矩阵对角化,实对称矩阵的相似标准形分解
矩阵化为标准型技巧
矩阵化为标准型技巧矩阵化为标准型是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算和线性方程组求解中有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要将一个矩阵化为标准型，以便更好地进行计算和分析。
下面，我们将介绍一些矩阵化为标准型的技巧，希望能够对大家有所帮助。
首先，要将一个矩阵化为标准型，我们需要了解标准型的定义。
对于一个矩阵而言，它的标准型是一个特殊的形式，通常是对角线上有非零元素，而其他位置都是零。
这种形式有利于我们进行矩阵运算和求解线性方程组。
因此，我们的目标就是通过一系列的变换，将原始矩阵化为标准型。
其次，要实现矩阵化为标准型，我们可以采用一些常见的技巧。
其中，最基本的技巧就是行变换和列变换。
通过对矩阵进行适当的行变换和列变换，我们可以逐步将矩阵化为标准型。
在进行变换的过程中，需要注意保持矩阵的等价性，即变换后的矩阵与原始矩阵具有相同的解集。
另外，我们还可以利用矩阵的特征值和特征向量来实现矩阵化为标准型。
对于一个方阵而言，它的特征值和特征向量是非常重要的性质，它们可以帮助我们对矩阵进行对角化，从而得到标准型。
通过求解特征值和特征向量，我们可以将原始矩阵对角化为标准型，这在一些特定情况下是非常有效的方法。
此外，对于特定类型的矩阵，我们还可以利用一些特殊的技巧来实现矩阵化为标准型。
例如，对称矩阵可以通过正交相似变换对角化为标准型；而对于实对称矩阵，则可以通过正交相似变换将其对角化为实对角矩阵。
这些特殊的技巧可以帮助我们更快地实现矩阵化为标准型。
总的来说，矩阵化为标准型是线性代数中的一个重要问题，它涉及到矩阵的变换、对角化和特征值等概念。
在实际问题中，我们经常需要将矩阵化为标准型，以便更好地进行计算和分析。
通过掌握一些基本的技巧和方法，我们可以更好地实现矩阵化为标准型，从而更好地解决实际问题。
希望本文介绍的技巧能够对大家有所帮助，谢谢阅读！。
6--实对称矩阵的相似对角化
Q 1 2
2 5 1 3 5 0
2
3 5 4 3 5 5 3 5
1 3 2 , 3 2 3
2 1 Q AQ 2 . 7
用正交阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：
T
再单位化，得：
2 1 2 4 5 T T 1 ( , , 0) ，2 ( , , ) . 5 5 3 5 3 5 3 5
1，2仍旧是属于特征值2的特征向量。
3 7的特征向量为3 (1， 2， 2)T .
1 2 2 T 将3 (1， 2， 2) 单位化，得：3 （ ，， ）. 3 3 3
(i ) 求出A的所有相异的特征值1, 2 , , m ;
(ii ) 对每一个重特征值i，求出对应的ri 个线性无关的特 征向量 i1 , i 2 , , iri ； (i 1,2, , m),由性质知 ri n.
m i 1
(iii ) 用施密特正交化方法将每一个重特征值i 所对应的 ri 个线性无关的特征向量i1 , i 2 ,, iri (i 1, 2, , m) 先正交化再单位化为i1 ,i 2 , ,iri (i 1, 2, , m)； 它们仍为属于i的特征向量。
1 (2,1,0)T , 2 (2,0,1)T 为属于特征值2的线性无关的特
征向量.
将1 (2,1,0)T , 2 (2,0,1)T 正交化，得：
2，b 1） 1 （ b 1 1 ( 2,1,0) ，b 2 2 b 1 ( 2,4,5)T b1 ） 5 （b 1 ，
(iv ) 将上面求得的正交单位向量作为列向量，排成一个 n阶方阵Q，则Q即为所求的正交方阵。此时 Q 1 AQ Q T AQ 为对角阵。
9.6.2 实对称矩阵的对角化与标准形
义了一个线性变换. 义了一个线性变换 求正交矩阵 T 问题就相当于在 Rn 中求一组由 A 的特征向量构成的标准正交基 事 的特征向量构成的标准正交基. 实上， 实上，设
t1n t12 t11 t 22 t2n t 21 η1 = , η2 = , L ,ηn = M M M t t t nn n2 n1
二、正交的线性替换
（用正交线性替换化实二次型为标准形） 用正交线性替换化实二次型为标准形） 定义1 定义1
如果线性替换
x1 = c11 y1 + c12 y2 + L + c1n yn , x = c y + c y + L + c y , 2 21 1 22 2 2n n LLLL xn = cn1 y1 + cn 2 y2 + L + cnn yn 是正交的， 的矩阵 C = ( cij ) 是正交的，那么它就称为正交的 线性替换. 线性替换.
推论 2 设A为 n 级实对称矩阵 ，则必有n级 则必有n
第一类正交矩阵 T ，使 TTAT =T-1AT成对角形,且 成对角形, 成对角形 主对角线上元素是A的全部特征值. 主对角线上元素是A的全部特征值.
将实对称矩阵A 将实对称矩阵A正交化为对角形的方法 正交矩阵的求法） （正交矩阵的求法）
之后， 下面来看看在给定一个实对称矩阵 A 之后，按 成对角形. 什么办法求正交矩阵 T 使 TTAT 成对角形 在定理 的证明中我们看到，矩阵 A 按 (1) 的证明中我们看到， 式在 Rn 中定
T 是一个正交矩阵，而 是一个正交矩阵， T-1AT = TTAT 就是对角形. 就是对角形
实对称矩阵的对角化线性代数课件典型实例
虽然目前已经存在多种实对称矩阵对角化的方法，但这些方法可能不适用于某些特殊情况或具有较大的计算复杂度。 因此，需要不断探索新的实对称矩阵对角化方法，以提高计算效率和精度。
扩展实对称矩阵对角化的应用领域
目前实对称矩阵对角化主要应用于自然科学和工程领域。未来可以尝试将其应用到社会科学和人文学科 等领域，以解决一些实际问题或提供新的研究视角。
总结词
利用实对称矩阵的对角化，可以求解线性方 程组。
详细描述
对于给定的线性方程组 $Ax = b$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过 对角化后的矩阵进行求解，可以得到线性方 程组的解。
实例三：矩阵分解和矩阵求逆的实例
总结词
实对称矩阵的对角化可以用于矩阵分解 和矩阵求逆。
VS
详细描述
04
典型实例分析
实例一：二次型的最小值问题
总结词
通过实对称矩阵的对角化，可以找到二次型的最小值。
详细描述
对于给定的二次型 $f(x) = x^T Ax$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过实对称矩阵对角化， 可以将二次型转换为对角线形式，从而更容易找到最小值。
实例二：线性方程组的求解问题
性质
实对称矩阵具有一些重要的性质，如特征值和特征向量都是实数，且存在正交 矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵。
对角化的概念和重要性
对角化
对角化是将一个矩阵转化为对角矩阵的过程。如果存在一个可 逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵，则称矩阵A可对角化。
重要性
对角化在数学和工程领域中具有广泛的应用，如求解线性方 程组、计算行列式、判断矩阵是否可逆等。此外，对角化还 可以用于解决一些优化问题，如线性回归和主成分分析等。
矩阵对角化的方法
矩阵对角化的方法
矩阵对角化是将一个方阵通过相似变换，转化为对角矩阵的过程。
常用的矩阵对角化方法有以下几种：
1. 特征值分解：对于一个可对角化的矩阵，可以通过求解其特征值和特征向量来进行对角化。
首先求解矩阵的特征值，然后求解每个特征值对应的特征向量，并将这些特征向量排列成一个矩阵，将原矩阵相似变换到对角矩阵。
2. 正交对角化：对于实对称矩阵，可以通过正交对角化的方法进行对角化。
首先通过特征值分解求解出特征值和对应的特征向量，然后将特征向量单位化得到正交矩阵，再进行相似变换得到对角矩阵。
3. Jordan标准形：对于不可对角化的矩阵，可以通过Jordan标准形对其进行对角化。
首先求解矩阵的特征值和对应的特征向量，然后通过Jordan标准形的分块结构将矩阵进行相似变换得到对角矩阵。
需要注意的是，并不是所有矩阵都可以对角化。
只有满足一定条件的矩阵才可以进行对角化。
第二节实对称矩阵的相似对角化（精品）
−3 1
1 −3
⎥ ⎥ ⎦
⎢ ⎢ ⎣
x x
3 4
⎥ ⎥ ⎦
⎢0⎥
⎢⎣0
⎥ ⎦
解得基础解系
ζ1 = [1 −1 −1 1]′
当λ2 = λ3 = λ4 = 1时，有
⎡ 1 1 1 −1⎤⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤
⎢ ⎢
1
1 −1
1⎥⎥
⎢⎢x
2
⎥ ⎥
=
⎢⎢0⎥⎥
⎢ 1 −1 ⎢⎣−1 1
1 1
1⎥ ⎥
⎢ ⎢
x
⎡ 2⎤
p2 =
ζ2 ζ2
⎢⎥
=
⎢ ⎢
⎢
2⎥
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎡ 1⎤
p3 =
ζ3 ζ3
=
1 6
⎢⎢− 1⎥⎥ ⎢ 2⎥
,
⎢⎥
⎣ 0⎦
⎡− 1⎤
p4 =
ζ4 ζ4
=
1
⎢ ⎢
1
⎥ ⎥
2 3⎢1⎥
⎢⎥
⎣3⎦
令
P = [p1 p2 p3 p4 ]
则P是正交阵，且满足
⎡− 3
⎤
⎢ P−1AP = Λ = ⎢
ζ3
=
ξ2
−
[ξ2 , ζ2 [ζ 2 , ζ2
] ]ζ2
=
⎢⎢0⎥⎥ ⎢1⎥ ⎢⎥
−
1 2
⎢⎢1⎥⎥ ⎢0⎥ ⎢⎥
=
1 2
⎢⎢− 1⎥⎥ ⎢ 2⎥ ⎢⎥
⎣0⎦ ⎣0⎦ ⎣ 0⎦
ζ4
=
ξ3
−
[ξ3 [ζ 3
, ,
ζ ζ
3 3
] ]
ζ
3
实对称矩阵一定可以相似对角化的证明
实对称矩阵一定可以相似对角化的证明实对称矩阵是线性代数中非常重要的概念，它具有许多独特的性质。
其中一个重要的性质是实对称矩阵一定可以相似对角化。
在本文中，我们将证明这一性质，并解释其重要性。
让我们回顾一下对角化的概念。
对角化是指将一个矩阵相似变换成对角矩阵的过程。
对角矩阵是一种特殊的矩阵，它只在对角线上有非零元素，其他位置都是零。
通过对角化，我们可以简化矩阵的运算，并更好地理解矩阵的性质。
现在让我们来证明实对称矩阵可以相似对角化的性质。
假设A是一个n阶实对称矩阵，我们需要证明存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP是一个对角矩阵。
由于A是实对称矩阵，所以A一定可以对角化。
也就是说，存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP是一个对角矩阵。
我们设对角矩阵为D，即P^(-1)AP=D。
我们可以进一步将D写成对角线上元素的形式，即D=diag(λ1, λ2, ..., λn)，其中λ1, λ2, ..., λn是A的特征值。
接下来，我们来证明对角线上元素都是实数。
由于A是实对称矩阵，它的特征值一定是实数。
因此，对角线上的元素λ1, λ2, ..., λn都是实数。
我们需要证明P也是实的。
由于P是可逆矩阵，它的逆矩阵也是实的。
因此，P是一个实矩阵。
我们证明了实对称矩阵可以相似对角化的性质。
这个性质在实际应用中非常重要，因为它简化了矩阵的运算，并帮助我们更好地理解矩阵的结构和性质。
在实对称矩阵可以相似对角化的基础上，我们可以进一步研究实对称矩阵的特征值和特征向量，以及它们在线性代数和其他领域中的应用。
通过深入理解实对称矩阵的性质，我们可以更好地解决实际问题，并推动数学和科学领域的发展。
实对称矩阵可以相似对角化是一个重要且有趣的性质。
通过证明这一性质，我们不仅加深了对矩阵理论的理解，还为我们在实际应用中解决问题提供了有力的工具。
希望本文可以帮助读者更好地理解实对称矩阵的性质，并在学习和研究中有所启发。
实对称矩阵一定可以相似对角化的证明
实对称矩阵一定可以相似对角化的证明实对称矩阵是线性代数中非常重要的概念，而相似对角化则是对于矩阵进行简化操作的一种方法。
本文将探讨实对称矩阵为什么一定可以相似对角化的原因。
我们需要明确实对称矩阵的定义。
实对称矩阵是一个方阵，它的转置等于它本身，即A的转置等于A。
这意味着矩阵A的元素关于对角线对称。
实对称矩阵在许多实际问题中都有广泛的应用，如物理学、工程学等领域。
接下来，我们来看实对称矩阵为什么可以相似对角化。
相似对角化是指找到一个可逆矩阵P，使得P^-1AP为对角矩阵。
对于实对称矩阵来说，由于其对称性质，我们可以通过选取合适的正交矩阵P来实现对角化。
正交矩阵是一个满足QTQ=I的矩阵，其中Q的转置等于其逆。
在矩阵理论中，正交矩阵具有许多重要的性质，其中最重要的性质之一就是其列向量是单位正交的。
对于实对称矩阵来说，我们可以找到一组标准正交基底，使得实对称矩阵在这组基底下的表示是对角矩阵。
具体来说，对于实对称矩阵A，我们可以找到一组标准正交基底{v1, v2, ..., vn}，使得A在这组基底下的表示是对角矩阵。
这就是说，存在一个正交矩阵P，使得P^-1AP是对角矩阵。
这就是实对称矩阵可以相似对角化的原因。
实对称矩阵相似对角化的重要性在于简化计算。
对角矩阵的计算更加方便快捷，能够方便地求解矩阵的幂、指数等运算。
因此，将实对称矩阵相似对角化可以大大简化矩阵的运算过程，提高计算效率。
实对称矩阵一定可以相似对角化的原因在于其对称性质和正交矩阵的性质。
通过选取合适的正交矩阵，我们可以将实对称矩阵化为对角矩阵，从而简化计算过程。
实对称矩阵相似对角化在线性代数理论中具有重要的意义，也在实际问题中有着广泛的应用。
希望通过本文的讨论，读者能够更加深入地理解实对称矩阵相似对角化的原理和意义。
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A E 2 1 2 4 1 2 0 0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
2
2
0
第二步 由 A i E x 0, 求出A的特征向量
对 1 4,由 A 4 E x 0, 得 2 x1 2 x2 0 2 2 x1 3 x2 2 x3 0 解之得基础解系 1 2 . 1 2x 4x 0 2 3 对 2 1,由 A E x 0, 得
1 3 2 2
3 3 . 3
2 2 1 1 作 P 1 , 2 , 3 2 1 2 , 3 1 2 2 则 4 0 0 1 P AP 0 1 0 . 0 0 2
x1 2 x2 0 2 x1 2 x3 0 2x x 0 2 3
2 解之得基础解系 2 1 . 2
对 3 2,由 A 2 E x 0, 得 1 4 x1 2 x2 0 2 x1 3 x2 2 x3 0 解之得基础解系 3 2 . 2 2x 2x 0 2 3 第三步 将特征向量正交化
由于 1 , 2 , 3 线性无关. 2 令 P 1 , 2 , 3 1 0
则有
1 若令P 3 , 1 , 2 1 1 2 0 1 则有 P AP 0 1 0 0
注意
2 0 1 0 , 0 1 0 0 . 1
定理1 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同 .
证明
A与B相似 可逆阵P , 使得P 1 AP B 1 1 B E P AP P E P
P 1 A E P
P 1 A E P A E .
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．
2 1 2 ( 2) A 5 3 3 能 否 对 角 化 ？ 1 0 2 2 1 2
A E
5 1
3 0
3 1 2
3
所以A的特征值为1 2 3 1. 把 1代入 A E x 0, 解之得基础解系 (1,1,1)T , 故A 不能化为对角矩阵.
所以1 , 2 , 3线性无关.
即A有 3个线性无关的特征向量 ,因而A可对角 化.
2 1 2 ( 2) A 5 3 3 1 0 2 2 1 A E 5 1 3 0
2
3 3 1 2
所以A的特征值为1 2 3 1. 把 1代入 A E x 0, 解之得基础解系 T (1,1,1) ,
5.2 矩阵对角化
一、相似矩阵与相似变换的概念
定义1 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵P , 使 P AP B , 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似.对A进 行运算 P 1 AP称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵 .
1
A与B相似 可逆阵P , 使得P 1 AP B
故A 不能化为对角矩阵.
6 0 4 例2 设 A 3 5 0 3 6 1 A能否对角化？若能对角 化, 则求出可逆矩阵 P, 使P 1 AP为对角阵.
解
4
6
0
A E 3 3
5 6 1
0 1 2
６ 求规范正交基的方法 设a1 , a 2 , , a r 是 向 量 空 间 V的 一 个 基 , 要 求V
的一个规范正交基 , 就 是 要 找 一 组 两 两 正的 交单 位向量 e1 , e2 , , er , 使e1 , e2 , , er 与a1 , a 2 , , a r 等 价, 这 样 一 个 问 题 , 称 为 把 a1 , a2 ,, ar 这个基规 范正交化. 若a1 , a2 ,, ar 为向量空间V的一个基, （1）正交化，取 b1 a1 ， b1 , a2 b2 a2 b1 , b1 , b1 [b1 , a 3 ] [b2 , a 3 ] b3 a 3 b1 b2 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ]
三、利用相似变换将方阵对角化
对 n 阶方阵 A , 若可找到可逆矩阵 P , 使 P 1 AP 为对角阵, 这就称为把方阵 A对角化 .
定理2 n阶矩阵A与对角矩阵相似 (即A能对角化) 的充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量 .
推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等， 则 A 与对角阵相似．
1 , 2 线性无关 .
0 2 0 . 1
将3 2代入 A E x 0, 得方程组的基础 解系
3 1,1,1T .
所以 A 可对角化. 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 P AP 0 1 0 . 0 0 2
作业
• P200 • P203 8，9，10 13
6.3 实对称矩阵的相似标准形 分解（即对角化）
一、对称矩阵的性质
A为 对 称 阵 , 即A AT .
说明：本节所提到的对称矩阵均指实对称矩阵．
12 6 1 例如 A 6 8 0 为对称阵 . 1 0 6
由定理2知对称矩阵对应于不同特征值的特征向量正交 .
定 理3 设A为n阶 对 称 矩 阵 ,则 必 有 正 交 矩 阵 P, 使 P 1 AP , 其 中 是 以A的 n 个 特 征 值 为 对 角 元 素的对角矩阵 . （此定理不证）
推论： 设 A为 n阶 对 称 矩 阵 , 是A的 特 征 方 程 的 r 重 根, 则 矩 阵 A E 的 秩 R( A E ) n r , 从 而 对应特征值 恰 有 r 个 线 性 无 关 的 特 征 向 .量
2
所以A的全部特征值为1 2 1, 3 2.
将1 2 1代入 A E x 0得方程组
3 x1 6 x2 0 3 x1 6 x2 0 3 x 6 x 0 1 2
解之得基础解系
2 1 1 , 0
解之得基础解系
2 0 1 0 , 2 1 . 1 1
1 , 2 线性无关 .
同理 , 对3 7,由 A E x 0,
求得基础解系 30, 1 1 2
由于1 , 2 , 3是属于A的3个不同特征值1 , 2 ,
3的特征向量, 故它们必两两正交 .
i 令 i , i 1,2,3. i
第四步 将特征向量单位化
2 3 23 得 1 2 3 , 2 1 3 , 1 3 2 3
1 p1 1 p1 Ap1 p1 T AT p1 T A,
T T T
于是 1 p p2 p Ap2 p
T 1 T
T 1
T 1
T 1
2 p2 2 p1T p2 ,
1 2 p p2 0.
1 2 , p1 p2 0. 即p1与p2正交.
二、利用正交矩阵将对称矩阵 对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，即 P 1 AP P T AP ，其具体步骤为： 1. 求A的特征值;
2. 由 A i E x 0, 求出A的特征向量 ;
3. 将特征向量正交化（若特征向量不正交） ;
4. 将特征向量单位化.
对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.
定理1 对称矩阵的特征值为实数.
定理2 设1 , 2 是对称矩阵A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量 , 若1 2 , 则p1与p2正交.
证明 1 p1 Ap1 , 2 p2 Ap2 , 1 2 ,
A对称, A AT ,
例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P ， 1 P AP 为对角阵. 使 2 2 0 4 0 0 (1) A 2 1 2 , ( 2) A 0 3 1 0 2 0 0 1 3 解 (1)第一步 求 A 的特征值
A与B相似 可逆阵P , 使得P 1 AP B
定理1 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同 .
B E A E .
推论 若 n 阶方阵A与对角阵
1 2 n
相似, 则1 , 2 ,, n即是A的n个特征值.
如果 A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵 A不一定能 对角化，但如果能找到 n个线性无关的特征向量， A 还是能对角化．
例1
判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 1 2 2 2 1 2 (1) A 2 2 4 ( 2) A 5 3 3 2 1 0 2 4 2
（1）正交化，取 b1 a1 ， [b1 , a 3 ] [b2 , a 3 ] b1 , a2 b3 a 3 b1 b2 b2 a2 b1 , [b1 , b1 ] [b2 , b2 ] b1 , b1
[br 1 , a r ] br a r b1 b2 br 1 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ] [br 1 , br 1 ]
上述由线性无关向量组 a1 ,, a r 构造出正交 向量组b1 ,, br的过程, 称为 施密特正交化过程 .
1 r 2 r
[b , a ] [b , a ]