(浙江专用)2019年高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数1 第1讲 函数及其表示课时作业
2019版数学高考大一轮复习备考浙江专用讲义：第二章
§2.1函数及其表示1.函数与映射2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域. (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域. (3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 3.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数. 知识拓展简单函数定义域的类型(1)f (x )为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合； (2)f (x )为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合；(3)f (x )为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合； (4)若f (x )＝x 0，则定义域为{x |x ≠0}； (5)指数函数的底数大于0且不等于1；(6)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z .题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域就是集合B .( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( × ) (3)函数f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点.( √ )(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射.( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的.( × ) 题组二 教材改编2.[P74T7(2)]函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是________. 答案 [－3,6)3.[P25B 组T1]函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________.答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 题组三 易错自纠4.(2017·湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≥0，－x 2＋3，x <0，若f (a )＝2，则a的值为( )A.2B.－1或2C.±1或2D.1或2 答案 B解析 当a ≥0时，2a －2＝2，解得a ＝2；当a <0时，－a 2＋3＝2，解得a ＝－1.综上，a 的值为－1或2.故选B.5.已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为______. 答案 2解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4，即x 20＝4，解得x 0＝2.当x <0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解，所以x 0＝2.6.已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. 答案 －2解析 由题意知点(－1,4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图象上，所以4＝－a ＋2，则a ＝－2.题型一 函数的概念1.若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 A 中函数的定义域不是[－2,2]，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是[0,2]，故选B.2.有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；②f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；③若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________. 答案 ②解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数，故①不正确；对于②，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数，故②正确； 对于③，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1，故③不正确. 综上可知，正确的判断是②.思维升华 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数.值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同).题型二 函数的定义域问题命题点1 求函数的定义域典例 (1)(2017·杭州期末)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A.(0,1)B.[0,1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞)答案 C解析 由x 2－x ＞0，解得x <0或x >1，∴f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞).(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 018]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A.[－1,2 017]B.[－1,1)∪(1,2 017]C.[0,2 018]D.[－1,1)∪(1,2 018]答案 B解析 使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 018，解得－1≤x ≤2 017，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1，2 017].所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 017，x －1≠0， 解得－1≤x ＜1或1＜x ≤2017.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]. 引申探究本例(2)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0,2 018]”，改为“函数f (x －1)的定义域为[0,2 018]，”则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域为________________.答案 [－2,1)∪(1,2 016]解析 由函数f (x －1)的定义域为[0,2 018]. 得函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2 017]，令⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋1≤2 017，x ≠1， 则－2≤x ≤2 016且x ≠1.所以函数g (x )的定义域为[－2,1)∪(1,2 016]. 命题点2 已知函数的定义域求参数范围典例 (1)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，34B.⎝⎛⎭⎫0，34C.⎣⎡⎦⎤0，34D.⎣⎡⎭⎫0，34 答案 D解析 要使函数的定义域为R ，则mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立， ①当m ＝0时，显然满足条件；②当m ≠0时，由Δ＝(4m )2－4m ×3＜0， 得0＜m ＜34，由①②得0≤m ＜34.(2)若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________. 答案 －92解析 函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集.不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1＋2＝－b ，1×2＝b a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍.(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域.(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解. 跟踪训练 (1)(2017·江西九江七校联考)函数y ＝9－x 2log 2(x ＋1)的定义域是( )A.(－1,3)B.(－1,3]C.(－1,0)∪(0,3)D.(－1,0)∪(0,3]答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ≤3且x ≠0，∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,3].(2)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________. 答案 [－1,2]解析 ∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2].(3)(2017·杭州模拟)若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是________. 答案 [0,4]解析 当m ＝0时，f (x )的定义域为一切实数；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0， 得0<m ≤4，综上，m 的取值范围是[0,4].题型三 求函数解析式1.已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋x －2，则f (x )＝________. 答案 x 2－2(x ≥2或x ≤－2) 解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 又| x ＋1x| ≥2，∴f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2).2.已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________. 答案 12x 2－32x ＋2解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1， 即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.3.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f (x )＝________. 答案23x ＋13(x ＞0) 解析 在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1中，将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1， 由⎩⎨⎧f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法. (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式.(4)消去法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x ).题型四 分段函数命题点1 求分段函数的函数值典例 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ≤1，f (x －1)＋1，x >1，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值为( ) A.12 B.－12 C.－1 D.1 答案 D解析 f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫13＋f ⎝⎛⎭⎫－43＋1 ＝cos π3＋cos ⎝⎛⎭⎫－4π3＋1＝1. 命题点2 分段函数与方程、不等式问题典例 (1)(2018届东莞外国语学校月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )等于( ) A.－74B.－54C.－34D.－14答案 A解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x >1且f (a )＝－3，若a ≤1，则2a －1－2＝－3，即有2a －1＝－1<0，方程无解；若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3，解得a ＝7， 则f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.(2)(2017·广东汕头、河北石家庄二中联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，g (x )为定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝x 2－2x －5，若f (g (a ))≤2，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－1]∪[0,22－1] B.[－1,22－1] C.(－∞，－1]∪(0,3] D.[－1,3] 答案 A解析 ∵g (x )是定义在R 上的奇函数，∴g (0)＝0，若x >0，则－x <0，g (－x )＝x 2＋2x －5， ∵g (－x )＝－g (x )，∴g (x )＝－x 2－2x ＋5，x >0， 由题意，知f (－2)＝2， ∴f (g (a ))≤2即为f (g (a ))≤f (－2).又f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，∴g (a )≥－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2－2a －5≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a 2－2a ＋5≥－2或a ＝0， ∴a ≤－1或0≤a ≤22－1.故选A.思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来.跟踪训练 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x >0，则使f (x )＝12的x 的集合为__________.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22 解析 由题意知，若x ≤0，则2x＝12，解得x ＝－1；若x >0，则|log 2x |＝12，解得122x =或122x -=.故x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，22.分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B.[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D.[1, ＋∞)(2)(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1的x 的取值范围是________.思想方法指导 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解； (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围.解析 (1)令f (a )＝t ，则f (t )＝2t ， 当t ＜1时，3t －1＝2t ，令g (t )＝3t －1－2t ，得g ′(t )＞0， ∴g (t )＜g (1)＝0，∴3t －1＝2t 无解. 当t ≥1时，2t ＝2t 成立，由f (a )≥1，得： 当a ＜1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a ＜1；当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.(2)当x ＞12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋122x -＞2x ＞2＞1；当0＜x ≤12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝2x ＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1 ＝2x ＋x ＋12＞2x ＞1；当x ≤0时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＝x ＋1＋⎝⎛⎭⎫x －12＋1 ＝2x ＋32，∴由f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12＞1，得2x ＋32＞1，即x ＞－14，即－14＜x ≤0. 综上，x ∈⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案 (1)C (2)⎝⎛⎭⎫－14，＋∞1.下列图象可以表示以M ＝{x |0≤x ≤1}为定义域，以N ＝{y |0≤y ≤1}为值域的函数的是( )答案 C解析 A 选项中的值域不对，B 选项中的定义域错误，D 选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C 正确.2.函数f (x )＝ln x x －1＋12x 的定义域为( )A.(0，＋∞)B.(1，＋∞)C.(0,1)D.(0,1)∪(1，＋∞)答案 B解析 要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x x －1＞0，x ≥0，解得x ＞1，故函数f (x )＝ln xx －1＋12x 的定义域为(1，＋∞).3.(2018·嘉兴一中月考)下列四组函数中，表示同一函数的一组是( ) A.f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg xB.f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1C.f (x )＝x 0，g (x )＝1D.f (x )＝2－x ，g (t )＝⎝⎛⎭⎫12t 答案 D解析 A ，B ，C 中函数的定义域不同，故选D. 4.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19等于( )A.－2B.－3C.9D.－9 答案 C解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫19＝log 319＝－2， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫19＝f (－2)＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9. 5.已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )等于( ) A.(x ＋1)2(x ≠1) B.(x －1)2(x ≠1) C.x 2－x ＋1(x ≠1) D.x 2＋x ＋1(x ≠1)答案 C解析 f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1， 令x ＋1x＝t (t ≠1)，则f (t )＝t 2－t ＋1， 即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1).6.如图，△AOD 是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD 是四分之一圆的扇形，点P 在线段AB 上，PQ ⊥AB ，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设AP ＝x (0<x <2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ (或APQD )的面积为y ，则函数y ＝f (x )的大致图象是( )答案 A解析 观察可知阴影部分的面积y 的变化情况为：(1)当0<x ≤1时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越快.(2)当1<x <2时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越慢.分析四个答案中的图象，只有选项A 符合条件，故选A.7.(2017·山东)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a 等于( ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案 C解析 由当x ≥1时f (x )＝2(x －1)是增函数可知， 若a ≥1，则f (a )≠f (a ＋1)，所以0＜a ＜1， 由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2(a ＋1－1)， 解得a ＝14，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2(4－1)＝6.8.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－3)B.(1，＋∞)C.(－3,1)D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)答案 C解析 若a <0，则f (a )<1等价于⎝⎛⎭⎫12a－7<1等价于⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1等价于a <1， 解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1.故选C.9.已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________. 答案 x 2－1(x ≥1)解析 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1).10.已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝(x )的定义域是__________.答案 (2,8]解析 要使函数有意义，需f (x )>0，由f (x )的图象可知，当x ∈(2,8]时，f (x )>0.11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________.答案 (－1，2－1)解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2>0，2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x ，2x ≥0，解得－1<x <0或0≤x <2－1，∴所求x 的取值范围为(－1，2－1).12.定义新运算“★”：当m ≥n 时，m ★n ＝m ；当m <n 时，m ★n ＝n 2.设函数f (x )＝(2★x )x －(4★x )，x ∈[1,4]，则函数f (x )的值域为____________. 答案 [－2,0]∪(4,60]解析 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4，x ∈[1，2]，x 3－4，x ∈(2，4]，当x ∈[1,2]时，f (x )∈[－2,0]； 当x ∈(2,4]时，f (x )∈(4,60]， 故当x ∈[1,4]时，f (x )∈[－2,0]∪(4,60].13.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤3，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－3]B.[－3，＋∞)C.[－3，3]D.(－∞，3]答案 D解析 令f (a )＝t ，则f (t )≤3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ t <0，t 2＋2t ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧t ≥0，－t 2≤3，解得t ≥－3，则f (a )≥－3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2＋2a ≥－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－3，解得a ≤3，则实数a 的取值范围是(－∞，3]，故选D.14.已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________. 答案 7解析 由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2，得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2，f ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2，又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1， ∴f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7.15.已知定义在R 上的函数f (x )满足：对于任意的实数x ，y ，都有f (x －y )＝f (x )＋y (y －2x ＋1)，且f (－1)＝3，则函数f (x )的解析式为________.答案 f (x )＝x 2－x ＋1解析 令x ＝0，y ＝－x ，得f (x )＝f (0)＋x 2－x .把x ＝－1代入上式，得f (0)＝f (－1)－2＝1，从而有f (x )＝x 2－x ＋1.16.如图，已知A (n ，－2)，B (1,4)是一次函数y 1＝kx ＋b 的图象和反比例函数y 2＝mx 的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C .(1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△AOC 的面积.解 (1)因为B (1,4)在反比例函数y 2＝m x 上，所以m ＝4，又因为A (n ，－2)在反比例函数y 2＝mx ＝4x的图象上，所以n ＝－2，又因为A (－2，－2)，B (1,4)是一次函数y 1＝kx ＋b 上的点， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ －2k ＋b ＝－2，k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝2.所以反比例函数和一次函数的解析式分别为y 2＝4x，y 1＝2x ＋2. (2)因为y 1＝2x ＋2，令x ＝0，得y 1＝2，所以C (0,2)， 所以△AOC 的面积为S ＝12×2×2＝2.。
第2章 第1节 函数的概念及表示-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
►考向二 求函数的解析式[师生共研]
[例 2] (1)已知 f(x)是一次函数，且 f[f(x)]＝4x＋3，则 f(x) 的解析式为_f(_x_)＝__－__2_x_－__3__或__f_(_x)_＝__2_x_＋；1.
(2)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，则 f(x)的解析式为_f(_x_)_＝__x_2－__1_(；x≥1)
►规律方法 求函数解析式的常用方法
(1)换元法：已知复合函数 f[g(x)]的解析式，可用换元法， 此时要注意新元的取值范围.
(2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)， 可用待定系数法.
(3)配凑法：由已知条件 f[g(x)]＝F(x)，可将 F(x)改写成关 于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的解析式.
►规律方法 1.求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解 析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等 式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法 (1) 若 已 知 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 [a ， b] ， 则 复 合 函 数 f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义 域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.
命题点 2 求抽象函数的解析式
[例 1－2] 已知函数 f(x＋1)的定义域为(－2，0)，则 f(2x
－1)的定义域为( C )
A.(－1，0)
B.(－2，0)
C.(0，1)
－1，0 D. 2
[自主解答] ∵函数f(x＋1)的定义域为(－2，0)， 即－2＜x＜0，∴－1＜x＋1＜1， 则f(x)的定义域为(－1，1)， 由－1＜2x－1＜1，得0＜x＜1， ∴f(2x－1)的定义域为(0，1).故选C.
2019届高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数2-10函数模型及其应用课件文
4．(2017·湖北孝感模拟)将甲桶中的 a L 水缓慢注入空桶乙 中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线 y＝aent；假设过
5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过 m min 甲桶中的水只有a4 L，则 m 的值为( )
A．5
B．8
C．9
D．10
[解析] 由题意得 ae5n＝a－ae5n，可得 e5n＝0.5，若再过 m min
[答案] A
3．(2018·北京朝阳区模拟)为了缓解城市拥堵，某市对非居民
区的公共停车场制定了不同的收费标准(见下表).
地区类别 首小时内
首小时外
一类 2.5 元/15 分钟 3.75 元/15 分钟
二类 1.5 元/15 分钟 2.25 元/15 分钟
三类 0.5 元/15 分钟 0.75 元/15 分钟
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下：
[小题速练]
1．某沙漠地区的某天某时段气温(℃)与时间(h)的函数关系是
f(t)＝－t2＋24t－101(4≤t≤18)，则该沙漠地区在该时段的最大℃
C．64℃
D．68℃
[解析] 易知当 t＝12 时，f(t)max＝43，当 t＝4 时，f(t)min＝－
甲桶中的水只有a4 L，可得 ae(5＋m)n＝a4，解得 m＝5.故选 A. [答案] A
考点突破 提能力
研一研 练一练 考点通关
考点一 二次(一次)函数模型——常考点 (2017·江西三校联考)食品安全问题越来越引起人们
的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害， 为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入 200 万元， 搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入 20 万元， 其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发 现种西红柿的年收入 P(单位：万元)、种黄瓜的年收入 Q(单位： 万元)与投入 a(单位：万元)满足 P＝80＋4 2a，Q＝14a＋120，设 甲大棚的投入为 x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为 f(x)(单 位：万元)．
2019高考新课标数学(理)一轮考点突破课件：第二章 函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用 2-3
2
则下列结论正确的是( ) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
解：由 f(x)的图象易判断 f(x)不是偶函数， 不是单调函数， 也不是周期函数， 其值域为[－1， ＋∞)．故选 D.
(2016·山东)已知函数 f(x)的定义域为 R， 当 x<0 时， f(x) 1 x＋1 3 ＝x －1；当－1≤x≤1 时，f(－x)＝－f(x)；当 x> 时，f ＝ 2 2 x－1 f ) ，则 f(6)＝( 2 A．－2 B．－1 C．0 D．2
高三大一轮复习学案
4．周期函数的概念 (1)周期、周期函数 对于函数 f(x)，如果存在一个 T，使得当 x 取定义域 内 的值时， 都有 ， 那么函数 f(x)就叫做周期函数． T 叫做这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数 f ( x ) 的所有周期中存在一个 的正 数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期． 5．函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数 f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则 f(x) 在[－b，－a]上为 ； (2)若函数 f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则 f(x) 在[－b，－a]上为 ． 6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上) 奇±奇＝ ，偶±偶＝ ，奇×奇＝ ， 偶×偶＝ ，奇×偶＝ .
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7．函数的对称性 如果函数 f(x)，x∈D，满足∀x∈D，恒有 f(a＋x)＝f(b－x)，那么 a＋b 函数的图象有对称轴 x＝ ；如果函数 f(x)，x∈D，满足∀x∈D，恒 2 a＋b，0 有 f(a－x)＝－f(b＋x)，那么函数的图象有对称中心 . 2 8．函数的对称性与周期性的关系 (1) 如果函数 f(x)(x∈D) 在 定义域 内有 两条对 称轴 x ＝ a ， x ＝ b(a<b)，则函数 f(x)是周期函数，且周期 T＝2(b－a)(不一定是最小正 周期，下同)． (2)如果函数 f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心 A(a， 0)， B(b， 0)(a<b)，那么函数 f(x)是周期函数，且周期 T＝2(b－a)． (3)如果函数 f(x)， x∈D 在定义域内有一条对称轴 x＝a 和一个对称 中心 B(b，0)(a≠b)，那么函数 f(x)是周期函数，且周期 T＝4|b－a|.
2019届高考数学一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数 2-9 函数与方程课件 文
C．y＝x2－12 D．y＝－x3
[解析] 在(－1,1)内单调递增的，只有选项 B 中的函数．
[答案] B
4．已知函数 y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的 对应值表：
则函数 y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( ) A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 [解析] ∵f(2)>0，f(3)<0，∴在(2,3)内有一个零点，同理在 (3,4)，(4,5)内各有一个零点，故至少有 3 个零点． [答案] B
B．(2,3)
C．(1,2)
D．(0,1)
[解析] 因为函数 f(x)＝lgx－1x是增函数，且 f(2)＝lg2－12<0,
f(3)＝lg3－13>0，所以 f(x)只有一个零点，且所在的区间是(2,3)．故
选 B.
[答案] B
3．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( ) A．y＝log1 x B．y＝2x－1
[温馨提示] 一个易混点：函数的零点不是点 (1)从“数”的角度看：即是使 f(x)＝0 的实数 x. (2)从“形”的角度看：即是函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横
坐标．如：函数 f(x)＝2x＋1 的零点是__x＝ __－ __12__，但并非所有函数 都有零点．如：函数 f(x)＝x2＋1，没有零点．
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
计算各选项中区间端 确定所 [思路引导] (1) 点函数值的符号 → 在区间
[解析] (1)因为 f1e＝－12＋1e－e－2<0, f(1)＝－2<0, f(2)＝12 ln2－12<0, f(e)＝12＋e－1e－2>0，所以 f(2)f(e)<0，所以函数 f(x)＝12 lnx＋x－1x－2 的零点所在的区间是(2，e)，故选 C.
高考数学 专题二 函数的概念与基本初等函数 1 函数及其表示课件 理
12/10/2021
解析 (1)解法一(换元法):设t= x+1(t≥1),则x=(t-1)2, ∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1, ∴f(x)=x2-1(x≥1). 解法二(配凑法):∵x+2 x=( )2x +2 +1x -1=( +1)x2-1,∴f( +1)=x ( + x 1)2-1, ∴f(x)=x2-1(x≥1). (2)(待定系数法):设f(x)=ax+b(a≠0),则 3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b =ax+b+5a=2x+17,
如果按照某一个确定的对应关系f,使对于集 合A中的⑤ 任意一个元素x ,在集合B中都
有唯一确定的元素y与之对应
称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应关系f:A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y=f(x),x∈A
对应关系f:A→B
12/10/2021
2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域: 在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的⑥ 定义域 ,与 x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 ⑦ 值域 . (2)函数的三要素:⑧ 定义域 、⑨ 值域 和⑩ 对应关系 . (3)相等函数:如果两个函数的 定义域 和 对应关系 完全一致,则这 两个函数相等. (4)函数的表示方法:表示函数的常用方法有 解析法 、 图象法 、
列表法 .
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考向突破
考向 求函数定义域
例 (1)(2017山西名校9月联考,5)设函数f(x)=lg(1-x),则函数f(f(x))的定
2019高考数学总复习 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.2.2 对数函数及其性质(第一课时)
2.2.2 对数函数及其性质（第一课时） 一、选择题 1．给出下列函数：
①y＝logx2；②y＝log3(x－1)；③y＝log(x＋1)x；④y＝logπx. 其中是对数函数的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案 A 解析 ①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．
2．已知函数f(x)＝1－x1的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于( ) A．{x|x>－1} B．{x|x<1} C．{x|－1答案 C
3．已知a>0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是下图中的( )
答案 B
解析 y＝ax与y＝loga(－x)的单调性相反，排除A，D.y＝loga(－x)的定义域为(－∞，0)， 排除C，故选B. 4．已知函数f(x)＝loga (x＋2)，若图象过点(6,3)，则f(2)的值为( )
A．－2 B．2 C.21 D．－21 答案 B 解析 代入 (6,3)，3＝loga(6＋2)＝loga8，即a3＝8，∴a＝2. ∴f(x)＝log2(x＋2)，∴f(2)＝log2(2＋2)＝2. 5．若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图所示：其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是( )
答案 D
解析 由f(x)的图象可知06．下列不等号连接错误的一组是( ) A．log0.52.2>log0.52.3 B．log34>log65 C．log34>log56 D．logπe>lnπ 答案 D
二、填空题 7．若a>0且a≠1，则函数y＝loga(x－1)＋2的图象恒过定点________． 答案： (2,2) 解析： 当x－1＝1时，loga(2－1)＝0，∴函数过定点(2,2)， 函数f(x)＝loga(x－1)＋2恒过定点(2,2)． 8．若对数函数f(x)＝logax＋(a2－4a－5)，则a＝________. 答案： 5
2019版高考数学创新一轮复习浙江专用版文档：第二章
第3节函数的奇偶性与周期性最新考纲 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．知识梳理1．函数的奇偶性2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．[常用结论与微点提醒]1．函数奇偶性的三个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2．函数周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f (x ＋a )＝1f （x ），则T ＝2a ； (3)若f (x ＋a )＝－1f （x ），则T ＝2a .(a ＞0) 3．函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b －x )表明的是函数图象的对称性，函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b ＋x )(a ≠b )表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆．诊 断 自 测1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y ＝x 2在x ∈(0，＋∞)时是偶函数．( )(2)若函数f (x )为奇函数，则一定有f (0)＝0.( )(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．( )(4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b ，0)中心对称．( ) 解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y ＝x 2在(0，＋∞)上不是偶函数，(1)错．(2)由奇函数定义可知，若f (x )为奇函数，其在x ＝0处有意义时才满足f (0)＝0，(2)错．答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－12解析 依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)，∴a ＝13，则a ＋b ＝13.答案 B3．(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数解析 f (x )的定义域为R ，f (－x )＝3－x －3x ＝－f (x )，则f (x )为奇函数．y ＝3x 为增函数，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 为减函数，则f (x )＝3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 为增函数，故选A. 答案 A4．(2018·台州调考)若函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，则f (2 018)＋f (2 017)＝( )A ．－2 018B ．0C ．1D ．2 018解析 因为f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，所以f (－1)＝f (1)＝－f (1)，所以f (1)＝0，且f (0)＝0，而f (2 018)＝f (2×1 009＋0)＝f (0)＝0，f (2 017)＝f (2×1 008＋1)＝f (1)＝0，故选B.答案 B5．偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________． 解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1)．又f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f (1)＝f (3)．∴f (－1)＝3.答案 36．(2018·宁波月考)设a >0且a ≠1，函数f (x )＝⎩⎨⎧a x ＋1－2，x ≤0，g （x ），x >0为奇函数，则a ＝________，g (f (2))＝________．解析 ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，即a 0＋1－2＝0，∴a ＝2；当x >0时，－x <0，f (x )＝－f (－x )＝－(2－x ＋1－2)＝2－2－x ＋1，即g (x )＝2－2－x ＋1，∴f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1－2，x ≤0，2－2－x ＋1，x >0，f (2)＝2－2－2＋1＝2－12＝32>0， ∴g (f (2))＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2－2－32＋1＝2－2－12＝2－22. 答案 2 2－22考点一 函数奇偶性的判断【例1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(2)f (x )＝lg （1－x 2）|x －2|－2； (3)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 (1)由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3， 即函数f (x )的定义域为{－3，3}，从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0.因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由⎩⎨⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称． ∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg （1－x 2）－x. 又∵f (－x )＝lg[1－（－x ）2]x ＝－lg （1－x 2）－x＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )为奇函数．规律方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．【训练1】(1)(2018·嘉兴测试)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos xC．y＝2x＋12x D．y＝x2＋sin x(2)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数解析(1)对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x)，为偶函数；y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数，故选D.(2)依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确；|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错．答案(1)D(2)C考点二函数奇偶性的应用【例2】(1)(一题多解)(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝__________．(2)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________．解析(1)法一令x＞0，则－x＜0.∴f(－x)＝－2x3＋x2.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)．∴f (2)＝2×23－22＝12.法二 f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.(2)f (x )为偶函数，则y ＝ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，则ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1.答案 (1)12 (2)1规律方法 (1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f (x )±f (x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式或函数值．【训练2】 (1)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________． 解析 (1)因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝ (－1)3＋(－1)2＋1＝1.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，则f (x )＝－x 2－4x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.答案 (1)C (2)⎩⎨⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0考点三 函数的周期性及其应用(变式迁移)【例3】 (经典母题)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝__________．解析 ∵f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝2.又当x ∈[0，2)时，f (x )＝2x －x 2，∴f (0)＝0，f (1)＝1，f (0)＋f (1)＝1.∴f (0)＋f (1)＝f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＝…＝f (2 016)＋f (2 017)＝1，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009.答案 1 009【变式迁移1】 若将本例中“f (x ＋2)＝f (x )”改为“f (x ＋1)＝－f (x )”，则结论如何？解 ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝－f (x ＋1)＝f (x )，故函数f (x )的周期为2.由本例可知，f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009.【变式迁移2】 若将本例中“f (x ＋2)＝f (x )”改为“f (x ＋1)＝1f （x ）”，则结论如何？解 ∵f (x ＋1)＝1f （x ）， ∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝1f （x ＋1）＝f (x )， 故函数f (x )的周期为2.由本例可知，f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009.规律方法 (1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间．(2)若f (x ＋a )＝－f (x )(a 是常数，且a ≠0)，则2a 为函数f (x )的一个周期．【训练3】 (1)(2016·四川卷)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________． (2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－1f （x ），当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______．解析 (1)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又f (x )的周期为2，∴f (2)＝f (0)＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2. (2)f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f （x ＋2）＝f (x )， 故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)．∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5.∴f (105.5)＝2.5.答案 (1)－2 (2)2.5考点四 函数性质的综合运用【例4】 (1)(2017·山东卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________．(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1，2] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0，2]解析 (1)∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f [(x ＋2)＋4]＝f [(x ＋2)－2]，即f (x ＋6)＝f (x )，∴f (x )是周期为6的周期函数，∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.(2)由y ＝f (x )为偶函数，且f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，∴f (log 2a )＋f (－log 2a )≤2f (1)⇒f (log 2a )≤f (1)，又f (log 2a )＝f (|log 2a |)且f (x )在[0，＋∞)上递增，∴|log 2a |≤1⇔－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2.答案 (1)6 (2)C规律方法 (1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．【训练4】 (1)(2018·温州调研)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 017)＋f (2 019)的值为( )A ．－1B ．1C ．0D ．2(2)设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m . 则M ＋m ＝________．解析 (1)由题意，g (x )是定义在R 上的奇函数，∴g (－x )＝－g (x )．由g (x )＝f (x －1)，得g (－x )＝f (－x －1)，∴f (－x －1)＝－f (x －1)．由f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )，∴f (－x －1)＝f [－(x ＋1)]＝f (x ＋1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －1)，即f (x －1)＋f (x ＋1)＝0.∴f (2 017)＋f (2 019)＝f (2 018－1)＋f (2 018＋1)＝0.(2)f (x )＝x 2＋2x ＋1＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1， 令g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，则g (－x )＝－g (x )， ∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，故M ＋m ＝2.答案(1)C(2)2。
2019高考数学(人教A版理科)一轮复习课件：第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ2-2
u为减
(2)求函数y＝－x2＋2|x |＋1的单调区间．
[解]
－x2＋2x＋1，x≥0， 由于y＝ 2 － x －2x＋1，x<0，
2 －x－1 ＋2，x≥0， 即y＝ 2 － x ＋ 1 ＋2，x<0.
画出函数图象如图所示．
单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－ 1,0]和[1，＋∞)．
解析：根据二次函数、反比例函数的单调性可得．
2．复合函数的单调性：同增异减．
(－∞，－1) 函数f(x)＝log1 (x －1)的单调递增区间是____________．
2
2
解析：函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，所求 区间即为内层函数在定义域上的单调递减区间，即(－∞，－ 1)．
[典题1]
(1)[2017· 浙江金华模拟]若函数f(x)＝－x2＋2ax
与g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围 是( D ) B．(－1,0)∪(0,1] D．(0,1]
A．(－1,0) C．(0,1)
[解析]
f(x)＝－x2＋2ax的对称轴为x＝a，要使f(x)在[1,2]上
ax2－x1 ＝ ， x1－1x2－1 由于－1＜x1＜x2＜1，
所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 函数f(x)在(－1,1)上单调递减； 当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上 单调递增．
(2)[教材习题改编]当k<0时，函数f(x)＝kx＋m在R上是
2019版高考数学创新一轮复习浙江专用版课件：第二章
诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)对于函数 f(x)，x∈D，若对任意 x1，x2∈D，且 x1≠x2 有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0， 则函数 f(x)在区间 D 上是增函数.( ) ) ) )
1 (2)函数 y＝x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( (3)对于函数 y＝f(x)，若 f(1)<f(3)，则 f(x)为增函数.(
2.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
f(x)≤M ； f(x)≥M ； (1)对于任意x∈I，都有__________ (3)对于任意x∈I，都有_________ (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
M为最大值
f(x0)＝M (4)存在x0∈I，使得_________
x2在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，故f(x)在(－∞，0)上单调递减.
答案 (－∞，0)
x 5大值为________. x－1 1 x 解析 易得 f(x)＝ ＝1＋ ， x－1 x－1
当x≥2时，x－1>0，易知f(x)在[2，＋∞)上是减函数，
当x≤1时，f(x)＝3x－1在(－∞，1]上递增，∴f(x)∈(－1，2]； 当x>1时，记x＝[x]＋(x－[x])，其中[x]为不大于x的最大整数，则x－[x]∈[0，1)，
由f(x－1)＝f(x)得f(x)＝f(x－[x])＝3x－[x]－1∈[0，2)，故f(x)的值域为(－1，2]∪[0，
(4)函数 y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).(
解析
(2)此单调区间不能用并集符号连接，取x1＝－1，x2＝1，则f(－1)＜f(1)，故应说
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（浙江专用）2019年高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数1 第1讲 函数及其表示课时作业
基础巩固题组 (建议用时：30分钟) 一、选择题 1.(2017·绍兴质检)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是( ) A.[－3，1] B.(－3，1) C.(－∞，－3]∪[1，＋∞) D.(－∞，－3)∪(1，＋∞) 解析 使函数f(x)有意义需满足x2＋2x－3>0，解得x>1或x<－3，所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞). 答案 D 2.(2017·衡水中学月考)设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下： 映射f的对应法则 x 1 2 3 4
f(x) 3 4 2 1
映射g的对应法则 x 1 2 3 4
g(x) 4 3 1 2
则f[g(1)]的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 由映射g的对应法则，可知g(1)＝4， 由映射f的对应法则，知f(4)＝1，故f[g(1)]＝1. 答案 A 3.已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝x＋2，则f(x)＝( ) A.x＋1 B.2x－1 C.－x＋1 D.x＋1或－x－1 解析 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，又f[f(x)]＝x＋2， 得k(kx＋b)＋b＝x＋2，即k2x＋kb＋b＝x＋2. ∴k2＝1，且kb＋b＝2，解得k＝b＝1. 答案 A 4.(2017·湖州一模)f(x)＝13x（x≤0），log3x （x>0），则ff19＝( ) A.－2 B.－3 C.9 D.－9 解析 ∵f19＝log319＝－2，
∴ff19＝f(－2)＝13－2＝9. 答案 C 5.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )
A.y＝x10 B.y＝x＋310
C.y＝x＋410 D.y＝x＋510 解析 取特殊值法，若x＝56，则y＝5，排除C，D；若x＝57，则y＝6，排除A，选B. 答案 B 6.(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( ) A.y＝x B.y＝lg x
C.y＝2x D.y＝1x 解析 函数y＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y＝x，y＝2x的定义域均为R，排除A，C；y＝lg x的值域为R，排除B，故选D. 答案 D 7.(2016·江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f(x)＝
x＋a，－1≤x<0，
25－x，0≤x<1，
其中a∈R.若f－52＝f92，则f(5a)的值是( )
A.12 B.14 C.－25 D.18 解析 由题意f－52＝f－12＝－12＋a， f92＝f12＝
25－1
2＝110，
∴－12＋a＝110，则a＝35， 故f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋35＝－25. 答案 C 8.(2017·铜陵一模)设P(x0，y0)是函数f(x)图象上任意一点，且y20≥x20，则f(x)的解析式可以是( )
A.f(x)＝x－1x B.f(x)＝ex－1
C.f(x)＝x＋4x D.f(x)＝tan x 解析 对于A项，当x＝1，f(1)＝0，此时02≥12不成立.对于B项，取x＝－1，f(－1)＝1e－1，此时1e－12≥(－1)2不成立.在D项中，f54π＝tan54π＝1，此时12≥54π2不成立. ∴A，B，D均不正确.选C.事实上，在C项中，对∀x0∈R， y20＝x0＋4x02有y20－x20＝16x20＋8>0，有y20≥x20成立.
答案 C 二、填空题 9.(2016·江苏卷)函数y＝3－2x－x2的定义域是________. 解析 要使函数有意义，则3－2x－x2≥0， ∴x2＋2x－3≤0，解之得－3≤x≤1. 答案 [－3，1]
10.(2017·湖州调研)已知f(x)＝x－3，x≥9，f（f（x＋4）），x<9，则f(10)＝________；f(7)＝________. 解析 f(10)＝10－3＝7；f(7)＝f(f(7＋4))＝f(f(11))＝f(11－3)＝f(8)＝f(f(8＋4))＝f(f(12))＝f(12－3)＝f(9)＝9－3＝6.
答案 7 6
11.已知函数f(x)满足f2x＋|x|＝log2x|x|，则f(x)的解析式是________.
解析 根据题意知x>0，所以f1x＝log2x，则f(x)＝log21x＝－log2x. 答案 f(x)＝－log2x 12.(2017·温州调研)已知函数f(x)＝log2x （x>0），x2＋x （x≤0），则ff12＝________，方程f(x)＝2的解为________. 解析 ∵f(x)＝log2x （x>0），x2＋x （x≤0），f12＝log212＝－1，ff12＝f(－1)＝(－1)2＋(－1)＝0.当x>0时，由log2x＝2得x＝4，当x≤0时，由x2＋x＝2得x＝－2(x＝＋1舍去). 答案 0 －2或4
13.已知函数f(x)＝x2＋2x，x<0，x2－2x，x≥0.若f(－a)＋f(a)≤0，则实数a的取值范围是________.
解析 依题意可知a≥0，（－a）2＋2（－a）＋a2－2a≤0或
a<0，
（－a）2－2（－a）＋a2＋2a≤0，解得a∈[－2，2].
答案 [－2，2] 能力提升题组 (建议用时：15分钟)
14.(2015·湖北卷)设x∈R，定义符号函数sgn x＝1，x>0，0，x＝0，－1，x<0.则( ) A.|x|＝x|sgn x| B.|x|＝xsgn|x| C.|x|＝|x|sgn x D.|x|＝xsgn x 解析 当x>0时，|x|＝x，sgn x＝1，则|x|＝xsgn x； 当x<0时，|x|＝－x，sgn x＝－1，则|x|＝xsgn x； 当x＝0时，|x|＝x＝0，sgn x＝0，则|x|＝xsgn x. 答案 D
15.设函数f(x)＝3x－1，x<1，2x，x≥1，则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是( )
A.23，1 B.[0，1] C.23，＋∞ D.[1，＋∞) 解析 由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1. 当a<1时，有3a－1≥1，
∴a≥23，∴23≤a<1. 当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1. 综上，a≥23. 答案 C 16.函数f(x)＝ln1＋1x＋1－x2的定义域为________.
解析 要使函数f(x)有意义，则
1＋1x>0，
x≠0，
1－x2≥0
⇒x<－1或x>0，x≠0，－1≤x≤1⇒0
1]. 答案 (0，1]
17.(2015·浙江卷)已知函数f(x)＝x＋2x－3，x≥1，lg（x2＋1），x<1，则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________. 解析 ∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f(f(－3))＝f(1)＝0，
当x≥1时，f(x)＝x＋2x－3≥22－3，当且仅当x＝2时，取等号，此时f(x)min＝22－3<0； 当x<1时，f(x)＝lg(x2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x＝0时，取等号，此时f(x)min＝0.∴f(x)的最小值为22－3. 答案 0 22－3
18.(2017·台州模拟)已知函数f(x)＝x2－1，x≤0，x－1，x>0，g(x)＝2x－1，则f(g(2))＝________，f[g(x)]的值域为________.
解析 g(2)＝22－1＝3，∴f(g(2))＝f(3)＝2，g(x)的值域为(－1，＋∞)，∴若－1f[g(x)]＝[g(x)]2－1∈[－1，0)；若g(x)>0；f[g(x)]＝g(x)－1∈(－1，＋∞)，∴f[g(x)]
的值域是[－1，＋∞). 答案 2 [－1，＋∞)