2020年高考理科数学原创专题卷:《三角函数》
原创理科数学专题卷 专题 三角函数
考点16:三角函数的有关概念、同角三角函数关系式及诱导公式(1-4题,13题,17题) 考点17:三角函数的图象及其变换(5,6题,18题)
考点18:三角函数的性质及其应用(7-12题,14-16题,19-22题)
考试时间:120分钟 满分:150分
说明:请将选择题正确答案填写在答题卡上,主观题写在答题纸上
第I 卷(选择题)
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的。) 1.【来源】2017届山西运城市高三上学期期中 考点16 易
已知3cos(
)25π
?+=,且||2π
?<,则tan ?为( ) A .43- B .43 C .34- D .34
2.【来源】2016-2017学年广东清远三中高二月考 考点16 易 设3tan =α,则
=++--+-)
2
cos()2
sin(
)cos()sin(απ
απ
αππα( ).
A .3
B .2
C .1
D .﹣1 3.【来源】2017届山东临沂市高三理上学期期中 考点16 易 若点22sin
,cos 33ππ?
? ??
?
在角α的终边上,则sin α的值为 A. 12-
B. 2-12
D. 2
4.【来源】2017届山东德州市高三上学期期中 考点16 中难
已知sin cos x x +=()0 x π∈,
,则tan x =( )
A.
5.【来源】2017届湖南五市十校高三理12月联考 考点17 中难
已知函数()()sin 0,2f x x πω?ω??
?=+>< ???的部分图象如图,则2016
1
6
n n f π
=??
= ???
∑( )
A .-1
B .0
C .
1
2
D .1 6.【2017课标1,理9】 考点17 中难 已知曲线C 1:y =cos x ,C 2:y =sin (2x +
2π
3
),则下面结论正确的是 A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6
个单位长度,得到曲线C 2
B .把
C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π
12
个单位长度,得到曲线C 2
C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2
D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12
个单位长度,得到曲线C 2
7.【2017课标3,理6】 考点18 易 设函数f (x )=cos (x +
3
π
),则下列结论错误的是 A .f (x )的一个周期为?2π
B .y =f (x )的图像关于直线x =
83
π
对称 C .f (x +π)的一个零点为x =
6π D .f (x )在(2
π
,π)单调递减 8.【来源】2016-2017学年广东清远三中高二文上学期月考 考点18 中难
定义行列式运算=a 1a 4﹣a 2a 3.将函数f (x )=的图象向左平移n (n >0)
个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则n 的最小值为(). A .
B .
C .
D .
9.【来源】2017届河南豫北名校联盟高三文上精英对抗赛 考点18 中难
已知函数()sin f x x x =+,当[0,]x π∈时,()1f x ≥的概率为( ) A.
13 B.14 C.15 D.1
2
10.【2017天津,理7】 考点18 中难
设函数()2sin()f x x ω?=+,x ∈R ,其中0ω>,||?<π.若5()28f π=,()08
f 11π
=,
且()f x 的最小正周期大于2π,则( )
A 23ω=
,12?π= B 23ω=,12?11π=- C 13ω=,24?11π=- D 13ω=,24?7π
= 11.【来源】2017届福建厦门一中高三理上期中 考点18 难
若函数()1
sin 2cos 2
f x x a x =
+在()0,π上单调递增,则a 的取值范围是( ) A.(],1-∞- B.[)1,-+∞ C.(],1-∞ D.[)1,+∞
12.【来源】2017届重庆市一中高三上学期期中 考点18 难 已知)2
,
0(π
∈x ,则函数x x x x x f cot cos tan sin )(+=的值域为( )
A .)2,1[
B .),2[+∞
C .]2,1(
D .),1[+∞ 第Ⅱ卷(非选择题) 二.填空题(每题5分,共20分)
13.【2017北京,理12】 考点16 中难
在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称. 若1
sin 3
α=
,cos()αβ-=___________. 14.【2017课标II ,理14】 考点18 易 函数(
)23sin 4f x x x =-
(0,2x π??
∈????
)的最大值是 。 15.【来源】【百强校】2015-2016福建师大附中高一下期中考数学(实验班)试卷 考点18
中难
已知函数sin()4y x π
ω=+
(0ω>)是区间3
[,]4
ππ上的增函数,则ω的取值范围是 . 16.【来源】2016届山西太原市高三第二次模拟考试 考点18 难
已知关于x 的函
数22
2sin()4()2cos tx x x
f x x x
π
+++=+的最大值为a ,最小值为b ,若
2a
b +=,则实数t 的值为_________.
三.解答题(共70分) 17.(本题满分10分)【来源】2017届江苏南京市高三上学期学情调研 考点16易 如图,在平面直角坐标系xOy 中,以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单
位圆交于点,A B ,若点A 的横坐标是
310
10
,点B 的纵坐标是255.
(1)求cos()αβ-的值;
(2)求αβ+的值.
18.(本题满分12分)【来源】2017届安徽六安一中高三上学期月考 考点17 易
已知向量)
1cos 3cos 22a x b x x x R ??=-=∈ ??
?r r
,,,,,设函数()f x a b =r r g .
(1)求()f x 的表达式并完成下面的表格和画出()f x 在[]0π,范围内的大致图象;
0 2π π
32
π
x
0 π
()f x
(2)若方程()0f x m -=在[]0π,上有两个根α、β,求m 的取值范围及αβ+的值. 19.【2017山东,理16】考点18 易 设函数()sin()sin()62f x x x π
πωω=-+-,其中03ω<<.已知()06
f π
=.
(Ⅰ)求ω;
(Ⅱ)将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移
4π个单位,得到函数()y g x =的图象,求()g x 在3[,]44
ππ-上的最小值.
20.(本题满分12分)【来源】2017届江西省高三第一次联考考点18 中难 已知函数()21sin 2cos ,2f x m x x x R =--
∈,若tan 3α=()3
26
f α=-. (1)求实数m 的值及函数()f x 的最小正周期;
(2)求()f x 在[]0,π上的递增区间.
21.(本题满分12分)【来源】2017届湖北省百所重点校高三联合考试 考点18 中难 已知函数()2
3
3cos cos 2
f x x x x =++
. (1)当,63x ππ??
∈-???
?时,求函数()y f x =的值域;
(2)已知0ω>,函数()212x g x f ωπ??=+
???,若函数()g x 在区间2,36ππ??
-????
上是增函数,求ω的最大值.
22.(本题满分12分)【来源】2017届湖北襄阳五中高三上学期开学考试 考点18 难 函数()sin()(0,||)2
f x x π
ω?ω?=+><在它的某一个周期内的单调减区间是511[
,]1212
ππ. (1)求()f x 的解析式;
(2)将()y f x =的图象先向右平移
6π个单位,再将图象上所有点的横坐标变为原来的12
倍(纵坐标不变),所得到的图象对应的函数记为()g x ,若对于任意的3[,]88
x ππ
∈,不等式
|()|1g x m -<恒成立,求实数m 的取值范围.
参考答案
1.C
【解析】333cos(
),sin ,sin 2555π
???+=∴-==-
Q ,又||2
π
?<,则
4
3
cos sin tan 54cos -==∴=
???? 2.B 【解析】
sin()cos()sin cos tan 131
2cos sin 1tan 13
sin()cos()22
αππααααππ
ααααα-+-------=
===----++
3.A
【解析】21
32cos 3
2cos 32sin 3
2cos
sin 2
2-==+==
ππ
ππ
αr
y
,故选A.
4.D
【解析】因为()0 x π∈,
,
且0sin cos 1x x <+=<,所以3 2
4x π
π??∈ ???,,
由
sin cos x x +=
2sin cos x x =
,即42sin 22,33
x x x ππ===
,
tan x = D.
5.B
【解析】由题意得25244126T πππωω==-?=,sin()1,326πππ
???+==
,因为sin 6
36n n f π
ππ????
=+ ?
?????,周期为6,一个周期的和为零,所以2016
1
6
n n f π
=??=
???∑0,选B.
6.【答案】D
【解析】)6
2cos()2322cos()322sin(:2ππππ+=-+=+=x x x y C ,则把1C 上各点的横坐标缩短到原来的21倍得到x y 2cos =,再将所得曲线向左平移12
π
个单位得到2C . 7.【答案】D 【解析】
8.B
【解析】由题意可知(
)3cos sin 2cos 6f x x x x π??
=-=+
??
?
,向左平移n 个单位后得2cos 6y x n π?
?=++ ???
为偶函数566n k n πππ∴+=∴=
9.D
【解析】由()sin 3cos 2sin()13f x x x x π
=+=+
≥及[0,]x π∈得[0,]2
x π
∈,所以所求
概率为1
22
P π
π==,故选D.
15.【答案】A
11.A
【解析】∵
()1
sin 2cos 2
f x x a x =+在区间
()
0,π上是增函数,∴
()0sin 2cos >-='x a x x f ,∴0sin sin 212>--x a x ,即0122>+--at t ,
(]1,0∈t ,∴t
t a 1
2+
-<,令()
t
t t g 1
2
+-=,则()
01
22
<-
-='t
t g ,∴(
)t g 在
(]1,0∈t 递减,∴()11-= 12 .B 【解析】Θx x x x x f cot cos tan sin )(+= x x x x x x x x x x x x x x x x x f cos sin ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin cos sin sin cos cos sin )(23322-++= +=+=∴设2 1 cos sin )4sin(2cos sin 2-=?+=+=t x x x x x t π )2 ,0(π ∈x Θ]2,1(]1,22( )4sin()43,4(4∈?∈+?∈+∴t x x ππππ ]2,1(,1 32 1)21 3()(2 3 222 ∈--=--?-=∴t t t t t t t t t f 0)1(3)(224<---='∴t t t f )(t f ∴在区间]21,(上单调递减,21 )2()2(23)2()(2 3 min =--==f x f 13.【答案】79 - 【解析】 14.【答案】1 【解析】 15.159(0,][,]434 U 【解析】由题设因0>ω且 ππ≤≤x 43,则4 4434πωππωωππ+≤+≤+x ,结合正弦函数的图象可知240ππωπ≤+<或??? ????≤+≥+ππωππ ωππ2542 3 434,解之得410≤<ω或4935≤≤ω.故应 填1 59(0,][,]434 U . 16.1 【解析】函数2 222sin()4()2cos tx t x x f x x x π ++=+x x x x x t tx cos 2cos 22sin 22222 2 ++???? ??++= () ()x x x x t t x x x x t x x t cos 2sin cos 2sin cos 2222+++ =++++=令 ()x x x x t x g cos 2sin 2++= ,则 ()x x x x t x g cos 2sin 2++- =-,设()x g 的最大值为M ,最小值为N ,则0=+N M ,即有 a M t =+, b N t =+,222==++=+t N M t b a ,解得1=t .故答案为:1. 17.(1)-2 10(2)34π 【解析】因为锐角α的终边与单位圆交于A ,且点A 的横坐标是1010, 所以,由任意角的三角函数的定义可知,cos α=310 , 从而sin =. ………………………………(2分) 因为钝角β的终边与单位圆交于点B ,且点B 的纵坐标是, 所以sin β=5,从而cos 5. ……………………………… (4分) (1)cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β =10×( -5) +10 ×5 =-10. ………………………………(6分) (2)sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β =×( -) + × =2. ………………………………(8分) 因为α为锐角,β为钝角,故α+β∈(2π,32π ), 所以α+β=34π . ………………………………(10分) 18.(1))62sin()(π -=x x f ,表格和图象见解析;(2))1,21()21,1(-?--∈m ,=+βα3 2π 或 3 5π . 【解析】 (1)( )11cos cos 22cos 2sin 2226f x a b x x x x x x π? ?==-=-=- ?? ?r r g , (3) 分 ……………………………………(9分) (2)由图可知111122m ???? ∈--- ? ????? U ,,, 42 12 αβ π+= 或10 12π, ∴23 αβπ+=或5 3π. ………………………………(12分) 19.【答案】(Ⅰ)2ω=.(Ⅱ)得最小值3 2 -. 【解析】(Ⅰ)因为()sin()sin()62 f x x x π π ωω=- +-, 所以31 ()cos cos 2 f x x x x ωωω= -- 33 cos 22 x x ωω= - 133(sin cos )22 x x ωω=- 3(sin )3 x π ω=-………………………………(4分) 由题设知()06 f π =, 所以 6 3 k ωπ π π- =,k Z ∈. 故62k ω=+,k Z ∈,又03ω<<, 所以2ω=.………………………………(5分) ………………………… ……(12分) 20.(1) 3m =,T π=; (2) ()f x 在[]0,π上的递增区间是50,,,36πππ???? ??? ????? . 【解析】(1) ()22212tan 11tan 4311 sin 2cos 211121tan 21tan 26 m f m m ααααααα--=--=--=-++g g , 又∵()326 f α=- ,4311312626m --=-,即3 2m = ………………………………(4分) 故()312cos 21sin 2126f x x x x π? ?= --=-- ?? ?, ∴函数()f x 的最小正周期22 T π π= = ………………………………(6分) (2) ()f x 的递增区间是2222 6 2 k x k π π π ππ- ≤- ≤+ , ∴ ,6 3 k x k k Z π π ππ- ≤≤+ ∈,所以在 [] 0,π上的递增区间是 50,,,36πππ???????????? ………………………………(12分) 21.(1)3 ,32?????? ;(2)1. 【解析】(1)()31cos 23sin 2sin 222226x f x x x π+??=++=++ ?? ?.……………………(2分) ∵,63x ππ?? ∈- ????,∴52,666x πππ??+∈-????,∴1sin 2126x π??-≤+≤ ?? ?, ∴函数()y f x =的值域为3,32????? ? ………………………………(4分) (2)()sin 22123x g x f x ωππω??? ?=+=++ ? ???? ?, 当22,,3633363x x πππωππωππω?? ??∈- +∈-++??????? ?g ,………………………………(6分) ∵()g x 在2,36ππ?? - ???? 上是增函数,且0ω>, ∴2,2,2,336322k k k Z ωππωππππππ????- ++?-++∈???????? , 即22332 26 32k k ωππ ππωππππ?-+≥-+????+≤+??,化简得534 112k k ωω?≤-???≤+?,………………………………(10分) ∵0ω>,∴15 ,1212 k k Z - <<∈,∴0k =,解得1ω≤,因此,ω的最大值为1 22.(1)()sin(2)3 f x x π =- ;(2)1 02 m << . 【解析】(1)由条件, 115212122T πππ=-=,∴2ππω=,∴2ω=,又5sin(2)112 π ??+=,∴3 π ?=- ,∴()f x 的解析式为()sin(2)3 f x x π =- .………………………… (4分) (2)将()y f x =的图象先向右平移 6π个单位,得2sin(2)3 y x π=-, ∴2()sin(4)3 g x x π =- ,………………………………(6分) 而3[ , ]88x ππ ∈,∴2546 36x π ππ- ≤- ≤,∴函数()g x 在3[,]88 ππ上的最大值为1,此时2432x ππ- =,∴724x π=;最小值为12-,此时2436 x ππ-=-,∴8x π =. 3[,]88 x ππ ∈时,不等式|()|1g x m -<恒成立,即1()1m g x m -<<+恒成立, 即max min ()1()1g x m g x m <+??>-?,∴11 112 m m <+???->-??,∴102m <<.………………………………(12分)