实对称矩阵特征值与特征向量的性质
10 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质
实对称矩阵的特征值和特征向量一、实对称矩阵的特征值和特征向量 定理1 实对称矩阵的特征值为实数. 证明 ,,A x λ设复数为实对称矩阵的特征值复向量为对应的特征向量 ,0.Ax x x λ=≠即,,x x λλ用表示的共轭复数表示的共轭复向量 A x A x =则()().Ax x x λλ===一、实对称矩阵的特征值和特征向量于是有 T x Ax T x Ax 及()T x Ax =T x x λ=,T x x λ=()T T x A x =()T Ax x =()T Ax x =.T x x λ=两式相减，得()0.Tx x λλ-= 0,x ≠但因为()0,λλ⇒-= ,λλ=即.λ由此可得是实数211 0,n n T i i ii i x x x x x ====≠∑∑所以一、实对称矩阵的特征值和特征向量 说明,()0,0,.i i i A A E x A E λλλ-=-=由于实对称矩阵的特征值为实数所以特征向量所满足的线性方程组是实系数方程组由，知必有实的基础解系从而对应的特征向量也可以取实向量一、实对称矩阵的特征值和特征向量 12121212 ,,,,,.2A p p p p λλλλ≠设是实对称矩阵的两个特征值是对应的特征向量若则与理正交定证明 ,,,21222111λλλλ≠==Ap p Ap p ,,A A A T =对称 ()()T T T Ap p p 11111==∴λλ,11A p A p T T T ==于是 ()22121211p pAp p p p T T T λλ==,212p p T λ=().0 2121=-⇒p p Tλλ,21λλ≠ .21正交与即p p .021=∴p p T一、实对称矩阵的特征值和特征向量 r 个线性无关的特征向量.定理3 设 λ是n 阶实对称矩阵A 的r 重特征值，则 矩阵 A - λE 的秩为n −r ， 从而对应特征值 λ恰有 定理4 任意实对称矩阵都与对角矩阵相似. 其中 是以A 的n 个特征值为对角元素的对角矩阵. Λ定理5 设A 为n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵P , 1P AP -=Λ使得二、举例 解 400031013A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭例 求矩阵的特征值和特征向量. 先求矩阵A 的特征值λλλλ---=-310130004E A ()(),422λλ--=.4,2321===λλλ得特征值二、举例再求矩阵A 的特征向量 ()得基础解系由对,02,21=-=x E A λ1(0,1,1).T η=-()得基础解系由对,04,432=-==x E A λλ23(1,0,0),(0,1,1).T Tηη==1213,]0,,]0,ηηηη==这里[[123010,,10120.101ηηη=-≠-同时|()|=谢谢！。
实对称矩阵的特征值和特征向量
A (aij )nn A (aij )nn
实对称矩阵的性质:
1.(定理4.12)实对称矩阵的特征值都是实数.
推论 实对称矩阵的特征向量都是实向量.
2.(定理4.13)实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交.
定理4.4 矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关. 定理2.15 正交向量组必线性无关.
推论 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关. 3.实对称矩阵的属于ni重特征值的线性无关的特征向量恰有ni个. 4. n 阶实对称矩阵恰有n个线性无关的特征向量, 进而有n个单 位正交的特征向量. 5. 实对称矩阵必可对角化, 即 若A为实对称矩阵 , 则可逆矩阵P, 使P1 AP为对角矩阵 .
7.(定理4.14)若A为实对称矩阵 , 则正交矩阵Q, 使1.求A的所有互异的特征值 1 , 2 ,, m , 其中i的重数为ni , i 1,2,, m. 2.i , 解方程组(i E A) x 0, 求A的属于i的线性无关的特征向量 i1 , i 2 ,, ini . 3.利用Schmidt正交化方法将 i1 , i 2 , , ini 正交化, 再单位化, i 1,2, , m. 设所得的单位正交向量 组为1 , 2 , , n . 4.令Q ( 1 , 2 , , n ), 则Q为正交矩阵, 且 1 1 2 Q 1 AQ 2 m m
§4.3 实对称矩阵的特征值和特征向量 实对称矩阵: 对称的实矩阵. 共轭矩阵: 性质:
(1) A为实对称矩阵 A A AT . (2) AB A B , kB k B (k C ). (3)若A为实对称矩阵, 则 , R n , 有( A , ) ( , A ).
6-3实对称矩阵的相似对角化
0 3
0 1
2 4 ,
2
0 1 3 得特征值 1 2, 2 3 4.
0 对 1 2,由 A 2 E x 0, 得基础解系 1 1 1 对 2 3 4,由 A 4 E x 0, 得基础解系 1 0 与 恰好正交 , 3 2 0 , 3 1 . 2 0 1 所以 1 , 2 , 3两两正交.
于是得正交阵
0 P 1 , 2 , 3 1 2 1 2 2 0 1 则 P AP 0 4 0 0
0 0 1 2 0 1 2 0 0 . 4 1
§6.3
实对称矩阵的 相似对角化
一、实对称矩阵特征值与特征向量的性质
定理1 实对称矩阵的特征值为实数.
定理2
实对称矩阵属于不同特征值的特征向量
是正交的.
设1 , 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是 对应的特征向量, 若1 2 , 则 p1与 p2正交 .
推论 实对称矩阵属于不同特征值的特征 向量是线性无关的.
对 2 1,由 A E x 0, 得
x1 2 x2 0 2 x1 2 x3 0 2x x 0 2 3
2 解之得特征向量 2 1 . -2
对 3 2,由 A 2 E x 0, 得
2 2 k 1 满足
即 1 , 2 k 1 , 1 0 从而求出
1 , 2 k 1 , 1
再令 3 3 k1 1 k2 2 及 1 , 3 2 , 3 0 2 , 3 1 , 3 k2 可求出 k1 2 , 2 1 , 1 一般地,由 1 , 2 , , s 求出 1， 2 , , s 的公式为
特征值与特征向量_
特征值与特征向量_一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，对于一个nxn的矩阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ是一个常数，则称λ为矩阵A的特征值，v为对应的特征向量。
特征向量是指矩阵在一些方向上的不发生变化的向量，而特征值则表示该方向上的缩放比例。
矩阵乘以特征向量v等于用特征值λ来放缩这个向量。
二、特征值与特征向量的性质1.特征值和特征向量总是成对出现，即一个特征向量对应一个特征值，可能有多个特征向量对应同一个特征值。
2.特征值可以为复数，但如果A是实对称矩阵，则特征值一定是实数。
3.矩阵的特征值可以通过求解方程，A-λI，=0得到，其中I是单位矩阵。
4.特征向量可以通过求解方程(A-λI)v=0得到，其中0是全零向量。
5.特征值的和等于矩阵的迹(所有主对角线上的元素之和)，特征值的乘积等于矩阵的行列式。
三、特征值与特征向量的应用1.特征值分解特征值分解是矩阵分析中非常重要的一种分解方法，对于一个nxn的矩阵A，其特征值分解为A=VΛV^(-1)，其中V是由特征向量构成的矩阵，Λ是由特征值构成的对角矩阵。
特征值分解可以用于求解线性方程组、矩阵的幂次计算、矩阵的逆等问题，也可以用于降维和数据压缩等领域。
2.特征值与特征向量的几何意义特征向量可以表示矩阵的一些方向上的不变性，通过求解矩阵的特征向量，可以了解矩阵对于不同方向上的变化情况。
例如，在计算机图形学中，可以通过矩阵的特征向量来描述形状的变化、旋转、缩放等操作。
3.矩阵的谱分析通过分析矩阵的特征值和特征向量，可以了解矩阵的性质和结构。
例如，对于对角矩阵，其特征值就是主对角线上的元素，特征向量为标准基向量。
四、总结特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
特征值与特征向量可以用于矩阵分解、线性方程组求解、数据压缩和图形变换等问题，对于理解和分析矩阵的性质和结构有着重要的意义。
深入理解特征值与特征向量的概念和性质，对于掌握线性代数和应用数学具有重要的作用。
3.3 实对称矩阵的特征值和特征向量
Step3 利用施密特正交化方法，把向量组 i1 , i2 , ... , ini 正交化，得到正交向量组 i1 , i2 , ... , ini (i 1, 2, , m) . 再将所得正交向量组单位化，得到正交向量组 i1 , i2 , ... , ini (i 1, 2, , m) .
8
0
4
6
0 4 1 2
3
6
2
1
A为对称矩阵
A对称矩阵的特征值都是实数.
说明：若A是实数域上的对称矩阵，则
a11 a12 L
E A a21 a22 L
M
M
a1n a2n
M
an1 an2 L ann
1
,
0
2
2
T 2
T 1
1 1
1
1
0
1
1 2
1
1
0
1 2
1 2
1
再单位化得
1
(
1 2
,
1 2
,
0
)T
,
2
(
1 , 6
1, 6
2 )T 6
1
设特征值 3 对应的特征向量为
x = (x1 , x2 , x3)T , 由于实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交, 故
(1 , x) = x1 + x2 + x3 = 0
实对称矩阵求特征值的技巧
实对称矩阵求特征值的技巧实对称矩阵是指一个矩阵的转置矩阵和它本身相等，即A = A^T。
求解实对称矩阵的特征值和特征向量是线性代数中的重要问题。
下面将介绍一些实对称矩阵求特征值的技巧。
1. 特征值存在定理对于实对称矩阵A，其特征值一定存在且为实数。
这是因为实对称矩阵可以通过正交变换化为对角矩阵，而对角线上的元素就是特征值。
2. 特征向量正交性如果A是一个n*n的实对称矩阵，那么它的n个特征向量一定两两正交。
这意味着任意两个不同的特征向量之间的内积为0。
这个性质也可以通过正交变换来证明。
3. 特征向量单位化在求解实对称矩阵A的特征向量时，我们通常会将其单位化。
即将每个特征向量除以其模长，使得所有特征向量都成为单位向量。
这样做可以方便计算，并且保证每个特征向量都有相同的长度。
4. Rayleigh商Rayleigh商是一种用来估计实对称矩阵特征值的方法。
对于一个实对称矩阵A和一个非零向量x，其Rayleigh商定义为x^T*A*x / x^T*x。
这个值可以用来估计A的特征值，具体方法是将它最小化。
这个方法在迭代求解特征值时非常有用。
5. 幂法幂法是一种迭代求解实对称矩阵最大特征值和特征向量的方法。
它的基本思想是不断将一个向量乘以矩阵A，并将结果单位化，直到收敛为止。
在每次迭代中，向量的模长会越来越接近最大特征值，并且向量会收敛到与最大特征值对应的特征向量上。
6. Jacobi方法Jacobi方法是一种通过旋转实对称矩阵来将其对角化的方法。
它通过不断地选择一个旋转角度和旋转轴来消去矩阵中某个元素，直到所有非对角元素都变成0为止。
这个过程中，矩阵的主对角线上的元素就是特征值，而每列主对角线上元素所在列的其他元素组成的向量就是该列主对角线上元素所对应的特征向量。
7. QR方法QR方法是一种通过正交变换将实对称矩阵对角化的方法。
它通过不断地将矩阵分解为QR的形式，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵，直到R变成对角矩阵为止。
3.3实对称矩阵的特征值和特征向量
a2,
,
an
)
b2 bn
n
a1b1 a2b2 anbn aibi
i 1
称为向量 与 的内积. 内积T 也可记作(, )
P13-2
第三章
一、向量的内积 1. Def.: 设 = (a1 , a2 , … , an)T , = (b1 , b2 … , bn)T 为 Rn
9. 设A为3阶矩阵, 1 ,2 ,3线性无关, 且 A1 =21 +2+3, A2 =22, A3 = -2 +1. (1) 求矩阵B, 使得A(1 , 2, 3)=(1 , 2, 3)B; (2) 求A的特征值;
(3) 求矩阵P 和对角阵 , 使P-1AP = .
练习3.3选解:
3. 设A为3阶实对称矩阵, 且A2+2A=O, r(A)=2, 求与A
线性无关.
P13-5
第三章
8. 施密特(Schmidt) 正交化方法
由一个线性无关的向量组构造一个与之等价的正交向量组.
设 1 ,2 ,…, s ( s 2 ) 是 Rn 中的一个线性无关的向量组， 令 1 1
2
2
(2 , 1 ) (1, 1)
1
3
3
(3 , (2,
2) 2)
2
(3 , 1 ) (1, 1)
相似的对角矩阵.
P13-13
2 2 1
例2 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 0 , 1 (二重), 属于
特征值 0 的一个特征向量为1= (0, 1, 1)T . 求 A .
0 1 0
1 0 0
P 1 0 1 , A 0 1 2 1 2
1 0 1
0 1 2 1 2
求实对称矩阵的特征值和特征
求实对称矩阵的特征值和特征求实对称矩阵的特征值和特征向量求实对称矩阵的特征值和特征向量是线性代数中一个基本的问题。
特征值和特征向量代表了矩阵在空间中的性质，具有重要的应用价值。
本文将系统地介绍求解实对称矩阵的特征值和特征向量的方法。
一、什么是实对称矩阵实对称矩阵指的是元素都为实数的方阵，其转置矩阵等于自己。
即，对于一个n阶实对称矩阵A，有A = A^T。
实对称矩阵在矩阵理论中非常重要，因为它们具有很多优秀性质，例如对称性和正交性等。
二、求实对称矩阵的特征值和特征向量的步骤特征向量代表的是方阵在某一方向上的拉伸效应，而特征值代表的则是这个拉伸效应的大小。
因此，求解实对称矩阵的特征值和特征向量可以从以下几个步骤入手：1. 求出矩阵的特征多项式设A为一个n阶实对称矩阵，则其特征多项式为：f(λ) = det(λI - A)其中λ为待求的特征值，I为n阶单位矩阵。
求出特征多项式后，我们可以通过对其进行分解，从而求出矩阵的特征值。
2. 求解特征值将特征多项式f(λ)分解为：f(λ) = (λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λn)其中λ1, λ2, …, λn为n个特征值，可以通过求解f(λ)=0的方程组得到。
特别地，由于我们在求解过程中使用的是实对称矩阵，因此得到的所有特征值都是实数。
3. 求解特征向量求解特征向量的方法有很多种。
一种比较简单的方法是，对于矩阵A的每一个特征值λi，解出下面的方程组：(A-λiI)xi = 0其中xi为λi对应的特征向量。
由于A是实对称矩阵，因此这个方程组的解可以通过高斯消元或LU分解等方式求解。
4. 将特征向量规范化在求解出特征向量后，为了便于后续的处理，需要将它们进行规范化。
具体地，我们将特征向量xi除以其模长，使得其模长等于1。
即：||xi|| = 1这样做的好处是，保证了特征向量之间的正交性，也就是说它们构成了一个规范正交基。
三、总结求解实对称矩阵的特征值和特征向量是线性代数中一个重要的问题。
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性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。
设是n阶实对称矩阵A的特征值, (a1, a2 ,, an )T
是对应的特征向量,即A 两边取共轭，得
A (1)
A (aij )nn
A,
(a , 1
a 2
,
,
an
)T
,由于A为实对称阵，故
AT
AT
A,
（1）两端取转置，得：
2 4 2
1 2
2
A E 2 2 4 ( 2)2 ( 7)
2
4 2
1 2 2,3 7.
1 (2,1,0)T ,2 (2,0,1)T为属于特征值2的线性无关的特
征向量.
3 7的特征向量为3 (1，2， 2)T .
2 2 1
2
P 1
2
3
1
0
0 1
2 , 2
1 1 0
B 4 3 0 1 2 1,3 2.
1 0 2
对1 2 1,
2 1 0 1 0 1
B
E
4
1
2 0
0 1
0 0
1 0
2 , 1 (1,2, 1)T .
0
线性无关 的特征向 量只有一个
1 2 2 例：设A 2 2 4 ，求可逆阵P，使P1AP为对角阵。
1T A 11T .
1T A2 11T2.
21T2 11T2. (2 1)1T2 0.
1T2 0.
例：设1，1，1是三阶实对称方阵A的3个特征值，
1 （1，1，1）T,2 （2，2，1）T是A的属于特征值1的特
征向量，求A的属于特征值1的特征向量。
设A的属于特征值 1的特征向量为3 （x1，x2，x3）T ,
P1 AP
2 . 7
从而 1 或 1 2i 或 1 2i.
因为 A 为 n 阶实对称阵，所以 1，即 A 的特征值全部为 1.
性质2：实对称矩阵的相异特征值所对应的特征对应的特征向量 线性无关。
A1 11，A2 22.
?
(1,2 ) 0
(A1 )T
1
T 1
T AT T T A T
两端同时右乘 T A T T T
(
) T 0
T
2
0,
练 设 A 是 n 阶实对称阵且 A3 3A2 5A 3E 0 习 求A 的特征值。
设 为 A 的任一特征值，由 A3 3A2 5A 3E 0 知 3 32 5 3 0.
3与1,2正交，（3,1）（3,2） 0
x1 2x1
x2 x3 0 2x2 x3 0
A 1 2
1 2
1 1
1
0
1 0
11
1 0
1 0
0
1
x1
x3
x2 0
3
（1，1，0）T
性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无关 的特征向量恰有k个。
由此推出：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。