高中数学导数题型分类非常全

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导数

1.导数公式:'0C = '1()n n x nx -= '(sin )cos x x = '(cos )sin x x =-

'()x x e e = '()ln x x a a a = '1(ln )x x = '1(log )ln a x x a

= 2.运算法则:'''()u v u v +=+ '''()u v u v -=- '''()uv u v uv =+ ''

'2

()u u v uv v v -= 3.复合函数的求导法则:(整体代换)

例如:已知2()3sin (2)3f x x π

=+,求'()f x 。 4.导数的物理意义:位移的导数是速度,速度的导数是加速度。

5.导数的几何意义:导数就是切线斜率。

6.用导数求单调区间、极值、最值、零点个数:对于给定区间[,]a b 内,若'()0f x >,则()f x 在[,]a b 内是增函数;若'()0f x <,则()f x 在[,]a b 内是减函数。

【题型一】求函数的导数 1(1)ln x

y x = (2)2sin(3)4y x π

=- (3)2(1)x y e x =-

(4)3235y x x =-- (5)231

x x y x -=+ (6)221

1()y x x x x

=++ 2.已知物体的运动方程为22

3s t t =+(t 是时间,s 是位移),则物体在

时刻2t =时的速度为 。

【题型三】导数与切线方程(导数的几何意义的应用)

3.曲线32y x x =+-在点(2,8)A 处的切线方程是 。

4.若(1,)B m 是32y x x =+-上的点,则曲线在点B 处的切线方程是 。

5.若32y x x =+-在P 处的切线平行于直线71y x =+,则点P 的坐标是 。

6.若23ln 4

x y x =-的一条切线垂直于直线20x y m +-=,则切点坐标为 。

7.函数12+=ax y 的图象与直线x y =相切, 则a = 。

8.已知曲线11

x y x +=

-在(3,2)处的切线与0ax y m ++=垂直,则a = 。 9.已知直线y x m =+与曲线321y x x =-+相切,求切点P 的坐标及参数m 的值。

10.若曲线)(x h y =在点(,()a h a )处切线方程为012=++y x ,那么( )

A .

0)('a h C. 0)('=a h D. )('a h 的符号不定 11.曲线46323+++=x x x y 的所有切线中, 斜率最小的切线的方程是 。

12.求曲线3231y x x =-++过点(1,1)和(2,5)的切线方程。【易错题】

【题型四】导数与单调区间

13.函数13)(23+-=x x x f 的减区间为 。

14.函数)

0,0(≥>=-x n e x y x n 的单调递增区间

为 。 15.判断函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数( ) A.3(,)22ππ B.(,)22

ππ- C.(,2)ππ D.(0,)π 16.已知函数32321y x x =+-在区间(,0)m 上为减函数, 则m 的取值范围是 。

【题型五】导数与极值、最值

17.函数3125y x x =-+在x = 时取得极大值 ,在x = 时取得极

小值 。

18.函数32()23f x x x =-+在[1,1]-上的最大值是 ,与最小值是 。

19.函数)0(≥-=x x x y 的最大值为 。

20.函数93)(23-++=x ax x x f 在3-=x 时取得极值, 则=a 。

21.已知a a x x x f (62)(23+-=为常数)在]2,2[-上有最大值是3, 那么

]2,2[-在上的最小值是 。

22.已知函数322+--=x x y 在区间[,2]a 上的最大值为154

, 则a = 。 23.函数??????-∈-=2,2,2sin π

πx x x y 的最大值是 ,最小值是 。

24.若1)2(33)(23++++=x a ax x x f 既有极大值又有极小值,求a 的取值范围。

【题型六】导数与零点,恒成立问题 零点定理:若函数()f x 在区间[,]a b 上满足()()0f a f b ?<,则()f x 在区间

[,]a b 上是至少有一个零点。

(即()0f x =在区间[,]a b 上是至少有一个解) 25.判断函数2()log (2)f x x x =+-在[1,3]上是否存在零点

26.已知[1,3]x ∈-,且144234++-≤x x x a 恒成立,则a 的最大值为 。

高中数学必修四----常见题型归类

高中数学必修四 题型归类 山石 第一章 三角函数 1.1任意角和弧度制 题型一:终边相同角 1.与 2003-终边相同的最小正角是______________,最大负角是_________。 2.终边在y 轴上的角的集合为________。 3.若角α与5α的终边关于y 轴对称,则角α的集合________ __ 。 题型二:区域角 1.第二象限的角的集合为______ __ 2.如图,终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是______ __ 3.若α是第二象限的角,确定2α的终边所在位置 .确定2 α 的终边所在位置 . 题型三:弧度制 1.若扇形的面积是1cm 2,它的周长是4cm 2,则扇形圆心角的弧度数为 . 2.若扇形周长为一定值c (c >0),当α= ,该扇形面积最大. 1.2任意角的三角函数 题型一:三角函数定义

1.α是第二象限角,P (x ,5)为其终边上一点,且cos α= 4 2x ,则sin α的值为 . 2.已知角α的终边在直线3x+y=0上,则sin α= ,tan α= 题型二:三角函数值的符号与角所在象限的关系 1.4tan 3cos 2sin 的值。A 小于0 B 大于0 C 等于0 D 无法确定 ( ) 2.已知|cos θ|=cos θ,|tan θ|=-tan θ,则θ 2 的终边在 ( ) A .第二、四象限 B .第一、三象限 C .第一、三象限或x 轴上 D .第二、四象限或x 轴上 题型三:三角函数线 1.设MP 和OM 分别是角 18 19π 的正弦线和余弦线,则MP 、OM 和0的大小关系为______ 2.1sin 、1cos 、1tan 的大小关系为_______________ 题型四:同角公式 1.化简1-2sin200°cos160°=________. 2.222tan1tan 2tan 88tan 89sin 1sin 2sin 89 οοοοοοο ???????++???+的值为________. 3.已知ααcos sin 2 1 =,求下列各式的值: (1) α αααcos 9sin 4cos 3sin 2--; (2) 4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2 α. 4.tan110°=k ,则sin70°的值为 ( ) A .-k 1+k 2 B.k 1+k 2 C.1+k 2k D .-1+k 2 k

高三导数压轴题题型归纳

导数压轴题题型 1. 高考命题回顾 例1已知函数f(x)=e x -ln(x +m).(2013全国新课标Ⅱ卷) (1)设x =0是f(x)的极值点,求m ,并讨论f(x)的单调性; (2)当m≤2时,证明f(x)>0. (1)解 f (x )=e x -ln(x +m )?f ′(x )=e x -1x +m ?f ′(0)=e 0-1 0+m =0?m =1, 定义域为{x |x >-1},f ′(x )=e x -1 x +m = e x x +1-1 x +1 , 显然f (x )在(-1,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增. (2)证明 g (x )=e x -ln(x +2),则g ′(x )=e x -1 x +2 (x >-2). h (x )=g ′(x )=e x -1x +2(x >-2)?h ′(x )=e x +1 x +22>0, 所以h (x )是增函数,h (x )=0至多只有一个实数根, 又g ′(-12)=1e -13 2 <0,g ′(0)=1-1 2>0, 所以h (x )=g ′(x )=0的唯一实根在区间??? ?-1 2,0内, 设g ′(x )=0的根为t ,则有g ′(t )=e t -1 t +2=0????-12g ′(t )=0,g (x )单调递增; 所以g (x )min =g (t )=e t -ln(t +2)=1 t +2+t = 1+t 2 t +2>0, 当m ≤2时,有ln(x +m )≤ln(x +2), 所以f (x )=e x -ln(x +m )≥e x -ln(x +2)=g (x )≥g (x )min >0. 例2已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-(2012全国新课标) (1)求)(x f 的解析式及单调区间; (2)若b ax x x f ++≥ 2 2 1)(,求b a )1(+的最大值。 (1)121 1()(1)(0)()(1)(0)2 x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+ 令1x =得:(0)1f =

2020年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练

a - a (- ),( , +∞) 单调递增, 在 (- ( 2020 年高考文科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 含参数的分类讨论 例1 已知函数 f ( x ) = ax 3 - 12 x ,导函数为 f '( x) , (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若 f '(1)= -6, 求函数f ( x ) 在[—1,3]上的最大值和最小值。 【答案】略 【解析】(I ) f '( x ) = 3ax 2 - 12 = 3(ax 2 - 4) ,(下面要解不等式 3(ax 2 - 4) > 0 ,到了分类讨论的时机,分 类标准是零) 当 a ≤ 0时, f '( x ) < 0, f ( x )在(-∞, +∞) 单调递减; 当 a > 0时,当x 变化时, f '( x ), f ( x ) 的变化如下表: x (-∞, - 2 ) 2 2 2 , ) a a 2 a ( 2 a , +∞) f '( x ) + 0 — + f ( x ) 极大值 极小值 此时, f ( x )在(-∞, - 2 2 6 a 2 2 , ) 单调递减; a a (II )由 f '(1) = 3a -12 = -6, 得a = 2. 由(I )知, f ( x )在(-1, 2) 单调递减 ,在( 2 ,3)单调递增。 【易错点】搞不清分类讨论的时机,分类讨论不彻底 【思维点拨】分类讨论的难度是两个, 1)分类讨论的时机,也就是何时分类讨论,先按自然的思路推理, 由于参数的存在,到了不能一概而论的时候,自然地进入分类讨论阶段;(2)分类讨论的标准,要做到不 重复一遗漏。还要注意一点的是,最后注意将结果进行合理的整合。 题型二 已知单调性求参数取值范围问题 例 1 已知函数 f ( x) = 1 3 x 3 + x 2 + ax - 5 , 若函数在[1,+∞) 上是单调增函数,求 a 的取值范围

高中数学三角函数基础知识点及答案

高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。 2、象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示: (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z , 注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同,且绝对值最小的角的度数是___,合___弧度。 弧度:一周的弧度数为2πr/r=2π,360°角=2π弧度,因此,1弧度约为57.3°,即57°17'44.806'', 1°为π/180弧度,近似值为0.01745弧度,周角为2π弧度,平角(即180°角)为π弧度, 直角为π/2弧度。(答:25-;5 36 π- ) (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为:,k k Z απ=∈; α终边在y 轴上的角可表示为:,2k k Z παπ=+∈;α终边在坐标轴上的角可表示为:,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称,则α=____________。 (答:Z k k ∈+ ,3 2π π) 4、α与2α的终边关系:由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第 二象限角,则2 α 是第_____象限角 (答:一、三) 5.弧长公式:||l R α=,扇形面积公式:211||22 S lR R α==,1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。 (答:22cm ) 6、任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是220r x y =+>,那么 s i n ,c o s y x r r αα==,()tan ,0y x x α=≠,cot x y α=(0)y ≠,sec r x α=()0x ≠, ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。

高中数学必修一常见题型归类

常见题型归类 第一章集合与函数概念 1.1集合 题型1集合与元素 题型2 集合的表示 题型3 空集与0 题型4 子集、真子集 题型5 集合运算 题型5.1 已知集合,求集合运算 题型5.2 已知集合运算,求集合 题型5.3已知集合运算,求参数 题型6 “二维”集合运算 题型6自定义的集合 1.2函数及其表示 题型1 映射概念 题型2 函数概念 题型3 同一函数 题型4 函数的表示 题型5 已知函数解析式求值 题型6 求解析式 题型7定义域 题型7.1 求函数的定义域 题型7.2 已知函数的定义域问题 题型8 值域 题型8.1 图像法求函数的值域 题型8.2 转化为二次函数,求函数的值域 题型8.3转化为反比例函数,求函数的值域 题型8.4 利用有界性,求函数的值域 题型8.5单调性法求函数的值域 题型8.6 判别式法求函数的值域

题型8.7 几何法求函数值域 题型9 已知函数值域,求系数 1.3函数的基本性质单调性 题型1 判断函数的单调区间 题型2已知函数的单调区间,求参数 题型3 已知函数的单调性,比较大小 题型4 已知函数的单调性,求范围 1.4函数的基本性质奇偶性 题型1 判断函数的奇偶性 题型2 已知函数的奇偶性,求解析式 题型3 已知函数的奇偶性,求参数 题型4 已知函数的奇偶性,求值或解集等 1.5函数的图像 题型1 函数图像 题型2 去绝对值作函数图像 题型3 利用图像变换作函数图像 题型4 已知函数解析式判断图像 题型5 研究函数性质作函数图像 题型6 函数图像的对称性 第二章基本初等函数 2.1指数函数 题型1 指数运算7 题型2指数函数概念 题型3指数函数型的定义域、值域 题型4 指数函数型恒过定点 题型5 单调性 题型6 奇偶性 题型7图像 题型8方程、不等式 2.2对数函数

高考导数压轴题型归类总结

导数压轴题型归类总结 目 录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 (1) 二、交点与根的分布 (23) 三、不等式证明 (31) (一)作差证明不等式 (二)变形构造函数证明不等式 (三)替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母范围 (51) (一)恒成立之最值的直接应用 (二)恒成立之分离常数 (三)恒成立之讨论字母范围 五、函数与导数性质的综合运用 (70) 六、导数应用题 (84) 七、导数结合三角函数 (85) 书中常用结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈,变形即为sin 1x x <,其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>.

一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. (切线)设函数a x x f -=2)(. (1)当1=a 时,求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值; (2)当0>a 时,曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ,l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证:a x x >>21. 解:(1)1=a 时,x x x g -=3)(,由013)(2=-='x x g ,解得3 3 ±=x . 所以当33= x 时,)(x g 有最小值9 32)33(-=g . (2)证明:曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ,得12 122x a x x +=,∴12 1 112 11222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1,∴ 021 21 <-x x a ,即12x x <. 又∵1122x a x ≠,∴a x a x x a x x a x x =?>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. (2009天津理20,极值比较讨论) 已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时,求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率; ⑵当2 3 a ≠ 时,求函数()f x 的单调区间与极值. 解:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===,故,时,当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[] .42)2()('22x e a a x a x x f +-++= .223 2 .220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知,由,或,解得令

2020高考导数压轴题型归类总结

导数压轴题型归类总结 目 录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 (1) 二、交点与根的分布 (23) 三、不等式证明 (31) (一)作差证明不等式 (二)变形构造函数证明不等式 (三)替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母范围 (51) (一)恒成立之最值的直接应用 (二)恒成立之分离常数 (三)恒成立之讨论字母范围 五、函数与导数性质的综合运用 (70) 六、导数应用题 (84) 七、导数结合三角函数 (85) 书中常用结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈,变形即为sin 1x x <,其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>. 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. (切线)设函数a x x f -=2)(. (1)当1=a 时,求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值; (2)当0>a 时,曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ,l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证:a x x >>21. 解:(1)1=a 时,x x x g -=3)(,由013)(2=-='x x g ,解得3 3 ±=x .

所以当33= x 时,)(x g 有最小值9 32)33(-=g . (2)证明:曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ,得12 122x a x x +=,∴12 1 112 11222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1,∴ 021 21 <-x x a ,即12x x <. 又∵1122x a x ≠,∴a x a x x a x x a x x =?>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. (2009天津理20,极值比较讨论) 已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时,求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率; ⑵当2 3 a ≠ 时,求函数()f x 的单调区间与极值. 解:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===,故,时,当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[] .42)2()('22x e a a x a x x f +-++= .223 2 .220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知,由,或,解得令 以下分两种情况讨论: ①a 若> 3 2 ,则a 2-<2-a .当x 变化时,)()('x f x f ,的变化情况如下表: )(所以x f .3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=,且处取得极大值在函数 .)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ,且处取得极小值在函数 ②a 若<3 2 ,则a 2->2-a ,当x 变化时,)()('x f x f ,的变化情况如下表:

人教版高中数学基础知识归类

高中数学基础知识归类——献给2012年高三(理科)考生 一.集合与简易逻辑 1.注意区分集合中元素的形式.如:{|lg }x y x =—函数的定义域;{|lg }y y x =—函数的值域; {(,)|lg }x y y x =—函数图象上的点集. 2.集合的性质: ①任何一个集合A 是它本身的子集,记为A A ?. ②空集是任何集合的子集,记为A ??. ③空集是任何非空集合的真子集;注意:条件为A B ?,在讨论的时候不要遗忘了A =?的情况 如:}012|{2=--=x ax x A ,如果A R + =?,求a 的取值.(答:0a ≤) ④()U U U C A B C A C B =,()U U U C A B C A C B =;A B C A B C =()(); A B C A B C =()(). ⑤A B A A B B =?=U U A B C B C A ????U A C B ?=?U C A B R ?=. ⑥A B 元素的个数:()()card A B cardA cardB card A B =+-. ⑦含n 个元素的集合的子集个数为2n ;真子集(非空子集)个数为 21n -;非空真子集个数为22n -. 3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 如:已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ,使 0)(>c f ,求实数p 的取值范围.(答:32 (3,)-) 4.原命题: p q ?;逆命题: q p ?;否命题: p q ???;逆否命题: q p ???;互为逆否的两 个命题是等价的.如:“βαsin sin ≠”是“βα≠”的 条件.(答:充分非必要条件) 5.若p q ?且q p ≠>,则p 是q 的充分非必要条件(或q 是p 的必要非充分条件). 6.注意命题p q ?的否定与它的否命题的区别: 命题p q ?的否定是p q ??;否命题是p q ???. 命题“p 或q ”的否定是“p ?且q ?”;“p 且q ”的否定是“p ?或q ?”. 如:“若a 和b 都是偶数,则b a +是偶数”的否命题是“若a 和b 不都是偶数,则b a +是奇数” 否定是“若a 和b 都是偶数,则b a +是奇数”. 二.函数 1.①映射f :A B →是:⑴ “一对一或多对一”的对应;⑵集合A 中的元素必有象且A 中不 同元素在B 中可以有相同的象;集合B 中的元素不一定有原象(即象集B ?). ②一一映射f :A B →: ⑴“一对一”的对应;⑵A 中不同元素的象必不同,B 中元素都有原象. 2.函数f : A B →是特殊的映射.特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集!据此可知函数图像与x 轴

高考数学导数题型归纳(_好)

导数题型归纳 请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。 最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上,()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数, 4323()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=-- 2 ()3g x x mx ∴=-- (1) ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”, 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330g m g m <-? ?<--

高考数学导数题型归纳(文科)-

文科导数题型归纳 高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。 最后,在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); (请同学们参看2010省统测2) 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上,()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常 数,432 3()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- (1) ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数” , 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330 g m g m <-? ?<--

导数高考常见题型

导数的应用常见题型 一、常用不等式与常见函数图像 1、1+≥x e x x x ≤+)1ln( 1-ln 1-1x x x ≤≤ 2、常见函数图像 二、选择题中的函数图像问题 (一)新型定义问题 对与实数,a b ,定义运算“*”:a *b=22,,a ab a b b ab a b ì-??í?->?,设()(21)*(1)f x x x =--且关于x 的方程()()f x m m R =?恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ,则123x x x 的取值范围为 (二)利用导数确定函数图像 ①已知函数32()31f x ax x =-+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且00x >,则a 的取值范围为( ) A 、(2,)+? B 、(,2)-? C 、(1,)+? D 、(,1)-? ②设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1,若存在唯一的整数0x ,使得0()f x 0,则a 的取值范围是( ) (A)[-32e ,1) (B)[-32e ,34) (C)[32e ,34) (D)[32e ,1) 三、导数与单调性

实质:导数的正负决定了原函数的单调性 处理思路:①求导,解不等式[0)('0)('<>x f x f 或] ②求解0)('=x f ,分段列表 ③根据)('x f y =的图像确定 (一)分段列表 ①已知函数()f x =2x x e e x --- (Ⅰ)讨论()f x 的单调性; (Ⅱ)设()()()24g x f x bf x =-,当0x >时,()0g x >,求b 的最大值; ②已知函数x x xe e x x f -+-=2)2()(,讨论函数的单调性 ③设函数mx x e x f mx -+=2)( (Ⅰ)证明:)(x f 在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞+)单调递增; (Ⅱ)若对于任意]1,0[,21∈x x ,都有1)()(21-≤-e x f x f ,求m 的取值范围 (二)根据导函数图像确定 ①已知函数x x a ax x f ln )1(2 1)(2+-+-=,试讨论函数的单调性 ②已知函数a a ax x x a x x f +--++-=2222ln )(2)(,其中0>a .设)(x g 是)(x f 的导函数,讨论)(x g 的单调性

高中数学解析几何常考题型整理归纳

高中数学解析几何常考题型整理归纳 题型一 :圆锥曲线的标准方程与几何性质 圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型,圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点,求离心率、准线、 双曲线的渐近线是常考题型 . 22 【例 1】(1)已知双曲线 a x 2- y b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点为 F (2, 0),且双曲线的渐近线与圆 (x - 2)2 +y 2=3 相切,则双曲线的方程为 ( 22 A.x2-y2=1 A. 9 -13= 2 C.x 3-y 2=1 22 (2)若点 M (2,1),点 C 是椭圆 1x 6+y 7 22 (3)已知椭圆 x 2+y 2=1(a >b >0)与抛物线 y 2=2px (p >0)有相同的焦点 F ,P ,Q 是椭圆与抛物线的交点, ab 22 若直线 PQ 经过焦点 F ,则椭圆 a x 2+ y b 2=1(a >b >0)的离心率为 ___ . 答案 (1)D (2)8- 26 (3) 2- 1 22 解析 (1)双曲线 x a 2-y b 2=1 的一个焦点为 F (2,0), 则 a 2+ b 2= 4,① 双曲线的渐近线方程为 y =±b a x , a 由题意得 22b 2= 3,② a 2+b 2 联立①② 解得 b = 3,a =1, 2 所求双曲线的方程为 x 2-y 3 =1,选 D. (2)设点 B 为椭圆的左焦点,点 M (2,1)在椭圆内,那么 |BM|+|AM|+|AC|≥|AB|+|AC|=2a ,所以 |AM| +|AC|≥2a -|BM|,而 a =4,|BM|= (2+3)2+1= 26,所以 (|AM|+ |AC|)最小=8- 26. ) 22 B.x - y =1 B.13- 9 =1 2 D.x 2 -y 3=1 1 的右焦点,点 A 是椭圆的动点,则 |AM|+ |AC|的最小值为

高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版0001

导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题, 内容主要包 括函数零点个数的确定、 根据函数零点个数求参数范围、 隐零点问题及零点存在 性赋值理论 .其形式逐渐多样化、综合化 . 、零点存在定理 例1【. 2019全国Ⅰ理 20】函数 f(x) sinx ln(1 x),f (x)为f (x)的导数.证明: 1) f (x)在区间 ( 1, 2 )存在唯一极大值点; 2) f (x) 有且仅有 2 个零点. 可得 g'(x)在 1, 有唯一零点 ,设为 2 则当x 1, 时,g x 0;当 x ,2 时,g'(x) 0. 所以 g(x) 在 1, 单调递增,在 , 单调递减 ,故g(x) 在 2 值点 ,即 f x 在 1, 存在唯一极大值点 . 2 (2) f x 的定义域为 ( 1, ). (i )由( 1)知, f x 在 1,0 单调递增 ,而 f 0 0,所以当 x ( 1,0)时, f'(x) 0,故 f x 在 ( 1,0)单调递减 ,又 f (0)=0 ,从而 x 0是 f x 在( 1,0] 的唯 一零点 . 【解析】( 1)设 g x f x ,则 g x 当x 1, 时, g'(x)单调递减,而 g 2 1 1 sinx 2 1 x 2 cosx ,g x 1x 0 0,g 0, 2 1, 存在唯一极大 2

, 时, f '(x) 0.故 f (x) 在(0, )单调递增,在 , 单调递 22 3 变式训练 1】【2020·天津南开中学月考】已知函数 f (x) axsin x 2(a R), 且 在, 0, 2 上的最大值为 (1)求函数 f(x)的解析式; (2)判断函数 f(x)在( 0,π)内的零点个数,并加以证明 【解析】 (1)由已知得 f(x) a(sin x xcosx) 对于任意的 x ∈(0, ), 3 有 sinx xcosx 0,当 a=0 时,f(x)=- ,不合题意; 2 当 a<0时,x ∈(0,2 ),f ′(x)从<0而, f(x)在(0, 2 )单调递减, 3 又函数 f(x) ax sin x 2 (a ∈ R 在) [0, 2 ]上图象是连续不断的, 故函数在 [0, 2] 上的最大值为 f(0) ,不合题意; 当 a>0时,x ∈(0, 2),f ′(x)从>0而, f(x)在(0, 2 )单调递增, 3 又函数 f(x) ax sin x (a ∈R 在) [0, ]上图象是连续不断的, 33 故函数在[0, 2 ]上上的最大值为 f( 2)=2a- 23= 23,解得 a=1, 3 综上所述 ,得 f(x) xsinx 3(a R),; (2)函数 f(x) 在(0, π内)有且仅有两个零点。证明如下: 从而 f x 在 0, 没有零点 . 2 ( iii ) 当 x , 时 , f x 0 , 所 以 f x 在 单调递减.而 2 2 f 0, f 0 ,所以 f x 在, 有唯一零点 . 2 2 ( iv )当 x ( , ) 时,ln x 1 1,所以 f (x) <0,从而 f x 在( , ) 没有零点 . 减.又 f (0)=0 , f 1 ln 1 22 0 ,所以当x 0,2 时,f(x) 0. 综上, f x 有且仅有 2个零点. ii )当 x 0,2 时,由(1)知,f'(x)在(0, )单调递增 ,在 单调递减 ,而 f ' (0)=0 2 0 ,所以存在 ,2 ,使得 f'( ) 0,且当x (0, ) 时, f'(x) 0 ;当 x

高中数学数列复习题型归纳解题方法整理

数列 一、等差数列与等比数列 1.基本量的思想: 常设首项、(公差)比为基本量,借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。 2.等差数列与等比数列的联系 1)若数列{}n a 是等差数列,则数列}{n a a 是等比数列,公比为d a ,其中a 是常数,d 是{}n a 的公差。 (a>0且a ≠1); 2)若数列{}n a 是等比数列,且0n a >,则数列{}log a n a 是等差数列,公差为log a q ,其中a 是常数且 0,1a a >≠,q 是{}n a 的公比。 3)若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。 3.等差与等比数列的比较

4、典型例题分析 【题型1】等差数列与等比数列的联系 例1 (2010陕西文16)已知{}是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.(Ⅰ)求数列{}的通项;(Ⅱ)求数列{2}的前n项和. 解:(Ⅰ)由题设知公差d≠0, 由a1=1,a1,a3,a9成等比数列得12 1 d + = 18 12 d d + + , 解得d=1,d=0(舍去),故{}的通项=1+(n-1)×1=n. (Ⅱ)由(Ⅰ)知2m a=2n,由等比数列前n项和公式得 2+22+23+…+22(12) 12 n - - 21-2. 小结与拓展:数列{}n a是等差数列,则数列} {n a a是等比数列,公比为d a,其中a是常数,d是{}n a的公差。(a>0且a≠1). 【题型2】与“前n项和与通项”、常用求通项公式的结合 例2 已知数列{}的前三项与数列{}的前三项对应相同,且a1+2a2+22a3+…+2n-1=8n对任意的n∈N*都成立,数列{+1-}是等差数列.求数列{}与{}的通项公式。 解:a1+2a2+22a3+…+2n-1=8n(n∈N*) ① 当n≥2时,a1+2a2+22a3+…+2n-2-1=8(n-1)(n∈N*) ② ①-②得2n-1=8,求得=24-n, 在①中令n=1,可得a1=8=24-1, ∴=24-n(n∈N*).由题意知b1=8,b2=4,b3=2,∴b2-b1=-4,b3-b2=-2, ∴数列{+1-}的公差为-2-(-4)=2,∴+1-=-4+(n-1)×2=2n-6,

(完整版)导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题(含答案)

导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题 极值点偏移问题常见的处理方法有⑴构造一元差函数()()()x x f x f F --=02x 或者 ()()()x x f x x f x F --+=00。其中0x 为函数()x f y =的极值点。⑵利用对数平均不等式。 2 ln ln ab b a b a b a +< --< 。⑶变换主元等方法。 任务一、完成下面问题,总结极值点偏移问题的解决方法。 1.设函数2 2 ()ln ()f x a x x ax a R =-+-∈ (1)试讨论函数()f x 的单调性; (2)()f x m =有两解12,x x (12x x <),求证:122x x a +>. 解析:(1)由2 2 ()ln f x a x x ax =-+-可知 2222(2)()()2a x ax a x a x a f x x a x x x --+-'=-+-== 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞,所以 ① 若0a >时,当(0,)x a ∈时,()0f x '<,函数()f x 单调递减, 当(,)x a ∈+∞时,()0f x '>,函数()f x 单调递增; ② 若0a =时,当()20f x x '=>在(0,)x ∈+∞内恒成立,函数()f x 单调递增; ③ 若0a <时,当(0,)2 a x ∈-时,()0f x '<,函数()f x 单调递减, 当(,)2 a x ∈- +∞时,()0f x '>,函数()f x 单调递增; (2)要证122x x a +>,只需证12 2 x x a +>, (x)g =22 2(x)2,g (x)20(x)(x)a a f x a g f x x '''=-+-=+>∴=则为增函数。 只需证:12 x x ( )()02 f f a +''>=,即证()2121221212221+0+0a x x a x x a x x x x a -+->?-+->++(*) 又2222 111222ln ,ln ,a x x ax m a x x ax m -+-=-+-=两式相减整理得:

(完整word版)高考导数题型归纳

高考压轴题:导数题型及解题方法 (自己总结供参考) 一.切线问题 题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。 方法:)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。 方法:设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ,由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ,进而解决相关问题。 注意:曲线在某点处的切线若有则只有一,曲线过某点的切线往往不止一条。 例 已知函数f (x )=x 3﹣3x . (1)求曲线y=f (x )在点x=2处的切线方程;(答案:0169=--y x ) (2)若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线,求实数m 的取值范围、 (提示:设曲线)(x f y =上的切点()(,00x f x );建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。(答案:m 的范围是()2,3--) 练习 1. 已知曲线x x y 33 -= (1)求过点(1,-3)与曲线x x y 33-=相切的直线方程。答案:(03=+y x 或027415=--y x ) (2)证明:过点(-2,5)与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。 2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切,求a 的值. (答案:1) 题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。 方法:设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为()(,11x f x )。()(,22x f x );

高考导数压轴题型归类总结

高考导数压轴题型归类总结 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 已知函数1()ln 1()a f x x ax a R x -=-+-∈ ⑴当1a =-时,求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程; ⑵当1 2 a ≤时,讨论()f x 的单调性. 1. 已知函数221()2,()3ln .2 f x x ax g x a x b =+=+ ⑴设两曲线()()y f x y g x ==与有公共点,且在公共点处的切线相同,若0a >,试建立b 关于a 的函数关系式,并求b 的最大值; ⑵若[0,2],()()()(2)b h x f x g x a b x ∈=+--在(0,4)上为单调函数,求a 的取值范围。 2. (最值直接应用)已知函数)1ln(2 1)(2x ax x x f +--=,其中a ∈R . (Ⅰ)若2x =是)(x f 的极值点,求a 的值; (Ⅱ)求)(x f 的单调区间; (Ⅲ)若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0,求a 的取值范围. 设函数221 ()(2)ln (0)ax f x a x a x +=-+ <. (1)讨论函数()f x 在定义域内的单调性; (2)当(3,2)a ∈--时,任意12,[1,3]x x ∈, 12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立,求实数m 的取值范围. 3. (最值应用,转换变量) 4. (最值应用) 已知二次函数()g x 对x R ?∈都满足2(1)(1)21g x g x x x -+-=--且(1)1g =-,设 函数19 ()()ln 28 f x g x m x =+++(m R ∈,0x >). (Ⅰ)求()g x 的表达式; (Ⅱ)若x R +?∈,使()0f x ≤成立,求实数m 的取值范围;

高中数学导数题型总结

导数 经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 。 考点二:导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是1 22 y x = +,则(1)(1)f f '+= 。 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-,处的切线方程是 。 考点三:导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C :x x x y 232 3 +-=,直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ,求直线l 的方程及切点坐标。 考点四:函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值围。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 (1)求a 、b 的值; (2)若对于任意的[03]x ∈, ,都有2 ()f x c <成立,求c 的取值围。 点评:本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤:①求导数()x f '; ②求()0'=x f 的根;③将()0'=x f 的根在数轴上标出,得出单调区间,由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。

例7. 已知a 为实数,()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f ';(2)若()01'=-f ,求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 解析:(1)()a x ax x x f 442 3 +--=,∴ ()423'2 --=ax x x f 。 (2)()04231'=-+=-a f ,2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ,即()()0143=+-x x ,解得1-=x 或3 4 =x , 则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ,275034-=??? ??f 。所以,()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ,最 小值为()2 9 1= -f 。 答案:(1)()423'2 --=ax x x f ;(2)最大值为275034- =?? ? ??f ,最小值为()2 91=-f 。 点评:本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值,要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值,然后与()a f 和()b f 进行比较,从而得出函数的最大最小值。 考点七:导数的综合性问题。 例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直,导函数'()f x 的最小值为12-。(1)求a ,b ,c 的值; (2)求函数()f x 的单调递增区间,并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。

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