一道高考题解法的探究课件

当 时， ab
2 2
0 x cos , 0 y sin , 2
2 2
ax by a cos b sin a (1 sin ) b sin ( b a ) sin a
2 2
b a a b , z max b 1.
取最大值。由 x , 若
y
的约束条件作出可行域（如图）。
b a
1, 当点N为可行域的点B时， ON cos 最大，
此时 若
x 1, y 0, ( ax by ) max a ;
1,
A 1
M
b a
当点N为可行域的点A时， ON cos 最大，
N
B
此时 若
x 0, y 1, ( ax by ) max b ;
1,
0 1
b a
( ax by ) max a或 b ;
故所求区域面积S=1.
综上
0 a 1, 0 b 1,

此题在没有向量存在的的情境下，很难将 ax by 看作是两向量的数量积，这是创 新意识诱导下的一种很独特的数学视角。 向量法充分运用向量数量积的代数与几何 特征，借助向量数量积的几何意义，巧妙 地将求目标函数最值的代数问题转化为几 何问题，很好地展示了向量在解决数学问 题中的重要工具作用。
解法探究

ab ax by z 0 设目标函数
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, 时， z max a或 b故只需
a b x, 由
解法1 目标函数法
，当
y
a 1或 b 1; 当
ab 0时 ， 令 z 则 0
a b 1, 则
x, y 的约束条件作出可行域（如图），若
a b 1,则
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08年浙江卷（理科）17题
x 0,
y 0, x y 1
若 a 0, b 0 ，且当
时，恒有 ax by 1,
则以 a , b 为坐标的点 P ( a , b ) 所形成的平面区域的 面积等于＿＿＿＿
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析题：
本题知识点：线性规划问题、恒成立问题、区域面积问题 思想方法：化归与转化、分类与整合、数形结合 难点：三类问题的结合，学生很难把握，见得少， 而且联系难 此题主要考查学生思维的灵活性、多样性，以及综合运用知 识分析、解决问题的能力。 此题主要从两方面:一是将不等式恒成立问题转化成函数的最 值问题；二是将区域面积转化成字母取值范围问题。解题的 " ax切入点是紧扣已知条件 by 1恒 成 立 " ，落脚点是确定 a,b的取值范围。
存在不满足题意的点。故
点
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解析法是处理线性规划问题最常用、有效的的构造，将可 a b
行域与恒成立问题统一起来，从而使问题得以 解决，截距的构造是解题的关键。
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解法3

三角换元法
设 时，
2 2 2 2 2
当 ab
ax by a cos b sin a cos b (1 cos ) ( a b ) cos b a b b a , z max a 1.
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解法2 解析法
M ( x, y )
x y 1 1 1 a b
ax by 1
1 a 1且 1 b 1,
0 a 1, 0 b 1,
P (a, b)
A
如图，画出点 1. 的可行域，因为 S 1 恒成立，即 在可行域中恒成立，则 否则可行域中总
0 1 B
2 2 2 2
a b
2
2
当且仅当
ay bx
x y 1
2 2
时，两个"
"
同时成立，∴ 当 x
1, y 0时， b 0,
此时 ( ax by ) a; 当 max 综上
x 0, y 1时， a 0,
此时 ( ax by ) max b.
0 a 1, 故所求区域面积S=1. 0 b 1,
0 a 1,
所以
0 b 1,
即点P（a,b）所形成的平面区域为边长1的正方形，其面积S=1.

此题的难点也在于变量太多，通过三角换 元，可以减少变量，降低题目的难度。同 时借助三角函数的有界性，可以确定点P 所形成的平面区域。
解法4
向量法
2 2 设向量 OM ( a , b ), ON ( x , y ), 则 ax by OM ON a b ON cos （ 为两向量的夹角），当向量 ON 在 O M 上的投影 ON cos 最大时， ax by

用柯西不等式解决 ax by 的最值问题是一 种新思路、新方法，柯西不等式历史悠久， 形式优美，结构巧妙，它和基本不等式一样 都是研究最值问题的有力工具。柯西不等式 的应用灵活多样、技巧性强，它的应用有利 于学生开阔数学视野、培养创新思维，激发 学生进一步学习数学的兴趣 。

通过一题多解教学，要让学生在掌握基础知识、基 本方法、基本技能的前提下，学会从多个角度提出 新颖独特的解决问题的方法，培养他们解决问题的 实践能力，发展他们的创新思维，使他们具有敏锐 的观察力、创造性的想象、独特的知识结构以及活 跃的灵感等思维素质。在解题中引导学生打破常规、 独立思考、大胆猜想、质疑问难、积极争辩、寻求 变异、放开思路、充分想象、巧用直观、探究多种 解决方案或途径，快速、简捷、准确地解决数学问 题， 这些也是探究性学习的体现。 以上是个人的一点体会，还请大家多多指教！
在A点取得最大值， z max b 1. 若 z
a b 1 ，则
z在B点
取得最大值，
若 z max a 1;
z max b 1;
A
综上
0 a 1, 故所求区域面积 0 b 1,
S 1.
1
B 0 1
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根据目标函数的几何性质，通过数形结合 寻找最优解，这是解决线性规划问题的常 规方法。但本题的目标函数含有两个参数 a,b，需要分类讨论确定函数最值，有一定 的难度。
解法5

柯西不等式
( a b )( x y ) ,
2 2 2 2
由柯西不等式得：ax by
当且仅当 ay
bx
时，"
"成立；由图可知， 2 y 2 1, 当且仅当 x 1, x
y 0或 x 0, y 1时 ,"="成 立 .
故
ax by
( a b )( x y )