高中数学函数与导数综合题型分类总结

函数综合题分类复习题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征)()(x g x f >恒成立0)()()(>-=⇔x g x f x h 恒成立；参考例4；例1.已知函数321()23f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点．（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，22()3f x a ->恒成立，求a 的取值范围．例2.已知函数b ax ax x x f +++=23)(的图象过点)2,0(P .（1）若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式；（2）若3>a ，求函数)(x f y =的单调区间。

例3.设22(),1x f x x =+()52(0)g x ax a a =+->。

（1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域；（2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。

例4.已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-， 326()(1)3(0)2t g x x x t x t -=+-++>（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。

例5.已知定义在R 上的函数32()2f x ax ax b =-+）（0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围.例6.已知函数2233)(m nx mx x x f +++=，在1-=x 时有极值0，则=+n m例7.已知函数23)(ax x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为5102，函数33)()(22+-=abx x f x g ． （1） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式；（2） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围．答案： 1、解：（Ⅰ）'2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点，∴2x =是方程2220x bx -+=的一个根，解得32b =.令'()0f x >，则2320x x -+>，解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞.（Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时'()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >，∴()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]上的最小值，且 2(2)3f a =+. 若当[1, 3]x ∈时，要使22()3f x a ->恒成立，只需22(2)3f a >+， 即22233a a +>+，解得 01a <<. 2、解：（Ⅰ）a ax x x f ++='23)(2． 由题意知⎩⎨⎧=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ，得 ⎩⎨⎧=-=23b a ．∴233)(23+--=x x x x f ．（Ⅱ）023)(2=++='a ax x x f ． ∵3>a ，∴01242>-=∆a a ．由0)(>'x f 解得332a a a x ---<或332aa a x -+->，由0)(<'x f 解得333322aa a x a a a -+-<<---． (10)∴)(x f 的单调增区间为：)33,(2a a a ----∞和),33(2+∞-+-aa a ；)(x f 的单调减区间为：)33,33(22aa a a a a -+----．……12分 3、解：(1)法一:(导数法)22224(1)224()0(1)(1)x x x x xf x x x +-+'==≥++ 在[0,1]x ∈上恒成立. ∴()f x 在[0,1]上增，∴()f x 值域[0,1]。

法二:220,022(),(0,1]111x x f x x x x x=⎧⎪⎪==⎨∈+⎪+⎪⎩, 复合函数求值域.法三:2222(1)4(1)22()2(1)4111x x x f x x x x x +-++===++-+++用双勾函数求值域. (2)()f x 值域[0,1]，()52(0)g x ax a a =+->在[0,1]x ∈上的值域[52,5]a a --.由条件,只须[0,1][52,5]a a ⊆--，∴52054512a a a -≤⎧⇒≤≤⎨-≥⎩.特别说明：要深刻理解本题的题意及子区间的解题思路，联想2008年全国一卷第21题，那是单调区间的子区间问题；4、解：（Ⅰ）/2()32f x x ax =+∴/(1)31f b a⎧=-⎨=+⎩， 解得32a b =-⎧⎨=-⎩（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在[1,0]-上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减又min max (1)4,(0)0,{()}(2)4,{()}(4)16f f f x f f x f -=-===-== ∴()f x 的值域是[4,16]-（Ⅲ）令2()()()(1)3[1,4]2t h x f x g x x t x x =-=-++-∈∴要使()()f x g x ≤恒成立，只需()0h x ≤，即2(2)26t x x x -≥-（1）当[1,2)x ∈时226,2x t x x-≤- 解得1t ≤-； （2）当2x =时 t R ∈；（3）当(2,4]x ∈时2262x t x x-≥-解得8t ≥；综上所述所求t 的范围是(,1][8,)-∞-+∞特别说明：分类与整合，千万别忘了整合即最后要写“综上可知”，分类一定要序号化；5、解：（Ⅰ）32'2()2,()34(34)f x ax ax b f x ax ax ax x =-+∴=-=-令'()f x =0,得[]1240,2,13x x ==∉-因此)0(f 必为最大值,∴50=）（f 因此5=b ， (2)165,(1)5,(1)(2)f a f a f f -=-+=-+∴>-，即11516)2(-=+-=-a f ，∴1=a ，∴.52(23+-=x x x f ）（Ⅱ）∵x x x f 43)(2-='，∴0(≤+'tx x f ）等价于0432≤+-tx x x ， 令x x xt t g 43)(2-+=，则问题就是0)(g ≤t 在]1,1[-∈t 上恒成立时，求实数x 的取值范围，为此只需⎩⎨⎧≤≤-0)10)1(（g g ，即⎩⎨⎧≤-≤-005322x x x x ，解得10≤≤x ，所以所求实数x 的取值范围是[0，1].6、11 （ 说明：通过此题旨在提醒同学们“导数等于零”的根不一定都是极值点，但极值点一定是“导数等于零”方程的根；）7、解：∵223)(x a x f ⋅='，∴由3322=⋅x a有a x ±=，即切点坐标为),(a a ，),(a a -- ∴切线方程为)(3a x a y -=-，或)(3a x a y +=+，整理得023=--a y x 或023=+-a y x∴5102)1(3|22|22=-+--a a ，解得1±=a ，∴3)(x x f =，∴33)(3+-=bx x x g 。

（1）∵b x x g 33)(2-='，)(x g 在1=x 处有极值，∴0)1(='g ，即03132=-⨯b ，解得1=b ，∴33)(3+-=x x x g（2）∵函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，∴033)(2≥-='b x x g 在区间]1,1[-上恒成立，∴0≤b ，又∵)(42x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上恒成立，∴)1(42g mb b ≥+-，即b mb b 3442-≥+-，∴3+≥b m 在]0,(-∞∈b 上恒成立，∴3≥m ∴m 的取值范围是[)+∞,3题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x 轴即方程根的个数问题； （1）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种： 第一种：转化为恒成立问题即0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在0的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法； 第二种：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；参考08年高考题；第三种方法：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；可参考第二次市统考试卷； 特别说明：做题时一定要看清楚“在（a,b ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b ）”，要弄清楚两句话的区别；请参考资料《高考教练》83页第3题和清明节假期作业上的第20题（金考卷第5套）； （2）函数与x 轴即方程根的个数问题解题步骤 第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可；例8．已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=31)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数． （1）求实数k 的取值范围；（2）若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．例9.已知函数.313)(23ax ax x f -+-=（I ）讨论函数)(x f 的单调性。