2020年高考理科数学原创专题卷：《三角函数》
原创理科数学专题卷 专题 三角函数
考点16：三角函数的有关概念、同角三角函数关系式及诱导公式（1-4题，13题，17题） 考点17：三角函数的图象及其变换（5,6题，18题）
考点18：三角函数的性质及其应用（7-12题，14-16题，19-22题）
考试时间：120分钟 满分：150分
说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上
第I 卷（选择题）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。） 1．【来源】2017届山西运城市高三上学期期中 考点16 易
已知3cos(
)25π
?+=，且||2π
?<，则tan ?为（ ） A ．43- B ．43 C ．34- D ．34
2．【来源】2016-2017学年广东清远三中高二月考 考点16 易 设3tan =α，则
=++--+-)
2
cos()2
sin(
)cos()sin(απ
απ
αππα（ ）.
A ．3
B ．2
C ．1
D ．﹣1 3．【来源】2017届山东临沂市高三理上学期期中 考点16 易 若点22sin
,cos 33ππ?
? ??
?
在角α的终边上，则sin α的值为 A. 12-
B. 2-12
D. 2
4．【来源】2017届山东德州市高三上学期期中 考点16 中难
已知sin cos x x +=()0 x π∈，
，则tan x =（ ）
A.
5．【来源】2017届湖南五市十校高三理12月联考 考点17 中难
已知函数()()sin 0,2f x x πω?ω??
?=+>< ???的部分图象如图，则2016
1
6
n n f π
=??
= ???
∑（ ）
A ．-1
B ．0
C ．
1
2
D ．1 6．【2017课标1，理9】 考点17 中难 已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +
2π
3
)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6
个单位长度，得到曲线C 2
B ．把
C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12
个单位长度，得到曲线C 2
C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2
D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12
个单位长度，得到曲线C 2
7.【2017课标3，理6】 考点18 易 设函数f (x )=cos (x +
3
π
)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为?2π
B ．y =f (x )的图像关于直线x =
83
π
对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =
6π D ．f (x )在(2
π
,π)单调递减 8．【来源】2016-2017学年广东清远三中高二文上学期月考 考点18 中难
定义行列式运算=a 1a 4﹣a 2a 3．将函数f （x ）=的图象向左平移n （n ＞0）
个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为（）. A ．
B ．
C ．
D ．
9．【来源】2017届河南豫北名校联盟高三文上精英对抗赛 考点18 中难
已知函数()sin f x x x =+，当[0,]x π∈时，()1f x ≥的概率为（ ） A.
13 B.14 C.15 D.1
2
10．【2017天津，理7】 考点18 中难
设函数()2sin()f x x ω?=+，x ∈R ，其中0ω>，||?<π.若5()28f π=，()08
f 11π
=，
且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）
A 23ω=
，12?π= B 23ω=，12?11π=- C 13ω=，24?11π=- D 13ω=，24?7π
= 11．【来源】2017届福建厦门一中高三理上期中 考点18 难
若函数()1
sin 2cos 2
f x x a x =
+在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A.(],1-∞- B.[)1,-+∞ C.(],1-∞ D.[)1,+∞
12．【来源】2017届重庆市一中高三上学期期中 考点18 难 已知)2
,
0(π
∈x ，则函数x x x x x f cot cos tan sin )(+=的值域为（ ）
A ．)2,1[
B ．),2[+∞
C ．]2,1(
D ．),1[+∞ 第Ⅱ卷（非选择题） 二.填空题（每题5分，共20分）
13．【2017北京，理12】 考点16 中难
在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称. 若1
sin 3
α=
，cos()αβ-=___________. 14．【2017课标II ，理14】 考点18 易 函数(
)23sin 4f x x x =-
（0,2x π??
∈????
）的最大值是 。 15.【来源】【百强校】2015-2016福建师大附中高一下期中考数学（实验班）试卷 考点18
中难
已知函数sin()4y x π
ω=+
（0ω>）是区间3
[,]4
ππ上的增函数，则ω的取值范围是 . 16．【来源】2016届山西太原市高三第二次模拟考试 考点18 难
已知关于x 的函
数22
2sin()4()2cos tx x x
f x x x
π
+++=+的最大值为a ，最小值为b ，若
2a
b +=，则实数t 的值为_________.
三.解答题（共70分） 17．（本题满分10分）【来源】2017届江苏南京市高三上学期学情调研 考点16易 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单
位圆交于点,A B ，若点A 的横坐标是
310
10
，点B 的纵坐标是255.
（1）求cos()αβ-的值；
（2）求αβ+的值.
18．（本题满分12分）【来源】2017届安徽六安一中高三上学期月考 考点17 易
已知向量)
1cos 3cos 22a x b x x x R ??=-=∈ ??
?r r
，，，，，设函数()f x a b =r r g .
（1）求()f x 的表达式并完成下面的表格和画出()f x 在[]0π，范围内的大致图象；
0 2π π
32
π
x
0 π
()f x
（2）若方程()0f x m -=在[]0π，上有两个根α、β，求m 的取值范围及αβ+的值． 19.【2017山东，理16】考点18 易 设函数()sin()sin()62f x x x π
πωω=-+-，其中03ω<<.已知()06
f π
=.
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移
4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44
ππ-上的最小值.
20.（本题满分12分）【来源】2017届江西省高三第一次联考考点18 中难 已知函数()21sin 2cos ,2f x m x x x R =--
∈，若tan 3α=()3
26
f α=-． （1）求实数m 的值及函数()f x 的最小正周期；
（2）求()f x 在[]0,π上的递增区间．
21．（本题满分12分）【来源】2017届湖北省百所重点校高三联合考试 考点18 中难 已知函数()2
3
3cos cos 2
f x x x x =++
． （1）当,63x ππ??
∈-???
?时，求函数()y f x =的值域；
（2）已知0ω>，函数()212x g x f ωπ??=+
???，若函数()g x 在区间2,36ππ??
-????
上是增函数，求ω的最大值．
22．（本题满分12分）【来源】2017届湖北襄阳五中高三上学期开学考试 考点18 难 函数()sin()(0,||)2
f x x π
ω?ω?=+><在它的某一个周期内的单调减区间是511[
,]1212
ππ． （1）求()f x 的解析式；
（2）将()y f x =的图象先向右平移
6π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12
倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为()g x ，若对于任意的3[,]88
x ππ
∈，不等式
|()|1g x m -<恒成立，求实数m 的取值范围.
参考答案
1．C
【解析】333cos(
),sin ,sin 2555π
???+=∴-==-
Q ，又||2
π
?<，则
4
3
cos sin tan 54cos -==∴=
???? 2．B 【解析】
sin()cos()sin cos tan 131
2cos sin 1tan 13
sin()cos()22
αππααααππ
ααααα-+-------=
===----++
3．A
【解析】21
32cos 3
2cos 32sin 3
2cos
sin 2
2-==+==
ππ
ππ
αr
y
，故选A.
4．D
【解析】因为()0 x π∈，
，
且0sin cos 1x x <+=<，所以3 2
4x π
π??∈ ???，，
由
sin cos x x +=
2sin cos x x =
，即42sin 22,33
x x x ππ===
，
tan x = D.
5．B
【解析】由题意得25244126T πππωω==-?=，sin()1,326πππ
???+=
，因为sin 6
36n n f π
ππ????
=+ ?
?????，周期为6，一个周期的和为零，所以2016
1
6
n n f π
=??=
???∑0，选B.
6.【答案】D
【解析】)6
2cos()2322cos()322sin(:2ππππ+=-+=+=x x x y C ，则把1C 上各点的横坐标缩短到原来的21倍得到x y 2cos =，再将所得曲线向左平移12
π
个单位得到2C . 7.【答案】D 【解析】
8．B
【解析】由题意可知(
)3cos sin 2cos 6f x x x x π??
=-=+
??
?
，向左平移n 个单位后得2cos 6y x n π?
?=++ ???
为偶函数566n k n πππ∴+=∴=
9．D
【解析】由()sin 3cos 2sin()13f x x x x π
=+=+
≥及[0,]x π∈得[0,]2
x π
∈，所以所求
概率为1
22
P π
π==，故选D.
15．【答案】A
11．A
【解析】∵
()1
sin 2cos 2
f x x a x =+在区间
()
0,π上是增函数，∴
()0sin 2cos >-='x a x x f ，∴0sin sin 212>--x a x ，即0122>+--at t ，
(]1,0∈t ，∴t
t a 1
2+
-<，令()
t
t t g 1
2
+-=，则()
01
22
<-
-='t
t g ，∴(
)t g 在
(]1,0∈t 递减，∴()11-= 12 ．B 【解析】Θx x x x x f cot cos tan sin )(+= x x x x x x x x x x x x x x x x x f cos sin ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin cos sin sin cos cos sin )(23322-++= +=+=∴设2 1 cos sin )4sin(2cos sin 2-=?+=+=t x x x x x t π )2 ,0(π ∈x Θ]2,1(]1,22( )4sin()43,4(4∈?∈+?∈+∴t x x ππππ ]2,1(,1 32 1)21 3()(2 3 222 ∈--=--?-=∴t t t t t t t t t f 0)1(3)(224<---='∴t t t f )(t f ∴在区间]21，（上单调递减，21 )2()2(23)2()(2 3 min =--==f x f 13．【答案】79 - 【解析】 14．【答案】1 【解析】 15.159(0,][,]434 U 【解析】由题设因0>ω且 ππ≤≤x 43,则4 4434πωππωωππ+≤+≤+x ,结合正弦函数的图象可知240ππωπ≤+<或??? ????≤+≥+ππωππ ωππ2542 3 434,解之得410≤<ω或4935≤≤ω.故应 填1 59(0,][,]434 U . 16．1 【解析】函数2 222sin()4()2cos tx t x x f x x x π ++=+x x x x x t tx cos 2cos 22sin 22222 2 ++???? ??++= () ()x x x x t t x x x x t x x t cos 2sin cos 2sin cos 2222+++ =++++=令 ()x x x x t x g cos 2sin 2++= ，则 ()x x x x t x g cos 2sin 2++- =-，设()x g 的最大值为M ，最小值为N ，则0=+N M ，即有 a M t =+， b N t =+，222==++=+t N M t b a ，解得1=t ．故答案为：1． 17．（1）－2 10（2）34π 【解析】因为锐角α的终边与单位圆交于A ，且点A 的横坐标是1010， 所以，由任意角的三角函数的定义可知，cos α＝310 ， 从而sin ＝． ………………………………(2分) 因为钝角β的终边与单位圆交于点B ，且点B 的纵坐标是， 所以sin β＝5，从而cos 5． ……………………………… (4分) （1）cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝10×( －5) ＋10 ×5 ＝－10． ………………………………(6分) （2）sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝×( －) ＋ × ＝2． ………………………………(8分) 因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈(2π，32π )， 所以α＋β＝34π ． ………………………………(10分) 18．（1）)62sin()(π -=x x f ，表格和图象见解析；（2）)1,21()21,1(-?--∈m ，=+βα3 2π 或 3 5π ． 【解析】 （1）( )11cos cos 22cos 2sin 2226f x a b x x x x x x π? ?==-=-=- ?? ?r r g ， (3) 分 ……………………………………(9分) （2）由图可知111122m ???? ∈--- ? ????? U ，，， 42 12 αβ π+= 或10 12π， ∴23 αβπ+=或5 3π． ………………………………(12分) 19.【答案】（Ⅰ）2ω=.（Ⅱ）得最小值3 2 -. 【解析】（Ⅰ）因为()sin()sin()62 f x x x π π ωω=- +-， 所以31 ()cos cos 2 f x x x x ωωω= -- 33 cos 22 x x ωω= - 133(sin cos )22 x x ωω=- 3(sin )3 x π ω=-………………………………(4分) 由题设知()06 f π =， 所以 6 3 k ωπ π π- =，k Z ∈. 故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<， 所以2ω=.………………………………(5分) ………………………… ……(12分) 20．（1） 3m =,T π=； （2） ()f x 在[]0,π上的递增区间是50,,,36πππ???? ??? ????? . 【解析】（1） ()22212tan 11tan 4311 sin 2cos 211121tan 21tan 26 m f m m ααααααα--=--=--=-++g g ， 又∵()326 f α=- ，4311312626m --=-，即3 2m = ………………………………(4分) 故()312cos 21sin 2126f x x x x π? ?= --=-- ?? ?， ∴函数()f x 的最小正周期22 T π π= = ………………………………(6分) （2） ()f x 的递增区间是2222 6 2 k x k π π π ππ- ≤- ≤+ ， ∴ ,6 3 k x k k Z π π ππ- ≤≤+ ∈，所以在 [] 0,π上的递增区间是 50,,,36πππ???????????? ………………………………(12分) 21．（1）3 ,32?????? ；（2）1. 【解析】（1）()31cos 23sin 2sin 222226x f x x x π+??=++=++ ?? ?．……………………(2分) ∵,63x ππ?? ∈- ????，∴52,666x πππ??+∈-????，∴1sin 2126x π??-≤+≤ ?? ?， ∴函数()y f x =的值域为3,32????? ? ………………………………(4分) （2）()sin 22123x g x f x ωππω??? ?=+=++ ? ???? ?， 当22,,3633363x x πππωππωππω?? ??∈- +∈-++??????? ?g ，………………………………(6分) ∵()g x 在2,36ππ?? - ???? 上是增函数，且0ω>， ∴2,2,2,336322k k k Z ωππωππππππ????- ++?-++∈???????? ， 即22332 26 32k k ωππ ππωππππ?-+≥-+????+≤+??，化简得534 112k k ωω?≤-???≤+?，………………………………(10分) ∵0ω>，∴15 ,1212 k k Z - <<∈，∴0k =，解得1ω≤，因此，ω的最大值为1 22．（1）()sin(2)3 f x x π =- ；（2）1 02 m << ． 【解析】（1）由条件， 115212122T πππ=-=，∴2ππω=，∴2ω=，又5sin(2)112 π ??+=，∴3 π ?=- ，∴()f x 的解析式为()sin(2)3 f x x π =- ．………………………… (4分) （2）将()y f x =的图象先向右平移 6π个单位，得2sin(2)3 y x π=-， ∴2()sin(4)3 g x x π =- ，………………………………(6分) 而3[ , ]88x ππ ∈，∴2546 36x π ππ- ≤- ≤，∴函数()g x 在3[,]88 ππ上的最大值为1，此时2432x ππ- =，∴724x π=；最小值为12-，此时2436 x ππ-=-，∴8x π =． 3[,]88 x ππ ∈时，不等式|()|1g x m -<恒成立，即1()1m g x m -<<+恒成立， 即max min ()1()1g x m g x m <+??>-?，∴11 112 m m <+???->-??，∴102m <<．………………………………(12分)