2019届高考理科数学专题 排列与组合
2019届高三数学(理)人教版一轮课件：第十篇第2节 排列与组合(31)
②中锋 1 人,后卫 2 人,有 C12
C
2 2
C
2 4
=12
种出场阵容,所以共有
16+12=28
种.故选
B.
答案:(1)B
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
15
(2)甲组有5名男同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学.若从甲、乙两
组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有
三位置坐上去有
C
3 6
种坐法,又甲坐在中间,所以乙、丙有
A
2 2
种方法,所以他们每人左
右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有
C
3 6
·
A
2 2
=40
种.
答案:40
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
10
考点专项突破
考点一 排列问题
在讲练中理解知识
【例1】 (1) 导学号 18702561 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机
种,
当 A,C 之间不是 B 时,先在 A,C 之间插入 D,E 中的任意一个,然后 B 在 A 之前或之后,再
将这四个人看成一个整体,与剩余一个进行排列,共有
C12
·
A
2 2
·
A
2 2
=8
种,所以共有
丙地各需要选派1人,则不同的选派方法的种数是 ( )
(A)18
(B)24
(C)36
(D)42
解析:(2)由题设可分两类:
一是甲地只含有一名女生,先考虑甲地有 C12 C13 种情形,后考虑乙、丙两地,有 A32 种情形,
共有 C12 C13 A32 =36 种情形;
排列与组合 2019高考绝密资料
排列与组合主标题：排列与组合副标题：为学生详细的分析排列与组合的高考考点、命题方向以及规律总结。
关键词：排列，组合难度：2重要程度：4考点剖析：1．理解排列、组合的概念．2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3．能解决简单的实际问题.命题方向：排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，难度中等或稍易．考查古典概型时，常以排列组合为工具，考查概率的计算．规律总结：1．熟练掌握：(1)排列数公式A m n＝n！(n－m)！；(2)组合数公式C m n＝n！m！(n－m)！，这是正确计算的关键．2．解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义．3．排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．知识梳理1．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取按照一定的顺序排成一列组合出m(m≤n)个不同元素合成一组2.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫从n个不同元素中取出m个元素的组合数．3．排列数、组合数的公式及性质公式(1)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！(2)C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C0n＝1.性质(1)0！＝1；A n n＝n！.(2)C m n＝C n－mn；C m n＋1＝C m n＋C m－1n.导数在研究函数中的应用主标题：导数在研究函数中的应用备考策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。
2019年全国高考理科数学试题分类汇编10：排列、组合及二项式定理
2019年全国高考理科数学试题分类汇编10：排列、组合及二项式定理一、选择题1 ．（2019年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯W ORD 版含答案））已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5,则=a （ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．1-【答案】D2 ．（2019年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）A ．243B ．252C ．261D ．279【答案】B3 ．（2019年高考新课标1（理））设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B4 ．（2019年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））()()8411+x y +的展开式中22x y 的系数是 A ．56B ．84C ．112D ．168【答案】D5 ．（2019年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））满足{},1,0,1,2a b ∈-,且关于x的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为 （ ）A ．14B ．13C ．12D ．10【答案】B6 ．（2019年上海市春季高考数学试卷(含答案)）10(1)x +的二项展开式中的一项是（ ）A ．45xB ．290xC ．3120xD ．4252x【答案】C7 ．（2019年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））使得()3nx n N n+⎛+∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B8 ．（2019年高考四川卷（理））从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为,a b ,共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（ ）A ．9B ．10C ．18D ．20【答案】C9 ．（2019年高考陕西卷（理））设函数61,00.,()x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x >0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为（ ）A ．-20B ．20C ．-15D ．15【答案】A10．（2019年高考江西卷（理））(x 2-32x )5展开式中的常数项为 （ ）A ．80B ．-80C ．40D ．-40【答案】C 二、填空题11．（2019年上海市春季高考数学试卷(含答案)）36的所有正约数之和可按如下方法得到:因为2236=23⨯,所以36的所有正约数之和为222222(133)(22323)(++++⨯+⨯++⨯+（参照上述方法,可求得2000的所有正约数之和为________________________【答案】483612．（2019年高考四川卷（理））二项式5()x y +的展开式中,含23x y 的项的系数是_________.(用数字作答)【答案】1013．（2019年上海市春季高考数学试卷(含答案)）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动,选出的3人中男女同学都有的概率为________(结果用数值表示).【答案】4514．（2019年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排,且B A ,均在C 的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答)【答案】48015．（2019年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））从3名骨科.4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科.脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________(用数字作答) 【答案】59016．（2019年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））6x ⎛⎝的二项展开式中的常数项为______.【答案】1517．（2019年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ,则=A ________【答案】10。
高考理科数学课标3版§11.1 排列、组合
重卦恰有3个阳爻的概率是 ( )
A. 5 B. 11 C. 21 D. 11
16
32
32
16
答案 A 本题以数学文化为背景考查排列与组合;考查学生的数据处理能力和应用意识;考
查的核心素养是数学建模与数学运算.
重卦是由从下到上排列的6个爻组成,而爻有“阳爻”和“阴爻”两种,故所有的重卦共有26=
64种.重卦中恰有3个“阳爻”的共有C 36
fn(2)= 2
2
.
疑难突破 要做好本题,关键是理解“逆序”“逆序数”“fn(k)”的含义,不妨从比较小的1,2, 3入手去理解这几个概念,这样就能得到f3(2). f4(2)是指1,2,3,4这4个数中逆序数为2的全部排列 的个数,可以通过与f3(2), f3(1),f3(0)联系得到,4分别添加在f3(2)的排列中最后一个位置、f3(1)的 排列中的倒数第2个位置、f3(0)的排列中的倒数第3个位置.有了上述的理解就能得到fn+1(2)与 fn(2),fn(1), fn(0)的关系:fn+1(2)=fn(2)+fn(1)+fn(0)=fn(2)+n,从而得到fn(2)(n≥5)的表达式.
考点 排列、组合
C组 教师专用题组
1.(2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个 医疗小组.则不同的选法共有 ( ) A.60种 B.70种 C.75种 D.150种
答案 C 从6名男医生中选出2名有 C62 种选法,从5名女医生中选出1名有 C15 种选法,由分步乘 法计数原理得不同的选法共有 C62· C15 =75种.故选C. 2.(2014辽宁,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为 ( ) A.144 B.120 C.72 D.24
2019高考数学(全国、理科)一轮复习课件：第56讲 排列与组合
出 m 个元素的组合数．用符号 “Cm n ”表示
m∈N*，且 m≤n)
－1 Cm n
栏目 导引
专题一
集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
课前双基巩固
对点演练
题组一 常识题
1．[教材改编] 世界华商大会的某分会场有 A，B， C 三个展台，将甲、乙、丙、丁 4 名“双语”志愿 者选派 3 名分别到这三个不同的展台担任翻译工 作，则不同的选派方法有______种．
[解析] A 分别从 2 名教 师中选 1 名，4 名学生中 选 2 名安排到甲地参加社 会实践活动即可，则乙地 就安排剩下的教师与学 生，故不同的安排方法共 2 有 C1 2C4＝12(种)．故选 A.
栏目 导引
专题一
集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
真题再现
■ [2016－2015]其他省份类 似高考真题 1．[2016· 四川卷] 用数字 1，2，3，4，5 组成
栏目 导引
专题一
集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
课前双基巩固
知识聚焦
1．排列与组合的概念 名称 排列 组合 定义 区别 从 n 个不同元素中 按照_________ 一定的 取出 m(m≤n)个元 排成一列 组合无序 顺序 排列有序， 素 合成一组
栏目 导引
专题一
集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
栏目 导引
专题一
集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
真题再现
2．[2015· 四川卷] 用数字 0，1，2，3，4，5 组成没 有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有 ( ) A．144 个 B．120 个 C．96 个 D．72 个
[解析] B 由题意知， 万位 上排 4 时，有 2×A3 4个大 于 40 000 的偶数，万位上 排 5 时，有 3×A3 4个，故 共有 5×A3 4＝120(个)．
2019年全国高考理科数学数学分类汇编---排列组合二项式定理
2019年全国高考理科数学分类汇编——排列组合二项式定理1.（2019全国1卷理科）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A. 516B. 1132C. 2132D. 1116【答案】A【解析】【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ． 【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．2.（2019全国3卷理科）（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为A. 12B. 16C. 20D. 24【答案】A【解析】【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．3.（2019江苏卷）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N ….已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1n a +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值.【答案】（1）5n =；（2）-32.【解析】【分析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定234,,a a a 的值，然后求解关于n 的方程可得n 的值；(2)解法一：利用(1)中求得的n 的值确定有理项和无理项从而可得a ,b 的值，然后计算223a b -的值即可；解法二：利用(1)中求得的n 的值，由题意得到(51-的展开式，最后结合平方差公式即可确定223a b -的值.【详解】（1）因为0122(1)C C C C 4n n n n n n n x x x x n +=++++≥，， 所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n n n n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24n n n n n a ---==． 因为23242a a a =， 所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯， 解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=+02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-．因为*,a b ∈N ，所以5(1a -=-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-．【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力.4.（2019天津卷理科）83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是展开式中的常数项为________. 【答案】28【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出r 的值，再求出其常数项。
2019年高考数学真题分类汇编：专题(11)排列组合、二项式定(理科)及答案
专题十一 排列组合、二项式定理1.【2018高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r rr n x +T =，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ．【考点定位】二项式定理．【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“n +∈N ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()na b +的展开式的通项是1C k n k k k n a b -+T =．2.【2018高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( ) （A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C【解析】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y,故52x y 的系数为212532C C C =30，故选 C.【考点定位】本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解. 3.【2018高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B 【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个.所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个.选B.【考点定位】排列组合.【名师点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，万位与个位是两个特殊位置，应根据这两个位置的限制条件来进行分类.4.【2018高考湖北，理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式 系数和为（ ） A.122 B ．112 C ．102D ．92【答案】D【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以73nn C C =，解得10=n ， 所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为9102221=⨯. 【考点定位】二项式系数，二项式系数和.【名师点睛】二项式定理中应注意区别二项式系数与展开式系数，各二项式系数和：n n n n n n C C C C 2210=+⋅⋅⋅+++，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等=⋅⋅⋅++++420n n n C C C 15312-=⋅⋅⋅++++n n n n C C C .5、【2018高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 【答案】1560．【考点定位】排列问题．【名师点睛】本题主要考查排列问题，属于中档题，解答此题关键在于认清40人两两彼此给对方仅写一条毕业留言是个排列问题．6.【2018高考重庆，理12】53x ⎛ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).【答案】52【解析】二项展开式通项为7153521551()()2k k kkk k k T C x C x --+==，令71582k-=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =. 【考点定位】二项式定理【名师点晴】()na b +的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指kn C ，它仅是与二项式的幂的指数n 及项数有关的组合数，而与a ，b 的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a ，b 的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个区别. 7.【2018高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 . 【答案】6．【解析】由题可知()()44214411r rrrrr r T CC x--+=-=-，令412r-=解得2r =，所以展开式中x 的系数为()22416C -=，故应填入6．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题主要考查二项式定理和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记二项展开式的通项即展开式的第1r +项为：()*12,r n r rr n T C a b n N n r N -+=∈≥∈且．8.【2018高考四川，理11】在5(21)x -的展开式中，含2x 的项的系数是 （用数字作答）. 【答案】40-. 【解析】55(21)(12)x x -=--，所以2x 的系数为225(2)40C -⨯-=-.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.9.【2018高考天津，理12】在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以该项系数为1516.【考点定位】二项式定理及二项展开式的通项.【名师点睛】本题主要考查二项式定理及二项展开式的通项的应用.应用二项式定理典型式的通项，求出当2r =时的系数，即可求得结果，体现了数学中的方程思想与运算能力相结合的问题.10.【2018高考安徽，理11】371()x x+的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案） 【答案】35【解析】由题意，二项式371()x x +展开的通项372141771()()rr r r r r T C x C x x--+==，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =.【考点定位】1.二项式定理的展开式应用.【名师点睛】常规问题直接利用二项式定理求解，其中通项是核心，运算是保证；比较复杂的问题要回到最本质的计数原理去解决，而不是一味利用公式.另外，概念不清，涉及幂的运算出现错误，或者不能从最本质的计数原理出发解决问题，盲目套用公式都是考试中常犯的错误.11.【2018高考福建，理11】()52x + 的展开式中，2x 的系数等于 ．（用数字作答） 【答案】80【解析】()52x + 的展开式中2x 项为2325280C x =，所以2x 的系数等于80．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理的特定项问题，往往是根据二项展开式的通项和所求项的联系解题，属于基础题，注意运算的准确度．12.【2018高考北京，理9】在()52x +的展开式中，3x 的系数为 ．（用数字作答）【答案】40【考点定位】本题考点为二项式定理，利用通项公式，求指定项的系数.【名师点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求出指定项的系数，本题属于基础题,要求正确使用通项公式1r n r r r n T C a b -+=，准确计算指定项的系数.13.【2018高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． 【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．【考点定位】二项式定理．【名师点睛】本题考查二项式定理，准确写出二项展开式，能正确求出奇数次幂项以及相应的系数和，从而列方程求参数值，属于中档题．【2018高考湖南，理6】已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）C.6 D-6 【答案】D. 【解析】试题分析：r rr rr x a C T -+-=2551)1(，令1=r ，可得6305-=⇒=-a a ，故选D.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握nb a )(+的二项展开式的通项第1+r 项为rr n r n r b a C T -+=1，即可建立关于a 的方程，从而求解.【2018高考上海，理11】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）．【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C = 【考点定位】二项展开式【名师点睛】（1）求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可．（2）对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．【2018高考上海，理8】在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．【答案】120【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：55961266120.C C-=-=【考点定位】排列组合【名师点睛】涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．。
2019年高考数学(理科)二轮复习讲义：专题六 第四讲 排列、组合、二项式定理Word版含答案
第四讲排列、组合、二项式定理排列、组合应用授课提示：对应学生用书第69页[悟通——方法结论]两个计数原理解题的方法在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理．求解排列、组合问题常用的解题方法(1)元素相邻的排列问题——“捆绑法”；(2)元素不相邻的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法；(5)分组分配问题①平均分组问题分组数计算时要注意除以组数的阶乘．②不平均分组问题实质上是组合问题．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种答案：D2．第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，为了保护各国国家元首的安全，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有( )A ．96种B ．100种C ．124种D ．150种 解析：因为每个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组共有两种方法，一种是按照1,1,3来分，另一种是按照2,2,1来分．当按照1,1,3来分时，不同的分法共有N 1＝C 15C 14C 33A 22A 33＝60(种)；当按照2,2,1来分时，不同的分法共有N 2＝C 25C 23C 11A 22A 33＝90(种)．根据分类加法计数原理，可得这样的安排方法共有N ＝N 1＋N 2＝150(种)，故选D. 答案：D3．3名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为( ) A ．2 B ．9 C ．72D ．36解析：可分两步：第一步，把3名女生作为一个整体，看成一个元素，3名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排成一排有A 22种排法；第二步，对男生、女生“内部”分别进行排列，女生“内部”的排法有A 33种，男生“内部”的排法有A 33种．故符合题意的排法种数为A 22×A 33×A 33＝72，故选C.答案：C4．马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有( )A ．60B ．20种C ．10种D ．8种解析：根据题意，可分两步：第一步，先安排四盏不亮的路灯，有1种情况；第二步，四盏不亮的路灯排好后，有5个空位，在5个空位中任意选3个，插入三盏亮的路灯，有C 35＝10(种)情况．故不同的开灯方案共有10×1＝10(种)，故选C. 答案：C5．某大学的6名大二学生打算参加学校组织的“临界动漫协会”“大学生心理卫生协会”“学生跆拳道协会”“蓝天环保社团”“《马头琴》诗歌协会”5个社团，若每名学生必须参加且只能参加1个社团，并且每个社团至多2人参加，则这6人中至多有1人参加“学生跆拳道协会”的不同参加方法种数为 ( )A ．1440B ．3600C ．5040D ．6840解析：可分两类：第一类，若有1人参加“学生跆拳道协会”，则从6人中选1人参加该社团，其余5人去剩下4个社团，人数安排有两种情况，即1,1,1,2和1,2,2，故1人参加“学生跆拳道协会”的不同参加方法种数为C 16×(C 15C 14C 13A 33A 44＋C 25C 23A 22A 34)＝3600；第二类，若无人参加“学生跆拳道协会”，则6人参加剩下4个社团，人数安排有两种情况，即1,1,2,2和2,2,2，故无人参加“学生跆拳道协会”的不同参加方法种数为C 26C 24C 12A 22A 22A 44＋C 26C 24C 22A 33·A 34＝1440.故满足条件的方法种数为3600＋1440＝5040，故选C.答案：C掌握分组、分配问题的求解策略(1)分组问题属于“组合”问题，按组合问题求解，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n 组均匀，最后必须除以n ！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列”问题，可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配． (3)解决分组分配问题的基本指导思想是先分组，后分配．二项式定理授课提示：对应学生用书第70页[悟通——方法结论]1．通项与二项式系数T k ＋1＝C k n a n －k b k(k ＝0,1,2，…，n )，其中C k n 叫作二项式系数．2．各二项式系数之和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ； (2)C 1n ＋C 3n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋…＝2n －1.3．二项式系数的最大项由n 的奇偶性决定 当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大； 当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)在⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为( ) A ．15 B ．20 C ．30D ．35解析：(1＋x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x r，所以⎝⎛⎭⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为1×C 26＋1×C 46＝30，故选C.答案：C(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．－80 B ．－40 C ．40D ．80解析：当第一个括号内取x 时，第二个括号内要取含x 2y 3的项，即C 35(2x )2(－y )3，当第一个括号内取y 时，第二个括号内要取含x 3y 2的项，即C 25(2x )3(－y )2，所以x 3y 3的系数为C 25×23－C 35×22＝10×(8－4)＝40.答案：C(3)若(3x －1)2018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2018x 2018(x ∈R )，则13＋a 232a 1＋a 333a 1＋…＋a 201832018a 1＝________.解析：令x ＝0，可得a 0＝1.由通项公式可得a 1＝C 20172018·31·(－1)2017＝－6054.令x ＝13，得a 13＋a 232＋a 333＋…＋a 201832018＝－1，则13＋a 232a 1＋a 333a 1＋…＋a 201832018a 1＝1a 1⎝⎛⎭⎫a 13＋a 232＋a 333＋…＋a 201832018＝－1a 1＝16054. 答案：160541.公式法求特定项的类型及思路通项公式T r ＋1＝C r n an －r b r的主要作用是求展开式中的特定项，常见的类型有： (1)求第k 项，此时r ＋1＝k ，直接代入通项公式求解； (2)求含x m 的项，只需令x 的幂指数为m 建立方程求解；(3)求常数项，即项中不含x ，可令x 的幂指数为0建立方程求解；(4)求有理项，先令x 的幂指数为整数建立方程，再讨论r 的取值．若通项中含有根式，一般先把根式化为分数指数幂，以减少计算错误．2．赋值法研究二项展开式的系数和问题的策略“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．[练通——即学即用]1．(2018·唐山模拟)(x 2－1x )6的展开式中的常数项为( )A ．15B ．－15C ．20D ．－20解析：依题意，T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r (－1x )r ＝C r 6(－1)r x 12－3r，令12－3r ＝0，则r ＝4，所以(x 2－1x)6的展开式中的常数项为C 46(－1)4＝15，选择A. 答案：A2．(2018·长郡中学模拟)若二项式(x 2＋ax )7的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( )A ．560B ．－560。
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2019届高考理科数学专题第一讲排列与组合题组两个基本计数原理的应用1.[2017全国卷Ⅱ,6,5分][理]安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A.12种B.18种C.24种D.36种2.[2016全国卷Ⅱ,5,5分][理]如图12-1-1,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()图12-1-1A.24B.18C.12D.93.[2016四川,4,5分][理]用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.724.[2014大纲全国,5,5分][理]有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种5.[2014辽宁,6,5分][理]6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.246.[2014重庆,9,5分][理]某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.1687.[2014福建,10,5分][理]用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)8.[2017天津,14,5分][理]用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)9.[2017浙江,16,4分]从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)10.[2015 广东,12,5分][理]某高三毕业班共有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)11.[2014浙江,14,4分][理]在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有种(用数字作答).A组基础题1.[2018惠州市二调,8]旅游体验师小李受某网站邀请,决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游,若不能最先去甲景区旅游,不能最后去乙景区和丁景区旅游,则小李可选的旅游路线数为()A.24B.18C.16D.102.[2018开封市定位考试,8]某地实行高考改革,考生除参加语文、数学、英语统一考试外,还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科.学生甲要想报考某高校的法学专业,就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科,则学生甲的选考方法种数为()A.6B.12C.18D.193.[2018长郡中学实验班选拔考试,3]长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3名男教师和2名女教师中,任选2人参加说课比赛,则选取的2人恰为一男一女的概率为()A.25B.35C.13D.234.[2017兰州市高考实战模拟,7]某国际会议结束后,中、美、俄等21国领导人合影留念,他们站成两排,前排11人,后排10人,中国领导人站在前排正中间位置,美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻,如果对其他国家领导人所站位置不作要求,那么不同的站法共有()A.A1818种B.A2020种C.A32A183A1010种D.A22A1818种5.[2017云南民大附中期中,6]将5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、中山大学这3所大学就读,每所大学至少保送1人,则不同的保送方法共有()A.150种B.180种C.240种D.540种6.[2017海南省五校二模,14] 从数字0,1,2,3,4中任意取出3个不重复的数字组成三位数,则组成的三位数中是3的倍数的有个.7.[2017东北三省四市二模,13]现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人,每人一张,若甲、乙分得的电影票连号,则共有种不同的分法.(用数字作答)B组提升题8.[2018南昌市调考,9] 某校毕业典礼上有6个节目,考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前三位,且节目丙、丁必须排在一起.则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有() A.120种B.156种C.188种D.240种9.[2017甘肃二诊,7]某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏,现有4个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢完,4个红包中有2个6元,1个8元,1个10元(红包中金额相同视为相同红包),则甲、乙都抢到红包的情况有()A.18种B.24种C.36种D.48种10.[2017合肥市三模,11]某社区新建了一个休闲小公园,几条小径将公园分成5块区域,如图12-1-2.社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域,要求每个区域种植一种颜色的花卉,且相邻区域(有公共边的)所选花卉颜色不能相同,则不同种植方法的种数为()图12-1-2A.96B.114C.168D.24011.[2017郑州市第二次质量预测,10]将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为()A.72B.120C.192D.24012.[2017昆明市高三质检,16]某小区一号楼共有7层,每层只有1家住户,已知任意相邻两层楼的住户在同一天至多1家有快递,且任意相邻三层楼的住户在同一天至少1家有快递,则在同一天这7家住户有无快递的可能情况共有种.13.[2017成都市三诊,15]从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务,每天安排一人,每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加,且当甲、乙两人都参加时,他们参加社区服务的日期不相邻,那么不同的安排种数为.(用数字作答)答案1.D 因为安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,所以必有1人完成2项工作.先把4项工作分成3组,即2,1,1,分法有C 42C 21C 11A 22=6(种),再分配给3个人,分法有A 33=6(种),所以不同的安排方式共有6×6=36(种).2.B 由题意可知E →F 最短路径的走法共有6种,F →G 最短路径的走法共有3种,由分步乘法计数原理知,共有6×3=18(种)最短路径的走法,故选B .3.D 由题意,可知个位上的数字可以从1,3,5中任选一个,有A 31种方法,其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选,进行全排列,有A 44种方法,所以奇数的个数为A 31A 44=72,故选D .4.C 从中选出2名男医生的选法有C 62=15(种),从中选出1名女医生的选法有C 51=5(种),所以不同的选法共有15×5=75(种),故选C .5.D 分两种情况:当3人中每两人之间恰有一个空座位时,有A 33×2=12(种)坐法;当3人中每两人之间有两个空座位时,有A 33×A 22=12(种)坐法,所以共有12+12=24(种)坐法.故选D .6.B 依题意,先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A 33A 43=144,其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A 22A 22A 33=24,因此满足题意的排法种数为144-24=120,故选B .7.A 分三步:第一步,5个无区别的红球可能取出0个,1个,…,5个,则有(1+a+a 2+a 3+a 4+a 5)种不同的取法;第二步,5个无区别的蓝球都取出或都不取出,则有(1+b 5)种不同的取法;第三步,5个有区别的黑球看作5个不同色的球,从5个不同色的球中任取0个,1个,…,5个,有(1+c )5种不同的取法,所以所求的取法种数为(1+a+a 2+a 3+a 4+a 5)(1+b 5)(1+c )5,故选A .8.1 080 一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有C 41C 53A 44=960(个);四个数字都是奇数的四位数有A 54=120(个),故至多有一个数字是偶数的四位数一共有960+120=1 080(个).9.660 分两步完成,第一步,选出4人,由于至少1名女生,故有C 84-C 64=55(种)不同的选法;第二步,从4人中选出队长、副队长各1人,有A 42=12(种)不同的选法.根据分步乘法计数原理知共有55×12=660(种)不同的选法.10.1 560 由题意得A 402=1 560,故全班共写了1 560条毕业留言.11.60 分两种情况:一种情况是将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人,种数为C 32C 11A 42=36;另一种情况是将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人,种数为A 43=24,则不同的获奖情况总共有36+24=60(种).A 组基础题1.D 分两种情况,第一种:若最后去甲景区,则有A 33种可选的路线;第二种:若不在最后去甲景区,则有C 21·A 22种可选的路线.所以小李可选的旅游路线数为A 33+C 21·A 22=10.故选D . 2.D 解法一 在物理、政治、历史中选一科的选法有C 31C 32=9(种);在物理、政治、历史中选两科的选法有C 32C 31=9(种);物理、政治、历史三科都选的选法有1种,所以学生甲的选考方法共有9+9+1=19(种),故选D .解法二 从六科中选考三科的选法只有C 63种,其中包括了没选物理、政治、历史中任意一科,这种选法只有1种,因此学生甲的选考方法共有C 63-1=19(种),故选D.3.B 依题意得,选取的2人恰为一男一女的概率为C 31·C 21C 52=35,选B . 4.D 中国领导人站在前排正中间位置,美、俄两国领导人站前排并与中国领导人相邻,有A 22种站法;其他18国领导人可以任意站,因此有A 1818种站法.根据分步乘法计数原理,共有A 22A 1818种站法.故选D.5.A 先将5人分成三组,3,1,1或2,2,1,共有C 53+C 51×C 42×C 222!=25(种)分法;再将三组学生分到3所学校有A 33=6(种)分法,故共有25×6=150(种)不同的保送方法.故选A .6.20 若取出的3个数字中包含0,则由数字0,1,2或0,2,4组成的三位数满足题意,共组成8个三位数;若取出的3个数字中不包含0,则由数字1,2,3或2,3,4组成的三位数满足题意,组成的三位数共有2A 33=12(个).综上可知,共有20个三位数满足题意.7.48 电影票号码相邻只有4种情况,则甲、乙2人在这4种情况中选一种,共C 41种选法,将2张连号的票分给甲、乙,共有A 22种分法;其余3张票分给其他3个人,共有A 33种分法,根据分步乘法计数原理,可得共有C 41A 22A 33=48(种)分法.B 组提升题8.A 解法一 记演出顺序为1~6号,对丙、丁的排序进行分类,丙、丁占1和2号,2和3号,3和4号,4和5号,5和6号,其排法种数分别为A 22A 33,A 22A 33,C 21A 22A 33,C 31A 22A 33,C 31A 22A 33,故总编排方案有A 22A 33+A 22A 33+C 21A 22A 33+C 31A 22A 33+C 31A 22A 33=120(种).解法二 记演出顺序为1~6号,按甲的编排进行分类,①当甲在1号位置时,丙、丁相邻的情况有4种,则编排方案有C 41A 22A 33=48(种);②当甲在2号位置时,丙、丁相邻的情况有3种,编排方案共有C 31A 22A 33=36(种);③当甲在3号位置时,丙、丁相邻的情况有3种,编排方案共有C 31A 22A 33=36(种).所以编排方案共有48+36+36=120(种).9.C 若甲、乙抢到的是一个6元和一个8元的红包,剩下2个红包,被剩下的3人中的2个人抢走,有A 22A 32=12(种);若甲、乙抢到的是一个6元和一个10元的红包,剩下2个红包,被剩下的3人中的2个人抢走,有A 22A 32=12(种);若甲、乙抢到的是一个8元和一个10元的红包,剩下2个红包,被剩下的3人中的2个人抢走,有A 22C 32=6(种);若甲、乙抢到的是两个6元的。