矩阵对角化,实对称矩阵的相似标准形分解概述.
A与B相似 可逆阵P , 使得P 1 AP B
定理1 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同.
B E A E .
推论 若 n 阶方阵A与对角阵
1 2 n
相似, 则1 , 2 ,, n即是A的n个特征值.
如果 A的特征方程有重根，此时不一定有 n个线性无关的特征向量，从而矩阵 A不一定能 对角化，但如果能找到 n个线性无关的特征向量， A 还是能对角化．
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 1 2 2 2 1 2 (1) A 2 2 4 ( 2) A 5 3 3 2 1 0 2 4 2 解 1 2 2
5.2 矩阵对角化
一、相似矩阵与相似变换的概念
定义1 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵 P , 使 P AP B , 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似.对A进 行运算 P 1 AP称为对A进行相似变换 , 可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵.
1
A与B相似 可逆阵P , 使得P 1 AP B
作业
• P200 • P203 8，9，10 13
6.3 实对称矩阵的相似标准形 分解（即对角化）
一、对称矩阵的性质
A为对称阵 , 即A AT .
说明：本节所提到的对称矩阵均指实对称矩阵．
12 6 1 例如 A 6 8 0 为对称阵 . 1 0 6
三、利用相似变换将方阵对角化
对 n 阶方阵 A , 若可找到可逆矩阵 P , 使 P 1 AP 为对角阵, 这就称为把方阵 A对角化 .
定理2 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量 .
推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等， 则 A 与对角阵相似．
(1) 由 A E 2 2
2 4
2
4 2
0
2 7
得 1 2 2, 3 7.
将 1 2 2代入 A 1 E 0, 得方程组
x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 4 x2 4 x3 0 2x 4x 4x 0 1 2 3
解之得基础解系
2 0 1 0 , 2 1 . 1 1
1 , 2 线性无关 .
同理 , 对3 7,由 A E x 0,
求得基础解系 3 1,2,2
T
2 0 1 由于 0 1 2 0, 1 1 2
所以1 , 2 , 3线性无关.
即A有 3个线性无关的特征向量 ,因而A可对角 化.
2 1 2 ( 2) A 5 3 3 1 0 2 2 1 A E 2 3 1. 把 1代入 A E x 0, 解之得基础解系 T (1,1,1) ,
故A 不能化为对角矩阵.
6 0 4 例2 设A 3 5 0 3 6 1 A能否对角化？若能对角 化, 则求出可逆矩阵 P, 使P 1 AP为对角阵.
解
4
6
0
A E 3 3
5 6 1
0 1 2
2
所以A的全部特征值为1 2 1, 3 2.
将1 2 1代入 A E x 0得方程组
3 x1 6 x2 0 3 x1 6 x2 0 3 x 6 x 0 1 2
解之得基础解系
2 1 1 , 0
定理1 若n阶矩阵A与B相似, 则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同.
证明
A与B相似 可逆阵P , 使得P 1 AP B 1 1 B E P AP P E P
P 1 A E P
P 1 A E P A E .
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应．
2 1 2 ( 2) A 5 3 3 能 否 对 角 化 ？ 1 0 2 2 1 2
A E
5 1
3 0
3 1 2
3
所以A的特征值为1 2 3 1. 把 1代入 A E x 0, 解之得基础解系 (1,1,1)T , 故A 不能化为对角矩阵.
1 , 2 线性无关 .
0 2 0 . 1
将3 2代入 A E x 0, 得方程组的基础 解系
3 1,1,1T .
所以 A 可对角化. 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 P AP 0 1 0 . 0 0 2
由于 1 , 2 , 3 线性无关. 2 令 P 1 , 2 , 3 1 0
则有
1 若令P 3 , 1 , 2 1 1 2 0 1 则有 P AP 0 1 0 0
注意
2 0 1 0 , 0 1 0 0 . 1
3 矩阵的相似标准形
定理7：矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关。
定理8：若1 , 2 , , s是矩阵A的互不相同的特征值， 1i ,2i , ,tii是A的属于特征值i的线性无关的特征向量，则 11,21 , ,t1112,22 , ,t2 2 1s ,2 s , ,ts s 线性无关。
31
特征子空间
定义：设f Hom(V ,V ), 0是f 的特征值。称
V0 V | f () 0
为 f的相应于特征值 0的特征子空间。
dimV0 =线性变换 f 的属于特征值 0 的
线性无关特征向量的个数。
32
可对角化的条件
假设 dim V n ， f Hom(V , V ) 的特征多项式为
,
1 1 f (X ) 1 1 X
求f的特征值、特征向量。
10
特征多项式的计算
定义： 假设矩阵 A aij
nn
， 第1 i1 i2 ik n
行，则 A 的第 i1 , i2 ,, ik 行，第 i1 , i2 ,, ik 列交 叉处的元素构成的 k 阶子式称为 A 的一个 k 阶 主子式。
则下述条件是等价的： 1. f是可对角化的；
2.i， dimVi ri ;
3.V V1 V2 Vs
36
例10
f Hom(C
22
,C
22
)定义为： X C
22
,
1 f (X ) 2
1 X 2
1.求f在基E11 , E21 , E12 , E22下的矩阵；
24
例5
1 2 2 已知A 1 0 3 ，求A100。 1 1 2
实对称矩阵的标准形
•又由A实对称，有
5
•考察等式， •由于 是非零复向量，必有
•故
6
•引理2 设A是实对称矩阵，在 n维欧氏空间 上
•定义一个线性变换 如下：
•则对任意
有
•或
7
•证：取 的一组标准正交基，
•则 在基
下的矩阵为A，即
•任取
8
•即
•于是
•又
是标准正交基，
9
•又注意到在 中 •即有
•二、对称变换
•1．定义
8
•事实上，如果由上述方法求得的正交矩阵T
•取正交矩阵 •则 是正交矩阵且 •同时有
9
•② 如果不计较主对角线上元素的排列的次序，与
•实对称矩阵A正交相似的对角矩阵是唯一确定的． •③ 因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可
•用实对称矩阵的特征值的性质刻画其正定性：
•设
为实对称矩阵A的所有特征值
•2．任意n元实二次型的正交线性替换化标准形
•1）正交线性替换
•如果线性替换
X=CY
•的矩阵C是正交矩阵，则称之为正交线性替换.
•从而
就是 的一组标准正交基，
•又都是 的特征向量．•即结论成立．
•3．实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤
•设 •(i) 求出A的所有不同的特征值：
•其重数
必满足
;
•(ii) 对每个 ，解齐次线性方程组
9
•求出它的一个基础解系：
•它是A的属于特征值 的特征子空间 的一组基．
•把它们按
正交化过程化成 的一组标准
•对 的维数n用归纳法． •n=1时，结论是显然的． •假设n－1时结论成立，对
设其上的对称变换
5.4 对称矩阵的相似矩阵
λ
i
为实数,所以齐次
λ
i
E )x = 0
是 实 系 数 方 程 组 ,由 A −
λ
i
E = 0知 必 有 实 的 基 础 解
系,从 而 对 应 的 特 征 向 量 可 以 取 实 向 量 .
定理 2 设λ1 , λ 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量 , 若λ1 ≠ λ 2 , 则p1与p2正交 .
当abc ≠ 0 时，ax + by + cz = 0 的两个正交解为 ( −b, a , 0)T ,(ac, bc, − a 2 − b2 )T 当abcd ≠ 0 时, ax + by + cz + dw = 0 的三个两两正交解为 ( − b, a , 0,0)T ,(0, 0 − d , c )T , (a(c 2 + d 2 ), b(c 2 + d 2 ), − c(a 2 + b2 ), −d (a 2 + b2 ))T
则
说明： 说明： （1）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下，对 ）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下， 称矩阵的正交相似标准形唯一的，但是所用的正交矩阵 称矩阵的正交相似标准形唯一的， 却不是唯一的。 却不是唯一的。 （2）对于一般的齐次线性方程，有如下公式： ）对于一般的齐次线性方程，有如下公式：
第四节 对称矩阵的相似标准形
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明， 均指实对称矩阵 实对称矩阵． 均指实对称矩阵． 定理1 对称矩阵的特征值为实数， 定理1 对称矩阵的特征值为实数，其特征向量一定是 实向量。 实向量。 证明略 定理1 定理1的意义
矩阵的相似标准形
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感谢聆听
将矩阵A的全部特征向量构成一个矩阵P， 则P^(-1)AP即为所求的相似标准形。
初等变换法
第一步
写出矩阵A的特征多项式f(λ)， 并求出其全部根，即矩阵A的 全部特征值。
第二步
对每一个特征值λi，构造一个 以λi为主对角线元素的对角矩 阵Di，并将矩阵A与Di进行初 等行变换，得到一个与A相似 的矩阵Bi。
第三步
将所有与A相似的矩阵Bi进行 初等列变换，得到一个最简形 式的矩阵C，则C即为所求的相 似标准形。
正交变换法
01
02
03
04
第一步
求出矩阵A的全部特征值和特 征向量。
第二步
将矩阵A的全部特征向量进行 施密特正交化，得到一个正交 矩阵Q。
第三步
对正交矩阵Q进行归一化处理 ，得到一个新的正交矩阵P。
通常，这个矩阵可以通过求解原矩阵的特征向量得到。
02
计算特征值和特征向量
利用数值计算方法，如幂法、反幂法等，求解原矩阵的特征值和特征向
量。
03
构造相似变换矩阵并应用
使用求得的特征向量构造相似变换矩阵，并将其应用于原矩阵，得到相
似标准形。
实例演示：Python实现过程
01 02 03 04 05
导入所需的库 定义原矩阵
矩阵的条件数
条件数用于衡量矩阵求解问题对输入误差的敏感性。条件 数越大，求解过程中数值不稳定性越严重。
迭代算法的收敛性
对于迭代算法，需要关注其收敛速度以及是否收敛于精确 解。不合适的迭代参数或初始值可能导致算法不收敛或收 敛速度极慢。
算法设计思路及步骤
01
选择合适的相似变换矩阵
为了将原矩阵转换为相似标准形，需要构造一个合适的相似变换矩阵。
6-3实对称矩阵的相似对角化
1 = (2 λ )(4 λ ) , 3λ
2
0
得特征值 λ1 = 2, λ2 = λ3 = 4.
0 对 λ1 = 2,由( A 2 E ) x = 0, 得基础解系 ξ1 = 1 1 对 λ 2 = λ 3 = 4,由( A 4 E ) x = 0, 得基础解系
1 0 ξ 2 = 0 , ξ 3 = 1 . ξ 2与ξ 3 恰好正交 , 0 1
α Tα1 α Tα1 α Tα1 1 2 n T α 2 α Tα 2 α Tα 2 2 n α1 =E T α α α Tα α Tα 1 n 2 n n n
1, 当 i = j; α α i = δ ij = 0, 当i ≠ j
T j
( i , j = 1, 2, , n )
§6.3
实对称矩阵的相似 对角化
一,实对称矩阵特征值与特征向量的性质
定理1 定理1 的特征值为实数. 实对称矩阵 ( AT = A) 的特征值为实数.
证明 设复数 λ为对称矩阵 A的特征值 , 复向量 x为
对应的特征向量 , Ax = λx , x ≠ 0. 即
用 λ 表示λ的共轭复数, x表示x的共轭复向量, 表示 则 A x = A x = ( Ax ) = (λx ) = λ x .
定理 2 设λ1 , λ 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量 , 若λ1 ≠ λ 2 , 则p1与p2正交 .
证明 λ1 p1 = Ap1 , λ2 p2 = Ap2 , λ1 ≠ λ2 ,
∵ A对称, A = AT ,
∴ λ1 p1 = (λ1 p1 ) = ( Ap1 ) = p1 T AT = p1 T A,
范正交化.
定理5 定理5 设 α1 , α 2 , L , α s 是一组线性无关的向 量,则可以找到一组正交的向量 β 1 , β 2 , L , β s 等价. 使得向量组 α1 , α 2 , L , α s 与 β 1 , β 2 , L , β s 等价. 证明 首先, 首先,令 β 1 = α1 再令 β2 = α2 + kβ1 及 β 1 , β 2 = 0 即 β 1 , α 2 + k β 1 , β 1 = 0 从而求出
矩阵的对角化
§6.2 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的求法 三、特征值与特征向量的性质
一、特征值与特征向量的概念
定义1 设A为n阶方阵，若数和n维非零列向量x , 使
Ax x (1)
则称为A的特征值, x为A的对应于特征值 的. 特征向量.
(1)式改写：(A E)x 0
1 1
,
1
AE 0
E
1 0
0 1
,
1 (1 )2 ,
1
1
E E 0
0 (1 )2 ,
1
而与E相似的矩阵仍为E, [P1EP E]
但A E, 故A不可能与E相似.
1
推论
若n阶方阵A与对角阵
2
O
n
相似，则 1, 2 ,L , n 即为A的n个特征值.
1
则称为A的特征值, x为A的对应于特征值 的. 特征向量.
(1)式改写：(A E)x 0
(2)
齐次线性方程组有非零解 A E 0 (3) 即：
(特征方程)
注： A的特征值即为A的特征方程的根，在复数范围内，
n阶方阵A有n个特征值（重根按重数计）.
二、特征值与特征向量的求法
(1) 求出Ann的特征多项式 A E (2) 求出特征方程 A E 0的全部根1, 2 , L n ,
证：" " 设有可逆矩阵P，使P1AP diag{1, 2 ,L , n}
P各列依次记为：p1, p2 ,L , pn ,
则：A( p1, p2,L , pn ) ( p1, p2 ,L , pn ) diag{1, 2 ,L , n} ( Ap1, Ap2 ,L , Apn) (1 p1,2 p2L, ,n pn) 即 Api i pi , (i 1, 2,L , n)
对称矩阵的对角化
5/3 0 2/ 3 1 3 , p 2 / 5 , p 2 5 /15 p1 2 3 2 3 1/ 5 4 5 /15
第三步
1 8, 2 3 1
Q AQ , Q AQ
T
1
5.4 实对称矩阵的对角化
二、实对称矩阵的对角化
对称矩阵对角化的步骤: (1) 求全部特征值; (2) 求特征值对应的线性无关的特征向量:
若特征值为单根,对特征向量单位化;
若特征值为重根,对特征向量正交化、单位化; Q 1 AQ (3) 写出正交矩阵Q, 及相似标准形
1 2 p p2 0.
T 1
1 2 , p1 p2 0. 即p1与p2正交.
T
5.4 实对称矩阵的对角化
定理3
使 Q AQ
设A为n阶对称矩阵,则必有n阶正交矩阵Q , 1 2 1
n
其中 1 ,2 , ,n 是A的全部特征值.
5.4 实对称矩阵的对角化
A:对称矩阵
1 满足Q AQ 求正交阵Q , ,
1 由A的特征值构成
2
n
Q 若特征值为单根,对特征向量单位化 若特征值为重根, 对特征向量正交化、单位化 由A的特征向量构成 Q p1 , p2 ,, pn .
若特征值为重根,对特征向量正交化、单位化; Q 1 AQ (3) 写出正交矩阵Q, 及相似标准形
Q ( p1 , p2 ,, pn )为正交阵,且 Q 1 AQ
5.4 实对称矩阵的对角化
( A x )T x ( x ) Ax ( x A) x ( x A ) x T T ( x ) x ( x ) x T ( )( x ) x 0TT来自TT2
矩阵的对角化
第四章 矩阵的对角化对于一个矩阵，如何寻找一个适当的变换，在将其变为简单矩阵的同时，保留原矩阵的一些重要特征，这是矩阵论中一个非常重要的问题.在这一问题的研究中，矩阵的特征值和特征向量的概念起着非常重要的作用.拉普拉斯在19世纪初提出了矩阵的特征值的概念.1854年，若尔当研究了矩阵化为标准形的问题.1885年,埃尔米特证明了一些特殊矩阵的特征根的性质，后人称之为埃尔米特矩阵的特征根性质，凯莱1858年发表了一篇论文《矩阵论的研究报告》，文中研究了方阵的特征方程和特征值的一些基本结果，克莱布什等证明了对称矩阵的特征根性质.在这一问题的研究史上，值得重点介绍的是下面两位数学家：第一位是柯西，他首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过3的矩阵有特征值及任意阶实对称矩阵都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值.第二位是弗罗贝尼乌斯，正是他引入了矩阵的相似变换、合同矩阵、正交矩阵等重要概念，并讨论了正交矩阵和合同矩阵的一些重要性质.矩阵的特征值、特征向量和仿真的对角化理论与方法是矩阵理论的重要组成部分，它不仅在数学的各个分支有重要作用，而且在其他学科如工程技术、数量经济分析等领域有着广泛的应用.本章主要讨论方阵的特征值与特征向量理论及方阵在相似意义下的对角化问题，并应用这些理论和方法解决一些实际问题.§4.1 矩阵的特征值和特征向量一、特征值和特征向量的概念在工程实践及经济管理等许多领域中，经常会遇到矩阵的特征值和特征向量的问题.例 4.1.1 经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题.为了研究某地区经济发展与环境污染之间的关系，可建立如下数学模型：设，分别为某地区目前 x 0 y 0 的环境污染水平与经济发展水平，，分别为该地区若干年后的环境污染水平与经济 x 1 y 1 发展水平，且有如下关系{ x 1 = 3x 0 +y 0 ，y 1 = 2x 0 +2y 0 .令， ， α0=( x 0 y 0 )α1=( x1 y 1 )A =(3 12 2)，则上述关系的矩阵形式为：α1=Aα0 .若该地区目前的环境污染水平与经济发展水平，则若干年后的环境污染水α0=( x0 y 0)=(11)平与经济发展水平为，α1=Aα0=(3 12 2) ( x 0 y 0 )=(3 12 2) (11)= (44)=4 (11)=4α0即这里，4就是矩阵的一个特征值，是矩阵的对应于4的一个特征向量.Aα0=4α0 . A α0 A 定义 4.1.1 设为阶矩阵，若存在数 和维非零列向量，使得A n λ n α ；Aα=λα则称为矩阵的特征值，是矩阵一个特征值，称为的属于（或对应于）特征值 λ A α0 A α0 A λ的特征向量.由特征值、特征向量的定义可得（1）若为的属于的特征向量，则对于非实数，也是的属于的特征向量. α A λk k α A λ （2）若为的属于的特征向量，则当时，也是的属于α1，α2 A λα1+α2 ≠0 α1+α2 A 的特征向量.λ （3）若为的互异特征值，分别为的属于的特征向量，则λ1， λ2 A α1，α2 A λ1， λ2 .α1≠α2 证 若，则，即，故.由于 α1≠α2 Aα1≠Aα2 λ1α1=λ2α2=λ2α1 (λ1-λ2)α1=0，所以，矛盾.因此.λ1≠λ2α1≠0 α1≠α2 例 4. 1. 2 求阶方阵的一个特征值与所对应的特征向量. n A =(a b b ⋯ bb a b ⋯ b ⋮ ⋮ ⋮ ⋮b b b ⋯ a )解 取维向量，则n α=(1，1，1)TAα=(a b b ⋯ bb a b ⋯ b⋮ ⋮ ⋮ ⋮b b b ⋯ a)(11⋮1)=(a +(n -1)b a +(n -1) b ⋮ a +(n -1) b)，故 是的一个特=[a +(n -1) b ](11⋮1)= [a +(n -1) b ] αλ=a +(n -1) b A 征值，是 属于特征值的一个特征向量.α A λ=a +(n -1) b 将（4.1.1）写成下面形式.(λE ‒A ) α=0根据定义，特征向量就是齐次线性方程组α. （4.1.2）(λE ‒A ) α=0的非零解.由于（4.1.2）有非零解的充要条件是其系数行列式等于零，故知阶矩阵的 n A 特征值满足方程λ .|λE ‒A |=0为叙述方便，引入下面的概念.定义4. 1. 2 .，称A =(a ij )n ×n f (λ)=|λE ‒A |=|λ-a 11 a 12 ⋯ -a 1n -a 21 λ-a 22 ⋯ -a 2n⋮ ⋮ ⋮-a n1 -a n2 ⋯ λ- a nn|为矩阵 的特征多项式，称为的特殊矩阵，称为的特征方程.A λE ‒A A |λE ‒A |=0 A 二、特征值与特征向量的计算求阶矩阵的特征值和特征向量，可按如下步骤进行：n A （1）计算的特征多项式，求出特征方程的全部根，，，.A |λE ‒A | |λE ‒A |=0 λ1λ2⋯λn对每个特征值，求解齐次线性方程组.设它的一个基础λi (i =1，2，⋯，n )(λi E ‒A ) x =0解系为，，，，则的属于的全部特征向量为αi 1 αi 2 ⋯αini A λ i k 1αi 1+k 2αi 2+⋯+k n iαini其中为不全为零的任意常数.k 1，k 2，⋯，k ni 限于本教材适用范围，我们将不讨论的复特征值和特征向量.A 例 4.1.3 求矩阵A =(2 -2 0- 2 1 -20 -2 0)的特征值与特征向量.解 矩阵的特征多项式A f (λ)=|λE ‒A |=|λ-2 2 02 λ-1 20 2 λ|=λ(λ-1)(λ-8)-8(λ-1)=(λ+2)(λ-1)(λ-4)由，得的特征值为，，.|λE ‒A |=0 A λ1=-2λ2=1λ3=4对于，解齐次线性方程组，即解方程组λ1=-2(-2E ‒A )x =0,，(- 4 2 02 -3 20 2 -2)(x 1x 2x 3)=(000)得基础解系，所以对应于，的全部特征向量为（ξ1=(1，2，2)Tλ1=-2k 1ξ1）.k 1≠0对于，解齐次线性方程组 ，即解方程组λ2=- 2 (E ‒A )x =0(- 1 2 02 0 20 2 1)(x 1x 2x 3)=(00)得基础解系，所以对应于的全部特征向量为ξ2=(2，1，‒2)T λ2= 1 （）..k 2ξ2k 2≠0对于，解齐次线性方程组 ，即解方程组λ3= 4 (4E ‒A )x =0，(2 2 023 20 2 4)(x 1x 2x 3)=(0)得基础解系，所以对应于的全部特征向量为（ξ3=(2，-2，1)Tλ3= 4 k 3ξ3）..k 3≠0例4.1.4 求矩阵的特征值与特征向量 A =(3 2 42 0 24 2 3)解 矩阵的特征多项式为Af (λ)=|λE ‒A |=|λ-3 - 2 -- 2 λ - -4 -2 λ |λ+1 0 -(λ+1)- 2 λ -2 -4 -2 λ-3|=,(λ+1)2(λ‒8)由，得的特征值为，.|λE ‒A |=0A λ1= λ2=-1 λ3=8对于，解齐次线性方程组，即解方程组λ1= λ2=-1(-E ‒A )x =0，(- 4 - 2 -4- 2 - 1 -2- 4 - 2 -4)(x 1x 2x 3)=(000)得基础解系，，所以对应于的全ξ1=(-1，2，0)T ξ2=(2，1，‒2)Tλ1= λ2=-1部特征向量为不全为零）.k 1ξ1+k 2ξ2（k 1，k 2 对于，解齐次线性方程组，即解方程组λ3=8(8E ‒A )x =0，(5 -2 -4- 2 8 -2- 4 - 2 5 )(x 1x 2x 3)=(00)得基础解系，所以对应于的全部特征向量为（）.ξ3=(-1，2，0)Tλ3=8 k 3ξ3k 3≠0例4.1.5求矩阵的特征值与特征向量 A =(3 2 42 0 24 2 3)解 矩阵的特征多项式为A f (λ)=|λE ‒A |=|λ-3 1 -- 2 λ - -1 1 λ-2||λ-2 1 -1λ-2 λ -1 0 1 λ-2|=,(λ-2)2(λ‒1)由，得的特征值为，.|λE ‒A |=0A λ1= λ2=2 λ3=1对于，解齐次线性方程组，即解方程组λ1= λ2=2(2E ‒A )x =0，(- 1 1 -1- 2 2 -1- 1 1 0)(x 1x 2x 3)=(000)得基础解系，所以对应于的全部特征向量为ξ1=(1，1，0)Tλ1= λ2= 2 （）.k 1ξ1k 1≠0对于，解齐次线性方程组，即解方程组λ3=1(E ‒A )x =0，(- 2 1 -1- 2 1 -1- 1 1 -1)(x 1x 2x 3)=(000)得基础解系，所以对应于的全部特征向量为（.ξ2=(0，1，1)Tλ3= 1 k 2ξ2k 2≠0）三、特征值与特征向量的性质定理4.1.1 阶矩阵与有相同的特征值.n A A T证 由，知与有相同的特征多项式，故有相同的特|λE ‒A T|=|(λE ‒A )T|=|λE ‒A | A A T 征值.定理4.1.2 设 ，，，，为方阵的个特征值，则有A =(a ij )n ×n λ1λ2⋯λn A n （1）λ1λ2⋯λn =|A |（2）λ1+λ2+⋯+λn =a 11+a 22+⋯+a nn 证 （1）根据多项式因式分解与方程根的关系，有（4.1.3）|λE ‒A |=(λ-λ1)(λ-λ2)⋯(λ-λn )令，得，即λ=0|-A |=(-λ1)(-λ2)⋯(-λn )=(-1)nλ1λ2⋯λn |A |=λ1λ2⋯λn（2）比较（4.1.3）式两端的系数，右端为，而左端含λn -1-(λ1+λ2+⋯+λn )的项来自的主对角线元乘积项，其含的λn-1|λE ‒A |(λ-a 11)(λ-a 22)⋯(λ-a nn ) λn-1系数为，因此.-(a 11+a 22+⋯+a nn )λ1+λ2+⋯+λn =a 11+a 22+⋯+a nn 我们将阶矩阵的主对角线元之和称为矩阵的迹，记为，即n A A tr （A ）=tr （A ）a 11+a 22+⋯+a nn =∑=nk 1a kk推论4.1.1 阶矩阵可逆的充分条件是它的任一特征值不等于零.n A 定理4.1.3 若为的特征值，是对应的特征向量，则 λ A α （1）为的特征值（）；a λ a A a 为常数（2）为的特征值（）；λk A kk 为正整数（3）为的多项式，则为的特征值；若φ(x ) x φ( λ)φ(A )（4）若可逆，则为的特征值，为的特征值.A 1λA -11λ|A |A *证 由题意，对于，有.α≠0 Aα=λα（1）因为，故为的特征值.(a A )α=a (Aα)=(a λ)αa λ a A （2）由，得，假设Aα= λα A 2α=A ( Aα)=A ( λα)=λ( Aα)= λ2α，A k-1α=λk-1α于是，由数学归纳法知结论成立.A k α=A ( Ak-1α)=A ( λk -1α)=λk-1( Aα)= λk α（3）设，由（2）可得φ(x )=a 0x m +a 1x m-1+⋯+a m-1x+a mφ(A )α=(a 0A m +a 1A m -1+⋯+a m-1A+a m E ) α =a 0A m α+a 1A m-1α+⋯+a m -1Aα+a m α=a 0λm α+a 1λm-1α+⋯+a m-1λα+a m α=(a 0λm +a 1λm -1+⋯+a m-1λ+a m ) α=φ(λ)α(4) 由于可逆，故，从而，故 A λ≠0α= A -1(Aα)= A -1(λα)=λ A-1α，，即为的特征值，为的特征A-1α=1λαA*α=| A | A-1α=| A |λα 1λ A-11λ|A |A*值.下面给出方阵的特征向量的性质A 定理4.1.4 设，，，阶矩阵的个互异特征值，，，，分别是 λ1λ2⋯λm 为 n A m α1 α2 ⋯αm 的属于，，，的特征向量，则，，，线性无关. A λ1λ2⋯λm α1 α2 ⋯αm 证 设有常数，，，，使得k 1 k 2 ⋯k m k 1α1+k 2α2+⋯+k m αm =0（4.1.4）上式两边左乘，并注意到，有A Aαi =λi αi (i =1，2，⋯，m ).k 1λ1α1+k 2λ2α2+k m λm αm =0 按这种方法再依次用左乘（4.1.4），并应用定理4.1.3（2）的结论，A 2， A 3， A m ‒1得{k 1α1+k 2α2+k m αm =0 ，k 1λ1α1+k 2λ2α2+k m λm αm =0，k 1λ21α1+k 2λ22α2+k m λ2m αm =0， ⋯⋯⋯⋯k 1λm ‒11α1+k 2λm ‒12α2+k m λm ‒1m αm =0.上式的矩阵形式为，( k 1α1，k 2α2，⋯，k m αm )(1 λ1 ⋯ λm ‒111λ2 ⋯ λm ‒12⋮ ⋮ ⋮1 λm ⋯ λm ‒1m)=（0，0，⋯，0）上式左端第二个矩阵的行列式是范德蒙德行列式，因为，，，互不相同，λ1λ2⋯λm 所以该行列式的值不为零，从而该矩阵可逆.用该矩阵的逆右乘上述等式两边，得( k 1α1，k 2α2，⋯，k m αm )=（0，0，⋯，0）于是，由于特征向量非零，因此只有k i αi =0(i =1，2，⋯，m )αi (i =1，2，⋯，m )上式才能成立，故，，，为线性无关.k i =0(i =1，2，⋯，m )α1 α2 ⋯αm 定理4.1.5 设，，，阶矩阵的个互异特征值，，，，分别λ1λ2⋯λm 为 n A m α1 α2 ⋯αm是的属于的线性无关的特征向量，则向量组A λi (i =1，2，⋯，m )，，，， ，，，， ，，，线性无关.α11 α12 ⋯α1s 1α21 α22 ⋯α2s 2αm 1 αm 2 ⋯αms m 证明略.关于对应同一个特征值的特征向量间的关系，有定理4.1.6 设阶矩阵的重特征值，则对应于的线性无关特征向量个数 λ0是 n A k λ0不超过个.k 显然，依据定理4.1.6，当特征值为单根时，对应的线性无关特征向量个数只能是一个.根据上述定理，对于阶矩阵的每一个不同的特征值，求出齐次线性方程组n A λi 的基础解系，就得到的属于的线性无关的特征向量.然后，把它们合成一(λi E ‒A )=0 A λi 起所得的向量组仍然线性无关.阶矩阵的线性无关特征向量个数不大于.n A n 例4.1.6 设三阶矩阵的特征值为，，求A λ1= λ2=3 λ3=3（1）的特征值.A -1（2）的特征值.A *（3）的特征值及.B =12(A-1)2‒A *+2E |B |解 （1）由于，因此可逆，由定理4.1.3知，的特征值为，| A |= λ1λ2λ3=12≠0A A-112，.1213（2）由定理4.1.3知，的特征值为6,6,4.A *（3）因为，所以）.A *|A |A-1=12A -1B =12(A -1)2‒A*+2E 设，由定理4.1.3知，的特征值为，1,2,3.f (x )=12x 2-12x +2B =f (A-1)f(1λi )i =由此得的特征值为，.B -1，-1，-23|B |=-23例4.1.7 设为正交矩阵，若，则有特征值A |A |=-1A -1证 ，则f (λ)=|λE ‒A |.f (-1)=|-E ‒A |=|(-E ‒A )T|=|-E ‒A T|另一方面，由于及，则AA T=E |A |=1f (-1)=|-E ‒A |=|AA T -A |=|A || ‒A T-E |=-| -E ‒A T|=-f (-1)因此，即为的特征值.f (-1)=0-1 A §4.2 相似矩阵在矩阵的运算中，对角矩阵的运算最方便.我们自然要问，一个阶矩阵是否可化为n A 对角矩阵，且保持矩阵的一些重要性质不变.本节将讨论这个问题.A 一、相似矩阵定义4.2.1 设为阶矩阵，如果存在阶可逆矩阵，使得A ，B n n P ，P -1AP =B 则称矩阵相似，也称是的相似矩阵，记作.可逆矩阵称为相似变换矩阵.A 和B B A A~B P例4.2.1 设，，，不难A =(4 6 0- 3 -5 0- 3 -6 1)B =(1 0 00 1 00 0 -2)P =(- 2 0 -11 0 10 1 1)验证可逆，且.由于P P-1=(- 1 - 1 0- 1 - 2 11 2 0),P-1AP =(- 1 - 1 0- 1 - 2 11 2 0)(4 6 0- 3 -5 0- 3 -6 1)(- 2 0 -11 0 10 1 1)=(1 0 00 1 00 0 -2)=B 因此.A~B 两个相似矩阵是等价矩阵，相似是方阵之间的一种关系，这种关系具有如下性质：（1）反身性：；A~A （2）对称性：若，则；A~B B~A （3）传递性：若，，则；A~B B~C A~C 此外，相似矩阵之间有许多共同的性质定理4.2.1 若阶矩阵相似，则n A 与B （1）；|A |=|B |（2）；R (A )=R (B )（3）有相同的特征值；A ，B （4）.tr (A )=tr (B )证 由于，故存在阶可逆矩阵，使得，从而A~B n P P-1AP =B （1）；|B |=|P-1AP |=|P-1||A ||P |=|A |（2）；R (B )=R (P -1AP )=R (AP )=R (A )（3）由于，|λE ‒B |=|λE ‒P-1AP |=|P-1(λE ‒A )P |=|λE ‒A |即有相同的特征多项式，于是有相同的特征值.A ，B A ，B （4）由（3）即得.推论4.2.1 若阶矩阵对角矩阵n A 与 =Λ(λ1λ2⋱λn)相似，则，，，是的个特征值. λ1λ2⋯λn A n 例4.2.2 若，求.A =(- 2 0 02 x 23 1 1)~(- 1 0 00 2 00 0 y )=B x ，y 解 对角矩阵的特征值为，，，由于，因此的特征值也为，，，再B -12y A~B A -12y 根据相似矩阵有相同的迹，可得{|2E ‒A |=0，tr (A )=tr (B )，解此方程组得， .x =0y =-2两个相似的矩阵还具有下面的性质（1）若，则，（为正整数）；A~B k A~kB A m ~B mm （2）若， 为多项式，则；A~B f (x )f (A )~f (B )（3）若，且均可逆，则；A~B A ，B A-1~B -1证 只证，故存在阶矩阵，使得，从而 A m ~B m n P P-1AP =B B m =(P-1AP )m =(P-1AP )(P-1AP )⋯(P-1AP )=P-1A mP即.A m ~B m 二、矩阵的对角化定义 4.2.2 若阶矩阵与对角矩阵相似，则称可对角化.n A A 相似矩阵有许多共同性质.在我们熟悉的矩阵中，形式最简单的一类是对角矩阵，若矩阵相似于对角矩阵，就可以借助对角矩阵来研究，如何求相应的可逆矩阵？下面我A A P 们就来讨论这个问题.定理4.2.3 阶矩阵相似于对角矩阵（可对角化）的充要条件是有个线性无n A A A n 关的特征向量.证 必要性.设存在可逆矩阵，使得P = =.P -1AP Λ(λ1λ2⋱λn)设，由 =，得 =，或P =( α1，α2，⋯，αn )P-1AP ΛAP P Λ.A ( α1，α2，⋯，αn )=( α1，α2，⋯，αn )(λ1λ2⋱ λn)即A ( α1，α2，⋯，αn )=( λ1α1，λ2α2，⋯，λm αm )因此，，由于可逆，因此，从而Aαi =λi αi (i =1，2，⋯，n )P |P |≠0都是非零向量，故分别是的属于特征值αi (i =1，2，⋯，n )α1，α2，⋯，αn A 的特征向量，再由可逆知线性无关.λ1，λ2，⋯，λn P α1，α2，⋯，αn 充分性.设分别是的属于特征值的个线性无关的特征α1，α2，⋯，αn A λ1，λ2，⋯，λn n 向量，则有Aαi =λi αi (i =1，2，⋯，n )取,因为线性无关，所以可逆，于是有P =( α1，α2，⋯，αn )α1，α2，⋯，αn P =.，AP P(λ1λ2⋱λn)即个m==P -1AP (λ1λ2⋱λn)Λ因此矩阵相似于对角矩阵.A A 因为特征向量不是唯一的，所以矩阵不具有唯一性.P 推论4.2.2 若阶矩阵有个互异的特征值，则必可对角化.n A n A 推论4.2.3 阶矩阵的充分必有条件是的每个重特征值个线性无n A 可对角化A t i λi 都有ti 关的特征向量.即.R （λi E ‒A ）=n ‒t i由上述结论可知，例4.1.3和例4.1.4给出的矩阵可对角化，而例4.1.5给出的矩阵不能对角化.根据上述结论，可以归纳出将矩阵对角化的具体计算步骤：A （1）求出阶矩阵的全部互异特征值，，，，它们的重数依次为n A λ1λ2⋯λn ；t 1，t 2，⋯，t m (t 1+t 2+⋯+t m =n )（2）求的特征向量.对每个特征值求方程组的基础解系，即为的对A λi (λi E ‒A ) x =0应的线性无关的特征向量，设为；ξi 1，ξi 2，⋯，ξis i (i =1，2，⋯，m )（3）判定是否可对角化.若对每一个特征值都有，则可对A s i =t i (i =1，2，⋯，m )A 角化，否则不可对角化；（4）当可对角化时，令A ，P =(ξ11，ξ12，⋯，ξ1s i，ξ21，ξ22，⋯，ξ2s i，ξm 1，ξm 2，⋯，ξmsm)，，，，，，，，，Λ=diag （λ1λ1⋯λ1，λ2λ2⋯λ2，⋯，λm λm ⋯λm ）且可逆，且有P =P-1AP Λ例4.2.3 判断下列矩阵能否对角化，若能，求出可逆矩阵，使得为对角矩阵.P P -1AP (1)；（2）A =(1 2 22 1 ‒2‒2 ‒2 1)B =(1 2 22 1 22 2 1)（1）矩阵的特征多项式为解A f (λ)=|λE ‒A |=|λ-1 -2 -2- 2 λ- 1 22 2 λ-1||λ-1 λ-1 λ-1- 2 λ- 1 22 2 λ-1|= (λ+1)(λ-1)(λ-3)由，得的特征值为.由推论4.2.2知，矩阵可对|λE ‒A |=0A λ1=-1，λ2=1，λ3=3A 角化.下面求可逆矩阵.P 个1个2个s m r 1+r 2r 1+r 3对于，解齐次线性方程组，即解方程组λ1=-1(-E ‒A )x =0,，(- 2 - 2 -2- 2 - 2 22 2 -2)(x 1x 2x 3)=(000)得基础解系，即为即为的属于特征值的一ξ1=(-1，-1，0)Tξ1 ξ2A λ1=-1个特征向量.对于，解齐次线性方程组 ，即解方程组λ2= 1 (E ‒A )x =0(0 ‒2 ‒2‒2 0 22 2 0)(x 1x 2x 3)=(0)得基础解系，即为的属于特征值的一个特征向量.ξ2=(1，-1，0)Tξ2A λ2=1对于，解齐次线性方程组 ，即解方程组λ3= 3 (3E ‒A )x =0，(2 -2 -2- 2 2 22 2 2)(x 1x 2x 3)=(0)得基础解系，即为的属于特征值的一个特征向量.ξ3=(0，1，-1)Tξ3A λ3=3取,则有P =( ξ1，ξ2，ξ3)=(1 1 0- 1 - 1 10 1 -1)==P-1AP (- 1 0 00 1 00 0 3)Λ（2）矩阵的特征多项式为A f (λ)=|λE ‒A |=|λ-1 -2 -2- 2 λ- 1 22 2 λ-1|λ-1 λ-1 λ-1- 2λ- 1 22 2 λ-1|= (λ+1)2(λ-5)由，得的特征值为.|λE ‒B |=0B λ1=λ2=‒1，λ3=5当−1，即−1为的二重特征值时，λ1=λ2=B .(-E ‒B )=(‒2 ‒2 ‒2‒2 ‒2 ‒2‒2 ‒2 ‒2) 1 1 1)故，依据推论4.2.3知，矩阵可对角化，且−1对应的线R (-E ‒B )=1=3‒2B λ1=λ2=性无关的特征向量为，.ξ1=(-1，1，0)T ξ2=(-1，0，1)T对于，解齐次线性方程组 ，得的属于特征值的一个特λ3= 5 (5E ‒A )x =0B λ3=5征向量.取ξ3=(1，1，1)T取,P =( ξ1，ξ2，ξ3)=(- 1 - 1 11 0 1 0 1 1)则有==P-1BP (- 1 0 00 ‒1 00 0 5)Λ对于可对角化的矩阵，我们可应用来求方程的幂,例如，对上例的矩阵，A A m =P Λm P ‒1A 我们有(1 2 22 1 ‒2‒2 ‒2 1)m=( 1 1 0‒1 ‒1 10 1 ‒1)=((‒1)m 0 00 1 00 0 3m)=(0 ‒1 ‒11 1 11 1 0).=(1 1+(‒1)m +1 1+(‒1)m +13m ‒1 3m ‒1+(‒1)m (‒1)m ‒11‒3m 1‒3m 1)例4.2.4 设，求为何值时，A =(a 1 11 a ‒11 ‒1 a )A （1）可对角化，并求相似变换矩阵；A P （2）为可逆矩阵.A ‒E 解 （1）矩阵的特征多项式为A f (λ)=|λE ‒A ||λ-a -1 -1- 1 λ-a -1- 1 2 λ-a| |λ-a -1 -1 -1λ-a -1 λ-a 10 1 λ-a |=，(λ-a -1)2(λ-a +2)故的特征值为，.A λ1=λ2=a +1λ3=a ‒2对于，解齐次线性方程组 ，得的属于特征值λ1=λ2=a +1((a +1)E ‒A )x =0A 的特征向量为，.λ1=λ2=a +1ξ1=(1，1，0)T ξ2=(-，0，1)T 对于，解齐次线性方程组 ，得的属于特征值 λ3=a -2((a -2)E ‒A )x =0A 的特征向量为.依据推论4.2.3知，无论为何值，矩阵 λ3=a -2 ξ3=(-1，1，1)T a 均可对角化.令A ，P =( ξ1，ξ2，ξ3)=(1 1 -11 0 10 1 1)则有==.P-1AP (a +1 0 00 a +1 00 0 a ‒2)Λ的特征值分别为，故当时，为可逆矩阵.（2）A ‒E a ，a ，a ‒3a ≠0且a ≠3A ‒E §4.3 实对称矩阵的对角化c 1+c 2我们已经知道，不是每个矩阵都能对角化.但本节讨论的实对称矩阵一定可以对角化，而且还能正交相似于对角矩阵,本节将讨论实对称矩阵的对角化.一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质实对称矩阵的特征值和特征向量具有一些特殊的性质,这些性质可以保证实对称矩阵一定可以对角化.定理4.3.1 实对称矩阵的特征值都是实数.证 设为实对称矩阵的特征值，为对应的特征向量，即λα.Aα=λα， α≠0用表示的共轭复数，用表示的共轭复向量.则λλαα，Aα=Aα=Aα=λα=λα于是有，αT Aα=αT (Aα)=λαT α及，αT Aα=(αT A T )α=(Aα)T α=(λα)T α=λαT α以上两式相减得，(λ-λ)αT α=0以为所以.因而，即为实数.α≠0αTα≠0λ=λλ由于实对称矩阵的特征值为实数，那么为实矩阵，则齐次线性方程组的解A λE ‒A 可取为实向量，亦即实对称矩阵的特征向量为实向量.(λE ‒A )x =0A 定理4.3.2 实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交,证 设为实对称矩阵的两个不同的特征值，分别为它们对应的特征向量，则λ1，λ2A α1，α2，从而，因是对称矩阵，又有Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2，α1，α2≠0αT 1(Aα2)=λ2∙αT1α2A ，于是αT 1(Aα2)=αT 1(A T α2)=( Aα1)T α2=( Aα1)T α2=( λ1α1)T α2=λ1α1T ∙α2，(λ1-λ2)α1Tα2=0因，故，即正交.λ1≠λ2α1Tα2=0α1与α2定理4.3.3 设为阶实对称矩阵，为的重特征根，则，从而特A n λA k R (λE ‒A )=n ‒k 征值恰好对应个线性无关的特征向量.λk 证明略.二、实对称矩阵的对角化由定理4.3.2和定理4.3.3可得定理4.3.4 设为阶实对称矩阵，则存在正交矩阵，使得A n Q =Q-1AQ Q T AQ =Λ=(λ1λ2⋱λn)其中，，，为的全部特征值.λ1λ2⋯λn A （1）求出阶实对称矩阵的全部互异特征值，，，，它们的重数依次为n A λ1λ2⋯λn ；t 1，t 2，⋯，t m (t 1+t 2+⋯+t m =n )（2）求实对称矩阵的特征向量.对每个特征值求方程组的基础解系，A λi (λi E ‒A ) x =0即为的对应的线性无关的特征向量，设为；(i =1，2，⋯，m )（3）用施密特正交化方法，将特征向量正交αi1，αi 2，⋯，αis i(i =1，2，⋯，m )单位化，得到一个标准正交向量组αi 1，αi 2，⋯，αiti ；βi 1，βi 2，⋯，βit i(i =1，2，⋯，m )（4）令Q =(β11，β12，⋯，β1t i，β21，β22，⋯，β2t i，βm 1，βm 2，⋯，βmtm)，，，，，，，，，Λ=diag （λ1λ1⋯λ1，λ2λ2⋯λ2，⋯，λm λm ⋯λm ）且为正交矩阵，且有Q =Q-1AQ Q T AQ =Λ例4.3.1 设实对称矩阵，A = (3 -3 -3- 3 1 -1- 3 - 1 1)求正交矩阵，使得=为对角矩阵.Q Q-1AQ Q T AQ =Λ解 矩阵的特征多项式为A f (λ)=|λE ‒A |=|λ-3 3 33 λ-1 13 1 λ-1|λ+3 λ+3 λ+33 λ-1 13 1 λ-1|=，(λ+3)(λ-2)(λ-6)=0因此，矩阵的特征值为.A λ1=-3，λ2=2，λ3=6对于，解齐次线性方程组，得基础解系；λ1=-3(-3E ‒A )x =0α1=(1，1，1)T对于，解齐次线性方程组 ，得基础解系； λ2= 2 (2E ‒A )x =0 α2=(0，1，-1)T对于，解齐次线性方程组 ， 得基础解系.λ3= 6 (6E ‒A )x =0 α3=(-2，1，1)T将单位化，可得α1，α2，α3β1=1||α1||α1=13(1，1，1)T ，β2=1||α2||α2=12(0，1，‒1)T ，β3=1||α3||α3=16(-2，1，1)T令个s 1个2个s m,Q =( β1，β2，β3)=(130 2613 1216131216)且为正交矩阵，且有Q =Q-1AQ Q TAQ =(- 3 0 00 2 00 0 6)例4.3.2 设实对称矩阵，A = (1 -2 2- 2 - 2 42 4 -2)求正交矩阵，使得=为对角矩阵.Q Q-1AQ Q T AQ =Λ解 矩阵的特征多项式为A f (λ)=|λE ‒A ||λ-1 2 -22 λ+2 -4- 2 - 4 λ+2| |λ-1 2 -22 λ+2 -4- 2 λ- 2 λ-2|=，(λ-2)2(λ+7)=0因此，矩阵的特征值为.A λ1=λ2=2，λ3=7对于，解齐次线性方程组，得基础解系，λ1=λ2=2(2E ‒A )x =0α1=(-2，1，0)T；先将向量正交化，令α2=(2，0，1)T α1，α2，η1=α1=(-210)，η2=α2=-(α2，η1)(η1，η1)=(201)+45(-210)=(25451)再单位化，得β1=1||η1||η1=15(-210)，β2=1||η2||η2=135(245)，对于，解齐次线性方程组 ， 得基础解系，λ3=‒7 (‒7E ‒A )x =0 α3=(1，2，‒2)T将其单位化，得.β3=1||α3||α3=13(12-2)令r 3+r 2,Q =( β1，β2，β3)=(‒25235 1315435 230 535 ‒23)且为正交矩阵，且有Q =.Q -1AQ Q TAQ = (2 0 00 2 00 0 ‒7)例4.3.3设三阶实对称矩阵的特征值为，且属于的特征矩阵A λ1=-1，λ2=λ3=1λ1为，求矩阵.α1=(0，1，1)TA 解 设的属于特征值的特征向量为，则与正交，即A λ2=λ3=1α=(x 1，x 2，x 3)Tαα1，α1T α=x 2+x 3=0解此齐次线性方程组，得基础解系，α2=(1，0，0)T ，α3=(0，1，‒1)T 易见，正交. 将单位化，可得α2，α3 α1，α2，α3β1=1||α1||α1=12(011)，β2=1||α2||α2=(100)，β3=1||α3||α3=12(01-1)令,则为正交矩阵，且有Q =( β1，β2，β3)=12(0 2 01 0 11 0 -1)Q =，Q-1AQ Q TAQ =B =(- 1 0 00 1 00 0 1)从而= A =Q-1BQ Q T BQ.=12(0 2 01 0 11 0 ‒1)(- 1 0 00 1 00 0 1)(0 1 12 0 00 1 ‒1)=(1 0 00 0 ‒10 ‒1 0)习题四（A ）一、填空题1.为阶矩阵，有非零解，则必有一个特征值__________.A n Ax =0A 2.若阶可逆方阵的每行元之和，则的一个特征值为__________.n A a 3A-1+E3.设为三阶可逆矩阵，其逆矩阵的特征值为，则行列式 __________.A 12，13，14|E ‒A |=4.设是非奇异矩阵的一个特征值，则矩阵有一个特征值为__________.λ=2(13A 2)-15.若为四阶实对称矩阵，，且2是的三重特征值，则的相似对角矩阵为A |A |=-8A A __________.6. 设为阶矩阵，有个互异特征值，，，，则有__________A n A n λ1λ2⋯λn R (λj E ‒A ) x =.(j =1，2，⋯，n )7. 设是三阶实对称矩阵，的特征值是，则有__________.A A λ1=λ2=1，λ3=-1A 2n =8.若四阶矩阵相似，矩阵的特征值为，则A 与B A 12，13，14，1513|(B -1)∗+E |=__________.9.已知矩阵只有一个线性无关的特征向量，则A =(4 a2 6)a =__________.10.设，矩阵，为自然数，则行列式α=(2，1，‒1)T A =ααTn |a E -A*|=__________.11.已知三阶实对称矩阵的一个特征值为，对应的特征向量，且A λ=2α=(1，2，‒1)T的主对角线上的元全为零，则A A =__________.二、单选题1.设三阶矩阵，则的特征值是（）A =(1 1 01 0 10 1 1)A （A ）1,0,1（B ）1,1,2（C ）-1,1,2（D ）1,-1,12.若可对角化的阶矩阵只有一个特征值为零，则=（）n A R (A )（A ）n（B ）n -1（C ）1（D ）03.设是矩阵对应于特征值的特征向量，当线性组合满足αi (i =1，2，⋯，n )A A ∑=ni 1k i αi （）时，也是矩阵对应于特征值的特征向量.∑=ni 1k i αi A A （A ）其中不全为零k i （B ）其中全不为零k i （C ）是非零向量（D ）是任一向量4.当满足下列（）条件时，矩阵相似.A 与B （A ）|A |=|B |（B ）R (A )=R (B )（C ）有相同的特征多项式.A 与B （D ）阶矩阵有相同的特征值且个特征值不相同.n A 与B n 5.已知二阶实对称矩阵的特征向量为，且，则必为的特征向量的是（）A (-31)|A |<0A （A ）c (-31)（B ）c (13)，c ≠0（C ）c 1(-31)+c 2(13)，c 1≠0，c 2≠0（D ）c 1(-31)+c 2(13)，c 1，c 2不同时为零6.设是阶非零矩阵，，下列命题不正确的是（）.A n A k=O （A ）的特征值只有零A （B ）必不能对角化A （C ）必可逆E +A +⋯+A k ‒1（D ）只有一个线性无关的特征向量A 7.设是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则λ1，λ2A α1，α2线性无关的充要条件是（）α1，A (α1+α2)（A ）λ1=0（B ）λ2=0（C ）λ1≠0（D ）λ2≠08.若，且，则以下结论错误的是（）.A 2≠A A ≠E ，O （A ）|A ‒E |≠0（B ）(A +E )‒1=‒12(A ‒2E )（C ）为不可逆矩阵A （D ）必有特征值A λ≠09.设，有特征值（二重），且有三个线性无关的特A =(1 -1 12 4 x- 3 - 3 5)A λ1=6，λ2=2A 征向量，则.x =( )（A ）4（B ）2（C ）‒4（D ）‒210.设为阶矩阵，且相似，则（）A ，B n A 与B （A ）λE ‒A =λE ‒B（B ）均相似于同一个对角矩阵.A 与B （C ）有相同的特征值与特征向量A 与B （D ）对任意常数，相似.a aE ‒A 与aE ‒B 三、综合题1.求下列矩阵的特征值与特征向量：（1）； （2）；（3）；（4）.(- 3 2- 2 2)(0 0 10 1 01 0 0)(2 0 01 2 -11 0 1)(2 0 01 1 11 ‒1 3)2.判断下列矩阵是否相似：A 与B （1）；A =(3 1 00 3 10 0 3)，B =(3 0 00 3 00 0 3)（2）；A =(1 1 00 2 10 0 3)，B =(1 0 00 2 00 0 3)（3）；A =(1 1 00 2 10 0 3)，B =(1 0 00 2 00 0 3)（4）.A =(1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1)，B =(4 0 0 01 0 0 01 0 0 01 0 0 0)3.求下列矩阵的次幂:k （1）； （2）.A =(- 3 2- 2 2)A =(1 4 20 -3 40 4 3)4. 求正交矩阵，使得为对角矩阵.Q Q TAQ (1)；（2）.A =(0 -2 2- 2 - 3 42 4 - 3)A =(1 2 42 -2 24 2 1)5.设是阶方阵的一个特征值，且的伴随矩阵为，试证：λ0n A (λ0E ‒A )(λ0E ‒A )*的非零列向量是的属于的特征向量.(λ0E ‒A )*A λ06.考察栖息地在同一地区的兔子和狐狸的生态模型，对两种动物的数量的相互依存的关系可用以下模型描述：{x n = 1.1x n -1-0.15y n -1，y n =0.1x n -1-0.85y n -1，n =1，2，⋯，其中分别表示第年时兔子和狐狸的数量，而分别表示基年时兔子和狐x n ，y n x 0，y 0(n =0)狸的数量，记，αn =(x ny n )n =1，2，⋯，（1）写出该模型的矩阵形式；（2）如果,求.α0=(x0y 0)=(108)αn （3）求lim n→∞αn7.设相似，求：（1），的值；（2）求正交矩阵A =(1 0 00 a 10 1 0)，B =( 1 0 00 b 00 0 -1)a b ，使得.Q Q-1AQ =B8.设向量，，且记α=(a 1，a 2，⋯，a n )T ≠0β=(b 1，b 2，⋯，b n )T≠0αT β=0，，求的所有特征值及特征向量.A =αβTA 9.设为三维单位列向量，且，令，证明与相似.α，βαT β=0A =αT β+αβTA (1-1 0)10.设三阶实对称矩阵的特征值是1,2,3，矩阵的属于特征值1,2,3的特征向量分别是A A ，.(1)求的属于特征值3的特征向量；（2）α1=(-1，-1，1)T α2=(1，‒2，‒1)T A 求矩阵.A 11.设，若为的一个特征值，求；（2）求.A =(2 0 01 2 -11 0 k ) λ=1A k An(-142)12.若存在正交矩阵，使矩阵同时相似于对角矩阵，则必有.Q A ，B AB =BA 13.设为三阶实对称矩阵，且满足条件，的秩.求的全部特征值.A A 2+2A =O A R (A )=2A 14.设，求实对称矩阵，使.A =(8 -2 -2- 2 5 4- 2 - 4 5)B A =B 215.设矩阵，求.(1 4 20 -3 40 4 3)A 201316.已知三阶矩阵相似，是的两个特征值，，计算A 与B λ1=1，λ2=2A |B |=2,其中是的伴随矩阵.|(A +E )‒1 OO ( 2B )∗|( 2B )∗2B （B ）1.设矩阵相似，相似，试证：与相似.A 与B C 与D (A O O C )(B O O D )2.已知与对角矩阵相似，求.A =(0 0 1x 1 2x -31 0 0)x 3.设是阶实幂等矩阵（即），且.A n A =A 2R (A )=r ，0<r ≤n （1）设，试证.R (A ‒E )=s ，0<s ≤n r +s =n （2）试证：；A~( 1 ⋱ 10 ⋱0)（3）求|2E -A |4.设为阶矩阵，，证明A ，B n R (A )+R (B )<n （1）是的相同特征值；λ=0A 与B （2）与的基础解系线性相关.Ax =0Bx =05.设是阶矩阵，且任一非零维向量都是的特征向量，试证：A n n A （即为数量矩阵）A =(λλ⋱λ)A 6.已知三阶非零矩阵满足，，，证明：A ，B A =A 2B 2=B AB =BA =O （1）0和1必是的特征值；A 与B （2）若的特征向量，的个特征值两两互异，若的特征向量总是的特α是A 关于λ=1A n A B 征向量，证明.AB =BA 8.设均为阶非零矩阵，且满足，，证明：A ，B n A +A 2=O B +B 2=O （1）是的特征值.-1A ，B （2）若，分别是对应于的特征向量，则线AB =BA =O ξ1，ξ2A ，B λ=-1ξ1，ξ2性无关.答案：一、填空题1.02.3a+13.-64.345.. (2 22-1)6. n -17.E8.14 7639.-1210.a 2(a -6n )11.A =(0 2 22 0 -22 -2 0)二、单选题1-5 CBCDB 6-10 DDADD 三、综合题1.（1），，的属于的特征向量；的属于λ1=1λ2=-2A λ1=1c 1(12)，c 1≠0A的特征向量.λ2=-2c 2(21)，c 2≠0（2），；的属于的特征向量为λ1=λ2=1λ3=-1A λ1=λ2=1不全为零；的属于的特征向量为c 1(101)+c 2(010)，c 1，c 2A λ3=-1c 3(-101)，c 3≠0（3），；的属于的特征向量为不λ1=λ2=2λ3=1A λ1=λ2=2c 1(101)+c 2(010)，c 1，c 2全为零；的属于的特征向量为.A λ3=1c 3(011)，c 3≠0（4）（三重）；的属于的特征向量为不全为零；λ=2A λ=2c 1(110)+c 2(-101)，c 1，c 22.（1）不相似；（2）相似；（3）相似.3.(1)；A k=13((-1)k 2k +2- 1 (-1)k +12k +1+2(-1)k 2k +1- 2 (-1)k +12k +4)（2）当为偶数时，；当为奇数时，k A k =(1 0 -1+5k0 5k 00 0 5k )k .A k =(1 4×5k -1 -1+3×5k -10 - 3×5k -1 4×5k -10 4×5k -1 3×5k -1 )。
矩阵对角化的方法
矩阵对角化的方法
矩阵对角化是将一个方阵通过相似变换，转化为对角矩阵的过程。
常用的矩阵对角化方法有以下几种：
1. 特征值分解：对于一个可对角化的矩阵，可以通过求解其特征值和特征向量来进行对角化。
首先求解矩阵的特征值，然后求解每个特征值对应的特征向量，并将这些特征向量排列成一个矩阵，将原矩阵相似变换到对角矩阵。
2. 正交对角化：对于实对称矩阵，可以通过正交对角化的方法进行对角化。
首先通过特征值分解求解出特征值和对应的特征向量，然后将特征向量单位化得到正交矩阵，再进行相似变换得到对角矩阵。
3. Jordan标准形：对于不可对角化的矩阵，可以通过Jordan标准形对其进行对角化。
首先求解矩阵的特征值和对应的特征向量，然后通过Jordan标准形的分块结构将矩阵进行相似变换得到对角矩阵。
需要注意的是，并不是所有矩阵都可以对角化。
只有满足一定条件的矩阵才可以进行对角化。
第九章-第六节-实对称矩阵的标准型
即 ( ) W , ( )W . 故 W 也为 的不变子空间．
§9.6 对称矩阵的标准形
三、实对称矩阵的正交相似对角化
1．(引理4)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量
是正交的．
证：设实对称矩阵A为 Rn上对称变换 的在标准 正交基下的矩阵， , 是A的两个不同特征值 ， , 分别是属于, 的特征向量．
TAT T 1AT diag(1,2, ,n ).
§9.6 对称矩阵的标准形
证：设A为 Rn上对称变换 在标准正交基下的矩阵．
由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证
有n个特征向量作成的标准正交基即可．
对 Rn 的维数n用归纳法． n=1时，结论是显然的．
假设n－1时结论成立，对 Rn ,设其上的对称变换 有一单位特征向量 1 ，其相应的特征值为 1 ，即
(1 ) 11, | 1 | 1
§9.6 对称矩阵的标准形
设子空间 L(1) W , 显然W是 子空间， 则 W 也是 子空间，且
W W Rn, dimW n 1
又对 , W , 有
W ( ), ( ), , ( ) , W ( )
所以
是
W
k 1
aij ( i , i ) aij
由 是对称变换，有 (i ), j i , ( j )
即 ij ji , i, j 1,2, n,
所以A为对称矩阵．
§9.6 对称矩阵的标准形
2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是 它的不变子空间．
证明：设 是对称变换，W为 的不变子空间． 对 W , 要证 ( )W , 即证 ( ) W . 任取 W , 由W是 子空间，有 ( )W ,