2020年高考理科数学原创专题卷:《基本初等函数》

原创理科数学专题卷 专题 基本初等函数

考点07:指数与指数函数(1—3题,8—10题,13,14题,17-19题) 考点08:对数与对数函数(4—7题,8—10题,15题,17题,20-22题) 考点09:二次函数与幂函数(11,12题,16题)

考试时间:120分钟 满分:150分

说明:请将选择题正确答案填写在答题卡上,主观题写在答题纸上

第I 卷(选择题)

一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的。) 1.【来源】2017届黑龙江虎林一中高三期中 考点07 易

函数 2212x x

y -+??= ?

??

的值域是( )

A.R

B.1,2??+∞????

C.()2,+∞

D.()0,+∞ 2. 【来源】2017届黑龙江虎林一中高三期中 考点07 中难

设函数 ()1221,0,0

x x f x x x -?-≤?

=??>? 如果 ()01f x >,则0x 的取值范围是( )

A.

()

1,1- B.

()()

1,01,-+∞U C.

()(),11,-∞-+∞U

D.()(),10,1-∞-U

3.【2017课标1,理11】 考点07 难 设x 、y 、z 为正数,且235x y z ==,则( )

A .2x <3y <5z

B .5z <2x <3y

C .3y <5z <2x

D .3y <2x <5z

4.【来源】2016-2017学年黑龙江虎林一中月考 考点08 易

已知函数()()3log 472a f x x =-+(0a >且1a ≠)过定点P ,则P 点坐标( ) A .()1,2 B .7

,24?? ???

C.()2,2 D .()3,2 5.【来源】2016-2017学年河北定州中学周练考点08 易

若函数[)[]??

???∈-∈=1,0,40,1,41)(x x x f x x )( ,则411log 33f f ???

?=?? ??

???( )

A.3

1

B.3

C.4

1 D.4

6.【2017北京,理8】 考点08中难

根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子

总数N 约为1080.则下列各数中与M N

最接近的是( )

(参考数据:l g3≈0.48)

(A )1033 (B )1053 (C )1073 (D )1093[

7.【来源】2016-2017学年浙江杭州西湖高级中学期中 考点08中难

函数2

()log )f x x =的最小值为( )

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A .0

B .12-

C .14-

D .1

2

8.【2017江西九江三模】考点07,考点08 易

已知 1.3

0.7

2,4,ln6a b c ===,则,,a b c 的大小关系为( ) A. a b c << B. b c a << C. c a b << D. c b a << 9.【2017天津,理6】 考点07考点08,中难

已知奇函数()f x 在R 上是增函数, ()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-,0.8(2)b g =,(3)c g =,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A a b c << B c b a <<

C b a c <<

D b c a <<

10.【来源】2017届山西太原市高三上期中 考点07考点08,难

已知函数()()1

2

22,0log ,0x x f x x x ?-≥?

=?-

+∞ ???U U B.(]()21,21,1,log 32?

?-∞--- ???U U

C.(]()1,10,1,2?

?-∞-+∞ ???

U U D.(](]()2,31,01,log 3-∞--U U

11.【来源】2016-2017学年黑龙江佳木斯一中期中 考点09 易 幂函数m x m m

x f )1()(2

--=在()0,+∞上是增函数,则m =( )

A .2

B .-1

C .4

D .2或-1 12.【来源】2017届河北定州中学高三周练 考点09 中难

给出下列函数①()x x f ??

? ??=21;②()2x x f =;③()3

x x f =;④()21

x x f =;⑤

()x x f 2log =.其中满足条件f 12(

)2x x +>

12()()

2

f x f x + )0(21x x <<的函数的个数是( )

A .1个

B .2个

C .3个

D .4个

第Ⅱ卷(非选择题)

二.填空题(每题5分,共20分) 13.【来源】2016届辽宁省抚顺一中高三四模 考点07 中难

当(,1]x ∈-∞,不等式

212401

x x a

a a ++?>-+恒成立,则实数a 的取值范围为________. 14.【来源】2016届四川南充高中高三4月模拟 考点07 中难

已知函数()22x x f x -=-,若不等式()

()230f x ax a f -++>对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是 . 15.【来源】2016届吉林省白城一中高三下4月月考 考点08 中难 已知函数1)391ln()(2+-+=x x x f ,则=+)2

1(lg )2(lg f f _______. 16.【来源】2016届辽宁省大连师大附中高三下学期精品试卷 考点09 难 若12a

x

x >对于(0,1)x ?∈恒成立,则实数a 的取值范围是_______________.

三.解答题(共70分) 17.(本题满分10分)【来源】2017届山东潍坊中学高三上学期月考 考点07,考点08 易 化简求值:

(1)()

)

211

3

2

270.00210

2

8-

--

??+- ?

??

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(2)()2

66661log 3log 2log 18log 4??-+÷??

g .

18.(本题满分12分)【来源】2017届吉林镇赉县一中高三上月考 考点07 易 已知函数()(,x

f x ka k a -=为常数,01a a >≠且)的图象过点()()0,1,3,8A B .

(1)求实数,k a 的值;

(2)若函数()()()1

1

f x

g x f x -=

+,试判断函数

()

g x 的奇偶性, 并说明理由.

19.(本题满分12分)【来源】2017届湖北襄阳一中高三月考 考点07 中难 已知函数()()27

412

01x x f x a a a --=->≠且.

(1)当2

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a =时,求不等式()0f x <的解集;

(2)当[]0,1x ∈时,()0f x <恒成立,求实数a 的取值范围. 20.(本题满分12分)【来源】2017届云南曲靖一中高三月考 考点08 易 已知函数)32(log )(22

1+-=ax x x f .

(1)当1-=a 时,求函数的值域;

(2)是否存在R a ∈,使)(x f 在)2,(-∞上单调递增,若存在,求出a 的取值范围;不存在,请说明理由. 21.(本题满分12分)【来源】2016-2017学年河南郸城县一高中月考 考点08 中难 已知函数()()

()4log 41x f x kx k R =++∈是偶函数. (1)求k 的值;

(2)若函数()()[]12

24

21,0,log 3f x x

x h x m x +=+-∈g ,是否存在实数m 使得()h x 最小值

为0,若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由. 22.(本题满分12分)【来源】2017届湖南郴州市高三上学期质监一 考点08 难 已知函数()log a f x x =,()2log (22)a g x x t =+-,其中0a >且1a ≠,t R ∈.

(I )若4t =,且1[,2]4

x ∈时,()()()F x g x f x =-的最小值是-2,求实数a 的值;

(II )若01a <<,且1[,2]4

x ∈时,有()()f x g x ≥恒成立,求实数t 的取值范围.

参考答案

1.【答案】B

【解析】∵()11122

2

≥+--=+-x x x ,∴函数 2212x x

y -+??

= ?

??

的值域是1,2??+∞????

.

2.【答案】C

【解析】当00≤x 时,112

>--x ,则10-x 时,1210

>x ,则10>x ,故0x 的

取值范围是()(),11,-∞-+∞U ,故选C. 3.【答案】D

【解析】令235(1)x

y

z

k k ===>,则2log x k =,3log y k =,5log z k = ∴

22lg lg 3lg 9

13lg 23lg lg8

x k y k =?=>,则23x y >, 22lg lg 5lg 2515lg 25lg lg 32

x k z k =?=<,则25x z <,故选D. 4.【答案】C

【解析】令471x -=,得2x =,所以()23log 122a f =+=,所以P 点坐标为()2,2. 5.【答案】D

【解析】 因为

()[)[]?????∈-∈??? ??=1,0,40,1,41x x x f x x

,且[]0,131log 4-∈,所以34131log 3

1

log 44

=?

?? ??=??? ?

?

f ,(),441,131lo

g 3

1

14===??? ?

?

f f 所以

431log 314=????????? ?

?

f f ,

故选D. 6.【答案】D 【解析】

设36180310M x N == ,两边取对数,361

36180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810

x ==-=?-=,所以93.2810x =,即M

N

最接近9310,故选D. 7.【答案】C 【解析】

()()()()()2

2

2

22222

111log 2log 21log log log log 224f x x x x x x x ???

?==+=+=+-

??????

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?g ,所以函数()f x 的最小值为1

4

-.

8.【答案】C

【解析】因为0.7 1.4 1.34222b ==>>, 2ln6lne 2c =<=,所以c a b <<;故选C.

9.【答案】C

【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数,所以在0x >时,()0f x >, 从而()()g x xf x =是R 上的偶函数,且在[0,)+∞上是增函数,

22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=,

0.822<,又4 5.18<<,则22log 5.13<<,所以即0.8202log 5.13<<<,

0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<,

所以b a c <<,故选C .

10.【答案】B

【解析】由()0f x <得,10<≤

x 或1x <-,所以1)(0<≤m f 或1)(-

1)(0<≤m f 得?

??

?

??<≤-<<-3log

m 1或2112

m m ,由()1f m <-得{}|2m m <-,所以实数m 的取值范围为(]()21,21,1,log 32??

-∞---

??

?

U U ,故选B.

11.【答案】A

【解析】根据幂函数的定义可知,112=--m m ,解得21或-=m ,所以()1

-=x x f 或

()2x x f =,又因为()x f 在()+∞,0上是增函数,所以()2x x f =,2=m ,故选A.

12.【答案】B

【解析】①()x

x f ??

?

??=21为底数小于1且大于0的指数函数,在第一象限是下凸图象,故不

满足条件;②()2

x x f =是开口向上的抛物线,在第一象限是下凸图象,故不满足条件;③

()3

x x f =是幂函数,在第一象限是下凸图象,故不满足条件;④()2

1x x f =是幂函数,在

第一象限是上凸图象,故满足条件;⑤()x x f 2log =是底数大于1的对数函数,在第一象限是上凸图象,故满足条件.故选:B . 13.【答案】34

a >-

【解析】显然2213

1()02

4

a a a -+=-+

>,所以原不等式即为1240x x a ++?>,11()()42x x a -<+,易知函数11

()()42x x y =+是减函数,因此当(,1]x ∈-∞时,

113424y =+=最小,所以34a -<,即34

a >-.

14.【答案】26a -<<

【解析】2,2x x y y -==在R 分别为增函数、减函数,则()22x x f x -=-为增函数;

()22()x x f x f x --=-=-Q ,()f x ∴在R 为奇函数;()()230f x ax a f -++>Q ,

()()23f x ax a f ∴-+>-,()()23f x ax a f ∴-+>-,23x ax a ∴-+>-,230x ax a ∴-++>在R 上恒成立,2()41(3)0a a ∴--??+<,24120a a ∴--<,

26a ∴-<<.

15.【答案】2

【解析】()()()()

221ln 2391ln 391ln 22=+=+-++++=+-x x x x x f x f ,

()()()22lg 2lg 21lg 2lg =-+=??

?

??+f f f f

16.【答案】ln 2a e >-

【解析】 12a

x

x > ,1ln 2ln a x x ∴>,(0,1)x ∈Q ,1ln 2ln a x x ∴

>

,令1

()ln f x x x

=,01x <<,

'2

ln 1()(ln )x f x x x +∴=-,令'

()0f x >,10x e ∴<<,令0)(

∴<<,

()f x ∴在1(0,)e 递增;在1(,1)e 上递减,max 1()()f x f e e ∴==-,ln 2

a

e ∴>-,

ln 2a e ∴>-.

17.【答案】(1)

176

9-

(2)1 【解析】(1

)原式)

2

121

3

2

3

22718500102

850027-

-

??????=+=+- ?

? ???

??

??

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41762099=

+=-……………………………(5分)

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(2)原式()()266666612log 3log 3log log 63log 4

3??

=-++?÷????g

()()()2

6666612log 3log 31log 31log 3log 4??=-++-+÷??

()()22

6666662(1log 3)12log 3log 31log 3log 42log 2-??==-++-÷=??

66666log 6log 3log 2

1

2log 22log 2-=

==……………………………(10分)

18.【答案】(1)1

1,2

k a ==

;(2)奇函数,理由见解析. 【解析】(1)Q 函数()(,x

f x ka k a -=为常数,0a > 且1a ≠)的图象过点

()()0,1,3,81A B k ∴=,且38ka -=,解得1

1,2

k a ==.……………………………(4分)

(2)函数()g x 为奇函数。 理由如下:由(1)得()1

22

x x f x -=

=, ∴

()()()121

121

x x

f x

g x f x --==++,定义域为R, ……………………………(6分 ∴ 则()()211221211221

x x x x x x g x g x ------===-=-+++,……………………………(11分) 所以函数()g x 为奇函数.……………………………(12分)

19.【答案】(1)15,8?

?-∞ ???;(2

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)()1,1284a ??∈ ? ???

U .

【解析】(1)

由于1222

a -==,于是不等式()0f x <即为()1

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4127222x x ---<.............2分

所以()127412x x -=-

-,解得15

8

x <.

..................4分 即原不等式的解集为15,

8?

?

-∞ ???

.........................6分 (2)由147

22--

lg 4lg

4a a x +?<0......7分

设128

lg

4

lg

)(4

a a

x x f +?=,则()f x 为一次函数或常数函数,由[]

0,1x ∈时, ()0f x <恒成立得:

()(

)242

4

1lg lg 010lg 03211281283200401280128lg 0128a f a a a a f a a a ?+???????<

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<<

, 又0a >且1a ≠

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,∴(),11,1284a ??∈ ? ???

U ..........................12分

20.【答案】(1)]1,(--∞;(2)不存在R a ∈,使)(x f 在)2,(-∞上单调递增. 【解析】(1)当1-=a 时,)32(log )(22

1++=x x x f ,

设22)1(32)(2

2≥++=++=x x x x h ,∴1)(-≤x f ,∴)(x f 的值域为

]1,(--∞..

........................6分 (2)要使)(x f 在)2,(-∞上单调递增,只需32)(2

+-=ax x x h 在)2,(-∞上单调递减且

0322>+-ax x 在)2,(-∞上恒成立,所以???≥≥,

0)2(,

2h a 此不等无解,..................10

故不存在R a ∈,使)(x f 在)2,(-∞上单调递增. .........................12分

21.【答案】(1)1

2

-

;(2)存在()1,m h x =-最小值为0. 【解析】(1)∵()()f x f x -=,

即()()

44log 41log 41x x kx kx -+-=++对于任意x R ∈恒成立,

∴()()444412log 41log 41log 41x x

x

x kx --+=+-+=+,∴2kx x =-,∴12

k =-........4

(2)由题意()[]242,0,log 3x x h x m x =+?∈,令[]21,3x t =∈,

()[]2,1,3t t mt t ?=+∈,开口向上,对称轴2

m t =-

, 当12

m

-

≤,即2m ≥-时,()()min 110,1t m m ??==+==-,..............6分 当132

m

<-

<,即62m -<<-时, ()2

min

0,024m m t m ????

=-=-== ???

(舍去),..............8分

当6,即32

-≤≥-m m

时,()()min 3930t m ??==+=,∴3m =-(舍去)

.......10分

存在1m =-使得()h x 最小值为0...............12分

22.【答案】(I )1

5(II )[2,)+∞

【解析】(I )∵4t =,

∴2

4(1)()()()2log (22)log log a a a

x F x g x f x x x x +=-=+-= 1

log 4(2)a x x =+

+, ..............2分

易证

1()4(2)h x x x =+

+在1[,1]4上单调递减,在[1,2]上单调递增,且1()(2)4h h >,

min

()(1)16h x h ==,max 1

()()254h x h ==,..............4分

∴当1a >时,

min ()log 16

a F x =,由

log 162

a =-,解得

1

4a =

(舍去)

当01a <<时,

min ()log 25

a F x =,由

log 252

a =-,解得

15a =

. ..............6分

综上知实数a 的值是1

5. ..............7分

(II )∵()()f x g x ≥恒成立,即log 2log (22)a a x x t ≥+-恒成立,

∴1

log log (22)2a a x x t ≥+-.

又∵01a <<,1

[,2]

4x ∈

22x t ≤+-,

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22t x ≥-+∴恒成立,

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max (22)t x ≥-..

.............10分

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令21171

22)([,2])

484y x x =-=-+∈,

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max 2

y =.

故实数t 的取值范围为[2,)+∞...............12分