矩阵可对角化的总结

矩阵可对角化的总结莆田学院数学系02级1班连涵生21041111 ［摘要］：主要讨论n级方阵可对角化问题：（1）通过特征值，特征向量和若尔当标准形讨论方阵可对角化的条件；（2）实n 级对称矩阵的可对角化讨论；（3）几个常见n 级方阵的可对角化讨论。

［关键词］：n级方阵；可对角化；相似；特征值；特征向量；若尔当标准形；n级实对称矩阵

说明：如果没有具体指出是在哪一个数域上的n级方阵，都认为是复数域上的。当然如果它的特征多项式在某一数域K上不能表成一次多项式的乘积的话，那么在此数域上它一定不能相似对角阵。只要适当扩大原本数域使得满足以上条件就可以。复数域上一定满足，因此这样假设，就不用再去讨论数域。

引言

所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似，而说线性变换是可对角化的指的是这个线性变换在某一组基下是对角阵（或者说线性变换在一组基下的矩阵是可对角化的），同样可以把问题归到矩阵是否可对角化。本文主要是讨论矩阵可对角化。

定义1：设A，B是两个n级方阵，如果存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，则称B与A相似，记作A～B。矩阵P称为由A

到B的相似变换矩阵。[]1[]2[]3[]4

定义2：设A 是一个n 级方阵，如果有数λ和非零向量X ，使AX=λX 则称λ是矩阵A 的特征值，X 称为A 的对应于λ的特征向量，称{|}V A λααλα==为矩阵对应于特征值λ的特征子空间。[]

1[]2[]3[]

4

定义3：设A 是数域P 上一个n 级方阵，若多项式

()[]f x P X ∈，使()0f A =则称()f x 为矩阵A 的零化多项式。[]

2

定义4：数域P 上次数最低的首项为1的以A 为根的多项式称为A 的最小多项式。[]

1[]2[]

3

一、首先从特征值，特征向量入手讨论n 级方阵可对角化的

相关条件。 定理1：一个n 级方阵A 可对角化的充要条件它有n 个线性无关的特征向量。[]

1[]2[]3[]

4

证明：必要性：由已知，存在可逆矩阵P ，使

1

2

1

n P AP λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即12n AP P λλλ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

把矩阵P 按列分块，记每一列矩阵为 12,,,n P P P 即

12[,,,]n P P P P = 于是有

12[,,,]n A P P P ==1

212[,,

,]n n P P P λλλ⎡⎤⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

， 即 121122[,,,][,,

,]n n n AP AP AP P P P λλλ=

于是有 ,1

,2,,i i i AP P i n λ==。

由特征值，特征向量定义，表明P 的每一列都是A 的特征向量，因为P 是可逆的，因此12,,,n P P P 是A 的n 个线性

无关特征向量，其中12,,

,n λλλ为A 的特征值。

充分性：若A 有n 个线性无关的特征向量12,,,n P P P 则

有,1,2,,i i i AP P i n λ==，其中i λ是对应于特征向量i P 的

A 的特征值。

以12,,

,n P P P 为列作矩阵12[,,,]n P P P P =，因为

12,,,n P P P 线性无关，所以矩阵P 是可逆的。

由 12[,,

,]n AP A P P P =

=121122[,,

,][,,

,]n n n AP AP AP P P P λλλ=

=1

212[,,

,]n n P P P λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=12n P λλλ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

则有 12

1

n P AP λλλ-⎡⎤⎢⎥

⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

即A 与对角矩阵相似

从以上证明中可知：

（1） 与矩阵A 相似的对角矩阵主对角线上的元素是A

的特征值，而相似变换矩阵P 的列是A 的n 个线性无关特征向量。 （2）

12,,,n λλλ在主对角线上的次序应与其对应的

特征向量在P 中的次序相对应，如果12,,,n

λλλ的次序改变，那么12,,

,n P P P 在P 中的次序也要

作相应的改变。但这时P 就不是原来的P 了。因此相似变换矩阵不是唯一的。若不计k λ的排列顺序，则对角矩阵是唯一的，称它为A 的相似标准

形。

由相似是一种等价关系知：与A 相似的矩阵都有相同的相似标准形。

定理2：矩阵A 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

[]1[]2[]3[]

4

由此给出了一个推论：n 级方阵可对角化的充分条件A 有

n 个互不相同的特征值。[]

1[]2[]3[]

4

证明：由定理1及定理2可得。但这个推论的逆不成立。例如：n 级单位阵E ，显然它是可对角化的，但它的特征值为1(n 重根)。

那我们要问若有重根时，要满足什么条件才可对角化？ 定理3：n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是：A 的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于特征值的重数(即A 的每个特征子空间i V λ的维数等于特征值i λ的重数)

[]

4

这个定理又可以这样叙述：矩阵A 的每个特征值的代数重数等于对应子空间的(几何)重数。[]

2[]

3

引理1：如果1,,k λλ是矩阵A 的不同特征值，而12,,,i i i ir ααα

是属于i λ的线性无关的特征向量，12,,

,i k = 那么向量组

1

11121,,,,,k

r kr αααα也线性无关。[]

1[]2[]

3

即：给出一个n 级矩阵，求出属于每个特征值的线性无关向量，把它们合在一起也是线性无关的。