人教版高一数学必修一基本初等函数解析(完整资料)
人教版高中数学必修一第二章基本初等函数(Ⅰ)课件PPT
反思与感悟
解析答案
log2x，x＞0，
跟踪训练 3
已知函数
f(x)＝log
1 2
－x，x＜0，
若 f(a)＞f(－a)，则实数
a 的取值范围是( )
A.(－1,0)∪(0,1)
B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
1 23 45
答案
3.f(x)＝lg(x2＋a)的值域为R，则实数a可以是( A )
A.0
B.1 C.2 D.10
1 23 45
答案
4.如果 log1 x log1 y 0 ，那么D( )
2
2
A.y<x<1
B.x<y<1
C.1<x<y
D.1<y<x
1 23 45
答案
1 23 45
5.若函数 y＝f(x)是函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的反函数，且 f(2)＝1，则 f(x)
解析答案
类型三 对数不等式 例3 已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a＞0，且a≠1).解关于x的不等式： loga(1－ax)＞f(1). 解 ∵f(x)＝loga(1－ax)，∴f(1)＝loga(1－a). ∴1－a＞0.∴0＜a＜1. ∴不等式可化为loga(1－ax)＞loga(1－a).
等于( A )
A.log2x
1 B.2x
C. log 1 x
D.2x－2
2
答案
规律与方法
1.与对数函数有关的复合函数单调区间、奇偶性、不等式问题都要注 意定义域的影响. 2.y＝ax与x＝logay图象是相同的，只是为了适应习惯用x表示自变量，y 表示应变量，把x＝logay换成y＝logax，y＝logax才与y＝ax关于y＝x对称， 因为(a，b)与(b，a)关于y＝x对称.
人教版高中数学必修一《基本初等函数》全章知识小结
数学·必修1(人教版)基本初等函数一、目标解读函数是高中数学的主要内容之一，这是因为函数思想方法灵活多样，逻辑思维性强，许多数学问题都可以从函数的角度来认识、研究．函数知识与数学的其他各分支的巧妙结合容易形成综合性较强的新颖的试题，这样的试题往往成为高考中极具份量的一类解答题，综合考查考生应用函数知识分析问题、解决问题的能力．而在命题的具体设计上，总是具有从易到难、逐步设问的特点，以较隐蔽的方式给出解题思路，在考查函数内容的同时也考查应用函数的思想方法，观察问题、分析问题和解决问题的能力，同时考查学生数形结合的思想和分类讨论的思想的应用能力．函数是中学数学的重要组成部分．它所涉及的内容是升入大学继续学习的基础，因此，函数不仅是中学数学教学的重点，也是高考考查的重点．近年来，函数的分值占30%左右．函数是高中代数的主线．它体系完整，内容丰富，应用广泛．由于它描述的是自然界中量的依存关系，是对问题本身数量的制约关系的一种刻画，所以是对数量关系本质特征的一种揭示，为我们从运动、变化、联系、发展的角度认识问题打开了思路．本章主要研究的是基本初等函数：指数函数、对数函数和幂函数的概念、图象和性质．包括理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，理解对数的概念，掌握对数的运算性质，能运用函数的一般性质和指数函数、对数函数的特征性质解决某些简单的实际问题．指数函数与对数函数都是初等超越函数．在历年的高考题中出现的频率较大．出现在小题时是较基本的考查方式；出现在大题中时，往往与其他知识综合形成开放性问题，加大对开放性问题的考查力度．通过本章的学习达到以下基本目标：①了解指数函数模型的实际背景，体会指数函数是一类重要的函数模型．②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．③理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．④了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型．⑤能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．⑥理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．⑦了解指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数．⑧了解幂函数的概念，结合函数y ＝x α(α＝1,2,3，12，－1)的图象，了解它们的变化情况．二、主干知识(一)指数与指数幂的运算 1．整数指数幂的概念． (1)正整数指数幂的意义：(2)零指数幂：a 0＝1(a ≠0)．(3)负整数指数幂：a －n ＝1an (a ≠0，n ∈N *)．2．整数指数幂的运算性质： ①a m ·a n ＝a m ＋n ；②(a m )n ＝a mn ；③(ab )n ＝a n b n .3．如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞0，且n ∈N *.(1)当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时a 的n 次方根用符号na 表示．(2)方根的性质：①当n 是奇数时，na n＝a ； ②当n 是偶数时，nan＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧aa ≥0，－a a ＜0.4．分数指数幂．(1)正数的分数指数幂的意义：设a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1，规定(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．5．有理指数幂的运算性质： ①a r ·a s ＝a r ＋s(a ＞0，r ，s ∈Q)；②(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q)；③(ab )r ＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q)．(二)指数函数及其性质1．函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量．2．指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象和性质(见下表)：(1．如果a x＝N (a ＞0，a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数．记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．对数式的书写格式：(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把常用对数log 10N 简记为lg N ；(2)以无理数e ＝2.718 28……为底的对数，叫自然对数，并把自然对数log e N 简记为ln N .2．指数与对数的关系：设a ＞0，且a ≠1，则a x＝N ⇔log a N ＝x .3．对数的性质．(1)在指数式中N ＞0，故0和负数没有对数，即式子log a N 中N 必须大于0；(2)设a ＞0，a ≠1，则有a 0＝1，所以log a 1＝0，即1的对数为0；(3)设a ＞0，a ≠1，则有a 1＝a ，所以log a a ＝1，即底数的对数为1.4．对数恒等式．(1)如果把a b＝N 中的b 写成log a N 形式，则有(2)如果把x ＝log a N 中的N 写成a x 形式，则有log a a x＝x .5．对数的运算性质．设a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则有：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ，简记为：积的对数＝对数的和；(2)log a M N ＝log a M －log a N ，简记为：商的对数＝对数的差；(3)log a M n＝n log a M (n ∈R)．(四)对数函数及其性质1．函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象、性质(见下表)：函数y＝log a x(a＞1)y＝log a x(0＜a＜1)图象定义域R＋R＋值域R R单调性增函数减函数过定点(1,0)(1,0)(1)当a＞1时，若x＞1，则log a x＞0，若0＜x＜1，则log a x＜0；(2)当0＜a＜1时，若0＜x＜1，则log a x＞0，若x＞1，则log a x＜0.3．函数y＝a x与y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．(五)幂函数1．形如y＝xα(α∈R)的函数叫做幂函数，其中α为常数．只研究α为有理数的情形．3．幂函数的性质．(1)幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)．(2)当α＞0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α＞1时，幂函数的图象下凸；当0＜α＜1时，幂函数的图象上凸．(3)当α＜0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．4．图象形状：当α＞0(α≠1)时，图象为抛物线型；当α＜0时，图象为双曲线型；当α＝0,1时，图象为直线型．1．正数的分数指数幂的意义：设a>0，m，n∈N*，n>1，规定：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．2．有理指数幂的运算性质：①a r·a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．答案：12 011►跟踪训练解析：由平方差公式化简即得答案．答案：－27答案：－6a指数幂的运算3．幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x 的值是________．答案：131．设a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝x ；a log a N ＝N; log a a x＝x .2．设a >0，a ≠1, M >0，N >0 ，则有 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ，(2)log a M N＝log a M －log a N ，(3)log a M n＝n log a M (n ∈R)．3．设a >0，a ≠1，b >0，b ≠1，则log a x ＝log b xlog b a.设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100解析：由2a ＝5b＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10，又∵m ＞0，∴m ＝10.答案：A►跟踪训练4．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (α)＝1，则α＝( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3解析：α＋1＝2，故α＝1，选B. 答案：B指数与对数运算5．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1C ．2D ．4解析：2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2. 答案：C6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，2x，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( ) A ．4 B.14C ．－4D ．－147．设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.解析：答案：121．指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的定义域是R ，值域是()0，＋∞，过定点(0,1)．当a >1时，指数函数y ＝a x 是R 上的增函数；当0<a <1时，指数函数y ＝a x是R 上的减函数．2．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的定义域是()0，＋∞，值域是R ，过定点(1,0)． 当a >1时，对数函数y ＝log a x 是()0，＋∞上的增函数；当0<a <1时，对数函数y ＝log a x 是()0，＋∞上的减函数．函数y ＝1log 0.54x －3的定义域为( )指数函数与对数函数的性质A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪(1，＋∞) 解析：由log 0.5(4x －3)＞0且4x －3＞0可解得34＜x ＜1，故A 正确．答案：A►跟踪训练8．函数y ＝2x 的图象大致是()答案：C9．函数f (x )＝lg(x －1)的定义域是( ) A ．(2，＋∞) B ．(1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞) 解析：x －1＞0，得x ＞1，选B. 答案：B10．函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案：A研究由基本初等函数的和与差等运算构成的新函数的性质时，必须明确各基本初等函数的相关性质．设函数的集合P ＝f (x )＝log 2(x ＋a )＋研究基本初等函数及其组合的性质A ．4个B ．6个C ．8个D ．10个解析：当a ＝0，b ＝0；a ＝0，b ＝1；a ＝12，b ＝0; a ＝12，b ＝1；a ＝1，b ＝－1；a ＝1，b ＝1时满足题意，选B.答案：B►跟踪训练11．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x的定义域均为R ，则( ) A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数解析：f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，g (－x )＝3－x －3x＝－g (x )． 答案：BA ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案：B13．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)(x ∈R)是偶函数，则实数a ＝________.解析：由条件知，g (x )＝e x ＋a e －x为奇函数，故g (0)＝0，得a ＝－1. 答案：－1数形结合的思想方法是根据数量与图形的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的一种思想方法．转化与化归的思想方法则是将问题不断转化，直到转化为比较容易解决或已经解决的问题．而分类讨论的核心是通过增强条件来分情况逐一研究，使问题易于解决．一、数形结合思想数学思想方法的应用直线y ＝1与曲线y ＝x 2－||x ＋a 有四个交点，则a 的取值范围是 _______ .解析：曲线y ＝x 2－|x |＋a 关于y 轴对称，当x ≥0时，y ＝x 2－x ＋a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋a －14，结合图象要使直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，需⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －14＜1，解得1＜a ＜54.故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54►跟踪训练14．已知c ＜0，下列不等式中成立的一个是( )A ．c ＞2cB ．c ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12cC ．2c ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12cD ．2c＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12c解析：在同一直角坐标系下作出y ＝x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝2x 的图象，显然c ＜0时，x ＜2x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，即c ＜0时，c ＜2c＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12c .答案：C15．下列函数图象中，正确的是( )答案：C16．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，y ＝f (x )是减函数，并且f (1)>0>f (2)，则方程f (x )＝0的实根的个数是_________个．答案：2二、转化与化归的思想设a ＝333＋1334＋1，b ＝334＋1335＋1，试比较a 、b 的大小． 解析：如果比较a －b 与0或a b与1的大小，即用作差法、作商法来做，较繁杂、不易判断．由于a 、b 两数的结构特点可构造函数f (x )＝3x ＋13x ＋1＋1，则a ＝f (33)，b ＝f (34)，若能判断出此函数的单调性，那么就可简捷地比较出a 、b 的大小．f (x )＝3x ＋13x ＋1＋1＝3x ＋1＋333x ＋1＋1＝3x ＋1＋1＋233x ＋1＋1＝13＋233x ＋1＋1. ∵3x ＋1在R 上递增，∴233x ＋1＋1在R 上递减． ∴ f (x )＝13＋233x ＋1＋1在R 上递减． ∴ f (33)＞f (34)，即a ＞b .►跟踪训练17．解方程：(lg 2x )·(lg 3x )＝lg 2·lg 3.解析：原方程可化为(lg 2＋lg x )(lg 3＋lg x )＝lg 2·lg 3，即lg 2x ＋lg 6·lg x ＝0，解得lg x ＝0或lg x ＝－lg 6.∴x ＝1或x ＝16， 经检验x ＝1，x ＝16都是原方程的解． ∴原方程的解为x 1＝1或 x 2＝16.18．比较log 0.30.1和log 0.20.1的大小．解析：log 0.30.1＝1log 0.10.3＞0， log 0.20.1＝1log 0.10.2＞0. ∵log 0.10.3＜log 0.10.2，∴log 0.30.1＞log 0.20.1.19．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象如下图所示．假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m 2；③野生水葫芦从4 m 2蔓延到12 m 2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到2 m 2,3 m 2,6 m 2所需的时间分别为t 1，t 2，t 3, 则有t 1＋t 2＝t 3；⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．其中正确的说法有 ______________ (填序号)．答案：①②④三、分类讨论思想若a >0，且a ≠1，p ＝log a (a 3＋a ＋1)，q ＝log a (a 2＋a ＋1)，则p 、q 的大小关系为( )A ．p ＝qB ．p <qC ．p >qD ．a >1时，p >q ；0<a <1时，p <q解析：要比较p 、q 的大小，只需先比较a 3＋a ＋1与a 2＋a ＋1的大小，再利用对数函数的单调性．而决定a 3＋a ＋1与a 2＋a ＋1的大小的a 值的分界点为使(a 3＋a ＋1)－(a 2＋a ＋1)＝a 2(a －1)＝0的a 值：a ＝1，当a >1时，a 3＋a ＋1>a 2＋a ＋1，此时log a (a 3＋a ＋1)>log a (a 2＋a ＋1)，即p >q .当0<a <1时，a 3＋a ＋1<a 2＋a ＋1，此时log a (a 3＋a ＋1)>log a (a 2＋a ＋1)，即p >q .可见，不论a >1还是0<a <1，都有p >q .答案：C►跟踪训练20．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0. 若f (a )＝12，则a ＝( ) A ．－1 B. 2C ．－1或 2D ．1或－ 2解析：讨论a >0和a ≤0两种情况．答案：C21．已知函数f (x )＝log a x 在[2，π]上的最大值比最小值大1，则a 等于( ) A.2π B.π2C.2π或π2D ．不同于A 、B 、C 答案解析：研究函数的最值需考查函数的单调性，而题中对数函数的增减性与底数a 的取值有关，故应对a 进行分类讨论．(1)当a >1时，f (x )在[2，π]上是增函数，最大值是f (π)，最小值是f (2)，据题意，f (π)－f (2)＝1，即log a π－log a 2＝1，∴a ＝π2. (2)当0<a <1时，f (x )在[2，π]上是减函数，最大值是，最小值是f (π)，故f (2)－f (π)＝1，即log a 2－log a π＝1，∴a ＝2π. 由(1)(2)知，选C.答案： C22．已知f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2试比较f (x )和g (x )的大小．解析：f (x )－g (x )＝log x 3x 4. (1)当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1，3x 4＞1⇒x ＞43，或⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，0＜3x 4＜1⇒0＜x ＜1，即x >43或0<x <1时，f (x )>g (x )． (2)当3x 4＝1即x ＝43时，f (x )＝g (x )． (3)当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1，0＜3x 4＜1⇒1＜x ＜43，或⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，3x 4＞1⇒x ∈∅，即1<x <43时，f (x )＜g (x )． 综上所述：①当x ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，f (x )＞g (x )； ②当x ＝43时，f (x )＝g (x )； ③当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43时，f (x )＜g (x )．23．已知f (x )＝log a (a x －1)(a ＞0且a ≠1)．(1)求定义域；(2)讨论函数的单调区间．解析：(1)由a x －1＞0⇒a x ＞1，当a ＞1时，函数定义域为(0，＋∞)，当0＜a ＜1时，函数定义域为(－∞，0)．点评：底数含字母a ，要进行分类讨论．。
数学必修一基本初等函数知识点
数学必修一基本初等函数知识点一、函数的概念函数是自然界和社会现象中的各种数学规律在数学上的抽象和推广。
一般来说，对于自变量x的每一个取值，都有唯一的因变量y与之对应。
数学上，函数用来描述自变量和因变量之间的对应关系。
二、函数的表示函数的一般表示形式为y=f(x)，其中y为因变量，x为自变量，f(x)为函数关系式，描述了x与y之间的对应关系。
常用的函数表示形式包括算式、表格、图像和文字等。
三、函数的性质1.定义域和值域：一个函数的定义域是该函数所有可能的自变量的值的集合，值域是函数所有可能的因变量的值的集合。
2.奇偶性：如果函数满足f(-x)=-f(x)对于所有的x成立，则称该函数为奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)对于所有的x成立，则称该函数为偶函数。
3.单调性：如果对于自变量的每一个取值，函数的值只随着自变量的增加而增加，则称该函数为递增函数；如果对于自变量的每一个取值，函数的值只随着自变量的增加而减小，则称该函数为递减函数。
4.周期性：如果存在正数T，使得对于每一个自变量的取值x，有f(x+T)=f(x)，则称该函数为周期函数。
四、函数图像函数图像是将函数的自变量和因变量之间的对应关系通过图像的方式展示出来。
通过函数图像可以直观地了解函数的各种性质。
一般来说，函数的图像在直角坐标系中表示，自变量x沿横轴，因变量y沿纵轴。
五、函数的变换函数的变换是通过改变自变量或者函数关系式的形式，对函数图像进行平移、伸缩、翻转等变换。
常见的函数变换包括平移变换、纵向伸缩变换、横向伸缩变换和翻转变换等。
六、常见的初等函数1. 一次函数：f(x)=kx+b，其中k和b为常数，k称为斜率，b称为截距。
一次函数的图像为直线，斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与纵轴的交点。
2. 二次函数：f(x)=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数，a不为零。
二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负确定，a越大，抛物线越开口向上。
完整版人教版高一数学必修一基本初等函数解析
根本初等函数一．【要点精讲】1．指数与对数运算〔1〕根式的概念：①定义：假设一个数的n次方等于a(n1,且n N)，那么这个数称a的n次方根。
即假设x n a，那么x称a的n次方根n1且n N)，1〕当n为奇数时，a的n次方根记作n a；2〕当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作n a(a0)②性质：1〕(na )na2n为奇数时，n a n a；；〕当3〕当n为偶数时，n a|a|a(a0)a(a。
0)〔2〕．幂的有关概念①规定：1〕a n a a a(n N；2〕a01(a0)；*n个3〕a p1p(p m n a m(a0,m、n N且n1)Q，4〕a n*a②性质：1〕a r a s a rs(a0,r、s Q〕；2〕(a r)s a rs(a0,r、s Q〕；3〕(ab)r a r b r(a0,b0,r Q〕。
〔注〕上述性质对r、s R均适用。
〔3〕．对数的概念①定义：如果a(a0,且a1)的b次幂等于N，就是a b N，那么数b称以a为底N的对数，记作log a N b,其中a称对数的底，N称真数1〕以10为底的对数称常用对数，log10N记作lgN；2〕以无理数e(e)为底的对数称自然对数，log e N，记作lnN；②根本性质：1〕真数N为正数〔负数和零无对数〕；2〕log a10；13〕log a a1；4〕对数恒等式：a log a N N。
③运算性质：如果a0,a0,M0,N0,那么1〕log a(MN)log a M log a N；2〕log a M log a M log a N；N3〕log a M n nlog a M(n R〕④换底公式：log a N logmN(a0,a0,m0,m1,N0), log m a1〕log a blog b a1；2〕log a m b n nlog a b。
m2．指数函数与对数函数〔1〕指数函数：①定义：函数y a x(a0,且a1)称指数函数，1〕函数的定义域为R；2〕函数的值域为(0,)；3〕当0 a 1时函数为减函数，当a1时函数为增函数。
人教版高中数学必修一 第二章 基本初等函数知识点总结
人教版高中数学必修一第二章基本初等函数知识点总结第二章 基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0=0。
注意：(1)na =(2)当 n a = ，当 n ,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩2．分数指数幂正数的正分数指数幂的意义，规定：0,,,1)m na a m n N n *=>∈>且正数的正分数指数幂的意义：_1(0,,,1)m nm naa m n N n a*=>∈>且0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）(0,,)rsr s a a aa r s R +=>∈（2）()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ （3）(b)(0,0,)r rra ab a b r R =>>∈注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分；如122[(1]11≠ （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数xy a = 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．即 a>0且a ≠1 20<a<1a>1定义域R , 值域（0，+∞）注意： 指数增长模型：y=N(1+p)指数型函数： y=ka 3 考点：（1）a b =N, 当b>0时，a,N 在1的同侧；当b<0时，a,N 在1的 异侧。
（2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。
掌握利用单调性比较幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1(=a 0)进行传递或者利用（1）的知识。
（3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。
（4）分辨不同底的指数函数图象利用a 1=a ，用x=1去截图象得到对应的底数。
(5)指数型函数：y=N(1+p)x 简写：y=ka x 二、对数函数 （一）对数1．对数的概念：一般地，如果x a N = ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作：log a x N = （ a — 底数， N — 真数，log a N — 对数式）说明：1. 注意底数的限制，a>0且a ≠1；2. 真数N>0 3. 注意对数的书写格式．2、两个重要对数：（1）常用对数：以10为底的对数, 10log lg N N 记为 ；（2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , log ln e N N 记为． 3、对数式与指数式的互化 log x a x N a N =⇔=对数式 指数式对数底数← a → 幂底数对数← x → 指数真数← N → 幂 结论：（1）负数和零没有对数（2）log a a=1, log a 1=0 特别地， lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0(3) 对数恒等式：log Na a N =（二）对数的运算性质如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有：1、 log M N log log a a a M N ∙=+（） 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 2 、N M NMa a alog log log -= 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差3 、log log n na a M n M =∈（R ） 一个正数的n 次方的对数等于这个正数的对数n 倍说明:1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”……2) 有时可逆向运用公式3) 真数的取值必须是(0,＋∞)4) 特别注意：N M MN a a a log log log ⋅≠ ()N M N M a a a log log log ±≠±注意：换底公式()log lg log 0,1,0,1,0log lg c a c b bb a ac c b a a==>≠>≠>利用换底公式推导下面的结论 ①a b b a log 1log =②log log log log a b c a b c d d ∙∙=③log log m n a a nb b m=（二）对数函数1、对数函数的概念：函数log a y x = (a>0，且a ≠1) 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：（1） 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
必修一_基本初等函数_知识点讲解
基本初等函数第一讲 幂函数1、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.注意：y x α=中，前面的系数为1，且没有常数项2、幂函数的图像（1）y x = （2）12y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x =3、幂函数的性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x=）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．分数指数幂概念 有理指数幂运算性质(0,,)r s r s a a a a r s Q +=>∈；()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈(0,,*,1)a m n N n >∈>且 ()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈第二讲 指数函数1、指数（1）n 次方根的定义若x n =a ，则称x 为a 的n 次方根，“n”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.（2）方根的性质①当n 为奇数时，n n a =a . ②当n 为偶数时，n n a =|a |=⎩⎨⎧<-≥).0(),0(a aa a（3）分数指数幂的意义①a nm =n m a （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. ②an m -=nm a1=nma1（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.2、指数函数的定义一般地，函数xy a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，xa 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .n mnm a a=nmn m nm aa a1＝=-000,0xx a a x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩x当时,等于若当时,无意义若a ＜0，如1(2),,8xy x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在. 若a =1, 11,xy == 是一个常量， 5,,3,31x x x a y x y y +===+1xx为常数,象y=2-3,y=2等等, 不符合(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数.3、 指数函数的图像及其性质（1）底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称.（2）在[,]x a b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （3）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R;（4）对于指数函数()xf x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a =（5）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ；第三讲 对数函数1、 对数（1）对数的概念一般地，若(0,1)xa N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =a 叫做对数的底数，N 叫做真数.如：24416,2log 16==则，读作2是以4为底，16的对数. 1242=，则41log 22=，读作12是以4为底2的对数. （2）指数式与对数式的关系：a b =N ⇔log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log a M n=n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N =bNa a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. （4）两类对数① 以10为底的对数称为常用对数，10log N 常记为lg N .② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，log e N 常记为ln N .以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即lg1002=.2、对数函数的概念一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 3、对数函数的图象及其性质a <11))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.。
高中数学必修一基本初等函数知识点+练习题含答案解析(非常详细)
第一部分基本初等函数知识点整理第二章 基本初等函数一、指数函数 （一）指数1、 指数与指数幂的运算：复习初中整数指数幂的运算性质： a m *a n =a m+n(a m )n=a mn(a*b)n =a n b n2、根式的概念：一般地，若a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。
此时，a 的n 次方根用符号 表示。
当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数。
此时正数a 的正的n 次方根用符号 表示，负的n 的次方根用符号 表示。
正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成 （a>0）。
注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n。
当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn 式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
3、 分数指数幂正数的分数指数幂的)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm ，)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义4、 有理数指数米的运算性质（1）r a ·s r ra a+=),,0(R s r a ∈>； （2）rss r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3）s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>．5、无理数指数幂一般的，无理数指数幂a a（a>0,a 是无理数）是一个确定的实数。
有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。
（二）、指数函数的性质及其特点1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．为什么？（1）在[a ，b]上，值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； （4）当a>1时，若X 1<X 2 ,则有f(X 1)<f(X 2)。
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4.若loga2＜logb2＜0，则( B )
(A)0＜a＜b＜1
(B)0＜b＜a＜1
(C)1＜b＜a
(D)0＜b＜1＜a
5.方程loga(x+1)+x2＝2(0＜a＜1)的解的个
数是( C ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)无法确定
1.比较下列各组中两个值的大小，并说明 理由.
2．设函数. f (x) = lg(x + x2 +1) (1)确定函数f (x)的定义域； (2)判断函数f (x)的奇偶性； (3)证明函数f (x)在其定义域上是单调 增函数；
5.如图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝ax，y＝bx， y＝cx，y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是(D )
(A)a＜b＜1＜c＜d (B)a＜b＜1＜d＜c (C)b＜a＜1＜c＜d (D)b＜a＜1＜d＜c
6．已知函数
f (x) = a x -1 ax +1
(a＞1பைடு நூலகம்.
（1）判断函数f (x)的奇偶性； （2）证明f (x)在(－∞，+∞)上是增函数.
1 计算
2 log5 2 + log5 3
log
5
10
+
1 2
log 5
0.36
+
1 3
log 5
8
=1
2 求函数y = log x-1(3 - x)的定义域
3.(lg 2)2 lg 250 + (lg 5)2 lg 40 =
12 换底公式
注意换底公式在对数运算中的作用：
①公式
顺用和逆用；
②由公式和运算性质推得的结论
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此文档下载后即可编辑基本初等函数一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。
即若a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a nn =；3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n。
（2）．幂的有关概念①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n (ΛN *；2）)0(10≠=a a ；n 个 3）∈=-p aap p(1Q ，4）m a a a n m n m,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ）；2）r a aa sr sr ,0()(>=⋅、∈s Q ）；3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr ,0,0()( Q ）。
（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。
（3）．对数的概念①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b=，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ；②基本性质：1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ；3）1log =a a ；4）对数恒等式：N a Na =log 。
③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M NMaa alog log log -=； 3）∈=n M n M a na (log log R ）④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a1）1log log =⋅a b b a ；2）b mnb a n a m log log =。
2．指数函数与对数函数 （1）指数函数：①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数， 1）函数的定义域为R ；2）函数的值域为),0(+∞；3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数。
②函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向左无限接近x 轴，当1>a 时，图象向右无限接近x 轴）；3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数xxa y a y -==与的图象关于y 轴对称③函数值的变化特征：10<<a 1>a①100<<>y x 时 ， ②10==y x 时 ， ③10><y x 时 ①10>>y x 时 ， ②10==y x 时 ， ③100<<<y x 时 ，（2）对数函数：①定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数， 1）函数的定义域为),0(+∞；2）函数的值域为R ；3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数；4）对数函数x y a log =与指数函数)1,0(≠>=a a a y x且互为反函数 ②函数图像：1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以y 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴；当1>a 时，图象向下无限接近y 轴）；4）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x yx y aa 1log log ==与的图象关于x 轴对称。
③函数值的变化特征：（3）幂函数 1）掌握5个幂函数的图像特点2）a>0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数3）过定点（1，1）当幂函数为偶函数过（-1,1）,当幂函数为奇函数时过（-1，-1） 当a>0时过（0，0）4）幂函数一定不经过第四象限10<<a 1>a ①01<>y x 时， ②01==y x 时， ③010><<y x 时. ①01>>y x 时，②01==y x 时，③100<<<y x 时.四．【典例解析】 题型1：指数运算例1．（1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+---；（2）化简：5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--。
解：（1）原式=41322132)10000625(]102450)81000()949()278[(÷⨯÷+- 922)2917(21]1024251253794[=⨯+-=÷⨯⨯+-=； （2）原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(a a a a ab a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷+⋅+- 23231616531313131312)2(a a a a aa ba ab a a =⨯⨯=⨯-⨯-=。
点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。
例2．（1）已知11223x x-+=，求22332223x x x x--+-+-的值解：∵11223x x -+=，∴11222()9x x-+=， ∴129x x -++=，∴17x x-+=，∴12()49x x -+=，∴2247x x -+=，又∵331112222()(1)3(71)18x x x x x x ---+=+⋅-+=⋅-=，∴223322247231833x x x x--+--==-+-。
点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。
题型2：对数运算（2）.(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()f x ＝27的x 的值是 .答案 13例3．计算（1）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+；（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+；（3）1.0lg 21036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+⋅解：（1）原式22(lg 2)(1lg5)lg 2lg5(lg 2lg51)lg 22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=；（2）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3()()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+ 3lg 25lg 352lg 36lg 24=⋅=； （3）分子=3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2=++=++；分母=41006lg 26lg 101100036lg)26(lg =-+=⨯-+； ∴原式=43。
点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧例4．设a 、b 、c 为正数，且满足222a b c +=（1）求证：22log (1)log (1)1b c a ca b+-+++=；（2）若4log (1)1b c a ++=，82log ()3a b c +-=，求a 、b 、c 的值。
证明：（1）左边222log log log ()a b c a b c a b c a b ca b a b+++-+++-=+=⋅22222222222()22log log log log 21a b c a ab b c ab c c ab ab ab+-++-+-=====；解：（2）由4log (1)1b c a ++=得14b ca++=， ∴30a b c -++=……………①由82log ()3a b c +-=得2384a b c +-==………… ……………②由①+②得2b a -=……………………………………③ 由①得3c a b =-，代入222a b c +=得2(43)0a a b -=，∵0a >， ∴430a b -=………………………………④ 由③、④解得6a =，8b =，从而10c =。
点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。
题型3：指数、对数方程例5．(江西师大附中2009届高三数学上学期期中)已知定义域为R 的函数abx f x x ++-=+122)(是奇函数.（1）求a,b 的值；（2）若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围.解 （1） 因为)(x f 是R 上的奇函数，所以1,021,0)0(==++-=b abf 解得即从而有.212)(1a x f x x ++-=+ 又由aa f f ++--=++---=1121412)1()1(知，解得2=a （2）解法一：由（1）知,121212212)(1++-=++-=+x x x x f 由上式易知)(x f 在R 上为减函数，又因)(x f 是奇函数，从而不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 等价于).2()2()2(222k t f k t f t t f +-=--<-因)(x f 是R 上的减函数，由上式推得.2222k t t t +->-即对一切,0232>--∈k t t R t 有从而31,0124-<<+=∆k k 解得 解法二：由（1）知,2212)(1++-=+x x x f 又由题设条件得0221222121221222222<++-+++-+--+--k t k t t t t t即0)12)(22()12)(22(2222212212<+-+++-+-+--+-ktt tttk t整理得12232>--kt t ，因底数2>1，故0232>--k t t上式对一切R t ∈均成立，从而判别式.31,0124-<<+=∆k k 解得例6．（2008广东 理7）设a ∈R ，若函数3axy e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ B ） A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-【解析】'()3ax f x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即'()30axf x ae =+=有正根。