线性无关的特征向量。

2.2 矩阵可对角化的概念定义2 设A 是矩阵F 上一个n 阶方阵，如果存在数域F 上的一个可逆矩阵P ,使得AP P 1-为对角形矩阵，那么就说矩阵A 可以对角化。

任意方阵A 的每一个特征值i λ都有一个与之相对应的特征向量i P 满足i i i P AP λ=()n ,1,2,i =，则这个方程可以写成()()n n P P P P P P A ,,,,,,2121 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21, （1）我们定义矩阵()n P P P P ,,,21 =,()n diag B λλλ,,,21 =则（1）式可写成PB AP =,若矩阵P 是可逆阵，则有()n diag B AP P λλλ,,,211 ==-引理1 设A 、B 都是n 阶矩阵,则有秩()AB ≥秩()A +秩()n B - 。

引理2 设s λλλ,,,21 (n s ≤)为n 阶方阵A 的所有互异特征值，则矩阵A 的线性无关的特征向量的最大个数为()()()I A r I A r I A r sn s λλλ------- 21。

证明设s λλλ,,,21 (n s ≤)为n 阶方阵A 的所有互异特征值，因为特征值i λ()s ,1,2,i =相应的线性无关的特征向量的最大个数即为线性方程组3()0=-XI A i λ的基础解析所含向量的个数，所以特征值()n s s ≤λλλ,,,21 相应的线性无关的特征向量的最大个数分别为()I A r n i λ--，()I A r n 2λ--，…，()I A r n s λ--，而矩阵A 的不同特征值的线性无关的特征向量并在一起仍然线性无关，从而,矩阵A 线性无关的特征向的最大个数为()()()I A r I A r I A r sn s λλλ------- 21。

引理3 设A 为n 阶方阵,s λλλ,,,21 是任意两两互异的数,则()()()()()()()n s I A r I A r I A r I A I A I A r s s 1][2121---++-+-=---λλλλλλ 。

4第3章矩阵可对角化的充分必要条件3.1 矩阵可对角化的充分必要条件及其证明定理1 数域P 上n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。

证明（1）充分性假设n P P P ,,,21 是矩阵A 的n 个线性无关的特征向量，即有i i i P AP λ=()n ,1,2,i =,令矩阵()n P P P P ,,,21 =由特征向量n P P P ,,,21 组成，因为n P P P ,,,21 是线性无关的，因此矩阵P 是非奇异矩阵，其逆矩阵记为1-P ，根据逆矩阵的定义有P P 1-=()n P P P P P P 12111,,,--- ，另一方面，由i i i P AP λ=易知,()n AP AP AP AP ,,,21 = =()n n P P P λλλ,,,2211 ,给此式左乘矩阵1-P ，则有n I AP P =-1⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ 21=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ21，即充分性得证。

（2）必要性令矩阵A 和对角形矩阵D 相似，即存在可逆矩阵P 使得D AP P =-1,则有PD AP =,于是记P =(n P P P ,,,21 )，()Tn d d d D ,,,21 =则PD AP =可以写成()n AP AP AP ,,,21 =(n n P d P d P d ,,,2211 )即有i i i P d AP =()n ,1,2,i =,这说明矩阵P 的列向量i P 是矩阵A 的特征向量，而已知P是可逆阵，故P 的n 个列向量n P P P ,,,21 线性无关，必要性得证。

定理2 设 n n P A ⨯=，则A 可以对角化的充分必要条件是： (1)A 的特征根都在数域P 内, (2)对A 的每个特征根λ,有，()k =--A E n λ秩，其中k 是λ的重数。

条件(2) 也可改述为：特征根λ的重数等于齐次线性方程组()0=-X A E λ的基础解系所含向量的个数(简称为代数重数等于几何重数)。

5条件(2)还可改述为：令有()[]n A n ri i =-∑=1-E λ秩，即属于A 的不同特征根的线性无关的特征向量总数是n 。

条件(1)，(2)还可改述为:A 的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于n 。

证明设r λλλ,,,21 是A 的所有不同的特征根,j jt j αα,,1 是齐次线性方程组()0=-X A E j λ()r j ,,2,1 =的一个基础解系，则A 的特征向量rrrt r t t ααααα,,,,,,,,111111一定线性无关。

如果n t t t r =+++ 21, 则A 有n 个线性无关的特征向量, 从而A 可以对角化。

若A 可以对角化, 则属于A 的不同特征根的线性无关的特征向量总数一定是n 。

若不然, 则由定理1可设A 的n 个线性无关的特征向量为n ηηη,,,21 ,设j η是属于特征根j λ的特征向量，则j η可由j t j j αα,,1 线性表出，从而可由向量组rrrt r t t ααααα,,,,,,,,111111线性表出，于是，rank{n ηηη,,,21 }≤rank{ttr t r αααα,,,,,,11111}=n t t t r <+++ 21与n ηηη,,,21 线性无关矛盾。

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