高三导数压轴题题型归纳

导数压轴题题型

1. 高考命题回顾

例1已知函数f(x)＝e x －ln(x ＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷）

(1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0.

(1)解 f (x )＝e x －ln(x ＋m )?f ′(x )＝e x －1x ＋m ?f ′(0)＝e 0－1

0＋m

＝0?m ＝1，

定义域为{x |x >－1}，f ′(x )＝e x

－1

x ＋m

＝

e x x ＋1－1

x ＋1

，

显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．

(2)证明 g (x )＝e x －ln(x ＋2)，则g ′(x )＝e x －1

x ＋2

(x >－2)．

h (x )＝g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)?h ′(x )＝e x ＋1

x ＋22>0，

所以h (x )是增函数，h (x )＝0至多只有一个实数根，

又g ′(－12)＝1e －13

2

<0，g ′(0)＝1－1

2>0，

所以h (x )＝g ′(x )＝0的唯一实根在区间???

?－1

2，0内， 设g ′(x )＝0的根为t ，则有g ′(t )＝e t －1

t ＋2＝0????－12

t ＋2

?t ＋2＝e －t ，

当x ∈(－2，t )时，g ′(x )g ′(t )＝0，g (x )单调递增； 所以g (x )min ＝g (t )＝e t －ln(t ＋2)＝1

t ＋2＋t ＝

1＋t 2

t ＋2>0，

当m ≤2时，有ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，

所以f (x )＝e x －ln(x ＋m )≥e x －ln(x ＋2)＝g (x )≥g (x )min >0. 例2已知函数)(x f 满足2

1

2

1)0()1(')(x x f e

f x f x +

-=-（2012全国新课标） (1)求)(x f 的解析式及单调区间；

(2)若b ax x x f ++≥

2

2

1)(，求b a )1(+的最大值。 （1）121

1()(1)(0)()(1)(0)2

x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+

令1x =得：(0)1f =

12

11()(1)(0)(1)1(1)2

x f x f e x x f f e f e --'''=-+?==?= 得：2

1()()()12

x

x f x e x x g x f x e x '=-+

?==-+ ()10()x

g x e y g x '=+>?=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=?><=?<

得：()f x 的解析式为21()2

x

f x e x x =-+

且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞

（2）21()()(1)02

x

f x x ax b h x e a x b ≥++?=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+

①当10a +≤时，()0()h x y h x '>?=在x R ∈上单调递增 x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾

②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>?>+

2

2

(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++> 令2

2()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-

()00()0F x x F x x ''>?<<

当x =max ()2

e

F x =

当1,a b ==(1)a b +的最大值为2

e

例3已知函数ln ()1a x b

f x x x

=

++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。（2011全国新课标） （Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k

f x x x

>

+-，求k 的取值范围。 解（Ⅰ）22

1(ln )

'()(1)x x b x f x x x α+-=-

+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-， 且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =???=-??即1,1,22

b a b =??

?-=-??

解得1a =，1b =。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1

f ()1x x x x =

++，所以 22

ln 1(1)(1)

()()(2ln )11x k k x f x x x x x x

---+=+--。

考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)

k x x

--(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=

。 (i)设0k ≤，由222

(1)(1)

'()k x x h x x

+--=知，当1x ≠时，'()0h x <，h(x)递减。而(1)0h =

故当(0,1)x ∈时， ()0h x >，可得

21

()01h x x >-； 当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得2

11

x - h （x ）>0 从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x （ii ）设0

(1)21k x x k -++-的图像开口向下，且

244(1)0k ?=-->，对称轴x=1

11k >-.

当x ∈（1，k -11）时，（k-1）（x 2 +1）

+2x>0,故'h (x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，k -11）时，h （x ）>0，可得2

11

x

-h （x ）<0,与题设矛盾。

（iii ）设k ≥1.此时212x x +≥，2

(1)(1)20k x x -++>?'

h （x ）>0,而h （1）=0，

故当x ∈ （1，+∞）时，h （x ）>0，可得

2

11

x

- h （x ）<0,与题设矛盾。 综合得，k 的取值范围为（-∞，0]

例4已知函数f(x)＝(x 3+3x 2+ax+b)e －

x . （2009宁夏、海南）

(1)若a ＝b ＝－3,求f(x)的单调区间;

(2)若f(x)在(－∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β－α＞6. 解: (1)当a ＝b ＝－3时,f(x)＝(x 3+3x 2－3x －3)e －x ,故

f′(x)＝－(x 3+3x 2－3x －3)e －x +(3x 2+6x －3)e －x ＝－e －x (x 3－9x)＝－x(x －3)(x+3)e －x .

当x ＜－3或0＜x ＜3时,f′(x)＞0;当－3＜x ＜0或x ＞3时,f′(x)＜0. 从而f(x)在(－∞,－3),(0,3)单调增加,在(－3,0),(3,+∞)单调减少.

(2)f′(x)＝－(x 3+3x 2+ax+b)e －x +(3x 2+6x+a)e －x ＝－e －x ［x 3+(a －6)x+b －a ］. 由条件得f′(2)＝0,即23+2(a －6)+b －a ＝0,故b ＝4－a.

从而f′(x)＝－e －x ［x 3+(a －6)x+4－2a ］.因为f′(α)＝f′(β)＝0,

所以x 3+(a －6)x+4－2a ＝(x －2)(x －α)(x －β)＝(x －2)［x 2－(α+β)x+αβ］. 将右边展开,与左边比较系数,得α+β＝－2,αβ＝a －2.

故a 4124)(2-=-+=-αβαβαβ.又(β－2)(α－2)＜0，

即αβ－2(α+β)+4＜0.由此可得a ＜－6. 于是β－α＞6.

2. 在解题中常用的有关结论※

3. 题型归纳

①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用

（构造函数，最值定位）（分类讨论，区间划分）（极值比较）（零点存在性定理应用）（二阶导转换）

例1（切线）设函数

a x x f -=2

)(. （1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值；

（2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于

点)0,(2x A 求证：a x x >>21.

例2（最值问题，两边分求）已知函数1()ln 1a

f x x ax x

-=-+

-()a ∈R . ⑴当1

2

a ≤

时，讨论()f x 的单调性； ⑵设2()2 4.g x x bx =-+当1

4

a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使

12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.

②交点与根的分布

例3（切线交点）已知函数()()3

2

3,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()

1,1f 处的切线方程

为20y +=．

⑴求函数()f x 的解析式；

⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤，求实数

c 的最小值；

⑶若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．

例4（综合应用）已知函数

.23)32ln()(2x x x f -

+=

⑴求f (x )在[0,1]上的极值；

⑵若对任意0

]3)(ln[|ln |],31

,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的取值

范围；

⑶若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值

范围.

③不等式证明

例5 (变形构造法)已知函数

1)(+=

x a

x ?，a 为正常数． ⑴若)(ln )(x x x f ?+=，且a 29

=

，求函数)(x f 的单调增区间；

⑵在⑴中当0=a 时，函数)(x f y =的图象上任意不同的两点()11,y x A ，()22,y x B ，

线段AB 的中点为),(00y x C ，记直线AB 的斜率为k ，试证明：)(0x f k '

>．

⑶若)(ln )(x x x g ?+=，且对任意的(]2,0,21∈x x ，21x x ≠，都有1

)

()(1212-<--x x x g x g ，求a 的取值范围．

例6 (高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数)0)(ln()(2

>=a ax x x f .

（1）若2

)('x x f ≤对任意的0>x 恒成立，求实数a 的取值范围；

（2）当1=a 时，设函数

x x f x g )()(=

，若1

),1,1

(,2121<+∈x x e x x ，求证

42121)(x x x x +<

例7（绝对值处理）已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取

得极大值．

（I ）求实数a 的取值范围；

（II ）若方程9

)32()(2

+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；

（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 例8（等价变形）已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ．

（Ⅰ）讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；

（Ⅱ）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ?∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，

求实数b 的取值范围；

（Ⅲ）当2

0e y x <<<且e x ≠时，试比较

x

y

x y ln 1ln 1--与

的大小． 例9（前后问联系法证明不等式）已知217

()ln ,()(0)

22f x x g x x mx m ==++<，直线l

与函数(),()f x g x 的图像都相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1。

（I ）求直线l 的方程及m 的值；

（II ）若()(1)'()()h x f x g x =+-其中g'(x)是g(x)的导函数，求函数()h x 的最大值。

（III ）当0b a <<时，求证：

()(2).2b a

f a b f a a -+-<

例10 (整体把握，贯穿全题)已知函数ln ()1x

f x x

=

-． （1）试判断函数()f x 的单调性；

（2）设0m >，求()f x 在[,2]m m 上的最大值；

（3）试证明：对任意*n ∈N ，不等式11ln()e n n

n n

++<

都成立（其中e 是自然对数的底数）． （Ⅲ）证明：2

121111

n n a a a n ++???+>+．

例11（数学归纳法）已知函数()ln(1)f x x mx =++，当0x =时，函数()f x 取得极大值.

（１）求实数m 的值；

（２）已知结论：若函数()ln(1)f x x mx =++在区间(,)a b 内导数都存在，且1a >-，

则存在0(,)x a b ∈，使得0()()

()f b f a f x b a

-'=

-.试用这个结论证明：若

121x x -<<，函数121112

()()

()()()f x f x g x x x f x x x -=-+-，则对任意

12(,)x x x ∈，都有()()f x g x >；

（３）已知正数12,,,n λλλL ，满足121n λλλ+++=L ，求证：当2n ≥，n N ∈时，

对任意大于1-，且互不相等的实数12,,,n x x x L ，都有1122()n n f x x x λλλ+++>L 1122()()()n n f x f x f x λλλ+++L .

④恒成立、存在性问题求参数范围

例12（分离变量）已知函数

x a x x f ln )(2

+=(a 为实常数). (1)若2-=a ，求证：函数)(x f 在(1,+∞)上是增函数；

(2)求函数)(x f 在[1,e ]上的最小值及相应的x 值；

(3)若存在],1[e x ∈，使得x a x f )2()(+≤成立，求实数a 的取值范围.

例13（先猜后证技巧）已知函数x

x n x f )

1(11)(++=

（Ⅰ）求函数f (x )的定义域

（Ⅱ）确定函数f (x )在定义域上的单调性，并证明你的结论.

（Ⅲ）若x >0时1

)(+>x k

x f 恒成立，求正整数k 的最大值.

例14（创新题型）设函数f(x)=e x +sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)－g(x).

(Ⅰ)若x=0是F(x)的极值点,求a 的值；

(Ⅱ)当 a=1时,设P(x 1,f(x 1)), Q(x 2, g(x 2))(x 1>0,x 2>0), 且PQ//x 轴,求P 、Q 两点间的最短距离；

(Ⅲ)若x≥0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(－x)的图象上方,求实数a 的取值范围．

例15(图像分析，综合应用) 已知函数)1,0(12)(2

<≠++-=b a b ax ax x g ，在区间[]

3,2上有最大值4，最小值1，设()

()g x f x x =

．

（Ⅰ）求b a ,的值；

（Ⅱ）不等式

02)2(≥?-x x k f 在]1,1[-∈x 上恒成立，求实数k 的范围； （Ⅲ）方程0

)3|12|2

(|)12(|=--+-x x k f 有三个不同的实数解，求实数k 的范围．

⑤导数与数列

例16（创新型问题）设函数2()()()x f x x a x b e =-+，a b R ∈、，x a =是()f x 的一个极大值点．

⑴若0a =，求b 的取值范围；

⑵当a 是给定的实常数，设123x x x ，，是()f x 的3个极值点，问是否存在实数b ，可

找到4x R ∈，使得1234x x x x ，，，的某种排列1234,,,i i i i x x x x （其中

{}1234i i i i ，，，={}1234，

，，）依次成等差数列?若存在，求所有的b 及相应的4x ；若不存在，说明理由．

⑥导数与曲线新题型

例17（形数转换）已知函数()ln f x x =, 2

1()2

g x ax bx =

+(0)a ≠. (1)若2a =-, 函数()()()h x f x g x =- 在其定义域是增函数,求b 的取值范围; (2)在(1)的结论下,设函数??2x x (x)=e +be ,x ∈[0,ln2],求函数(x)的最小值; (3)设函数)(x f 的图象C 1与函数)(x g 的图象C 2交于点P 、Q,过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ,问是否存在点R,使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行?若存在,求出R 的横坐标;若不存在,请说明理由. 例18（全综合应用）已知函数()1ln

(02)2x

f x x x

=+<<-. (1)是否存在点(,)M a b ,使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由;

(2)定义21

1

1221

()()()(

)n n i i n S f f f f n n n n -=-==++???+∑,其中*n ∈N ,求2013S ; (3)在(2)的条件下,令12n n S a +=,若不等式2()1n a m n a ?>对*

n ?∈N 且2n ≥恒成立,求实数m 的取值范围.

⑦导数与三角函数综合

例19（换元替代，消除三角）设函数2

()()f x x x a =--（x ∈R ），其中a ∈R ．

（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值； （Ⅲ）当3a >， []

10k ∈-，时，若不等式22

(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的

x ∈R 恒成立,求k 的值。

⑧创新问题积累 例20已知函数2()ln

44

x x

f x x -=+-. I 、求()f x 的极值.

II 、求证()f x 的图象是中心对称图形.

III 、设()f x 的定义域为D ,是否存在[],a b D ?.当[],x a b ∈时，()f x 的取值范围

是,44a b ??????

?若存在,求实数a 、b 的值；若不存在，说明理由

导数压轴题题型归纳 参考答案

例1解：(1)1=a 时，x x x g -=3

)(，由013)(2

=-='

x x g ，解得

33±

=x .

)(x g '

所以当

33=x 时，)(x g 有最小值932)33(-

=g . (2)证明：曲线)(x f y =在点)2,(2

11a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(112

1x x x a x y -=--.

令0=y ，得

12122x a x x +=，∴12

1

11211222x x a x x a x x x -=

-+=- ∵a x >1，∴0

212

1

<-x x a ，即12x x <.

又∵1122x a

x ≠，∴a x a x x a x x a x x =?>+=+=11111212

222222

所以a x x >>21.

例2⑴1()ln 1(0)a f x x ax x x -=-+->，222l 11

()(0)a ax x a f x a x x x x

--++-'=-+=> 令2()1(0)h x ax x a x =-+->

①当0a =时，()1(0)h x x x =-+>，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减；当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>，函数()f x 单调递增.

②当0a ≠时，由()0f x '=，即210ax x a -+-=，解得121

1,1x x a

==-.

当1

2a =时12x x =，()0h x ≥恒成立，此时()0f x '≤，函数()f x 单调递减；

当102a <<时，1

110a ->>,(0,1)x ∈时()0,()0h x f x '><，函数()f x 单调递减；

1

(1,1)x a ∈-时，()0,()0h x f x '<>，函数()f x 单调递增；

1

(1,)x a

∈-+∞时，()0,()0h x f x '><，函数()f x 单调递减.

当0a <时

1

10a

-<，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减； 当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>，函数()f x 单调递增.

综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在(0,1)单调递减，(1,)+∞单调递增；

当1

2a =时12x x =,()0h x ≥恒成立,此时()0f x '≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；

当102a <<时,函数()f x 在(0,1)递减,1(1,1)a -递增,1

(1,)a -+∞递减.

⑵当1

4

a =时，()f x 在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意1(0,2)x ∈，

有11

()(1)2

f x f =-≥，

又已知存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，所以21

()2

g x -≥，[]21,2x ∈，（※）

又22

()()4,[1,2]g x x b b x =-+-∈

当1b <时，min ()(1)520g x g b ==->与（※）矛盾；

当[]1,2b ∈时，2

min ()(1)40g x g b ==-≥也与（※）矛盾；

当2b >时，min 117()(2)84,28

g x g b b ==-≤-

≥. 综上，实数b 的取值范围是17

[,)8+∞. 例3解：⑴()2

323f x ax bx '=+-．

根据题意，得()()12,10,

f f =-???

'=??即32,3230,a b a b +-=-??+-=?解得10a b =??=? 所以()3

3f x x x =-．

⑵令()0f x '=，即2330x -=．得1x =±．

因为12f -=，12f =-，所以当2,2x ∈-时，max 2f x =，min 2f x =-． 则对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x ，都有

()()()()12max min 4f x f x f x f x -≤-=，所以4c ≥．所以c 的最小值为4．

⑶因为点()()2,2M m m ≠不在曲线()y f x =上，所以可设切点为()00,x y ．

则30003y x x =-．因为()20033f x x '=-，所以切线的斜率为2

033x -．

则20

33x -=300032

x x m x ---，即32

002660x x m -++=．

因为过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，

所以方程32

002660x x m -++=有三个不同的实数解．

所以函数()3

2

266g x x x m =-++有三个不同的零点．

则()2

612g x x x '=-．令()0g x '=，则0x =或2x =．

()()0022

g g >???

20

m m +>??

-+

3)

13)(1(33323)(+-+-=-+=

'x x x x x x f ，

令131

0)(-==='x x x f 或得（舍去）

)(,0)(,310x f x f x >'<≤∴时当单调递增；当)(,0)(,131

x f x f x <'≤<时递减.

]1,0[)(6

1

3ln )31(在为函数x f f -=∴上的极大值.

⑵由0]3)(ln[|ln |>+'+-x x f x a 得x x a x x a 323

ln ln 323ln

ln ++<+->或

设3

32ln

323ln ln )(2

x x x x x h +=+-=，x x x x x g 323ln 323ln ln )(+=++=， 依题意知]3

1

,61[)()(∈<>x x g a x h a 在或上恒成立，

0)32(2

)32(33)32(3332)(2

>+=+?-+?+='x x x x x x x x g Θ， 03262)62(31323)(2

2>++=+?+='x x x

x x x x h ，

]31

,61[)()(都在与x h x g ∴上单增，要使不等式①成立，

当且仅当.5

1

ln 31ln ),61()31(<><>a a g a h a 或即或

⑶由.022

3)32ln(2)(2

=-+-+?+-=b x x x b x x f

令x

x x x x b x x x x 329723323)(,223)32ln()(2

2+-=

+-+='-+-+=??则， 当]37

,0[)(,0)(,]37,0[在于是时x x x ??>'∈上递增；

]1,37[)(,0)(,]1,37[在于是时x x x ??<'∈上递减，

而)1()3

7(),0()37(????>>，

]1,0[0)(2)(在即=+-=∴x b x x f ?恰有两个不同实根等价于

??

?

?

??

??

?

≤-+=>-+-+=≤-=0215ln )1(067267)72ln()37(02ln )0(b b b ??? .3

7

267)72ln(215ln +-+<≤+∴b

例5解：⑴2

22)1(1

)2()1(1)(++-+=+-

='x x x a x x a x x f ∵a 2

9=，令0)(>'x f 得2>x 或210<

,0(+∞.

⑵证明：当0=a 时x x f ln )(=

∴x

x f 1)(=', ∴210021)(x x x x f +==',又

1

21212121212ln ln ln )()(x x x x x x x x x x x f x f k -=--=--= 不妨设12x x > ， 要比较k 与)(0x f '的大小，即比较1

212ln x x x x -与2

12

x x +的大小， 又∵12x x >，∴ 即比较12ln x x 与1)

1(2)(21

2122

112+-=+-x x x x

x x x x 的大小． 令)1(1

)

1(2ln )(≥+--

=x x x x x h ,则0)1()1()1(41)(222≥+-=+-='x x x x x x h , ∴)(x h 在[)+∞,1上位增函数．

又112>x x ，∴0)1()(12=>h x x h ， ∴1)

1(

2ln 1

21

2

1

2+->x x x x x x ，即)(0x f k '>

⑶∵ 1)()(1

212-<--x x x g x g ，∴

[]0)()(121122<-+-+x x x x g x x g 由题意得x x g x F +=)()(在区间(]2,0上是减函数．

?1 当x x a x x F x +++=≤≤1

ln )(,21， ∴ 1)1(1)(2++-='x a x x F 由31

3)1()1(0)(222+++=+++≥?≤'x x x x x x a x F 在[]2,1∈x 恒成立．

设=)(x m 3132+++x x x ，[]2,1∈x ，则031

2)(2>+-='x

x x m

∴)(x m 在[]2,1上为增函数，∴2

27

)2(=≥m a .

?2 当x x a x x F x +++-=<<1

ln )(,10，∴ 1)1(1)(2++--='x a x x F 由11

)1()1(0)(222--+=+++-≥?≤'x x x x x x a x F 在)1,0(∈x 恒成立

设=)(x t 11

2--+x

x x ，)1,0(∈x 为增函数,∴0)1(=≥t a

综上：a 的取值范围为2

27≥a . 例6解：（1）x ax x x f +=)ln(2)(',2)ln(2)('x x ax x x f ≤+=， 即x ax ≤+1ln 2在0>x 上恒成立

设x ax x u -+=1ln 2)(,2,012

)('==-=x x

x u ，2>x 时，单调减，2

所以2=x 时，)(x u 有最大值.212ln 2,0)2(≤+≤a u ，所以2

0e a ≤<. （2）当1=a 时，x x x x f x g ln )

()(==, e x x x g 1,0ln 1)(==+=,所以在),1(+∞e 上)(x g 是增函数，)1

,0(e

上是减函数.

因为11

211<+<

，所以111212121ln )()ln()()(x x x g x x x x x x g =>++=+

即)ln(ln 211211x x x x x x ++<

,

同理)ln(ln 212

2

12x x x x x x ++<. 所以)ln()2()ln()(ln ln 211

2

212

112122121x x x x x x x x x x x x x x x x +++=++++<+

又因为,4212

21≥++

x x x x 当且仅当“21x x =”时，取等号. 又1),1,1

(,2121<+∈x x e x x ，0)ln(21<+x x ,

所以)ln(4)ln()2(21211

2

21x x x x x x x x +≤+++,

所以)ln(4ln ln 2121x x x x +<+， 所以：42121)(x x x x +<.

例7（I ）,23)(,00)0(2b ax x x f c f ++='=?=320)1(--=?='a b f

),323)(1()32(23)(2++-=+-+='∴a x x a ax x x f

由3

3

210)(+-==?='a x x x f 或，因为当1=x 时取得极大值，

所以313

3

2-+-a a ，所以)3,(:--∞的取值范围是a ；

依题意得：9

)32(272

-

=+a ，解得：9-=a 所以函数)(x f 的解析式是：x x x x f 159)(23+-=

（III ）对任意的实数βα,都有,2sin 22,2sin 22≤≤-≤≤-βα 在区间[-2，2]有：230368)2(,7)1(,7430368)2(=+-==-=---=-f f f ,7)1()(=f x f 的最大值是7430368)2()(-=---=-f x f 的最小值是 函数]2,2[)(-在区间x f 上的最大值与最小值的差等于81， 所以81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．

例8解：（Ⅰ）x

ax x a x f 1

1)(-=-='，当0≤a 时，()0f x '<在),0(+∞上恒成立，函数)(x f

在),0(+∞ 单调递减，∴)(x f 在),0(+∞上没有极值点；

当0>a 时，()0f x '<得10x a <<

，()0f x '>得1x a

>， ∴)(x f 在(10,)a 上递减，在(1),a

+∞上递增，即)(x f 在a

x 1

=处有极小值． ∴当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点， 当0>a 时，)(x f 在),0(+∞上有一个极值点．

（Ⅱ）∵函数)(x f 在1=x 处取得极值，∴1=a ，∴b x

x

x bx x f ≥-+?-≥ln 112)(，

令x

x

x x g ln 11)(-

+

=，可得)(x g 在(]2,0e 上递减，在[)

+∞,2e 上递增，

∴2

2min 1

1)()(e e g x g -==，即211b e ≤-

． （Ⅲ）证明：)

1ln()1ln()1ln()1ln(+>+?++>-y e x e y x e

y x y

x ， 令)

1ln()(+=x e x g x

，则只要证明)(x g 在),1(+∞-e 上单调递增，

又∵)

1(ln 11)1ln()(2+??????

+-

+=

'x x x e x g x ，

显然函数1

1

)1ln()(+-+=x x x h 在),1(+∞-e 上单调递增．

∴01

1)(>->e

x h ，即0)(>'x g ，

∴)(x g 在),1(+∞-e 上单调递增，即)1ln()1ln(+>+y e x e y

x ，

∴当1->>e y x 时，有)

1ln()1ln(++>-y x e y x ． 例9 解：（I ）1

'(),'(1)1;Qf x f x

=∴=l ∴直线的斜率为1，

且与函数()f x 的图像的切点坐标为（1，0），l ∴直线的方程为 1.y x =-

又l Q 直线与函数()y g x =的图象相切，211722

y x y x mx =-??

∴?=++??方程组有一解。

由上述方程消去y ，并整理得22(1)90x m x +-+=①

依题意，方程②有两个相等的实数根，2[2(1)]490m ∴?=--?=解之， 得m=4或m=-2，0, 2.Qm m <∴=-

（II ）由（I ）可知217

()2,22

g x x x =-+

'()2,()ln(1)2(1)g x x h x x x x ∴=-∴=+-+>-，1'()1.11

x

h x x x -∴=-=++

∴∈当x (-1,0)时,h'(x)>0,h(x)单调，当(0,)x ∈+∞时，'()0,()h x h x <单减。 ∴当x=0时，()h x 取最大值，其最大值为2。

（III ）()(2)ln()ln 2ln ln(1).22a b b a

f a b f a a b a a a

+-+-=+-==+ 0,0,

10.

22Q b a a b a b a

a

<<∴-<-<-∴-<<

证明，当(1,0)x ∈-时，ln(1),ln(1).22b a b a

x x a a

--+<∴+

< ()(2).2b a

f a b f a a

-∴+-<

例10解：（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞．由已知2

1ln ()x

f x x

-'=

．令()0f x '=，得x e =． 因为当0x e <<时，()0f x '>；当x e >时，()0f x '<．

所以函数()f x 在(0,]e 上单调递增，在[,)e +∞上单调递减． （2）由（1）可知当2m e ≤，即2

e

m ≤时，()f x 在[,2]m m 上单调递增，所以max ln 2()(2)12m

f x f m m

==

-． 当m e ≥时，()f x 在[,2]m m 上单调递减，所以max ln ()1m

f x m

=

-．当2m e m <<，即2e m e <<时，max 1

()()1f x f e e

==-．综上所述，max ln 21,0221

()1,2ln 1,m

e m m e

f x m e

e m

m e m

?-<≤??

?=-<

()()1f x f e e

==-．所以在(0,)x ∈+∞时恒有

ln 1()11x f x x e =-≤-，即ln 1

x x e ≤，

当且仅当x e =时等号成立．因此对任意(0,)x ∈+∞恒有1ln x e ≤．因为10n n +>，1n e n +≠，所以111ln n n n e n ++

n n

++<

．因此对任意*n ∈N ，不等式11ln()e n n

n n

++<

． 例11解：（１）当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，函数()f x 在区间(1,0)-上单调递增；

当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递减.

∴函数()f x 在0x =处取得极大值，故1m =-.

（２）令121112

()()

()()()()()()f x f x h x f x g x f x x x f x x x -=-=-

---， 则1212

()()

()()f x f x h x f x x x -''=--.Q 函数()f x 在12(,)x x x ∈上可导，∴存在

012(,)x x x ∈，使得12012

()()

()f x f x f x x x -'=-.

1

()11

f x x '=-+Q ，000011()()()11(1)(1)x x h x f x f x x x x x -'''∴=-=-=++++ Q 当10(,)x x x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，1()()0h x h x ∴>=；

Q 当02(,)x x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，2()()0h x h x ∴>=；

故对任意12(,)x x x ∈，都有()()f x g x >. （３）用数学归纳法证明.

①当2n =时，121λλ+=Q ，且10λ>，20λ>，

112212(,)x x x x λλ∴+∈，∴由（Ⅱ）得()()f x g x >，即

121122112211112212

()()

()()()()()f x f x f x x x x x f x f x f x x x λλλλλλ-+>+-+=+-，

∴当2n =时，结论成立.

②假设当(2)n k k =≥时结论成立，即当121k λλλ+++=L 时，11221122()()()()k k k k f x x x f x f x f x λλλλλλ+++>+++L L . 当1n k =+时，设正

数121,,,k λλλ+L 满足1211k λλλ++++=L ，令12k

m λλλ=+++L ，

1

2

12,,,k

k m m m

λλλμμμ=

=

=

L ， 则11k n m λ++=，且121k μμμ+++=L .

112211()k k k k f x x x x λλλλ++++++L 1111[()]k k k k f m x x x μμλ++=+++L 1111()()k k k k mf x x f x μμλ++>+++L

1111()()()k k k k m f x m f x f x μμλ++>+++L

1111()()()k k k k f x f x f x λλλ++=+++L ∴当1n k =+时，结论也成立.

综上由①②，对任意2n ≥，n N ∈，结论恒成立.

例12 解：⑴当2-=a 时，x x x f ln 2)(2

-=，当),1(+∞∈x ，0)

1(2)(2>-='x

x x f ，

故函数)(x f 在),1(+∞上是增函数．

⑵)0(2)(2>+='x x

a

x x f ，当],1[e x ∈，]2,2[222e a a a x ++∈+．

若2-≥a ，)(x f '在],1[e 上非负（仅当2-=a ，x=1时，0)(='x f ），故函数)(x f 在],1[e 上是增函数，此时=min )]([x f 1)1(=f ． 若222-<<-a e ，当2a x -=时,0)(='x f ；当2

1a

x -<≤时，0)(<'x f ，此时)(x f 是减函数；当

e x a

≤<-2

时，0)(>'x f ，此时)(x f 是增函数． 故=min )]([x f )2

(a

f -2)2ln(2a a a --=．

若22e a -≤，)(x f '在],1[e 上非正（仅当2e 2-=a ，x=e 时，0)(='x f ），故函数)(x f 在],1[e 上是减函数，此时==)()]([min e f x f 2e a +． ⑶不等式x a x f )2()(+≤，可化为x x x x a 2)ln (2-≥-．

∵],1[e x ∈, ∴x x ≤≤1ln 且等号不能同时取，所以x x -x x ，

因而x

x x x a ln 22--≥（]

,1[e x ∈）

令x

x x x x g ln 2)(2--=（]

,1[e x ∈），又2)ln ()ln 22)(1()(x x x x x x g --+-='，

当],1[e x ∈时，1ln ,01≤≥-x x ，0ln 22>-+x x ，

从而0)(≥'x g （仅当x=1时取等号），所以)(x g 在],1[e 上为增函数， 故)(x g 的最小值为1)1(-=g ，所以a 的取值范围是),1[+∞-．

例13 解：（1）定义域),0()0,1(+∞?-

（2）,0)]1ln(1

1[1)(2时当>+++-=

'x x x x x f 0)(<'x f 单调递减。

当)0,1(-∈x ，令

0)1(11)

1(1)()1ln(11

)(2

2<+=+++-

='+++=x x

x x x g x x x g ，

0)1(11)1(1)()1ln(11)(2

2<+=+++-='+++=

x x

x x x g x x x g 故)(x g 在（－1，0）上是减函数，即01)0()(>=>g x g ，

故此时)]1ln(1

1

[

1)(2+++-='x x x x f 在（－1，0）和（0，+∞）上都是减函数 （3）当x >0时，1

)(+>x k

x f 恒成立，令]2ln 1[21+<=k x 有

又k 为正整数，∴k 的最大值不大于3

下面证明当k=3时，)0( 1

)(>+>

x x k

x f 恒成立 当x >0时 021)1ln()1(>-+++x x x 恒成立

令x x x x g 21)1ln()1()(-+++=，则时当1 ,1)1ln()(->-+='e x x x g

时当1 ,1)1ln()(->-+='e x x x g ，0)(>'x g ，当0)( ,10<'-<

∴当)( ,1x g e x 时-=取得最小值03)1(>-=-e e g

当x >0时， 021)1ln()1(>-+++x x x 恒成立，因此正整数k 的最大值为3 例14解：(Ⅰ)F (x )= e x +sinx －ax,'()cos x

F x e x a =+-. 因为x =0是F (x )的极值点,所以'(0)110,2F a a =+-==.

又当a =2时,若x <0, '()cos 0x F x e x a =+-<;若 x >0, '()cos 0x

F x e x a =+->. ∴x =0是F (x )的极小值点, ∴a=2符合题意.

(Ⅱ) ∵a =1, 且PQ //x 轴,由f (x 1)=g (x 2)得:121sin x

x e x =+,所以12111sin x

x x e x x -=+-. 令()sin ,'()cos 10x

x

h x e x x h x e x =+-=+->当x >0时恒成立. ∴x ∈[0,+∞)时,h (x )的最小值为h (0)=1.∴|PQ|mi n =1. (Ⅲ)令()()()2sin 2.x

x

x F x F x e e x ax ?-=--=-+-

则'()2cos 2.x

x

x e e

x a ?-=++-()''()2sin x x S x x e e x ?-==--.

因为'()2cos 0x x

S x e e

x -=+-≥当x ≥0时恒成立,

所以函数S (x )在[0,)+∞上单调递增, ∴S (x )≥S (0)=0当x ∈[0,+∞)时恒成立;

因此函数'()x ?在[0,)+∞上单调递增, '()'(0)42x a ??≥=-当x ∈[0,+∞)时恒成立. 当a ≤2时,'()0x ?≥,()x ?在[0,+∞)单调递增,即()(0)0x ??≥=.

故a ≤2时F (x )≥F(－x )恒成立.

[)[)[)[)(]00002'()0,'()0,(0,),0'()0.()0,(0)0(0,)()0(14)()00,2.a x x x x x x x x x x F x F x x a a ??????><+∞∴∈+∞<=∴∈<--≥∈+∞?∴>∞??Q 当时，又在单调递增，总存在使得在区间，上导致在递减，而，当时，，这与对恒成立不符，不合题意.综上取值范围是-,2分

例15 解:（Ⅰ）(1)2

()(1)1g x a x b a =-++- 当0>a 时，[]()2,3g x 在上为增函数

故(3)296251

(2)544220g a a b a g a a b b =-++==????????

=-++==??? 当[]0()2,3a g x <时，在上为减函数

故(3)296221

(2)244253g a a b a g a a b b =-++==-????????

=-++==??? 011==∴

2f x x x

=+

-. （Ⅱ）方程(2)20x x f k -?≥化为1

2222

x

x x k +

-≥? 2111(

)222x x k +-≥，令t x =2

1，221k t t ≤-+ ∵]1,1[-∈x ∴]2,2

1

[∈t 记

12)(2+-=t t t ?∴min ()0t ?= ∴0k ≤

（Ⅲ）方程0)3|12|2(|)12(|=--+-x x k f 化为

0)32(|12|21|12|=+--++-k k x x

0)21(|12|)32(|12|2=++-+--k k x x ，0|12|x ≠-

令t x =-|12|， 则方程化为0)21()32(2=+++-k t k t （0t ≠）

∵方程0)32(|

12|21|12|=+--++-k k x

x

有三个不同的实数解， ∴由|12|-=x t 的图像知，0)21()32(2=+++-k t k t 有两个根1t 、2t ， 且21t 1t 0<<< 或 101<

则??

?<-=>+=0k )1(0k 21)0(?? 或 ???

?

???

<+<=-=>+=12k

3200k )1(0

k 21)0(??∴0k > 例16 解： （Ⅰ）0a =时，()()2x

f x x x b e =+，

()()()()()2

2232x x x f x x x b e x x b e e x x b x b '''????∴=+++=+++????

， 令()()2

32g x x b x b =+++，()()2

2

38180b b b ?=+-=-+>Q ，

∴设12x x <是()0g x =的两个根，

（1）当10x =或20x =时，则0x =不是极值点，不合题意；

（2）当10x ≠且20x ≠时，由于0x =是()f x 的极大值点，故120x x .<< ()00g ∴<，即20b <，0b .∴< (Ⅱ)解：()()x

f x e

x a '=-2

(3)2x a b x b ab a ??+-++--??，

令2()(3)2g x x a b x b ab a =+-++--，

22=(3)4(2)(1)80a b b ab a a b ?-+---=+-+>则，

于是，假设12x x ，是()0g x =的两个实根，且12x x .<

由（Ⅰ）可知，必有12x a x <<，且12x a x 、、是()f x 的三个极值点， 则

1

x =

2x =

假设存在b 及4x 满足题意，

（1）当12x a x ，，等差时，即21x a a x -=-时，则422x x a =-或412x x a =-， 于是1223a x x a b =+=--，即3b a .=-- 此时4223x x a a b =

-=--

+

a a =+

或4123x x a a b

=-=-

-a a -=-

（2）当21x a a x -≠-时，则212()x a a x -=-或12()2()a x x a -=- ①若()122x a a x -=-，则2

2

4x a x +=， 于是()()2

813323221+-+-

--=+=b a b a x x a ，

即

()().33812++-=+-+b a b a 两边平方得()

()2

191170a b a b +-++-+=，

30

a b ++

+-=

b a =-