第二节相似矩阵与矩阵对角化
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矩阵的相似对角化-文档资料
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3 1 例如，矩阵A= 有两个不同的特征值l1=4,l2=-2, 5 -1 1 1 其对应特征向量分别为x1= ，x2= . -5 1
1 1 取P=(x1, x2)= ，则 1 -5 P-1AP =-5 -1 1 — 6 -1 1 3 1 5 -1 1 1 4 0 = ， 1 -5 0 -2
所以A与对角矩阵相似.
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2.1 相似矩阵及其性质 定义2 设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得 P-1AP=B 成立，则称矩阵A与B相似，记为A~B. 定理1 如果矩阵A与B相似，则它们有相同的特征多项 式，从而有相同的特征值. 证明：因为P-1AP=B， |lE-B| =|lE-P-1AP| =|P-1(lE)P -P-1AP | =|P-1(lE-A)P| =|P-1||lE-A||P| =|lE-A|， A与B有相同的特征多项式， 所以它们有相同的特征值.
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l1 0 0 0 l2 0
0 0 ln
因为x1, x2, , xn线性无关,所以P可逆.用P-1左乘上式两端得
定理2 n阶矩阵A与n阶对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , , ln) 相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量.
-2 0 问题：若取P=(x2, x1)，问L=？ L＝ . 0 4
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推论 若n阶矩阵A有n个相异的特征值l1，l2，，ln，则 A与对角矩阵 L=diag(l1 , l2 , , ln) 相似.
注意 A有n个相异特征值只是A可化为对角矩阵的充分条件, 而不是必要条件. 例如，A=
可得 Axi =lixi (i=1, 2, , n) . 因为P可逆，所以x1, x2, , xn 都是非零向量，因而都是
线性代数4-3相似矩阵与矩阵对角化
利用矩阵对角化求二次型标准形
矩阵对角化
对于n阶方阵A，若存在可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$为对角矩阵，则称A可对 角化。
二次型与矩阵对应关系
对于二次型$f(x_1,x_2,...,x_n)=X^TAX$，其中A为实对称矩阵，若A可对角化， 则存在正交矩阵Q，使得$Q^TAQ=Lambda$，其中$Lambda$为对角矩阵。 此时，二次型的标准形为$f=y_1^2+y_2^2+...+y_n^2$，其中$y=QX$。
利用矩阵对角化求二次型标准形
利用矩阵对角化求二次型标准形的步骤 1. 写出二次型对应的实对称矩阵A； 2. 求出A的特征值和特征向量；
利用矩阵对角化求二次型标准形
01
02
03
3. 将特征向量正交化、单 位化，得到正交矩阵Q；
4. 计算 $Q^TAQ=Lambda$， 得到对角矩阵$Lambda$；
利用相似矩阵简化方程组
相似矩阵定义
若存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称A与B相 似。
相似矩阵性质
相似矩阵具有相同的特征多项式、特征值、行列式、 秩和迹。
简化方程组
通过寻找相似矩阵，可以将原方程组转化为更简单的 形式，从而更容易求解。
求解过程示例
2. 寻找可逆矩阵P，使得 P^(-1)AP=B，其中B为对 角矩阵或更易于求解的矩
不同特征值对应的特征 向量线性无关。
若$lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_k$是矩阵的互 不相同的特征值， $alpha_1, alpha_2, ldots, alpha_k$是分别 对应于这些特征值的线 性无关的特征向量，则 $alpha_1, alpha_2, ldots, alpha_k$线性无 关。
相似矩阵与矩阵对角化
P1
P
1 2
B,
故A与B相似.
2009.7.22
4-1-28
2009.7.22
4-1-8
相似矩阵与矩阵对角化
二、利用相似变换将方阵对角化
定对理于2n阶n阶矩矩阵阵A,若A与存对在角可阵逆相矩似阵的P,充使分P-必1A要P=条Λ 件是 为是对矩角阵阵A有,则n个称线将性方无阵关A对的角特化征.向量.
证明 必要性
假设A~ Λ,则存在可逆矩阵P,使P-1AP=Λ
依此类推 Bm=P-1AmP .
此结论利用数学归纳法可以证明
若设 A~B, 且φ(A)=a0+a1A +a2A2+…+ anAn , 则 φ(B)=P-1φ(A)P
2009.7.22
4-1-4
相似矩阵与矩阵对角化
特别是,当A为对角矩阵时,
a1 0 0
a
m
1
0
0
0 0
a2
0
0 an
m
还可求得
det( B E ) (n )( )n1 ,
即B与A有相同-27
相似矩阵与矩阵对角化
对应特征值 2 n 0,有n 1个线性无关的
特征向量, 故存在可逆矩阵 P 2 ,使得
P
1 2
B
P
2
,
从而
P
1 1
A
P1
P
1 2
B
P2,
即
P
2
P
1
1
A
若求A50,只需利用A50=P-1Λ50P即可.
2009.7.22
4-1-21
相似矩阵与矩阵对角化
三、约当矩阵的概念
定义 在n阶矩阵A=(aij)中,如果aii=λ(i=1,2, …,n), aii+1=1 (i=1,2, …,n-1), aij=λ (i≠j, j≠i+1)
6-2相似矩阵与矩阵的相似对角化资料
r(I
A)
r
k
0 k 1
k 0. 4 2 2
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
当k=0时，
3 2 2
A 0 1
0
4 2 3
对于特征值-1，可求得线性无关的特征向量 1 (1, 2,0) , 2 (1,0, 2) ,
对于特征值1，可求得特征向量
3 (1,0,1) , 1 1 1
令P
注：逆命题不成立。
例如,A
1 0
1 1 与E
1 0
0 1
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
1
D
2
的全部特征值
:
1
,
2
,
,
n
.
n
推论 若n阶方阵A与对角阵D相似，则A的全部特征
值为 1 , 2 , , n .
问题：(1)方阵可对角化的条件 ;
(2)如果方阵 A会对角化 ,即存在可逆矩阵 P 及对角矩阵 D,使得 P 1 AP D, 那么 , 如何求矩阵 P和 D呢 ?
5 3 7
r( A2 ) 2.
故对应与特征值0的线性无关的特征向量只有一个， 所以A2不可对角化。
西安交通大学
线性代数与空间解析几何
例2 k取何值时，矩阵
3 2 2
A k
1
k
4 2 3
相似于对角阵？并在A可对角化时，求可逆阵P，使其
化为对角阵。
解 先求特征值。
3 2 2
I A k 1 k ( 1)2 ( -1） 0
4 2 3 特征值为-1, -1, 1,
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线性代数与空间解析几何
A可对角化 特征值-1的几何重数为2 对应于特征值-1，有2个线性无关的
4-2相似矩阵与矩阵的对角化
5
1 1
x1 x2
0 0
即 5 x1 x2 0
解之得， X 1,5T
当 2 2 时，对应的特征向量 X 满足：
1
5
1 5
x1 x2
0 0
即 x1 x2 0
解之得，X 1,1T
取P =
1 5
1 1
P
1
=
1 4
5
4
1
4
令X PY
1 4
dx1 dt
3 x1
x2
例4
求解线性微分方程组
dx2
dt
5 x1
3x2
解 可以记写成X 如 下xx矩12 阵，A形式：53dX31
,则方程组①
AX
dt
3 I A =
1 = 2 2 =0
5 3
故 A 的特征值为，1 2，2 2
当1 2 时，对应的特征向量 X 满足：
5
存在 n 阶可逆阵 P ,使
1
P
1
AP
2
O
1
,
AP
P
n
2
O
n
把P
于是有
按列分块为P X1, X2,L
, Xn ,
A X1, X2,L , Xn 1X1,2 X2,L ,n Xn
即 AXi i Xi i 1, 2,L , n
由于 P 是可逆阵，Xi 0i 1, 2,L , n
dX AX dt
其中
A
a11 M
O
aM1n ,
X
xM1
an1 ann
xn
作线性变换 X PY 则方程组变为
dY P1 APY BY dt
1
5.2 相似矩阵与矩阵的相似对角化
第二节 矩阵相似与矩阵的相似对角化
主要内容
矩阵相似的概念 矩阵相似的性质 矩阵的相似对角化
黄凤英 5.2矩阵相似与矩阵的相似对角化
一、矩阵相似的概念
定义 7 设 A , B 为 n 阶方阵, P 为 n 阶可逆
矩阵, 且 P-1AP = B , 则称矩阵 A 与矩阵 B相似. 对 A 进行运算
P-1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.
5 0 6 1
2 1 2
所以A的全部特征值为1 2 1, 3 2.
黄凤英 5.2矩阵相似与矩阵的相似对角化
将1 2 1代入 A E x 0得方程组
3 x1 6 x2 0 3 x1 6 x2 0 3 x 6 x 0 1 2
2 4
2
4 2
0
2 7
得 1 2 2, 3 7.
黄凤英 5.2矩阵相似与矩阵的相似对角化
将 1 2 2代入 A 1 E x 0, 得方程组
x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 4 x2 4 x3 0 2x 4x 4x 0 1 2 3
所以1 , 2 , 3线性无关.
即A有 3个线性无关的特征向量 ,因而A可对角 化.
黄凤英 5.2矩阵相似与矩阵的相似对角化
2 1 2 ( 2) A 5 3 3 1 0 2 2 1 A E 5 1 3 0
2
3 3 1 2
A 不一定有 n 个线性无关的特征向量, 所以 A 不
一定能对角化.
黄凤英 5.2矩阵相似与矩阵的相似对角化
主要内容
矩阵相似的概念 矩阵相似的性质 矩阵的相似对角化
黄凤英 5.2矩阵相似与矩阵的相似对角化
一、矩阵相似的概念
定义 7 设 A , B 为 n 阶方阵, P 为 n 阶可逆
矩阵, 且 P-1AP = B , 则称矩阵 A 与矩阵 B相似. 对 A 进行运算
P-1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.
5 0 6 1
2 1 2
所以A的全部特征值为1 2 1, 3 2.
黄凤英 5.2矩阵相似与矩阵的相似对角化
将1 2 1代入 A E x 0得方程组
3 x1 6 x2 0 3 x1 6 x2 0 3 x 6 x 0 1 2
2 4
2
4 2
0
2 7
得 1 2 2, 3 7.
黄凤英 5.2矩阵相似与矩阵的相似对角化
将 1 2 2代入 A 1 E x 0, 得方程组
x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 4 x2 4 x3 0 2x 4x 4x 0 1 2 3
所以1 , 2 , 3线性无关.
即A有 3个线性无关的特征向量 ,因而A可对角 化.
黄凤英 5.2矩阵相似与矩阵的相似对角化
2 1 2 ( 2) A 5 3 3 1 0 2 2 1 A E 5 1 3 0
2
3 3 1 2
A 不一定有 n 个线性无关的特征向量, 所以 A 不
一定能对角化.
黄凤英 5.2矩阵相似与矩阵的相似对角化
矩阵的相似与对角化
矩阵的相似与对角化在线性代数中，矩阵是一种重要的数学工具，与线性变换和向量空间的理论密切相关。
矩阵的相似与对角化是矩阵理论中的两个重要概念，它们在解决特征值问题、矩阵的可对角化性和矩阵的特殊性质等方面发挥着重要作用。
一、矩阵的相似矩阵的相似是指具有相同特征值的矩阵之间存在一种关系。
设A和B是两个n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=B成立，那么就称矩阵A与B相似，记作A∼B。
相似关系是一种等价关系，它具有自反性、对称性和传递性。
相似矩阵有以下几个重要性质：1. 相似矩阵具有相同的特征值。
设A与B相似，那么它们的特征多项式和特征值都相同。
2. 相似矩阵具有相同的迹。
矩阵的迹是指主对角线上元素的和。
如果A与B相似，那么它们的迹也相等。
3. 相似矩阵具有相同的秩。
矩阵的秩是指矩阵的列空间的维度。
如果A与B相似，那么它们的秩也相等。
二、矩阵的对角化对角化矩阵是一种特殊的相似矩阵，使得矩阵在某一种特殊的变换下能够变为对角矩阵。
设A是一个n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=D成立，其中D是一个对角矩阵，那么就称矩阵A可对角化。
对角化的充要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量，即A的特征向量组成一个线性无关的向量组。
此时，矩阵A经过适当的变换后，可以将其对角化。
对角化的优点是简化了矩阵的计算和处理。
对角矩阵的运算更加方便，可以更直观地观察矩阵的性质，同时在求解线性方程组和矩阵的幂等问题时，也能够更加高效地进行计算。
三、矩阵相似与对角化的关系矩阵的相似与对角化之间存在一定的联系。
设A是一个n阶矩阵，如果A与对角矩阵D相似，那么A可对角化。
具体地说，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=D成立，那么矩阵A可对角化。
对角化的好处在于可以将矩阵的运算和计算简化为对角矩阵的运算。
同时，对角化也能够更好地揭示矩阵的特殊性质，如特征值、特征向量和秩等。
计算矩阵的相似和对角化是解决线性代数问题的重要方法。
相似矩阵与矩阵的对角化
相似矩阵与矩阵的对角化
用A左乘式（6-11），得 x1Ap1+x2Ap2+…+xk－1Apk－1+xkApk=0 x1λ1p1+x2λ2p2+…+xk－1λk－1pk－1+xkλkpk=0（6-12） 式（6-12）减去式（6-11）的λk倍，得 x1(λ1－λk)p1+x2(λ2－λk)p2+…+xk－1(λk－1－λk)pk－1=0 按归纳法假设p1,p2,…,pk－1线性无关，故xi(λi－ λk)=0(i=1,2,…,k－1).而λi－λk≠0(i=1,2,…,k－1)，于是得 xi=0(i=1,2,…,k－1)，代入式（6-11）得xkpk=0，而pk≠0，得 xk=0.因此，向量组p1,p2,…,pm线性无关. 因此有以下定理：
相似矩阵与矩阵的对角化
解 若用3维向量xi表示第i年后从事这三种职业的人 员总数（单位：万人），则已知
相似矩阵与矩阵的对 角化
相似矩阵与矩阵的对角化
一、 相似矩阵的概念
定义6-5
对n阶方阵A，B，若存在一个n阶可逆矩阵P，使 P－1AP=B
成立，则称矩阵A与B相似或矩阵A相似于B，记作A~B. 矩阵的相似是一种等价关系c，满足以下三个性质： （1）反身性：A与自身相似. （2）对称性：若A与B相似，则B与A相似. （3）传递性：若A与B相似，B与C相似，则A与C相似.
在实际问题中，有时会将问题归结为计算一个 矩阵A的高次幂Ak，一般用矩阵乘积的行乘列法则来 计算矩阵幂是很麻烦的，特别在幂次很大时尤甚.我 们知道，从对角阵的特点可知有如下简单的结论：
相似矩阵与矩阵的对角化
自然想到，当A可对角化时，能否找到一个计算矩 阵的高次幂Ak的简单方法呢？回答是肯定的.事实上，若 A可对角化，则可建立起分解式A=PΛP－1，有
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实对称矩阵相似对角化是线性代数中的重要内容。首先，需要明确矩阵相似的。相似关系比等价关系更为密切，具有更多性质，如相似矩阵有相同的特征多项式和特征值。对于实对称矩阵，我们关心的是它是否能与一个对角矩阵相似，即是否可对角化。可对角化的条件是矩阵存在n个线性无关的特征向量。具体对角化方法包括：求出实对称矩阵的全部特征值和对应的线性无关的特征向量，构造可逆矩阵P，其中P的列向量是A的线性无关的特征向量，然后利用相似变换公式P逆AP求出对角矩阵。这个过程体现了实对称矩阵优良的性质，即它总可以相似对角化，且对角线上的元素即为其特征值。