2020年高考理科数学原创专题卷:《基本初等函数》

原创理科数学专题卷 专题 基本初等函数
考点07:指数与指数函数(1—3题,8—10题,13,14题,17-19题) 考点08:对数与对数函数(4—7题,8—10题,15题,17题,20-22题) 考点09:二次函数与幂函数(11,12题,16题)
考试时间:120分钟 满分:150分
说明:请将选择题正确答案填写在答题卡上,主观题写在答题纸上
第I 卷(选择题)
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的。) 1.【来源】2017届黑龙江虎林一中高三期中 考点07 易
函数 2212x x
y -+??= ?
??
的值域是( )
A.R
B.1,2??+∞????
C.()2,+∞
D.()0,+∞ 2. 【来源】2017届黑龙江虎林一中高三期中 考点07 中难
设函数 ()1221,0,0
x x f x x x -?-≤?
=??>? 如果 ()01f x >,则0x 的取值范围是( )
A.
()
1,1- B.
()()
1,01,-+∞U C.
()(),11,-∞-+∞U
D.()(),10,1-∞-U
3.【2017课标1,理11】 考点07 难 设x 、y 、z 为正数,且235x y z ==,则( )
A .2x <3y <5z
B .5z <2x <3y
C .3y <5z <2x
D .3y <2x <5z
4.【来源】2016-2017学年黑龙江虎林一中月考 考点08 易
已知函数()()3log 472a f x x =-+(0a >且1a ≠)过定点P ,则P 点坐标( ) A .()1,2 B .7
,24?? ???
C.()2,2 D .()3,2 5.【来源】2016-2017学年河北定州中学周练考点08 易
若函数[)[]??
???∈-∈=1,0,40,1,41)(x x x f x x )( ,则411log 33f f ???
?=?? ??
???( )
A.3
1
B.3
C.4
1 D.4

6.【2017北京,理8】 考点08中难
根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子
总数N 约为1080.则下列各数中与M N
最接近的是( )
(参考数据:l g3≈0.48)
(A )1033 (B )1053 (C )1073 (D )1093[
7.【来源】2016-2017学年浙江杭州西湖高级中学期中 考点08中难
函数2
()log )f x x =的最小值为( )
A .0
B .12-
C .14-
D .1
2
8.【2017江西九江三模】考点07,考点08 易
已知 1.3
0.7
2,4,ln6a b c ===,则,,a b c 的大小关系为( ) A. a b c << B. b c a << C. c a b << D. c b a << 9.【2017天津,理6】 考点07考点08,中难
已知奇函数()f x 在R 上是增函数, ()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-,0.8(2)b g =,(3)c g =,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A a b c << B c b a <<
C b a c <<
D b c a <<
10.【来源】2017届山西太原市高三上期中 考点07考点08,难
已知函数()()1
2
22,0log ,0x x f x x x ?-≥?
=?-?,若()0f f m ???,则实数m 的取值范围为( ) A.(]()13,1,12,2??---
+∞ ???U U B.(]()21,21,1,log 32?
?-∞--- ???U U
C.(]()1,10,1,2?
?-∞-+∞ ???
U U D.(](]()2,31,01,log 3-∞--U U
11.【来源】2016-2017学年黑龙江佳木斯一中期中 考点09 易 幂函数m x m m
x f )1()(2
--=在()0,+∞上是增函数,则m =( )
A .2
B .-1
C .4
D .2或-1 12.【来源】2017届河北定州中学高三周练 考点09 中难
给出下列函数①()x x f ??
? ??=21;②()2x x f =;③()3
x x f =;④()21
x x f =;⑤
()x x f 2log =.其中满足条件f 12(
)2x x +>
12()()
2
f x f x + )0(21x x <<的函数的个数是( )
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
第Ⅱ卷(非选择题)
二.填空题(每题5分,共20分) 13.【来源】2016届辽宁省抚顺一中高三四模 考点07 中难
当(,1]x ∈-∞,不等式
212401
x x a
a a ++?>-+恒成立,则实数a 的取值范围为________. 14.【来源】2016届四川南充高中高三4月模拟 考点07 中难
已知函数()22x x f x -=-,若不等式()
()230f x ax a f -++>对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是 . 15.【来源】2016届吉林省白城一中高三下4月月考 考点08 中难 已知函数1)391ln()(2+-+=x x x f ,则=+)2
1(lg )2(lg f f _______. 16.【来源】2016届辽宁省大连师大附中高三下学期精品试卷 考点09 难 若12a
x
x >对于(0,1)x ?∈恒成立,则实数a 的取值范围是_______________.
三.解答题(共70分) 17.(本题满分10分)【来源】2017届山东潍坊中学高三上学期月考 考点07,考点08 易 化简求值:
(1)()
)
211
3
2
270.00210
2
8-
--
??+- ?
??
;
(2)()2
66661log 3log 2log 18log 4??-+÷??
g .
18.(本题满分12分)【来源】2017届吉林镇赉县一中高三上月考 考点07 易 已知函数()(,x
f x ka k a -=为常数,01a a >≠且)的图象过点()()0,1,3,8A B .
(1)求实数,k a 的值;
(2)若函数()()()1
1
f x
g x f x -=
+,试判断函数
()
g x 的奇偶性, 并说明理由.
19.(本题满分12分)【来源】2017届湖北襄阳一中高三月考 考点07 中难 已知函数()()27
412
01x x f x a a a --=->≠且.
(1)当2
a =时,求不等式()0f x <的解集;
(2)当[]0,1x ∈时,()0f x <恒成立,求实数a 的取值范围. 20.(本题满分12分)【来源】2017届云南曲靖一中高三月考 考点08 易 已知函数)32(log )(22
1+-=ax x x f .
(1)当1-=a 时,求函数的值域;
(2)是否存在R a ∈,使)(x f 在)2,(-∞上单调递增,若存在,求出a 的取值范围;不存在,请说明理由. 21.(本题满分12分)【来源】2016-2017学年河南郸城县一高中月考 考点08 中难 已知函数()()
()4log 41x f x kx k R =++∈是偶函数. (1)求k 的值;
(2)若函数()()[]12
24
21,0,log 3f x x
x h x m x +=+-∈g ,是否存在实数m 使得()h x 最小值
为0,若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由. 22.(本题满分12分)【来源】2017届湖南郴州市高三上学期质监一 考点08 难 已知函数()log a f x x =,()2log (22)a g x x t =+-,其中0a >且1a ≠,t R ∈.
(I )若4t =,且1[,2]4
x ∈时,()()()F x g x f x =-的最小值是-2,求实数a 的值;
(II )若01a <<,且1[,2]4
x ∈时,有()()f x g x ≥恒成立,求实数t 的取值范围.
参考答案
1.【答案】B
【解析】∵()11122
2
≥+--=+-x x x ,∴函数 2212x x
y -+??
= ?
??
的值域是1,2??+∞????
.
2.【答案】C
【解析】当00≤x 时,112
>--x ,则10-
>x ,则10>x ,故0x 的
取值范围是()(),11,-∞-+∞U ,故选C. 3.【答案】D
【解析】令235(1)x
y
z
k k ===>,则2log x k =,3log y k =,5log z k = ∴
22lg lg 3lg 9
13lg 23lg lg8
x k y k =?=>,则23x y >, 22lg lg 5lg 2515lg 25lg lg 32
x k z k =?=<,则25x z <,故选D. 4.【答案】C
【解析】令471x -=,得2x =,所以()23log 122a f =+=,所以P 点坐标为()2,2. 5.【答案】D
【解析】 因为
()[)[]?????∈-∈??? ??=1,0,40,1,41x x x f x x
,且[]0,131log 4-∈,所以34131log 3
1
log 44
=?
?? ??=??? ?
?
f ,(),441,131lo
g 3
1
14===??? ?
?
∴
f f 所以
431log 314=????????? ?
?
f f ,
故选D. 6.【答案】D 【解析】
设36180310M x N == ,两边取对数,361
36180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810
x ==-=?-=,所以93.2810x =,即M
N
最接近9310,故选D. 7.【答案】C 【解析】
()()()()()2
2
2
22222
111log 2log 21log log log log 224f x x x x x x x ???
?==+=+=+-
??????
?g ,所以函数()f x 的最小值为1
4
-.
8.【答案】C
【解析】因为0.7 1.4 1.34222b ==>>, 2ln6lne 2c =<=,所以c a b <<;故选C.
9.【答案】C
【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数,所以在0x >时,()0f x >, 从而()()g x xf x =是R 上的偶函数,且在[0,)+∞上是增函数,
22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=,
0.822<,又4 5.18<<,则22log 5.13<<,所以即0.8202log 5.13<<<,
0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<,
所以b a c <<,故选C .
10.【答案】B
【解析】由()0f x <得,10<≤
x 或1x <-,所以1)(0<≤m f 或1)(- 1)(0<≤m f 得? ?? ? ??<≤-<<-3log m 1或2112 m m ,由()1f m <-得{}|2m m <-,所以实数m 的取值范围为(]()21,21,1,log 32?? -∞--- ?? ? U U ,故选B. 11.【答案】A 【解析】根据幂函数的定义可知,112=--m m ,解得21或-=m ,所以()1 -=x x f 或 ()2x x f =,又因为()x f 在()+∞,0上是增函数,所以()2x x f =,2=m ,故选A. 12.【答案】B 【解析】①()x x f ?? ? ??=21为底数小于1且大于0的指数函数,在第一象限是下凸图象,故不 满足条件;②()2 x x f =是开口向上的抛物线,在第一象限是下凸图象,故不满足条件;③ ()3 x x f =是幂函数,在第一象限是下凸图象,故不满足条件;④()2 1x x f =是幂函数,在 第一象限是上凸图象,故满足条件;⑤()x x f 2log =是底数大于1的对数函数,在第一象限是上凸图象,故满足条件.故选:B . 13.【答案】34 a >- 【解析】显然2213 1()02 4 a a a -+=-+ >,所以原不等式即为1240x x a ++?>,11()()42x x a -<+,易知函数11 ()()42x x y =+是减函数,因此当(,1]x ∈-∞时, 113424y =+=最小,所以34a -<,即34 a >-. 14.【答案】26a -<< 【解析】2,2x x y y -==在R 分别为增函数、减函数,则()22x x f x -=-为增函数; ()22()x x f x f x --=-=-Q ,()f x ∴在R 为奇函数;()()230f x ax a f -++>Q , ()()23f x ax a f ∴-+>-,()()23f x ax a f ∴-+>-,23x ax a ∴-+>-,230x ax a ∴-++>在R 上恒成立,2()41(3)0a a ∴--??+<,24120a a ∴--<, 26a ∴-<<. 15.【答案】2 【解析】()()()() 221ln 2391ln 391ln 22=+=+-++++=+-x x x x x f x f , ()()()22lg 2lg 21lg 2lg =-+=?? ? ??+f f f f 16.【答案】ln 2a e >- 【解析】 12a x x > ,1ln 2ln a x x ∴>,(0,1)x ∈Q ,1ln 2ln a x x ∴ > ,令1 ()ln f x x x =,01x <<, '2 ln 1()(ln )x f x x x +∴=-,令' ()0f x >,10x e ∴<<,令0)( ∴<<, ()f x ∴在1(0,)e 递增;在1(,1)e 上递减,max 1()()f x f e e ∴==-,ln 2 a e ∴>-, ln 2a e ∴>-. 17.【答案】(1) 176 9- (2)1 【解析】(1 )原式) 2 121 3 2 3 22718500102 850027- - ??????=+=+- ? ? ??? ?? ?? 41762099= +=-……………………………(5分) (2)原式()()266666612log 3log 3log log 63log 4 3?? =-++?÷????g ()()()2 6666612log 3log 31log 31log 3log 4??=-++-+÷?? ()()22 6666662(1log 3)12log 3log 31log 3log 42log 2-??==-++-÷=?? 66666log 6log 3log 2 1 2log 22log 2-= ==……………………………(10分) 18.【答案】(1)1 1,2 k a == ;(2)奇函数,理由见解析. 【解析】(1)Q 函数()(,x f x ka k a -=为常数,0a > 且1a ≠)的图象过点 ()()0,1,3,81A B k ∴=,且38ka -=,解得1 1,2 k a ==.……………………………(4分) (2)函数()g x 为奇函数。 理由如下:由(1)得()1 22 x x f x -= =, ∴ ()()()121 121 x x f x g x f x --==++,定义域为R, ……………………………(6分 ∴ 则()()211221211221 x x x x x x g x g x ------===-=-+++,……………………………(11分) 所以函数()g x 为奇函数.……………………………(12分) 19.【答案】(1)15,8? ?-∞ ???;(2 )()1,1284a ??∈ ? ??? U . 【解析】(1) 由于1222 a -==,于是不等式()0f x <即为()1 4127222x x ---<.............2分 所以()127412x x -=- -,解得15 8 x <. ..................4分 即原不等式的解集为15, 8? ? -∞ ??? .........................6分 (2)由147 22-- lg 4lg 4a a x +?<0......7分 设128 lg 4 lg )(4 a a x x f +?=,则()f x 为一次函数或常数函数,由[] 0,1x ∈时, ()0f x <恒成立得: ()( )242 4 1lg lg 010lg 03211281283200401280128lg 0128a f a a a a f a a a ?+??<>???????<??? <<????<<?? , 又0a >且1a ≠ ,∴(),11,1284a ??∈ ? ??? U ..........................12分 20.【答案】(1)]1,(--∞;(2)不存在R a ∈,使)(x f 在)2,(-∞上单调递增. 【解析】(1)当1-=a 时,)32(log )(22 1++=x x x f , 设22)1(32)(2 2≥++=++=x x x x h ,∴1)(-≤x f ,∴)(x f 的值域为 ]1,(--∞.. ........................6分 (2)要使)(x f 在)2,(-∞上单调递增,只需32)(2 +-=ax x x h 在)2,(-∞上单调递减且 0322>+-ax x 在)2,(-∞上恒成立,所以???≥≥, 0)2(, 2h a 此不等无解,..................10 分 故不存在R a ∈,使)(x f 在)2,(-∞上单调递增. .........................12分 21.【答案】(1)1 2 - ;(2)存在()1,m h x =-最小值为0. 【解析】(1)∵()()f x f x -=, 即()() 44log 41log 41x x kx kx -+-=++对于任意x R ∈恒成立, ∴()()444412log 41log 41log 41x x x x kx --+=+-+=+,∴2kx x =-,∴12 k =-........4 分 (2)由题意()[]242,0,log 3x x h x m x =+?∈,令[]21,3x t =∈, ()[]2,1,3t t mt t ?=+∈,开口向上,对称轴2 m t =- , 当12 m - ≤,即2m ≥-时,()()min 110,1t m m ??==+==-,..............6分 当132 m <- <,即62m -<<-时, ()2 min 0,024m m t m ???? =-=-== ??? (舍去),..............8分 当6,即32 -≤≥-m m 时,()()min 3930t m ??==+=,∴3m =-(舍去) .......10分 存在1m =-使得()h x 最小值为0...............12分 22.【答案】(I )1 5(II )[2,)+∞ 【解析】(I )∵4t =, ∴2 4(1)()()()2log (22)log log a a a x F x g x f x x x x +=-=+-= 1 log 4(2)a x x =+ +, ..............2分 易证 1()4(2)h x x x =+ +在1[,1]4上单调递减,在[1,2]上单调递增,且1()(2)4h h >, ∴ min ()(1)16h x h ==,max 1 ()()254h x h ==,..............4分 ∴当1a >时, min ()log 16 a F x =,由 log 162 a =-,解得 1 4a = (舍去) 当01a <<时, min ()log 25 a F x =,由 log 252 a =-,解得 15a = . ..............6分 综上知实数a 的值是1 5. ..............7分 (II )∵()()f x g x ≥恒成立,即log 2log (22)a a x x t ≥+-恒成立, ∴1 log log (22)2a a x x t ≥+-. 又∵01a <<,1 [,2] 4x ∈ 22x t ≤+-, 22t x ≥-+∴恒成立, ∴ max (22)t x ≥-.. .............10分 令21171 22)([,2]) 484y x x =-=-+∈, ∴ max 2 y =. 故实数t 的取值范围为[2,)+∞...............12分