大学物理简程 张三慧主编第5章 刚体的定轴转动
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张三慧《大学物理学：力学、电磁学》(第3版)(B版)(课后习题 刚体的转动)【圣才出品】
解：如图 5-7 所示，设米尺的总重量为 m，则直尺对悬点的转动惯量为
对直尺，手刚释放时，由转动定律
在米尺转到竖直位置的过程中，机械能守恒给出
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图 5-7
5.13 从质元的动能表示式
出发，导出刚体绕定轴转动的动能表示式
图 5-4
解：对 AA＇轴的转动惯量为
对 BB＇轴的转动惯量为
5.9 在伦敦的英国议会塔楼上的大本钟的分针长 4.50 m，质量为 100 kg；时针长 2.70 m，质量为 60.0kg。二者对中心轴的角动量和转动动能各是多少？将二者都当成均 匀细直棒处理。
解：对分针，有
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（1）按均匀球面计算，此球形分子对其一个直径的转动惯量是多少？ （2）在室温下一个 C60 分子的自转动能为 6.12×10-21J。求它的自转频率。
解： （2）由
图 5-3 可得频率
5.7
一个氧原子的质量是 2.66×10-26kg，一个氧分子中两个氧原子的中心相距
1.21×10-10m。求氧分子相对于通过其质心并垂直于二原子连线的轴的转动惯量。如果一
解：平均角加速度为
5.4 求位于北纬 40°的颐和园排云殿（以图 5-1 中 P 点表示）相对于地心参考系的线 速度与加速度的数值和方向。
图 5-1 解：如图 5-1 所示，所求线速度的大小为
方向垂直于地轴向东。
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加速度的大小为
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解：以 ri 表示质元 Δmi 到转轴的垂直距离，此质元的速率为 υi＝riω，于是整个刚体 的动能为
对直尺，手刚释放时，由转动定律
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5.13 从质元的动能表示式
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图 5-4
解：对 AA＇轴的转动惯量为
对 BB＇轴的转动惯量为
5.9 在伦敦的英国议会塔楼上的大本钟的分针长 4.50 m，质量为 100 kg；时针长 2.70 m，质量为 60.0kg。二者对中心轴的角动量和转动动能各是多少？将二者都当成均 匀细直棒处理。
解：对分针，有
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（1）按均匀球面计算，此球形分子对其一个直径的转动惯量是多少？ （2）在室温下一个 C60 分子的自转动能为 6.12×10-21J。求它的自转频率。
解： （2）由
图 5-3 可得频率
5.7
一个氧原子的质量是 2.66×10-26kg，一个氧分子中两个氧原子的中心相距
1.21×10-10m。求氧分子相对于通过其质心并垂直于二原子连线的轴的转动惯量。如果一
解：平均角加速度为
5.4 求位于北纬 40°的颐和园排云殿（以图 5-1 中 P 点表示）相对于地心参考系的线 速度与加速度的数值和方向。
图 5-1 解：如图 5-1 所示，所求线速度的大小为
方向垂直于地轴向东。
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解：以 ri 表示质元 Δmi 到转轴的垂直距离，此质元的速率为 υi＝riω，于是整个刚体 的动能为
大学物理 第五章刚体定轴转动(2007)
第五章刚体定轴转动(本章讨论刚体-----特殊的刚性的质点系的力学规律)教学要求：* 理解刚体模型和转动惯量，计算简单刚体转动惯量。
* 掌握刚体角动量、刚体转动定律，求解刚体转动的角加速度，加速度和角位移。
* 掌握刚体角动量守恒定律，求解刚体转动状态变化。
* 理解刚体运动中的功能关系，利用功能原理和机械能守恒定律求解刚体转动状态变化。
教学内容：§ 5-1 刚体的平动和定轴转动§ 5-2 刚体定轴转动定律§ 5-3 转动定律的应用§ 5-4 刚体定轴转动的角动量守恒定律§ 5-5 刚体定轴转动中的功和能（学时：5学时）教学重点：* 刚体转动定律及其应用规律，* 刚体角动量守恒定律及其应用规律。
作业：5_04)、5_05)、5-06)、5-12)、5-14)、5-16)、5-18)、5-20)、5-22）、5-23)。
-----------------------------------------------------------------------§ 5-1 刚体的平动和定轴转动1．刚体概念一个有形状而无形变的物体模型_刚体。
一个物体中任意两质点间距在运动中都始终保持不变，则称之为刚体。
刚体运动规律较于一般质点系简单。
2 2. 刚体的平动3如果在运动过程中，刚体内任意两质点的连线总是平行于它们的初始位置，则刚体运动为平动。
刚体平动的特点：平动过程中刚体上每质点的位移、速度和加速度相同。
研究刚体平动的方法：取刚体质心作为研究质点，这一质点的运动规律代表了刚体上所有质点的运动规律。
3. 刚体的定轴转动（1）转动：如果在运动过程式中，刚体上所有的质点均绕同一直线作圆周运动，叫刚体在转动。
这条直线叫转轴。
如果转轴固定不动，则称刚体的定轴转动。
定轴转动的特点：刚体上所有质点的角位移、角速度和角加速度相同。
（2）角量和线量的关系若：刚体角速度ω，角加速度α，则：速率ωv=r切向加速度αa t=r法向加速度2ωra n=（r—刚体中质点P与轴的距离）4. 4．角速度矢量和角加速度矢量zωω(a) (ω(a)ωααz（1）规定: ω方向与直观转动方向构成右手螺旋关系（2）角加速度矢量的定义：dtd ωα（5-1） 注意:角速度和角加速度的矢量表述和标量表述。
大学物理05刚体的转动01
2020/10/7
例2.滑轮是刚体,已知
J,R,m1 m2。求系统的
J
加速度和拉力。 解:
T2
T1
m 1: m 1gT 1m 1a m 2: T 2m 2gm 2a
m2g
a
J: T 1 T 2 R J
m1 g
aR
2020/10/7
例3
已知：重物m1,m2，滑轮 M1 M2，
R1 ,R2。
J=J1+J2
T 3T 1R 1J11 T 2T 3R 2J22
aR11 R22
2020/10/7
a
m2g
m1 g
J1
1 2
M 1 R12
J2
1 2
M
2 R2 2
a2m 12 m m 2 2 m M 11gM 2 T12 m 1 m 4 1m 2 m 2M 1M 1M 2 M g2 T22 m m 21 4 m m 1 2M 1M 1M 2 M g2
a T1
T2
m 1:m 1gT 1m 1a 1 m 2:T 2m 2gm 2a 2
m2 m1
J:T 1R 1T 2R 2J
T1>T2
a1/R 1a2/R 2 二根绳子，不同a,
一个滑轮，相同
2020/10/7
例4.求系统的
加速度和拉力
M2R2
T3
M1R1
T1m 1gm 1a T2
T1
m 2gT2m 2a
例如，物理天平的横梁处于平衡状态，横梁在力的作 用下产生的形变很小，各力矩的大小都几乎不变。对于形 变，实际是存在的，但可不予考虑。为此在研究天平横梁 平衡的问题时，可将横梁当作刚体。
2020/10/7
第5章刚体定轴转动
结论：当功率一定时，转矩T与转速n成反比。
图5-2
匀速定轴转动刚体的惯性力
如果刚体作定轴转动，而刚体重心不在转轴上，也 会产生离心惯性力。如发动机曲轴上的惯性力。如图5-3。
图5-3
发动机曲轴上的惯性力
5.转动惯量
转动惯量——转动物体具有保持原有运动状态不变的特
性。 物体的转动惯性大小是由转动惯量来度量的。转动
惯量的大小不仅与刚体质量m的大小有关，而且与刚体
第5章
刚体定轴转动
学习目标：
1.了解刚体定轴转动的转速、角速度和角加速度 的概念。
2.理解惯性力的概念、转动零件惯性力的平衡及 转动惯量的概念。 3.熟悉功率、转速和转矩的关系。
5.1刚体绕定轴的转动
1.刚体的定轴转动
刚体内各点都绕一固定的直线作圆周运动，这种运动称为刚
体绕定轴转动，简称定轴转动。刚体内固定不动的直线称为刚体 的轴。 刚体作定轴转动时，具有如下特征： 刚体内轴上所有各点都保持不动。 刚体内不在轴上的各点，都在通过各该点，并垂直于轴的平 面内绕轴作圆周运动。圆心就是这些平面分别与轴的交点，半径 就是该点与轴的垂直距离。 刚体内各点在同一时间内转过的圆弧长度是不同的。
质量的分布有关。刚体的质量越大，质量的分布离转轴 越远，其转动惯性也越大。刚体对转轴的转动惯量是刚
体中每一质点的质量与该质点绕转轴旋转的转动半径平
方的乘积之和，用符号J表示，即 J=∑△mr 2 由转动惯量的定义可知，转动惯量恒为正值。其常 用单位为kg.m
2
。可从工程手册上查得。
5.2功率、转速和转矩之间的关系
惯性力——由于外力的作用使物体的运动状态改变时，因
其惯性引起的运动物体对外界抵抗的反作用力。用符号Q表 示，单位为N(牛顿)。 特点：①大小等于运动物体的质量与加速度的乘积，即： Q=man。②方向与加速度方向相反；③作用在施力物体上。
大学课件：《刚体的转动 》
2. 刚体的定轴转动 刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运动，且
在相同时间内转过相同的角度.
特点：
各点角位移，角速度和角加速度均相同； 质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周运动. 可当作质点的圆周运动处理.
3. 刚体的一般运动 可视为平动和转动的(rotation)合成运动.
随质心的平动 绕通过质心的轴的转动
3
方向：
二、转动定律
对 mi 用牛顿第二定律：
Fi fi Δmiai
切向分量式为：
Fi sini fi sini Δmiait
ait=ri
两边乘以ri
Firi sini firi sini Δmiri2
外力矩
内力矩
z
fi
i
O ri
mi
Fi
i
对所有质元的同样的式子求和：
重力对整个棒的合力矩与全部
x
O
重力集中作用在质心所产生的
C
力矩一样.
xc
1 2
l
cos
M 1 mgl cos mgxC
2
M J
1 mgl cos
2 1 ml 2
3g cos
2l
3
X dm
dmg
M J J d J d d J d dt d dt d
3. 角速度和角加速度
d
dt
d
dt
d 2
dt 2
说明：定轴转动中，ω、β 的方向可
用正负表示.
4.
线量与角量的 关系
v
r
(v r )
v
大学物理Ⅰ刚体定轴转动的转动定律
第五章 刚体的定轴转动
5.1刚体运动的描述
一.刚体
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变 化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点 组）
（1）刚体的运动
刚体的运动形式：平动、转动 .
平动：若刚体中所有点 的运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初始 位置间的连线 .
F F11 F
其中F11对转轴的力 矩为零，故 F 对转轴的力矩
M zk r F
z
k F11
F
O r
F
M z rF sin
2）合力矩等于各分 力矩的 矢量和 M M1 M2 M3
第五章 刚体的定轴转动
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M
rdf
l
grdr
0
1 gl 2
2
1 mgl
2
dm dl
dm ds
dm dV
其中、、分别
为质量的线密度、 面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
第五章 刚体的定轴转动
m 例1 一质量为 、长为 l 的均匀细长棒，求通过棒中
心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
r 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质
fi
第五章 刚体的定轴转动
M i外 M i内 miri2
i
i
i
Mi内 0
i
M i外 ( miri2 )
i
i
z
O rj
5.1刚体运动的描述
一.刚体
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变 化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点 组）
（1）刚体的运动
刚体的运动形式：平动、转动 .
平动：若刚体中所有点 的运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初始 位置间的连线 .
F F11 F
其中F11对转轴的力 矩为零，故 F 对转轴的力矩
M zk r F
z
k F11
F
O r
F
M z rF sin
2）合力矩等于各分 力矩的 矢量和 M M1 M2 M3
第五章 刚体的定轴转动
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M
rdf
l
grdr
0
1 gl 2
2
1 mgl
2
dm dl
dm ds
dm dV
其中、、分别
为质量的线密度、 面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
第五章 刚体的定轴转动
m 例1 一质量为 、长为 l 的均匀细长棒，求通过棒中
心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
r 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质
fi
第五章 刚体的定轴转动
M i外 M i内 miri2
i
i
i
Mi内 0
i
M i外 ( miri2 )
i
i
z
O rj
大学物理刚体的定轴转动
2l
l
17
例 一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为
的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩 M阻。 解： 建立如图坐标，取质元
dm dx
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
o
xl dm m dx
x
细杆受的阻力矩
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 mgl
2
18
例 一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的
令 J miri2
刚体绕Z轴转动的转动惯量
即
M z J ----刚体的定轴转动定律
说明
1. 上式是矢量式（力矩只有两个方向）。
2. M、J、是对同一轴而言的。
3. 具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。
4. 转动惯量J是刚体转动惯性大小的量度。
8 8
3、转动惯量的计算
转动惯量： J miri2
l
r
dr
d
dm g
M
dM
l
0
mg l
r
cosdr
mg
l 2
cos
16
M J 1 ml2
3
3g cos
2l
(2) d d d d 3g cos dt d dt d 2l
分离变量积分 g cos d l d
02
03
(3g sin ) l
300 , 3g 900 , 3g
i
质量连续分布的刚体： J r2dm
质量为线分布： dm dl
面分布： dm ds
体分布： dm dV
1）总质量
转动惯量与下列因素有关： 2）质量分布 3）转轴位置
9
✓ J与质量分布有关：
第五章 刚体定轴转动
dm
2
可见，转动惯量与 l 无关。
几个常见的转动惯量：
*圆环、圆筒（通过中心轴）………… J = mR2
*圆盘、圆柱（通过中心轴）………… J 1 mR
2
2
*细棒（端点垂直轴）………………… J 1 mL2 A
3
*细棒（质心垂直轴）………………… J 1 mL 2 c
12
四、刚体定轴转动的转动定律 刚体 → 质点系（连续体） 刚体定轴转动的角动量定理
如图正方形的边长为l它的四个顶点各有一个质量为m的质点求系统对z1z2z3轴的转动惯量具有相加性dldmdsdmdvdm质量为线分布质量为面分布质量为体分布为刚体线密度线分布面分布体分布质量均匀分布刚体的转动惯量若质量连续分布取质元dm它到转轴的距离为r则质元对轴的转动惯量为为刚体面密度例题1的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量
v
dx
x 角动量守恒：
碰撞后的角动量(杆转动)：
mvl 1 2 3v ml 2l 2 3
[例题2] 如图所示，一匀质圆盘半径为R，质量为m1， 以角速度ω 0绕盘心转动，一质量为m2的子弹以速度 v 角击入圆盘边缘，求击入后盘的角速度 沿θ
解：碰撞前后角动量守恒 碰撞前的角动量： m1
[例题1] 如图所示，一长度为l，质量为m的细杆在光 滑水平面内沿杆的垂向以速度v平动，杆的一端与定 轴z碰撞后杆将绕z轴转动，求杆转动的角速度。
解：碰撞前后角动量守恒 O x z 刚好碰撞前的角动量（杆平动）：
m dL x dm v x dx v l
mv l L dL xdx l 0 mvl 2 1 2 L J ml 3
M
z
o d
大学物理-刚体定轴转动
F Fz F
其中 Fz对转 轴的
力矩为零，故 F 对转
轴的力矩 M zk
r
F
z
F
k
O Fz r
F
M z rF sin
18
（2）合力矩等于各分力 矩的矢量和 M M1 M2 M3
（3）刚体内作用力和反作用力的力矩 互相抵消．
M ij
rj
j
O
d ri
i Fji
Fij
M ji
第5 刚体的定轴转动 §1 刚体的运动 §2 刚体定轴转动的运动定律
1
刚体：在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体．(任意两质点间距离保持 不变的特殊质点组．)
说明：⑴ 刚体是理想模型 ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的．
刚体的运动形式：平动、转动．
2
平动：刚体中所 有点的运动轨迹都保 持完全相同．
j
定义转动惯量
J mjrj2 J r2dm j
z
O rj
Fej
m j
Fij
转动定律 M J
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
24
转动定律 M J
讨论 （1）M 0， ω不变
（2） M
J （3） M J J d
dt
25
三 转动惯量
J mjrj2 J r2dm j
特点：各点运动
状态一样，如：v、a
等都相同．
刚体平动 质点运动
3
转动：分定轴转动和非定轴转动 刚体的平面运动
4
一般运动
= (平动)+(转动)
原则: 随某点(基点)的平动
+ 过该点的定轴转动 基点任选。
《刚体的定轴转动》课件
力矩
总结词
描述刚体转动受到外力矩作用的物理量
详细描述
力矩是描述刚体转动受到外力矩作用的物理量，单位为牛顿·米。它表示力对刚体转动效果的影响，由力和力臂的 乘积得到。力矩可以改变刚体的角动量或使其产生加速度。
动能与势能
总结词
描述刚体转动过程中能量状态的物理量
详细描述
动能和势能是描述刚体转动过程中能量状态的物理量。动能与刚体的质量和速度有关，势能则与刚体 的位置和高度有关。在定轴转动中，动能和势能之间可以相互转化，但总能量保持不变。
03
刚体的定轴转动的动力学规律
转动定律
描述刚体转动时力矩与角加速度关系的定律。
转动定律指出，刚体转动时受到的力矩等于刚体质量与角加速度乘积的两倍。即 M=Jα，其中 M 为力矩，J 为转动惯量，α 为角加速度。
动量矩守恒定律
描述刚体在无外力矩作用时动量矩保持不变的定律。
动量矩守恒定律指出，在没有外力矩作用的情况下，刚体的动量矩是守恒的。即 L=Iw，其中 L 为动 量矩，I 为转动惯量，w 为角速度。
详细描述
进动是指刚体自转轴绕其惯性轴的旋转运动，通常是由于外部力矩的作用引起的。章动 则是自转轴在空间中的摆动，可以看作是进动的补充。这两种运动形式在刚体的动力学
分析中具有重要意义。
刚体的振动与波动
要点一
总结词
振动和波动是描述刚体动态行为的另外两种重要方式，涉 及到刚体的位移、速度和加速度等参数的变化。
刚体上各点绕固定轴线的角速度相同 。
刚体上各点的角速度与转动的角位置 无关，即刚体绕固定轴线的转动是匀 角速度运动。
02
刚体的定轴转动的物理量
角速度
总结词
描述刚体旋转快慢的物理量