高考理科数学数学导数专题复习

高考理科数学数学导数专题复习

高考数学导数专题复习

考试内容

导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．

利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．证明不等式恒成立

考试要求：

（1）了解导数概念的某些实际背景．

（2）理解导数的几何意义．

（3）掌握常用函数导数公式，会求多项式函数的导数．

（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．

（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．

（6）会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题

知识要点

导数导数的概念

导数的运算

导数的应用

导数的几何意义、物理意义

函数的单调性

函数的极值

函数的最值

常见函数的导数

导数的运算法则

1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值

x

x f x x f x y ∆-∆+=

∆∆)

()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限x

x f x x f x y

x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim

lim

0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即

)(0'x f =x

x f x x f x y

x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim

lim

0000. 注：

①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ⊇. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：

⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000

00

x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→

).

()(0)()(lim lim )

()(lim )]()()([

lim 000'0000000000

x f x f x f x f x

x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为x

x x y ∆∆=

∆∆|

|，当x ∆＞0时，1=∆∆x y ；当x ∆＜0时，1-=∆∆x

y ，故x y

x ∆∆→∆0lim

不存在. 注：

①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义和物理意义：

（1）几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点

))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点

P ))(,(0x f x 处的切线的斜

率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-

（2）物理意义：位移的导数是速度，速度的导数是加速度。

4. 求导数的四则运算法则：

''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒

''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）

)0(2

'''

≠-=⎪⎭

⎫

⎝⎛v v u v vu v u 注：

①v u ,必须是可导函数.

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、 积、商不一定不可导.

例如：设x

x x f 2

sin 2)(+=，x

x x g 2cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x f x x cos sin +在0=x 处均可导.

5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.

6. 函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数.

⑵常数的判定方法；

如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数. 注：