导数压轴题7大题型归类总结
导数压轴六大类型
导数培优六大类型（方法学习，题型分类，对应练习，结论总结）类型一：凹凸反转类型二：导函数的零点类型三：导数中的函数构造类型四：极值点偏移类型五：指对同构类型六：指数、对数均值不等式类型一：凹凸反转知识拓展1.如果要证明的不等式由指数函数、对数函数、多项式函数组合而成，往往进行指对分离，转化为证明g (x )≥h (x )，分别求g (x )min ，h (x )max 进行证明，由于两个函数图象的凹凸性正好相反，所以这种证明不等式的方法称为凹凸反转.2.以下是凹凸反转常用经典模型：经典模型一：y ＝ln x x (图1)或y ＝xln x 2).推广：y ＝ln x x n 或y ＝xnln x.经典模型二：y ＝x ln x (图3)或y ＝x e x (图4).推广：y ＝x nlnx 或y ＝x n e x .经典模型三：y ＝e xx (图5)或y ＝xe x (图6).推广：y ＝e xx n 或y ＝xnex .经典模型四：y ＝x －ln x (图7)或y ＝x －e x (图8)，y ＝e x －x (图9).题型一隔海相望例1已知函数f (x )＝x ln x ，求证：f (x )＜2e x －2.训练1已知函数f(x)＝a ln x＋x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝1时，证明：xf(x)<e x.题型二一线之隔例2设函数f(x)＝e x ln x＋2e x－1x，证明：f(x)＞1.训练2已知函数f(x)＝e x＋x2－x－1.(1)求f(x)的最小值；(2)证明：e x＋x ln x＋x2－2x>0.题型三亲密无间例3已知函数f(x)＝eln x－e x，证明：xf(x)－e x＋2e x≤0.训练3证明：当x>0时，x2e x－x ln x＋)e11( x－1≤0.类型二：导函数的零点题型分析导数是研究函数性质的有力工具，其核心又是由导函数值的正负确定函数的单调性.应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究函数f(x)的单调性，往往需要解方程f′(x)＝0，但有时该方程不易求解，可应用以下三种方法解决.题型一仔细观察，猜出零点例1已知函数f(x)＝ln(x＋1)＋1，若f(x)<k e x对任意的x∈(－1，＋∞)恒成立，求k的取值范围.训练1已知函数f(x)＝(2e－x)ln x，且f(x)＝12a有解，其中e为自然对数的底数，求实数a的取值范围.题型二设而不求，巧借零点例2设函数f (x )＝e 2x－a ln x .(1)讨论f (x )的导函数f ′(x )的零点的个数；(2)证明：当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a.训练2已知函数f (x )＝e x －x 2－x ，若关于x 的不等式f (x )>m ＋45对于任意x ∈(0，＋∞)恒成立，求整数m 的最大值.题型三二次构造(求导)避免求根例3已知函数f (x )＝ln x ＋12a (x －1)2，若a >4，且f (x )在(01)上有唯一的零点x 0，求证：e －2<x 0<e －1.训练3已知f (x )＝e 2x －(x ＋1)e x，且f (x )≥0，证明：f (x )存在唯一极大值点x 0，且f (x 0)<316.类型三：导数中的函数构造问题题型分析近三年的高考数学试题都出现了比较大小问题，且是作为小题中的压轴题出现的，此类问题，通常需要构造函数，利用导数判断其单调性，从而使问题得以解决.题型一通过导数的运算法则构造角度1利用f (x )与e x构造例1已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＋f ′(x )>0在R 上恒成立，则不等式e2x ＋1f (2x ＋1)>e 3－x f (3－x )的解集是________.角度2利用f (x )与x n构造例2已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足2xf (x )＋x 2f ′(x )<0，f (2)＝34，则关于x 的不等式x 2f (x )>3的解集为()A.(0，4)B.(2，＋∞)C.(4，＋∞)D.(0，2)角度3利用f (x )与sin x ，cos x 构造例3(多选)已知函数y ＝f (x )对任意x ∈)2,2(ππ-满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式成立的是()A.f (0)>2f 4(πB.2f 3(π>f )4(πC.f (0)>2f )3(πD.2f )3(π-<f )4(π-训练1(1)f (x )为定义在R 上的可导函数，且f ′(x )＞f (x )，对任意正实数a ，下列式子一定成立的是()A.f (a )＜e af (0) B.f (a )＞e af (0)C.f (a )＜f (0)e a D.f (a )＞f (0)ea (2)已知定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )>0，若a ＝f (1)，b ＝f (2)2，c ＝2f )21(，则a ，b ，c 的大小关系是________.(3)已知定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈(0，π)，有f ′(x )sin x ＞f (x )cos x ，设a ＝2f )6(π，b ＝2f )4(π，c ＝f )2(π，则a ，b ，c 的大小关系为________.题型二通过变量构造具体函数例4已知a ＜5，且a e 5＝5e a ，b ＜4且b e 4＝4e b ，c ＜3且c e 3＝3e c，则()A.c ＜b ＜aB.b ＜c ＜aC.a ＜c ＜bD.a ＜b ＜c训练2若0＜x 1＜x 2＜1，则()A.e x 2－e x 1＞ln x 2－ln x 1B.e x 2－e x 1＜ln x 2－ln x 1C.x 2e x 1＞x 1e x 2D.x 2e x 1＜x 1e x 2题型三通过数值构造具体函数例5(1)已知a ＝ln 22，b ＝1e ，c ＝2ln 39，则a ，b ，c 的大小关系为________.(2)设a ＝2ln 1.01，b ＝ln 1.02，c ＝ 1.04－1，则a ，b ，c 的大小关系为________.训练3(1)已知a ＝e －0.1－1，b ＝tan(－0.1)，c ＝ln 0.9，则()A.c >a >bB.a >b >cC.b >a >cD.a >c >b(2)实数e 3，3π，π3的大小关系为________.泰勒展开式1.泰勒公式若函数f(x)在含有x0的开区间(a，b)内有n＋1阶导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x－x0的多项式和一个余项的和：f(x)＝f(x0)＋f′(x)·(x－x)＋f″(x)2！·(x－x)2＋f(x)3！·(x－x)3＋…＋f(n)(x)n！·(x－x)n＋Rn(x).2.麦克劳林公式f(x)＝f(0)＋f′(0)x1！＋f″(0)2！x2＋…＋f(n)(0)n！·x n＋Rn(x).虽然麦克劳林公式是泰勒公式的特殊形式，仅仅是取x0＝0的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及.3.常见的泰勒展开式在泰勒公式中，令x0＝0，即可得到如下泰勒展开式：(1)e x＝1＋x＋x22！＋x33！＋…＋x nn！＋…；(2)ln(x＋1)＝x－x22＋x33＋…＋(－1)n＋1x nn＋…；(3)sin x＝x－x33！＋x55！＋…＋(－1)n－1·x2n－1(2n－1)！＋…；(4)cos x＝1－x22！＋x44！＋…＋(－1)n－1·x2n－2(2n－2)！＋….例已知a＝3132，b＝cos14，c＝4sin14，则()A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b训练若a＝ln1－0.010.02，b＝0.02sin0.01，c＝0.01sin0.02，则() A.a＜b＜c B.a＜c＜bC.b＜c＜aD.c＜a＜b类型四：极值点偏移知识拓展1.极值点不偏移已知函数f (x )图象的顶点的横坐标就是极值点x 0，若f (x )＝c 的两根的中点刚好满足x 1＋x 22＝x 0，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移.此时函数f (x )在x ＝x 0两侧，函数值变化快慢相同，如图①.(无偏移，左右对称，如二次函数)若f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＋x 2＝2x 0.2.极值点偏移若x 1＋x 22≠x 0，则极值点偏移，此时函数f (x )在x ＝x 0两侧，函数值变化快慢不同，如图②③.(左陡右缓，极值点向左偏移)若f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＋x 2>2x 0；(左缓右陡，极值点向右偏移)若f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＋x 2<2x 0.题型一对称化构造辅助函数例1已知函数f (x )＝x e －x.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)，求证：x 1＋x 2>2.训练1已知函数f(x)＝x(1－ln x)，若f(x)＝m有两个根x1，x2(x1≠x2)，求证：x1＋x2>2.题型二比、差值换元构造辅助函数例2已知函数f(x)＝ln x－ax(x>0)，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)，求证：x1x2>e2.训练2已知函数f(x)＝a e x－x，a∈R.若f(x)有两个不同的零点x1，x2，证明：x1＋x2＞2.类型五：指、对同构知识拓展在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数或证明不等式，部分试题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的是同一函数)，无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法，其实质还是指数、对数恒等式的变换.(1)五个常见变形：x e x ＝ex ＋ln x，e x x ＝e x －ln x ，x e x ＝e ln x －x ，x ＋ln x ＝ln(x e x )，x －ln x ＝ln e xx(2)三种基本模式①积型：a e a≤b ln b――→三种同构方式a e a ≤(lnb )e ln b ――→构造f （x ）＝x e x，a ln e a ≤b ln b ――→构造f （x ）＝x ln x ，a ＋ln a ≤lnb ＋ln（ln b ）――→构造f （x ）＝x ＋ln x .②商型：e aa ＜b ln b ――→三种同构方式同左：e aa ＜e ln bln b ――→构造f （x ）＝e xx ，同右：e a ln e a＜b ln b ――→构造f （x ）＝x ln x，a －ln a ＜ln b －ln（ln b ）――→构造f （x ）＝x －ln x .③和差型：e a ±a ＞b ±ln b――→两种同构方式a ±a ＞e lnb ±ln b ――→构造f （x ）＝e x ±x ，a ±ln e a ＞b ±ln b ――→构造f （x ）＝x ±ln x .题型一积型例1(1)已知实数α，β满足αe α－3＝1，β(ln β－1)＝e 4，其中e 是自然对数的底数，则αβ的值为________.(2)设实数m >0，若对任意的x ≥e，不等式x 2lnx －m xm e ≥0恒成立，则m 的最大值为________.训练1(1)设实数λ>0，对任意的x >1，不等式λe λx ≥ln x 恒成立，则λ的取值范围为________.(2)已知函数f (x )＝e mx ＋x －x ln x (m ≥0)，设函数f (x )的导函数为f ′(x )，讨论f ′(x )零点的个数.题型二商型例2(1)已知函数f (x )＝ln xx，g (x )＝x e －x ，若存在x 1∈(0，＋∞)，x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)＝k (k <0)成立，则212)(x x e x的最大值为________.(2)已知函数f (x )＝a e x ln x ，g (x )＝x 2＋x ln a ，a >0.设函数h (x )＝g (x )－f (x )，若h (x )>0对任意的x ∈(0，1)恒成立，则实数a 的取值范围是________.训练2已知函数f (x )＝ln e ax－1eax，若不等式f (x )≥ln x －1x 对x ∈(0，e]恒成立，求a 的取值范围.题型三和差型例3已知函数f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ，若f (x )≥1，求a 的取值范围.训练3设函数f (x )＝e x －ln(x ＋a )，a ∈R .当x ∈(－a ，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的最大值.类型六：指数、对数均值不等式知识拓展对数与指数均值不等式结论1对任意的a，b＞0(a≠b)，有ab＜a－bln a－ln b＜a＋b2.证明不妨设a＞b＞0(0＜a＜b时同理可得)首先，由ab＜a－bln a－ln b等价于ln a－ln b＜a－bab，即lnab＜ab－1ab.令x＝ab＞1，只要证ln x2＜x2－1x，即证2x ln x－x2＋1＜0.令f(x)＝2x ln x－x2＋1(x＞1)，则f′(x)＝2ln x＋2－2x，f″(x)＝2x－2＜0，f′(x)在(1，＋∞)单调递减，f′(x)＜f′(1)＝0，f(x)在(1，＋∞)单调递减，即f(x)＜f(1)＝0.故ab＜a－bln a－ln b.其次，a－bln a－ln b＜a＋b2等价于ln a－ln b＞2(a－b)a＋b，即ln ab＞1)1(2+-baba.令x＝ab＞1，只要证ln x＞2(x－1)x＋1，即证(x＋1)ln x－2x＋2＞0.设g(x)＝(x＋1)ln x－2x＋2(x＞1)，同理可证g(x)在(1，＋∞)单调递增，有g(x)＞g(1)＝0.故a－bln a－ln b＜a＋b2.结论2对任意实数m ，n (m ≠n )，有22n m n m n m e e n m e e e+<--<+证明在指数均值不等式中，令e m ＝a ，e n ＝b ，则m ＝ln a ，n ＝ln b ，从而可得对数均值不等式.题型一对数均值不等式的应用例1已知函数f (x )＝1x －x ＋a ln x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，证明：f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜a －2.训练1若函数f (x )＝ln x －ax 有两个不同的零点x 1，x 2，证明：x 1x 2＞e 2.(注：此题用对数均值不等式证明)题型二指数均值不等式例2已知函数f(x)＝e x－ax(a>1)有两个不同的零点x1，x2，x1<x2，求证：x1＋x2>2.训练2已知a∈R，函数f(x)＝2ln(x－2)＋a(x－2)2，若函数f(x)的两个相异零点x1，x2，求证：x1x2＋4>2(x1＋x2)＋e.。
高考数学导数压轴题7大题型的总结
高考数学导数压轴题7大题型总结
北京八中
高考数学导数压轴题7大题型总结
高考导数压轴题考察的是一种综合能力，其考察内容方法远远高于课本，其涉及基本概念主要是：切线，单调性，非单调，极值，极值点，最值，恒成立等等。
导数解答题是高考数学必考题目，今天就总结导数7大题型，让你在高考数学中多拿一分，平时基础好的同学逆袭140也不是问题
01导数单调性、极值、最值的直接应用
02交点与根的分布
03不等式证明（一）做差证明不等式
（二）变形构造函数证明不等式
（三）替换构造不等式证明不等式
04不等式恒成立求字母范围（一）恒成立之最值的直接应用
（二）恒成立之分离参数
（三）恒成立之讨论字母范围
05函数与导数性质的综合运用
06导数应用题
07导数结合三角函数
实用标准
文案大全。
高考压轴题：导数题型及解题方法总结很全.
注意：“函数 f ( x) 在 m, n 上是减函数”与“函数 f ( x) 的单调减区间是 a, b ”的区别是前者是后者的子集。
例 已知函数 f (x) x2 a ln x + 2 在 1, x
（利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类）
1,2 的极小值。
二．单调性问题
题型 1 求函数的单调区间。
求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（ 1）在求极值点的过程中，未知数的系数与
0
的关系不定而引起的分类； （2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与
切线方程。解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。
例 求曲线 y x2 与曲线 y 2eln x 的公切线方程。 （答案 2 ex y e 0 ）
三．极值、最值问题。
题型 1 求函数极值、最值。
基本思路：定义域 → 疑似极值点 → 单调区间 → 极值 → 最值。
例 已知函数 f (x) ex x (k 1) ex 1 x 2 kx 1 ，求在 x 2
3. 对 x1 m, n , x2 m, n ， f ( x1 ) g( x2 ) 成立。则 f ( x1 ) max g( x2 ) min 。
4. 对 x1 m, n , ，恒成立 4. 对 x1 m, n , x2 5. 对 x1 m, n , x2
f ( x1) g (x1) 。转化 f (x1) g(x1) 0 恒成立 m, n ， f (x1) g( x2 ) 成立。则 f ( x1 ) min g (x2 )min 。 m, n ， f (x1) g( x2 ) 成立。则 f ( x1 ) max g( x2 ) max
高考导数压轴题型归类总结_习题版
导数压轴题型归类总结目 录目录一、导数单调性、极值、最值的直接应用 (2)二、交点与根的分布 (14)三、不等式证明作差证明不等式 (19)变形构造函数证明不等式 (20)替换构造不等式证明不等式 (28)四、不等式恒成立求字母范围 (33)恒成立之最值的直接应用 (33)恒成立之分离常数 (35)恒成立之讨论字母范围 (41)五、函数与导数性质的综合运用 (47)六、导数应用题 (54)七、导数结合三角函数 (55)一些常用结论⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1.⑵1x e x >+⑶ln(1)x x >+⑷ln ,0x x x e x <<>.⑸一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. （切线）设函数a x x f -=2)(.（1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值；（2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21.2. （2009天津理20，极值比较讨论）已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； ⑵当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值.3. 已知函数221()2,()3ln .2f x x axg x a x b =+=+ ⑴设两曲线()()y f x y g x ==与有公共点，且在公共点处的切线相同，若0a >，试建立b 关于a 的函数关系式，并求b 的最大值；⑵若[0,2],()()()(2)b h x f x g x a b x ∈=+--在(0,4)上为单调函数，求a 的取值范围。
2023年导数压轴题题型解法归纳无答案
导数压轴题-----题型解法归纳一、导数在高考中旳地位：常作为压轴题来考察，尤其是解答题，至少占到14分；当然在选择题或者是填空题里也会出现1～2道，因此高考试卷中它占到了20分左右旳比重二、导数可以结合考察旳知识点：1、数列；2、不等式与方程；3、函数；4、解析几何其中最常见旳就是和函数、不等式旳结合，处理此类题目旳汉族到思想是构造新函数，运用导数求解单调性，进而证明不等式或者最值又或者是参数旳范围等等。
三、题型归纳：（新题、难题、考察知识点总结）（一）基础题目小试身手1.（不等式、函数旳性质）已知函数mxx x f ++=21ln )(（Ⅰ）为定义域上旳单调函数，求实数旳取值范围；)(x f m （Ⅱ）当时，求函数旳最大值；1-=m )(x f （Ⅲ）当时，且，证明：1=m 10≤<≤a b 2)()(34<--<ba b f a f 2.（不等式恒成立问题）设函数.),10(3231)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-=（Ⅰ）求函数f （x ）旳单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意旳不等式恒成立，求旳取值范围],2,1[++∈a a x a x f ≤)('a 3．（导数旳简朴应用）已知函数xx f ln )(= （Ⅰ）若，求旳极大值；)()()(R a xa x f x F ∈+=)(x F （Ⅱ）若在定义域内单调递减，求满足此条件旳实数kx x f x G -=2)]([)(旳取值范围k 4.（不等式旳证明）已知函数．x x x f -+=)1ln()((1)求函数旳单调递减区间；(2)若，求证：≤≤)(x f 1->x 111+-x )1ln(+x x5、（不等式、存在性问题）已知，，)0,[),ln()(e x x ax x f -∈--=xx x g )ln()(--=其中是自然常数，e Ra ∈（1）讨论时, 旳单调性、极值;1-=a )(x f （2）求证：在（1）旳条件下，21)()(+>x g x f （3）与否存在实数，使旳最小值是3，若存在，求出旳值；若不a )(x f a 存在，阐明理由。
A050导数压轴大题归类 (学生版)
导数压轴大题归类目录重难点题型归纳 1【题型一】恒成立求参 1【题型二】三角函数恒成立型求参 4【题型三】同构双变量绝对值型求参 7【题型四】零点型偏移证明不等式 10【题型五】非对称型零点偏移证明不等式 14【题型六】条件型偏移证明不等式 18【题型七】同构型证明不等式 21【题型八】先放缩型证明不等式 24【题型九】放缩参数型消参证明不等式 26【题型十】凸凹翻转型证明不等式 28【题型十一】切线两边夹型证明不等式 30【题型十二】切线放缩型证明不等式 32【题型十三】构造一元二次根与系数关系型证明不等式 35【题型十四】两根差型证明不等式 38【题型十五】比值代换型证明不等式 41【题型十六】幂指对与三角函数型证明不等式 43【题型十七】不等式证明综合型 46好题演练 50一、重难点题型归纳重难点题型归纳题型一恒成立求参【典例分析】1.已知函数f x =x+2aln x(a∈R)．(1)讨论f x 的单调性；(2)是否存在a∈Z，使得f x >a+2对∀x>1恒成立？若存在，请求出a的最大值；若不存在，请说明理由．【技法指引】恒成立基本思维：①若k≥f(x)在[a,b]上恒成立，则k≥f(x)max；②若k≤f(x)在[a,b]上恒成立，则k≤f(x)min；③若k≥f(x)在[a,b]上有解，则k≥f(x)min；④若k≤f(x)在[a,b]上有解，则k≤f(x)max；【变式演练】1.已知函数f(x)=1+xe x，g(x)=1-ax2．(1)若函数f(x)和g(x)的图象在x=1处的切线平行，求a的值；(2)当x∈[0，1]时，不等式f(x)≤g(x)恒成立，求a的取值范围．题型二三角函数恒成立型求参【典例分析】1.已知函数f(x)=e x+cos x-2,f (x)为f(x)的导数.(1)当x≥0时，求f (x)的最小值；x+x cos x-ax2-2x≥0恒成立，求a的取值范围.(2)当x≥-π2时，xe【变式演练】1.已知函数f(x)=2x-sin x．(1)求f(x)的图象在点π2,fπ2处的切线方程；(2)对任意的x∈0,π2，f(x)≤ax，求实数a的取值范围．题型三同构双变量绝对值型求参【典例分析】1.已知函数f x =a ln x +x 2(a 为实常数).(1)当a =-4时，求函数f x 在1,e 上的最大值及相应的x 值；(2)若a >0，且对任意的x 1,x 2∈1,e ，都有f x 1 -f x 2 ≤1x 1-1x 2，求实数a 的取值范围.【变式演练】1.已知f x =x 2+x +a ln x (a ∈R )．(1)讨论f x 的单调性；(2)若a =1，函数g x =x +1-f x ，∀x 1，x 2∈(0,+∞)，x 1≠x 2，x 1g x 2 -x 2g x 1 >λx 1-x 2 恒成立，求实数λ的取值范围．题型四零点型偏移证明不等式【典例分析】1.已知函数f x =x ln x，g x =ax2+1．(1)求函数f x 的最小值；(2)若不等式x+1恒成立，求m的取值范围；ln x-2x-1>m对任意的x∈1,+∞(3)若函数f x 的图象与g x 的图象有A x1,y1两个不同的交点，证明：x1x2>16．(参，B x2,y2考数据：ln2≈0.69，ln5≈1.61)【变式演练】1.已知函数f(x)=12x2+ln x-2x．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设函数g(x)=e x+12x2-(4+a)x+ln x-f(x)，若函数y=g(x)有两个不同的零点x1,x2，证明：x1 +x2<2ln(a+2)．题型五非对称型零点偏移证明不等式【典例分析】1.已知函数f x =a ln x-x a∈R.(1)求函数y=f x 的单调区间；(2)若函数y=f x 在其定义域内有两个不同的零点，求实数a的取值范围；(3)若0<x1<x2，且x1ln x1=x2ln x2=a，证明：x1ln x1<2x2-x1.【变式演练】1.函数f x =ln x-ax2+1.(1)若a=1，求函数y=f2x-1在x=1处的切线；(2)若函数y=f x 有两个零点x1，x2，且x1<x2，(i)求实数a的取值范围；.(ii)证明：x22-x1<-a2+a+1a2题型六条件型偏移证明不等式【典例分析】1.已知函数f x =ln x+axx，a∈R.(1)若a=0，求f x 的最大值；(2)若0<a<1，求证：f x 有且只有一个零点；(3)设0<m<n且m n=n m，求证：m+n>2e.【变式演练】1.已知函数f x =2ln x+x2+a-1x-a，(a∈R)，当x≥1时，f(x)≥0恒成立．(1)求实数a的取值范围；(2)若正实数x1、x2(x1≠x2)满足f(x1)+f(x2)=0，证明：x1+x2>2．题型七同构型证明不等式【典例分析】1.材料：在现行的数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的.如函数f x =x x x >0 ，我们可以作变形：f x =x x =e ln x x =e x ⋅ln x =e t t =x ln x ，所以f x 可看作是由函数f t =e t 和g x =x ln x 复合而成的，即f x =x x x >0 为初等函数，根据以上材料：(1)直接写出初等函数f x =x x x >0 极值点(2)对于初等函数h x =x x 2x >0 ，有且仅有两个不相等实数x 1,x 20<x 1<x 2 满足：h x 1 =h x 2 =e k .(i )求k 的取值范围.(ii )求证：x e 2-2e 2≤e -e 2x 1(注：题中e 为自然对数的底数，即e =2.71828⋯)【变式演练】1.已知函数f x =e axx，g x =ln x+2x+1x，其中a∈R.(1)试讨论函数f x 的单调性；(2)若a=2，证明：xf(x)≥g(x).题型八先放缩型证明不等式【典例分析】1.设函数f x =a ln x+1x -1a∈R．(1)求函数f x 的单调区间；(2)当x∈0,1时，证明：x2+x-1x-1<e x ln x．【变式演练】1.已知函数f x =ae x-2-ln x+ln a.(1)若曲线y=f x 在点2,f2处的切线方程为y=32x-1，求a的值；(2)若a≥e，证明：f x ≥2.题型九放缩参数型消参证明不等式【典例分析】1.已知函数f x =12ax2+1-ax-ln x.(1)当a=-2时，求函数f x 的单调区间；(2)当a≥1时，证明：x>1时，当f x >1-ax+1x-1+12a恒成立.【变式演练】1.已知函数f x =ln ax-1+a ln x的图像在点1,f1处的切线方程为y=4x+b.(1)求a，b的值；(2)当k≥4时，证明：f x <k x-1对x∈1,+∞恒成立.题型十凸凹翻转型证明不等式【典例分析】1.已知函数f x =ax -ln x ，a ∈R .(1)求函数f x 的单调区间；(2)当x ∈0,e 时，求g x =e 2x -ln x 的最小值；(3)当x ∈0,e 时，证明：e 2x -ln x -ln x x>52.【变式演练】1.已知函数f (x )=ln x -x .(1)讨论函数g (x )=f (x )-a x(a ≠0,a ∈R )的单调性；(2)证明：f (x ) >ln x x +12.题型十一切线两边夹型证明不等式【典例分析】1.已知函数f(x)=6x-x6，x∈R．(1)求函数f(x)的极值；(2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P，求曲线在点P处的切线方程；(3)若方程f(x)=a(a为实数)有两个实数根x1，x2且x1<x2，求证：x2-x1≤615-a5．【变式演练】1.已知函数f(x)=x ln x-x.(1)设曲线y=f x 在x=e处的切线为y=g x ，求证：f(x)≥g x ；(2)若关于x的方程f(x)=a有两个实数根x1，x2，求证：x2-x1<2a+e+1 e .题型十二切线放缩型证明不等式【典例分析】1.已知函数f x =m x 22-k ln x +n e x +114e x +1-ax +a -1 ，其中e =2.718⋯是自然对数的底数，f x 是函数f x 的导数.(1)若m =1，n =0时 .(i )当k =1时，求曲线f x 在x =1处的切线方程.(ⅱ)当k >0时，判断函数f x 在区间1,e 零点的个数.(2)若m =0，n =1，当a =78时，求证：若x 1≠x 2，且x 1+x 2=-2，则f x 1 +f x 2 >2.【变式演练】1.已知函数f(x)=a(x-1)e x，a≠0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a=1时，①求函数在x=1处的切线l，并证明0<x<1，函数f(x)图象恒在切线l上方；②若f(x)=m有两解x1,x2，且x1<x2，证明x2-x21<me-m.题型十三构造一元二次根与系数关系型证明不等式【典例分析】1.已知函数f x =x 2-x +k ln x ，k ∈R ．(1)讨论函数f x 的单调性；(2)若f x 有两个极值点x 1，x 2，证明：f x 1 -f x 2 <14-2k ．【技法指引】利用一元二次型根与系数关系，可以构造：1.利用韦达定理代换：可以消去x1，x2留下参数2.一部分题依旧是极值点偏移【变式演练】1.已知函数f(x)=ln x+ax2-x.(1)若a=-1，求函数f(x)的极值；(2)设f′(x)为f(x)的导函数，若x1，x2是函数f′(x)的两个不相等的零点，求证：f(x1)+f(x2)<x1 +x2-5.题型十四【题型十四】两根差型证明不等式【典例分析】1.已知函数f x =e x-a ln aa>0，其中e=2.71828⋯是自然对数的底数.⋅x ln x(1)当a=e时，求函数f x 的导函数f x 的单调区间；(2)若函数f x 有两个不同极值点x1，x2且x1<x2；(i)求实数a的取值范围；(ii)证明：x2-x1≤e-a ln a.e-a ln a-4【变式演练】1.已知函数f x =ax2+1x.(1)当a=-4时，求f x 的极值点.(2)当a=2时，若f x 1≥ 3.，且x1x2<0，证明:x2-x1=f x2题型十五比值代换型证明不等式【典例分析】x(a为常数，a>0且a≠1).1.已知函数f x =x log a x-2+1ln a(1)求函数f x 的单调区间；(2)当a=e时，若g x =f x -12mx2+3x有两个极值点x1，x2，证明：ln x1+ln x2>0.【变式演练】1.已知函数f(x)=x2-1-a ln x恰有两个零点x1,x2x1>x2.(1)求实数a的取值范围；(2)证明：3x1+x2>6a.题型十六幂指对与三角函数型证明不等式【典例分析】1.已知函数f x =e x-ax-cos x，g x =f x -x，a∈R．(1)若f x 在0,+∞上单调递增，求a的最大值；(2)当a取(1)中所求的最大值时，讨论g x 在R上的零点个数，并证明g x >-2．【变式演练】1.已知函数f x =2sin x-x cos x-ax a∈R.(1)若曲线y=f x 在点0,f0处的切线与直线y=x+2平行.(i)求a的值；(ii)证明：函数f x 在区间0,π内有唯一极值点；(2)当a≤1时，证明：对任意x∈0,π，f x >0.题型十七不等式证明综合型【典例分析】1.已知函数f x =ae x-ln x+b,a,b∈R．(1)当a≥e，b=1时，证明f x >2；(2)当b=0时，令g x =f x -1①若g x 有两个零点，求a的取值范围；②已知1.098<ln3<1.099，e0.048<1.050，e-0.045<0.956，证明：1.14<lnπ<1.15．【变式演练】1.设直线l:y=g(x)，曲线S:y=F(x)．若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S 相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有g(x)≥F(x)．则称直线l为曲线S的“上夹线”．(1)已知函数f(x)=x-2sin x．求证：y=x+2为曲线f(x)的“上夹线”；(2)观察下图：根据上图，试推测曲线S:y=mx-n sin x(n>0)的“上夹线”的方程，并给出证明．题型二好题演练好题演练1.(2023·江苏南通·高三校联考阶段练习)已知函数f(x)=e ax-1x-ln x x.(1)若a=0，关于x的不等式f(x)<m恰有两个整数解，求m的取值范围；(2)若f(x)的最小值为1，求a.2.(天一大联考皖豫名校联盟2023届高三第三次考试数学试题)已知函数f(x)=x(ln x-a)在区间x2-m,a,m∈R．[1,e]上的最小值为-1，函数g(x)=m2(1)求a的值；(2)设函数F(x)=f(x)-g(x),x 1,x2是F(x)的两个不同的极值点，且x1<x2，证明：2ln x1+3ln x2>5．3.(2023春·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考期中)已知函数f x =x3+ax+b，且满足f x 的导数y=f x 的最小值为-34.(1)求a值；(2)若函数y=f x 在区间-1,2上的最大值与最小值的和为7，求b值.4.(2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测)已知函数f x =ax l-ln x和g x =b ln x x有相同的最大值，并且ab=e.(1)求a,b；(2)证明：存在直线y=k，其与两条曲线y=f x 和y=g x 共有三个不同的交点，且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.5.(2023春·四川广安·高二广安二中校考期中)已知m>0，e是自然对数的底数，函数f x =e x+m -m ln mx-m．-4x+2-f x 的极值；(1)若m=2，求函数F x =e x+x22(2)是否存在实数m，∀x>1，都有f x ≥0？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．6.(2023·广西南宁·统考二模)已知函数f x =e x-ax2+2ax-1，其中a为常数，e为自然对数底数，e=2.71828⋯，若函数f x 有两个极值点x1，x2.(1)求实数a的取值范围；(2)证明：x1-1+x2-1>2.7.(2023·山西·统考二模)已知函数f(x)=(mx-1)e x+n m,n∈R在点(1,f(1))处的切线方程为y=ex+2-e，g x =e xx+1(1)求f(x)的值域；(2)若f(a)=f(b)=g(c)=g(d)，且a<b，c<d，证明：①c+d>0；②b+c>0.8.(2023春·湖南·高三校联考阶段练习)已知函数f x =e x-ln x-a-1 (1)若1,e+1为曲线y=f x 上一点，求曲线y=f x 在该点处的切线方程；(2)若a>0，证明：f x ≥1-aln a.9.(2023春·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中)已知f x =x ln x-12ax2有两个极值点x1，x2且x1>x2.(1)若f x 的极大值大于e22，求a的范围；(2)若x1>2x2，证明：x1+x2>3aln2.。
导数压轴题题型归纳
导数压轴题题型归纳1.高考命题回顾例1已知函数千3=6*—小&十巾).(2013全国新课标11卷)(1)设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性;⑵当mW2时，证明f(x)>0.例2已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2(2013全国新课标I卷)(I)求a,b,c,d的值(II)若x2—2时，f(x)-kg(x)，求k的取值范围。
2. 在解题中常用的有关结论※⑴曲线产f (x )在X =X 0处的切线的斜率等于f (x 0),且切线方程为产f'(X 0)(x -X 0)+f (x 0)。
(2)若可导函数y =f(x)在X =X 0处取得极值，则f (x 0)=0。
反之，不成立。
(3)对于可导函数f (x )，不等式f ，(x )>0(<0)的解集决定函数f (x )的递增(减)区间。
(4)函数f (x )在区间I 上递增(减)的充要条件是：v x e I f (x )>0(<0)恒成立(f (x )不恒为0).(5)函数f(x )(非常量函数)在区间I 上不单调等价于f (x )在区间I 上有极值，则可等价转化为方程尸(x )=0在区间I 上有实根且为非二重根。
(若f (x )为二次函数且I=R ，则有A>0)。
(6) f(x )在区间I 上无极值等价于f (x )在区间在上是单调函数，进而得到f (x )>0或f (x )<0在I 上恒成立 ⑺若V x G I ，f (x )>0恒成立，则fx )min >0;若V x G I ，f (x )<0恒成立，则f (x )max<0 ⑻若三x 0G l ，使得f (x 0)>0，则^>0；若三x 0Gl ，使得f(x 0)<0，则)皿<0. (9)设f (x )与g (x )的定义域的交集为D ，若V x G D f (x )>g (x )恒成立，贝第[f (x )-g (x )]>0.min(10)若对V X|G I、匕e1,f(x J>g(x)恒成立，则f(x).>g(x).112212minmax若对V x e I3x e I，使得f(x)>g(x)，则f(x)>g(x).112212minmin若对V x]e I，3x2G I2，使得f(x)<g(x)，则f(x)<g(x).112212maxmax(11)已知f(x)在区间11上的值域为A,,g(x)在区间I2上值域为B,若对V x1e11,3x2e I2，使得f(x1)=g(x2)成立，则A之B。
高考导数压轴题型归类总结
高考导数压轴题型归类总结一、导数单调性、极值、最值的直接应用 已知函数1()ln 1()af x x ax a R x-=-+-∈ ⑴当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；⑵当12a ≤时，讨论()f x 的单调性.1. 已知函数221()2,()3ln .2f x x axg x a x b =+=+⑴设两曲线()()y f x y g x ==与有公共点，且在公共点处的切线相同，若0a >，试建立b 关于a 的函数关系式，并求b 的最大值； ⑵若[0,2],()()()(2)b h x f x g x a b x ∈=+--在(0,4)上为单调函数，求a 的取值范围。
2. （最值直接应用）已知函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中a ∈R . （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围.设函数221()(2)ln (0)ax f x a x a x+=-+<． (1)讨论函数()f x 在定义域内的单调性；(2)当(3,2)a ∈--时，任意12,[1,3]x x ∈，12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，求实数m 的取值范围．3. （最值应用，转换变量）4. （最值应用）已知二次函数()g x 对x R ∀∈都满足2(1)(1)21g x g x x x -+-=--且(1)1g =-，设函数19()()ln 28f xg x m x =+++（m R ∈，0x >）．（Ⅰ）求()g x 的表达式；（Ⅱ）若x R +∃∈，使()0f x ≤成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）设1m e <≤，()()(1)H x f x m x =-+，求证：对于12[1,]x x m ∀∈，，恒有12|()()|1H x H x -<．5. 设3x =是函数()()()23,x f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点. （1）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；（2）设()2250,4xa g x a e ⎛⎫>=+ ⎪⎝⎭，若存在[]12,0,4ξξ∈，使得()()121f g ξξ-< 成立，求a 的取值范围.6. 7.8. (2010山东，两边分求，最小值与最大值) 已知函数2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-． ⑴求()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；⑵若存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（e 是常数，e ＝2.71828⋅⋅⋅）使不等式2()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围； ⑶证明对一切(0,),x ∈+∞都有12ln xx e ex>-成立．9. （最值应用） 设函数()2ln q f x px x x =--，且()2pf e qe e=--，其中e 是自然对数的底数. ⑴求p 与q 的关系；⑵若()f x 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； ⑶设2()eg x x=，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得0()f x ＞0()g x 成立，求实数p 的取值范围.10. （2011湖南文，第2问难，单调性与极值，好题）设函数1()ln ().f x x a x a R x =--∈⑴讨论函数()f x 的单调性；⑵若()f x 有两个极值点12,x x ，记过点11(,()),A x f x 22(,())B x f x 的直线斜率为k ,问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.11. （构造函数，好，较难）已知函数21()ln (1)(0)2f x x ax a x a R a =-+-∈≠，.⑴求函数()f x 的单调增区间；⑵记函数()F x 的图象为曲线C ，设点1122(,)(,)A x y B x y 、是曲线C 上两个不同点，如果曲线C 上存在点00(,)M x y ，使得：①1202x x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数()F x 存在“中值相依切线”.试问：函数()f x 是否存在中值相依切线，请说明理由.12. (2011天津理19，综合应用)已知0a >，函数()2ln f x x ax =-，0x >．(()f x 的图象连续) ⑴求()f x 的单调区间；⑵若存在属于区间[]1,3的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=，证明：ln 3ln 2ln 253a -≤≤．13. （单调性，用到二阶导数的技巧） 已知函数x x f ln )(= ⑴若)()()(R a xax f x F ∈+=，求)(x F 的极大值；⑵若kx x f x G -=2)]([)(在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k 的取值范围.已知函数()ln ,().x f x x g x e == ⑴若函数φ (x ) = f (x )－11x x ，求函数φ (x )的单调区间； ⑵设直线l 为函数f (x )的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y =g (x )相切．二、交点与根的分布14. （2008四川22，交点个数与根的分布）已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点． ⑴求a ；⑵求函数()f x 的单调区间；⑶若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围． 15. 已知函数()32f x x ax bx c =-+++在(),0-∞上是减函数，在()0,1上是增函数，函数()f x 在R 上有三个零点． （1）求b 的值；（2）若1是其中一个零点，求()2f 的取值范围；（3）若()()'213ln a g x f x x x ==++，，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x )相切？请说明理由.16. （交点个数与根的分布）已知函数2()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+ ⑴求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t⑵是否存在实数,m 使得()y f x =的图像与()y g x =的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。
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导数压轴题7大题型归类总结，逆袭140+
一、导数单调性、极值、最值的直接应用
设a> 0,函数g(x)= (a A2 + 14)e A x + 4•若E 1、E 2 € [0 , 4],使得|f( E 1) - g( E 2)| v 1 成立, 求a 的取值范围.
二、交点与根的分布
三、不等式证明
（一）做差证明不等式
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（二）变形构造函数证明不等式
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四、不等式恒成立求字母范围（一）恒成立之最值的直接应用
(二)恒成立之分离参数
(三)恒成立之讨论字母范围
五、函数与导数性质的综合运用
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六、导数应用题
七、导数与三角函数的结合
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