2012高考数学必考题型解答策略：函数与导数
2012高考数学必考题型解答策略：函数与导数
D
而且对于数列,不等式,解析几何等也需要用函数与方程思想作指导。7.多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题。8.求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合，预计2012年基本上还是这个考查趋势，具体为：(1)以选择题或者填空题的形式考查集合的基本关系和基本运算，考查中涉及函数的定义域、不等式的解、方程的解等问题，要特别注意一些新定义试题． (2)以选择题或者填空题的方式考查逻辑用语的知识，其中重点是充要条件的判断和含有一个量词的命题的否定． (3)以选择题或者填空题的方式考查基本初等函数及其应用，重点是函数定义域、值域，函数的单调性和奇偶性的应用，指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质的应用，函数的零点判断，简单的函数建模，导数的几何意义的应用，定积分的计算及其简单应用．(4)以解答题的方式考查导数在函数问题中的综合应用，重点是使用导数的方法研究函数的单调性和极值以及能够转化为研究函数的单调性、极值、最值问题的不等式和方程等问题，考查函数建模和利用导数解模．
备考建议
基本初等函数和函数的应用：在掌握好基本知识的前提下重点解决函数性质在解决问题中的综合应用、函数性质在判断函数零点中的应用，指数函数、对数函数的图象和性质的应用，数形结合思想的应用．
导数及其应用：要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与极值的关系，由于函数的极值和最值的解决是以函数的单调性为前提的，因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用，特别是含有字母参数的函数的单调性(这是高考考查分类与整合思想的一个主要命题点)，在解决好上述问题后，要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究性训练，这是高考命制压轴题的一个重要考查点．
解答策略
1．讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响.
2．运用函数的性质解题时，注意数形结合，
扬长避短.
3．对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数进行分类讨论，全面考虑.如对二次项含参数的二次函数问题，应分a＝0和a≠0两种情况讨论，指、对数函数的底数含有字母参数a时，需按a＞1和0＜a＜1分两种情况讨论.
4．解答函数性质有关的综合问题时，注意等价转化思想的运用.
5．在理解极值概念时要注意以下几点：①极值点是区间内部的点，不会是端点；②若()
f x在（a，b）内有极值，那么()f x在（a，b）绝不是单调函数；③极大值与极小值没有必然的大小关系；④
一般的情况，当函数()
f x在［a，b］上连续且有有
限个极值点时，函数()
f x在［a，b］内的极大值点和极小值点是交替出现的；⑤导数为0的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件（对于可导函数而言）.而充分条件是导数值在极值点两侧异号.
6．求函数的最值可分为以下几步：①求出可
疑点，即/()
f x＝0的解x0；②用极值的方法确定极值；③将（a，b）内的极值与()f a，()f b比较，其中
最大的为最大值，最小的为最小值；当()
f x在（a，
b ）内只有一个可疑点时，若在这一点处()f x 有极
大（小）值，则可以确定()f x 在该点处了取到最大（小）值.
7．利用求导方法讨论函数的单调性，要注意以下几方面：①'
()f x ＞0是()f x 递增的充分条件而非必要条件（'
()f x ＜0亦是如此）；②求单调区间时，
首先要确定定义域；然后再根据'
()f x ＞0（或'
()f x ＜
0）解出在定义域内相应的x 的范围；③在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明.
8．函数、导数的综合问题往往以压轴题的形式出现，解决这类问题要注意：(1)综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题；(2)及时地进行思维的转换，将问题等价转化； (3)不等式证明的方法多，应注意恰当运用，特别要注意放缩法的灵活运用；(4)要利用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题.
典型例题
考点一. 函数的解析式、定义域、值域求法 例．函数2
34
y x x =
--+的定义域为
A ．(4,1)--
B ．(4,1)-
C ．(1,1)-
D ．(1,1]-
解：由2
1011141340
x x x x x x +>>-????-<
-<<--+>?
?
.故选C 【名师点睛】：函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.
例．用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值，设()f x =min{2x
, x+2,10-x} (x ≥ 0),则()f x 的最大
值为
（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 【解析】：利用数形结合，画出函数的大致图象，如图所示，
很容易的得到函数的最大值是当4x =时，()f x 的最大值为6
【名师点睛】：解决本题的最好方法是数形结合， 本题考查学生对函数知识的灵活运用和对新定义问题的快速处理 考点二. 函数的零点 例．函数
2x +2x-3,x 0
x)=-2+ln x,x>0
f ?≤?
?（的零点个数为 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解:当0x ≤时，令2
230
x x +-=解得3x =-；
当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C 。
【名师点睛】：求函数)(x f y =的零点：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 例．设a 为常数，试讨论方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-的实根的个数。 解：原方程等价于??????
?-=-->->->-x
a x x x a x x )3)(1(00301即
??
?<<-+-=3
13
52x x x a 构造
函数)
31(352
<<-+-=x x x
y 和a y =，作出它们的图像，易
知平行于x 轴的直线与抛物线的交点情况可得：①当31≤a 时，原方程无解。 【名师点睛】：：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算0
x 的邻近
两个函数值，通过比较其大小进行判断。 例．已知a 是实数，函数2
()223f x ax
x a
=+--，如果函数()
y f x =在区间[-1，1]上有零点，求实数a 的取值范围。
解：当a=0时，函数为()f x =2x -3，其零点x=23不在区间[-1，1]上。当a ≠0时，函数()f x 在区间[-1，1]分为两种情况：①函数在区间[─1，1]上只有
一个零点，此时48(3)0(1)(1)(5)(1)0
a a f f a a ?=---=??
-=--≤?
或
??
?
?
?≤-≤-=---=?12110)3(84a a a 解得1≤a ≤5或a=2
7
3-- ②函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时
()()20824401
1121010a a a a f f >?
??=++>??-<-
?
≥?
?
-≥?
或
()()20824401
1121010a a a a f f
??=++>??-<-
?
≤?
?
-≤?
解得a ≥5或a<2
7
3--综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数a 的取值范围为(-∞
,
32
--]∪[1, +∞)
【名师点睛】：函数零点（即方程的根）的应用问题，即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，解决该类问题关键是用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.对于二次函数f(x)=ax 2+bx+c=0(a ≠0)在实数集R 上恒成立问题可利用判别式直接求解，
即f(x)>0恒成立?
??
?0
0a ；f(x)<0恒成立??
?
?
a .若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解. 考点三.函数的单调性、奇偶性和周期性 例．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234
,,,x x x x ,则
1
2
3
4
_________.x x x x +++=
解：因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-,所以(4)()f x f x -=-,所以, 由)(x f 为奇函数, 所以函数图象关于直线
2
x =对称且
(0)0
f =,由
(4)()
f x f x -=-知(8)()f x f x -=,
所以函数是以8为周期的周期函数,
又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数,所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示, 那么方程)(x f =m(m>0)在区间[]8,8- 上有四个不同的根1
2
3
4
,,,x x x x ,不妨设1
2
34
x x
x x <<<由对
称性知1
2
12
x x
+=-
344
x x +=所以1
2
341248
x x x x +++=-+=-答案:-8
【名师点睛】：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,
运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题 例已知函数
22
4,0()4,0
x x x f x x x x ?+≥=?-
(2)(),f a f a ->则实数a
的取值范围是
A (,1)(2,)-∞-?+∞
B (1,2)-
C (2,1)- D
(,2)(1,)-∞-?+∞ 解：由已知，函数在整个定义遇上单调递增的故
)
()2(2a f a f >- ，等价于0
22
<-+a a
，
解得12<<-a 答案C 【名师点睛】：在处理函数单调性时，可以充分利用基本函数的性质直接处理，显得更加简单、方便
例．已知以4T =
为周期的函数(1,1]()12,(1,3]
x f x x x ?∈-?=?
--∈??，其
中0m >。若方程3()f x x =
恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ）
A
．8
)3
B
．3 C ．48(,)33
D
．4(3
解：
(]
21,1,1y m x x =-∈-的图象为椭圆上半部分，
(]
12,1,3y x x =--∈的图象为两条线段
根据()f x 的周期T=4可知其图象，由方程3()f x x =恰有5个实数解，则231(4)m
x x
--=有两解 即 2222(91)721350
m x m x m +-+=有两解
，
所
以2222(72)4(91)1350
m m m ?=--?+?>解得153
m >； 231(8)m
x x
--=无
解即2
222(91)1446390
m
x m x m +-+?=无解，所以
2222(144)4(91)6390
m m m ?=--?+??<解得7m <15
73
m <<
【名师点睛】：函数的图象从直观上很好地反映出了函数的性质，所以在研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用，但要注意，利用图象求交点个数或解的个数问题时，作图要十分准确，否则容易出错. 考点四.函数的图象
例．单位圆中弧AB 长为x ，()f x 表示弧AB 与弦AB 所围成弓形面积的2倍。 则函数()f x 的图像是（ ）
解：法一：定量分析。可列出()sin f x x x =-，知0x π<<时，()f x x <，()f x 图像在y x =下方；2x ππ<<时，()f x x >，
()
f x 图像在y x =上方。选D
法二：定性分析。当x 从0增至2π时，()f x 变化经历了从慢到快，从快到慢的过程，选D
法三：观察()f x 满足：()()2()f t f t f πππ++-=，故()f x 图像以(),ππ为对称中心。选D 【名师点睛】：函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想. 考点五.函数综合问题
例．设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--. (1)若
(0)1
f ≥，求a 的取值范围； (2)求()f x 的最小值；(3)
设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.
C
解：（1）若(0)1f ≥，则20
||11
1
a a a a a
（2）当x a ≥时，2
2
()32,f x x ax a =-+2
2
min
(),02,0()
2(),0,033
f a a a a f x a a f a a ?≥≥???==??<
当x a ≤时，2
2
()2,f x x ax a =+-2
min
2
(),02,0()(),02,0
f a a a a f x f a a a a ?-≥-≥??==??<
综上22
min
2,0
()
2,03
a a f x a a ?-≥?=?
（3）(,)x a ∈+∞时，()1h x ≥得2
2
3210x ax a -+-≥，2
2
2
412(1)128a a a ?=--=-
当a a ≤≥时，0,(,)x a ?≤∈+∞；
当a <<△>0,
得：
(0x x x a ??≥??>?
讨论得：当,)22
a ∈时，
解集为(,)a +∞;
当(a ∈
时，解集为()a ?+∞;
当
[22
a ∈-
时，解集为
[)
3
a ++∞.
【名师点睛】：函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样.
例．设二次函数()()2
0f x ax bx c a =++>，方程的两个根满
足. 当()1
0,x x ∈时，证明.
证明：
由题
意可知
))(()(21x x x x a x x f --=-.
a
x x x 1021<
<<< ，
∴
))((21>--x x x x a ，∴ 当()1
0,x x ∈时，x x f >)(.
又)
1)(())(()(211211
+--=-+--=-ax ax x x x x x x x x a x
x f ，
,
011,0221>->+-<-ax ax ax x x 且∴
1
)(x x f <，综上可知，所
给问题获证.
【名师点睛】：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数()x x f -的表达式，从而得到函数)(x f 的表达式.
例．已知函数1()(),3
x
f x =x ∈［-1，1］，函数g(x)=［f （x ）］2-2af(x)+3的最小值为h(a). （1）求h(a);
(2)是否存在实数m ，n,同时满足以下条件： ①m>n>3;②当h(a)的定义域为［n,m ］时，值域为
22[,]
n m ？若存在，求出m ，n 的值，否则，说明理由.
解：（1）因为-1≤x ≤1, 21()
,()()23,
3
x
t g x u t t at ===-+设则
221,3,()()3.
3t u t t a a ??
∈=-+-????
其中min min 2min 112821()(),(),3()(),
33933
()3,3()(3),()126,a y h a u h a a a y h a u a h a a a y h a u h a a <==∴=-≤≤==∴=->==∴=-若时则若时则若时则
2
2821()
9331
:()3(3).3126(3)
a a h a a a a a ?-
=-≤≤??
->???
综合得
（2）因为m>n>3,故h(a)=12-6a,且h(a)在(3,+∞)上单调递减，假设h(a)定义域为［n ，m ］，值
域为2
2
[,]n m ，则有
22
22
()126,.()126h n m n m
h m n m n ??=-=????=-=????
即 两式相减得6
（m-n)=(m-n)(m+n),
又m>n>3,所以m+n=6. 这与“m>n>3
m+n>6”
矛盾，故满足条件①②的实数m,n 不存在. 【名师点睛】：（1）复合函数.可设t=f(x)并求出t 的范围， 将g(x)化为关于新元t 的二次函数，再求h(a).
（2）探索性问题，往往先假设成立，并依此探求，如能求出合适的值m,n ，说明“假设成立”是正确的，否则，不成立. 例．设a 为实数，函数2
()1
f x x
x a =+-+，x ∈R ．（1）讨
论()f x 的奇偶性；（2）求()f x 的最小值． 解：（1）当0a =时，函数2
()()1()
f x x x f x -=-+-+=，此时()
f x 为偶函数； 当
a ≠时，2()1
f a a =+，
2()21
f a a a -=++，
()()
f a f a -≠，
()()
f a f a -≠-．
此时函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数； （２）①当x a ≤时，函数2
213
()1()24
f x x
x a x a =-++=-++
．
若12
a ≤，则函数()f x 在(]a -∞,上单调递减，从而，函数()f x 在(]a -∞,上的最小值为2
()1
f a a
=+；若12
a >，则函
数()f x 在(]a -∞，上的最小值为13()24
f a =+，且1
()()2f f a ≤； ②当x a ≥时，函数2
213
()1()24
f x x
x a x a =+-+=+-+
；
若12a -≤，则函数()f x 在[)a +∞，上的最小值为13
()24
f a -=-，且1()()
2
f f a -≤
．
若12a >-，则函数()f x 在[)a +，∞上单调递增，从而，函数()f x 在[)a +，∞上的最小值为2
()1
f a a
=+．
综上，当12a -≤时，函数()f x 的最小值是34a -，当1122
a -<≤时，函数()f x 的最小值是2
1
a
+，
当12a >时，函数()f x 的最小值是3
4
a +． 【名师点睛】：函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题，如果平时注意知识的积累，对解此题会有较大帮助.因为x ∈R ，(0)f =|a |+1≠0，由此排除()f x 是奇函数的可能性.运用偶函数的定义分析可知，当a =0时，()f x 是偶函数，第2题主要考查学生的分类讨论思想、对称思想。 考点六 抽象函数
例：已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)xf x +
(1)()
x f x =+，则5(())2
f f 的值是 A.0 B.
1
2
C.1
D.52
解：当12x =-时有1111(1)(1)()2222f f --+=--，即11
()()22
f f -=- 又∵()f x 是偶函数
∴11()()22f f -= ∴1()02f =∴当12x =时有1111(1)(1)()02222
f f +=+=，∴3()02
f = ∴当32x =时有3333(1)(1)()02222f f +=+=，∴5()02
f =，又∵当0
x =时有0(01)(10)(0)f f ?+=+?，∴(0)0f =，∴5(())=(0)02
f f f = ，故选（ A ）
【名师点睛】：所谓抽象函数问题，是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质。解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。
例：定义在R 上的单调函数()f x 满足(3)f =log 2
3且
对任意x ，y ∈R 都有()f x y += ()f x +()f y ．(1)求证()f x 为奇函数；(2)若f(k ·3x
)+f(3x
-9x
-2)＜0对任
意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．
解：(1)：()
f y (x，y∈R)，①令x=y=0，
f x+()
= ()
f x y
代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．
(2)：f(3)=log23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R 上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．f(k·3x)＜-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2)， k·3x＜-3x+9x+2，32x-(1+k)·3x+2＞0对任意x∈R成立．令t=3x＞0，问题等价于t2-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．
R恒成立．【名师点睛】：利用抽象条件，通过合理赋值(赋具体值或代数式)、整体思考、找一个具体函数原型等方法去探究函数的性质。如奇偶性、周期性、