一道高考填空题解法探究
从一道高考的填空题谈思维
思路 ３ 能 否直接 用公式 （ ） １ 呢？若用 的话 则必 须 求高 ， 如何求 高便成 了此 问题 的关键． 已知有 什 么？ 目 标是什么？强烈的 目标意识 告诉 我们构造等量关 系（ 方
程思想 ） 表示出高．
已知 有 Ａ Ｂ＝２ 又 知 道 ， 另两边 的大 小关 系 ， 目标 是
・ 教学论坛 ・
十。 ７ （ｌ 第 期・ 中 ） ７ 擞・ ２ｏ ６ 高 版 ｏ年
１ ５
数 学 问题 解 决教 学 策 略探 析
５０５ 广 东实验 中学 １０ ５
问题解决 是 当今 数 学教育 中越 来越 受人 瞩 目的课 题 ．目前 ， 世界上几乎所有 的国家 都把 提高学生 的问题 解决 能 力作为数 学教 学的 主要 目的之一． 因而 ， 习 怎 学 样解决 问题就成 为学 习数学 的根本原 因． 要培 养学生 的 问题解决 能 力 ， 不 是单 靠某 些 技 能 的传 递 就 能形 成 并 的， 也不 是仅仅靠 多做几 个 习题 就 能形成 的 ， 而需 要教 师努力地 去改进 教学 方法 ， 有效 地创 设学 习空 间， 让学 生有可 能 在 自主 的探 索 活动 中 经历 “ 顿悟 ” 获 取 “ ， 智 慧” 从 而寻找 到问题解决的策略． ，
Ｃ
我们需求 的 目标是三角形 的面积 ， 如何选取适 当的 面积公式 准确地表示 出三角形 的面积 ， 构建 函数模 型是 问题 的核 心 ， 于是在脑海里搜 索三角形 的面积公式 ：
１ １
表示出 Ａ Ｂ上 的高 ｈ 能 否将 ， 它们联系起来呢？只要我们 有最基 本 的方程 意识 ， 即设 Ａ
的 “ 近发 展 区 ” 最 ．
＝ 十 一 ＝ √一１ ２ｌ ４ ３ ，
高考完形填空解题技巧
高考完形填空解题技巧如今好多高三学生在词汇、语法与解题过程中来回纠结，做一个阅读理解题，读不懂（究其原因是单词不认识，语法不会）；做一个完形填空，乱猜（因为单词不认识、语法不会、固定搭配不明白）。
但是他们仍然不停在刷题，看似很努力，但都是白费。
鉴于这种情况，做什么习题才能跳出题海，有效快速提升英语成绩？我认为只做高考真题，特别是最近五年所有省份的真题（做3遍），量不够的话，再做2遍10年所有省份的高考真题。
专项刷题时，要做每套题的同一套题，如完形填空题。
具体做到以下几点：1）高频单词（800个）+方法；2）专项特训、高效迅速提升；3）专项词汇专项背；4）专项语法专项学下面重点介绍完形填空解题技巧（掌握了这个技巧，就会达到这个目标：18个题可以做，因为0---18个题是看方法的。
）一、高考完形填空的满分技巧1.通读最近五年所有省份的完形填空真题的文章介绍；2.文章首段首句不出题；3.总分结构；4.议论文和说明文：首段首句就是中心/文章大意；记叙文是花朵文（因为高考评价体系就是立德树人，现在的高中生就是祖国的花朵/栋梁，让学生理解社会主义价值观，文章肯定要表现一个正能量。
）；5.最重要的技巧就是倪萍逻辑；【罗永浩创造的GRE填空技巧。
1996年春节联欢晚会上倪萍给观众出了一道题：今年的春节联欢晚会突出了______的主题。
A. 联欢 B. 和谐 C. 吉祥 D. 中国梦答案为什么不选D却选A？因为A有线索和依据（联欢对联欢），D却没有；另外A的线索和依据比D多。
再比如：多种多样的俱乐部提供了多种多样的机会；不同的功能提供了功能的不同。
完形填空任何一个题的答案都有依据、线索。
就算猜也要这样猜。
我最讨厌有些高中老师告诉学生答案时解释原因就说是固定搭配、习惯用法。
真的像“固定搭配是个筐，什么都能往里装。
”】6.任何一个题，必须有线索和依据；7.动词题的解法：1）看主语、看宾语、看搭配；2）前后呼应；名词题、代词题的解法：前后呼应，正确指代；形容词/副词的解法：正负感情；介、连、冠题：逻辑关系；二、高考完形填空题的解题方法1、读首段首句，预猜文章大意。
欣宜市实验学校二零二一学年度高考数学解题方法专题训练一 填空题的解法课标试题
黔西北州欣宜市实验学校二零二一学年度高考数学解题方法专题训练一填空题的解法一、知识归纳填空题就是不要求写出计算或者推理过程，只需将结论直接写出的“求解题〞，它的主要作用是考察考生的根底知识，根本技巧以及分析问题、解决问题的才能，今年高考试卷中占30分．它和选择题同属客观性试题，它们有许多一共同特点：其形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考察目的集中，形式灵敏，答案简短、明确、详细，评分客观、公正、准确等．二、考题剖析〔一〕直接求解法：就是直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断等得到正确结论，它是解填空题的常用的根本方法，使用时要擅长“透过现象抓本质〞．1．假设31()n x x x +的展开式中的常数项为84，那么n =9． 解：通项为93321C ()()C n r rn r r rn n x x x x --=，由9302n r -=，得23n r =，n 为3的倍数，检验可知n =9． 2．22()1x f x x =+，那么f (1)＋f (2)＋f (21)＋f (3)＋f (31)＋f (4)＋f (41)=72． 解：配对：22222221()11()()111111()x x x f x f x x x x x+=+=+=++++． 3．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水；假设放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，那么R r＝233． 解：升高的局部为球的体积，有：32224423333R r R r r R r ππ=⇒=⇒=． 4．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，那么AB 2+AC 2=BC 2”；拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，那么2222ABC ACD ABD BCD S S S S ∆∆∆∆++=〞．解：取AB=AC=AD ，进展验证．〔二〕特例求解法：包括特殊值法、特殊函数法、特殊位置法、特殊点法、特殊数列法、特殊模型法等；当填空题的题目提供的信息暗示答案唯一或者其值为定值时，可选取符合条件的特殊情形进展处理，得到结论．5．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和；假设{S n }是等差数列，那么q =1．解：取前三项进展验算，2112113111, , S a S a a q S a a q a q ==+=++，再由2132S S S =+，求出q 的值．6．设坐标原点为O ，抛物线22y x =与过焦点的直线交于A 、B 两点，那么OA OB •等于34-． 解：取过焦点的直线为12x =，求出交点A 1(,1)2，B 1(,1)2-，计算可得结论． 7．函数()y f x =在〔0，2〕上是增函数，函数(2)y f x =+是偶函数，那么57122f f f （），（），（）的大小关系是75()(1)()22f f f <<〔用“<〞号连接〕． 解：由题意可知有对称轴2x =，开口向下，越靠近对称轴值越大，由75|2||12||2|22->->-可知结论． 8．平行六面体的各棱长都为4，在其顶点P 所在的三条棱上分别取PA =1，PB =2，PC =3，那么棱锥P -ABC 的体积与平行六面体的体积的比值为1:64解：用正方体进展计算．〔三〕数形结合法：根据题设条件的几何意义，画出问题的辅助图形，借助图形的直观性，通过对图形的分析判断，得出正确结论．9．向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，那么|2|a b -的最大值是4．解：几何意义是求点A (2cos ,2sin )θθ与点B 1)-的间隔的最大值；而点A (2cos ,2sin )θθ在以原点为圆心，2为半径的圆上，当OA 与OB 反向时，间隔最大．10．x ，y 满足4325x y +≥且1x y -≤，那么x +y 的最小值为7．解：画出不等式所表示的区域，用线性规划的方法解决．11．假设关于x (2)k x =-有两个不等的实根，那么实数k 的取值范围是(．解：构造两个函数：(2)y y k x =-；函数y x 轴上方的半圆，包括x 轴上的点；函数(2)y k x =-的图象是过定点(2, 0)的直线簇；画图便知结论．三、热身冲刺12．求值：222cos cos 120cos 240θθθ++︒++︒（）（）=32． 解：取0θ=︒，代入计算可得结果．13．曲线323610y x x x =++-的切线中，斜率最小的切线方程是3110x y --=．解：223663(1)3y x x x '=++=++，可得切点为(1,14)--，斜率为3，点斜式．14．函数3()(1)f x x =-，那么0lim x f x x f x x∆→+∆-∆（）（）=23(1)x -． 解：3322322()()[(1)](1)3(1)3(1)()()3(1)3(1)()()f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x+∆--+∆---∆+-∆+∆===-+-∆+∆∆∆∆． 15．设P 为曲线24(1)y x =-上的一个动点，那么点P 到点(0，1)的间隔与点P 到y 轴的间隔之和的最小值为解：到y 轴的间隔转化为到焦点的间隔，从而当P 点、〔0，1〕点、焦点在同一直线上时，和为最小值．16．点A 〔4，1〕点B 〔2-，4〕，直线AB 与x 轴的交点分线段的比为14-． 解：转化为纵坐标的关系，注意符号．17．使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是(1,0)-．解：构造两个函数：2log (), 1y x y x =-=+，画出其图象，可知结论．18．点M (a ，b )在直线3x +4y ＝153．解：几何意义是直线上的点到原点的间隔的最小值，转化为原点到直线的间隔．。
课改区高考填空题解题策略探究
点评： 掌握基 本 的概 念 、 算 性质 ， 运 记住 一 些常 用
的结论 ， 练运 用基 本 的解 题 技 能 即 能 快速 解答 ， 熟 反
思解题 思 维的 流程 ， 有什 么启 发？ 会
３ 特 殊 值 法 ．
根 据题 设 条 件 ， 取恰 当 的特 殊 值 、 殊 图形 或 选 特 特 殊情 况进行 处 理 ， 而 得 出正 确 的结 论 ． 字母 不 从 含
分 析 ： 决 这 类 问题 的 关 键 就 是 找 到 定 价 增 加 后 该 解
供 游客 居住 ， 当每 个 房 间 的定 价 为 每 天 ２ Ｏ元 时 ， Ｏ 房
间可 以住满 ． 当每个房 间每天 的定 价 每 增加 １ ０元 时 ， 就 会有 一个 房 问空 闲． 有 游 客 人 住 的 房 间 ， 馆 需 对 宾 对 每个 房 间每 天 支 出 ２ ０元 的各 种 费 用． 每 个 房 间 设
析 ， 辅 之 以 简 单 计 算 得 出结 论 的 方 法 ． 既 是 方 法 ， 并 它
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
更是 重 要的数 学思 想） 【 ４ （ （ ７ 山东 ） 例 】 ２） ， Ｏ 与直 线 ＋ 一２ —０和 曲 线 。 ＋ 一 １ｚ一１ ＋ ５ —０都相 切 的半 径 最小 的 ２ ２ ４ 圆的标 准方程 是 ． 分析： 曲线化 为 （ 一６ 。 （ ） ＋ 一６ １ ， 圆心 ）一 ８ 其
常见 的补形 方法 是将 四面体 补成 正方 体或 者 长方体 ． 【 ５ （ Ｏ ８ 山东 ） 三棱 锥 的 三 个 侧 面 两 两 例 】 ２０， 若
宾馆每 天的入住量 ， 类试 题都 可以转化 为二 次函数 的 此 最值 问题 ， 再利用二次函数 的 图象和性质加 以解 决．
高考数学-填空题的解法技巧
(1)已知点
P(x，y)的坐标
x，y
满足x－2y＋1≥0， |x|－y－1≤0，
则 x2＋y2－6x＋9 的取值范围是
________________________________________________________________________．
(2)(2016·枣庄模拟)已知函数
填空题的解法技巧
题型概述 填空题是一种只要求写出结论，不要求解答过程的客观性试题，有小巧灵活、覆盖面广、跨 度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力． 由于填空题不像选择题那样有备选提示，不像解答题那样有步骤得分，所填结果必须准确、 规范，因此得分率较低，解答填空题的第一要求是“准”，然后才是“快”、“巧”，要合 理灵活地运用恰当的方法，不可“小题大做”． 方法一 直接法 直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法．要 善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题．直接法是求解填空题的基 本方法．
解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空
题的关键．
跟踪演练 1 (1)已知 F 为双曲线 C：x92－1y62 ＝1 的左焦点，P，Q 为 C 上的点．若 PQ 的长等
于虚轴长的 2 倍，点 A(5,0)在线段 PQ 上，则△PQF 的周长为________．
解析 (1)令 α＝0°， 则原式＝cos20°＋cos2120°＋cos2240°＝32. (2)要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点 E，F，G 分 别为中点即可．故可以将三条棱长分别取为 OA＝6，OB＝4，OC＝2， 如图，则可计算 S1＝3 5，
一道高考数学填空题的解法探究
，
＋
ｔ ｎ ［ ａ ｔ
这是一道关于 “ 三角函数” 的填充题 ，主要考 查三角函数 的基础知识 和三角恒等 一 阻 变换等基本思想方法 ，考查 的知识点为解三角形 、正弦定理 、余弦定理的灵活运用．
本题 构思巧妙 ，内涵丰富 、结构和谐 ，解法 多样 ，是一道全方位考查 三角变换 与
１ 持 “ 法” ． 坚 通 ，定 能 “ 到 最 后 ” ． 笑 Ｂ —宝 Ｃ ｛ 所谓 “ 通法 ”就是采用平时处理这类问题的一般方法 ： ， 切化弦＋ 正弦定理＋ 弦定理． 余
蹶 由 ６Ｃ 手６Ｚ－ ，ｎ２ ｃ 以 ＋ ＝ ＋＝ｏ， ＋：一ｂｅ ２＝ ２ ａｃ 得 ｓ ×＋ｃ故 ＋ 争 ， ａ 一 ｂ 所 ｅ
下 图所示 的直角坐
标 系 ， 设 Ａ ， ， Ｂ
（，）则 ｃｓ ＝ ， 。 ０， ｏＣ ｘ
Ｕ
ｙ 、
２ ． 在斜 ＡＡ Ｃ中 ， Ａ， Ｃ所 对的边分别为 Ⅱ ｂ Ｂ 角 Ｂ， ，，
一ｊ ２ ￣ｂ－
ａ２ ｃ ２
－
一
ｃ
０ｃ
ｉＡ ｃ。 ｎ
１ ．
ｏ（＋ ） 则角 Ａ 的值 为— ｓ ＿ Ａ） ｔ Ｃ ａＤ ｓｉ ｓ ｉ
ｓ
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ｓ ｉＺ ｎＣ
＿ ＝Ｃ 箍 ｓ ２ ＝
ｅ ｂ＋ ｃ２
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ｔ ｎＣ ａ
一
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—
—
—
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—
Ｍ
专 ＝ｉｃＡ＝ 丽Ｃｓ ｓ ｏ ｎ
＝２２２ 丽ｃａ＝ ｂ＿ ＋
２ ２ｅ－ ２ （ ＋２ｂ ａ ）
２ 巧妙 “ 值” ． 赋 ，定 能 “ 得 最 美 ” ． 笑
对一道高考填空题的探究
结合厂 （ ） 的图象可得， （ ） 的最大值为１ ６ ．
还可以如下求厂 （ ） 的最大值 ：
另解 ： ） ＝ （ １ － － ｘ ） （ ２ ＋ ＋ １ ５ ） 一（ 卅１ ） （ 一 １ ） （ ＋ ３ ） ・ （ ＋ ５ ）
＝ 一
因为厂 （ ） ＝ （ １ － ｘ ） （ ２ ＋ 似＋ ６ ） ，
２ ０ １ ３年 １ １ 月
解 法 探 究
学 谋
对 一道 高 考填 空题 的探 究
⑩ 安 徽 省 枞 阳 县 会 宫 中 学 王 怀 明
题
（ ２ ０ １ ３ 年课标 Ｉ 理１ ６ ） 若 函数厂 （ ） ＝ （ １ ） （ 。 ＋
解法４ ： 因为厂 （ ） 的图 象关于直线 ＝ ＿ ２ 对称 ， 所以厂 （ ＿ ４ ）
因为： 厂 （ ） ＝ 一 ４ ｘ ３ － ３ ａ ｇ ． ｃ ２ ＋ （ ２ — ２ ｂ ） ｘ ＋ ａ ，
ｍＹ （ 一 ２ ） ＝ ０ 得２ ８ ＋ ４ ｂ ＝ １ ｌ ａ ．
②
解法１ ： 易 知点 （ １ ， ０ ） ， （ 一 １ ， ０ ） 在厂 （ ） 的图像上 ， 因为
所１ Ａ ） ｆ （ 一 ４ ） ＝ ［ １ 一 （ － ４ ） ］ ［ （ 一 ４ － ｘ ） ２ ＋ ０ （ 一 ４ ） ＋ ｌ ６ ］
＝ 一
（ ＋ ４ ＋ ３ ） （ ＋ ４ 一 ５ ） ．
Ｉ ｘ ＋ （ １ ６ 一 ａ ） ｘ ＋ （ ９ ５ ＋ ６ — １ ２ ａ ） Ｘ ２ ＋ （ ２ ４ ８ — ４ ７ ａ ＋ ８ ｂ ） ＋
当 ＝ 一 ２ ＋ 、 ／ 时， ． 厂 （ ） 的极 大值为 １ ６ ＿
解得ａ ＝ ８ ， ｂ ＝ １ ５ ．
一道浙江数学高考题引发的探究与教学启示
图1
&+y = m
+ 8kx + 4 - 4m二0,由韦达定理得xx + x2 =
FT乔g 滤 - 2%2,于是有I x2
丁,又由看=2岗得衍 1 + 4k
8丨 I 二
8
W
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1+4厂4山+缶
8 2
=2,当且仅当I k\ =*时等号成
处取得最大值4,即点B的横坐标的绝对值取得最大 值2.
点评：解法2主要由两点坐标间的关系代 入椭圆方程,通过“消元”思想把点B横坐标的平方 珂转化为关于参数m的一个二次函数，运用二次函 数性质快速求解出m以及丨靭丨的最大值，让人耳目
一新，瞬间觉得“山重水复疑无路，柳暗花明又一 村”.该解法有效地避免了分类讨论，巧妙地简化了 繁琐的代数运算，解法虽很优美，但难点是如何巧妙 “消元”、构造二次函数，基础一般的同学恐怕难以 想到这个思路.
3.换元法的视角（三角换元，快速突破） 解法3：由题意设点B坐标为（2 Jocose,
y/msinO）,于是由4P 二 2 PB 可得4（ - 40^cos&,3 2 v^sin^）,把力"两点坐标代入椭圆方程得
1.韦达定理模型的视角(韦达定理，凸显通法) 解法1：如图1分类讨论:①当直线的斜率不
2020年第2期
中学数学研究
・17・
存在时，由题知4（0, -伍）上（0,丽）,于是得TH =9 ,xB = 0.
②当直线AB的斜率存 在时，设AP方程为y =蠢+
方程组
1y = kx + 1, x*12 2 =（i 〃）/
解问题，使学生掌握一些合理设计算法形成简便运 算的方法,体会数学思想，培养核心素养.本教学片 段针对学生的运算困惑和解题思路给予了合理的指 导和点拨.
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一道高考填空题解法探究
江苏省通州市石港中学(226351) 高志军
设函数3()31f x ax x =-+()x R ∈，若对于任意[]1,1x ∈-,都有()f x ≥0 成立，则实数a 的值为▲ ．（2008年普通高等学校招生统一考试（江苏卷）14题）.
解法一 (对x 进行分类讨论)
(1)若x ＝0时，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立.
(2)当0x >时, 即(]0,1x ∈时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x
≥- 设()2331g x x x =
-，则()()'
4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
上单调递增，
在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫
== ⎪⎝⎭，从而4a ≥.
(3)若0x <时, 即[)1,0x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331
a x x
≤
- ()()
'4
3120x g x x -=
<， 所以()g x 在区间[)1,0x ∈-上单调递增，所以min ()(1)4,g x g =-=从而4a ≤.
综上所述,4a =.
解法二(对a 进行分类讨论)
2()33f x ax '=-.
(1)0a ≤时, ()0f x '≤恒成立,∴()f x 在区间[]1,1-上为减函数,
min ()(1)2,f x f a ==-()f x ≥0 恒成立，∴20,2,a a -≥∴≥与0a ≤矛盾.
∴0a ≤不可能.
(2) 0a >时, 2()33f x ax '=-=3(a x x
+. ①01a <≤时,
[]1,1x ∈- ∴()f x '=3(a x x
+≤0恒成立, ∴()f x 在区间[]1,1-上为减函数, min ()(1)2,f x f a ==-∴20,2,a a -≥∴≥与
01a <≤矛盾. ∴01a <≤不可能.
②1a >时, ()f x '的正负、()f x 的单调性及函数值如下表
所以.1
240
42024
210
a a a a a a -⎧
-≥≤⎧⎪⎪⎪-≥∴≥⎨⎨⎪⎪≥⎩⎪-+≥⎩ ∴4a =.
综上所述,4a =. 解法三(不分类讨论)
因为对于任意[]1,1x ∈-,都有()f x ≥0 成立，
所以(1)0(1)0f f ≥⎧⎨-≥⎩ 即2040a a -≥⎧⎨-+≥⎩
24a ∴≤≤.
∴2()33f x ax '=-=3(a x x +. ∴()f x 在(1,-,上为增函数,在(上为减函数. ∴()f x 的极小值为f =1
221a --+.
∴12
210a --+≥,即4a ≥.
又24a ≤≤,4a ∴=. 解法四(特值法)
因为对于任意[]1,1x ∈-,都有()f x ≥0 成立，
所以(1)0(1)0f f ≥⎧⎨-≥⎩ 即2040a a -≥⎧⎨-+≥⎩ 24a ∴≤≤.
取12x =
,则11
()0282a f =-≥,∴4a ≥. 又24a ≤≤,4a ∴=.
确定不等式恒成立的参数的取值范围，涉及包括一次函数、二次函数、三次函数、幂函数、指数函数、对数函数及三角函数等初等函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、分类讨论、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养学主思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，是中学数学教学的重点和难点。
因此也成为历年高考的一个热点。
解答这类问题主要有三种方法：其一，分离参数，转化为利用函数的单调性求函数的最值；其二，数形结合法；其三，特值法。
2008年普通高等学校招生统一考试（江苏卷）14题，是一道较难的含参数不等式恒成立问题的填空题，因此，我们考生就自然想到利用解法一或解法二来解决，有关《2008年普通高等学校招生统一考试试题、参考答案》所给出的解答也是以解法一为主。
若将试题设问“则实数a的值为”改为“则实数a 的取值范围为”，则利用解法一或解法二来解决较好。
但命题者降低了试题难度，只限于求实数a的值，因此，在高考规定的紧张的二个小时内，解答时不宜利用解法一或解法二来解决，我们考生应仔细审题，洞察题意——仅需求实数a的值，故用解法四特值法为最好。