2020年高考理科数学原创专题卷:《三角函数》

原创理科数学专题卷 专题 三角函数

考点16:三角函数的有关概念、同角三角函数关系式及诱导公式(1-4题,13题,17题) 考点17:三角函数的图象及其变换(5,6题,18题)

考点18:三角函数的性质及其应用(7-12题,14-16题,19-22题)

考试时间:120分钟 满分:150分

说明:请将选择题正确答案填写在答题卡上,主观题写在答题纸上

第I 卷(选择题)

一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的。) 1.【来源】2017届山西运城市高三上学期期中 考点16 易

已知3cos(

)25π

?+=,且||2π

?<,则tan ?为( ) A .43- B .43 C .34- D .34

2.【来源】2016-2017学年广东清远三中高二月考 考点16 易 设3tan =α,则

=++--+-)

2

cos()2

sin(

)cos()sin(απ

απ

αππα( ).

A .3

B .2

C .1

D .﹣1 3.【来源】2017届山东临沂市高三理上学期期中 考点16 易 若点22sin

,cos 33ππ?

? ??

?

在角α的终边上,则sin α的值为 A. 12-

B. 2-12

D. 2

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4.【来源】2017届山东德州市高三上学期期中 考点16 中难

已知sin cos x x +=()0 x π∈,

,则tan x =( )

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A.

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5.【来源】2017届湖南五市十校高三理12月联考 考点17 中难

已知函数()()sin 0,2f x x πω?ω??

?=+>< ???的部分图象如图,则2016

1

6

n n f π

=??

= ???

∑( )

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A .-1

B .0

C .

1

2

D .1 6.【2017课标1,理9】 考点17 中难 已知曲线C 1:y =cos x ,C 2:y =sin (2x +

3

),则下面结论正确的是 A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6

个单位长度,得到曲线C 2

B .把

C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π

12

个单位长度,得到曲线C 2

C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2

D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12

个单位长度,得到曲线C 2

7.【2017课标3,理6】 考点18 易 设函数f (x )=cos (x +

3

π

),则下列结论错误的是 A .f (x )的一个周期为?2π

B .y =f (x )的图像关于直线x =

83

π

对称 C .f (x +π)的一个零点为x =

6π D .f (x )在(2

π

,π)单调递减 8.【来源】2016-2017学年广东清远三中高二文上学期月考 考点18 中难

定义行列式运算=a 1a 4﹣a 2a 3.将函数f (x )=的图象向左平移n (n >0)

个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则n 的最小值为(). A .

B .

C .

D .

9.【来源】2017届河南豫北名校联盟高三文上精英对抗赛 考点18 中难

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已知函数()sin f x x x =+,当[0,]x π∈时,()1f x ≥的概率为( ) A.

13 B.14 C.15 D.1

2

10.【2017天津,理7】 考点18 中难

设函数()2sin()f x x ω?=+,x ∈R ,其中0ω>,||?<π.若5()28f π=,()08

f 11π

=,

且()f x 的最小正周期大于2π,则( )

A 23ω=

,12?π= B 23ω=,12?11π=- C 13ω=,24?11π=- D 13ω=,24?7π

= 11.【来源】2017届福建厦门一中高三理上期中 考点18 难

若函数()1

sin 2cos 2

f x x a x =

+在()0,π上单调递增,则a 的取值范围是( ) A.(],1-∞- B.[)1,-+∞ C.(],1-∞ D.[)1,+∞

12.【来源】2017届重庆市一中高三上学期期中 考点18 难 已知)2

,

0(π

∈x ,则函数x x x x x f cot cos tan sin )(+=的值域为( )

A .)2,1[

B .),2[+∞

C .]2,1(

D .),1[+∞ 第Ⅱ卷(非选择题) 二.填空题(每题5分,共20分)

13.【2017北京,理12】 考点16 中难

在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称. 若1

sin 3

α=

,cos()αβ-=___________. 14.【2017课标II ,理14】 考点18 易 函数(

)23sin 4f x x x =-

(0,2x π??

∈????

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)的最大值是 。 15.【来源】【百强校】2015-2016福建师大附中高一下期中考数学(实验班)试卷 考点18

中难

已知函数sin()4y x π

ω=+

(0ω>)是区间3

[,]4

ππ上的增函数,则ω的取值范围是 . 16.【来源】2016届山西太原市高三第二次模拟考试 考点18 难

已知关于x 的函

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数22

2sin()4()2cos tx x x

f x x x

π

+++=+的最大值为a ,最小值为b ,若

2a

b +=,则实数t 的值为_________.

三.解答题(共70分) 17.(本题满分10分)【来源】2017届江苏南京市高三上学期学情调研 考点16易 如图,在平面直角坐标系xOy 中,以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单

位圆交于点,A B ,若点A 的横坐标是

310

10

,点B 的纵坐标是255.

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(1)求cos()αβ-的值;

(2)求αβ+的值.

18.(本题满分12分)【来源】2017届安徽六安一中高三上学期月考 考点17 易

已知向量)

1cos 3cos 22a x b x x x R ??=-=∈ ??

?r r

,,,,,设函数()f x a b =r r g .

(1)求()f x 的表达式并完成下面的表格和画出()f x 在[]0π,范围内的大致图象;

0 2π π

32

π

x

0 π

()f x

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(2)若方程()0f x m -=在[]0π,上有两个根α、β,求m 的取值范围及αβ+的值. 19.【2017山东,理16】考点18 易 设函数()sin()sin()62f x x x π

πωω=-+-,其中03ω<<.已知()06

f π

=.

(Ⅰ)求ω;

(Ⅱ)将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移

4π个单位,得到函数()y g x =的图象,求()g x 在3[,]44

ππ-上的最小值.

20.(本题满分12分)【来源】2017届江西省高三第一次联考考点18 中难 已知函数()21sin 2cos ,2f x m x x x R =--

∈,若tan 3α=()3

26

f α=-. (1)求实数m 的值及函数()f x 的最小正周期;

(2)求()f x 在[]0,π上的递增区间.

21.(本题满分12分)【来源】2017届湖北省百所重点校高三联合考试 考点18 中难 已知函数()2

3

3cos cos 2

f x x x x =++

. (1)当,63x ππ??

∈-???

?时,求函数()y f x =的值域;

(2)已知0ω>,函数()212x g x f ωπ??=+

???,若函数()g x 在区间2,36ππ??

-????

上是增函数,求ω的最大值.

22.(本题满分12分)【来源】2017届湖北襄阳五中高三上学期开学考试 考点18 难 函数()sin()(0,||)2

f x x π

ω?ω?=+><在它的某一个周期内的单调减区间是511[

,]1212

ππ. (1)求()f x 的解析式;

(2)将()y f x =的图象先向右平移

6π个单位,再将图象上所有点的横坐标变为原来的12

倍(纵坐标不变),所得到的图象对应的函数记为()g x ,若对于任意的3[,]88

x ππ

∈,不等式

|()|1g x m -<恒成立,求实数m 的取值范围.

参考答案

1.C

【解析】333cos(

),sin ,sin 2555π

???+=∴-==-

Q ,又||2

π

?<,则

4

3

cos sin tan 54cos -==∴=

???? 2.B 【解析】

sin()cos()sin cos tan 131

2cos sin 1tan 13

sin()cos()22

αππααααππ

ααααα-+-------=

===----++

3.A

【解析】21

32cos 3

2cos 32sin 3

2cos

sin 2

2-==+==

ππ

ππ

αr

y

,故选A.

4.D

【解析】因为()0 x π∈,

且0sin cos 1x x <+=<,所以3 2

4x π

π??∈ ???,,

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sin cos x x +=

2sin cos x x =

,即42sin 22,33

x x x ππ===

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tan x = D.

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5.B

【解析】由题意得25244126T πππωω==-?=,sin()1,326πππ

???+=

,因为sin 6

36n n f π

ππ????

=+ ?

?????,周期为6,一个周期的和为零,所以2016

1

6

n n f π

=??=

???∑0,选B.

6.【答案】D

【解析】)6

2cos()2322cos()322sin(:2ππππ+=-+=+=x x x y C ,则把1C 上各点的横坐标缩短到原来的21倍得到x y 2cos =,再将所得曲线向左平移12

π

个单位得到2C . 7.【答案】D 【解析】

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8.B

【解析】由题意可知(

)3cos sin 2cos 6f x x x x π??

=-=+

??

?

,向左平移n 个单位后得2cos 6y x n π?

?=++ ???

为偶函数566n k n πππ∴+=∴=

9.D

【解析】由()sin 3cos 2sin()13f x x x x π

=+=+

≥及[0,]x π∈得[0,]2

x π

∈,所以所求

概率为1

22

P π

π==,故选D.

15.【答案】A

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11.A

【解析】∵

()1

sin 2cos 2

f x x a x =+在区间

()

0,π上是增函数,∴

()0sin 2cos >-='x a x x f ,∴0sin sin 212>--x a x ,即0122>+--at t ,

(]1,0∈t ,∴t

t a 1

2+

-<,令()

t

t t g 1

2

+-=,则()

01

22

<-

-='t

t g ,∴(

)t g 在

(]1,0∈t 递减,∴()11-=

12

.B

【解析】Θx x x x x f cot cos tan sin )(+=

x x x x x x x x x x x x x x x x x f cos sin ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin cos sin sin cos cos sin )(23322-++=

+=+=∴设2

1

cos sin )4sin(2cos sin 2-=?+=+=t x x x x x t π

)2

,0(π

∈x Θ]2,1(]1,22(

)4sin()43,4(4∈?∈+?∈+∴t x x ππππ ]2,1(,1

32

1)21

3()(2

3

222

∈--=--?-=∴t t t t t t t t t f 0)1(3)(224<---='∴t t t f )(t f ∴在区间]21,(上单调递减,21

)2()2(23)2()(2

3

min =--==f x f 13.【答案】79

- 【解析】

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14.【答案】1 【解析】

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15.159(0,][,]434

U 【解析】由题设因0>ω且

ππ≤≤x 43,则4

4434πωππωωππ+≤+≤+x ,结合正弦函数的图象可知240ππωπ≤+<或???

????≤+≥+ππωππ

ωππ2542

3

434,解之得410≤<ω或4935≤≤ω.故应

填1

59(0,][,]434

U . 16.1

【解析】函数2

222sin()4()2cos tx t x x f x x x π

++=+x

x x x x t tx cos 2cos 22sin 22222

2

++???? ??++= ()

()x

x x

x t t x x x x t x x t cos 2sin cos 2sin cos 2222+++

=++++=令

()x

x x

x t x g cos 2sin 2++=

,则

()x

x x

x t x g cos 2sin 2++-

=-,设()x g 的最大值为M ,最小值为N ,则0=+N M ,即有

a M t =+,

b N t =+,222==++=+t N M t b a ,解得1=t .故答案为:1. 17.(1)-2

10(2)34π

【解析】因为锐角α的终边与单位圆交于A ,且点A 的横坐标是1010, 所以,由任意角的三角函数的定义可知,cos α=310

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从而sin

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=. ………………………………(2分) 因为钝角β的终边与单位圆交于点B ,且点B

的纵坐标是,

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所以sin

β=5,从而cos

5. ………………………………

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(4分)

(1)cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β

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=10×(

-5)

+10

×5

=-10. ………………………………(6分)

(2)sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β

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=×(

-)

×

=2. ………………………………(8分)

因为α为锐角,β为钝角,故α+β∈(2π,32π

),

所以α+β=34π

. ………………………………(10分)

18.(1))62sin()(π

-=x x f ,表格和图象见解析;(2))1,21()21,1(-?--∈m ,=+βα3

3

. 【解析】

(1)(

)11cos cos 22cos 2sin 2226f x a b x x x x x x π?

?==-=-=- ??

?r r g , (3)

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……………………………………(9分)

(2)由图可知111122m ????

∈--- ? ?????

U ,,,

42

12

αβ

π+=

或10

12π,

∴23

αβπ+=或5

3π. ………………………………(12分)

19.【答案】(Ⅰ)2ω=.(Ⅱ)得最小值3

2

-. 【解析】(Ⅰ)因为()sin()sin()62

f x x x π

π

ωω=-

+-, 所以31

()cos cos 2

f x x x x ωωω=

-- 33

cos 22

x x ωω=

- 133(sin cos )22

x x ωω=-

3(sin )3

x π

ω=-………………………………(4分)

由题设知()06

f π

=,

所以

6

3

k ωπ

π

π-

=,k Z ∈.

故62k ω=+,k Z ∈,又03ω<<, 所以2ω=.………………………………(5分)

…………………………

……(12分) 20.(1) 3m =,T π=; (2) ()f x 在[]0,π上的递增区间是50,,,36πππ????

???

?????

. 【解析】(1)

()22212tan 11tan 4311

sin 2cos 211121tan 21tan 26

m f m m ααααααα--=--=--=-++g g ,

又∵()326

f

α=-

,4311312626m --=-,即3

2m = ………………………………(4分) 故()312cos 21sin 2126f x x x x π?

?=

--=-- ??

?, ∴函数()f x 的最小正周期22

T π

π=

= ………………………………(6分) (2) ()f x 的递增区间是2222

6

2

k x k π

π

π

ππ-

≤-

≤+

,6

3

k x k k Z

π

π

ππ-

≤≤+

∈,所以在

[]

0,π上的递增区间是

50,,,36πππ???????????? ………………………………(12分)

21.(1)3

,32??????

;(2)1.

【解析】(1)()31cos 23sin 2sin 222226x f x x x π+??=++=++ ??

?.……………………(2分) ∵,63x ππ??

∈-

????,∴52,666x πππ??+∈-????,∴1sin 2126x π??-≤+≤ ??

?,

∴函数()y f x =的值域为3,32?????

?

………………………………(4分)

(2)()sin 22123x g x f x ωππω???

?=+=++

? ????

?,

当22,,3633363x x πππωππωππω??

??∈-

+∈-++???????

?g ,………………………………(6分) ∵()g x 在2,36ππ??

-

????

上是增函数,且0ω>, ∴2,2,2,336322k k k Z ωππωππππππ????-

++?-++∈????????

, 即22332

26

32k k ωππ

ππωππππ?-+≥-+????+≤+??,化简得534

112k k ωω?≤-???≤+?,………………………………(10分) ∵0ω>,∴15

,1212

k k Z -

<<∈,∴0k =,解得1ω≤,因此,ω的最大值为1 22.(1)()sin(2)3

f x x π

=-

;(2)1

02

m <<

. 【解析】(1)由条件,

115212122T πππ=-=,∴2ππω=,∴2ω=,又5sin(2)112

π

??+=,∴3

π

?=-

,∴()f x 的解析式为()sin(2)3

f x x π

=-

.…………………………

(4分)

(2)将()y f x =的图象先向右平移

6π个单位,得2sin(2)3

y x π=-, ∴2()sin(4)3

g x x π

=-

,………………………………(6分) 而3[

,

]88x ππ

∈,∴2546

36x π

ππ-

≤-

≤,∴函数()g x 在3[,]88

ππ上的最大值为1,此时2432x ππ-

=,∴724x π=;最小值为12-,此时2436

x ππ-=-,∴8x π

=. 3[,]88

x ππ

∈时,不等式|()|1g x m -<恒成立,即1()1m g x m -<<+恒成立,

即max min ()1()1g x m g x m <+??>-?,∴11

112

m m <+???->-??,∴102m <<.………………………………(12分)

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