高考数学导数题型归纳(文科)-
文科导数题型归纳
高度重视：
首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量；２变更主元;3根分布；４判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴（重视单调区间)
与定义域的关系 （２）端点处和顶点是最值所在
其次，分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后,在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)('
=x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表； 第三步：由图表可知；
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：
第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0，=0,<0)
第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元)；
(请同学们参看2０10省统测2）
例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上,()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常
数,432
3()1262
x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；
（2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.
解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32
()332
x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=--
（1）
()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”
， 则 2
()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3］上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <
(0)030
2(3)09330
g m g m <-?
?<--
解法二:分离变量法:
∵ 当0x =时, 2
()330g x x mx ∴=--=-<恒成立， 当03x <≤时, 2()30g x x mx =--<恒成立
等价于233
x m x x x ->=-的最大值(03x <≤）恒成立， 而3
()h x x x
=-(03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h ==
2m ∴>
(2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”
则等价于当2m ≤时2
()30g x x mx =--< 恒成立
变更主元法
再等价于2
()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立(视为关于
m 的一次函数最值问题)
2
2
(2)0230
11(2)0230
F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 2b a ∴-=
请同学们参看２010第三次周考： 例２:设函数),10(323
1)(223
R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-
= (Ⅰ)求函数f （x )的单调区间和极值；
(Ⅱ)若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立,求a 的取值范围.
解:(Ⅰ）()()2
2
()433f x x ax a x a x a '=-+-=---
01a <<
令,0)(>'x f 得)(x f 令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为（－∞，a )和（3a ,＋∞）
∴当x=ａ时，)(x f 极小值=;4
33
b a +-
当x=３a 时,)(x f 极大值＝ｂ. ? (Ⅱ)由|)(x f '|≤a ,得:对任意的],2,1[++∈a a x 22
43a x ax a a -≤-+≤恒成立①
则等价于()g x 这个二次函数max min ()()g x a g x a
≤??≥-? 22
()43g x x ax a =-+的对称轴2x a =
01,a << 12a a a a +>+=（放缩法)
即定义域在对称轴的右边，()g x 这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
22()43[1,2]g x x ax a a a =-+++在上是增函数.
max min ()(2)2 1.()(1)4 4.
g x g a a g x g a a =+=-+=+=-+
∴
于是,对任意]2,1[++∈a a x ，不等式①恒成立，等价于
(2)44,4
1.(1)215g a a a a g a a a
+=-+≤?≤≤?
+=-+≥-?解得 又,10< .15 4 <≤a 点评:重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间）与定义域的关系 第三种：构造函数求最值 题型特征:)()(x g x f >恒成立0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立;从而转化为第一、二种题型 例3；已知函数32 ()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 处的切线斜率为3-， 32 6()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+ -++> (Ⅰ)求,a b 的值; （Ⅱ）当[1,4]x ∈-时,求()f x 的值域； （Ⅲ)当[1,4]x ∈时,不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数ｔ的取值范围。 解:（Ⅰ）/ 2 ()32f x x ax =+∴/(1)31f b a ?=-?=+?， 解得3 2a b =-??=-? (Ⅱ)由（Ⅰ）知，()f x 在[1,0]-上单调递增,在[0,2]上单调递减,在[2,4]上单调递减 又(1)4,(0)0,(2)4,(4)16f f f f -=-==-= ∴()f x 的值域是[4,16]- (Ⅲ）令2 ()()()(1)3[1,4]2 t h x f x g x x t x x =-=-++-∈ 思路1:要使()()f x g x ≤恒成立,只需()0h x ≤，即2 (2)26t x x x -≥-分离变量 思路2：二次函数区间最值 二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 解法1：转化为0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立， 回归基础题型 解法２：利用子区间（即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集； 做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是（a ，b ）”,要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集 例4：已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(2 1121)(2 3++++= ． 2x a = []1, 2a a ++ (Ⅰ）如果函数)()(x f x g '=是偶函数，求)(x f 的极大值和极小值； (Ⅱ)如果函数)(x f 是), (∞+-∞上的单调函数,求a 的取值范围. 解: )14()1(4 1)(2 ++++= 'a x a x x f . （Ⅰ)∵ ()f x '是偶函数,∴ 1-=a . 此时 x x x f 3121)(3-= ，34 1 )(2-='x x f ， 令 0)(='x f ,解得：32±=x . 列表如下： x (-∞,-２ 3) －23 (-2 3,23） 2 3 （2 3,+∞) )(x f ' + 0 - 0 + )(x f 递增 极大值 递减 极小值 递增 可知: ()f x 的极大值为34)32(=-f , ()f x 的极小值为34)32(-=f . （Ⅱ）∵函数 )(x f 是),(∞+-∞上的单调函数, ∴ 2 1()(1)(41)04 f x x a x a '= ++++≥,在给定区间R 上恒成立判别式法 则22 1(1)4(41)204 a a a a ?=+-??+=-≤， 解得:02a ≤≤. 综上，a 的取值范围是}20{≤≤a a . 例5、已知函数3211 ()(2)(1)(0).32 f x x a x a x a = +-+-≥ （Ｉ）求()f x 的单调区间; (ＩI ）若()f x 在[0，１］上单调递增，求ａ的取值范围。子集思想 （I)2 ()(2)1(1)(1).f x x a x a x x a '=+-+-=++- 1、2 0,()(1)0,a f x x '==+≥当时恒成立 当且仅当1x =-时取“=”号,()(,)f x -∞+∞在单调递增。 2、12120,()0,1,1,,a f x x x a x x '>==-=-<当时由得且 单调增区间：(,1),(1,)a -∞--+∞ 单调增区间：(1,1)a -- ()f x ' (ＩI)当 ()[0,1],f x 在上单调递增 则[]0,1是上述增区间的子集： 1、0a =时,()(,)f x -∞+∞在单调递增 符合题意 2、[]()0,11,a ?-+∞,10a ∴-≤ 1a ∴≤ 综上,a 的取值范围是［0,1]。 三、题型二:根的个数问题 题1函数ｆ(ｘ)与g （x)(或与ｘ轴)的交点=＝===＝即方程根的个数问题 解题步骤 第一步:画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”； 第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组)；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可； 例6、已知函数232)1(31)(x k x x f +-= ，kx x g -=3 1 )(,且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数. （1） 求实数k 的取值范围; （2） 若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围． 解:（1）由题意x k x x f )1()(2 +-=' ∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数, ∴0)1()(2 >+-='x k x x f 在区间),2(+∞上恒成立(分离变量法） 即x k <+1恒成立,又2>x ，∴21≤+k ,故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k （2）设3 12)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h , )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h 令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1）知1≤k ， ①当1=k 时，0)1()(2 ≥-='x x h ,)(x h 在R 上递增，显然不合题意… ②当1 由于02 1<-k ,欲使)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，即方程0)(=x h 有三个不同的实根,故 需031 2623>-+-k k ,即0)22)(1(2<---k k k ∴???>--<02212k k k ，解得31- 根的个数知道,部分根可求或已知。 例7、已知函数3 2 1()22 f x ax x x c =+ -+ （1）若1x =-是()f x 的极值点且()f x 的图像过原点，求()f x 的极值； (2）若2 1()2 g x bx x d = -+，在(１）的条件下,是否存在实数b ,使得函数()g x 的图像与函数()f x 的图像恒有含1x =-的三个不同交点？若存在,求出实数b 的取值范围;否则说明理由。 解:(１）∵()f x 的图像过原点，则(0)00f c =?= 2()32f x ax x '=+-, 又∵1x =-是()f x 的极值点,则(1)31201f a a '-=--=?=- 2()32(32)(1)0f x x x x x '∴=+-=-+= 3()(1)2f x f =-= 极大值 222()()37 f x f ==-极小值 （２)设函数()g x 的图像与函数()f x 的图像恒存在含1x =-的三个不同交点， 等价于()()f x g x =有含1x =-的三个根,即:1 (1)(1)(1)2 f g d b -=-?=- - 322111 2(1)222x x x bx x b ∴+-=---整理得： 即：32 11(1)(1)022 x b x x b ---+-=恒有含1x =-的三个不等实根 (计算难点来了:）3211 ()(1)(1)022 h x x b x x b =---+-=有含1x =-的根， 则()h x 必可分解为(1)()0x +=二次式,故用添项配凑法因式分解, 3x 22x x +-211 (1)(1)022b x x b ---+-= 2211(1)(1)(1)022x x b x x b ?? +-++--=???? 22 1(1)(1)2(1)02 x x b x x b ??+-++--=?? 十字相乘法分解：[]()21 (1)(1)(1)102 x x b x b x +-+--+= 211(1)(1)(1)022x x b x b ?? +-++-=???? 3211 (1)(1)022 x b x x b ∴---+-=恒有含1x =-的三个不等实根 等价于2 11(1)(1)022 x b x b -++-=有两个不等于-1的不等实根。 2211(1) 4(1)04211(1)(1)(1)022 b b b b ??=+-?->?????-+++-≠??(,1)(1,3)(3,)b ?∈-∞-?-?+∞ 题２:切线的条数问题==＝＝以切点0x 为未知数的方程的根的个数 例7、已知函数3 2 ()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值-4,使其导数'()0f x >的x 的取值范围为 (1,3),求:(1)()f x 的解析式;（2）若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线,求实数m 的取值范围. （1)由题意得：2 '()323(1)(3),(0)f x ax bx c a x x a =++=--< ∴在(,1)-∞上'()0f x <；在(1,3)上'()0f x >;在(3,)+∞上'()0f x < 因此()f x 在01x =处取得极小值4- ∴4a b c ++=-①,'(1)320f a b c =++=②,'(3)2760f a b c =++=③ 由①②③联立得：169a b c =-??=??=-? ，∴32 ()69f x x x x =-+- (2）设切点Q (,())t f t ，, ()()()y f t f t x t -=- 232(3129)()(69)y t t x t t t t =-+--+-+- 222(3129)(3129)(69)t t x t t t t t t =-+-+-+--+ 22(3129)(26)t t x t t t =-+-+-过(1,)m - 232(3129)(1)26m t t t t =-+--+- 32()221290g t t t t m =--+-= 令2 2 '()66126(2)0g t t t t t =--=--=, 求得:1,2t t =-=，方程()0g t =有三个根。 需:(1)0(2)0g g ->?? ???--+- 11 m m >-? 故：1116m -<<；因此所求实数m 的范围为:(11,16)- 题３：已知()f x 在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数 解法:根分布或判别式法 例8、 解:函数的定义域为R (Ⅰ)当m=4时，ｆ (x ）＝ １3 ｘ３ -错误!x 2+10x, ()f x '＝x 2－7x +1０，令()0f x '> ， 解得5,x >或2x <. 令()0f x '< , 解得25x << 可知函数f （ｘ)的单调递增区间为(,2)-∞和（５,+∞），单调递减区间为()2,5． (Ⅱ)()f x '＝x 2－(ｍ＋３)x ＋m ＋６, 要使函数y ＝f (x ）在（１,+∞)有两个极值点,()f x '?＝x 2－（m ＋3)x ＋ｍ＋6＝０的根在(1,＋∞） 根分布问题： 则2(3)4(6)0;(1)1(3)60;3 1.2 m m f m m m ? ??=+-+>? '=-+++>??+?>?, 解得ｍ>3 例９、已知函数23213)(x x a x f += ，)0,(≠∈a R a (１） 求)(x f 的单调区间；（2）令()g x ＝1 4 x 4＋f(ｘ）(x ∈R ）有且仅有3个极值点，求a 的取值范围. 解:（1）)1()(2 ' +=+=ax x x ax x f 当0>a 时,令0)(' >x f 解得01>- <<-x a , 所以)(x f 的递增区间为),0()1,(+∞--∞ a ,递减区间为)0,1 (a -. 当0 ()0,(+∞--∞a ． （2）432 113)42 (g a x x x x =++有且仅有３个极值点 ?223(1())ax x x x x x a g x +=+'+=+=0有３个根，则0x =或210x ax ++=,2a <- 方程2 10x ax ++=有两个非零实根，所以2 40,a ?=-> 2a ∴<-或2a > 而当2a <-或2a >时可证函数()y g x =有且仅有3个极值点 其它例题： 1、（最值问题与主元变更法的例子)．已知定义在R 上的函数3 2 ()2f x ax ax b =-+） （0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5,最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ)若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 解:（Ⅰ） 32'2()2,()34(34)f x ax ax b f x ax ax ax x =-+∴=-=- 令' ()f x =0,得[]1240,2,13 x x ==?- 因此)0(f 必为最大值,∴50=）（f 因此5=b , (2)165,(1)5,(1)(2)f a f a f f -=-+=-+∴>-, 即11516)2(-=+-=-a f ,∴1=a ,∴ .52(2 3+-=x x x f ） （Ⅱ）∵x x x f 43)(2 -='，∴0(≤+'tx x f ）等价于0432≤+-tx x x , 令x x xt t g 43)(2 -+=，则问题就是0)(g ≤t 在]1,1[-∈t 上恒成立时，求实数x 的取值范围, 为此只需???≤≤-0)10)1(（g g ,即???≤-≤-0 05322x x x x ， 解得10≤≤x ，所以所求实数x 的取值范围是[0，1]． 2、（根分布与线性规划例子） (1）已知函数322 ()3 f x x ax bx c =+++ (Ⅰ） 若函数()f x 在1=x 时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线30x y +=平行, 求 )(x f 的解析式； （Ⅱ) 当()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1, 2)x ∈取得极小值时， 设点(2,1)M b a -+所 在平面区域为S ， 经过原点的直线L 将S 分为面积比为１:3的两部分, 求直线Ｌ的方程. 解: (Ⅰ). 由2 ()22f x x ax b '=++， 函数()f x 在1=x 时有极值 , ∴ 220a b ++= ∵ (0)1f = ∴ 1c = 又∵ ()f x 在(0,1)处的切线与直线30x y +=平行, ∴ (0)3f b '==- 故 1 2 a = ∴ 32 21()3132 f x x x x = +-+ ……………………． ７ 分 (Ⅱ) 解法一: 由2 ()22f x x ax b '=++ 及()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1, 2)x ∈取得极小值, ∴ (0)0(1)0(2)0f f f '>??'? 即 0220480b a b a b >?? ++? 令(,)M x y , 则 2 1 x b y a =-?? =+? ∴ 12 a y b x =-??=+? ∴ 20220460x y x y x +>?? ++? 故点M 所在平面区域Ｓ为如图△ＡBC, 易得(2, 0)A -, (2,1)B --, (2,2)C -, (0,1)D -, 3 (0,)2 E -， 2ABC S ?= 同时D Ｅ为△ＡBC 的中位线， 1 3 DEC ABED S S ?= 四边形 ∴ 所求一条直线Ｌ的方程为: 0x = 另一种情况设不垂直于x 轴的直线Ｌ也将S 分为面积比为1:3的两部分, 设直线L 方程为y kx =,它与AC ，B Ｃ分别交于Ｆ、G , 则 0k >, 1S =四边形DEGF 由 220 y kx y x =?? ++=? 得点F 的横坐标为: 2 21F x k =-+ 由 460y kx y x =?? ++=? 得点G 的横坐标为： 6 41G x k =-+ ∴OGE OFD S S S ??=-四边形DEGF 61311222214121 k k =?? -?+?=+即 216250k k +-= 解得: 12k = 或 58k =- (舍去) 故这时直线方程为： 1 2 y x = 综上,所求直线方程为： 0x =或1 2 y x = (12) 分 (Ⅱ) 解法二: 由2 ()22f x x ax b '=++ 及()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1, 2)x ∈取得极小值, ∴ (0)0(1)0(2)0f f f '>?? '? 即 0220480b a b a b >?? ++? 令(,)M x y , 则 2 1x b y a =-??=+? ∴ 12a y b x =-??=+? ∴ 20 220460x y x y x +>?? ++? 故点M 所在平面区域Ｓ为如图△ABC, 易得(2, 0)A -, (2,1)B --， (2,2)C -, (0,1)D -, 3 (0,)2 E -， 2ABC S ?= 同时DE 为△AB Ｃ的中位线, 1 3 DEC ABED S S ?= 四边形 ∴所求一条直线Ｌ的方程为: 0x = 另一种情况由于直线BO 方程为: 1 2 y x = ， 设直线BO 与ＡC 交于H , 由 12 220y x y x ? =???++=? 得直线Ｌ与A Ｃ交点为: 1(1,)2H -- ∵ 2ABC S ?=, 111 2222 DEC S ?= ??=, 11222211 122 H ABO AOH S S S ???=-=??-??=AB ∴ 所求直线方程为: 0x = 或1 2 y x = 3、(根的个数问题)已知函数3 2 f(x)ax bx (c 3a 2b)x d (a 0)=++--+>的图象如图所示。 ?（Ⅰ)求c d 、的值； （Ⅱ)若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x y 110+-=,求函数f ( x ）的解析式； （Ⅲ)若0x 5,=方程f(x)8a =有三个不同的根,求实数a 的取值范围。 解：由题知:2 f (x)3ax 2bx+c-3a-2b '=+ (Ⅰ）由图可知?函数f （ x )的图像过点( 0 , 3 )，且()1f '= 0 ?得332c 320d a b a b =??++--=??? ? ?==03c d （Ⅱ）依题意()2f '?＝ – 3 且f ( 2 ) = 5 124323 846435a b a b a b a b +--=-?? +--+=? 解得a ＝ 1 , b = – 6 ? 所以f （ x ) = x 3 – 6ｘ2 + 9ｘ ＋ 3 （Ⅲ)依题意?f （ x ) = ax 3 ＋ b ｘ2 – ( 3a + ２b ）x + 3 （ a ＞０ ) ?()x f '= 3ax 2 + ２b ｘ – ３a – 2ｂ 由()5f '= 0?b = – 9a ??① ??若方程f ( x ) = ８a 有三个不同的根,当且仅当 满足f ( 5 )<8ａ<ｆ ( １ ） ② ?由① ② 得 – 2５ａ ＋ 3<8a ＜７ａ + ３?11 1