2020年高考数学(理)重难点专练06 函数与导数(解析版)

2020年高考数学（理）

重难点06 函数与导数

【命题趋势】在目前高考全国卷的考点中，导数板块常常作为压轴题的形式出现，这块部分的试题难度呈现非减的态势，因此若想高考中数学拿高分的同学，都必须拿下导数这块的内容.函数单调性的讨论、零点问题和不等式恒成立的相关问题（包含不等式证明和由不等式恒成立求参数取值范围）是出题频率最高的.

对于导数内容，其关键在于把握好导数，其关键在于把握好导数的几何意义即切线的斜率，这一基本概念和关系，在此基础上，引申出函数的单调性与导函数的关系，以及函数极值的概念求解和极值与最值的关系以及最值的求解.本专题选取了有代表性的选择，填空题与解答题，通过本专题的学习熟悉常规导数题目的思路解析与解题套路，从而在以后的导数题目中能够快速得到导数问题的得分技巧.

【满分技巧】

对于导数的各类题型都是万变不离其宗，要掌握住导数的集中核心题型，即函数的极值问题，函数的单调性的判定.因为函数零点问题可转化为极值点问题，函数恒成立与存在性问题可以转化为函数的最值问题，函数不等式证明一般转化为函数单调性和最值求解，而函数的极值和最值是由函数的单调性来确定的.所以函数导数部分的重点核心就是函数的单调性.

对于函数零点问题贴别是分段函数零点问题是常考题型，数形结合是最快捷的方法，在此方法中应学会用导数的大小去判断原函数的单调区间，进而去求出对应的极值点与最值.

恒成立与存在性问题也是伴随着导数经典题型，对于选择题来说，恒成立选择小题可以采用排除法与特殊值法相结合的验证方法能够比较快捷准确得到答案，对于填空以及大题则采用对函数进行求导，从而判定出函数的最值.

函数的极值类问题是解答题中的一个重难点，对于非常规函数，超出一般解方程的范畴类题目则采用特殊值验证法，特殊值一般情况下是0,1等特殊数字进行验证求解.

对于理科类导数类题目，对于比较复杂的导数题目.一般需要二次求导，但是要注意导数大小与原函数之间的关系，搞清楚导数与原函数的关系是解决此类题目的关键所在.

含参不等式证明问题也是一种重难点题型，对于此类题型应采取的方法是：

一双变量常见解题思路：1双变量化为单变量→寻找两变量的等量关系；2转化为构造

新函数；二含参不等式常见解题思路：1参数分离；2通过运算化简消参（化简或不等关系）；3将参数看成未知数，通过它的单调关系来进行消参.那么两种结构的解题思路理顺了，那么我们来看这道题.这是含参的双变量问题，一般来说，含参双变量问题我们一般是不采用转化为构造新函数，我们最好就双变量化为单变量，这就是我们解这道题的一个非常重要的思路：① 寻找双变量之间的关系并确定范围，并且确定参数的取值范围；②化简和尝试消参；③双变量化为单变量.④证明函数恒成立（求导、求极值……）（经典题型2018年全国一卷理21题）

【考查题型】选择题，填空，解答题21题

【限时检测】（建议用时：90分钟）

一、单选题

1．（2020·安徽高三月考（理））定义在R 上的函数2,10(),01x x f x x x -≤

，且

(2)(),()2

f x f x

g x x +==

-，则方程()()f x g x =在区间[5,9]-上的所有实数根之和最接近下列哪个数（） A ．14 B ．12

C ．11

D ．10

【答案】A 【解析】

∵f （x+2）=f （x ），∵函数f （x ）是周期为2的周期函数， ∵g （x ）=

x -，∵g （x ）关于直线x=2对称．分别作出函数f （x ），g （x ）在[﹣5，9]上的图象，

由图象可知两个函数的交点个数为8个，设8个交点的横坐标从小到大为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，78,,x x 且这8个交点接近点（2，0）对称，则

（x 1+x 8）=2，x 1+x 8=4，所以若x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 67x +8x + =4（x 1+x 8）=4×4=16，但是不都是对称的，由图象可知，x 1+ x 8＞4，x 2+x 7＞4，364x x +>，454x x +> 第五个交点为空心的，跟等于3∵x 1+x 2+x 4+x 5+x 678x x ++ 最接近14．故选A ．

【点睛】：这个题目考查了导数在研究函数的极值和零点问题中的应用；对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个非常函数，注意让非常函数式子尽量简单一些.注意函数的图像画的要准确一些.

2．（2020·四川高三期末（理））函数()[]cos sin ,,=-∈-f x x x x x ππ的大致图象为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D 【解析】【分析】

判断函数的奇偶性和对称性，利用2f π??

???

的符号进行排除即可．【详解】

()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x -=-+=--=-，

函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除,A C

cos sin 1022

22f ππ

ππ??=-=-< ???，排除B ，故选：D ．

【点睛】

本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处

所对应的函数值或其符号，其中包括,,0,0x x x x +-

→+∞→-∞→→等.

3．（2020·安徽高三月考（理））已知函数()()()ln 1220f x x a x a a =+-+->.若不等式

()0f x >的解集中整数的个数为3，则a 的取值范围是（）

A ．(]1ln3,0-

B ．(]1ln3,22ln -

C ．(]

1ln3,12ln -- D ．(]0,1ln2- 【答案】D 【解析】【分析】

对()0f x >进行变形，得到()2ln 2a x x x ->-+-，令()()2h x a x =-，

()ln 2g x x x =-+-，即()()h x g x >的整数个数为3，再由()g x 的函数图像和()h x 的

函数图像，写出限制条件，得到答案【详解】

()0f x >Q

()ln 1220x a x a +∴+-->，即()2ln 2a x x x ->-+-

设()()()2,ln 2h x a x g x x x =-=-+-，其中2x =时，()()20,2ln 20h g ==-<

3x =时，()()30,3ln30h a g =>=-<

即2,3x x ==符合要求

()11

1x g x x x

-'=-+=，所以()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减

()1,x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单调递增，()11g =-为极小值. ()()h x g x >Q 有三个整数解，则还有一个整数解为1x =或者是4x =

∵当解集包含1x =时，0x →时，()()20,h x a g x →-<→+∞

所以需要满足()()()()01144a h g h g ?>?>??≤?

即012ln 442

a a a >??

->-??≤-+-?，解得01ln 2a <≤-

∵当解集包含4x =时，需要满足()()()()()()011

4455a h g h g h g >??≤??>??≤?即012ln 442

3ln 552

a a a a >??-≤-??

>-+-??≤-+-? 整理得0

11ln 23ln 53a a a a >??≥??

>-??

-?≤??

，而

3ln 513-<，所以无解集，即该情况不成立. 综上所述，由∵∵得，a 的范围为(]0,1ln 2- 故选D 项. 【点睛】

利用导数研究函数图像，两个函数图像的位置关系与解析式大小之间的关系，数形结合的

数学思想，题目较综合，考查内容比较多，属于难题.

4．（2019·山东高考模拟（理））已知函数()f x 和(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，当

[0,2]x ∈时，()2x f x =，则20192f ??

-= ???

（）

A ．2 B

．C

【答案】B 【解析】【分析】

由()f x 和(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，可推导出周期为4，而20192f ??

= ??

?20192f ??

= ???

(4252 1.5)(1.5)f f ?+=，即可计算.

【详解】

因为(2)f x +都是定义在R 上的偶函数，所以(2)(2)f x f x -+=+，即

()(4)f x f x =-，又()f x 为偶函数，所以()()(4)f x f x f x =-=+，所以函数周期

4T =，

所以20192f ??-= ???20192f ??= ??

(4252 1.5)(1.5)f f ?+== B. 【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性，周期性，利用周期求函数值，属于中档题.

5．（2019·四川高考模拟（理））在直角坐标系中,如果相异两点()(),,,A a b B a b --都在函数y=f(x)的图象上,那么称,A B 为函数()y f x =的一对关于原点成中心对称的点(,A B 与

,B A 为同一对).函数()7cos ,0{2log ,0

x x f x x x π

≤=>的图象上关于原点成中心对称的点有

( ) A ．1对

B ．3对

C ．5对

D ．7对

【答案】C 【解析】【分析】

函数()7,0

log ,0

cos x x f x x x π?

≤?=??>?的图象上关于原点成中心对称的点的组数，就是y cos

,02

x x π

=≤与()7y log ,0x x =--<图象交点个数，利用数形结合可得结果.

【详解】

因为7y log ,0x x =>关于原点对称的函数解析式为()7y log ,0x x =--<,

所以函数()7,0

log ,0

cos x x f x x x π?

≤?=??>?的图象上关于原点成中心对称的点的组数，就是y cos

,02

x x π

=≤与为()7y log ,0x x =--<图象交点个数，

同一坐标系内，画出y cos

,02

x x π

=≤与()7y log ,0x x =--<图象，如图，

由图象可知，两个图象的交点个数有5个，

7,0

2log ,0

cos x x x x π

?≤??

?>?的图象上关于原点成中心对称的点有5组，故选C. 【点睛】

本题主要考查三角函数与对数函数的图象与性质，以及数形结合思想、转化与划归思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来

解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了

函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．

6．（2019·湖北黄冈中学高考模拟（理））定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[

)12,0,x x ∈+∞有

()()1212

0f x f x x x -<-成立，若关于x 的不等式

()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，则实数m 的取值

范围是（） A ．1

ln6,126e ??+?

???

B ．1ln3,126e ??+????

C ．1

ln3,23e ??

????

D ．1

ln6,23e ??

????

【答案】B 【分析】

结合题意可知()f x 是偶函数,且在[

)0,+∞单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数()(),h x g x ,计算最值,即可. 【详解】

结合题意可知()f x 为偶函数,且在[

)0,+∞单调递减,故

()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++可以转换为

()()2ln 33f mx x f --≥对应于[]1,3x ∈恒成立,即2ln 33mx x --≤

即02ln 6mx x ≤-≤对[]

1,3x ∈恒成立

即ln 6ln 22x x

m m x x +≥≤且对[]1,3x ∈恒成立令()ln x g x x =

,则()[)1ln '1,x

g x e x

-=在上递增,在(],3e 上递减, 所以()max 1

g x e =

令()()2

6ln 5ln ,'0x x

h x h x x x +--==<,在[]1,3上递减所以()min 6ln33h x +=.故1

ln3,126m e ??∈+????

,故选B. 【点睛】

本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案.

7．（2019·河北高考模拟（理））已知函数2()35f x x x =-+，()ln g x ax x =-，若对

(0,)x e ?∈，12,(0,)x x e ?∈且12x x ≠，使得()()(1,2)i f x g x i ==，则实数a 的取值范

围是（）

A ．16(,)e e

B ．7

46[,)e e

C ．7

41[,)e e

D ．7

416(0,][,)e e e

【答案】B 【分析】

对∵x ∵（0，e ），f （x ）的值域为[114，5），g ′（x ）＝a 11

ax x x

--=，推导出a ＞0，g （x ）min ＝g （

）＝1+lna ，作出函数g （x ）在（0，e ）上的大致图象，数形结合由求出实数a 的取值范围．【详解】

当()0,x e ∈时，

函数()f x 的值域为11,54??

????

.由()11'ax g x a x x -=-=可知：当0a ≤时，()'0g x <，与题意不符，故0a >.令()'0g x =，得1x a

，则()1

0,e a ∈，所以

()min 11ln g x g a a ??

==+ ???

，作出函数()g x 在()0,e 上的大致图象如图所示，

观察可知()111415

lna g e ae ?+

?=-≥?

，解得746

e a e ≤<. 故选：B 【点睛】

本题考查实数的取值范围的求法，考查导数的性质、函数的单调性、最值等基础知识，

考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．

二、解答题

8．（2018·江西高考模拟（理））已知函数2()()x f x ax x a e -=++()a R ∈. （1）若0a ≥，函数()f x 的极大值为

，求实数a 的值；（2）若对任意的0a ≤，()ln(1)f x b x ≤+，在[0,)x ∈+∞上恒成立，求实数b 的取值【答案】（1）2a =；（2）1b ≥ 【解析】

试题分析：（1）先求导数，再根据导函数零点分类讨论，根据导函数符号变化规律确定函数极大值，最后根据绝对值求实数a 的值；（2）先求0a ≤，()f x 最大值，再变量分

离得ln(1)x xe b x -≥+ ，最后根据导数研究函数ln(1)

xe y x -=+最大值，即得实数b 的取值范

围.

试题解析：（1）由题意，

∵当时，，令

，得

；

，得

，

所以()f x 在(),1-∞单调递增()1,+∞单调递减. 所以()f x 的极大值为()15

1f e e

≠，不合题意. ∵当时，，

令，得；，得或，

所以()f x 在11,1a ??-

???单调递增，1,1a ?

?-∞- ??

?，()1,+∞单调递减. 所以()f x 的极大值为()215

1a f e e

=，得2a =. 综上所述2a =. （2）令

，

当时，，

故()(]

-0g a ∞于，

上递增， ()()()0,0x

g a g xe x -∴≤=≥ ∴原问题()[)ln 10,x xe b x x -?≤+∈+∞于上恒成立

∵当时，

，

此时，不合题意.

∵当

时，令，

，

则，其中，，

令，则()p x 在区间[

)0,+∞上单调递增

（∵）时，

，

所以对，，从而

在

上单调递增，

所以对任意，

，

即不等式在

上恒成立. （∵）时，由，

及

在区间

上单调

递增，所以存在唯一的使得

，且时，

从而时，，所以

在区间

上单调递减，则时，

，即

，不符合题意.

综上所述，

【点睛】：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法. 9．（2019·广东高考模拟（理））已知函数()()2

12ln 22

f x a x x x x =--

+．

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）1

0ln 21

a <<-

【分析】

（1）求出函数的定义域以及导函数，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论0a ≤，

02a <<，2a =，2a >，可求得()f x 的单调性

（2）由（1）求得在0a ≤，02a <<，2a =，2a >时，函数的单调区间，讨论出零点的个数，从而求得实数a 的取值范围. 【详解】

解析：（1）()()()()211220f x a x x a x x x x

'=-

-??+=-- ??>? ∵0a ≤，0a x -<，(0,2)x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增；(2,)x ∈+∞，()0f x '<，

()f x 单调递减

∵02a <<，()02f x x '=?=或x a =，当(0,)x a ∈，()0f x '<，()f x 单调递减；

(),2x a ∈，()0f x '>，()f x 单调递增；()2,x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减

∵2a =，()()2

120f x x x

'=-

-<，()f x 在()0,∞+单调递减 ∵2a >，()02f x x '=?=或x a =，当()0,2x ∈，()0f x '<，()f x 单调递减；

()2,x a ∈，()0f x '>，()f x 单调递增； (),x a ∈+∞，()0f x '<，()f x 单调递减

（2）由（1）得当0a =时，()2

122

f x x x =-

+在定义域上只有一个零点 0a <，由（1）可得，要使()f x 有两个零点，则()()()20222ln220f f a >?=-+>

∵

0ln 21

a <<-

下证()f x 有两个零点

取1

a x e =，1111

2202a a a a f e a e e e a ??????=--+< ? ? ???????

，满足()120a f e f ??

?< ???

，故()f x 在()0,2有且只有一个零点

()()442ln40f a =-<，满足()()240f f <，故()f x 在()2,+∞有且只有一个零点

当02a <<时，由（1）可得()0,2x ∈，

()()()()2211

2ln 221ln 022

f x f a a a a a a a a a ≥=--+=+->，故()f x 在()0,2无

零点，

又因为()f x 在()2,+∞单调递减，

∵()f x 在()0,∞+至多一个零点，不满足条件

当2a >时，

()0,x a ∈，()()()222ln 220f x f a ≥=-+>故()f x 在()0,a 上无零点，又因为()f x 在(),a +∞单调递减，∵()f x 在()0,∞+至多一个零点，不满足条件 ∵满足条件a 的取值范围1

0ln 21

a <<-

【点睛】

本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数单调性及最值，考查函数零点的判断，考查学生的计算能力，属于难题.

10．（2019·湖北高考模拟（理））已知函数()e (ln )x f x a x =?+，其中a ∈R ．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线e

y =-

垂直，求a 的值；（2）记()f x 的导函数为()g x ．当(0,ln 2)a ∈时，证明：()g x 存在极小值点0x ，且

0()0f x <．

【答案】（1）0；（2）见解析【解析】

分析：第一问对函数求导，利用两直线垂直，斜率所满足的条件求得切线的斜率，即函数在对应点处的导数，从而求得0a =，第二问写出函数()g x 的解析式，对其求导，根据

0x e >，从而将研究'()g x 的符号转化为研究()221

ln h x a x x x

-+的符号，对其再求导，从而确定出函数在给定区间上的变化趋势，以及极小值点所满足的条件，最后证得结

果.

详解：（1）()()11e ln e e ln x

x f x a x a x x x ??=?++?

=?++ ?'??

依题意，有 ()()1e 1e f a =?+='，解得0a =. （2）令()1e ln x

g x a x x ?

?=?+

+ ???

，所以()2211121e ln e e ln x

x x g x a x a x x x x x x ?

?????=?+

++?-=?+-+ ? ? ???????

'．因为e 0x >，所以()g x '与2

ln a x x x +

-+同号．设()221ln h x a x x x =+-+，则 ()()2

233

1122x x x h x x x -='+-+=．所以对任意()0,x ∈+∞，有()0h x '>，故()h x 在()0,+∞单调递增．因()0,ln2a ∈，所以()110h a =+>，11ln 022h a ??

=+<

，故存在01,12x ??

∈

???

，使得()00h x =． ()g x 与()g x '在区间1,12??

???

上的情况如下：

所以()g x 在区间

上单调递减，在区间上单调递增．

所以若()0,ln2a ∈，存在01,12x ??∈ ???

，使得0x 是()g x 的极小值点．

令()00h x =，得到0020

12ln x a x x -+=

，所以()()000

002

012e ln e 0x x x f x a x x -=?+=?<．【点睛】：该题属于导数的综合应用问题，一是要明确两直线垂直时斜率的关系，再结合导数的几何意义求导对应的参数的值，第二问研究的是函数的极值问题，通过研究导数的符号确定函数的单调区间，从而确定函数在哪个点处取得极值，在这里需要注意的是对导函数的转化问题，从而将函数解析式简化.

11．（2019·山东省实验中学高考模拟（理））已知函数()()1x

f x a x e =--，x ∈R ．

（1）求函数()f x 的单调区间及极值；（2）设()()

ln m g x x t x t ?

?=-+- ??

?，当1a =时，存在()1,x ∈-∞+∞，()20,x ∈+∞，

使方程()()12f x g x =成立，求实数m 的最小值．

【答案】（1）单调递增区间为(,1)x a ∈-∞-，单调递减区间为(1,)x a ∈-+∞.函数()f x 有极大值且为1

(1)1a f a e --=-，()f x 没有极小值.（2）1

【分析】

（1）通过求导，得到导函数零点为1x a =-，从而可根据导函数正负得到单调区间，并可得到极大值为()1f a -，无极小值；（2）由()f x 最大值为0且()0g x ≥可将问题转化为ln x x

=有解；通过假设()ln h x x x =，求出()h x 的最小值，即为m 的最小值. 【详解】

（1）由()()1x

f x a x e =--得：()()1x

f x a x e '=--

令()0f x '=，则()10x

a x e --=，解得1x a =-

当(),1x a ∈-∞-时，()0f x '> 当()1,x a ∈-+∞时，()0f x '<

()f x 的单调递增区间为(),1x a ∈-∞-，单调递减区间为()1,x a ∈-+∞

当1x a =-时，函数()f x 有极大值()1

11a f a e

--=-，()f x 没有极小值

（2）当1a =时，由（1）知，函数()f x 在10x a =-=处有最大值()0

010f e =-=

又因为()()

ln 0m g x x t x t ?

?=-+-≥ ??

∴方程()()12f x g x =有解，必然存在()20,x ∈+∞，使()20g x =

x t ∴=，ln m

x t =

等价于方程ln x x

=有解，即ln m x x =在()0,∞+上有解

记()ln h x x x =，()0,x ∈+∞

()ln 1h x x '∴=+，令()0h x '=，得1x e

当10,e x ??∈ ???

时，()0h x '<，()h x 单调递减

当1,x e ??∈+∞ ???

时，()0h x '>，()h x 单调递增

所以当1

x e =时，()min 1h x e

=- 所以实数m 的最小值为1

【点睛】

本题考查利用导数求解函数单调区间和极值、能成立问题的求解.解题关键是能够将原题的能成立问题转化为方程有解的问题，从而进一步转化为函数最值问题的求解，对于学生转化与化归思想的应用要求较高.

12．（2019·江西省都昌县第一中学高考模拟（理））已知函数1

()ln f x x a x x

=-+．（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()

1212

2f x f x a x x -<--．

【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】

分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对a 进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；

(2)根据()f x 存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定2a >，令'()0f x =，得

到两个极值点12,x x 是方程210x ax -+=的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.

详解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222

1a x ax f x x x x

-+=--+-'=. （i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在()0,+∞ 单调递减.

（ii ）若2a >，令()0f x '=

得，x =

或x =

当0,

22a a x ???

+∈?+∞ ? ? ?????时，()0f x '<；

当22a a x ?-+∈?

???

时，()0f x '>.所以()f x

在,??+∞ ? ?????

单调递减，在??

单调

递增.（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.

由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则

21x >.由于

()()121212212

121212

ln ln ln ln 2ln 1

1221f x f x x x x x x a a a

x x x x x x x x x x ----=-

-+=-+=-+----，所以

()()1212

2f x f x a x x -<--等价于222

2ln 0x x x -+<.

设函数()1

2ln g x x x x

-+，由（1）知，()g x 在()0,+∞单调递减，又()10g =，从而当()1,x ∈+∞时，()0g x <.

所以2221

2ln 0x x x -+<，即()()1212

2f x f x a x x -<--. 【点睛】：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要

明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确. 13．（2019·广东高考模拟（理））已知函数ln 2

()x f x x

+=．（1）求函数()f x 在[1,)+∞上的值域；

（2）若x ?∈[1,)+∞，ln (ln 4)24x x ax +≤+恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(0,2]（2）24a e

≥ 【分析】

（1）对函数()f x 求导，确定函数在[

)1,+∞上单调性和最值，即可求出函数()f x 在

[)1,+∞上的值域；

（2）通过构造函数()()ln ln 424g x x x ax =+--，将问题转化为在[

)1,+∞区间上

()0max g x ≤问题，求导函数()ln 22x g x a x +??

?'??

，通过分类讨论确定实数a 的取值范围．【详解】

解：（1）易知()()2

1ln 01x

f x x x -<'-=

≥， ()f x ∴在[)1,+∞上单调递减，()max 2f x =， 1x ≥Q 时，()0f x >，

()f x ∴在[)1,+∞上的值域为(]0,2．

（2）令()()ln ln 424g x x x ax =+--，

则()ln 22x g x a x +??

?'??

，

∵若0a ≤，则由（1）可知，()0g x '>，()g x 在[

)1,+∞上单调递增， ()e 12e>0g a =-Q ，与题设矛盾，0a ∴≤不符合要求；

∵若2a ≥，则由（1）可知，()0g x '≤，()g x 在[

)1,+∞上单调递减，

()()1240g x g a ≤=--

∵若02a <<，则()01,x ?∈+∞，使得

ln 2

x a x +=，且()g x 在()01,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，

()()()0000max ln ln 424g x g x x x ax ∴==+--， 00ln 2x ax =-Q ， ()()()()()()000000max =222424g x g x ax ax ax ax ax ∴=-+--=+-．

由题：()max 0g x ≤，即()()00240ax ax +-≤，024ax -≤≤，

即2

002ln 241e x x -≤+≤?<≤．

00ln 2x a x +=Q ，且由（1）可知ln 2x y x

+=在()1,+∞上单调递减， 2

2e a ∴

≤<．综上，24

a e

≥．

【点睛】本题主要考查函数的极值、最值与函数的单调性问题，考查利用导数研究恒成立问题的分类讨论方法. 分类讨论时要注意不重不漏，仔细审题，根据已知条件合理分类.根据题意构造新函数并合理运用已知结论是解题关键.

高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版

导数与三角函数压轴题归纳总结近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理例1.【2019全国Ⅰ理20】函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2 π -存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．【解析】（1）设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ?? ?时,()g'x 单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ???, 可得()g'x 在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为α. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>；当,2x πα?? ∈ ??? 时,()0g'x <. 所以()g x 在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故()g x 在1,2π?? - ???存在唯一极大值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞. （i ）由（1）知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. （ii ）当0,2x π?? ∈ ???时,由（1）知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ?? ??? 单调递减,而

(完整word版)高中数学解析几何大题精选

解析几何大量精选 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程； ⑴当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．【解析】 ⑴ 2 214 x y +=． ⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程，整理得2 2 2 (14)8440k x kbx b +++-=，因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122 814kb x x k +=-+，21224414b x x k -= + ② 且2222 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r ．由0AP AQ ?=u u u r u u u r ，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或6 5 b k =．经检验，都符合条件① 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6655y kx k k x ? ?=+=+ ?? ?．显然，此时直线l 经过定点6,05?? - ??? 点，满足题意．综上，k 与b 的关系是65b k =，且直线l 经过定点6,05?? - ??? 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -=相切． ⑴ 求椭圆C 的方程； ⑴ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； ⑴ 在⑴的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?u u u u r u u u r 的取值范围．【解析】 ⑴22 143 x y +=． ⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．

高考数学导数题型归纳(文科)-

文科导数题型归纳高度重视：首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量；２变更主元;3根分布；４判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴（重视单调区间) 与定义域的关系（２）端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。最后,在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0，=0,<0) 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元)； (请同学们参看2０10省统测2）例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上,()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数,432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；（2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数” ，则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3］上恒成立解法一:从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330 g m g m <-? ?<--

2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析已知函数2()x f x e ax =-. （1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥. （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a . 题目分析：本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用，综合考察学生化归与分类讨论的数学思想，题目设置相对较易，利于选拔不同能力层次的学生。第1小问，通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式，这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数，指数函数的系数为代数函数，非常容易求解零点，并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意，对以后导数命题有着很大的指引作用。但是，这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此，以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论，始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点，力求完整的解答该类题目。题目解答：（1）若1a =，2()x f x e x =-，()2x f x e x '=-，()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增；所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->，从而()f x 在[0,)+∞单调递增；所以()(0)1f x f ≥=，得证. （2）当0a ≤时，()0f x >恒成立，无零点，不合题意. 当0a >时，()2x f x e ax '=-，()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增；所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时，()0f x '≥，从而()f x 在[0,)+∞单调递增，()(0)1f x f ≥=，在(0,)+∞无零点，不合题意.

2007——2014高考数学新课标卷(理)函数与导数压轴题汇总

2007——2014高考数学新课标卷（理）函数与导数综合大题【2007新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分）设函数2()ln()f x x a x =++ （I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性；（II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln 2 ．【解析】（Ⅰ）1()2f x x x a '= ++，依题意有(1)0f '-=，故32a =．从而2231(21)(1) ()3322 x x x x f x x x ++++'==++． ()f x 的定义域为32?? -+ ??? ，∞，当312x -<<-时，()0f x '>；当1 12 x -<<-时，()0f x '<；当1 2 x >- 时，()0f x '>．从而，()f x 分别在区间3 1122????---+ ? ?????，，， ∞单调增加，在区间112?? -- ??? ，单调减少．（Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221 ()x ax f x x a ++'=+．方程2 2210x ax ++=的判别式2 48a ?=-．（ⅰ）若0?< ，即a << ()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值．（ⅱ）若0?= ，则a a = 若a = ()x ∈+ ，2 ()f x '= ．当x =时，()0f x '=，

当2 x ? ??∈-+ ? ????? ，∞时， ()0f x '>，所以()f x 无极值．若a =)x ∈+，()0f x '= >，()f x 也无极值．（ⅲ）若0?>，即a > a <22210x ax ++=有两个不同的实根 1x = 2x = 当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点，故()f x 无极值．当a > 1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值．综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+． ()f x 的极值之和为 2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22 e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=．【2008新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分）设函数1 ()()f x ax a b x b =+ ∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为y =3．（Ⅰ）求()f x 的解析式：（Ⅱ）证明：函数()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（Ⅲ）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 21．解：（Ⅰ）2 1 ()() f x a x b '=- +，

高考数学解析几何专题练习及答案解析版

高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点，且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上（Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上（Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上（Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9．圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )

高考数学导数题型归纳

导数题型归纳例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 例2：设函数),10(323 1)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-= （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.

例3；已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 处的切线斜率为3-， 326()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+ -++> （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。例4：已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(2 1121)(23++++=．（Ⅰ）如果函数)()(x f x g '=是偶函数，求)(x f 的极大值和极小值；（Ⅱ）如果函数)(x f 是), (∞+-∞上的单调函数，求a 的取值范围．

例5、已知函数3211()(2)(1)(0).32 f x x a x a x a =+-+-≥ （I ）求()f x 的单调区间；（II ）若()f x 在[0，1]上单调递增，求a 的取值范围。子集思想例6、已知函数232 )1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=31)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．（1）求实数k 的取值范围；（2）若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．

高中数学导数题型总结

导数经典例题剖析考点一：求导公式。例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是。考点二：导数的几何意义。例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是。考点三：导数的几何意义的应用。例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。考点四：函数的单调性。例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值围。例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。（1）求a 、b 的值；（2）若对于任意的[03]x ∈，，都有2 ()f x c <成立，求c 的取值围。点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。

例7. 已知a 为实数，()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。解析：（1）()a x ax x x f 442 3 +--=，∴ ()423'2 --=ax x x f 。（2）()04231'=-+=-a f ，2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ，即()()0143=+-x x ，解得1-=x 或3 4 =x ，则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ，275034-=??? ??f 。所以，()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ，最小值为()2 9 1= -f 。答案：（1）()423'2 --=ax x x f ；（2）最大值为275034- =?? ? ??f ，最小值为()2 91=-f 。点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值，要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值，然后与()a f 和()b f 进行比较，从而得出函数的最大最小值。考点七：导数的综合性问题。例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。（1）求a ，b ，c 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。

高三数学导数压轴题

导数压轴一．解答题（共20小题） 1．已知函数f（x）＝e x（1+alnx），设f'（x）为f（x）的导函数．（1）设g（x）＝e﹣x f（x）+x2﹣x在区间[1，2]上单调递增，求a的取值范围；（2）若a＞2时，函数f（x）的零点为x0，函f′（x）的极小值点为x1，求证：x0＞x1． 2．设．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥0恒成立；（2）讨论关于x的方程根的个数． 3．已知函数f（x）＝﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1（a∈R）．

（1）当a＝1时，判断g（x）＝e x f（x）的单调性；（2）若函数f（x）无零点，求a的取值范围． 4．已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若存在成立，求整数a的最小值．5．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+ax（a∈R）．

（Ⅰ）当a＝﹣e+1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a≥﹣1时，求证：f（x）＞0． 6．已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax﹣1．（Ⅰ）若f（x）在定义域内单调递增，求实数a的范围；（Ⅱ）设函数g（x）＝xf（x）﹣e x+x3+x，若g（x）至多有一个极值点，求a的取值集合．7．已知函数f（x）＝x﹣1﹣lnx﹣a（x﹣1）2（a∈R）．

（2）若对?x∈（0，+∞），f（x）≥0，求实数a的取值范围． 8．设f′（x）是函数f（x）的导函数，我们把使f′（x）＝x的实数x叫做函数y＝f（x）的好点．已知函数f（x）＝．（Ⅰ）若0是函数f（x）的好点，求a；（Ⅱ）若函数f（x）不存在好点，求a的取值范围． 9．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+2（a为常数）．

高考理科数学全国卷三导数压轴题解析

2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- （1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >；（2）若0x =是()f x 的极大值点，求a . 考点分析综合历年试题来看，全国卷理科数学题目中，全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中，很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问，主要通过函数的单调性证明不等式，第2小问以函数极值点的判断为切入点，综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题，对思维能力（化归思想与分类讨论）的要求较高。具体而言，第1问，给定参数a 的值，证明函数值与0这一特殊值的大小关系，结合函数以及其导函数的单调性，比较容易证明，这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式，比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点，把ln(1)x +前面的系数化为1，判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系，仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数，解法更加容易，思维比较巧妙。总体来讲，题目设置比较灵活，不同能力层次的学生皆可上手。理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系：对于任意函数，在极值点，导函数一定等于0么（存在不存在）？导函数等于0的点一定是函数的极值点么？因此，任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中，0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增)，对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减)，因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围，所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上，可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求，难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况，非常巧妙，但是思维跨度比较大，在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是，官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视，这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现，这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势，对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高，符合高考命题的思想。下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。

高中数学函数与导数常考题型归纳

高中数学函数与导数常考题型整理归纳题型一:利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1 x －a . 若a≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈? ???? 0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈? ?? ?? 1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，所以f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ? ?? ??1a ＝ln 1 a ＋a ? ?? ??1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ?? 1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.

函数与导数经典例题高考压轴题含答案

函数与导数经典例题-高考压轴 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈．（Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 2. 已知函数21 ()32 f x x = +，()h x = （Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值；（Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33 lg[(1)]2lg ()2lg (4)24 f x h a x h x --=---；（Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1 ()()[(1)(2)()]6 f n h n h h h n -+++≥L ． 3. 设函数ax x x a x f +-=2 2ln )(，0>a （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）求所有实数a ，使2 )(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立．注：e 为自然对数的底数． 4. 设2 1)(ax e x f x +=，其中a 为正实数. （Ⅰ）当3 4 = a 时，求()f x 的极值点；（Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围. 5. 已知a ， b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f （e ）=2（e=2．71828…是自然对数的底数）。（I ）求实数b 的值；（II ）求函数f （x ）的单调区间；（III ）当a=1时，是否同时存在实数m 和M （m

高中数学函数与导数综合题型分类总结

函数综合题分类复习题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征)()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立；参考例4；例1.已知函数321()23 f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点．（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，22()3 f x a ->恒成立，求a 的取值范围．例2.已知函数b ax ax x x f +++=23)(的图象过点)2,0(P . （1）若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式；（2）若3>a ，求函数)(x f y =的单调区间。例3.设2 2(),1 x f x x =+()52(0)g x ax a a =+->。（1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域；（2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。例4.已知函数 32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-， 326()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。例5.已知定义在R 上的函数 32()2f x ax ax b =-+）（0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数 ()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 例6.已知函数2233)(m nx mx x x f +++=，在1-=x 时有极值0，则=+n m 例7.已知函数23)(a x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为5102，函数33)()(22 +-=a bx x f x g ．（1）若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式；（2）若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围．答案： 1、解：（Ⅰ）'2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点， ∴2x =是方程2220x bx -+=的一个根，解得32 b =. 令'()0f x >，则2320x x -+>，解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞. （Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时'()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >， ∴()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]上的最小值，且 2(2)3f a =+. 若当[1, 3]x ∈时，要使 22()3f x a ->恒成立，只需22(2)3f a >+，即22233a a +>+，解得 01a <<. 2、解：（Ⅰ） a ax x x f ++='23)(2．由题意知???=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ，得 ???=-=23b a ． ∴233)(23+--=x x x x f ．（Ⅱ）023)(2=++='a ax x x f ． ∵3>a ，∴01242>-=?a a ．

高考导数压轴题题型(精选.)

高考导数压轴题题型李远敬整理 2018.4.11 一．求函数的单调区间，函数的单调性 1.【2012新课标】21. 已知函数()f x 满足满足12 1()(1)(0)2 x f x f e f x x -'=-+；（1）求()f x 的解析式及单调区间；【解析】（1）12 11()(1)(0)()(1)(0)2 x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+ 令1x =得：(0)1f = 1211 ()(1)(0)(1)1(1)2 x f x f e x x f f e f e --'''=-+?==?= 得：21 ()()()12 x x f x e x x g x f x e x '=-+?==-+ ()10()x g x e y g x '=+>?=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=?><=?< 得：()f x 的解析式为21()2 x f x e x x =-+ 且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞ 2.【2013新课标2】21．已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性；【解析】 (1)f ′(x )＝1 e x x m - +. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝1 e 1 x x -+. 函数f ′(x )＝1 e 1 x x -+在(－1，＋∞)单调递增，且f ′(0)＝0. 因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增． 3.【2014新课标2】21. 已知函数()f x =2x x e e x --- （1）讨论()f x 的单调性；【解析】（1）+ -2≥0，等号仅当x=0时成立，所以f （x ）在（—∞，+∞）单调递增【2015新课标2】21. 设函数 f (x )=e mx +x 2-mx 。（1）证明： f (x )在 (-￥,0)单调递减，在 (0,+￥)单调递增；（2）若对于任意 x 1,x 2?[-1,1]，都有 |f (x 1)-f (x 2)|￡e -1，求m 的取值范围。

高中数学解析几何大题专项练习

解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程；（2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于过点P （0， 3 3）、Q 的直线对称若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . （Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值；（Ⅱ）记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [

3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ，点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ．（1）求抛物线 C 的方程。 ~ （2）证明：点F 在直线BD 上；（3）设8 9 FA FB ?=，求BDK ?的面积。． { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1 2 ，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值． - 、

解析几何-2020年高考数学十年真题精解(全国Ⅰ卷)抛物线(含解析)

专题09 解析几何第二十四讲抛物线 2019年 1.（2019全国II 文9）若抛物线y 2 =2px （p >0）的焦点是椭圆 22 13x y p p +=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 2.（2019浙江21）如图，已知点(10)F ，为抛物线2 2(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S . （1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求 1 2 S S 的最小值及此时点G 的坐标. 3.(2019全国III 文21）已知曲线C ：y =2 2 x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，5 2 )为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程. 2015-2018年一、选择题 1．（2017新课标Ⅱ）过抛物线C ：2 4y x =的焦点F ，3的直线交C 于点M (M

在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为 A B ． C ． D ．2．（2016年全国II 卷）设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y = k x （k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = A ． 12 B ．1 C ．3 2 D ．2 3．（2015陕西）已知抛物线2 2y px =(0p >)的准线经过点(1,1)-，则该抛物线的焦点坐标为 A ．(－1，0) B ．(1，0) C ．(0，－1) D ．(0，1) 4．（2015四川）设直线l 与抛物线2 4y x =相交于,A B 两点，与圆2 2 2 (5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 A ．()13， B ．()14， C ．()23， D ．()24，二、填空题 5．(2018北京)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线2 4y ax =截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为_________． 6．（2015陕西）若抛物线2 2(0)y px p =>的准线经过双曲线2 2 1x y -=的一个焦点，则p = 三、解答题 7．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线2 4=：C y x 的焦点为F ，过F 且斜率为(0)>k k 的直线l 与 C 交于A ，B 两点，||8=AB ． (1)求l 的方程； (2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 8．（2018浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：2 4y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．

2020年高考数学(理)重难点专练06 函数与导数(解析版)

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