对称矩阵的对角化
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§4 对称矩阵的对角化
于是得正交阵
1 0 0 P = ( P1 , P2 , P3 ) = 1 2 0 1 2 − 1 2 0 1 2 2 0 0 −1 P AP = 0 4 0 . 0 0 4
则
利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为： 1. 求A的特征值 λ1 , λ2 ,, λn ; 2. 由( A − λi E ) x = 0, 求出 A的特征向量; 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化得 P1 , P2 ,, Pn . 5. 写出正交阵 P = ( P1 , P2 , , Pn ) ，
由于 ξ 1 , ξ 2 , ξ 3是属于 A的3个不同特征值 λ1 , λ2 ,
λ3的特征向量 , 故它们必两两正交 . 第四步 将特征向量单位化 ξi , i = 1,2,3. 令 Pi = ξi
得
− 2 3 23 P1 = 2 3 , P2 = 1 3 , −1 3 − 2 3
2−λ −2 0 A − λE = − 2 1 − λ − 2 = (4 − λ )(λ − 1)(λ + 2) = 0 0 −2 −λ 得 λ1 = 4, λ2 = 1, λ3 = −2.
第二步 由( A − λi E ) x = 0, 求出A的特征向量
对 λ1 = 4,由( A − 4 E ) x = 0, 得 2 x1 + 2 x2 = 0 − 2 2 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 0 解之得基础解系 ξ1 = 2 . − 1 2x + 4x = 0 2 3 对 λ2 = 1,由( A − E ) x = 0, 得
− x1 + 2 x2 = 0 2 x1 + 2 x3 = 0 2x &#ξ 2 = 1 . − 2
5.3实对称矩阵的对角化
令x3 = 2, 得属于5的特征向量为 3 = (1, −2,2)T .
12
显然1 = (2,2,1)T , 2 = ( −2,1,2)T , 3 = (1, −2,2)T 正交.
(2) 求单位向量组. 1 = 2 = 3 = 3, 所以得单位正交向量组 T T T 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 = , , , 2 = , − , − , 3 = , − , . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (3) 求正交矩阵Q. 1 则 2 2 令 3 3 3 −1 0 0 2 1 2 −1 Q = ( 1 , 2 , 3 ) = − − , Q AQ = 0 2 0 = . 3 3 3 0 0 5 1 2 2 3 −3 3
T T T T 1 A = 11 , 1 A 2 = 11 2
T T 21 2 = 11 2 ,
T (2 − 1 )1 2 = 0
T 1 2 = 0
3
定理 若实对称矩阵A的特征值 的重数为k，则A 恰有k个对应于 的线性无关的特征向量. 定理 n阶实对称矩阵A一定有n个正交的特征向量. 设矩阵A的互不相同的特征值分别为 1 ( k1重) : 11 , 12 , , 1k1 , 正 11 , 12 , , 1k1 , 交 , , , , 2 k2 2 ( k2重) : 21 , 22 , , 2 k2 , 化 21 22 后 , , 得 m 1 , m 2 , , mkm , m ( km 重) : m 1 , m 2 , , mkm , 11 ,12 , ,1k1 , 1 单 其中,k1 + k2 + + km = n. 位 , , , , 21 22 2 k2 2 化 T ij ks = 0, i k . 后 , 得 m 1 ,m 2 , , mkm , m
对称阵的对角化
i
( iii ) 将 上 面 求 得 的 特 征 向 量 为 列 , 排 成 一 个 n 阶 方 阵 H , 则
H ( 1 1 , 1 2 , , 1 r , 2 1 , , 2 r , , s 1 , , s r s ) 1 2
1
此为所求的可逆方阵, H
1
相似
= =
正交 相似
正交 相似
三、矩阵的相似对角化的条件
存在一个 n 阶可逆阵 P , 使 L P A 与对角阵 L 相似 ?
1 p 1 , p 2 , , p n )， L 设 P( n 1
1
AP
( Ap 1 , Ap 2 , , Ap n )
A A A ,
x 是其对应的特征向量 , 即 Ax x
A x A x ( Ax ) ( x ) x
x T A x ( x T A T ) x ( A x )T x ( x )T x x T x
另一方面
x T A x x T (A x ) x T x x T x
( i ) 求 出 A 的 所 有 相 异 的 特 征 值 1 , 2 , , s ; 它们的重数依次为 r1 , r 2 , r s ( r 1 r 2 r s n )
( ii ) 对 每 个 r i 重 特 征 值 i , 求 出 对 应 的 r i 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 i 1 , i 2 , , ir ( 方 程 组 ( A i E ) x O 的 基 础 解 系 ， 1 , 2 , , m ) i
( iii ) 将 上 面 求 得 的 特 征 向 量 为 列 , 排 成 一 个 n 阶 方 阵 H , 则
H ( 1 1 , 1 2 , , 1 r , 2 1 , , 2 r , , s 1 , , s r s ) 1 2
1
此为所求的可逆方阵, H
1
相似
= =
正交 相似
正交 相似
三、矩阵的相似对角化的条件
存在一个 n 阶可逆阵 P , 使 L P A 与对角阵 L 相似 ?
1 p 1 , p 2 , , p n )， L 设 P( n 1
1
AP
( Ap 1 , Ap 2 , , Ap n )
A A A ,
x 是其对应的特征向量 , 即 Ax x
A x A x ( Ax ) ( x ) x
x T A x ( x T A T ) x ( A x )T x ( x )T x x T x
另一方面
x T A x x T (A x ) x T x x T x
( i ) 求 出 A 的 所 有 相 异 的 特 征 值 1 , 2 , , s ; 它们的重数依次为 r1 , r 2 , r s ( r 1 r 2 r s n )
( ii ) 对 每 个 r i 重 特 征 值 i , 求 出 对 应 的 r i 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 i 1 , i 2 , , ir ( 方 程 组 ( A i E ) x O 的 基 础 解 系 ， 1 , 2 , , m ) i
线性代数课件-对称矩阵的对角化
所以正交阵不唯一。
4 0 0 (2) A 0 3 1
0 1 3
4 0 A E 0 3
0
1 2 4 2,
0 1 3
得特征值 1 2, 2 3 4.
0
对 1 2,由A 2E x 0,得基础解系
1 1
1
对 2 3 4,由 A 4E x 0,得基础解系
4 0 0
(1)A 2 1 2, (2) A 0 3 1
0 2 0
0 1 3
解 (1) 第一步 求 A 的特征值
2 2 0
A E 2 1 2 4 1 2 0
0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
第二步 由A i Ex 0,求出A的特征向量
1
2 0,
0
0
3 1.
1
2与3恰好正交 ,
所以 1, 2 , 3两两正交.
再将
1
,
2
,
3单位化,
令p i
i i
i 1, 2, 3得
0
p1 1 2 ,
1
2
1
p2
0
,
0
0
p3 1 2 .
1
2
于是得正交阵
0 1 0
P
p1
,
p2
,
p3
1
2
0 1 2
1
2
01
对 1 4,由A 4E x 0,得
2
2x1 2x2 0 x1 3 x2 2 x3
0
解之得基础解系
1
2 2 .
2x2 4x3 0
1
对 2 1,由A E x 0,得
2
x1 x1
2 x2 2 x3
第16课 实对称矩阵的对角化
1 1 p3 = , 单位化得 η 3 2 1 1 5 2 = − 5 0
1 2 1 = = 3 2 1
2 3 1 3 2 3
0−λ 0 − 1 例：A = 1 0 , | A − λE |= 1
性质1 性质1的意义
−1 = λ2 + 1 ∴ λ = ±i. 0−λ
为实数， 因为对称矩阵 A 的特征值 λi 为实数，所以齐次线性方程组 是实系数方程组。 ( A − λi E ) x = 0 是实系数方程组。 又因为 A − λi E = 0，可知该齐次线性方程组一定有实的 基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。 基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。
λ1 = 0, λ2 = 1, λ3 = 3,
1 1 1 η1 = 1 ,η2 = 0 ,η3 = −2 , 相应的特征向量是 1 −1 1 求矩阵 A.
维向量， 阶方阵。 解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵 A 是3 阶方阵。 因为特征向量是 维向量 个不同的特征值， 可以对角化。 因为 A 有 3 个不同的特征值，所以 A 可以对角化。 即存在可逆矩阵 P , 使得 P −1 AP = Λ
η1 ,η2 ,L ,ηn
4. 以η1 ,η 2 ,L ,η n 为列向量构成正交矩阵 T = (η1 ,η 2 ,L ,η n ) 有 T −1 AT = Λ
λ1 O λ1 即 T −1 ⋅ AT = Λ = O λr O λr
−2 2 0
2 x1 = 2 x3 即 p1 = −2 . 得基础解系 x 2 = −2 x 3 1 当 λ2 = 1 时，由 ( A − E ) x = 0,
线性代数5.4 对称矩阵的对角化
i1
i1
故 0 即 这就说明是实数.
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结束
铃
❖定理1
对称阵的特征值为实数.
显然 当特征值i为实数时 齐次线性方程组 (AiE)x0
是实系数方程组 由|AiE|0知必有实的基础解系 所以对应
的特征向量可以取实向量.
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p2
1 (1, 2
1,
0)T p3
1 (1, 6
1,
2)T .
于是P(p1 p2 p3)为正交阵 并且P1APdiag(2 1 1).
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结束
铃
例2 设 A21 21 求An. 解 因为|AE|(1)(3) 所以A的特征值为11 23. 对应11 解方程(AE)x0 得p1(1 1)T. 对应13 解方程(A3E)x0 得p2(1 1)T. 于是有可逆矩阵P(p1 p2) 及diag(1 3) 使
P1AP 或APP1
从而
AnPnP1
提示
因为A对称 故A可对角化 即有可逆向量P及对角阵
使P1AP. 于是APP1 从而AnPnP1.
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结束
铃
例2 设 A21 21 求An. 解 因为|AE|(1)(3) 所以A的特征值为11 23. 对应11 解方程(AE)x0 得p1(1 1)T. 对应13 解方程(A3E)x0 得p2(1 1)T. 于是有可逆矩阵P(p1 p2) 及diag(1 3) 使
(3)把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵P 便有
P1APPTAP. 注意中对角元的排列次序应与P中列向量的
实对称矩阵的对角化
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例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
011 . 求正交阵 P 使P1AP为对角阵.
方阵P为正交阵的充分必要条件
方阵P为正交阵 ÛPTPE PPTE P1PT P的列向量都是两两正交的单位向量. P的行向量都是两两正交的单位向量.
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例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
将2 3正交化、单位化得
p2
1 (1, 2
1,
0)T p3
1 (1, 6
1,
2)T .
2
于是P(p1
p2
p3)为正交阵
并且P1AP
1
.
1
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二、利用正交矩阵把实对称矩阵化为对称阵的方法
v实对称矩阵对角化的步骤
(1)求出A的全部互不相等的特征值1 2 s
它们的重数依次为k1 k2 ks(k1k2 ksn).
§4.4 实对称矩阵的对角化
一个n阶方阵可以对角化是有条件的, 比如有n个线性无关的特征向量 . 也就是说并非所有n阶方阵都能对角化 但任何实对称矩阵都是可以对角化的.
§4.4 实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵
把实对称矩阵化为对角阵的方法
一、实对称矩阵的性质
v定理4.1 实对称阵的特征值为实数.
设1 2是实对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特 征向量. 若12 则p1与p2正交.
v定理4.3
设A为n阶实对称阵 是A的特征方程的k重根 则对应特 征值恰有k个线性无关的特征向量.
v定理4.4 设A为n阶实对称阵 则必有正交阵P 使P1APPTAP
例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
011 . 求正交阵 P 使P1AP为对角阵.
方阵P为正交阵的充分必要条件
方阵P为正交阵 ÛPTPE PPTE P1PT P的列向量都是两两正交的单位向量. P的行向量都是两两正交的单位向量.
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例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
将2 3正交化、单位化得
p2
1 (1, 2
1,
0)T p3
1 (1, 6
1,
2)T .
2
于是P(p1
p2
p3)为正交阵
并且P1AP
1
.
1
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二、利用正交矩阵把实对称矩阵化为对称阵的方法
v实对称矩阵对角化的步骤
(1)求出A的全部互不相等的特征值1 2 s
它们的重数依次为k1 k2 ks(k1k2 ksn).
§4.4 实对称矩阵的对角化
一个n阶方阵可以对角化是有条件的, 比如有n个线性无关的特征向量 . 也就是说并非所有n阶方阵都能对角化 但任何实对称矩阵都是可以对角化的.
§4.4 实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵
把实对称矩阵化为对角阵的方法
一、实对称矩阵的性质
v定理4.1 实对称阵的特征值为实数.
设1 2是实对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特 征向量. 若12 则p1与p2正交.
v定理4.3
设A为n阶实对称阵 是A的特征方程的k重根 则对应特 征值恰有k个线性无关的特征向量.
v定理4.4 设A为n阶实对称阵 则必有正交阵P 使P1APPTAP
对称矩阵的对角化
5.4 实对称矩阵的对角化
5/3 0 2/ 3 1 3 , p 2 / 5 , p 2 5 /15 p1 2 3 2 3 1/ 5 4 5 /15
第三步
1 8, 2 3 1
Q AQ , Q AQ
T
1
5.4 实对称矩阵的对角化
二、实对称矩阵的对角化
对称矩阵对角化的步骤: (1) 求全部特征值; (2) 求特征值对应的线性无关的特征向量:
若特征值为单根,对特征向量单位化;
若特征值为重根,对特征向量正交化、单位化; Q 1 AQ (3) 写出正交矩阵Q, 及相似标准形
1 2 p p2 0.
T 1
1 2 , p1 p2 0. 即p1与p2正交.
T
5.4 实对称矩阵的对角化
定理3
使 Q AQ
设A为n阶对称矩阵,则必有n阶正交矩阵Q , 1 2 1
n
其中 1 ,2 , ,n 是A的全部特征值.
5.4 实对称矩阵的对角化
A:对称矩阵
1 满足Q AQ 求正交阵Q , ,
1 由A的特征值构成
2
n
Q 若特征值为单根,对特征向量单位化 若特征值为重根, 对特征向量正交化、单位化 由A的特征向量构成 Q p1 , p2 ,, pn .
若特征值为重根,对特征向量正交化、单位化; Q 1 AQ (3) 写出正交矩阵Q, 及相似标准形
Q ( p1 , p2 ,, pn )为正交阵,且 Q 1 AQ
5.4 实对称矩阵的对角化
( A x )T x ( x ) Ax ( x A) x ( x A ) x T T ( x ) x ( x ) x T ( )( x ) x 0TT来自TT2
5/3 0 2/ 3 1 3 , p 2 / 5 , p 2 5 /15 p1 2 3 2 3 1/ 5 4 5 /15
第三步
1 8, 2 3 1
Q AQ , Q AQ
T
1
5.4 实对称矩阵的对角化
二、实对称矩阵的对角化
对称矩阵对角化的步骤: (1) 求全部特征值; (2) 求特征值对应的线性无关的特征向量:
若特征值为单根,对特征向量单位化;
若特征值为重根,对特征向量正交化、单位化; Q 1 AQ (3) 写出正交矩阵Q, 及相似标准形
1 2 p p2 0.
T 1
1 2 , p1 p2 0. 即p1与p2正交.
T
5.4 实对称矩阵的对角化
定理3
使 Q AQ
设A为n阶对称矩阵,则必有n阶正交矩阵Q , 1 2 1
n
其中 1 ,2 , ,n 是A的全部特征值.
5.4 实对称矩阵的对角化
A:对称矩阵
1 满足Q AQ 求正交阵Q , ,
1 由A的特征值构成
2
n
Q 若特征值为单根,对特征向量单位化 若特征值为重根, 对特征向量正交化、单位化 由A的特征向量构成 Q p1 , p2 ,, pn .
若特征值为重根,对特征向量正交化、单位化; Q 1 AQ (3) 写出正交矩阵Q, 及相似标准形
Q ( p1 , p2 ,, pn )为正交阵,且 Q 1 AQ
5.4 实对称矩阵的对角化
( A x )T x ( x ) Ax ( x A) x ( x A ) x T T ( x ) x ( x ) x T ( )( x ) x 0TT来自TT2
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对称矩阵的对角化
（1）求出A的所有不同的特征值λ1,λ2,…,λm. （2）对每个ki重特征值λi，求(A－λiE)x=0的基础 解系，得ki个线性无关的特征向量.再把它们正交化、单 位化，得ki个两两正交的单位特征向量.因 k1+…+ks=n， 故总共可得n个线性无关的特征向量. （3）把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵 Q，便有Q－1AQ=QTAQ=Λ.注意Λ中对角元的排列次序 应与Q中列向量的排列次序相对应.
对称矩阵的对角化
根据定理6-15，实对称矩阵A的不同特征 值对应的特征向量两两正交，故这n个特征向 量构成规范正交向量组.以它们为列构成矩阵Q， 则Q为正交矩阵，并有Q－1AQ=Λ，其中对角 矩阵Λ含有k1个λ1，k2个λ2，…,km个λm，恰是 A的n个特征值.证毕.
根据定理6-17，我们可以得到把实对称矩 阵对角化化
对称矩阵的对角化
【例6-14】
对称矩阵的对角化
对称矩阵的对角化
对称矩阵的对角化
谢谢聆听
对称矩阵的对角化
对称矩阵的对角化
从上一节我们看到，一般的方阵不一定 可对角化，但对于在应用中常遇到的实对称 矩阵（满足AT=A的实矩阵），不仅一定可 以对角化，而且解决起来也要简便得多，这 是由于实对称矩阵的特征值与特征向量具有 一些可注意的特性.
对称矩阵的对角化
定理6-14
实对称矩阵的特征值必为实数. 证明 （略） 由于实对称矩阵的特征值是实数，从 而对应的特征向量也是实特征向量.
对称矩阵的对角化
定理6-16
设λ为n阶实对称矩阵A的k重特征 值，则对应特征值λ恰有k个线性无关的 特征向量.
证明 （略）
对称矩阵的对角化
定理6-17
设A为n阶实对称矩阵，则必存在正交阵Q，使 Q－1AQ=QTAQ=Λ
其中，Λ是以A的n个特征值为对角元的对角阵. 证明 设A的所有不同的特征值为λ1,λ2,…,λm，它们的 重数依次为k1,k2,…,km，于是k1+k2+…+km=n.根据定理616知，对应特征值λi恰有ki个线性无关的特征向量，把它们 单位正交化，即得ki个单位正交的特征向量，i=1,2,…,m.由 k1+k2+…+km=n知这样的特征向量恰有n个.
对称矩阵的对角化
定理6-15
设λ1,λ2是实对称矩阵的两个特征值，p1,p2是对应的特征向量.若 λ1≠λ2，则p1与p2正交.
证明 因Ap1=λ1p1,Ap2=λ2p2. 对Ap1=λ1p1两边转置，由AT=A，可得pT1A=λ1pT1，再同时右乘上 p2，得 pT1Ap2=λ1pT1p2 对Ap2=λ2p2，同时左乘pT1，得 pT1Ap2=λ2pT1p2 两式相减，得(λ1－λ2)pT1p2=0 但λ1≠λ2，故pT1p2=0，即p1与p2正交. 这就是说，实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量两两正交.