矩阵A的对角化
矩阵的对角化及其在高等数学中的应用
矩阵的对角化及其在高等数学中的应用矩阵是高等数学中的基础概念之一，它在解决线性方程组和矩阵变换问题中具有重要作用。
在实际问题中，矩阵常常需要进行对角化处理，以便更方便地求解问题。
本文将介绍矩阵的对角化及其在高等数学中的应用。
一、什么是矩阵的对角化对角化是指将一个矩阵变换为对角形式的过程，使得矩阵的主对角线上为非零元素，而其余元素均为零。
举个例子，一个2×2的矩阵A可以进行对角化，其对角化后的形式可以写成：> P^-1 * A * P = D其中P是一个可逆矩阵，D为对角矩阵。
对角矩阵只有主对角线上有非零元素，其他位置都为零。
通过对角化，矩阵变得更加简单，容易处理。
二、如何进行矩阵的对角化对于一个n×n的矩阵A，要进行对角化处理，需要满足以下条件：1.矩阵A必须有n个线性无关的特征向量，这些特征向量组成的矩阵可以写成P=[v1，v2，···，vn]。
2.对于对角矩阵D，其主对角线上的元素必须是矩阵A的n个特征值。
基于这些条件，可以得到矩阵A的对角化公式：> P^-1 * A * P = D其中P=[v1，v2，···，vn]，D=[λ1，λ2，···，λn]为对角矩阵。
λ1、λ2···λn为A的特征值，v1、v2···vn为对应的特征向量。
三、高等数学中的应用在高等数学中，矩阵的对角化在求解一些实际问题中具有重要作用。
1. 矩阵的对角化在求解差分方程中的应用线性差分方程是数学中的一种经典问题。
对于一个n阶线性差分方程，其解法是先对其进行离散化处理，变成一个线性方程组。
接着，对该线性方程组进行矩阵形式的表示，就可以得到一个n×n矩阵。
通过矩阵的对角化，可以将线性方程组解放到主对角线上，从而得到差分方程的通解。
2. 矩阵的对角化在离散傅里叶变换中的应用离散傅里叶变换是一种将时域上信号变换为频域上信号的重要算法。
矩阵的对角化
Λ
0
1
0
，则有
A PΛP1
0 0 0
1 1 0
从而
An
(PΛP 1)n
PΛn P 1
2
2
0
4 2 1
23
(3) f ( A) A3 3A2 A 2I Pf ( Λ)P1
f (1)
Hale Waihona Puke P
22
(2) 解方程组 (I A)x 0 ，得对应于 1 的2个 线性无关的特征向量 p1 (1, 2, 0)T , p2 (0, 0,1)T
解方程组 (0I A)x 0 ，得对应于 0
的1个线性无关的特征向量 p3 (1,1, 2)T
1 0 0
令
P ( p1, p2 , p3 )及
(3) 非零的实反对称矩阵不可能相似于实对角矩阵.
幂等矩阵
定义
设 A 为 n 阶方阵, 若满足 A2 A 则称 A 为幂等矩阵.
性质
(1) 幂等矩阵的特征值为0或1.
(2)
幂等矩阵一定相似于形如
Ir
0
0 0
的对称阵.
幂零矩阵
定义 设 A 为 n 阶方阵, 若满足 Am 0 (ｍ为正整数），则称
*
2
L
M M L
*
*L
n
则 1, 2 ,L , n
是A的全部特征值。
4
3.2.2 矩阵的对角化 定理3.6 n 阶矩阵A能相似于对角矩阵的充
分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。 充分性 设方阵A的n个线性无关的特征向量
矩阵可相似对角化的条件课件
在数值分析中的应用
线性方程组的求解
通过矩阵相似对角化，可以将一个系 数矩阵转化为对角矩阵，从而简化线 性方程组的求解过程。
数值稳定性
在数值分析中，矩阵可相似对角化有 助于提高数值计算的稳定性，因为对 角矩阵的运算相对简单且误差较小。
在控制理论中的应用
系统稳定性分析
在控制理论中，系统的稳定性可以通 过分析系统的特征值来判定。如果系 统的矩阵可相似对角化，则可以通过 对角矩阵的特征值来快速判定系统的 稳定性。
最小多项式
最小多项式是矩阵相似对角化的另一 个重要条件。最小多项式是用于描述 矩阵的最小多项式和特征向量关系的 方程。如果一个矩阵的最小多项式存 在重根，则该矩阵无法通过相似变换 对角化。
VS
最小多项式的计算方法是通过求解特 征值对应的特征方程组，得到特征向 量，然后根据特征向量和特征值的关 系计算最小多项式。如果最小多项式 存在重根，则矩阵无法对角化。
实例
考虑一个4阶矩阵，其特征值为$lambda_1 = -3$、 $lambda_2 = -1$、$lambda_3 = 2$和$lambda_4 = 4$，对应的特征向量分别为α₁、α₂、α₃和α₄。如果这四 个特征向量线性无关，则矩阵可相似对角化。
THANKS
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反证法
总结词
通过假设矩阵不可相似对角化，然后推导出 矛盾，从而证明矩阵可相似对角化。
详细描述
反证法是一种常用的证明方法，通过假设矩 阵不可相似对角化，然后推导出一些矛盾的 情况，如行列式值为零或特征多项式无重根 等，从而证明矩阵可相似对角化。这种方法
逻辑严谨，但需要一定的数学基础。
归纳 法
要点一
状态空间控制设计
在状态空间控制设计中，通过矩阵相 似对角化可以将复杂的系统分解为若 干个简单子系统，有助于简化控制器 的设计过程。
可对角化矩阵的充要条件
可对角化矩阵的充要条件
一个矩阵可对角化的充分必要条件是：该矩阵的特征值均不为0，且每个特征值对应的特征向量线性无关。
具体来说，对于一个n阶方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP为对角矩阵，则称矩阵A可对角化。
充要条件包括：
1、A有n个线性无关的特征向量。
2、A的极小多项式没有重根。
3、A的Jordan标准型是全一的对角矩阵。
4、A的Smith标准型是全一的对角矩阵。
在实际应用中，可以通过计算矩阵的特征值和特征向量来判断矩阵是否可对角化。
如果特征值均不为0，且每个特征值对应的特征向量线性无关，则该矩阵可对角化。
如果特征值为0，或者某个特征值对应的特征向量线性相关，则该矩阵不可对角化。
矩阵对角化
引言在高等代数中，我们为了方便线性方程组的运算引入了矩阵的概念. 在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的系数矩阵和增广矩阵反应出线性方程组的一些重要性质，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组之外，在二次型中我们用矩阵研究二次型的性质，引入了矩阵合同、正定、负定、半正定、半负定等概念及其判别方法.在线性空间中用矩阵研究线性变换的性质，引入矩阵相似的概念，这是一种等价关系，利用它我们把矩阵分类，其中与对角矩阵相似的矩阵引起的我们的注意，由此我们对线性变换归类，利用简单的矩阵研究复杂的，方便我们看待问题，进而又引入对角型矩阵、λ矩阵及若尔当标准型.基本概念定义定义1 常以n m P ⨯表示数域P 上n m ⨯矩阵的全体，用E 表示单位矩阵.定义2 n 阶方阵A 与B 是相似的，如果我们可以找到一个n 阶非奇异的方阵矩阵T n n P ⨯∈，使得AT T B 1−=或者BT T A 1−=.根据定义我们容易知道相似为矩阵间的一个等价关系：①反身性：AE E A 1−=； ②对称性：若A 相似于B ，则B 相似于A ； ③传递性：如果A 相似于B ，B 相似于C ，那么A 相似于C . 定义3 n 阶方阵A 与B 是合同的，如果我们可以找到一个n 阶非奇异方阵T n n P ⨯∈，使得B =T T AT 或者BT T A T =.根据定义我们容易知道合同也为矩阵间的一个等价联系：①反身性：A =AE E T ；②对称性：由AT T B T =即有11)(−−=BT T A T ；③传递性：由111AT T A T=和2122T A T A T =有)()(21212T T A T T A T =.定义4 式为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯m b b b 000000021的m 阶方阵叫对角矩阵，这里i b 是数（),2,1m i ⋯⋯=. 定义5 方阵A n n P ⨯∈，若BT T A 1−=，T 非奇异，B 是对角阵，则称A 可相似对角化. 定义6 方阵A n n P ⨯∈，若BT T A T =，T 非奇异，B 是对角阵，则称A 可合同对角化.定义7 矩阵的初等变换：⑴互换矩阵的第i 行(列)于j 行(列)； ⑵用非零数c P ∈乘以矩阵第i 行(列)；⑶把矩阵第j 行的t 倍加到第i 行.定义 8 由单位矩阵经过一次初等行(列)变换所得的矩阵称为初等矩阵. 共有三种初等矩阵：①单位矩阵经过初等变换⑴得),(j i P 且),(),(1j i P j i P =−；②单位矩阵经过初等变换⑵得))((t i P 且)/1(())((1t i P t i P =−；③单位矩阵经过初等变换⑶得))(,(t j i P 且))(,())(,(1t j i P t j i P −=− 定义9 设方阵n n P B ⨯∈，若E B =2，就称B 为对合矩阵。
考研数学线代5矩阵的对角化
a1b1 a2b2 an bn ，再由前面特征值
的性质： 1 2 n a11 a22 ann 从而可得：
T
a1b1 a2b2 an bn 是 A 的特征值，重数是 1，而 0 特征值其重数
0 特征值对应的特 a1b1 a2b2 an bn 对应的特征向量是 k；
2 3 2 0，注意 0， 2 3 2 0 1或 2 。
例2 设
A是n阶矩阵（A是实对称矩阵）P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量是A 的属于
特征值 的特征向量，则矩阵 P 1 AP 属于特征值 的特征向量是：
T
（1） P 1 ； （3） P ；
矩阵的对角化
一 、矩阵的特征值和特征向量 1 定义： A 是一个 n 捷矩阵， 是一个非零列向量，若存在一个数 0 ，使得：
A 0
则称 0 是 A 的特征值， 称为属于 0 的特征向量。 2 相关的概念 （1）特征矩阵： E A; （2）特征多项式： f ( )
E A ; E A 的根，也就是特征值；
1 2 n a11 a22 ann tr ( A)
1 2 n A
4 A 可逆的充分必要条件是 A 的特征值均不为 0；
，n 是 A 的特征值，则 E kA 的特征值为 k1， - k2 , - kn ， 5 若 1，2， E kA k1 k2 kn ；
， n 与 1， 2， ， n 的对应关系； 注意：上述中 P 的列向量 P的列向量 1， 2，
由此可以得到：
4 相似变换矩阵 P 不是唯一的，对角矩阵的形式不是唯一的。
矩阵对角化问题总结
矩阵对角化问题总结矩阵对角化是线性代数中的一个重要概念，它在很多数学和工程领域中都有广泛应用。
对角化可以把一个矩阵转化为对角矩阵的形式，简化了计算和分析的过程。
本文将对矩阵对角化的定义、条件以及计算方法进行总结。
首先，矩阵对角化的定义如下：对于一个n × n的矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得我们可以得到对角矩阵D，则称矩阵A是可对角化的。
其中，对角矩阵D的非零元素是A的特征值，且按照相应的特征值的重数排列。
为了判断一个矩阵是否可对角化，我们需要满足以下条件：1. 矩阵A必须是一个方阵（即行数等于列数）。
2. 矩阵A必须具有n个线性无关的特征向量，对应于n个不同的特征值。
当满足上述条件时，我们可以通过以下步骤进行矩阵对角化：1. 求出矩阵A的特征值，即解A的特征方程det(A-λI) = 0，其中I是单位矩阵。
2. 对每个特征值λ，解方程组(A-λI)X = 0，求得对应的特征向量X。
3. 将特征向量按列组成矩阵P。
4. 求出特征值构成的对角矩阵D。
需要注意的是，在实际求解矩阵对角化问题时，可能会遇到以下情况：1. 矩阵A的特征值重数大于1。
在这种情况下，我们需要确保对应于相同特征值的特征向量线性无关。
2. 矩阵A不可对角化。
这意味着矩阵A无法被相似变换为对角矩阵。
这可能发生在矩阵A的特征向量不足以构成一组基的情况下。
矩阵对角化在很多应用中具有重要意义，它简化了矩阵的计算和分析过程。
对角矩阵具有很好的性质，例如幂运算和指数函数的计算变得更加简单。
此外，在线性系统的稳定性和动态响应的分析中，矩阵对角化也起到了关键的作用。
总之，矩阵对角化是一个重要而又广泛应用的概念。
本文对矩阵对角化的定义、条件以及计算方法进行了总结，并提到了在实际问题中可能会遇到的情况。
了解矩阵对角化的概念和方法，对于深入理解和应用线性代数具有重要意义。
矩阵对角化
定理3 定理 数域 P上 n 维线性空间 上线 上 维线性空间V上线 性变换 A 若在 P 中互异特征值的全体
λ1 , λ2 ,⋯, λs 且
dimVλ i = r i =1,2,⋯, s
则 A 关于 V 的某组基的矩阵为对角形
可知。 证：由定理2可知。 由定理 可知
重特征根,则 重特征根 命题1 命题 设 λ0 是线性变换A的k重特征根 则 dim Vλ ≤ k
∴ diag [5 , − 1, − 1] 即为A 在基 ξ1,ξ2 ,ξ3 下的矩阵。 下的矩阵。
（2）能 ）
∵ [ξ1 , ξ 2 , ξ 3 ] = [ε1 + ε 2 + ε 3 , ε1 − ε 3 , ε 2 − ε 3 ]
1 1 0 = [ε1 , ε 2 , ε 3 ] 1 0 1 1 − 1 − 1
于是（2）-（3）得： 得 于是 k1 (λs − λ1 )ξ1 + k 2 (λs − λ2 )ξ 2 + ⋯ + k s −1 (λs − λs −1 )ξ s −1 = 0 由假设可知 k1 − k 2 = ⋯ = k s − 1 = 0 代入（1）有 ksξs = 0 ∴ks = 0 有 代入 推论1: 个不同的特征值， 推论 若 A 有 n 个不同的特征值， 在某组基下的矩阵是对角阵。 则 A 在某组基下的矩阵是对角阵。
0
记 证:设 dim Vλ = t ,记 Vλ 的一组基为 设 ξ1 , ξ 2 , ⋯ξ t , 将它扩充成 V 的一组基 ξ1 ,
0
0
⋯, ξ t , ξ t +1 , ⋯, ξ n , 则 A 关于此基的矩阵为
λ0 Et B = O
C D
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1
现代控制理论（状态空间方法）的特点
统一表达和处理单、多变量系统，可以分析时变系 统和非线性系统；
核心是状态变量的能控性、能观性； 寻求最优控制性能； 重要成果有极点配置、状态观测器、最佳调节器、
最优控制等。
主要缺点：
对模型精度要求高，对模型误差及未知扰动的鲁棒 性较差；
状态反馈难以直接实现，而采用状态观测器使控制 结构复杂、 性能变差。
传递函数（阵）为 G( s ) C adj(sI-A)B D det (sI-A) det (sI-A)
det( sI A ) 0 为系统的特征方程，
对应的根称为系统的特征值
11
例: R-L-C串联网络（输入u，输出y=uc）
x 1
x
2
1RL
x 1
di( t ) dt
x2
uC ( t
)
i( t ) C duC ( t )
dt
x1
x 2
y
x 1 x 2
1RL
简记为 x Ax Bu
C
状态方程
1
L
0
x1 x2
1
L
u
0
y Cx
经典控制理论的特点
图形方法为主，物理概念强，直观简便，实用性强 控制结构简单，设定和调整参数少，且调整方针明确 以简单的控制结构获取相对满意的性能
主要缺点：
需反复“试凑”，控制结构及性能一般不是最优 仅适用于单变量（SISO）线性定常系统，不能用于
多变量（MIMO）系统、时变系统和非线性系统 只考虑系统输入与输出的关系,不涉及系统的内部状
状态反馈和极点配置、最优控制、状态观测器设计 —
— 理论应用 （8章）
主要讲SISO线性定常系统 3
一、线性系统的状态空间描述
状态变量：完全描述系统行为的最小一组变量
对 于n阶 系 统 ， 有n个 状 态 变 量 x1 ( t ), x2 ( t ), , xn ( t )
x1(t)
令
~x
uc u c
则
~x
uc
u c
uc i C
0 1 i 1C0 uc
即同一系统不同状态变量之间存在 P
x
线性变换关系（化简的基础）
7
线性系统状态空间表达式的一般形式
设 系 统 有p个 输 入 ，q个 输 出 ，n个 状 态 变 量 ， 则 有
2
状态空间方法的主要内容
线性系统状态空间描述 —— 数学模型（2章）
线性变换与对角规范型 —— 模型的结构化简（3、7章）
状态空间描述下的运动分析 —— 分析的基础（3章）
李雅普诺夫稳定性理论 —— 稳定性分析（自学）
状态可控性和可观性 —— 核心内容（7章）
状态空间描述下系统的结构分析 —— 可控或可观状态 变量的划分（自学）
程
状态空间描述的示意图 9
2. 两种模型的相互转化
由状态空间模型转化为传递函数（阵） 由微分方程或传递函数转化为状态空间模型 应用MATLAB进行模型之间的相互转化（自学）
10
由状态空间模型转化为传递函数（阵）
设 线 性 定 常 系 统 的 状 态空 间 模 型 为
x Ax Bu 注意！ u(t)
y 0
1
x x
1 2
输出方程
5
状态变量的选择是否唯一？
不唯一!
由R-L-C网络的输入 输出微分方程求
x 2
x2 x1
y LC
d
2 uC ( dt 2
t
)
RC
duC ( dt
t
)
uC
(
t
)
u(
t
)
x 1 x2
x 1
x
2
0 1
8
D
u
B
x ∫
x
C
y
x Ax Bu
A
线性系统状态空间模型的结构图
y Cx Du
一般的状态空间表达式：
x f ( x , u, t ) y g( x, u, t )
u( t ) 状
态 方
程
… …
x1
x2
xn
输
出
y( t )
方
x Ax Bu y Cx Du
u(t)
y(t)
系统
A: 系 统 （ 状 态 ） 矩 阵（n n）
B: 控 制 矩 阵 （n p）
C: 输 出 矩 阵 （q n）
D: 前 馈 矩 阵 （q p）
A、B、C、D 为常数阵 定常系统 A、B、C、D 含时变参数 时变系统
G(s)
y(t)
y Cx Du
系统
对其进行拉氏变换 sX(s) x(0 ) AX(s) BU(s) Y(s) CX(s) DU(s)
令初始条件为零， x( 0 ) 0 得：sX(s) AX(s) BU(s)
Y(s) G( s )U( s ) [C(sI A)1B D ]U( s )
y Байду номын сангаас 1
0
x x
1 2
由同一系统的不同状态空间表 达式导出的传递函数（阵）必 然相同
12
由微分方程或传递函数转化为状态空间模型
LC
状态方程
1 R
L
x1 x2
0 1
u
该方法具有一般性,可用于 输入输出高阶微分方程
y 1
0
x x
1 2
输出方程
6
同一系统不同状态变量之间的关系？
前例R-L-C网络的两 种状态变量为
i
x
uc
和
x
uc u c
x
2
(
t)
x(t)
x3
(t)
xn(t)
称为状态向量 构成n维状态空间
x(t0 ) x1
x3 x(t1 )
x(t ) x2
3维状态空间
随时间变化产生状态轨迹
4
1. 系统的状态空间表达式
例: R-L-C串联网络
（输入u，输出uc）
u(
t
)
x1
Ri( t )
L
C
1 L 0
x1 x2
1
L
0
u
y 0
1
x x
1 2
x 1
x
2
0 1
LC
1 R
L
x1 x2
0 1u
G( s )
LCs 2
1 RCs 1