高中数学必修1函数知识点总结

高中数学必修1函数知识总结

一、函数的有关概念

1．函数的概念：设A 、B 是非空的，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．函数的三要素为

找错误：①其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；

②与x 的值相对应的y 值叫做函数值，所以集合B 为值域。

注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．专项练习1.求函数的定义域：类型1.⑴22153x x y x --=

+ ⑵0

(21)y x =- ⑶2214log (1)

y x x =

+-+

总结：

能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 类型2 抽象函数求定义域：

1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域方法总结练习1.已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域为练习2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2

的定义域为

2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法总结练习1.若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，求函数()f x 的定义域．

练习2. 已知函数2

(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域方法总结练习1.若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是练习2、已知函数的定义域为，则y=f(3x-5)的定义域为________。

4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域

若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

核心方法总结 ①

②

专项练习2相同函数判断方法①

②

例1.

专项练习3函数的值域

一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R ．

二次函数

()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为，当0a <时的值域

反比例函数()0k

y k x

≠的值域为{}0y R y ∈≠．指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为对数函数

()log 01a y x a a =>≠且的值域为R ．

1.二次函数在给定区间上的值域问题

(1)y ＝x 2+2x+3（0≤x ≤2） (2) y ＝3－2x －x 2

（－3≤x ≤-1）

(3)y ＝x 2+2x+3 （－3≤x ≤1） (4) y ＝3－2x －x 2

（－2≤x ≤1）

2．已知k ∈R ，求函数2

21y kx kx =++，x ∈[－3,2]的最值

3．已知函数f (x )＝－x 2

＋2ax ＋1－a 在0≤x ≤1时有最大值2，求a 的值．

总结二次函数求值域方法①

② ③

2.换元法

(1)y ＝2x －3＋134-x

(2)y ＝x+1 +x 21- （3）4321(02)x x

y x =-?+≤≤

3.单调性法

(1)()x x y 2log 2

2+-= (2))2(21log 2

1≥??? ??+=x x y x

4.分离常数法形如cx d

y ax b

+ (1)y ＝12++x x (2) y ＝1

-+x x (3) y ＝x x -+12( 1

类型4求函数的解析式

1.待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法．例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ．

2、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式注意函数定义域例2已知x x x f 2)1(+=+，求()f x ．

变式2．已知2

(1)23f x x x +=++，求f (x )的解析式．

3、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，注意所求函数()f x 的定义域例3已知x x x f 2)1(+=+，求()f x ．

变式3．已知2

(1)23f x x x +=++，求f (x )的解析式．

4、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式．例4 设,)1(2)()(x x

f x f x f =-满足求)(x f ．

变式4．已知

()2()f x f x x --= 求函数f (x )的解析式．

二、函数的性质

1．函数单调性（1）．设函数y=f(x)的定义域为I ，①如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，，那么就说f(x)在区间D 上是增函数。②区间D 称为

y=f(x)的单调增区间；如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D 称为y=f(x)的单调减区间.

注意：1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

2、必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1

3、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

用定义证明1

()f x x x

在[)1,+∞上单调递增

总结：函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法：

1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1

2 作差f(x 1)－f(x 2)；

3 变形（通常是因式分解和配方）；

4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；

5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）． 2.求函数的单调区间

（2）.已知函数的单调区间求参数的范围

练习已知函数2

()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，则实数a 的取值范围

（3）.复合函数

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f是g

的复合函数。复合函数的单调性：复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：

复合函数单调性：口诀：同增异减

（4）、

判断函数的单调性常用的结论

①函数()

y f x

=-与()

y f x

=的单调性相反；

②当函数()

y f x

=恒为正或恒有负时，

()

f x

与函数()

y f x

=的单调性相反；

u=g(x) y=f(u)y=f[g(x)]

增增增

增减减

减增减

减减增