矩阵的对角化

7
4 6 0
例Fra Baidu bibliotek
用相似变换化矩阵
A


3
5
0

为对角形
3 6 1
解 A的特征方程为
4 6 0
I A 3 5 0
3 6 1
( 2)( 1)2
得特征值为 1 2, 2 3 1
对于 1 2, 可求得特征向量 1 (1,1,1) 8
2 2 7 6
3 4
( 1)( 6)
特征值为 1 1, 2 6
解齐次方程组
I A X 0
1 1 对应的特征向量为 1 (1, 1)
2 6对应的特征向量为 2 (2, 3)
解方程组 6I A X 0
22
(2) 解方程组 (I A)x 0 ，得对应于 1 的2个 线性无关的特征向量 p1 (1, 2, 0)T , p2 (0, 0,1)T
解方程组 (0I A)x 0 ，得对应于 0
的1个线性无关的特征向量 p3 (1,1, 2)T
1 0 0
令
P ( p1, p2 , p3 )及
（2）A,B有相等的迹；（P84性质3.2）
（3）A,B的行列式相等；（P84性质3.2）
（4）A,B的秩相等。
3
推论 如果n阶方阵A相似于对角形矩阵
1


2


O

n

则 1, 2 ,L , n
是A的全部特征值。
推广 如果n阶方阵A相似于三角形矩阵
1
L
f (1)

P
1
f (0)
3


P


3

P
1
2
1 1 0


2
4
0

4 2 3
24
作业
P92 习题三 3.9 3.10(1，2) 3.11 复习第三章； 预习第四章的1，2节；
25
性质 (1) 实对称矩阵的特征值全为实数。
(2) 实对称矩阵一定可对角化。
反对称矩阵
定义 设 A 为 n 阶方阵, 若 AT A 则称 A 为反对称矩阵
方阵A为反对称矩阵 性质
aij aji i j, aii 0
(1) 实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数.
(2) 奇数阶反对称阵对应的行列式为0.
A的特征向量，且 1, L , n 线性无关。
6
推论3.2 如果n阶方阵A有n个不同的特征值 1,L , n ,
则方阵A相似于对角矩阵
1


O


n
定理3.7 n 阶 矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条
件是对于每一个 ni重特征值 i ,对应着 ni
个线性无关的特征向量.
0 0 3
A与B不相似；C与D相似。
10
●利用对角化计算方阵的幂
1

P1AP
2


O

n


1m
Am

P

2m
O



P1

nm
11
例
设
A

3 3
2
4

求A20
解 A的特征方程为
3 I A
解 (1) 因为 A为三阶方阵，且 A 可对角化，则
A 必定有3个线性无关的特征向量.
1 1 0 由于 | I A | 2 2 0 ( 1)2 ，
4 x 1
1 为 A 的二重特征值， 所以对应于 1 必有2个线性无关的特征向量，
从而 R(I A) 3 2 1 得 x 2 .
1 2 3
矩阵
2I

A


1
2
3

的秩为1，故
1 2 3
2 对应有两个线性无关的特征向量，
从而 A 可对角化.
20
(2) 如果 2 不是特征方程的二重根，则方程
2 8 18 3a 0 为完全平方，从而 18 3a 16 a 2
对于 2 3 1, 可求得线性无关的特征向量
2 (2,1, 0), 3 (0, 0,1)
1 2 0
令
P 1
2
3


1
1
0

1 0 1
1 2 0
则
P1


1
1
0

1 2 1
2 0 0
Λ


0
1
0

，则有
A PΛP1
0 0 0
1 1 0
从而
An

(PΛP 1)n

PΛn P 1


2
2
0

4 2 1
23
(3) f ( A) A3 3A2 A 2I Pf ( Λ)P1
f (1)


P


且
P 1 AP


0
1
0

0 0 1
9
课堂思考：判断下列矩阵是否相似
3 0 0 3 1 0
1
A


0
3
0

,
B


0
3
1

0 0 3
0 0 3
1 0 0
1 1 0
2
C


0
2
0

,
D


0
2
1

0 0 3
A1 11, L ,
An nn
A(1 L n ) (11 L nn )
1

记 P (1 L n )



2
O






n

AP P
P1AP
5
1

必要性

设A相似于对角矩阵
2


O

n
12
令
P 1
2



1 1
2 3
则有
P1
AP


1 0
0
6

,
A

P

1 0
因此
A20

1
P

0
0
20

6

P1
0 6

P1
1 21 0 1 3 2


1
3

0
620

5

1
1

2
定理3.5 若n阶方阵A,B相似，则A,B有相同的特征多项式。
即 I A I B
证明 P1AP B
I B I P1AP P1(I A)P
P1 I A P I A
推论 若n阶方阵A,B相似，则 （1）A,B有相同的特征值；（P83定理3.5）
2 2 0 r1 r2 1 4 3 ( 2)(2 8 18 3a)
1 a 5
19
(1) 如果 2是特征方程的二重根，则
2满足方程 2 8 18 3a 0, 故 a 2.
当 a 2时，A 的特征值为2，2，6，
3 此时 A 的特征值为2，4，4，
3 2 3
矩阵
4I

A


1
0
3

的秩为2，故
1 2 3 1
4 对应线性无关的特征向量只有一个，
从而 A 不可对角化. 21
1 1 0
例2
已知三阶方阵
A


2
2
0 可对角化，试求
4 x 1
(1)实数 x ；(2) An ；(3) f (A) A3 3A2 A 2I ．
Ａ为幂零矩阵．
性质 (1) 幂零矩阵的特征值为0. (2) 非零的幂零矩阵不相似于对角矩阵.
1 2 3
例1
若A


1
4
3

的特征方程有一个二重根，求
1 a 5
a 的值，并讨论 A是否可对角化.
1 2 3
解 | I A | 1 4 3
1 a 5

*
2
L

M M L

*
*L
n

则 1, 2 ,L , n
是A的全部特征值。
4
3.2.2 矩阵的对角化 定理3.6 n 阶矩阵A能相似于对角矩阵的充
分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。 充分性 设方阵A的n个线性无关的特征向量
1,L ,n对应的特征值分别为 1 ,L , n，则
(3) 非零的实反对称矩阵不可能相似于实对角矩阵.
幂等矩阵
定义
设 A 为 n 阶方阵, 若满足 A2 A 则称 A 为幂等矩阵.
性质
(1) 幂等矩阵的特征值为0或1.
(2)
幂等矩阵一定相似于形如
Ir

0
0 0

的对称阵.
幂零矩阵
定义 设 A 为 n 阶方阵, 若满足 Am 0 (ｍ为正整数），则称

即存在可逆矩阵P，使得 P1AP
P (1, L , n ) P1AP AP P
A(1, L , n ) (11, L , nn )
A1 11, L , An nn
由P可逆便知：1, L , n都是非零向量，因而都是
13
认识几个特殊矩阵
14
对称矩阵
如果方阵A满足 AT A, 就称A为对称矩阵
例 如
110 11
方阵A为对称矩阵

0 3
03
3 2 4 2 0 7 4 7 5
aij aji i, j 1, 2,L , n
矩阵A中关于主对角线对称的每一对元素相等
第二节 矩阵的对角化
1
3.2.1 相似矩阵及其性质 定义 3.3 设 A和B为 n 阶矩阵。如果存在n 阶可逆矩阵P，
使得 P1AP B，则称A相似于B，或说A和B相似 。
基本性质 （1）反身性 A相似于A。 （2） 对称性 A相似于B，则B相似于A。 （3） 传递性 A相似于B，B相似于C，则A相似于C。