(新)高中数学必修一函数部分难题汇总
人教版高中数学必修一知识点与典型习题——第二部分-函数(含答案)
2015-2016高一上学期期末复习知识点与典型例题人教数学必修一 第二部分 函数1、函数的定义域、值域2、判断相同函数3、分段函数4、奇偶性5、单调性1．定义域 值域（最值） 1．函数()()3log 3f x x =++的定义域为____________________ 2．函数22()log (23)f x x x 的定义域是（ ）(A) [3,1] (B) (3,1) (C) (,3][1,)-∞-+∞ (D) (,3)(1,)-∞-+∞3．2()23,(1,3]f x x x x =-+∈-的值域为____________________ 4．若函数21()2f x x x a =-+的定义域和值域均为[1,](1)b b >，求a 、b 的值．2．函数相等步骤：1、看定义域是否相等； 2、看对应关系（解析式）能否化简到相同1．下列哪组是相同函数？2(1)(),()x f x x g x x ==(2)()()f x x g x ==,2(3)()2lg ,()lg f x x g x x ==(4)(),()f x x g x ==3．分段函数基本思路：分段讨论 （1）求值问题1．24(),(5)(1)4xx f x f f x x ⎧<==⎨-≥⎩已知函数则_______________ 2．设函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则=))3((f f ______________（2）解方程1．2log ,11(),()1,12x x f x f x x x >⎧==⎨-≤⎩已知函数则的解为_________________2．已知⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ，若()10f x =，则x = .（3）解不等式1．21,0(),()1,0x f x f x x x x ⎧>⎪=>⎨⎪≤⎩已知函数则的解集为__________________2．2log ,0(),()023,0x x f x f x x x >⎧=>⎨+≤⎩已知函数则的解集为__________________（4）作图、求取值范围（最值）1．24-x ,0()2,012,0x f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩已知函数．（1）作()f x 的图象；（2）求2(1)f a +，((3))f f 的值；（3）当43x -≤＜，求()f x 的取值集合（5）应用题（列式、求最值）1．为方便旅客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出去的自行车就增加3辆，为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)， （1）求函数f(x)的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？4．函数的单调性（1）根据图像判断函数的单调性——单调递增：图像上升 单调递减：图像下降 1．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．ln(2)y x =+ B．y =．1()2xy = D ．1y x x=+2．下列函数中，在其定义域内为减函数的是（ ）A ．3y x =- B ．12y x = C ．2y x = D ．2log y x =（2）证明函数的单调性步骤——取值、作差12()()f x f x -、变形、定号、下结论 1．已知函数11()(0,0)f x a x a x=->>． (1)求证：()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数；(2)若()f x 在1[,2]2上的值域是1[,2]2，求a 的值．（3）利用函数的单调性求参数的范围1．2()2(1)2(2]f x x a x =+-+-∞在，上是减函数，则a 的范围是________2．若函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(,2,)2()(x x x a x f x 是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．)2,(-∞B ．]813,(-∞ C ．)2,0( D ．)2,813[3．讨论函数223f(x)x ax =-+在(2,2)-内的单调性（4）利用函数的单调性解不等式1．()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，且满足(32)(1)f x f -<，则实数x 的取值范围是（ ） A ． (,1)-∞ B ． 2(,1)3 C ．2(,)3+∞ D ． (1,)+∞ 2．2()[1,1](1)(1)f x f m f m m --<-若是定义在上的增函数，且，求的范围（5）奇偶性、单调性的综合1．奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有最小值7，则它在[-3,-1]上是____函数，有最___值___. 2．212()(11)()125ax b f x f x +=-=+函数是，上的奇函数，且． （1）确定()f x 的解析式；（2）用定义法证明()f x 在(1,1)-上递增；（3）解不等式(1)()0f t f t -+>．3．f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且()()()xf f x f y y=-（1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．5．函数的奇偶性（1）根据图像判断函数的奇偶性奇函数：关于原点对称；偶函数：关于y 轴对称 例：判断下列函数的奇偶性① y=x ³ ② y=|x|（2）根据定义判断函数的奇偶性一看定义域是否关于原点对称；二看()f x -与()f x 的关系1．设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ） A ．)()(x g x f +是偶函数 B ．)()(x g x f -是奇函数 C ．)()(x g x f +是偶函数 D ．)()(x g x f -是奇函数 2．已知函数()log (1)log (1)(01)a a f x x x a a =+-->≠且 （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明。
高一上期中数学考试函数经典难题汇编(含解析)必修一(培优)
必修一函数经典难题汇编一、选择题：1．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0）（x1≠x2），都有＜0．则下列结论正确的是（）A．f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25） B．f（log25）＜f（20.3）＜f（0.32）C．f（log25）＜f（0.32）＜f（20.3） D．f（0.32）＜f（log25）＜f（20.3）2．（5分）函数f（x）=2sin（2x+），g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），若对任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）=f（x2）成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．3．（5分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+4sin3x+1，x∈（﹣1，1），若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞2成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．（0，1） C．D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）4．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）5．（5分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．46．（5分）设函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x2﹣x+1，则f（1）=（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）已知函数f（x）=|log2x|，若0＜b＜a，且f（a）=f（b），则图象必定经过点（a，2b）的函数为（）A．y=B．y=2x C．y=2x D．y=x28．（4分）对于函数f（x），如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5x 的图象的交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．69．（5分）设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4﹣x），且对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，则满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣8 D．810．（5分）设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4﹣x），且对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，则满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣8 D．811．（5分）若函数f（x）=且满足对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）12．（5分）已知在（﹣∞，+∞）上满足，则b的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．[1，+∞）C．（﹣1，1）D．[0，1）13．（5分）设集合A={x|2x≤8}，B={x|x≤m2+m+1}，若A∪B=A，则实数m的取值范围为．（）A．[﹣2，1）B．[﹣2，1]C．[﹣2，﹣1）D．[﹣1，1）14．（5分）定义函数序列：，f2（x）=f（f1（x）），f3（x）=f （f2（x）），…，f n（x）=f（f n﹣1（x）），则函数y=f2017（x）的图象与曲线的交点坐标为（）A．B．C．D．15．（3分）关于x的方程（a＞0，且a≠1）解的个数是（）A．2 B．1 C．0 D．不确定的16．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，若方程f（x）=有4个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，1）B．（，1）C．（，1）D．（﹣1，）17．（5分）已知f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f（5）+f（7 ）+f（9）=（）A．0 B．4 C．8 D．1618．（5分）定义域是一切实数的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）实数一个“λ一半随函数”，有下列关于“λ一半随函数”的结论：①若f（x）为“1一半随函数”，则f（0）=f（2）；②存在a∈（1，+∞）使得f（x）=a x为一个“λ一半随函数；③“一半随函数”至少有一个零点；④f（x）=x2是一个“λ一班随函数”；其中正确的结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个19．（5分）如图，定义在[﹣2，2]的偶函数f（x）的图象如图所示，则方程f（f（x））=0的实根个数为（）A．3 B．4 C．5 D．720．（5分）已知函数f（x）=e x+2（x＜0）与g（x）=ln（x+a）+2的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e）B．（0，e） C．（e，+∞）D．（﹣∞，1）21．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f（x ﹣2）=f（﹣x），③在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象在区间[﹣3，3]上的交点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．822．（5分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．23．（5分）函数f（x）=ln，则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，+∞）上单调递减B．奇函数，且在（0，+∞）上单凋递增C．偶函数，且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数，且在（0，+∞）上单凋递增二、填空题：1．（5分）某投资公司准备在2016年年底将1000万元投资到某“低碳”项目上，据市场调研，该项目的年投资回报率为20%．该投资公司计划长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），若市场预期不变，大约在年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番．（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）2．（5分）在函数①y=2x；②y=2﹣2x；③f（x）=x+x﹣1；④f（x）=x﹣x﹣3中，存在零点且为奇函数的序号是．3．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是．4．（4分）已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x（1）当a=时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为；（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为．5．（4分）已知函数若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f （x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．6．（5分）下列命题中①若log a3＞log b3，则a＞b；②函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，+∞）的值域为[2，+∞）；③设g（x）是定义在区间[a，b]上的连续函数．若g（a）=g（b）＞0，则函数g（x）无零点；④函数既是奇函数又是减函数．其中正确的命题有．7．（5分）已知函数，若方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，则a的取值范围为．8．（5分）方程=ax+a由两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为．9．（5分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．10．（5分）定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点，则a的取值范围是．三、简答题：1．（12分）已知函数f（x）=lg（a＞0）为奇函数，函数g（x）=+b（b ∈R）．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）若b＞1，讨论方徎g（x）=ln|x|实数根的个数；（Ⅲ）当x∈[，]时，关于x的不等式f（1﹣x）≤lgg（x）有解，求b的取值范围．2．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若a＜0，b＞0，c=0，且f（x）在[0，2]上的最大值为，最小值为﹣2，试求a，b的值；（2）若c=1，0＜a＜1，且||≤2对任意x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．（用a来表示）3．（12分）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）若f（1）＜2，求实数a的取值范围；（2）设函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，讨论函数g（x）的零点个数．4．（12分）已知函数f（x）=．（1）求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，求函数f（x）的二阶不动点的个数．5．（12分）已知函数f（x）=ax2+4x﹣1．（1）当a=1时，对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，试比较f（）与的大小；（2）对于给定的正实数a，有一个最小的负数g（a），使得x∈[g（a），0]时，﹣3≤f（x）≤3都成立，则当a为何值时，g（a）最小，并求出g（a）的最小值．6．（12分）已知函数f（x）=x+﹣1（x≠0），k∈R．（1）当k=3时，试判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明；（2）若对任意x∈R，不等式f（2x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（3）当k∈R时，试讨论f（x）的零点个数．7．（12分）已知函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，函数g （x）是h（x）=e x的反函数．（1）求函数g（f（x））的单调区间；（2）求证：函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h （x0）﹣1（参考数据：e=2.71828…，ln2≈0.693）．8．（10分）已知函数f（x）=3x，g（x）=|x+a|﹣3，其中a∈R．（Ⅰ）若函数h（x）=f[g（x）]的图象关于直线x=2对称，求a的值；（Ⅱ）给出函数y=g[f（x）]的零点个数，并说明理由．9．（10分）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g （x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）．（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f （x）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．10．（10分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf （x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．11．（10分）已知函数f（x），定义（Ⅰ）写出函数F（2x﹣1）的解析式；（Ⅱ）若F（|x﹣a|）+F（2x﹣1）=0，求实数a的值；（Ⅲ）当时，求h（x）=cosx•F（x+sinx）的零点个数和值域．12．（12分）已知函数f（x）=x2+2bx+c，且f（1）=f（3）=﹣1．设a＞0，将函数f（x）的图象先向右平移a个单位长度，再向下平移a2个单位长度，得到函数g（x）的图象．（Ⅰ）若函数g（x）有两个零点x1，x2，且x1＜4＜x2，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设连续函数在区间[m，n]上的值域为[λ，μ]，若有，则称该函数为“陡峭函数”．若函数g（x）在区间[a，2a]上为“陡峭函数”，求实数a的取值范围．13．（12分）已知函数是奇函数，f（x）=lg（10x+1）+bx是偶函数．（1）求a+b的值．（2）若对任意的t∈[0，+∞），不等式g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．（3）设，若存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞h[lg（10a+9）]成立，求实数a的取值范围．14．（12分）已知指数函数y=g（x）满足g（3）=8，又定义域为实数集R的函数f（x）=是奇函数．（1）讨论函数y=f（x）的单调性；（2）若对任意的t∈R，不等式f（2t﹣3t2）+f（t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．15．（12分）已知f（x）=3x+m•3﹣x为奇函数．（1）求函数g（x）=f（x）﹣的零点；（2）若对任意t∈R的都有f（t2+a2﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，求实数a的取值范围．16．（8分）阅读下面材料，尝试类比探究函数y=x2﹣的图象，写出图象特征，并根据你得到的结论，尝试猜测作出函数对应的图象．阅读材料：我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．我们来看一个应用函数的特征研究对应图象形状的例子．对于函数y=，我们可以通过表达式来研究它的图象和性质，如：（1）在函数y=中，由x≠0，可以推测出，对应的图象不经过y轴，即图象与y轴不相交；由y≠0，可以推测出，对应的图象不经过x轴，即图象与x轴不相交．（2）在函数y=中，当x＞0时y＞0；当x＜0时y＜0，可以推测出，对应的图象只能在第一、三象限；（3）在函数y=中，若x∈（0，+∞）则y＞0，且当x逐渐增大时y逐渐减小，可以推测出，对应的图象越向右越靠近x轴；若x∈（﹣∞，0），则y＜0，且当x逐渐减小时y逐渐增大，可以推测出，对应的图象越向左越靠近x轴；（4）由函数y=可知f（﹣x）=﹣f（x），即y=是奇函数，可以推测出，对应的图象关于原点对称．结合以上性质，逐步才想出函数y=对应的图象，如图所示，在这样的研究中，我们既用到了从特殊到一般的思想，由用到了分类讨论的思想，既进行了静态（特殊点）的研究，又进行了动态（趋势性）的思考．让我们享受数学研究的过程，传播研究数学的成果．17．（10分）函数f（x）=log a（a x+1）+mx是偶函数．（1）求m；（2）当a＞1时，若函数f（x）的图象与直线l：y=﹣mx+n无公共点，求n的取值范围．18．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（1）求a，b的值；（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明；（3）是否存在实数t，使不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切x∈[1，2]恒成立？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知函数．任取t∈R，若函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），记g（t）=M（t）﹣m（t）．（1）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；（2）当t∈[﹣2，0]时，求函数g（t）的解析式；（3）设函数h（x）=2|x﹣k|，H（x）=x|x﹣k|+2k﹣8，其中实数k为参数，且满足关于t的不等式有解，若对任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立，求实数k的取值范围．参考答案与解析一、选择题：1．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0）（x1≠x2），都有＜0．则下列结论正确的是（）A．f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25） B．f（log25）＜f（20.3）＜f（0.32）C．f（log25）＜f（0.32）＜f（20.3） D．f（0.32）＜f（log25）＜f（20.3）【解答】解：∵对任意x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2，都有＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，又∵f（x）是R上的偶函数，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，∵0.32＜20.3＜log25∴f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25）．故选：A．2．（5分）函数f（x）=2sin（2x+），g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），若对任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）=f（x2）成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：当x∈[0，]时，2x+∈[，]，sin（2x+）∈[，1]，f（x）=2sin（2x+）∈[1，2]，同理可得2x﹣∈[﹣，]，cos（2x﹣）∈[，1]，g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3∈[﹣+3，﹣m+3]，对任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）=f（x2）成立，∴，求得1≤m≤，故选：D．3．（5分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+4sin3x+1，x∈（﹣1，1），若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞2成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．（0，1） C．D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【解答】解：令g（x）=f（x）﹣1=e x﹣e﹣x+4sin3x，则g（﹣x）=﹣g（x），即g（x）为奇函数，若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞2成立，即g（1﹣a）+g（1﹣a2）＞0成立，即g（1﹣a）＞﹣g（1﹣a2）=g（a2﹣1），∵g′（x）=e x+e﹣x+12sin2xcosx≥0在x∈（﹣1，1）时恒成立，故g（x）在（﹣1，1）上为增函数，故﹣1＜a2﹣1＜1﹣a＜1，解得：a∈（0，1），故选：B．4．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）【解答】解：由题意，存在x＜0，使f（x）﹣g（﹣x）=0，即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，令m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a），则m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在其定义域上是增函数，且x→﹣∞时，m（x）＜0，若a≤0时，x→a时，m（x）＞0，故e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，若a＞0时，则e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化为e0﹣﹣ln（a）＞0，即lna＜，故0＜a＜．综上所述，a∈（﹣∞，）．故选：C5．（5分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．4【解答】解：由题意①2x2+2log2（x2﹣1）=5 ②所以，x1=log2（5﹣2x1）即2x1=2log2（5﹣2x1）令2x1=7﹣2t，代入上式得7﹣2t=2log2（2t﹣2）=2+2log2（t﹣1）∴5﹣2t=2log2（t﹣1）与②式比较得t=x2于是2x1=7﹣2x2即x1+x2=故选C6．（5分）设函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x2﹣x+1，则f（1）=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据条件，f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x）；∴由f（x）﹣g（x）=x2﹣x+1①得，f（﹣x）﹣g（﹣x）=x2+x+1=f（x）+g（x）；即f（x）+g（x）=x2+x+1②；①+②得，2f（x）=2（x2+1）；∴f（x）=x2+1；∴f（1）=2．7．（5分）已知函数f（x）=|log2x|，若0＜b＜a，且f（a）=f（b），则图象必定经过点（a，2b）的函数为（）A．y=B．y=2x C．y=2x D．y=x2【解答】解：函数f（x）=|log2x|的图象如下图所示：若0＜b＜a，且f（a）=f（b），则b＜1＜a，且log2b=﹣log2a，即ab=1，故图象必定经过点（a，2b）的函数为y=，故选：A．8．（4分）对于函数f（x），如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5x 的图象的交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的周期性函数，又x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2．根据函数的周期性画出图形，如图，由图可得y=f（x）与y=log5x的图象有4个交点9．（5分）设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4﹣x），且对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，则满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣8 D．8【解答】解：∵对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，∴f（x）在（2，+∞）上递增，又∵f（x）=f（4﹣x），∴f（2﹣x）=f（2+x），即函数关于x=2对称，∵f（2﹣x）=f（），∴2﹣x=，或2﹣x+=4，∴x2+5x+3=0或x2+3x﹣3=0，∴满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为﹣8，故选C．10．（5分）设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4﹣x），且对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，则满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣8 D．8【解答】解：∵对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，∴f（x）在（2，+∞）上递增，又∵f（x）=f（4﹣x），∴f（2﹣x）=f（2+x），即函数关于x=2对称，∵f（2﹣x）=f（），∴2﹣x=，或2﹣x+=4，∴x2+5x+3=0或x2+3x﹣3=0，∴满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为﹣8，故选C．11．（5分）若函数f（x）=且满足对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）【解答】解：∵对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，∴函数f（x）=在R上单调递增，∴，解得：a∈[4，8），故选：D12．（5分）已知在（﹣∞，+∞）上满足，则b的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．[1，+∞）C．（﹣1，1）D．[0，1）【解答】解：由题意，在（﹣∞，+∞）上单调递增，∴，∴2≤a＜3，0≤b＜1，故选D．13．（5分）设集合A={x|2x≤8}，B={x|x≤m2+m+1}，若A∪B=A，则实数m的取值范围为．（）A．[﹣2，1）B．[﹣2，1]C．[﹣2，﹣1）D．[﹣1，1）【解答】解：集合A={x|2x≤8}={x|x≤3}，因为A∪B=A，所以B⊆A，所以m2+m+1≤3，解得﹣2≤m≤1，即m∈[﹣2，1]．故选：B．14．（5分）定义函数序列：，f2（x）=f（f1（x）），f3（x）=f （f2（x）），…，f n（x）=f（f n﹣1（x）），则函数y=f2017（x）的图象与曲线的交点坐标为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意f1（x）=f（x）=．f2（x）=f（f1（x））==，f3（x）=f（f2（x））==，…f n（x）=f（f n﹣1（x））=，∴f2017（x）=，由得：，或，由中x≠1得：函数y=f2017（x）的图象与曲线的交点坐标为，故选：A15．（3分）关于x的方程（a＞0，且a≠1）解的个数是（）A．2 B．1 C．0 D．不确定的【解答】解：由题意a x=﹣x2+2x+a，﹣x2+2x+a＞0．令f（x）=a x，g（x）=﹣x2+2x+a，（1）当a＞1时，f（x）=a x在（﹣∞，+∞）上单调递增，且f（0）=1，f（1）=a，g（x）=﹣x2+2x+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，在[0，1]上，f（x）＜g（x），∵g（x）在x＜0及x＞1时分别有一个零点，而f（x）恒大于零，∴f（x）与g（x）的图象在x＜0及x＞1时分别有一个交点，∴方程有两个解；（2）当a＜1时，f（x）=a x在（﹣∞，+∞）上单调递减，且f（0）=1，f（1）=a，g（x）=﹣x2+2x+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，f（0）＞g（0），f（1）＜g（1），∴在（0，1）上f（x）与g（x）有一个交点，又g（x）在x＞1时有一个零点，而f（x）恒大于零，∴f（x）与g（x）的图象在x＞1时还有一个交点，∴方程有两个解．综上所述，方程有两个解．故选：A．16．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，若方程f（x）=有4个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，1）B．（，1）C．（，1）D．（﹣1，）【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∵当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，∴f（﹣x）=|﹣x﹣1|=|x+1|，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=|x+1|，则f（x）=，即，由f（x）=得，f2（x）=x+a，画出函数y=x+a与y=f2（x）的图象，如图所示：由图知，当直线y=x+a过点A时有三个交点，且A（1，1），此时a=1，当直线y=x+a相切与点P时有三个交点，由图知，y=f2（x）=（x+1）2=x2+2x+1，则y′=2x+2，令y′=2x+2=1得x=，则y=，此时切点P（，），代入y=x+a得a=，∵方程f（x）=有4个不相等的实根，∴函数y=x+a与y=f2（x）的图象有四个不同的交点，由图可得，实数a的取值范围是（，1），故选B．17．（5分）已知f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f（5）+f（7 ）+f（9）=（）A．0 B．4 C．8 D．16【解答】解：∵f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）=ln9﹣ln7+1，f（﹣5 ）=ln7﹣ln5+1，f（﹣3）=ln5﹣ln3+1，f（﹣1）=ln3+1，f（3 ）=﹣ln3+1，f（5）=ln3﹣ln5+1，f（7 ）=ln5﹣ln7+1，f（9）=ln7﹣ln9+1，则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f（5）+f（7 ）+f（9）=8，故选：C．18．（5分）定义域是一切实数的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）实数一个“λ一半随函数”，有下列关于“λ一半随函数”的结论：①若f（x）为“1一半随函数”，则f（0）=f（2）；②存在a∈（1，+∞）使得f（x）=a x为一个“λ一半随函数；③“一半随函数”至少有一个零点；④f（x）=x2是一个“λ一班随函数”；其中正确的结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①、若f（x）为“1一半随函数”，则f（x+1）+f（x）=0，可得f（x+1）=﹣f（x），可得f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），因此x=0，可得f（0）=f（2）；故①正确；②、假设f（x）=a x是一个“λ一半随函数”，则a x+λ+λa x=0对任意实数x成立，则有aλ+λ=0，而此式有解，所以f（x）=a x是“λ一半随函数”，故②正确．③、令x=0，得f（）+f（0）=0．所以f（）=﹣f（0），若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（）•f（0）=﹣（f （0））2＜0，又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，）上必有实数根，因此任意的“﹣一半随函数”必有根，即任意“﹣一半随函数”至少有一个零点．故③正确．④、假设f（x）=x2是一个“λ一半随函数”，则（x+λ）2+λx2=0，即（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式无解，所以f（x）=x2不是一个“λ﹣同伴函数”．故④错误正确判断：①②③．故选：C．19．（5分）如图，定义在[﹣2，2]的偶函数f（x）的图象如图所示，则方程f（f（x））=0的实根个数为（）A．3 B．4 C．5 D．7【解答】解：定义在[﹣2，2]的偶函数f（x）的图象如图：函数是偶函数，函数的值域为：f（x）∈[﹣2，1]，函数的零点为：x1，0，x2，x1∈（﹣2，﹣1），x2∈（1，2），令t=f（x），则f（f（x））=0，即f（t）=0可得，t=x1，0，x2，f（x）=x1∈（﹣2，﹣1）时，存在f[f（x1）]=0，此时方程的根有2个．x2∈（1，2）时，不存在f[f（x2）]=0，方根程没有根．f[f（0）]=f（0）=f（x1）=f（x2）=0，有3个．所以方程f（f（x））=0的实根个数为：5个．故选：C．20．（5分）已知函数f（x）=e x+2（x＜0）与g（x）=ln（x+a）+2的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e）B．（0，e） C．（e，+∞）D．（﹣∞，1）【解答】解：由题意知，方程f（﹣x）﹣g（x）=0在（0，+∞）上有解，即e﹣x﹣ln（x+a）=0在（0，+∞）上有解，即函数y=e﹣x与y=ln（x+a）在（0，+∞）上有交点，则lna＜1，即0＜a＜e，则a的取值范围是：（0，e）．故选：B．21．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f（x ﹣2）=f（﹣x），③在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象在区间[﹣3，3]上的交点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由f（x）+f（2﹣x）=0，可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称．由f（x﹣2）=f（﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x=﹣1对称．又在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，可得图象：进而得到在区间[﹣3，3]上的图象．画出函数g（x）=在区间[﹣3，3]上的图象，其交点个数为6个．故选：B．22．（5分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A． B．C．D．【解答】解：依题意f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减，当x=±2时，函数取得极大值；当x=0时，取得极小值0．要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R 有且只有6个不同实数根，设t=f（x），则则有两种情况符合题意：（1），且，此时﹣a=t1+t2，则；（2）t1∈（0，1]，，此时同理可得，综上可得a的范围是．故选答案C．23．（5分）函数f（x）=ln，则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，+∞）上单调递减B．奇函数，且在（0，+∞）上单凋递增C．偶函数，且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数，且在（0，+∞）上单凋递增【解答】解：由x（e x﹣e﹣x）＞0，得f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），而f（﹣x）=ln=ln=f（x），∴f（x）是偶函数，x＞0时，y=x（e x﹣e﹣x）递增，故f（x）在（0，+∞）递增，故选：D．二、填空题：1．（5分）某投资公司准备在2016年年底将1000万元投资到某“低碳”项目上，据市场调研，该项目的年投资回报率为20%．该投资公司计划长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），若市场预期不变，大约在2020年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番．（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）【解答】解：假设n年后总资产可以翻一番，依题意得：a×（1+20%）n=2a，即1.2n=2，两边同时取对数得，n=≈3.8所以大约经过4年，即在2020年底总资产可以翻一番．2．（5分）在函数①y=2x；②y=2﹣2x；③f（x）=x+x﹣1；④f（x）=x﹣x﹣3中，存在零点且为奇函数的序号是④．【解答】解：函数①y=2x不存在零点且为非奇非偶函数，故不满足条件；函数②y=2﹣2x存在零点1，但为非奇非偶函数，故不满足条件；函数③f（x）=x+x﹣1不存在零点，为奇函数，故不满足条件；函数④f（x）=x﹣x﹣3存在零点1且为奇函数，故满足条件；故答案为：④．3．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是[1，2] ．【解答】解：当﹣1≤x≤k时，函数f（x）=log2（1﹣x）+1为减函数，且在区间左端点处有f（﹣1）=2，令f（x）=0，解得x=，令f（x）=x|x﹣1|=2，解得x=2，∵f（x）的值域为[0，2]，∴k≤，当k≤x≤a时，f（x）=x|x﹣1|=，∴f（x）在[k，]，[1，a]上单调递增，在[，1]上单调递减，从而当x=1时，函数有最小值，即为f（1）=0函数在右端点的函数值为f（2）=2，∵f（x）的值域为[0，2]，∴1≤a≤2故答案为：[1，2]4．（4分）已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x（1）当a=时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为（2，+∞）；（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为[，1）．【解答】解：（1）a=时，f（x）=|x﹣1|+x=，∵f（x）＞1，∴，解得x＞2，故x的取值范围为（2，+∞），（2）函数f（x）的图象与x轴没有交点，①当a≥1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，②当0＜a＜1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：要使两个图象无交点，斜率满足：a﹣1≥﹣a，∴a≥，故≤≤a＜1③当a≤0时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，综上①②③知：≤a＜1故答案为：（2，+∞），[，1）5．（4分）已知函数若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f （x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．【解答】解：当x≥0时，2x﹣1≥0，当x＜0时，若a=0，则f（x）=2恒成立，满足条件；若a＞0，则f（x）＜2﹣3a，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则2﹣3a＞0，即a∈（0，）；若a＞0，则f（x）＜2﹣3a，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则2﹣3a＞0，即a∈（0，）；若a＜0，则f（x）＞2﹣3a，满足条件，综上可得：a∈（﹣∞，）；故答案为：（﹣∞，）6．（5分）下列命题中①若log a3＞log b3，则a＞b；②函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，+∞）的值域为[2，+∞）；③设g（x）是定义在区间[a，b]上的连续函数．若g（a）=g（b）＞0，则函数g（x）无零点；④函数既是奇函数又是减函数．其中正确的命题有②④．【解答】解：若log a3＞log b3＞0，则a＜b，故①错误；函数f（x）=x2﹣2x+3的图象开口朝上，且以直线x=1为对称轴，当x=1时，函数取最小值2，无最大值，故函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，+∞）的值域为[2，+∞）；故②正确；g（x）是定义在区间[a，b]上的连续函数．若g（a）=g（b）＞0，则函数g（x）可能存在零点；故③错误；数满足h（﹣x）=﹣h（x），故h（x）为奇函数，又由=﹣e x＜0恒成立，故h（x）为减函数故④正确；故答案为：②④．7．（5分）已知函数，若方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，则a的取值范围为0＜a＜1．【解答】解：∵函数，∴作出函数f（x）的图象如右图所示，∵方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，则函数y=f（x）的图象与y=a的图象有三个不同的交点，根据图象可知，a的取值范围为0＜a＜1．故答案为：0＜a＜1．8．（5分）方程=ax+a由两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为[0，）．【解答】解：设f（x）=，如图所示，表示以（2，0）为圆心，1为半径的半圆，由圆心（2，0）到y=ax+a的距离=1，可得a=，∵方程=ax+a有两个不相等的实数根，∴实数a的取值范围为[0，）．故答案为[0，）．9．（5分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣m=0，得m=f（x）作出y=f（x）与y=m的图象，要使函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则y=f（x）与y=m的图象有3个不同的交点，所以0＜m＜1，故答案为：（0，1）．10．（5分）定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点，则a的取值范围是[2，+∞）．【解答】解：①令x=y=0，则f（0）=2f（0），则f（0）=0；再令y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=0，且f（x）定义域为R，关于原点对称．∴f（x）是奇函数．②F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点．∴f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）=0在（0，π）上有解；∴f（asinx）=﹣f（sinx+cos2x﹣3）=f（﹣sinx﹣cos2x+3）在（0，π）上有解；又∵函数f（x）是R上的单调函数，∴asinx=﹣sinx﹣cos2x+3在（0，π）上有解．∵x∈（0，π），∴sinx≠0；∴a==sinx+﹣1；令t=sinx，t∈（0，1]；则a=t+﹣1；∵y=t+，＜0，因此函数y在（0，1]上单调递减，∴a≥2．故答案为：[2，+∞）．三、简答题：1．（12分）已知函数f（x）=lg（a＞0）为奇函数，函数g（x）=+b（b ∈R）．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）若b＞1，讨论方徎g（x）=ln|x|实数根的个数；（Ⅲ）当x∈[，]时，关于x的不等式f（1﹣x）≤lgg（x）有解，求b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由为奇函数得：f（﹣x）+f（x）=0，即，（2分）所以，解得a=1，（4分）（Ⅱ）当b＞1时，设，则h（x）是偶函数且在（0，+∞）上递减又所以h（x）在（0，+∞）上有惟一的零点，方徎g（x）=ln|x|有2个实数根．…（8分）（Ⅲ）不等式f（1﹣x）≤lgg（x）等价于，即在有解，故只需，（10分）因为，所以，函数，所以，所以b≥﹣13，所以b的取值范围是[﹣13，+∞）．（12分）2．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若a＜0，b＞0，c=0，且f（x）在[0，2]上的最大值为，最小值为﹣2，试求a，b的值；（2）若c=1，0＜a＜1，且||≤2对任意x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．（用a来表示）【解答】（1）抛物线的对称轴为，①当时，即b＞﹣4a时，当时，，f（x）min=f（2）=4a+2b+c=﹣2，∴，∴a=﹣2，b=3．②当时，即b≥﹣4a时，f（x）在[0，2]上为增函数，f（x）min=f（0）=0与f（x）min=﹣2矛盾，无解，综合得：a=﹣2，b=3．（2）对任意x∈[1，2]恒成立，即对任意x∈[1，2]恒成立，即对任意x∈[1，2]恒成立，令，则，∵0＜a＜1，∴，（ⅰ）若，即时，g（x）在[1，2]单调递减，此时，即，得，此时，∴∴．（ⅱ）若，即时，g（x）在单调递减，在单调递增，此时，，只要，当时，，当时，，．综上得：①时，；②时，；③时，．3．（12分）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）若f（1）＜2，求实数a的取值范围；（2）设函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，讨论函数g（x）的零点个数．【解答】解：（1）若f（1）＜2，则log2（1+a）＜2，即0＜1+a＜4，解得：a∈（﹣1，3）；（2）令函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0，则f（x）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即+a=（a﹣4）x+2a﹣5，即（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，①当a=4时，方程可化为：﹣x﹣1=0，解得：x=﹣1，此时+a=（a﹣4）x+2a﹣5=3，满足条件，即a=4时函数g（x）有一个零点；②当（a﹣5）2+4（a﹣4）=0时，a=3，方程可化为：﹣x2﹣2x﹣1=0，解得：x=﹣1，此时+a=（a﹣4）x+2a﹣5=2，满足条件，即a=3时函数g（x）有一个零点；③当（a﹣5）2+4（a﹣4）＞0时，a≠3，方程有两个根，x=﹣1，或x=，当x=﹣1时，+a=（a﹣4）x+2a﹣5=a﹣1，当a＞1时，满足条件，当x=时，+a=（a﹣4）x+2a﹣5=2a﹣4，当a＞2时，满足条件，综上可得：1＜a≤2时，函数g（x）有一个零点；a＞2且a≠3且a≠4时函数g（x）有两个零点；4．（12分）已知函数f（x）=．（1）求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，求函数f（x）的二阶不动点的个数．【解答】解：（1）∵f（x）=．∴f（））=ln=，∴f（f（））=f（）=2﹣2×=1；（2）函数f（x）=．x∈[0，），f（x）=2﹣2x∈（1，2]，x∈[，1），f（x）=2﹣2x∈（0，1]，x∈[1，e]，f（x）=lnx∈（0，1），∴f（f（x））=，若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，所以：x0∈[0，），ln（2﹣2x0）=x0，由y=ln（2﹣x0），y=x0，图象可知：存在满足题意的不动点．x0∈[，1），﹣2+4x0=x0，解得x0=，满足f（）=．不是f（x）的二阶不动点．x0∈[1，e]，2﹣2lnx0=x0，即2﹣x0=2lnx0，由y=2﹣x0，y=2lnx0，图象可知：存在满足题意的不动点．函数f（x）的二阶不动点的个数为：2个．5．（12分）已知函数f（x）=ax2+4x﹣1．（1）当a=1时，对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，试比较f（）与的大小；（2）对于给定的正实数a，有一个最小的负数g（a），使得x∈[g（a），0]时，﹣3≤f（x）≤3都成立，则当a为何值时，g（a）最小，并求出g（a）的最小值．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=x2+4x﹣1，f（）=+2（x1+x2）﹣1=++x1x2+2（x1+x2）﹣1，==++2（x1+x2）﹣1；故f（）﹣=﹣﹣+x1x2=﹣≤0；（2）∵f（x）=ax2+4x﹣1=a（x+）2﹣1﹣，显然f（0）=﹣1，对称轴x=﹣＜0．①当﹣1﹣＜﹣3，即0＜a＜2时，g（a）∈（﹣，0），且f[g（a）]=﹣3．令ax2+4x﹣1=﹣3，解得x=，此时g（a）取较大的根，即g（a）==，∵0＜a＜2，∴g（a）＞﹣1．②当﹣1﹣≥﹣3，即a≥2时，g（a）＜﹣，且f[g（a）]=3．令ax2+4x﹣1=3，解得x=，此时g（a）取较小的根，即g（a）==，∵a≥2，∴g（a）=≥﹣3．当且仅当a=2时，取等号．∵﹣3＜﹣1∴当a=2时，g（a）取得最小值﹣3．6．（12分）已知函数f（x）=x+﹣1（x≠0），k∈R．（1）当k=3时，试判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明；（2）若对任意x∈R，不等式f（2x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（3）当k∈R时，试讨论f（x）的零点个数．【解答】解：（1）当k=3，x∈（﹣∞，0）时，f（x）=x﹣，＞0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增．证明：在（﹣∞，0）上任取x1，x2，令x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（）=（x1﹣x2）（1+），∵x1，x2∈（﹣∞，0），x1＜x2，∴，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增．（2）设2x=t，则t＞0，f（t）=t+，①当k＞0时，f′（t）=1﹣，t=时，f′（t）=0，且f（t）取最小值，f（）==2﹣1，当k时，f（）=2﹣1＞0，当0＜k≤时，f（）=2﹣1≤0，∴k＞时，f（2x）＞0成立；0＜k≤时，f（2x）＞0不成立．②当k=0时，f（t）=t﹣1，∵t∈（0，+∞），不满足f（t）恒大于0，∴舍去．③当k＜0时，f恒大于0，∵，且f（x）在（0，+∞）内连续，∴不满足f（t）＞0恒成立．综上，k的取值范围是（，+∞）．（3）由f（x）=x+﹣1=0，（x≠0），k∈R．得x+﹣1=0，∴k=|x|•（1﹣x），x≠0，当x＞0时，k=x（1﹣x），当x＜0时，k=﹣x（1﹣x），∴结合图象得：当k＞或k≤0时，f（x）有1个零点；当k=时，f（x）有2个零点；当0＜k＜时，f（x）有3个零点．7．（12分）已知函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，函数g （x）是h（x）=e x的反函数．（1）求函数g（f（x））的单调区间；（2）求证：函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h （x0）﹣1（参考数据：e=2.71828…，ln2≈0.693）．【解答】解：（1）函数g（x）是h（x）=e x的反函数，可得g（x）=lnx；函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，只能是f（﹣1）=8或f（2）=8，即有1﹣a=8或4+2a=8，解得a=2（﹣7舍去），函数g（f（x））=ln（x2+2x），由x2+2x＞0，可得x＞0或x＜﹣2．由复合函数的单调性，可得函数g（f（x））的单调增区间为（0，+∞）；单调减区间为（﹣∞，﹣2）；（2）证明：由（1）得：f（x）=x2+2x，即φ（x）=f（x）h（x）﹣，（x＞0），设0＜x1＜x2，则x1﹣x2＜0，x1x2＞0，∴＜0，∵f（x）在（0，+∞）递增且f（x）＞0，∴f（x2）＞f（x1）＞0，∵＞＞0，∴f（x1）＜f（x2），∴φ（x1）﹣φ（x2）=f（x1）﹣f（x2）+＜0，即φ（x1）＜φ（x2），∴φ（x）在（0，+∞）递增；∵φ（）=﹣2＞﹣2=0，φ（）=﹣e＜﹣e＜0，即φ（）φ（）＜0，∴函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有1个零点x0，且x0∈（，），∴（+2x0）﹣=0，即=，∴h（x0）﹣g（x0）=﹣lnx0=﹣lnx0，∵y=﹣lnx在（0，）上是减函数，∴﹣lnx0＞﹣ln=+ln2＞+0.6=1，即g（x0）＜h（x0）﹣1，综上，函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h（x0）﹣1．8．（10分）已知函数f（x）=3x，g（x）=|x+a|﹣3，其中a∈R．（Ⅰ）若函数h（x）=f[g（x）]的图象关于直线x=2对称，求a的值；（Ⅱ）给出函数y=g[f（x）]的零点个数，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）函数h（x）=f[g（x）]=3|x+a|﹣3的图象关于直线x=2对称，则h（4﹣x）=h（x）⇒|x+a|=|4﹣x+a|恒成立⇒a=﹣2；（Ⅱ）函数y=g[f（x）]=|3x+a|﹣3的零点个数，就是函数G（x）=|3x+a|与y=3的交点，①当0≤a＜3时，G（x）=|3x+a|=3x+a与y=3的交点只有一个，即函数y=g[f（x）]的零点个数为1个（如图1）；②当a≥3时，G（x）=|3x+a|=3x+a与y=3没有交点，即函数y=g[f（x）]的零点个数为0个（如图1）；③﹣3≤a＜0时，G（x）=|3x+a|与y=3的交点只有1个（如图2）；④当a＜﹣3时，G（x）=|3x+a|与y=3的交点有2个（如图2）；9．（10分）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g （x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）．（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f （x）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），可得a﹣b+c=0，又a=1，b=2，则f（x）=x2+2x+1，由新定义可得g（x）=x为函数f（x）的一个承托函数；（2）假设存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数的一个承托函数．即有x≤ax2+bx+c≤x2+恒成立，令x=1可得1≤a+b+c≤1，即为a+b+c=1，即1﹣b=a+c，又ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b﹣1）2﹣4ac≤0，即为（a+c）2﹣4ac≤0，即有a=c；又（a﹣）x2+bx+c﹣≤0恒成立，可得a＜，且b2﹣4（a﹣）（c﹣）≤0，即有（1﹣2a）2﹣4（a﹣）2≤0恒成立．故存在常数a，b，c，且0＜a=c＜，b=1﹣2a，可取a=c=，b=．满足题意．10．（10分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf （x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．【解答】解：（I）①对于函数f（x）=x是Ω函数，假设存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），则T（x+T）=x，取x=0时，则T=0，与T≠0矛盾，因此假设不成立，即函数f（x）=x不是Ω函数．②对于g（x）=sinπx是Ω函数，令T=﹣1，则sin（πx﹣π）=﹣sin（π﹣πx）=﹣sinπx．即﹣sin（π（x﹣1））=sinπx．∴Tsin（πx+πT）=sinπx成立，即函数f（x）=sinπx对任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．（II）（i）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化为：f（x+T）=f（﹣x+T），令x﹣T=t，则x=T+t，∴f（2T+t）=f（﹣t）=f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．（ii）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf （﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣Tf（x+T）=Tf（﹣x+T），T≠0，化为：﹣f（x+T）=f（﹣x+T），令x﹣T=t，则x=T+t，∴﹣f（2T+t）=f（﹣t）=﹣f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．（III）证明：当a＞1时，假设函数f（x）=a x是Ω函数，则存在非零常数T，Tf （x+T）=f（x），∴Ta x+T=a x，化为：Ta T a x=a x，∵a x＞0，∴Ta T=1，即a T=，此方程有非0 的实数根，因此T≠0且存在，∴当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．11．（10分）已知函数f（x），定义（Ⅰ）写出函数F（2x﹣1）的解析式；（Ⅱ）若F（|x﹣a|）+F（2x﹣1）=0，求实数a的值；（Ⅲ）当时，求h（x）=cosx•F（x+sinx）的零点个数和值域．【解答】解：（Ⅰ）定义，当2x﹣1＞x，可得x＞1，则F（2x﹣1）=1；当2x﹣1=x，可得x=1，则F（2x﹣1）=0；。
高中数学(高一至高三)知识点汇总
高中数学第一部分必备知识点第二部分学习难点必修1知识点重难点高考考点第一章：集合与函数1.1.1、集合1.1.2、集合间的基本关系1.1.3、集合间的基本运算1.2.1、函数的概念1.2.2、函数的表示法1.3.1、单调性与最大（小）值1.3.2、奇偶性重点：1、集合的交、并、补等运算。
2、函数定义域的求法3、函数性质难点：函数的性质1、集合的交、并、补等运算。
2、集合间的基本关系3、函数的概念、三要素及表示方法4、分段函数5、奇偶性、单调性和周期性第二章：基本初等函数（Ⅰ）2.1.1、指数与指数幂的运算2.1.2、指数函数及其性质2.2.1、对数与对数运算2..2.2、对数函数及其性质2.3、幂函数重点：1、指数函数的图像与性质2、对数函数的图像与性质3、特殊的幂函数的图像与性质4、指数、对数的运算难点：1、指数函数与对数函数相结合2、指数对数与不等式、导数、三角函数等结合1、指数函数的图像与性质2、对数函数的图像与性质3、特殊的幂函数的图像与性质4、指数、对数的运算5、数值大小的比较6、习惯与不等式、导数、三角函数等结合，难度较大第三章：函数的应用3.1.1、方程的根与函数的零点3.1.2、用二分法求方程的近似解3.2.1、几类不同增长的函数模型3.2.2、函数模型的应用举例重点：1、零点的概念2、二分法求方程近似解的方法难点：1、函数模型2、函数零点与导数，含有字母的参数相结合1、零点的概念2、二分法必修2知识点重难点高考考点第一章：空间几何体1、空间几何体的结构2、空间几何体的三视图和直观图3、空间几何体的表面积与体积重点：1、认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征2、几何体的三视图和直观图3、会利用公式求一些简单几何体的表面积和体积难点：空间想象能力1、几何体的三视图和直观图2、空间几何体的表面积与体积第二章：点、直线、平面之间的位置关系（重点）1、空间点、直线、平面之间的位置关系2、直线、平面平行的判定及其性质3、直线、平面垂直的判定及其性质重点：1、线面平行、面面平行的有关性质和判定定理2、证明线面垂直3、点到平面的距离难点：1、线面垂直2、点到平面的距离1、以选择填空的形式考查线与面、面与面的平行关系，考查线面位置的关系2、以解答的形式考查线与面、面与面的位置3、证明线面垂直4、点到平面的距离第三章：直线与方程1、直线的倾斜角与斜率2、直线方程3、直线的交点坐标与距离公式重点：1、初步建立代数方法解决几何问题的观念2、正确将几何条件与代数表示进行转化3、掌握直线方程并会用于定理地研究点与直线、直线与直线的位置关系。
高中数学必修一函数大题(含详细解答)
高中函数大题专练１、已知关于x 的不等式2(4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈。
⑴试求不等式的解集A ；⑵对于不等式的解集A ，若满足A Z B =I （其中Z 为整数集）。
试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由。
２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。
① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。
已知函数2()g x x =与()21xh x a =⋅-是定义在[0,1]上的函数。
（1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值；（3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()xg h x m -+=()m R ∈解的个数情况。
3.已知函数||212)(x x x f -=. （1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x⎧-⎪=⎨⎪⎩0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像.（3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围.（4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件.5．已知函数()(0)||bf x a x x =-≠。
（1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围；（2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是[,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。
高一函数经典难题讲解
高一函数经典难题讲解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1.已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),x∈R且x≠a,当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时,求f(x)值解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),所以，f(x)= -1+1/(a-x),当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时x∈[a-1,a-1/2](a-x)∈[1/2,1]1/(a-x)∈[1,2]f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1]2.设a为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时,求函数的单调区间(2)讨论函数y=f(x)的零点个数解析：(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2当x<2时，f(x)=-x^2+2x-2，为开口向下抛物线，对称轴为x=1当x>=2时，f(x)=x^2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1∴当x∈(-∞,1)时，f(x)单调增；当x∈[1,2]时，f(x)单调减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调增；(2).f(x)=x|x-a|-a=0,x|x-a|=a,①a=0时x=0,零点个数为1；a>0时x>0,由①，x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2;0<x<a<4时，x^2-ax+a=0②,x2,3=[a土√(a^2-4a)]/2,零点个数为3;a=4时，x2,3=a/2,零点个数为2;a>4时，②无实根，零点个数为1。
a<0时，x<0,由①，x>=a>-4,x^2-ax-a=0③,x1,2=[a土√(a^2+4a)]/2；x<a时x^2-ax+a=0，x3=[a-√(a^2-4a)]/2,零点个数为3;a=-4时x1,2=a/2,零点个数为2;a<-4时③无实根，零点个数为1.综上，a<-4,或a=0,或a>4时零点个数为1；a=土4时，零点个数为2；-4<a<0,或0<a<4时，零点个数为3.3.已知函数f(x)=log3为底 1-m(x+2)/x-3的图像关于原点对称（1）求常数m的值（2）当x∈（3,4）时，求f(x)的值域；（3）判断f(x)的单调性并证明。
高一数学函数经典难题讲解
- 1 - 高一函数经典难题讲解1.已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),x∈R 且x≠a,当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时,求f(x)值解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),所以，f(x)= -1+1/(a-x),当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时x∈[a -1,a-1/2](a-x)∈[1/2,1]1/(a-x)∈[1,2]f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1]2.设a 为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时,求函数的单调区间(2)讨论函数y=f(x)的零点个数解析：(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2当x<2时，f(x)=-x^2+2x-2，为开口向下抛物线，对称轴为x=1当x>=2时，f(x)=x^2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1 ∴当x∈(-∞,1)时，f(x)单调增；当x∈[1,2]时，f(x)单调减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调增；(2).f(x)=x|x-a|-a=0,x|x-a|=a,①a=0时x=0,零点个数为1；a>0时x>0,由①，x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2;0<x<a<4时，x^2-ax+a=0②,x2,3=[a 土√(a^2-4a)]/2,零点个数为3;a=4时，x2,3=a/2,零点个数为2;a>4时，②无实根，零点个数为1。
a<0时，x<0,由①，x>=a>-4,x^2-ax-a=0③,x1,2=[a 土√(a^2+4a)]/2；x<a 时x^2-ax+a=0，x3=[a-√(a^2-4a)]/2,零点个数为3;a=-4时x1,2=a/2,零点个数为2;a<-4时③无实根，零点个数为1.综上，a<-4,或a=0,或a>4时零点个数为1；a=土4时，零点个数为2；-4<a<0,或0<a<4时，零点个数为3.3.已知函数f(x)=log3为底 1-m(x+2)/x-3的图像关于原点对称（1）求常数m 的值（2）当x ∈（3,4）时，求f(x)的值域；（3）判断f(x)的单调性并证明。
高中数学必修1知识点、考点、题型汇总
集合与函数知识点讲解1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
中元素各表示什么？注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
3. 注意下列性质：4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 的取值范围。
补充：数轴标根法解不等式5. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。
）6 . 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 7. 求函数的定义域有哪些常见类型？8. 如何求复合函数的定义域？义域是_____________。
9. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？10. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）11. 反函数的性质有哪些？①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性；12. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判断复合函数的单调性？∴……）13. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
14. 你熟悉周期函数的定义吗？函数，T 是一个周期。
）如：15. 常用的图象变换:(此类问题一定要搞清)注意如下“翻折”变换：16. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？的双曲线。
应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程②求闭区间［m，n］上的最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
由图象记性质！（注意底数的限定！）利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？17. 基本运算上需注意的问题:18 . 如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）19.. 掌握求函数值域的常用方法了吗？ （二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。
河北省2020年新高一数学必修一第三章函数的概念与性质知识点总结(人教版)
2020年新高一数学必修一知识点总结第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示1.函数是刻画变量间对应关系的数学模型和工具。
2.函数问题的共同特征：①定义域、值域均为非空数集；②定义域和值域间有一个对应关系；③对于定义域中的任何一个自变量，在值域中都有唯一确定的数与之对应。
3.函数中的对应关系可用解析式、图象、表格等表示，为了表示方便，引进符号f 统一表示对应关系。
【注】函数符号()y f x =是由德国数学家莱布尼茨在18世纪引入的。
4.函数定义一般地，设,A B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}f x x A ∈叫做函数的值域。
5.函数的三要素：①定义域；②对应关系；③值域。
6.（1）函数的定义域和对应关系可以确定出函数的值域，即一个函数的值域是由它的定义域和对应关系决定的。
（2）没有特别说明的情况下，函数的定义域默认是使其有意义的自变量取值范围。
如y =，则默认定义域是{}0x x ≠（3）实际问题中的函数定义域要根据实际情况定.如：匀速直线运动中位移、速度和时间的关系：()s t v t = ,隐含着0t ≥。
6.几个特殊函数的定义域和值域（1）正比例函数()0y kx k =≠，定义域和值域都为全体实数R。
（2）一次函数()0y kx b k =+≠，定义域和值域都为全体实数R。
（3）反比例函数()0k y k x=≠，定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠。
（4）一元二次函数()20y ax bx c a =++≠，定义域为R。
①当0a >时，值域为244ac b y y a ⎧⎫-⎪⎪≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭；②当0a <时，值域为244ac b y y a ⎧⎫-⎪⎪≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭。
高一数学必修一知识点总结人教(3篇)
高一数学必修一知识点总结人教1.知识网络图复数知识点网络图2.复数中的难点（1）复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明.（2）复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练.（3）复数的辐角主值的求法.（4）利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.3.复数中的重点（1）理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.（2）熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容.（3）复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容.（4）复数集中一元二次方程和二项方程的解法.数学教学心得如果以上的表述并不具有数学学科的特点的话，那么加上一个定语——让学生用数学的眼光进行数学思考。
比如，百货店的促销信息，人们不仅会关注哪个折扣低，还会关注标价的高低。
美国统计学家戴维穆尔的《统计学的世界》一书中有幅漫画，画的是一个人误以为平均水深就是每一个地方都是这样的水深而溺水死亡，从侧面反映了数学常识在现实生活中的作用。
数学地思考，是数学学习的更高目标。
数学学习过程中所倡导的思考方式是具有学科特点的。
看到一幅图画时，别的学科可能关注的是这幅图是多么的美观，但是对于数学学习来说，教师需要引导学生关注这个图形的组成与分解，引导学生思考的是多边形线的条数等。
这种量化、精确化的思考方式是数学教学最根本的目标价值所在。
2019新人教版高中数学必修第一册第二章一元二次函数方程和不等式知识点和题型总结
第2章一元二次函数、方程和不等式2.1等式和不等式性质课程标准：1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能运用不等式的性质比较大小2能运用不等式的性质证明不等式和解决简单的实际问题.教学重点：1.不等式的性质2用不等式的性质证明不等式.教学难点：用作差法比较代数式的大小.【知识导学】知识点一等式的性质(1)如果a=b,那么a+c=b+c.(2妆口果a=b,那么ac = be或学=#(CH0).(3妆口果a=b, b=c,那么a=c.知识点二作差比较法(1)理论依据：因d_/2>OOa>b：^a-b = 0<^a = b; ^g-b<0<^a<b.⑵方法步骤：①叵I作差；②西整理；③西判断符号；④因下结论.知识点三两个实数大小的比较(1)“> 如凹"-b>0:(2)"=bO"-b 図=0：(3)固αvZ?Ua —b<0.知识点四不等式的性质⑴如果a>b,那么b<a；如果b<cb那么回“>/?,即国台Z?V".(2妆口果a>b,且b>c,那么歴輕，即a>b, b>c=叵I ">c.(3)如果a>b,那么d+o画R+c.(4)如果a>b, c>0,那么ac >bc；如果a>b, c<O,那么UC <bc.(5)如果a>b, OcL那么α+c 画 >/?+〃.(6)如果a>b>O, c>d>O,那么ac回如果α>b>O, c<(l<0,那么ac 回G"∙⑺如果a>b>O,那么0 凹R"(n∈N, π≥2).(8)如果回^/>∕x>0,那么,∖[cι>,yfb(n^N, 2).【新知拓展】1.关于不等式性质的理解两个同向不等式可以相加，但不可以相减，如">/?, c>d不能推出“一c>/?—d.2.常用的结论(1 )a>b,(2)bvO<"W>*;(3)a>b>O,o√>0=>^>p... r,I a a+m a a~m b b+m b b~m(4)右Qb>0,加>0,则沪书p丹百卩一心0)； £片；茗二需(方_心0).3.比较大小的方法比较数(式)的大小常用作差与0比较.作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或儿个完全平方式的“和”，也可二者并用.4.利用不等式求范围应注意的问题求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围.题型一作差法比较大小例1比较下列各组中两数的大小:(1)已知S 〃为正数，且a≠b,比较/+，与局+“2；⑵已知XV1,比较X3-I与2X2-2X:(3)已知X, y均为正数，设加=出，“=古，比较加与〃的大小.［解］(1 )(Λ3 ÷b3)—(a2b ÷ ab2)=a3+b3-a1b-ab2=a2{a-b)-b2(a—b)= (a-b)(a2-b2)= {a~b)2(a+b).Vt∕>O, b>0 且a≠b, Λ(a-b)2>Q9 a+b>O9/. (a y÷ /?3) — (a2b ÷ ab2)>O,即cr+b^>a2b+ab2.(2)X3- 1 — (2x2-2x)=x3-2X2÷2X- 1=(√-X2)-(X2-2X÷1)=X2(Λ:- I)-(X-1)2= (X-I)(X2-χ+1) = (X- 1 {(^-∣)2+∣•Txvl, Λχ- l<0.X^x-^2÷j>0,•••(XT)-(x^⅛+fl <0, ΛX3~1<2Λ2~2X.4 x+y 4 (x+y)2_4Xy (χ∙~y)'χ+y Xy x+y Q(X+y) xy(x÷y)* 乂“ y均为正数，Λ.r>0, y>0, xy>0, x÷y>0, (X-y)2≥0.Λ∕n-∕2≥0,即〃总舁(当x=y时，等号成立)・金版点睛作差比较法的四个步骤［结论〕—(根据差的符号，判断两数(式)的大小「题型二 不等式的性质及应用例2下列命题正确的是 ___________②α>b 且 c>d=>ac>bch解析］①戸’ n 知 当XO, b>0时，满足已知条件，但推不出a>b, IoO (・•・①错误.②当a = 3, b=∖, C= —2, Cl=—3时，命题显然不成立∙ ∙°∙②错误•④显然c 2>0t Λ两边同乘以$得a>b.④正确.［答案］③④金版点睛 解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所 需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结 论，也可举出一个反例予以否定・题型三 利用不等式的性质证明不等式例 3 (1)已知e>f 9 c>0,求证：f-ac<e~bc;(2)已知CVdV0,求证：土缶；-∖a>h>09‰>o一成立・・：③正确・ ③a>b>O 且 c>√>0=>=>^>p*0=>(3)已知bc-ad20, bd>O.求证：一T —W 〃・［证明］(I)Tα>∕?, c>O, .*.ac>hc./. -ac<-hc.'∙f<e,:・f— ac<e—be.(2) T CVdVO, /. —c>—d>0.乂a>b>O, C. ci—c>b—d>0.(3) •： be—adMO, :∙QdWbc,乂T bcl>O,金版点睛利用不等式的性质证明不等式的实质与技巧(1)实质：就是根据不等式的性质把不等式进行变形，要注意不等式的性质成立的条件.(2)技巧：若不能直接由不等式的性质得到，可先分析需要证明的不等式的结构.然后利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件.题型四利用不等式的性质求取值范围例4 (1)已知2vαW5,3WbVl0,求a~b,彳的取值范围；(2)已知一∣≤cc<^≤^,求笞迫，生亍©的取值范圉.［解］(I)V3≤∕^<10,・•・一10v-bW-3.乂2<t∕≤5τ •：—8<f∕-Z>≤2.⑵T —彳WaV厂W号,・•・-共鈴γ<⅛两式相加得一两式相加得一又*0,・・・三篡0, Λ［变式探究］将本例(1)中，条件不变，求a+b,“b的取值范围.解由2<t∕≤5,3≤^<10 得2 +3 V/+b<5 ÷ 10,2 ×3<ab<5 ×10,即5<a÷b< 15,6<ab<50.金版点睛利用不等式的性质求取值范围应注意的问题本题中不能直接用G的范围去减或除b的范围，应严格利用不等式的性质去求范围；其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的"范围”间的联系.如已知20<x+yV30,15Vχ-y<18,要求2x+3y的范围，不能分别求出X, y的范围，再求"+3y的范围，应把已知的"x+y” “x—y” 视为整体，即2x+3y=I(X+>-)—∣(Λ—y),所以需分别求出∣(x+y), —∣(χ-y)的范围，两范围相加可得2r+3y的范围.“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求.2.2基本不等式课程标准：1•掌握基本不等式的内容2能熟练地运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式来证明简单的不等式.4 •熟练掌握基本不等式及变形的应用∙5.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.教学重点：1.理解基本不等式的内容及其证明过程2运用基本不等式来比较两个实数的大小及进行简单的证明.3.运用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.教学难点：基本不等式条件的创设.【知识导学】知识点一基本不等式如果。
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函数部分难题汇总
1．函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2
2．为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移，
这个平移是（ ）
A ．沿x 轴向右平移1个单位
B ．沿x 轴向右平移
1
2个单位 C ．沿x 轴向左平移1个单位 D ．沿x 轴向左平移1
2
个单位
3．设⎩
⎨⎧<+≥-=)10()],6([)
10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
4．已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ）
A ．[]052
， B. []-14，
C. []-55，
D. []-37，
5．函数x x
x y +=
的图象是（ ）
6．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A ．)2()1()2
3(f f f <-<- B ．)2()2
3()1(f f f <-<- C ．)23()1()2(-<-<f f f D ．)1()2
3
()2(-<-<f f f
7．如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，
那么)(x f 在区间[]3,7--上是（ ）
A ．增函数且最小值是5-
B ．增函数且最大值是5-
C ．减函数且最大值是5-
D ．减函数且最小值是5-
8．已知3
()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的
值等于( )
A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．10-
9.若函数f(x)满足
A -1
B 0
C 1
D 2
10.已知函数⎪⎩⎪
⎨⎧+-≤==10,62
1100,lg )(y x x x x x f 若a,b,c 互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则
abc 的取值范围是（ ）
A. （1,10）
B.（5,6）
C. （10,12）
D. （20,24）
11．函数0y x x
=
-_____________________。
12．方程33
131=++-x
x
的解是_____________。
13．设函数21y ax a =++，当11x -≤≤时，y 的值有正有负，则实数a 的范围 。
14．设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[0,5]x ∈时，
)(x f 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是
15．若函数2
()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是 .
16．已知函数2
()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值
17．对于任意实数x ，函数2
()(5)65f x a x x a =--++恒为正值，求a 的取值范围
18．已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且同时满足下列条件：（1）()f x 是奇函数；
（2）()f x 在定义域上单调递减；（3）2
(1)(1)0,f a f a -+-<求a 的取值范围。
19．已知函数[]2
()22,5,5f x x ax x =++∈-.
① 当1a =-时，求函数的最大值和最小值；
② 求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数。
(
)
的值为，则)2009(0
),2()1(0),1(log )(2f x x f x f x x x f ⎩⎨⎧---≤-=
20．已知函数()f x 的定义域是),0(+∞，且满足()()()f xy f x f y =+,1()12
f =,
如果对于0x y <<,都有()()f x f y >, （1）求(1)f ； （2）解不等式2)3()(-≥-+-x f x f 。
21．当]1,0[∈x 时，求函数2
2
3)62()(a x a x x f +-+=的最小值。
22．已知()()110212x
f x x x ⎛⎫=+≠
⎪-⎝⎭
， ⑴判断()f x 的奇偶性； ⑵证明()0f x >．
23.设f （x ）是定义R 上的增函数，其图像关于直线x=1对称，对任意的⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈21,0,21x x ，
都有=+)(21x x f ),()(21x f x f *且有0)1( a f = （1）求)4
1(f )21(及f （2）证明)(x f 是周期函数；
24.若函数f(x)在其定义域R 内是增函数且满足⎪⎭⎫
⎝
⎛--=
x x a a x f a 11)(log 2,其中a ﹥0且
1a ≠
（1）求函数f(x)的解析式并判断其奇偶性
（2）当)2,(-∞∈x 时，f(x)-4的值恒为负数，求a 的取值范围.。