高中数学基本初等函数练习题
(完整版)高中数学第一章基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)练习
1.2.1几个常用函数的导数122 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)[A 基础达标]①(sin x) '= cos x;1 2②若f(x)= x，则f'⑶=-27；③(e x) ― e x;1④(log4x)、x nr-其中正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个“ 1 ' - 2解析：选 D.因为(sin x) ' = cos x，所以①正确；f ' (x) = 一2 = (x ) ' =- 2x x2 13,则f '⑶=—27，所以②正确；因为(e x) ' = e x，所以③正确；因为(log 4x) ' = x i n 4,所以④正确.a 1 12. 若幕函数f(x) = mx的图象经过点A4, 2，则它在点A处的切线方程是()A. 2x—y= 0B. 2x+ y = 0C. 4x—4y + 1 = 0D. 4x+ 4y + 1 = 0解析：选C.因为函数f(x) = mf为幕函数，所以m= 1.又幕函数f(x) = x a的图象经过11 1 1 1 1点A4, 2，所以a = 2,所以f(x) = x2, f' (x)=——,f ' 4 = 1，所以f(x)的图象在1 1点A处的切线方程为y—2= x —4，即4X—4y + 1 = 0._ n 1 一_ _ 一3. 过曲线y= cos x上一点P —, 且与曲线在点P处的切线垂直的直线方程为()1. 给出下列结论：— —5.已知点 P 在曲线y = 2sin qcos?上，a 为曲线在点 值范围是()D. 3— + 2y —1 = 0n 1解析：选A.因为y =cos —，所以y'一 sin —，曲线在点Py ，2处的切线斜率是y ，1 — n =— sin 才=—£，所以过点P 且与曲线在点 P 处的切线垂直的直线的斜率为3 ~3, 所以所求的直线方程为 y — 1=冷x —专，即2x — 3y —夺+ 卓 0. y = x + 1(n € N *)在点(1 , 1)处的切线与—轴的交点的横坐标为 x n,则X 1 4•设曲线 X 2 ........... X n 的值为() i A.—n1 B.- n +1nC.n nD. 1解析：选 B.由题意得—n =市， 则 X 1 • X 2 ......... X n = ............ 二n — 12 34n xidh =詁1，故选 B. 3nA. ~~, nB. 71 4' 3n4n 3 n c. 7，-4D. u 3n,n — — 解析：选 D.因为 y = 2sin gcosg h sin x ,所以 y '= cos X , 设P (x o , y o ).由题意，知 切线的斜率存在，则曲线在点 P 处的切线的斜率 k =tan a = cos —o ,所以一1<tan a < 1. n 3 n ,因为0W a Vn ，所以a € 0, — U , n ,故选D. 16.已知函数f (x )=- X且 f ' (a ) — f (a ) = — 2，则 a =1解析：f (x )= -，所以—2即 2a — a — 1 = 0,P 处的切线的倾斜角，则a 的取1解得a = 1或a =- 2. 、1答案：1或一 27.曲线y = x 3在点(1 ,1)处的切线与x 轴、直线x = 2所围成的三角形的面积为 _____________ . 解析：因为y '= 3x 2.所以切线的斜率为 y '|= 1 = 3X12= 3,所以切线方程为y — 1 = 3(x 2 12 8 —1)，与x 轴的交点为3，0，与直线x = 2的交点为(2 , 4).所以S =-X 2 — - X 4 =-.3 2 331&设曲线y = e x在点(0 , 1)处的切线与曲线 y = -(x >0)上点P 处的切线垂直，则点P 的 X坐标为 _________ .解析：设 f (x ) = e x ，则 f '(x ) = e x ,1所以 f ' (0) = 1.设 g (x ) = x (x >0),解得X P = 1. 所以R1 , 1). 答案：(1 , 1)9.求与曲线y = f (x )=扳2在点P (8 , 4)处的切线垂直，且过点(4 , 8)的直线方程.曲线在点R8 , 4)处的切线的斜率为1.所以适合条件的直线的斜率为一 3.从而适合条件的直线方程为 y — 8= — 3(x — 4)，即 3x + y — 20 = 0.10. 点P 是曲线y = e 上任意一点，求点 P 到直线y = x 的最小距离. 解：根据题意设平行于直线 y = x 的直线与曲线 y = e x 相切于点P (x o , y o )，该切点即为与y = x 距离最近的点，如图.则在点P (X 0, y °)处的切线斜率为1, 即 y '| x = x °= 1. 因为 y '= (e x ) ' = e x ,所以e*0= 1,得x ° = 0,代入y = e , 得 y 0= 1,即 P (0 , 1).[B 能力提升]11. 若函数y =f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则g ' 1(x) =— x ^.由题意可得 g '(x P) =— 1, 解：因为y =习F,所以y '=(守£)'=1 12 2 — 2 - 1 =-x 3.所以 f ' (8) = -X 83 =;,即 3 3 3 3则称y= f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A. y = sin xB. y = In xx 3C. y = eD. y = x解析：选A.设函数y= f (x)的图象上两点Rx i, y i), Qx2, y2)，则由导数的几何意义可知，点P, Q处切线的斜率分别为k i= f'(x i) , k2 = f '(X2),若函数具有T性质，则k i - k2 =f '(x i) • f'(X2) = —i.对于A选项，f' (x) = cos x，显然k i • k2= cos x i • cos X2=—ii i i有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B选项，f' (x) =-(x>0)，显然k i • k2=- •x x i X2 =—i无解，故该函数不具有T性质；对于C选项，f' (x) = e x>0,显然k i • k2= e x i • e, =—i无解，故该函数不具有T性质；对于D选项，f' (x) = 3x2>0，显然k i • k= 3x i • 3x2 = —i无解，故该函数不具有T性质.故选A.12. 设f o(x) = sin x，f i(x) = f' o(x)， f 2(x) = f ' i(x)，…，f n+1(x) = f' n(x)，n€N,贝y f 2 oi8 (x) = ________ .解析：由已知f i(x) = cos x，f2(x) = —sin x，f3(x) = —cos x，f4(x) = sin x，f5(x)=cos x，…依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为3，贝U f2 oi8(x) = f2(x) = —sin x.答案：—sin x13. 若曲线f(x) = x—2在点(a, a—2)( a>0)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为3, 求log 3a的值.T解：由题意，得f '( x) = —2x 3,一 2 一 2 一 3所以曲线f (x)在点(a, a )处的切线方程为y—a = —2a (x—a),一23a令x = 0,得y = 3a，令y = 0,得x =所以3a—2x 3a= 3,2 2解得a= 3 4所以log 3a=2.214. (选做题)已知两条曲线y i= sin x, y2= cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这解：不存在.理由如下：由于y i = sin x, y2= cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x o,一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由.解：不存在.理由如下：由于y i = sin x, y2= cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x o,y。
高中数学基本初等函数图像题专题训练含答案
高中数学基本初等函数图像题专题训练含答案姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、选择题（共20题）1、函数的图象大致是 ( )A ．B ．C ．D ．2、已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A ．B ．C ．D ．3、函数在区间上的图象大致是（）A ． B ．C ．D ．4、函数的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5、 A ． B ．C ．D ．6、下列图象中不能作为函数的是（）A ．B ．C ．D ．7、设函数满足对，都有，且在上单调递增，，，则函数的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．8、若方程在区间有解，则函数图象可能是（）A ．B ．C ．D ．9、函数的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．10、函数的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．11、函数，图象大致为A． B ．C ．D ．12、函数的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．13、已知函数，，则的图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．14、函数的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．15、函数的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．16、函数的图象大致为A ．B ．C ．D ．17、函数在其定义域上的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．18、函数的图象大致形状是（）A ．B ．C ．D ．19、已知，函数与的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．20、函数的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．============参考答案============一、选择题1、B【解析】【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性，排除AC ，再判断函数在上的符号，排除 D ，即可得答案．【详解】∵ f ( x ) 定义域 [ － 1 ， 1 ] 关于原点对称，且，∴ f ( x ) 为偶函数，图像关于y 轴对称，故AC 不符题意；在区间上，，，则有，故 D 不符题意， B 正确.故选： B ．2、D【解析】【分析】根据函数的图象结合函数的定义域，复合函数的奇偶性，利用排除法，即可得到结果 . 【详解】由图象可知函数是奇函数，函数和由复合函数的奇偶性可知，这两个函数为偶函数，故排除 A ， C ；对于函数，由于时，，此时无意义，所以函数不经过原点，故 B 错误；故 D 满足题意.故选： D.3、A【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再由，进而得到正确选项 .【详解】∵ 函数，故函数为奇函数，排除 BD ；，可排除 C.故选： A.4、 B【分析】根据函数的奇偶性可排除 C ，再根据的符号即可排除 AD ，即可得出答案.【详解】解：函数的定义域为R ，因为，所以函数是偶函数，故排除 C ；，故排除 A ；，故排除 D.故选： B.5、【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象 .【详解】因为，则，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD 错误；且时，，据此可知选项B 错误 .故选： A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手： (1) 从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2) 从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3) 从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4) 从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．6、 B【分析】根据函数的定义可知，对于x 的任何值y 都有唯一的值与之相对应，分析图象即可得到结论．【详解】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个自变量x 的值，都有唯一的函数值y 与其对应，故函数的图象与直线x ＝a 至多有一个交点，图 B 中，存在x ＝a 与函数的图象有两个交点，不满足函数的定义，故 B 不是函数的图象.故选： B7、 A【分析】判断的奇偶性排除 BD ，再由当时，得出答案 .【详解】令，则函数为偶函数，故排除 BD当时，，则，故排除 C故选： A【点睛】关键点睛：本题关键是采用排除法，由奇偶性排除 BD ，再由当时，排除 C.8、 D【分析】由题意可得在区间上，能够成立，结合所给的选项，得出结论【详解】解：方程在区间上有解，在区间上，能够成立，结合所给的选项，只有 D 选项符合.故选： D ．9、 A【分析】由条件判断函数为奇函数，且在为负数，从而得出结论 .【详解】,因此函数为奇函数，图像关于原点对称排除；当时，，，因此.故选：.【点睛】本题主要考查的是函数图像的应用，奇偶性的应用，根据奇偶函数的对称性进行判断是解决本题的关键，是中档题 .10、 A【分析】判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可【详解】解：函数，，，，则函数为非奇非偶函数，图象不关于 y 轴对称，排除 C ， D ，当，排除 B ，故选 A【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键11、 D【分析】根据函数的奇偶性和函数图像上的特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项 .【详解】，故函数为奇函数，图像关于原点对称，排除选项 .由排除选项 . 由，排除 C 选项，故本小题选 D.【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题 .12、 C【分析】根据函数的奇偶性和值域即可判断 .【详解】所以为偶函数，所以图象关于轴对称，故排除 B ，当时，故排除 A ，当时，故排除 D故选： C .13、 D【分析】先分析出为偶函数 . ，其图像关于y 轴对称，即可得到答案 .【详解】定义域为 R.因为，所以为偶函数 . ，其图像关于y 轴对称，对照四个选项的图像，只能选 D.故选 :D14、 B【分析】根据、分类讨论的图象，利用导函数研究它在各个区间上的单调性，分别判断两个区间某一部份的单调性即可得到它的大致图象；【详解】1 、当时，，即，令，则，∴ 时，即单调递增，故，∴ 此时，，即在单调递增，故排除D 选项；2 、当时，，令，则，∴ ，，故有即，所以，∴ 在上，而，故在上一定有正有负，则有B 正确；故选： B【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性，并确定函数的大致图象，注意按区间分类讨论，以及零点、极值点的讨论15、 B【分析】由函数为偶函数可排除 AC ，再由当时，，排除 D ，即可得解.【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，排除 AC ；当时，，所以，排除 D.故选： B.16、 C【分析】由可排除 A 、 D ；再利用导函数判断在上的单调性，即可得出结论 . 【详解】因为，故排除 A 、 D ；，令，在是减函数，，在是增函数，，存在，使得，单调递减，单调递增，所以选项 B 错误，选项 C 正确.故选： C【点睛】本题考查由解析式选择函数图象的问题，利用导数研究函数单调性是解题的关键，考查学生逻辑推理能力，是一道中档题 .17、 D【分析】求函数的定义域 , 判断函数的奇偶性和对称性, 利用排除法, 进行判断即可【详解】函数的定义域为.因为，，所以是奇函数，图象关于原点对称，排除 A,B ；当，，排除 C.故选 :D.18、 D【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值即可判断【详解】解：函数的定义域为，因为，所以为偶函数，所以其图像关于轴对称，所以排除 A ，B ，因为，所以排除 C ，故选： D19、 B【分析】根据函数的定义域，判断两个函数的单调性，即可求解 .【详解】，函数在上是增函数，而函数定义域为，且在定义域内是减函数，选项 B 正确》故选 :B.【点睛】本题考查函数的定义域、单调性，函数的图像，属于基础题 .20、 A【分析】分析函数的奇偶性，并结合函数的解析式知：当时，即可确定大概函数图象 . 【详解】根据题意，设，其定义域为，有，则为奇函数，其图象关于原点对称，排除 C ､ D ，当时，，，必有，排除 B ，故选： A.【点睛】关键点点睛：分析函数的奇偶性与函数值符号，应用间接法确定函数图象 .。
高中数学基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试卷(附答
高中数学基本初等函数的导数公式及导数运算法则综合测试卷（附答选修2-2 1.2.2 第2课时差不多初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()A．1B．2C．3D．4[答案]D[解析]y＝[(x＋1)2](x－1)＋(x＋1)2(x－1)＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，y|x＝1＝4.2．若对任意xR，f(x)＝4x3，f(1)＝－1，则f(x)＝()A．x4 B．x4－2C．4x3－5 D．x4＋2[答案]B[解析]∵f(x)＝4x3.f(x)＝x4＋c，又f(1)＝－11＋c＝－1，c＝－2，f(x)＝x4－2.3．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f(x)＝2x＋1，则数列{1f(n)}(nN*)的前n项和是()A.nn＋1B.n＋2n＋1C.nn－1D.n＋1n[答案]A[解析]∵f(x)＝xm＋ax的导数为f(x)＝2x＋1，m＝2，a＝1，f(x)＝x2＋x，即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，数列{1f(n)}(nN*)的前n项和为：Sn＝112＋123＋134＋…＋1n(n＋1)＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1，故选A.4．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案]C[解析]由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f(x)＝2ax＋b，由于f(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a0，b0，则f(x)＝ax＋b2a2－b24a，顶点－b2a，－b24a在第三象限，故选C.5．函数y＝(2＋x3)2的导数为()A．6x5＋12x2 B．4＋2x3C．2(2＋x3)2 D．2(2＋x3)3x[答案]A[解析]∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，y＝6x5＋12x2.6．(2021江西文，4)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f(1)＝2，则f(－1)＝()A．－1 B．－2C．2 D．0[答案]B[解析]本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f(x)＝4ax3＋2bx，f(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f(1)＝4a＋2b，f(－1)＝－f(1)＝－2要善于观看，故选B.7．设函数f(x)＝(1－2x3)10，则f(1)＝()A．0 B．－1C．－60 D．60[答案]D[解析]∵f(x)＝10(1－2x3)9(1－2x3)＝10(1－2x3)9(－6x2)＝－60x2(1－2x3)9，f(1)＝60.8．函数y＝sin2x－cos2x的导数是()A．22cos2x－B．cos2x－sin2xC．sin2x＋cos2x D．22cos2x＋4[答案]A[解析]y＝(sin2x－cos2x)＝(sin2x)－(cos2x)＝2cos2x＋2sin2x＝22cos2x－4.9．(2021高二潍坊检测)已知曲线y＝x24－3lnx的一条切线的斜率为1 2，则切点的横坐标为()A．3 B．2C．1 D.12[答案]A[解析]由f(x)＝x2－3x＝12得x＝3.10．设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x)在x ＝5处的切线的斜率为()A．－15 B．0C.15 D．5[答案]B[解析]由题设可知f(x＋5)＝f(x)f(x＋5)＝f(x)，f(5)＝f(0)又f(－x)＝f(x)，f(－x)(－1)＝f(x)即f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0故f(5)＝f(0)＝0.故应选B.二、填空题11．若f(x)＝x，(x)＝1＋sin2x，则f[(x)]＝_______，[f(x)]＝________.[答案]2sinx＋4，1＋sin2x[解析]f[(x)]＝1＋sin2x＝(sinx＋cosx)2＝|sinx＋cosx|＝2sinx＋4.[f(x)]＝1＋sin2x.12．设函数f(x)＝cos(3x＋)(0＜)，若f(x)＋f(x)是奇函数，则＝______ __.[答案]6[解析]f(x)＝－3sin(3x＋)，f(x)＋f(x)＝cos(3x＋)－3sin(3x＋)＝2sin3x＋＋56.若f(x)＋f(x)为奇函数，则f(0)＋f(0)＝0，即0＝2sin＋56，＋56＝kZ)．又∵(0，)，6.13．函数y＝(1＋2x2)8的导数为________．[答案]32x(1＋2x2)7[解析]令u＝1＋2x2，则y＝u8，yx＝yuux＝8u74x＝8(1＋2x2)74x＝32x(1＋2x2)7.14．函数y＝x1＋x2的导数为________．[答案](1＋2x2)1＋x21＋x2[解析]y＝(x1＋x2)＝x1＋x2＋x(1＋x2)＝1＋x2＋x21＋x2＝(1＋2x2) 1＋x21＋x2.三、解答题15．求下列函数的导数：(1)y＝xsin2x；(2)y＝ln(x＋1＋x2)；(3)y＝ex＋1ex－1；(4)y＝x＋cosxx＋sinx.[解析](1)y＝(x)sin2x＋x(sin2x)＝sin2x＋x2sinx(sinx)＝sin2x＋xsin2x.(2)y＝1x＋1＋x2(x＋1＋x2)＝1x＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2 .(3)y＝(ex＋1)(ex－1)－(ex＋1)(ex－1)(ex－1)2＝－2ex(ex－1)2 .(4)y＝(x＋cosx)(x＋sinx)－(x＋cosx)(x＋sinx)(x＋sinx)2＝(1－sinx)(x＋sinx)－(x＋cosx)(1＋cosx)(x＋sinx)2＝－xcosx－xsinx＋sinx－cosx－1(x＋sinx)2.16．求下列函数的导数：(1)y＝cos2(x2－x)；(2)y＝cosxsin3x；(3)y＝xloga(x2＋x－1)；(4)y＝log2x－1x＋1.[解析](1)y＝[cos2(x2－x)]＝2cos(x2－x)[cos(x2－x)]＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](x2－x)＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](2x－1)＝(1－2x)sin2(x2－x)．(2)y＝(cosxsin3x)＝(cosx)sin3x＋cosx(sin3x)＝－sinxsin3x＋3cosxcos3x＝3cosxcos3x－sinxsin3x.(3)y＝loga(x2＋x－1)＋x1x2＋x－1logae(x2＋x－1)＝loga(x2＋x－1)＋2x2＋xx2＋x－1logae.(4)y＝x＋1x－1x－1x＋1log2e＝x＋1x－1log2ex＋1－x＋1(x＋1)2＝2log2ex2－1.17．设f(x)＝2sinx1＋x2，假如f(x)＝2(1＋x2)2g(x)，求g(x)．[解析]∵f(x)＝2cosx(1＋x2)－2sinx2x(1＋x2)2＝2(1＋x2)2[(1＋x2)cosx－2xsinx]，又f(x)＝2(1＋x2)2g(x)．g(x)＝(1＋x2)cosx－2xsinx.18．求下列函数的导数：(其中f(x)是可导函数)(1)y＝f1x；(2)y＝f(x2＋1)．[解析](1)解法1：设y＝f(u)，u＝1x，则yx＝yuux＝f(u)－1x2＝－1x 2f1x.解法2：y＝f1x＝f1x1x＝－1x2f1x.要练说，得练看。
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》模考卷及答案解析
2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》模考卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．函数y ＝ln x ＋1－x 的定义域是()A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1]答案C解析>0，－x ≥0，解得0＜x ≤1，所以函数f (x )的定义域为(0,1]．故选C.2．下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)上递减的函数是()A ．y ＝cos xB ．y |C ．y ＝tan xD ．y ＝x－3答案D解析由于y ＝cos x 是偶函数，故A 不是正确选项．由于y |是偶函数，故B 不是正确选项．由于y ＝tan x 在(0,1)上为增函数，故C 不是正确选项．D 选项中y ＝x －3既是奇函数，又在(0,1)上递减，符合题意．故选D.3．设函数y ＝log 3x 与y ＝3－x 的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是()A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案C解析因为方程log 3x ＝－x ＋3的解，就是m (x )＝log 3x ＋x －3的零点，因为m (x )＝log 3x ＋x －3单调递增且连续，m (x )＝log 3x ＋x －3在(1,2)上满足m (1)m (2)>0，m (x )＝log 3x ＋x －3在(2,3)上满足m (2)m (3)<0，所以m (x )＝log 3x ＋x －3的零点在(2,3)内，可得方程log 3x ＋x －3＝0的解所在的区间是(2,3)，即则x 0所在的区间是(2,3)，故选C.4．若a ＝π82＝1πlog b ，c ＝log ()A ．b >c >aB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >a >c答案B解析a ＝π82＞20＝1，∵0<1π<1，1πlog b >0，∴0<b <1，c ＝log log 232＜log 21＝0,∴a >b >c .故选B.5．(2019·山师大附中模拟)函数f (x )－2a )x ＋3a (x <1)，x (x ≥1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，－1) B.12，1C.－1答案C解析因为函数f (x )－2a )x ＋3a (x <1)x (x ≥1)，的值域为R －2a >0，1－2a )＋3a ≥0，解得－1≤a <12，故选C.6．函数y ＝2xln|x |的图象大致为()答案B解析采用排除法，函数定义域为{x |x ≠0且x ≠±1}，排除A ；当x >1时，ln|x |>0，y ＝2xln|x |>0，排除D ；当x <－1时，ln|x |>0，y ＝2x ln|x |<0，排除C ，故选B.7．(2019·山师大附中模拟)函数f (x )是R 上的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上单调递减，则函数f (x )在[3,5]上是()A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数答案D解析已知f(x＋1)＝－f(x)，则函数周期T＝2，因为函数f(x)是R上的偶函数，在[－1,0]上单调递减，所以函数f(x)在[0,1]上单调递增，即函数在[3,5]上是先减后增的函数．故选D.8．(2019·新乡模拟)设函数f(x)＝e－x－e x－5x，则不等式f(x2)＋f(－x－6)<0的解集为() A．(－3,2)B．(－∞，－3)∪(2，＋∞)C．(－2,3)D．(－∞，－2)∪(3，＋∞)答案D解析由f(x)＝e－x－e x－5x，得f(－x)＝e x－e－x＋5x＝－f(x)，则f(x)是奇函数，故f(x2)＋f(－x－6)<0⇔f(x2)<－f(－x－6)＝f(x＋6)．又f(x)是减函数，所以f(x2)<f(x＋6)⇔x2>x＋6，解得x<－2或x>3，故不等式f(x2)＋f(－x－6)<0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，故选D.9．(2019·广东六校模拟)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)等于()A．－2018B．2C．0D．50答案C解析f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，可得f(－x)＝－f(x)，f(1－x)＝f(1＋x)即有f(x＋2)＝f(－x)，即f(x＋2)＝－f(x)，进而得到f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，f(x)为周期为4的函数，若f(1)＝2，可得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，f(2)＝f(0)＝0，f(4)＝f(0)＝0，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，可得f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝504×0＋2＋0－2＝0.故选C.10．(2019·衡水中学摸底)已知函数f(x)e x，x≤0，x，x>0(e为自然对数的底数)，若关于x 的方程f(x)＋a＝0有两个不相等的实根，则a的取值范围是()A ．a >－1B ．－1＜a ＜1C ．0＜a ≤1D ．a ＜1答案C解析画出函数f (x )的图象如图所示，若关于x 的方程f (x )＋a ＝0有两个不相等的实根，则函数f (x )与直线y ＝－a 有两个不同交点，由图可知－1≤－a <0，所以0<a ≤1.故选C.11．(2019·新疆昌吉教育共同体月考)若关于x 的不等式1＋a cos x ≥23sin 2R 上恒成立，则实数a 的最大值为()A ．－13 B.13C.23D ．1答案B解析1＋a cos x ≥23sin 2＝23cos 2x ＝23(2cos 2x －1)，令cos x ＝t ∈[－1,1]，并代入不等式，则问题转化为不等式4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1,1]＋3a －5≤0，－3a －5≤0，所以－13≤a ≤13.所以实数a 的最大值为13.12．(2019·沈阳东北育才学校模拟)设函数f (x )＋1|，x ≤0，4x |，x >0，若关于x 的方程f (x )＝a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则x 3(x 1＋x 2)＋1x 23x 4的取值范围是()1，721C ．(－1，＋∞)－∞，72答案A解析画出函数f (x )的图象如图所示，根据对称性可知，x 1和x 2关于x ＝－1对称，故x 1＋x 2＝－2.由于|log 4x |＝|log 41x |，故1x 3＝x 4，x 3·x 4＝1.令log 41x ＝1，解得x ＝14，所以x 3∈14，x 3(x 1＋x 2)＋1x 23x 4＝－2x 3＋1x 3，由于函数y ＝－2x ＋1x 在区间14，减函数，故－2x 3＋1x 3∈1，72，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝ln x －2的定义域为________．答案[e 2，＋∞)解析∵函数f (x )＝ln x －2，∴ln x －2≥0，即ln x ≥ln e 2，∴x ≥e 2，∴函数f (x )＝ln x －2的定义域为[e 2，＋∞)．14．(2019·浏阳六校联考)f (x )是定义在R 上的周期为3的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f (6)＝________.答案－2解析由题意得－72＋＝－124＝－2，又f (6)＝f (0)＝0，∴f (6)＝－2.15．(2019·青岛调研)已知函数f (x )3(x ＋1)，x >0，－x ，x ≤0，f (m )>1，则m 的取值范围是____________．答案(－∞，0)∪(2，＋∞)解析若f (m )＞1>0，3(1＋m )>log 33≤0，－m >1，>0，＋1>3≤0，m >0，解得m ＞2或m ＜0.16．已知函数f (x )2＋3a ，x <0，a (x ＋1)＋1，x ≥0(a >0且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是________．答案13，23∪解析画出函数y ＝|f (x )|的图象如图，由函数y ＝f (x )是单调递减函数可知，0＋3a ≥log a (0＋1)＋1，即a ≥13，由log a (x 0＋1)＋1＝0得，x 0＝1a －1≤2，所以当x ≥0时，y ＝2－x 与y ＝|f (x )|图象有且仅且一个交点．所以当2≥3a ，即13≤a ≤23时，函数y ＝|f (x )|与函数y ＝2－x 图象恰有两个不同的交点，即方程|f (x )|＝2－x 恰好有两个不相等的实数解，结合图象可知当直线y ＝2－x 与函数y ＝x 2＋3a 相切时，得x 2＋x ＋3a －2＝0.由Δ＝1－4(3a －2)＝0，解得a ＝34，此时也满足题意．综上，所求实数a 的取值范围是13，23∪三、解答题(本大题共70分)17．(10分)(2019·酒泉敦煌中学诊断)求下列函数的解析式：(1)已知2f (x －1)－f (1－x )＝2x 2－1，求二次函数f (x )的解析式；(2)已知f (x －1)＝x ，求f (x )的解析式．解(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (x －1)＝a (x －1)2＋b (x －1)＋c ，f (1－x )＝a (1－x )2＋b (1－x )＋c ，所以2f (x －1)－f (1－x )＝2ax 2－4ax ＋2a ＋2bx －2b ＋2c －(ax 2－2ax ＋a ＋b －bx ＋c )＝ax 2－(2a －3b )x ＋a －3b ＋c ＝2x2－1，＝2，a －3b ＝0，－3b ＋c ＝－1，＝2，＝43，＝1，所以f (x )＝2x 2＋43x ＋1.(2)令t ＝x －1，t ≥－1，则x ＝(t ＋1)2，∴f (t )＝(t ＋1)2(t ≥－1)．∴f (x )的解析式为f (x )＝(x ＋1)2，x ≥－1.18．(12分)(2019·廊坊省级示范高中联考)已知函数f (x )＝log 3(ax 2－x ＋3)．(1)若函数f (x )的定义域为R ，求a 的取值范围；(2)已知集合M ＝[1,3]，方程f (x )＝2的解集为N ，若M ∩N ≠∅，求a 的取值范围．解(1)因为函数的定义域为R ，所以ax 2－x ＋3>0恒成立，当a ＝0时，－x ＋3>0不恒成立，不符合题意；当a ≠0>0，＝1－12a <0，解得a >112.综上所述a >112.(2)由题意可知，ax 2－x ＋3＝9在[1,3]上有解．即a ＝6x 2＋1x 在[1,3]上有解，设t ＝1x，t ∈13，1，则a ＝6t 2＋t ，因为y ＝6t 2＋t 在13，1上单调递增，所以y ∈[1,7]．所以a ∈[1,7]．19．(12分)函数f (x )对任意的a ，b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x ＞0时，f (x )>1.(1)判断函数f (x )是否为奇函数；(2)证明：f (x )在R 上是增函数；(3)解不等式f (3m 2－m －2)＜1.(1)解当a ＝b ＝0时，解得f (0)＝1，显然函数不可能是奇函数．(2)证明任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1，∵x 2－x 1>0,∴f (x 2－x 1)>1，∴f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x )在R 上是增函数．(3)∵f (0)＝1，∴f (3m 2－m －2)<1＝f (0)，又f (x )在R 上递增，所以3m 2－m －2<0，解得－23<m <1，∴－23，20．(12分)已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ＋1.(1)求函数f (x )在R 上的解析式；(2)若方程m ＝f (x )有4个根x 1，x 2，x 3，x 4，求m 的取值范围及x 1＋x 2＋x 3＋x 4的值．解(1)设x <0⇒－x >0⇒f (－x )＝(－x )2－4(－x )＋1＝x 2＋4x ＋1，由函数f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x )＝x 2＋4x ＋1，综上f (x )2－4x ＋1，x ≥0，2＋4x ＋1，x <0或f (x )＝x 2－4|x |＋1.(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图可知，当－3<m <1时，方程m ＝f (x )有4个根．令x 1<x 2<x 3<x 4，由x 1＋x 22＝－2，x 3＋x 42＝2，得x 1＋x 2＝－4，x 3＋x 4＝4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝0.21．(12分)(2019·荆州质检)为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为5万元，每年生产x 万件，需另投入流动成本为C (x )万元，且C (x )＝2＋4x ，0<x <8，x ＋49x －35，x ≥8，每件产品售价为10元．经市场分析，生产的产品当年能全部售完．(1)写出年利润P (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解(1)因为每件产品售价为10元，则x 万件产品销售收入为10x 万元，依题意得，当0<x <8时，P (x )＝10x 2＋45＝－12x 2＋6x －5，当x ≥8时，P (x )＝10x x ＋49x －5＝30所以P (x )－12x 2＋6x －5，0<x <8，x ≥8.(2)当0<x <8时，P (x )＝－12(x －6)2＋13，当x ＝6时，P (x )取得最大值P (6)＝13，当x ≥8时，P ′(x )＝－1＋49x 2<0，所以P (x )为减函数，当x ＝8时，P (x )取得最大值P (8)＝1278，因为13<1278，故当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为1278万元．22．(12分)(2019·佛山禅城区调研)已知f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x 4x ＋1.(1)求f (x )在(－1,1)上的解析式；(2)若g (x )是周期为2的函数，且x ∈(－1,1)时g (x )＝f (x )，求x ∈(2n ，2n ＋1)，n ∈N 时函数g (x )的解析式．解(1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1),因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x1＋4x .因为f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，所以f (0)＝0，故当x ∈(－1,1)时，f (x )的解析式为f (x )∈(0，1)，x ∈(－1，0).(2)设x ∈(2n ，2n ＋1)，则x －2n ∈(0,1)，g (x －2n )＝2x－2n4x －2n ＋1.因为g (x )周期为2，n ∈N ，所以2n 也是周期，g (x －2n )＝g (x )，所以x ∈(2n,2n ＋1)时，g (x )＝2x －2n 4x－2n＋1.。
高中数学【基本初等函数、函数的应用】专题练习
高中数学【基本初等函数、函数的应用】专题练习1.已知55<84，134<85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( ) A.a <b <c B.b <a <c C.b <c <a D.c <a <b答案 A解析 ∵log 53－log 85＝log 53－1log 58＝log 53·log 58－1log 58<⎝ ⎛⎭⎪⎫log 53＋log 5822－1log 58＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52422－1log 58<⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52522－1log 58＝0，∴log 53<log 85.∵55<84，134<85，∴5log 85<4log 88＝4＝4log 1313<5log 138， ∴log 85<log 138，∴log 53<log 85<log 138， 即a <b <c .故选A.2.若2x －2y <3－x －3－y ，则( ) A.ln(y －x ＋1)>0 B.ln(y －x ＋1)<0 C.ln|x －y |>0 D.ln|x －y |<0 答案 A解析 设函数f (x )＝2x －3－x .因为函数y ＝2x 与y ＝－3－x 在R 上均单调递增， 所以f (x )在R 上单调递增.原已知条件等价于2x －3－x <2y －3－y ，即f (x )<f (y )，所以x <y ，即y －x >0，y －x ＋1>1，所以A 正确，B 不正确. 因为|x －y |与1的大小不能确定，所以C ，D 不正确.3.设a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧cos （2πx －2πa ），x ＜a ，x 2－2（a ＋1）x ＋a 2＋5，x ≥a ，若f (x )在区间(0，＋∞)内恰有6个零点，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤2，94∪⎝ ⎛⎦⎥⎤52，114 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，114 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤2，94∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，3 答案 A解析 因为x 2－2(a ＋1)x ＋a 2＋5＝0最多有2个根， 所以c os (2πx －2πa )＝0至少有4个根.由2πx －2πa ＝π2＋k π，k ∈Z 可得x ＝k 2＋14＋a ，k ∈Z .由0＜k 2＋14＋a ＜a 可得－2a －12＜k ＜－12.①当x ＜a 时，当－5≤－2a －12＜－4时，f (x )有4个零点，即74＜a ≤94；当－6≤－2a －12＜－5时，f (x )有5个零点， 即94＜a ≤114；当－7≤－2a －12＜－6时，f (x )有6个零点， 即114＜a ≤134；②当x ≥a 时，f (x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋a 2＋5， Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2＋5)＝8(a －2)， 当a ＜2时，Δ＜0，f (x )无零点；当a ＝2时，Δ＝0，f (x )有1个零点x ＝3；当a ＞2时，令f (a )＝a 2－2a (a ＋1)＋a 2＋5＝－2a ＋5≥0，则2＜a ≤52，此时f (x )有2个零点；所以当a ＞52时，f (x )有1个零点.综上，要使f (x )在区间(0，＋∞)内恰有6个零点，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧74＜a ≤94，2＜a ≤52或⎩⎪⎨⎪⎧94＜a ≤114，a ＝2或a ＞52或⎩⎨⎧114＜a ≤134，a ＜2.则可解得a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤2，94∪⎝ ⎛⎦⎥⎤52，114.4.已知f (x )＝|lg x |－kx －2，给出下列四个结论： (1)若k ＝0，则f (x )有两个零点； (2)∃k <0，使得f (x )有一个零点； (3)∃k <0，使得f (x )有三个零点； (4)∃k >0，使得f (x )有三个零点. 以上正确结论的序号是________. 答案 (1)(2)(4)解析 令f (x )＝|lg x |－kx －2＝0，可转化成两个函数y 1＝|lg x |，y 2＝kx ＋2的图象的交点个数问题. 对于(1)，当k ＝0时，y 2＝2与y 1＝|lg x |的图象有两个交点，(1)正确； 对于(2)，存在k <0，使y 2＝kx ＋2与y 1＝|lg x |的图象相切，(2)正确；对于(3)，若k <0，则y 1＝|lg x |与y 2＝kx ＋2的图象最多有2个交点，(3)错误； 对于(4)，当k >0时，过点(0，2)存在函数g (x )＝lg x (x >1)图象的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故(4)正确.1.指数式与对数式的七个运算公式 (1)a m ·a n ＝a m ＋n ； (2)(a m )n ＝a mn ；(3)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (4)log a MN ＝log a M －log a N ；(5)log a M n ＝n log a M ； (6)a log a N ＝N ；(7)log a N ＝log b Nlog ba (注：a ，b >0且a ，b ≠1，M >0，N >0).2.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，当a >1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数. 3.函数的零点问题(1)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解. 4.应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.热点一 基本初等函数的图象与性质 【例1】 (1)(多选)下列命题中正确的是( ) A.∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13xB.∀x ∈(0，1)，log 12x >log 13xC.∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >x 12D.∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 13x(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x ＞0，|x ＋2|，－3≤x ≤0(a ＞0且a ≠1)，若函数f (x )的图象上有且仅有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是( )A.(0，1)B.(1，3)C.(0，1)∪(3，＋∞)D.(0，1)∪(1，3)答案 (1)ABC (2)D解析 (1)对于A ，分别作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象，如图(1)，由图可知，当x ∈(0，＋∞)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，故A 正确；对于B ，分别作出y ＝log 12x ，y ＝log 13x 的图象，如图(2)，由图可知，当x ∈(0，1)时，log 12x >log 13x ，故B 正确；对于C ，分别作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝x 12的图象，如图(3)，由图可知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >x 12，故C 正确；对于D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，log 13x >log 1313＝1，所以D 错误.故选ABC.(2)y ＝log a x 的图象关于y 轴对称的图象对应的函数为y ＝log a (－x )，函数f (x )的图象上有且仅有两个点关于y 轴对称，等价于y ＝log a (－x )与y ＝|x ＋2|，－3≤x ≤0的图象有且仅有一个交点.当0＜a ＜1时，显然符合题意(图略).当a ＞1时，只需log a 3＞1，∴1＜a ＜3. 综上所述，a 的取值范围是(0，1)∪(1，3).探究提高 1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围. 2.基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化. 【训练1】 (1)函数f (x )＝x 2－1e x 的图象大致为( )(2)(多选)已知函数f (x )＝log 2(1＋4x )－x ，则下列说法正确的是( ) A.函数f (x )是偶函数 B.函数f (x )是奇函数C.函数f (x )在(－∞，0]上单调递增D.函数f (x )的值域为[1，＋∞) 答案 (1)A (2)AD解析 (1)易知f (x )在定义域R 上为非奇非偶函数，B 不合题意. 当x <0且x →－∞时，f (x )>0，且f (x )→＋∞，C 不合题意. 当x >0且x →＋∞时，f (x )→0，知D 不合题意，只有A 满足.(2)因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14x －(－x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋14x ＋x ＝log 2(4x ＋1)－log 24x ＋x ＝log 2(1＋4x )－2x ＋x ＝log 2(1＋4x )－x ＝f (x )， 所以函数f (x )为偶函数，故A 正确，B 不正确；f ′(x )＝4x ln 4（1＋4x）ln 2－1＝2×4x 4x ＋1－1＝4x －14x ＋1， 则当x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x >0时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，故C 不正确；由以上分析知，f (x )min ＝f (0)＝1，所以函数f (x )的值域为[1，＋∞)，故D 正确.综上所述，选AD. 热点二 函数的零点与方程 考向1 确定函数零点个数【例2】 (1)设函数f (x )＝2|x |＋x 2－3，则函数y ＝f (x )的零点个数是( ) A.4 B.3 C.2D.1(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ＜0，4x 3－6x 2＋1，x ≥0，其中e 为自然对数的底数，则函数g (x )＝3[f (x )]2－10f (x )＋3的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6D.3答案 (1)C (2)A解析 (1)易知f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋x 2－3，所以x ≥0时，f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，所以x ＝1是函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上的唯一零点.根据奇偶性，知x ＝－1是y ＝f (x )在(－∞，0)内的零点， 因此y ＝f (x )有两个零点.(2)当x ≥0时，f (x )＝4x 3－6x 2＋1的导数为f ′(x )＝12x 2－12x ， 当0＜x ＜1时，f (x )单调递减，x ＞1时，f (x )单调递增，可得f (x )在x ＝1处取得最小值，最小值为－1，且f (0)＝1， 作出函数f (x )的图象，如图. g (x )＝3[f (x )]2－10f (x )＋3，可令g (x )＝0，t ＝f (x )，可得3t 2－10t ＋3＝0， 解得t ＝3或13.当t ＝13时，可得f (x )＝13有三个实根，即g (x )有三个零点； 当t ＝3时，可得f (x )＝3有一个实根，即g (x )有一个零点. 综上，g (x )共有四个零点.探究提高 判断函数零点个数的主要方法(1)解方程f (x )＝0，直接求零点；(2)利用零点存在性定理；(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图象，常会通过分解转化为两个能画出图象的函数，求其图象交点问题.【训练2】 (1)函数f (x )＝2sin x －sin 2x 在[0，2π]的零点个数为( ) A.2 B.3 C.4D.5(2)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，则关于x 的方程为f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2，6)上根的个数为( ) A.1 B.2 C.3D.4答案 (1)B (2)C解析 (1)令f (x )＝0，得2sin x －sin 2x ＝0， 即2sin x －2sin x cos x ＝0，∴2sin x (1－cos x )＝0，∴sin x ＝0或cos x ＝1. 又x ∈[0，2π]，∴由sin x ＝0得x ＝0，π或2π，由cos x ＝1得x ＝0或2π. 故函数f (x )的零点为0，π，2π，共3个. (2)对于任意的x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )， ∴f (x ＋4)＝f [2＋(x ＋2)]＝f [2－(x ＋2)]＝f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )是一个周期函数，且T ＝4.又∵当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (6)＝f (－2)＝1，则函数y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2，6)上的图象如图所示，根据图象可得y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2，6)上有3个不同的交点，即f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2，6)上有3个根. 考向2 根据函数的零点求参数的值或范围 【例3】 (1)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A.－12B.13C.12D.1(2)设a ，b ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <0，13x 3－12（a ＋1）x 2＋ax ，x ≥0.若函数y ＝f (x )－ax －b恰有3个零点，则( ) A.a <－1，b <0 B.a <－1，b >0 C.a >－1，b <0 D.a >－1，b >0答案 (1)C (2)C解析 (1)f (x )＝(x －1)2＋a (e x －1＋e 1－x )－1， 令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t ＋e －t )－1. ∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t ＋e t )－1＝g (t )，且t ∈R ， ∴函数g (t )为偶函数.∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点. 又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12.(2)由题意，令y ＝f (x )－ax －b ＝0，得b ＝f (x )－ax ＝⎩⎨⎧（1－a ）x ，x <0，13x 3－12（a ＋1）x 2，x ≥0. 设y ＝b ，g (x )＝⎩⎨⎧（1－a ）x ，x <0，13x 3－12（a ＋1）x 2，x ≥0，则以上两个函数的图象恰有3个交点，根据选项进行讨论.①当a <－1时，1－a >0，可知在x ∈(－∞，0)上，g (x )单调递增，且g (x )<0； 由g ′(x )＝x 2－(a ＋1)x ＝x [x －(a ＋1)](x ≥0)，a ＋1<0， 可知在x ∈[0，＋∞)上，g (x )单调递增，且g (x )≥0.此时直线y ＝b 与g (x )的图象只有1个交点，不符合题意，故排除A ，B. ②当a >－1，即a ＋1>0时.因为g ′(x )＝x [x －(a ＋1)](x ≥0)，所以当x ≥0时，由g ′(x )<0可得0<x <a ＋1，由g ′(x )>0可得x >a ＋1，所以当x ≥0时，g (x )在(0，a ＋1)上单调递减，g (x )在(a ＋1，＋∞)上单调递增.如图，y ＝b 与y ＝g (x )(x ≥0)的图象至多有2个交点.当1－a >0，即－1<a <1时，由图象可得，若要y ＝g (x )与y ＝b 的图象有3个交点，必有b <0；当1－a ＝0时，y ＝g (x )与y ＝b 的图象可以有1个、2个或无数个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去；当1－a <0，即a >1时，y ＝g (x )与y ＝b 的图象可以有1个或2个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去. 综上，－1<a <1，b <0.故选C.探究提高 1.求解第(1)题关键是利用函数f (x )有唯一零点找到解题思路.借助换元法，构造函数g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t ＋e －t )－1，利用函数的性质求解. 2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.【训练3】 设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a (a <1)有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43e －0.5 C.(－∞，1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43e －0.5 答案 A解析 依题设，f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a 有两个零点，∴函数y ＝e x (2x －1)的图象与直线y ＝a (x －1)有两个交点. 令y ′＝[e x (2x －1)]′＝e x (2x ＋1)＝0，得x ＝－12.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12时，y ′<0，故y ＝e x(2x －1)为减函数； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞时，y ′>0，故y ＝e x (2x －1)为增函数，如图.设直线y ＝a (x －1)与y ＝e x (2x －1)相切于点P (x 0，y 0)， ∴y 0＝e x 0(2x 0－1). 则过点P (x 0，y 0)的切线为 y －e x 0(2x 0－1)＝e x 0(2x 0＋1)(x －x 0).将点(1，0)代入上式，得x 0＝0或x 0＝32(舍去). 此时，直线y ＝a (x －1)的斜率为1.故若直线y ＝a (x －1)与函数y ＝e x (2x －1)的图象有两个交点，应有0<a <1. 热点三 函数的实际应用【例4】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO ′为铅垂线(O ′在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离h 1(米)与D 到OO ′的距离a (米)之间满足关系式h 1＝140a 2；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离h 2(米)与F 到OO ′的距离b (米)之间满足关系式h 2＝－1800b 3＋6b .已知点B 到OO ′的距离为40米.(1)求桥AB的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)，桥墩CD每米造价32k(万元)(k＞0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？解(1)如图，设AA1，BB1，CD1，EF1都与MN垂直，A1，B1，D1，F1是相应垂足.由条件知，当O′B＝40时，BB1＝－1800×403＋6×40＝160，则AA1＝160.由140O′A2＝160，得O′A＝80.所以AB＝O′A＋O′B＝80＋40＝120(米).(2)以O为原点，OO′所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).设F(x，y2)，x∈(0，40)，则y2＝－1800x3＋6x，EF＝160－y2＝160＋1800x3－6x.因为CE＝80，所以O′C＝80－x.设D(x－80，y1)，则y1＝140(80－x)2，所以CD ＝160－y 1＝160－140(80－x )2＝－140x 2＋4x . 记桥墩CD 和EF 的总造价为f (x )万元， 则f (x )＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫160＋1800x 3－6x ＋32k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－140x 2＋4x＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1800x 3－380x 2＋160(0＜x ＜40). f ′(x )＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫3800x 2－340x ＝3k 800x (x －20)，令f ′(x )＝0，得x ＝20或x ＝0(舍去). 列表如下：所以当x ＝20时，f (x )取得最小值. 答：(1)桥AB 的长度为120米；(2)当O ′E 为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低.探究提高 1.解决函数的实际应用问题时，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去.2.对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.【训练4】 “一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e ax ＋b (a ，b 为常数)，若该果蔬在6 ℃的保鲜时间为216小时，在24 ℃的保鲜时间为8小时，且该果蔬所需物流时间为3天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过( ) A.9 ℃ B.12 ℃ C.18 ℃ D.20 ℃答案 B解析 当x ＝6时，e 6a ＋b ＝216；当x ＝24时，e 24a ＋b ＝8， ∴e 6a ＋be 24a ＋b ＝2168＝27，则e 6a ＝13. 若果蔬保鲜3天，则72＝13×216＝e 6a ·e 6a ＋b ＝e 12a ＋b ， 故物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过12 ℃.一、选择题1.设a ＝log 2 0.3，b ＝log 120.4，c ＝0.40.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜c ＜aD.a ＜c ＜b答案 D解析 ∵log 20.3＜log 21＝0，∴a ＜0.∵log 120.4＝－log 20.4＝log 252＞log 22＝1，∴b ＞1.∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c ＜1， ∴a ＜c ＜b .2.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，满足f (x ＋1)＝－f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝cos π2x ，则函数y ＝f (x )－|x |的零点个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 A解析 由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝f (x )，知周期T ＝2. 令f (x )－|x |＝0，得f (x )＝|x |.作出函数y ＝f (x )与g (x )＝|x |的图象如图所示.由图象知，函数y ＝f (x )－|x |有两个零点.3.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K 1＋e－0.23（t －53），其中K 为最大确诊病例数.当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( ) A.60 B.63 C.66 D.69答案 C 解析 ∵I (t )＝K 1＋e －0.23（t －53）， ∴当I (t *)＝0.95K 时，K1＋e －0.23（t *－53）＝0.95K ，则11＋e －0.23（t *－53）＝0.95⇒1＋e －0.23(t *－53)＝10.95⇒e －0.23(t *－53)＝10.95－1⇒e0.23(t *－53)＝19. ∴0.23(t *－53)＝ln 19，∴t *＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66.4.已知函数f (x )＝[x ]([x ]表示不超过实数x 的最大整数)，若函数g (x )＝e x －1e x －2的零点为x 0，则g [f (x 0)]等于( ) A.1e －e －2B.－2C.e －1e －2 D.e 2－1e 2－2答案 B解析 因为g (x )＝e x －1e x －2， 所以g ′(x )＝e x ＋1e x >0在R 上恒成立， 即函数g (x )＝e x －1e x －2在R 上单调递增.又g(0)＝e0－1e0－2＝－2<0，g(1)＝e1－1e1－2>0，所以g(x)在(0，1)上必然存在零点，即x0∈(0，1)，因此f(x0)＝[x0]＝0，所以g[f(x0)]＝g(0)＝－2.5.(多选)若0<c<1，a>b>1，则()A.log a c>log b cB.ab c>ba cC.a log b c>b log a cD.a(b－c)>b(a－c) 答案AB解析对于A，因为0<c<1，a>b>1，所以log c a<log c b<0，所以log a alog a c<log b blog b c<0，即1 log a c<1log b c<0，所以0>log a c>log b c，故A正确；对于B，因为0<c<1，所以－1<c－1<0，所以当x>1时，函数y＝x c－1单调递减，所以b c－1>a c－1，又ab>0，所以由不等式的基本性质得ab c>ba c，故B正确；对于C，由A知log b c<log a c<0，又a>b>1，所以a log b c<b log b c，b log b c<b log a c，所以a log b c<b log a c，故C不正确；对于D，因为0<c<1，a>b>1，所以ac>bc，所以－ac<－bc，所以ab－ac<ab－bc，即a(b－c)<b(a－c)，故D不正确.综上所述，选AB.6.(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1＋x)＝f(1－x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则关于函数g(x)＝|f(x)|＋f(|x|)，下列说法正确的是()A.g(x)为偶函数B.g (x )在(1，2)上单调递增C.g (x )在[2 016，2 020]上恰有三个零点D.g (x )的最大值为2 答案 AD解析 易知函数g (x )的定义域为R ，且g (－x )＝|f (－x )|＋f (|－x |)＝|－f (x )|＋f (|x |)＝|f (x )|＋f (|x |)＝g (x )， 所以g (x )为偶函数，故A 正确；因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又f (x )是奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，所以f (x )是周期为4的函数，其部分图象如图所示，所以当x ≥0时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2f （x ），x ∈[4k ，2＋4k ]，0，x ∈（2＋4k ，4＋4k ]，k ∈N ，当x ∈(1，2)时，g (x )＝2f (x )，g (x )单调递减，故B 错误；g (x )在[2 016，2 020]上零点的个数等价于g (x )在[0，4]上零点的个数，而g (x )在[0，4]上有无数个零点，故C 错误；当x ≥0时，易知g (x )的最大值为2，由偶函数图象的对称性可知，当x <0时，g (x )的最大值也为2，所以g (x )在整个定义域上的最大值为2，故D 正确. 综上可知，选AD. 二、填空题7.已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________. 答案 (1，3]∪(4，＋∞)解析 令f (x )＝0，当x ≥λ时，x ＝4.当x <λ时，x 2－4x ＋3＝0，则x ＝1或x ＝3.若函数f (x )恰有2个零点，结合图1与图2知，1<λ≤3或λ>4.8.为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒，出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25 mg/m 3时，顾客方可进入商场.已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y (单位：mg/m 3)与经过的时间t (单位：min)之间的函数关系为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1t ，0≤t <10，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t10－a，t ≥10(a 为常数)，函数图象如图所示.如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是________.答案 9：30解析 由题图可得函数图象过点(10，1)， 代入函数的解析式，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝1，解得a ＝1，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1t ，0≤t <10，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10－1，t ≥10. 设从喷洒药物开始经过t min 顾客方可进入商场，易知t >10， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫12t10－1≤0.25，解得t ≥30，所以如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9：30.9.已知a ，b ，c 为正实数，且ln a ＝a －1，b ln b ＝1，c e c ＝1，则a ，b ，c 的大小关系是________. 答案 c ＜a ＜b解析 ln a ＝a －1，ln b ＝1b ，e c ＝1c .依次作出y ＝e x ，y ＝ln x ，y ＝x －1，y ＝1x 这四个函数的图象，如下图所示.由图象可知0＜c ＜1，a ＝1，b ＞1，∴c ＜a ＜b . 三、解答题10.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0).(1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b 且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b 的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求实数m 的取值范围. 解 (1)函数f (x )的图象如图所示.(2)因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），故f (x )在(0，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ， 且1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b ＝2.(3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根. 故实数m 的取值范围为(0，1).11.随着中国经济的快速发展，节能减耗刻不容缓.某市环保部门为了提高对所辖水域生态环境的巡查效率，引进了一种新型生态环保探测器，该探测器消耗能量由公式E n ＝M v n T 给出，其中M 是质量(常数)，v 是设定速度(单位：km/h)，T 是行进时间(单位：h)，n 为参数.某次巡查为逆水行进，水流速度为4 km/h ，行进路程为100 km.(逆水行进中，实际速度＝设定速度－水流速度，顺水行进中，实际速度＝设定速度＋水流速度)(1)求T 关于v 的函数关系式，并指出v 的取值范围；(2)①当参数n ＝2时，求探测器最低消耗能量；②当参数n ＝3时，试确定使该探测器消耗的能量最低的设定速度.解 (1)由题意得，探测器实际速度为100T ＝v －4，则T ＝100v －4(v >4). (2)①当参数n ＝2时，E 2＝100·M ·v 2v －4＝100M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤v －4＋16v －4＋8 ≥100M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（v －4）·16v －4＋8 ＝1 600M ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当v －4＝16v －4，即v ＝8时取等号. 因此，当参数n ＝2时，该探测器最低消耗能量为1 600M .②当参数n ＝3时，E 3＝100·M ·v 3v －4(v >4). 令f (v )＝v 3v －4(v >4)，则f ′(v )＝2v 2（v －6）（v －4）2， 当4<v <6时，f ′(v )<0，f (v )单调递减，当v >6时，f ′(v )>0，f (v )单调递增.故当设定速度为6 km/h 时，该探测器消耗的能量最低.12.基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I (t )＝e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天答案 B解析 由R 0＝1＋rT ，R 0＝3.28，T ＝6，得r ＝R 0－1T ＝3.28－16＝0.38.由题意，累计感染病例数增加1倍，则I (t 2)＝2I (t 1)，即e0.38t 2＝2e0.38t 1，所以e0.38(t 2－t 1)＝2，即0.38(t 2－t 1)＝ln 2，∴t 2－t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8. 13.(多选)方程e x ＋x －2＝0的根为x 1，ln x ＋x －2＝0的根为x 2，则( ) A.x 1x 2>12 B.x 1ln x 2＋x 2ln x 1<0 C.e x 1＋e x 2<2eD.x 1x 2<e 2 答案 BD解析 令f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2，作出函数y ＝－x ＋2，y ＝e x ，y ＝ln x 的图象，其中y ＝e x 与y ＝ln x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，如图，则A (x 1，e x 1)，B (x 2，ln x 2).设直线y ＝x 与y ＝－x ＋2的交点为C ，则C (1，1)，且A ，B 关于点C 对称，∴e x 1＝x 2，x 1＋x 2＝2.∵f (0)＝－1<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －32>0，g (1)＝－1<0，g (2)＝ln 2>0， ∴0<x 1<12<1<x 2<2，∴x 1x 2<12，故A 错误； ∵x 1ln x 2＋x 2ln x 1<0等价于ln x 1x 1＋ln x 2x 2<0，易知h (x )＝ln x x 在(0，e)上单调递增， ∴h (x 1)<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2ln 2，h (x 2)<h (2)＝12ln 2， ∴h (x 1)＋h (x 2)<－32ln 2<0，即ln x 1x 1＋ln x 2x 2<0，故B 正确； ∵x 1＋x 2＝2且x 1≠x 2，∴e x 1＋e x 2>2e x 1＋x 2＝2e ，故C 错误；∵e x 1＝x 2，∴x 1x 2＝x 1e x 1.易知φ(x )＝x e x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增， ∴φ(x 1)<φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 即x 1e x 1<e 2，即x 1x 2<e 2，故D 正确. 故选BD.14.记f ′(x )，g ′(x )分别为函数f (x )，g (x )的导函数.若存在x 0∈R ，满足f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，则称x 0为函数f (x )与g (x )的一个“S 点”.(1)证明：函数f (x )＝x 与g (x )＝x 2＋2x －2不存在“S 点”；(2)若函数f (x )＝ax 2－1与g (x )＝ln x 存在“S 点”，求实数a 的值.(1)证明 函数f (x )＝x ，g (x )＝x 2＋2x －2，则f ′(x )＝1，g ′(x )＝2x ＋2.由f (x )＝g (x )且f ′(x )＝g ′(x )，得⎩⎨⎧x ＝x 2＋2x －2，1＝2x ＋2，此方程组无解， 因此，f (x )与g (x )不存在“S 点”.(2)解 函数f (x )＝ax 2－1，g (x )＝ln x ，则f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝1x .设x 0为f (x )与g (x )的“S 点”， 由f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 0＝1x 0，即⎩⎨⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 20＝1， (*) 得ln x 0＝－12，即x 0＝e －12，则a ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e －122＝e 2. 当a ＝e 2时，x 0＝e －12满足方程组(*)，即x 0为f (x )与g (x )的“S 点”.因此，a 的值为e 2.。
基本初等函数练习题
基本初等函数练习题1. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(2)的值。
解析：代入x=2，得出：f(2) = 2(2)^2 - 3(2) + 1= 2(4) - 6 + 1= 8 - 6 + 1= 3所以，f(2)的值为3。
2. 求函数g(x) = 3x^3 + 2x^2 - 5x的导函数。
解析：对于函数g(x)，使用幂函数的求导法则，得到：g'(x) = 3(3x^2) + 2(2x) - 5= 9x^2 + 4x - 5所以，函数g(x)的导函数为g'(x) = 9x^2 + 4x - 5。
3. 函数h(x) = log₃(x - 2)，求h(10)的值。
解析：代入x=10，得出：h(10) = log₃(10 - 2)= log₃(8)因为log₃(8)表示3的几次方等于8，即3^? = 8。
而3^2 = 9，3^3 = 27，所以8位于3^2和3^3之间。
因此，log₃(8) = 2.xxx，其中xxx是一个小于1的数。
所以，h(10)的值约等于2.xxx。
4. 求函数j(x) = e^x 的反函数。
解析：对于函数j(x) = e^x，令y = e^x，则可以表示为x = ln(y)。
为了求得函数j(x)的反函数，交换x和y的位置并解出y即可。
解得，y = ln(x)。
所以，函数j(x)的反函数为j^(-1)(x) = ln(x)。
5. 函数k(x) = |x - 3|，求k(-2)的值。
解析：代入x=-2，得出：k(-2) = |-2 - 3|= |-5|= 5所以，k(-2)的值为5。
6. 求函数m(x) = 2x + 1 的零点。
解析：对于函数m(x)，令y = 2x + 1，令y = 0，求得x的值。
解得，2x + 1 = 0=> 2x = -1=> x = -1/2所以，函数m(x)的零点为x = -1/2。
通过以上的练习题，不仅可以使我们更加熟悉和掌握基本初等函数的运算和性质，也对函数的图像、导函数、反函数以及零点有了更深入的理解。
高中数学函数(基本初等函数) (1)
绝密★启用前高中数学函数（基本初等函数）启程教育 0349-5991279一、选择题[0,1]的是()A. y=x2B. y=sin xC. y=1x+1D. y=1-x22. [2017·云南省玉溪第一中学高一期中]函数f(x−1x )=x2+1x, 则f(3)= ( )A. 8B. 9C. 11D. 103. 若函数f(x)满足关系式f(x)+2f1x=3x,则f(2)的值为()A. 1B. -1C. -32D. 32二、填空题2−2x，则f(3)= .5. [2017·北京密云二中高一月考]若函数f(2x+1)=6x+2，则函数f(x)=_______.6. [2017·广东省湛江市第一中学高一大考(一)]已知f x+1=x2−3x+2,求函数的解析式f(x)=.7. 已知f(x)=x+2(x≤-1),x2(-1<x<2),2x(x≥2).若f(x)=3,则x的值是.三、解答题8. [2017·甘肃省武威市第十八中学高一月考(一)]已知函数f(x)＝x 21+x.(1)求f(2)与f(12),f(3)与f(13)；(2)证明：f(x)+f(1x)=1.参考答案第1页共2页1. 【答案】D【解析】本题考查函数的值域,属于基础题.因为x2≥0,所以函数y=x2的值域为[0,+∞),所以A错误;因为-1≤sin x≤1,所以函数y=sin x的值域为[-1,1],所以B错误;因为x2+1≥1,所以0<1x+1≤1,所以函数y=1x+1的值域为(0,1],所以C错误;因为1-x2≤1,所以0≤1-x2≤1,所以函数y=1-x2的值域为[0,1],所以D正确,故选D.2. 【答案】C【解析】本题考查函数的解析式与求值.f x−1x =x2+1x2=(x−1x)2+2,则f(x)=x2+2,所以f(3)=11,故选C3. 【答案】B【解析】∵f(x)+2f1x=3x,∴f(2)+2f12=6,①f(1 2)+2f2=32,②由①②知f(2)=-1.4. 【答案】-1【解析】∵f(2x+1)=x2-2x,令2x+1=t,x=t−12,∴f(t)=(t−12)2−2×t−12=(t−12)2−t+1,把t=3代入上式得f(3)=-1.5. 【答案】3x−1【解析】本题考查函数的表示法.因为函数f(2x+1)=6x+2，令t=2x+1，t∈R，则x=t−12，则f(t)=6×t−12+2=3t−1，t∈R,故函数f(x)=3x−1.6. 【答案】x2−5x+6【解析】本题主要考查函数的表示法.f(x+1)=x2−3x+2=(x+1)2−5x+1=(x+1)2−5(x+1)+6，则f(x)=x2−5x+6.7. 【答案】3【解析】进行分类讨论,当x≤-1时,x+2=3,解得x=1(舍);当-1<x<2时,x2=3,解得x=3或x=-3(舍);当x≥2时,解得2x=3,解得x=32(舍).∴x的值为3.8.(1) 【答案】由f(x)＝x 21+x ＝1-1x+1,∴f(2)＝1-122+1＝45,f(12)＝1-11+1=15.f(3)＝1-132+1＝910,f(13)＝1-11+1＝110.(2) 【答案】f(x)＋f(1x )＝x21+x＋1x21+12＝x21+x+1x+1＝1.第2页共2页。
2024_2025学年高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
(2)原式＝ ÷ · ＝a (a －2b )· · ＝a ·a·a ＝a2.
＝ × －10 －20＋10 ＋2＝－16.
7．化简：(1) ＋ － ；
(2)(4a2＋4a＋1) ＋(4a2－12a＋9) .
解(1)原式＝ ＋
－
＝x －1＋x －x ＋1－x (x ＋1)＝－x .
(2)原式＝ ＋
＝ ＋
＝|2a＋1|＋|2a－3|
＝
易错点
忽视取值限制导致错误
8.若x＋x－1＝4，则x ＋x－ 的值等于( )
A．2或－2 B．2
C. 或－ D.
易错分析 在由 2＝x＋x－1＋2＝6，求x ＋x－ 时极易忽视x 与x－ 的取值不行能为负数，而错选了C.
答案 D
正解 2＝x＋2＋x－1＝4＋2＝6.
∵x ≥0，x－ >0，∴x ＋x－ ＝ .
对应学生用书P40
一、选择题
1．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是( )
(3) ＝ ＝b a－ ＝a－ b .
(4) ＝ ＝|(－a)3|＝a3.
3．用分数指数幂的形式表示下列各式：
(1) (a>0)；
(2) (a>0，b>0)．
解 (1) ＝
＝ ＝ ＝ ＝a .
(2)(从里向外化)
＝
＝ ＝
＝ ＝
＝ · · ＝ · ·
＝a1－ ＋ ·b－ ＋ － ＝a b－ .
学问点二
分数指数幂的运算性质
4.[(－ )－2]－ 的结果是( )
A. B．－ C. D．－
答案 A
解析[(－ )－2]－ ＝( )(－2)× ＝ .
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（一）指数运算
例1 计算：526743642++--- 例2 求值：238、12100-、31()4-、34
16()81- 例3 用分数指数幂表示下列各式（其中各字母均为正数）
（1）34a a ⋅；（2）a a a ；（2）3324()a b +；
（二）指数函数的性质
例1 下列函数是指数函数的是（ ）
A ．2y x =
B ．2x y =
C ．12
x y += D ．132x y +=⨯ 例2 函数22(0,1)x y a a a -=->≠ 且的图象恒过定点________________
例3 比较下列各组数的大小
（1）0.245()6-与145()6- （2）1()ππ
-与1 （3）2(0.8)-与125()4- 例4 设a 是实数，2()()21
x f x a x R =-∈+ （1）证明：不论a 为何实数，()f x 均为增函数；（2）试确定a 的值，使得()f x 为奇函数 例5 已知0a >，且1a ≠，11()12x f x a =
--，则()f x 是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．函数的奇偶性与a 有关 例6 若函数221x x y a
a =+-(01)a a >≠且在[1,1]x ∈-上的最大值为14，求a 的值．
三、实战演练 1、化简：3322
1
11
143342(0,0)()a b ab a b a b a b ->>=_______________
2、已知12102
a -=，31032
b =，则32410=a b +_______________ 3、函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为
4、函数()x b f x a -=的图像如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5、比较大小：①0.70.8
a =，0.90.8
b =，0.81.2
c =；②01， 2.50.4-，0.22-， 1.6
2.5； 7、已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a
+-+=+是奇函数 （1）求a 、b 的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求k 的取值
范围
0,1<>b a 0,1>>b a 0,10><<b a 0,10<<<b a R t ∈0)2()2(22<-+-k t f t t f
四、强化训练
1
、设a =
b =
c =,,a b c 的大小关系是_______________ 2、设137
x =，则（ ） A ．21x -<<- B ．32x -<<- C ．10x -<< D ．01x <<
3、求函数的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性
4、已知定义在R 上的函数()22x x
a f x =+，a 为常数 （1）如果()()f x f x =-，求a 的值；（2）当()f x 满足（1）时，用单调性定义讨论()f x 的单调性
二、题型解析
（一）对数计算
例1 已知732log [log (log )]0x =，那么1
2x -=______________
例2 计算：（1）；（2）；（3）；（4）
（二）对数运算
例1 计算下列各式的值
（1
）
1324lg 2493-（2
（3） ； 例2 已知 ， ，用，表示
例3 若3484log 4log 8log log 16m ⋅⋅=，则m =______________
例4 设3436x y ==，求
21x y +的值
四、强化训练
1、已知2(3)4log 3233x f x =+，则的值等于
例1 在(2)log (6)a x a -=-中，实数a 的取值范围是（ ）
A ．6a >或2a <
B ．26a <<
C ．23a <<或36a <<
D ．34a << 例2
函数y = ）
A ．[1,)+∞
B ．2(,)3+∞
C ．2[,1]3
D ．2(,1]3
例3 若4log 15
a
<(01)a a >≠且，求实数a 的取值范围 2121
x x y -=+9log
27
(
(2log
20.4log 10.21log 35-2log 3a =3log 7b =a b 42log 568(2)(4)(8)(2)f f f f ++++
例4 比较下列各组数中两个值的大小：
（1），；（2），；（3），
例5 求函数22log (56)y x x =-+的定义域、值域、单调区间
例6 函数在上的最大值比最小值大，求的值；
三、实战演练
1、求下列函数的定义域
（1）2(1)log (23)x y x x -=-++；（2
）y =
(01)a a >≠且
2、已知log (31)a a -恒为正数，求a 的取值范围
3、比较下列各题中两个数值的大小： ； ； ；
4、设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为
12，则a = 5、若log (2)a y ax =-在[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是 ( )
A ．(0,1)
B ．(0,2)
C ．(1,2)
D ．(2,)+∞
四、强化训练
1、已知函数()f x 满足：4x ≥，则1
()()2
x f x =；当4x <时()(1)f x f x =+，则2(2log 3)f += A ．124 B ．112 C ．18 D ．38
2、设01a a >≠且，函数2lg(23)()x x f x a -+=有最大值，则不等式2log (57)0a x x -+>的解集为 .
3、已知01a a >≠且，21(log )()1a a f x x a x
=-- （1）求()f x ；（2）判断()f x 的奇偶性与单调性；
（3）对于()f x ，当(1,1)x ∈-时，有2(1)(1)0f m f m -+-<，求m 的集合M
4、若x 满足21422(log )14log 30x x -+≤
，求2
()log 2x f x =最大值和最小值
2log 3.42log 8.50.3log 1.80.3log 2.7log 5.1a log 5.2a (0,1)a a >≠log a y x =[2,4]1a 22log 3log 3.5和0.30.2log 4log 0.7和0.70.7log 1.6log 1.8和23log 3log 2和。