2020年高考理科数学原创专题卷：《基本初等函数》

原创理科数学专题卷 专题 基本初等函数

考点07：指数与指数函数（1—3题，8—10题，13,14题，17-19题） 考点08：对数与对数函数（4—7题，8—10题，15题，17题，20-22题） 考点09：二次函数与幂函数（11,12题，16题）

考试时间：120分钟 满分：150分

说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上

第I 卷（选择题）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。） 1．【来源】2017届黑龙江虎林一中高三期中 考点07 易

函数 2212x x

y -+??= ?

??

的值域是（ ）

A.R

B.1,2??+∞????

C.()2,+∞

D.()0,+∞ 2. 【来源】2017届黑龙江虎林一中高三期中 考点07 中难

设函数 ()1221,0,0

x x f x x x -?-≤?

=??>? 如果 ()01f x >，则0x 的取值范围是（ ）

A.

()

1,1- B.

()()

1,01,-+∞U C.

()(),11,-∞-+∞U

D.()(),10,1-∞-U

3．【2017课标1，理11】 考点07 难 设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（ ）

A ．2x <3y <5z

B ．5z <2x <3y

C ．3y <5z <2x

D ．3y <2x <5z

4．【来源】2016-2017学年黑龙江虎林一中月考 考点08 易

已知函数()()3log 472a f x x =-+（0a >且1a ≠）过定点P ，则P 点坐标（ ） A ．()1,2 B ．7

,24?? ???

C.()2,2 D ．()3,2 5．【来源】2016-2017学年河北定州中学周练考点08 易

若函数[)[]??

???∈-∈=1,0,40,1,41)(x x x f x x ）（ ，则411log 33f f ???

?=?? ??

???（ ）

A.3

1

B.3

C.4

1 D.4

6．【2017北京，理8】 考点08中难

根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子

总数N 约为1080.则下列各数中与M N

最接近的是（ ）

（参考数据：l g3≈0.48）

（A ）1033 （B ）1053 （C ）1073 （D ）1093[

7．【来源】2016-2017学年浙江杭州西湖高级中学期中 考点08中难

函数2

()log )f x x =的最小值为（ ）

A ．0

B ．12-

C ．14-

D ．1

2

8．【2017江西九江三模】考点07，考点08 易

已知 1.3

0.7

2,4,ln6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c << B. b c a << C. c a b << D. c b a << 9．【2017天津，理6】 考点07考点08，中难

已知奇函数()f x 在R 上是增函数， ()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A a b c << B c b a <<

C b a c <<

D b c a <<

10．【来源】2017届山西太原市高三上期中 考点07考点08，难

已知函数()()1

2

22,0log ,0x x f x x x ?-≥?

=?-

+∞ ???U U B.(]()21,21,1,log 32?

?-∞--- ???U U

C.(]()1,10,1,2?

?-∞-+∞ ???

U U D.(](]()2,31,01,log 3-∞--U U

11．【来源】2016-2017学年黑龙江佳木斯一中期中 考点09 易 幂函数m x m m

x f )1()(2

--=在()0,+∞上是增函数，则m =（ ）

A ．2

B ．-1

C ．4

D ．2或-1 12．【来源】2017届河北定州中学高三周练 考点09 中难

给出下列函数①()x x f ??

? ??=21；②()2x x f =；③()3

x x f =；④()21

x x f =；⑤

()x x f 2log =．其中满足条件f 12(

)2x x +>

12()()

2

f x f x + )0(21x x <<的函数的个数是（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

第Ⅱ卷（非选择题）

二.填空题（每题5分，共20分） 13．【来源】2016届辽宁省抚顺一中高三四模 考点07 中难

当(,1]x ∈-∞，不等式

212401

x x a

a a ++?>-+恒成立，则实数a 的取值范围为________. 14．【来源】2016届四川南充高中高三4月模拟 考点07 中难

已知函数()22x x f x -=-，若不等式()

()230f x ax a f -++>对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 . 15．【来源】2016届吉林省白城一中高三下4月月考 考点08 中难 已知函数1)391ln()(2+-+=x x x f ，则=+)2

1(lg )2(lg f f _______. 16．【来源】2016届辽宁省大连师大附中高三下学期精品试卷 考点09 难 若12a

x

x >对于(0,1)x ?∈恒成立，则实数a 的取值范围是_______________.

三.解答题（共70分） 17．（本题满分10分）【来源】2017届山东潍坊中学高三上学期月考 考点07，考点08 易 化简求值：

（1）()

)

211

3

2

270.00210

2

8-

--

??+- ?

??

；

（2）()2

66661log 3log 2log 18log 4??-+÷??

g .

18．（本题满分12分）【来源】2017届吉林镇赉县一中高三上月考 考点07 易 已知函数()(,x

f x ka k a -=为常数,01a a >≠且）的图象过点()()0,1,3,8A B ．

（1）求实数,k a 的值；

（2）若函数()()()1

1

f x

g x f x -=

+,试判断函数

()

g x 的奇偶性, 并说明理由．

19．（本题满分12分）【来源】2017届湖北襄阳一中高三月考 考点07 中难 已知函数()()27

412

01x x f x a a a --=->≠且．

（1）当2

a =时，求不等式()0f x <的解集；

（2）当[]0,1x ∈时，()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围． 20．（本题满分12分）【来源】2017届云南曲靖一中高三月考 考点08 易 已知函数)32(log )(22

1+-=ax x x f .

（1）当1-=a 时，求函数的值域；

（2）是否存在R a ∈，使)(x f 在)2,(-∞上单调递增，若存在，求出a 的取值范围；不存在，请说明理由. 21．（本题满分12分）【来源】2016-2017学年河南郸城县一高中月考 考点08 中难 已知函数()()

()4log 41x f x kx k R =++∈是偶函数． （1）求k 的值；

（2）若函数()()[]12

24

21,0,log 3f x x

x h x m x +=+-∈g ，是否存在实数m 使得()h x 最小值

为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 22．（本题满分12分）【来源】2017届湖南郴州市高三上学期质监一 考点08 难 已知函数()log a f x x =，()2log (22)a g x x t =+-，其中0a >且1a ≠，t R ∈.

（I ）若4t =，且1[,2]4

x ∈时，()()()F x g x f x =-的最小值是－2,求实数a 的值；

（II ）若01a <<，且1[,2]4

x ∈时，有()()f x g x ≥恒成立，求实数t 的取值范围.

参考答案

1．【答案】B

【解析】∵()11122

2

≥+--=+-x x x ，∴函数 2212x x

y -+??

= ?

??

的值域是1,2??+∞????

.

2.【答案】C

【解析】当00≤x 时，112

>--x ，则10-x 时，1210

>x ，则10>x ，故0x 的

取值范围是()(),11,-∞-+∞U ，故选C. 3．【答案】D

【解析】令235(1)x

y

z

k k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k = ∴

22lg lg 3lg 9

13lg 23lg lg8

x k y k =?=>，则23x y >， 22lg lg 5lg 2515lg 25lg lg 32

x k z k =?=<，则25x z <，故选D. 4．【答案】C

【解析】令471x -=，得2x =，所以()23log 122a f =+=，所以P 点坐标为()2,2. 5.【答案】D

【解析】 因为

()[)[]?????∈-∈??? ??=1,0,40,1,41x x x f x x

，且[]0,131log 4-∈，所以34131log 3

1

log 44

=?

?? ??=??? ?

?

f ，(),441,131lo

g 3

1

14===??? ?

?

∴

f f 所以

431log 314=????????? ?

?

f f ，

故选D. 6.【答案】D 【解析】

设36180310M x N == ，两边取对数，361

36180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810

x ==-=?-=，所以93.2810x =，即M

N

最接近9310，故选D. 7.【答案】C 【解析】

()()()()()2

2

2

22222

111log 2log 21log log log log 224f x x x x x x x ???

?==+=+=+-

??????

?g ，所以函数()f x 的最小值为1

4

-.

8.【答案】C

【解析】因为0.7 1.4 1.34222b ==>>， 2ln6lne 2c =<=，所以c a b <<；故选C.

9.【答案】C

【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >， 从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，

22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，

0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，

0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，

所以b a c <<，故选C ．

10.【答案】B

【解析】由()0f x <得，10<≤

x 或1x <-，所以1)(0<≤m f 或1)(-

1)(0<≤m f 得?

??

?

??<≤-<<-3log

m 1或2112

m m ，由()1f m <-得{}|2m m <-，所以实数m 的取值范围为(]()21,21,1,log 32??

-∞---

??

?

U U ，故选B.

11.【答案】A

【解析】根据幂函数的定义可知,112=--m m ,解得21或-=m ,所以()1

-=x x f 或

()2x x f =,又因为()x f 在()+∞,0上是增函数,所以()2x x f =,2=m ,故选A.

12.【答案】B

【解析】①()x

x f ??

?

??=21为底数小于1且大于0的指数函数，在第一象限是下凸图象，故不

满足条件；②()2

x x f =是开口向上的抛物线，在第一象限是下凸图象，故不满足条件；③

()3

x x f =是幂函数，在第一象限是下凸图象，故不满足条件；④()2

1x x f =是幂函数，在

第一象限是上凸图象，故满足条件；⑤()x x f 2log =是底数大于1的对数函数，在第一象限是上凸图象，故满足条件．故选：B ． 13.【答案】34

a >-

【解析】显然2213

1()02

4

a a a -+=-+

>，所以原不等式即为1240x x a ++?>，11()()42x x a -<+，易知函数11

()()42x x y =+是减函数，因此当(,1]x ∈-∞时，

113424y =+=最小，所以34a -<，即34

a >-．

14.【答案】26a -<<

【解析】2,2x x y y -==在R 分别为增函数、减函数，则()22x x f x -=-为增函数；

()22()x x f x f x --=-=-Q ，()f x ∴在R 为奇函数；()()230f x ax a f -++>Q ，

()()23f x ax a f ∴-+>-，()()23f x ax a f ∴-+>-，23x ax a ∴-+>-，230x ax a ∴-++>在R 上恒成立，2()41(3)0a a ∴--??+<，24120a a ∴--<，

26a ∴-<<.

15.【答案】2

【解析】()()()()

221ln 2391ln 391ln 22=+=+-++++=+-x x x x x f x f ，

()()()22lg 2lg 21lg 2lg =-+=??

?

??+f f f f

16.【答案】ln 2a e >-

【解析】 12a

x

x > ，1ln 2ln a x x ∴>，(0,1)x ∈Q ，1ln 2ln a x x ∴

>

，令1

()ln f x x x

=，01x <<，

'2

ln 1()(ln )x f x x x +∴=-，令'

()0f x >，10x e ∴<<，令0)(

∴<<，

()f x ∴在1(0,)e 递增；在1(,1)e 上递减，max 1()()f x f e e ∴==-，ln 2

a

e ∴>-，

ln 2a e ∴>-.

17.【答案】（1）

176

9-

（2）1 【解析】（1

）原式)

2

121

3

2

3

22718500102

850027-

-

??????=+=+- ?

? ???

??

??

41762099=

+=-……………………………(5分)

（2）原式()()266666612log 3log 3log log 63log 4

3??

=-++?÷????g

()()()2

6666612log 3log 31log 31log 3log 4??=-++-+÷??

()()22

6666662(1log 3)12log 3log 31log 3log 42log 2-??==-++-÷=??

66666log 6log 3log 2

1

2log 22log 2-=

==……………………………(10分)

18.【答案】（1）1

1,2

k a ==

；（2）奇函数，理由见解析． 【解析】（1）Q 函数()(,x

f x ka k a -=为常数,0a > 且1a ≠）的图象过点

()()0,1,3,81A B k ∴=,且38ka -=,解得1

1,2

k a ==．……………………………(4分)

（2）函数()g x 为奇函数。 理由如下：由（1）得()1

22

x x f x -=

=， ∴

()()()121

121

x x

f x

g x f x --==++,定义域为R, ……………………………(6分 ∴ 则()()211221211221

x x x x x x g x g x ------===-=-+++,……………………………(11分) 所以函数()g x 为奇函数．……………………………(12分)

19.【答案】（1）15,8?

?-∞ ???；（2

）()1,1284a ??∈ ? ???

U ．

【解析】（1）

由于1222

a -==，于是不等式()0f x <即为()1

4127222x x ---<．．．．．．．．．．．．．2分

所以()127412x x -=-

-，解得15

8

x <．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 即原不等式的解集为15,

8?

?

-∞ ???

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由147

22--

lg 4lg

4a a x +?<0．．．．．．7分

设128

lg

4

lg

)(4

a a

x x f +?=，则()f x 为一次函数或常数函数，由[]

0,1x ∈时， ()0f x <恒成立得：

()(

)242

4

1lg lg 010lg 03211281283200401280128lg 0128a f a a a a f a a a ?+???????<

<<

， 又0a >且1a ≠

，∴(),11,1284a ??∈ ? ???

U ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

20.【答案】（1）]1,(--∞；（2）不存在R a ∈，使)(x f 在)2,(-∞上单调递增. 【解析】（1）当1-=a 时，)32(log )(22

1++=x x x f ，

设22)1(32)(2

2≥++=++=x x x x h ，∴1)(-≤x f ，∴)(x f 的值域为

]1,(--∞.．

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）要使)(x f 在)2,(-∞上单调递增，只需32)(2

+-=ax x x h 在)2,(-∞上单调递减且

0322>+-ax x 在)2,(-∞上恒成立，所以???≥≥,

0)2(,

2h a 此不等无解，．．．．．．．．．．．．．．．．．．10

分

故不存在R a ∈，使)(x f 在)2,(-∞上单调递增. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

21.【答案】（1）1

2

-

；（2）存在()1,m h x =-最小值为0. 【解析】（1）∵()()f x f x -=，

即()()

44log 41log 41x x kx kx -+-=++对于任意x R ∈恒成立，

∴()()444412log 41log 41log 41x x

x

x kx --+=+-+=+，∴2kx x =-，∴12

k =-．．．．．．．．4

分

（2）由题意()[]242,0,log 3x x h x m x =+?∈，令[]21,3x t =∈，

()[]2,1,3t t mt t ?=+∈，开口向上，对称轴2

m t =-

， 当12

m

-

≤，即2m ≥-时，()()min 110,1t m m ??==+==-，．．．．．．．．．．．．．．6分 当132

m

<-

<，即62m -<<-时， ()2

min

0,024m m t m ????

=-=-== ???

（舍去），．．．．．．．．．．．．．．8分

当6，即32

-≤≥-m m

时，()()min 3930t m ??==+=，∴3m =-（舍去）

．．．．．．．10分

存在1m =-使得()h x 最小值为0．．．．．．．．．．．．．．．12分

22.【答案】（I ）1

5（II ）[2,)+∞

【解析】（I ）∵4t =，

∴2

4(1)()()()2log (22)log log a a a

x F x g x f x x x x +=-=+-= 1

log 4(2)a x x =+

+， ．．．．．．．．．．．．．．2分

易证

1()4(2)h x x x =+

+在1[,1]4上单调递减，在[1,2]上单调递增，且1()(2)4h h >，

∴

min

()(1)16h x h ==，max 1

()()254h x h ==，．．．．．．．．．．．．．．4分

∴当1a >时，

min ()log 16

a F x =，由

log 162

a =-，解得

1

4a =

（舍去）

当01a <<时，

min ()log 25

a F x =，由

log 252

a =-，解得

15a =

. ．．．．．．．．．．．．．．6分

综上知实数a 的值是1

5. ．．．．．．．．．．．．．．7分

（II ）∵()()f x g x ≥恒成立，即log 2log (22)a a x x t ≥+-恒成立，

∴1

log log (22)2a a x x t ≥+-.

又∵01a <<，1

[,2]

4x ∈

22x t ≤+-，

22t x ≥-+∴恒成立，

∴

max (22)t x ≥-.．

．．．．．．．．．．．．．10分

令21171

22)([,2])

484y x x =-=-+∈，

∴

max 2

y =.

故实数t 的取值范围为[2,)+∞.．．．．．．．．．．．．．．12分