高考理科数学数学导数专题复习


高考理科数学数学导数专题复习
高考数学导数专题复习
考试内容
导数的背影.导数的概念.多项式函数的导数.
利用导数研究函数的单调性和极值.函数的最大值和最小值.证明不等式恒成立
考试要求:
(1)了解导数概念的某些实际背景.
(2)理解导数的几何意义.
(3)掌握常用函数导数公式,会求多项式函数的导数.
(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念,并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值.
(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值.
(6)会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题
知识要点
导数导数的概念
导数的运算
导数的应用
导数的几何意义、物理意义
函数的单调性
函数的极值
函数的最值
常见函数的导数
导数的运算法则
1. 导数(导函数的简称)的定义:设0x 是函数)(x f y =定义域的一点,如果自变量x 在0x 处有增量x ?,则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?;比值
x
x f x x f x y ?-?+=
??)
()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率;如果极限x
x f x x f x y
x x ?-?+=??→?→?)()(lim
lim
0000存在,则称函数)(x f y =在点0x 处可导,并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数,记作)(0'x f 或0|'x x y =,即
)(0'x f =x
x f x x f x y
x x ?-?+=??→?→?)()(lim
lim
0000. 注:
①x ?是增量,我们也称为“改变量”,因为x ?可正,可负,但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ,)('x f y =的定义域为B ,则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系:
⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明,如果)(x f y =在点0x 处可导,那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上,令x x x ?+=0,则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000
00
x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→
).
()(0)()(lim lim )
()(lim )]()()([
lim 000'0000000000
x f x f x f x f x
x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果)(x f y =点0x 处连续,那么)(x f y =在点0x 处可导,是不成立的. 例:||)(x x f =在点00=x 处连续,但在点00=x 处不可导,因为x
x x y ??=
??|
|,当x ?>0时,1=??x y ;当x ?<0时,1-=??x
y ,故x y
x ??→?0lim
不存在. 注:
①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义和物理意义:
(1)几何意义:函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点
))(,(0x f x 处的切线的斜率,也就是说,曲线)(x f y =在点
P ))(,(0x f x 处的切线的斜
率是)(0'x f ,切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-
(2)物理意义:位移的导数是速度,速度的导数是加速度。
4. 求导数的四则运算法则:
''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=?
''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=(c 为常数)
)0(2
'''
≠-=??
?
??v v u v vu v u 注:
①v u ,必须是可导函数.
②若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、 积、商不一定不可导.
例如:设x
x x f 2
sin 2)(+=,x
x x g 2cos )(-=,则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导,但它们和=+)()(x g x f x x cos sin +在0=x 处均可导.
5. 复合函数的求导法则:)()())(('''x u f x f x ??=或x u x u y y '''?= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.
6. 函数单调性:
⑴函数单调性的判定方法:设函数)(x f y =在某个区间内可导,如果)('x f >0,则)(x f y =为增函数;如果)('x f <0,则)(x f y =为减函数.
⑵常数的判定方法;
如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0,则)(x f y =为常数. 注:
①0)(φx f 是f (x )递增的充分条件,但不是必要条件,如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)(φx f ,有一个点例外即x =0时f (x ) = 0,同样0)(πx f 是f (x )递减的充分非必要条件.
②一般地,如果f (x )在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或负),那么f (x )在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的.
7. 极值的判别方法:(极值是在0x 附近所有的点,都有)(x f <)(0x f ,则)(0x f 是函数)(x f 的极大值,极小值同理) 当函数)(x f 在点0x 处连续时:
①如果在0x 附近的左侧)('x f >0,右侧)('x f <0,那么)(0x f 是极大值; ②如果在0x 附近的左侧)('x f <0,右侧)('x f >0,那么)(0x f 是极小值. 也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号,而不是)('x f =0①. 此外,函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同). 注
①: 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点,则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数,其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零. 例如:函数3)(x x f y ==,0=x 使)('x f =0,但0=x 不是极值点.
②例如:函数||)(x x f y ==,在点0=x 处不可导,但点0=x 是函数的极小值点. 8. 极值与最值的区别:
极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较. 注:函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数:
I.0'=C (C 为常数) x x cos )(sin '
= 2
'11)(arcsin x
x -=
1')(-=n n nx x (R n ∈) x x sin )(cos '-= 2
'
11)(arccos x
x --
=
II. x x 1)(ln '= e x
x a a log 1
)(log '= 1
1)(arctan 2
'+=
x x
x x e e =')( a a a x x ln )('=
1
1)cot (2
'+-
=x x arc
III. 求导的常见方法: ①常用结论:x
x 1|)|(ln '=. ②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或)
)...()(()
)...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数,可
转化求代数和形式.
③无理函数或形如x x y =这类函数,如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =,
对两边求导可得x x x x x y y x y y x x x y y +=?+=??+=ln ln 1
ln '''.
经典例题剖析
考点一:求导公式。
例1. ()f x '是31
()213
f x x x =++的导函数,则(1)f '-的值是 。
解析:()2'2+=x x f ,所以()3211'=+=-f 答案:3
考点二:导数的几何意义。
例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是1
22
y x =
+,则(1)(1)f f '+= 。
解析:因为21=
k ,所以()2
1
1'=f ,由切线过点(1(1))M f ,,可得点M 的纵坐标为25,所以()25
1=f ,所以()()31'1=+f f
答案:3
例3.曲线32242y x x x =--+在点(13)-,处的切线方程是 。
解析:443'2--=x x y ,∴点(13)-,处切线的斜率为5443-=--=k ,所以设切线方程为b x y +-=5,将点(13)-,带入切线方程可得2=b ,所以,过曲线上点(13)-,处的切线方程为:025=-+y x 答案:025=-+y x
点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三:导数的几何意义的应用。
例4.已知曲线C :x x x y 2323+-=,直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点
()00,y x 00≠x ,求直线l 的方程及切点坐标。
解析:Θ直线过原点,则()000
≠=
x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上,则02
030023x x x y +-=,∴
2302
00
0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ,∴ 在()00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02
00+-==x x x f k ,∴
2632302
0020+-=+-x x x x ,整理得:03200=-x x ,解得:2
30=
x 或00=x (舍),此时,830-=y ,41-=k 。所以,直线l 的方程为x y 41
-=,
切点坐标是??
?
??-83,23。
答案:直线l 的方程为x y 41-=,切点坐标是??
?
??-83,23
点评:本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既
在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件,而不是必要条件。 考点四:函数的单调性。
例5.已知()1323+-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值范围。