实对称矩阵
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实对称矩阵求特征值的技巧
实对称矩阵求特征值的技巧实对称矩阵在线性代数中有着重要的地位，它不仅在理论上有着丰富的性质，而且在实际应用中也有着广泛的应用。
求解实对称矩阵的特征值是其中一项重要的任务，本文将介绍一些常用的技巧和方法，帮助读者更好地理解和解决这一问题。
我们来回顾一下实对称矩阵的定义。
实对称矩阵是指矩阵的转置等于其本身的矩阵，即A^T=A。
这意味着实对称矩阵的元素关于主对角线对称。
例如，下面是一个3x3的实对称矩阵的示例：A = [a b c][b d e][c e f]在求解实对称矩阵的特征值时，我们可以利用矩阵的对角化来简化计算。
对角化是将一个矩阵表示为对角矩阵的形式，即A=PDP^(-1)，其中P是一个可逆矩阵，D是一个对角矩阵。
对角化的好处是可以将矩阵的幂运算简化为对角矩阵的幂运算，而对角矩阵的幂运算非常简单。
要将实对称矩阵对角化，我们需要找到一个特征向量矩阵P，使得P^(-1)AP=D。
特征向量矩阵P的每一列都是对应于矩阵A的一个特征向量。
特征向量满足方程Av=λv，其中λ是特征值，v是特征向量。
现在，我们来具体介绍一些求解实对称矩阵特征值的技巧。
1. 对角化方法：如果实对称矩阵A有n个线性无关的特征向量，那么A可以对角化为D=P^(-1)AP，其中D是一个对角矩阵，P是一个特征向量矩阵。
这样一来，求解A的特征值就变成了求解D的对角元素，即A的特征值。
2. 特征多项式方法：实对称矩阵A的特征多项式是一个关于λ的多项式，表示为det(A-λI)，其中I是单位矩阵。
根据代数学基本定理，特征多项式可以分解为一系列线性因子的乘积。
特征值就是特征多项式的根，可以通过求解特征多项式的根来得到特征值。
3. 幂法：幂法是一种迭代算法，用于求解实对称矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
幂法的基本思想是通过不断迭代矩阵的幂运算，使得向量收敛到特征向量。
具体步骤为：首先随机选择一个向量x(0)，然后进行迭代计算x(k+1)=Ax(k)，直到向量x(k)收敛。
实对称矩阵
2 1 2 . 1
对 2 1,由 A E x 0, 得
解之得基础解系
2 2 1 . 2
对 3 2,由 A 2 E x 0, 得
解之得基础解系
1 3 2 . 2
第三步
将特征向量正交化
由于1 , 2 , 3是属于A的3个不同特征值1 , 2 ,
3的特征向量, 故它们必两两正交 .
i 令 i , i 1,2,3. i
第四步 将特征向量单位化
2 3 23 得 1 2 3 , 2 1 3 , 1 3 2 3
第三节 实对称矩阵的特征值和特征向 量
一、实对称矩阵的性质
定理1 实对称矩阵的特征值为实数. 定理2 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交. 设1 , 2 是实对称矩阵 A的两个特征值 , x1 ,
x2是对应的特征向量 , 下证若 1 2 , 则x1与x2正交 .
证明:
因为Ax1 1 x1
则
2 0 0 T 1 Q AQ Q AQ 0 1 0 . 0 0 1
总结: 利用正交矩阵将实对称矩阵化为对角矩阵 ，其具体步骤为: 1. 求A的特征值; 2. 由 A i E x 0,求出每个i对应的基础解系 ; 3. 将这些基础解系正交化; 4. 将这些基础解系单位化.
1 3 1 1 3 , 1 3
1 2 2 1 2 , 0
1 6 3 1 6 . 2 6
于是得正交矩阵
1 3 1 2 1 Q 1 , 2 , 3 1 3 1 2 1 1 3 0 2 6 6 6
对 2 1,由 A E x 0, 得
解之得基础解系
2 2 1 . 2
对 3 2,由 A 2 E x 0, 得
解之得基础解系
1 3 2 . 2
第三步
将特征向量正交化
由于1 , 2 , 3是属于A的3个不同特征值1 , 2 ,
3的特征向量, 故它们必两两正交 .
i 令 i , i 1,2,3. i
第四步 将特征向量单位化
2 3 23 得 1 2 3 , 2 1 3 , 1 3 2 3
第三节 实对称矩阵的特征值和特征向 量
一、实对称矩阵的性质
定理1 实对称矩阵的特征值为实数. 定理2 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交. 设1 , 2 是实对称矩阵 A的两个特征值 , x1 ,
x2是对应的特征向量 , 下证若 1 2 , 则x1与x2正交 .
证明:
因为Ax1 1 x1
则
2 0 0 T 1 Q AQ Q AQ 0 1 0 . 0 0 1
总结: 利用正交矩阵将实对称矩阵化为对角矩阵 ，其具体步骤为: 1. 求A的特征值; 2. 由 A i E x 0,求出每个i对应的基础解系 ; 3. 将这些基础解系正交化; 4. 将这些基础解系单位化.
1 3 1 1 3 , 1 3
1 2 2 1 2 , 0
1 6 3 1 6 . 2 6
于是得正交矩阵
1 3 1 2 1 Q 1 , 2 , 3 1 3 1 2 1 1 3 0 2 6 6 6
实对称矩阵的标准形
一、实对称矩阵的一些性质
引理1 设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数．
证：设 是A0的任意一个特征值，则有非零向量
x1 x2
M
M xn
满足 A 0 .
x1
令
xxMMn2 ,
其中 为xi 的共x轭i 复数，
又由A实对称，有
A A, A A,
A A
0 (0 ) ( A ) ( A) ( A ) ( A ) ( A ) (0 ) ( 0 ) 0
i1,i2 ,L ,in
它是A的属于特征值 的特征子空间 的一组基． i
由于 是非零复向量，必有 x1x1 x2 x2 L L xn xn 0 故 0 0 . 0 R.
引理2 设A是实对称矩阵，在n 维欧氏空间 上
Rn
定义一个线性变换 如下：
( ) A, Rn
则对任意 , 有 Rn ,
( ), , ( ),
或
( A ) ( A ).
y11 y2 2 ... yn n (1, 2 ,..., n )Y ,
于是
( ) (1, 2,..., n ) X (1, 2,..., n ) AX , ( ) (1, 2 ,..., n )Y (1, 2,..., n ) AY , 又 1, 2 ,是...标,准n正交基，
1） 实对称矩阵可确定一个对称变换．
证：设 A Rnn , A A, 1, 2 ,..., n 为V的一组标准
正交基．
定义V的线性变换 ：
(1,... n ) (1,... n ) A 则 即为V的对称变换．
2） 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵．
证：设 为n维欧氏空间V上的对称变换，
有 ( , ) ( , ), 即 ( , ) ( , ). 又 , ( , ) 0 即 , 正 交．
线代第四章之实对称矩阵
线代第四章之实对称矩阵
目录
• 实对称矩阵基本概念与性质 • 实对称矩阵的相似对角化 • 特征值与特征向量在实对称矩阵中的应用 • 正交变换在实对称矩阵中的应用 • 线性方程组在实对称矩阵中的解法探讨 • 总结回顾与拓展延伸
01
实对称矩阵基本概念与性质
定义及性质
性质：实对称矩阵 具有以下性质
不同特征值对应的 特征向量正交；
拓展延伸：其他类型矩阵简介
反对称矩阵
反对称矩阵是一个方阵，其转置等于它本身的相反数，即$A^T = -A$。反对称矩阵在量 子力学和刚体动力学等领域有着重要应用。
正交矩阵
正交矩阵是一个方阵，其逆等于它本身的转置，即$A^{-1} = A^T$。正交矩阵在保持向 量长度和角度不变的线性变换中扮演着重要角色。
举例说明
例子1
例子2
例子3
矩阵$A=begin{pmatrix} 1 & 2 2 & 1 end{pmatrix}$是一个实对称矩阵 ，因为$A^T=A$。
矩阵$B=begin{pmatrix} 1 & 2 -2 & -1 end{pmatrix}$不是一个实对称 矩阵，因为$B^T neq B$。
应用正交变换求解
03
04
05
首先，通过正交变换将 然后，根据对角矩阵
矩阵$A$化为对角矩阵， $D$的元素即为原实对
即求解$P^{-1}AP = D$， 称矩阵的特征值，求得
其中$D$为对角矩阵， 特征值为$lambda_1 =
$P$为正交矩阵；
1, lambda_2 = 4$；
最后，根据特征值求得 对应的特征向量，并构 造正交矩阵$P = begin{pmatrix} frac{sqrt{2}}{2} & frac{sqrt{2}}{2} frac{sqrt{2}}{2} & frac{sqrt{2}}{2} end{pmatrix}$。
目录
• 实对称矩阵基本概念与性质 • 实对称矩阵的相似对角化 • 特征值与特征向量在实对称矩阵中的应用 • 正交变换在实对称矩阵中的应用 • 线性方程组在实对称矩阵中的解法探讨 • 总结回顾与拓展延伸
01
实对称矩阵基本概念与性质
定义及性质
性质：实对称矩阵 具有以下性质
不同特征值对应的 特征向量正交；
拓展延伸：其他类型矩阵简介
反对称矩阵
反对称矩阵是一个方阵，其转置等于它本身的相反数，即$A^T = -A$。反对称矩阵在量 子力学和刚体动力学等领域有着重要应用。
正交矩阵
正交矩阵是一个方阵，其逆等于它本身的转置，即$A^{-1} = A^T$。正交矩阵在保持向 量长度和角度不变的线性变换中扮演着重要角色。
举例说明
例子1
例子2
例子3
矩阵$A=begin{pmatrix} 1 & 2 2 & 1 end{pmatrix}$是一个实对称矩阵 ，因为$A^T=A$。
矩阵$B=begin{pmatrix} 1 & 2 -2 & -1 end{pmatrix}$不是一个实对称 矩阵，因为$B^T neq B$。
应用正交变换求解
03
04
05
首先，通过正交变换将 然后，根据对角矩阵
矩阵$A$化为对角矩阵， $D$的元素即为原实对
即求解$P^{-1}AP = D$， 称矩阵的特征值，求得
其中$D$为对角矩阵， 特征值为$lambda_1 =
$P$为正交矩阵；
1, lambda_2 = 4$；
最后，根据特征值求得 对应的特征向量，并构 造正交矩阵$P = begin{pmatrix} frac{sqrt{2}}{2} & frac{sqrt{2}}{2} frac{sqrt{2}}{2} & frac{sqrt{2}}{2} end{pmatrix}$。
第5章第3节实对称矩阵
2
1
n r
2 1 1 ... ... 0 0 1 2 1 2E 2 0 0 ... 0 ... 2 0 11 141页第6、7、8行 对角线上有 r个1 ，n—r个0 ，n—r个２
则
1 1 1 6 0 0 1 1 1 4 1 1 1 实对称阵不相同的特征值 对应的特征向量 1 3 0 1 2 1 1 4 1 P P 1 1 0 0 3 一定正交 4 1 0 1 0 0 3 1 1 2 1 1
10
6, 3, 3
A
思考题
解
A为实对称阵， 一定存在正交阵 P 使P1AP为对角阵 A P P 1 由A2 A可得 A的特征值是1或0, 的秩为r
1
设n阶实对称阵A 满足A2=A， 且A的秩为r 试求行列式 |2E—A|的值
| 2 E A | | 2 PP P P | | P (2 E ) P 1 | | 2 E |
138页13 设3阶方阵A 的特征值为 1, 0,
2 ， , 1 2 2 1 , 2 2 1 2 ,
1对应的特征向量 依次为
求3阶方阵A 2 1 2 2 2 1 1 0 0 1 , , 1 0 0 0 P 2 2 1 解 令 P 1 2 2 9 1 2 2 2 1 2 0 0 1 1 则 P AP 2 1 0 3 2 2 1 1 0 0 2 1 2 3 1 1 2 1 A P P 1 2 2 0 0 0 2 2 1 0 9 2 1 2 0 0 1 1 2 2 3 3 137页10 2 2 1 2 101 0 0 101 1 A P P 3 3 3 3 1 1 2 PP A 0 3 3 2 2 8 0 3 3
§6实对称矩阵的标准形
矩阵的运算
加法
相同位置的元素相加 。
减法
相同位置的元素相减 。
数乘
所有元素乘以一个数 。
乘法
两个矩阵相乘，仅当 第一个矩阵的列数等 于第二个矩阵的行数 时，才能进行乘法运 算。
转置
将矩阵的行转换为列 ，或者将列转换为行 。
02
实对称矩阵
实对称矩阵的定义
实对称矩阵的定义
如果一个矩阵A是实数矩阵，并且A的转置矩阵A^T等于A， 则称A为实对称矩阵。
矩阵的初等变换
总结词
详细描述
1. 行交换
2. 行倍法
3. 行消法
矩阵的初等变换是线性 代数中常用的方法，通 过行变换和列变换，可 以将一个矩阵转化为另 一个矩阵。
矩阵的初等变换包括以 下三种
将矩阵的两行互换位置 。
将矩阵的某一行乘以非 零常数。
用某一非零常数乘以矩 阵的某一行中的所有元 素，并将此常数加到另 一行对应位置的元素上 。
退化矩阵：至少有一个特征值为零的实对称矩阵。
正常矩阵：所有特征值都是正数的实对称矩阵。
半正定矩阵：所有特征值都是非负数的实对称矩阵，且 至少有一个特征值为零。
03
实对称矩阵的标准形
实对称矩阵标准形的定义
实对称矩阵
如果一个矩阵A是实数矩阵，并且A的转置等于它本身， 即$A^T=A$，那么我们称A为实对称矩阵。
矩阵的逆运算
要点一
总结词
矩阵的逆运算是线性代数中一个重要的概念，对于一 个可逆矩阵，存在一个逆矩阵，使得两矩阵相乘等于 单位矩阵。
要点二
详细描述
设A是一个n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使得 AB=BA=E（E为单位矩阵），则称A是可逆矩阵，并将 B称为A的逆矩阵。在实数域上，一个n阶方阵A是可逆 的充分必要条件是|A|≠0。
线性代数4.3 实对称矩阵
A ( A A)
正交变换
1 2 PAP n
P (e1 e2 en )
I A 0
求出基础解系i 解出特征值i
Schimidt正交化过程
i I A x 0
单位化得
ei
2 2 2 例：用正交变换把下列对称矩阵对角化 2 5 4 2 4 5 解 （１）求方阵Ａ的特征值 由 E A 0 得特征值 1 2 1, 3 10
根据th4.8,对应特征值
i
恰有 ri 个线性无关的特征向量 (i 1,2,, s)
用施密特正交化然后再单位化,得到 ri 个正交的单位特征向量. 由th4.7知对应于不同特征值所对应的特征向量正交的, 故这n个单位特征向量是两两正交的。若以它们为列向量构成正交 矩阵P, 则
AP P1 AP diag (1, 2 ,n ) P
(3) 非零的实反对称矩阵不可能相似于实对角矩阵.
补充：幂等矩阵 定义
设 A 为 n 阶方阵, 若满足
A2 A 则称 A 为幂等矩阵.
性质
(1) 幂等矩阵的特征值为0或1. (2)
Ir 幂等矩阵一定相似于形如 0
0 的对称阵. 0
补充：幂零矩阵 定义
m 设 A 为 n 阶方阵, 若满足 A 0 (ｍ为正整数），则称
对称矩阵
AT A
即
ai j a j i
a11 a12 a 1n a11 T a12 A a 1n
i, j 1, 2,, n
a1n a2 n ann
a21 an1 a11 a12 a22 an 2 a21 a22 a a a2 n ann n1 n 2 a21 an1 a22 an 2 a2 n ann a11 a21 A a n1
6-2实对称矩阵
例4 设n阶实对称矩阵A满足A2 A, 且A的秩为r , 试求行列式 det 2 E A的值.
该方程组的一个基础解系为1 1,1, 0 , 2 1, 0, 1 .
1 1 令S 1 , 2 , X 3 1 0 0 1 S 1 AS diag(2, 2,3) ， 从而
1 1 ，则 S 为可逆阵，且 1
将X1，X 2正交化，令
1 X1 [2,1, 0]T ( X 2 , 1 ) 4 2 4 2 X2 1 X 2 5 1 [ 5 , 5 ,1]T . ( 1 , 1 )
将1， 2单位化得
1 1 | [ | 1
2 1 , , 0]T , 5 5
T
参数k 和矩阵A.
解 因为A 实对称，故 X X 3，有 0 ( X , X 3 ) 97 k 99 k 2.
方法一、设X1 x1 , x2 , x3 是矩阵A属于特征值2的
T
一个特征向量，则
( X1 , X 3 ) x1 x2 x3 0.
T T
(I) 当1 2 1时，解( E A) X 0， 1 2 2 1 2 2 0 0 0 EA 2 4 4 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4 4 0 0 0 得特征向量X1 [2,1, 0]T ， X 2 [2, 0,1]T
T A 111T 222 T n n n .
, n是A的n个
,n为相应的n个标准正交的特征
例3 (课后15题） 设 3 阶实对称矩阵A的特征值为 2, 2, 3, 且 X 97 , k , 99 为矩阵A的属于特征值 2的一个特征向量，
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A的特征值为 121 ， 38
当 1 2 1，解方程组（ A （ 1 ） E ） x 0
即
4 2 4 x1 0
2
1
2
x2
0
4 2 4 x3 0
得到两个线性无关的特征向量 1 （ 1 ， 0 ， 1 ） ， 2 （ 1 ， 2 ， 0 ）
对于 3 8
1、求矩阵A的特征值 2、求特征向量 3、将特征向量正交化、单位化 4、构造正交矩阵，写出对应的对角形矩阵
3 2 4
练习 设实对称矩阵
A
2
0
2
4 2 3
求正交矩阵P,使 P 1 AP 为对角矩阵.
解 A的特征多项式为
3 2 4
A E 2 0 2 36 2 1 5 8
4 2 3
（ 1 ） （ 2 8 ） = 0
Ａ为幂零矩阵．
性质
(1) 幂零矩阵的特征值为0. (２) 非零的幂零矩阵不相似于对角矩阵.
作业
P107-P108 习题四 4.9 4.11(1) 4.12 4.17
预习 第四章 第四节
(3) 非零的实反对称矩阵不可能相似于实对角矩阵.
幂等矩阵
定义
设 A 为 n 阶方阵, 若满足 A2 A 则称 A 为幂等矩阵.
性质
(1) 幂等矩阵的特征值为0或1.
(2)
幂等矩阵一定相似于形如
Er
0
0
0
的对称阵.
幂零矩阵
定义 设 A 为 n 阶方阵, 若满足 Am 0 (ｍ为正整数），则称
e1
1
1
1
1 2,1,0T
5
e2
1
2
2
1 2,4,5T
35
e3
1
3
3
11,2,2T
3
单位化
（４）构造矩阵Ｐ，写出相应的对角形矩阵
2
5
5
25 15
1
3
令
P e1, e2 , e3
5 5
4 5 2
15
3
0
5
2
3
3
1
则有
P1AP
PT
AP
1
10
求正交变换将实对称矩阵对角化的一般步骤：
（２）求特征向量
对于 1 2 1,
得一个基础解系
解方程组 AEX0
1 2 ,1 ,0T,22 ,0 ,1 T
对于 3 1 0, 解方程组 A10EX0
得一个基础解系 3 1,2,2T
（３）将特征向量组正交化、单位化
令 112,1,0T
22 2 1,, 1 111 52,4,5T 正交化
331,2,2T
1
3
e2
1
2
2
1 (1,4,1) 32
1 2
1 32
2 3
e3
1
3
3
1(2,1,2) 3
1 0 0
则有
8
反对称矩阵 定义 设 A 为 n 阶方阵, 若 AT A 则称 A 为反对称矩阵 性质
(1) 实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数.
(2) 奇数阶反对称阵对应的行列式为0.
➢实对称矩阵的对角化
定理 设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使得
PAP,其中 是以A的n个特征值为
对角元素的对角矩阵，正交矩阵P的列向量 是A的特征值所顺次对应的单位正交特征向 量。
例 用正交变换把下列对称矩阵对角化
2 2 2
2
5
4
2 4 5
解 （１）求方阵Ａ的特征值
由 AE 0 得特征值 121,310
1
，
1
得到特征向量 3 （2， 1， 2）
2
2
[[21， ，11]]1
1 2 0
1 2
1
0
1
0.5 2 0.5
取 3 3 则１ ，２ ，３是矩阵A的正交特征向量组
令 P (e1, e2 , e3 )
单位化
1
1 2
e1
1
1
1
1 (1,0,1) 2
2
=
0
32
3
4 32
第三节 实对称矩阵
➢ 对称矩阵
如果方阵A满足 AT A, 就称A为对称矩阵
例 如
110
1 1
0 3
3 0
3 2 4 2 0 7 4 7 5
方阵A为对称矩阵 矩阵A中关于主对角线对称的每一对元素相等
➢ 实对称矩阵的性质
定理1 实对称矩阵的特征值必为实数。 定理2 实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交。
证明 设A是对称矩阵
A 1 1 1 ,A 2 2 2 , 1 0 ,2 0 , 1 2
1 [1 ,2 ] [11 ,2 ] [A 1 ,2 ]
1
A
2
1
A
2
12 2 1,22 21,2
1 2 1,20
定理3 设A是n阶对称矩阵， 是A的特征方程的 r 重根， 则对应特征值 恰有 r 个线性无关的特征向量。