对一道高考题的解法探究及教学启示
浅谈由一道高考题引发的教学思考
浅谈由一道高考题引发的教学思考1. 引言1.1 高考题的背景高考题在现代教育中扮演着至关重要的角色。
作为中国高中生命中最重要的一关，高考题的设计和组成都经过精心筛选和论证。
高考题的背景可以追溯到国家教育体制的改革与发展。
自1977年高考恢复以来，高考题每年都在不断变化和创新中发展壮大。
高考题题型也逐渐从以往的填空、选择题向更注重学生思维能力和创新能力的发展方向演变。
高考题的背景不仅反映了当今社会对教育的趋势和需求，也反映了考试评价标准的变化和更新。
通过高考题的设计和实施，可以有效评估学生的学习成果和能力水平，为学生未来的发展提供重要的参考依据。
高考题的背景是多方面因素综合作用的结果，体现了教育改革的进步和对学生全面素质培养的追求。
1.2 高考题的启发性高考题的启发性在教学中具有重要的意义。
高考题不仅是对学生学习成果的检验，更是对学生综合能力和解决问题能力的考验。
通过解答高考题，学生可以加深对知识的理解和掌握，培养逻辑思维和推理能力。
高考题的启发性在于它们往往涉及到多个知识点的综合运用，需要学生在有限的时间内做出正确的判断和决策。
这种能力的培养对学生的终身发展都具有重要的意义。
高考题的启发性还在于它们可以激发学生的学习兴趣和求知欲。
面对一道道挑战性的高考题，学生需要不断思考、探索和学习，这种过程不仅可以提高他们的学习积极性，还可以培养他们的自主学习和解决问题的能力。
高考题的启发性在于它们可以促使学生不断地思考、学习和提高自己的综合素质。
通过解答高考题，学生可以不断地挑战自我，开拓思维，提高学习水平，实现自身的全面发展。
2. 正文2.1 高考题背后的思考高考题背后的思考包括对于题目设计者意图的解读、考题背后隐藏的知识点、解题技巧的探讨等方面。
高考题往往经过精心设计，旨在考察学生对知识的掌握程度、思维能力和解决问题的能力。
解答高考题需要学生具备扎实的基础知识和灵活的思维能力，而背后的思考则需要考生更深入地理解题目涉及的知识点，抓住题目核心思想，找准解题思路。
一道高考题的多种解法评析及其教学反思
一道高考题的多种解法评析及其教学反思高考是中国学生们备受关注的重要考试，它在学生们的学业生涯中扮演着至关重要的角色。
高考题是学生们检验知识掌握和思维能力的重要工具，让我们来评析一道高考题的多种解法，并思考如何在教学中提供更好的辅导与指导。
下面，我们将分析一道数学高考题：已知某数列的通项公式为an = n^3 - 2n，求数列的前n项和Sn。
这道题要求求解数列的前n项和，对于学生来说，有多种解法可以得到正确答案。
下面我将列举几种常见的解法，并对这些解法进行评析。
解法一：逐项计算法这种解法是最直观的方式，即从第一项开始逐个计算直到第n项，并将它们求和。
例如，当n=4时，数列的前4项分别为1，6，15，28，将它们求和可得50。
这种解法的优点是容易理解和操作，对于初学者来说较为友好。
然而，当n较大时，手工计算将变得极为繁琐和耗时，容易出错。
解法二：数学归纳法数学归纳法是一种常用的数学证明方法，也可以用来解决这道题。
首先，我们可以通过观察数列的前几项，猜测出数列的前n项和的通项公式为Sn = (n^2)(n-1)^2/4。
接下来，我们可以通过数学归纳法来证明这个猜测。
首先，当n=1时，显然数列的前1项和为1；其次，假设当n=k时，数列的前k项和的通项公式成立。
那么我们只需要证明当n=k+1时，数列的前k+1项和的通项公式也成立。
通过展开数列的前k+1项，并利用归纳假设，我们可以得到Sn+1 = (k^2)(k-1)^2/4 + (k+1)^3 - 2(k+1) = [(k^2)(k-1)^2 + 4(k+1)^3 - 8(k+1)]/4 = [(k-1)^2(k^2 + 4k + 4) + 4(k+1)(k+1)(k+1) - 8(k+1)]/4 = [(k-1)^2(k+2)^2 + 4(k+1)(k+1)(k+1) - 8(k+1)]/4 = [(k+2)^2(k-1)^2 + 4(k+1)(k+1)(k+1) -8(k+1)]/4 = [(k+2)^2(k-1)^2 + 4(k+1)(k+1)(k+1) - 8(k+1)(k+1)]/4 =[(k+2)^2(k-1)^2 + 4(k+1)(k+1)(k+1 - 2(k+1))]/4 = [(k+2)^2(k-1)^2 +4(k+1)(k+1)(k-1)]/4 = (k+2)^2(k-1)^2/4 + (k+1)(k+1)(k-1) =[(k+1)^2(k+2)^2 - (k+1)(k-1) + (k+1)(k-1)]/4 = [(k+1)^2(k+2)^2 - (k+1)(k-1)]/4 = [(k+1)(k+2)(k+1)(k+2) - (k+1)(k-1)]/4 = [(k+1)(k+2)(k+1)(k+2 -k+1)]/4 = [(k+1)(k+2)(k+2)(k+1)]/4 = (k+1)^2(k+2)^2/4 = (k+1)^2((k+1)-1)^2/4。
近年高考试题分析及对教学启示
近年高考试题分析及对教学启示广东理科综合考试模式已经进行了三年时间，今年是第四个年头，模式、内容范围、难度不会有较大的改动。
从这三年的考试真题来看，广东高考物理学科主要是三大类型题，分别是选择题、实验题、计算题。
通过对这三年广东高考真题分析可以得这样的结论：在选择题中主要考察基本概念、基本规律、基本运算。
知识面覆盖广泛，知识点较多，但难度不大，比会考水平略高。
在实验中主要考察实验原理、实验步骤、数据处理、导线连接、读数、电路设计。
难度不大，重在细节。
偏向考察是否有操作实践经验。
在计算题中主要考察质点在几种模型运动中主要公式、定理、定律的综合应用，全部是运动与力的关系类型。
比3+x模式的难度降低很多。
通过以上分析，我得出对教学启示是：一、在高一、高二教学过程中，一定要严格按照新课标的精神及教学要求脚踏密实地的进行教学，不要一味地向高考看齐。
把基础工作做实做牢做细致，该做的演示实验不能怕麻烦，更不能用PPT代替，一定要亲自把实验器材摆到课堂上，亲自做给学生看。
该做的分组实验更不能偷工减料，更不能减小实验次数，一定要保质保量地完成，有条件的还应该多开一些分组实验。
适用探究法的课，一定要进行探究，例如：《自由落体运动》《牛顿第二定律》《探究外力做功与动能变化的关系》等。
下面重点例举《牛顿第二定律》三节课的安排。
在第一节课中讲到《影响加速度的因素--质量、合外力》（猜想）在本节课中，多举相关的实例。
1、乒乓球运动大家非常熟悉了，如果把乒乓球换成玻璃球、网球、铅球呢？还能象乒乓球那么快得抽杀吗？为什么？（力是差不多的，但质量差别大了）2、在差不多的动力条件下，给自行车、小汽车、大卡车、载重汽车、飞机、火车、万吨巨轮加此动力，比较加速度大小。
3、在差不多的质量条件下，用不同的动力（如火箭发动机、摩托车发动机）带动小汽车运动，比较加速度大小。
通过多样的实例，让学生猜想与加速度有关的因素，达到猜想的目的。
在第二节课中讲到《加速度与质量、合外力的定性关系》（假设）通过以上实例，可以得到：1、质量一定时，合外力越大，加速度越大的定性结论。
一道浙江数学高考题引发的探究与教学启示
图1
&+y = m
+ 8kx + 4 - 4m二0,由韦达定理得xx + x2 =
FT乔g 滤 - 2%2,于是有I x2
丁,又由看=2岗得衍 1 + 4k
8丨 I 二
8
W
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1+4厂4山+缶
8 2
=2,当且仅当I k\ =*时等号成
处取得最大值4,即点B的横坐标的绝对值取得最大 值2.
点评：解法2主要由两点坐标间的关系代 入椭圆方程,通过“消元”思想把点B横坐标的平方 珂转化为关于参数m的一个二次函数，运用二次函 数性质快速求解出m以及丨靭丨的最大值，让人耳目
一新，瞬间觉得“山重水复疑无路，柳暗花明又一 村”.该解法有效地避免了分类讨论，巧妙地简化了 繁琐的代数运算，解法虽很优美，但难点是如何巧妙 “消元”、构造二次函数，基础一般的同学恐怕难以 想到这个思路.
3.换元法的视角（三角换元，快速突破） 解法3：由题意设点B坐标为（2 Jocose,
y/msinO）,于是由4P 二 2 PB 可得4（ - 40^cos&,3 2 v^sin^）,把力"两点坐标代入椭圆方程得
1.韦达定理模型的视角(韦达定理，凸显通法) 解法1：如图1分类讨论:①当直线的斜率不
2020年第2期
中学数学研究
・17・
存在时，由题知4（0, -伍）上（0,丽）,于是得TH =9 ,xB = 0.
②当直线AB的斜率存 在时，设AP方程为y =蠢+
方程组
1y = kx + 1, x*12 2 =（i 〃）/
解问题，使学生掌握一些合理设计算法形成简便运 算的方法,体会数学思想，培养核心素养.本教学片 段针对学生的运算困惑和解题思路给予了合理的指 导和点拨.
一道高考试题解法探究的教学片段及思考
悟 ， 中 已有 底 ， 心 但不 露 声 色 ， 让 学 生 自己发 现 ， 要
一 一
生 １ 板演如 下 ） 因 为 Ｂ＝６ 。Ａ ， （ ： ０ ，Ｃ＝ 由正
弦定理 知 ，
笪
一Ｒ ２
ｓｎ — ｓｎＣ — ｓｎＢ 一 一 ’ ｉＡ ｉ ｉ 一
７ ５ａ＋（ 一 ）＝０ ａ一 ｔ ｔ ３ ，
要使 方程 有解 ， 则根 的判 别式
Ａ＝（一５） ４Ｘ ｔ ３ ≥０， ￡ 一 Ｘ（ ７ 一 ）
定 理进行 边角 转换 ， 三角形 中关于边 的不 等式转 将
化 为关 于角 的不等式 ， 分 利用 三角 函数 的有 界性 充 进行 处理 ， 以致 用 ， 好 （ 此 设 计 这 道 题 的 目 学 很 至
的已经达 到 ） ！
解得 ｆ ． ｔ ２ ， 人 式 （ ） 式 （ ） 得 ≤２ 当 ＝ 代 １， ２解
口：
， ：
． 因为 ＡＡ Ｃ存 在 ， 以 的 最 大 Ｂ 所
第 ５期
殷 长征 ： 一道 高考试题 解法探 究的教 学片段及 思考
・２ １・
值 为 ２ ， Ａ ２ Ｃ的最大值 为 ２ ． 即 Ｂ＋ Ｂ 此 时 ， 班 同学 都 为 生 ３的精 彩 演绎 而 鼓 掌 ， 全 并投 去 了赞许 的 目光． 师： 太好 了 ！生 ３的解 法 更 简捷 ， 解题 的 关 键
这 时 ， ３举起 了手 ， 生 并急不 可待 地走 到黑 板 前 ， 板
演如 下 ： 生 ３ 设 角 Ａ， ， ： Ｃ所对 的 边分 别 为 ａ ｂ ｃ 则 ， ，，
所 以
从 而
Ｂ Ｃ＝ ｓ Ａ，Ｂ＝ ｓ Ｃ， ２ｉ Ａ ２ ｉ ｎ ｎ
一道高考题的解题分析与教学启示
ｃ ｏ ｓ ａｊ ）＝ ５ ｚ，
在 上文 的解 题 中 ， 虽 已 严 格论 证 ， 但 并 未看
清 这道 题 的 本 质 ， 现 变 换 一 个 角 度 来 处 理 条 件
２ ０ ｌ ３年 第 １ 期
统 计 与概 率 的 中考 考 点 聚 焦
安徽 岳 西县城 关 中 学 李 庆社 （ 邮编 ： ２ ２ ４ ２ ２ １ ）
１ 考 点 聚 焦
越重要． 因此 ， 统 计 与 概 率 知 识 是 各 地 中 考 重
点 考 查 内容 之 一 ． （ １ ） 能 根 据 具 体 的 实 际 问题 或 者 提 供 的 资 料， 运用 统计 的思 想收 集 、 整理 和 处 理一 些 数 据 ，
题的， 有老 师在 该杂 志 的 网页 论坛 上 寻 问 如何 解
手 ） ・ （ 号＋ 手 ） 一 ３ 丌 。 ．
作为 考试 ， 至此 可 结束 ， 选 Ｄ不会 错 ， 而作 为
答这 道题 ， 进 而笔 者 又在 网上搜 索 该 题 的相 关 情 况： 其 中考 生 普 遍 认 为这 道 题 难 度 大 ， 他 们 表 示
ｎ。
要， 从而
Ａ ． ｏ Ｂ ． 丌 。 ｃ ． 吉 丌 。 Ｄ ． 丌 ２
１ 试 题 概 况
［ （ ａ ３ ） ］ 。 － ａ ｌ ａ ｓ 一 （ ２ ’ 号 一 ｃ 。 ｓ 号 ） 一 （ 号
一
笔者最 初 是 在《 数 学 通 迅 》的 网 页 上见 到此
（ ） 一 ｌ Ｏ ｘ 一 （ ＋ ２ ｃ 。 ｓ 专 ＋ １ ） Ｃ Ｏ Ｓ 一 ５ 丌 ，
一道高考实验探究能力题的赏析与启示
ＮａＺ Ｏ：Ｈ ｔ据 此 ， 取 面 积 为 Ｓ 双 面 镀 锌 薄 铁 板 试 ＝ｎ ＋ ， 截 的
样 ， 碎 ， 得 质 量 为 ｉ。 用 固 体 烧 碱 和 水 作 试 剂 ， 剪 称 ｎｇ 。 拟
出下 列实验 方案并 进 行相关 实 碱 反 应 来 实 现 探 究 目标 。 （ 选 用 Ｂ和 ２）
● ！ ，
‘ ｒ
的教学目 标之一。 要开展好环保 这样改进， 实验现象出 现较快并且明显。 为尽可能减少 教育， 需要教师平时注意收集环 实验中挥发出的氨气， 可将锥形瓶或大试管口用橡皮
保 信 息 ，了 解 先 进 科 技 成 果 ， 并 塞塞住 。
注意紧密联系实际， 将其自然渗
０
～
方 案丙 中 ， 生往 往 对题 意 理 解 不够 深 刻 、 面 ， 而 学 全 从
（ ５）若 装 置 Ｂ中 的 恒 压 分 液 漏 斗 改 为 普 通 分 液 漏 斗 ， 量 结果 将 测
— —
导致 在思 考 、 理 等方 面 出现 障碍 。 实 只要明 确ｚ ＋ 推 其 ｎ ２ ａ Ｈ＝ ａ Ｏ ＋ 是 放 热 反 应 ， 会 使 溶 液 中 的 水 Ｎ Ｏ Ｎ ￣ｎ Ｈ ｔ
∞（ ｎ） 镀 层 厚 度 ， 询 得 知 锌 易 溶 于 碱 ： ｎ ２ ＯＨ＝ ｚ 和 查 Ｚ ＋ Ｎａ
题 ， 分考 生 会 感到 有 一定 的 难 度 。实 际 上此 间 难度 部 并 不 大 ， 要 能 联 想 到 ：＝ 只 ｐ ｍ／ Ｖ＝ ｄ（ 为 镀 层 厚 度 ） Ｖ， Ｓ ｄ
（ “ 大 ”、 偏 小 ” “ 影 填 偏 “ 或 无
践探
． ．
ｌ矗Ｕ ｌ 自然长廊 ＧｉｅＯ 鞠ｏ Ｔ ￡鼹 口
化 学 教 学 中开 展环 保 Ｉ － 育 是 新 课 程 标 准 下 Ｔ 教 后 安 全 地 放 到 锥 形 瓶 或 大 试 管 中 ，盛 有 浓 氨 水 的 小 试 管放 在下 面 ， 有无 色酚酞溶 液的 小试管放 在上面 。 盛 经
一道高考试题的解法赏析及其教学启示
一道高考试题的解法赏析及其教学启示隆建军四川省攀枝花市大河中学校一道优秀的高考试题是经过出题专家深思熟虑、多次演算而编撰的，具有极高的教学参考价值.它可以考查不同能力层次的学生，而不同能力层次的学生也可以从不同角度去思考该问题.所以我们老师在教学中分析该试题时不能直接按参考答案讲完就可以了，而是需要我们运用不同知识，从不同角度去思考该题，让学生养成对所学知识融会贯通的习惯，从而培养学生发散思维、创造性思维和创新能力，本文从不同角度对2013年全国课标卷理科15题进行分析和解答，同时探讨了一题多解的教学启示.1.解法分析题目：设当θ=x 时，函数x x x f cos 2sin )(-=取得最大值，则=θcos . 方法一：)sin(5cos 52sin 515cos 2sin )(α-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=x x x x x x f 其中52sin ,51cos ==αα， 当θ=x 时，1)sin(=-αθ，即)(22Z k k ∈+=-ππαθ时，5)(max =x f 由αππθππαθ++=⇒∈+=-22)(22k Z k k . 即52sin 2cos 22cos cos -=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ααπαππθk ，所以552cos -=θ 评注1：辅助角公式是研究三角函数中最值、值域、单调性等函数性质的重要公式，必须让学生准确记忆、掌握和熟练运用公式，形如ααcos sin b a +的形式都可以化成如下形式：()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a ， 其中,cos ,sin 2222b a a b a b +=+=ϕϕϕ为辅助角，ϕ角的终边所在象限由点),(b a 确定.特例：若c b a =+ϕϕcos sin ，且222c b a =+，则有ca cb ==ϕϕcos ,sin (其中b a ,为不同时为零的常数，c 是非零常数)从方法一的解答过程可知，本题可以理解为：已知5cos 2sin =-θθ，求θcos 的值. 方法二：利用同角三角函数基本关系和方程组思想有： 04cos 54cos 51cos sin 5cos 2sin 222=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-θθθθθθ()02cos 52=+⇒θ所以552cos -=θ. 评注2：该方法是题目条件最值含义的理解得出的，思路自然流畅，突出对公式的直接运用，也体现了数学计算的核心素养.方法三：构造向量的坐标，利用向量数量积的定义和共线向量求解.设)2,1(),cos ,(sin -==b a θθ51==,由=⋅θαcos≤ 所以5cos 2sin ≤-θθ，当5cos 2sin =-θθ等号成立.=成立，从而向量,共线，所以0cos sin 20cos )2(sin =+⇒=--⨯θθθθ. 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=+552cos 55sin 5cos 2sin 0cos sin 2θθθθθθ，所以552cos -=θ. 评注3：该方法串联了向量数量积的定义、三角函数的有界性和两个向量共线的充要条件等知识，题目虽小，但是起到了复习相关知识的重要作用，从而可以引导学生对所学知识的交叉使用，知识是死的，但我们的思维是活的.方法四：利用二维柯西不等式：2212121212121)())((b b a a b a b a +≥++中的取等条件求解，由()()()22222cos 2sin cos sin )2(1θθθθ-≥+-+(*)，由柯西不等式取等号的条件可知，当且仅当θθsin 2cos -=时，不等式(*)的等号成立。
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且相似比为÷ ．
． ．
图４
ＤＧ ＝ ０Ｄ ＝ ２．
。 ． ．
同理 设 Ｇ 是 线 段 Ｄ Ａ与 Ｆ 的 延 长 线 的 交 点 ， Ｃ 有
０Ｇ ： ＝ ｌ ：２ ． ＣＧ ： Ｇ０ ＝ １：２．
同理 Ａ ： Ｅ ＝ １： ，Ｈ ： Ｏ ＝ ｌ： ． Ｈ Ｈ ２Ｂ Ｈ ２
２中 ， 不少考生正确地证 明 了四边形 Ｂ ＭＮ是 平行 四 Ｃ 边形之后 ， 也回到 了上 述错 误 中去 了． 这些 典型错 误 都说明 了考生对 证 明线线平 行 的通性 通法 的掌握 是 十分薄弱的 ， 也是 不成 系统 的 ， 考生 心里 没有解 决 在
这 类 问 题 的 通 性 通 法 和 明 确 的 证 明 思 路 ， 本 属 于 基
一
依据 ： ＝Ａ ＝口／ ． ｎ ＝ ／西 》 方法一 ： 如图 ５， 建立空间直角坐标系 ，
７ 一 ２
高
中
高考研究
中学 小 数学． 版Ｉ 中 Ｉ 学 Ｉ
平 面 Ｏ Ｆ 或平面 Ｏ Ｃ／平面 Ｄ Ｆ 之后 ， Ｂ Ｃ Ｅ（ Ｂ ／ Ｅ） 利用 Ｃ 平 面Ａ Ｃ Ｆ Ｂ ， 面 Ｏ Ｆ 就得 出了Ｂ ／Ｅ ； Ｃ平 Ｅ， Ｃ ／ Ｆ 在思路
ｌ 小学 ｌ 中 数学．学 １ … … … … 高 研 中 版ｌ … … … 考 究 ． ＿ …
高中
安 徽 省 阜 阳 市 第 三 中 学 （３ ０ ６ 董海 涛 ２６０ ）
２ １ 年高考数学安徽卷 （ 科 第 ｌ ０１ 文 ９题 ， 科 第 １ 理 ７ 题 ） 是 一 道 受 到 大 家 称 赞 的 试 题 ， 本 题 进 行 多 视 角 ， 对 多 方 位 思 考 ， 以 准 确 把 握 高 考 方 向 ， 时 调 整 教 学 可 即 策 略 ， 高高 三复习的有效性． 提 题目 如 图 １Ａ Ｅ Ｆ ，Ｂ Ｄ Ｃ Ｆ 为 多 面 体 ， 面 Ａ Ｅ 与 平 面 平 ＢＤ Ａ Ｆ 垂 直 ， ０在 线 段 Ａ ＣＤ 点 Ｄ
． ．
Ｂ ／Ｅ ． Ｃ／ Ｆ 说 明 ： 可 以在 图 ４中连 结 ｃ 交 Ｏ 于 Ｇ ， 结 也 Ｄ Ｆ 连
Ｂ 交 ＤＥ 于 Ｈ， 明 方 法 同上 ． Ｄ 证
思 路 ３ 向量 法 ：
说 明 ： 照 同样 的 思 路 ， 可 以 在 图 ２ 中先证 明 Ｇ 按 也 与 Ｇ 重合 ， 曰， Ｅ， 有 ｃ， Ｆ四点共面 ， 再证 明平 面 Ｏ Ｃ∥ Ｂ
七 ， Ａ ＝ ｌ Ｏ ＝ ２． ＯＡ Ｏ ，Ｄ △ Ｂ，
平 面 Ｄ Ｆ， 者 先 证 明 Ｇ与 Ｇ 重 合 ， Ｂ， ， Ｆ四 点 Ｅ 或 有 Ｃ Ｅ， 央面 。 再证 呗平面 ＭＢ ／平面 Ｎ Ｆ Ｃ／ Ｅ． 思 路 ２ 线 线 平 行 ＝ 线 线 平 行 ． ＝ ＞ 话 ｆｂｂ， ｃ ａｆ ｆ ｆ 方 法 一 ： 图 ３ 设 如 ， Ｏ Ｏ Ｆ， Ｅ的 中 点 为 ， Ⅳ， 连 结 Ｃ ，Ｎ， Ｍ Ｂ ＭＮ，则
（ ，， 寻 ） 譬
（Ｉ Ｉ）解 法 略 ．
ＡＯ Ｃ 是 边 长 Ａ 为 １的 正 三 角 形， ＡＯ Ｆ是 边 长 为 ２ 的 Ｄ 正 三角 形 ，
‘ ’
． ．
图３
ＡＣ
ＯＭ ＡＣ ＝ ＯＭ ．
‘ 。 ．
四边 形 Ｃ ０是 平 行 四 边 形 ．
Ｃ ｆ Ａ Ｃ ：Ａ Ｍ ｆ Ｏ．Ｍ Ｏ 同理可得 Ｂ Ｎ∥ Ａ Ｂ ＝Ａ ． Ｏ， Ｎ Ｏ Ｃ ｆ Ｎ．Ｍ ＝Ｂ ． Ｍ Ｂ Ｃ Ｎ
‘
．
．
四边 形 Ｂ ＭＮ是 平 行 四边 形 ． Ｃ
・ ．
．
＿ ． ．
Ｂ ／ＭＮ Ｃ／ ． Ｂ ／Ｅ ． Ｃ／ Ｆ
说 明 ： 可 以在 图 ３中设 Ｄ Ｄ 也 Ｆ， Ｅ的 中 点 为 ， ， 』 ｖ 】
连 结 Ｃ ，Ｎ， Ｍ Ｂ ＭＮ， 者 设 Ｅ Ｅ 的 中 点 为 ， ， 结 或 Ｆ，Ｄ ，连 ｖ
Ｃ ， 肘 ＯＮ， ＭＮ， 明 方 法 同上． 证
思 路 １ 面 面 平 行 ｊ 线 线 平 行 ．
方 法 二 ： 图 ４， 如 连
结Ａ Ｆ交 Ｏ Ｃ于 Ｇ ， 结 连 Ａ Ｅ交 Ｏ Ｂ于 Ｈ
－ ． ’
Ａ ／Ｏ Ａ ＝ Ｃ／ Ｆ．Ｃ
＋Ｆ Ｏ，
Ｄ
． ．
ＧＡ Ｇ — ＡＦ Ｃ ＯＧ．
’ ． ．
Ｇ与 Ｇ 重 合 ， 以 有 Ｂ， Ｆ， 四点 共 面 ． 所 Ｃ， Ｅ
ＡＣ ｆ ＯＦ Ａ ｆ Ｅ． Ｂ Ｏ
ＢＣ．
在 △Ａ Ｆ中有 Ｇ ／Ｅ 在 △Ｏ Ｃ中有 Ｇ Ｅ Ｈ／ Ｆ， Ｂ Ｈ∥
．
’
平面 Ａ Ｃ∥ 平 面 Ｏ Ｆ Ｂ Ｅ ． 义 Ｂ ， Ｆ分 别 是 平 面 Ａ Ｃ和 平 面 Ｏ Ｆ与 平 面 ＣＥ Ｂ Ｅ Ｂ Ｅ 的交 线 ， ＣＦ ｊＢ ｜Ｅ ． Ｃ ｆ Ｆ
ＭＮ ７ ７ＥＦ
Ａ Ｏ Ｃ △Ｏ Ａ ， ＤＥ， Ｄ 都 是 ＡＯ Ｆ 正 ｉ 角形 ． （Ｉ） 明直 线 Ｂ 证 Ｃ∥ Ｅ Ｆ； 图１ （Ⅱ）求 棱 锥 Ｆ —Ｏ Ｅ 的体 积 ． ＢＤ １ 总体认识 ． 本题 考 查 的 是 ： 间 直 线 与 直 线 ， 线 与 平 面 ， 空 直 平 面与 平 面 的 位 置 关 系 ， 间 直 线 平 行 的 证 明 ， 面 体 空 多 体积 的计 算等基本 知识 ， 考查 空 间想 象 能力 ， 理论 推 证 能力和运算求解能力． 是一道背 景新 颖 ， 口较 宽 ， 入 解法 多样 ， 维灵 活 ， 思 值得研究 的题 目． ２ 解 法探究 ． 我 们 知 道 ， 明 线 线 平 行 ， 本 思 路 有 面 面 平 行 证 基 线 线 平 行 、 面 平 行 ｊ 线 线 平 行 、 线 平 行 ｊ 线 线 线 线 平 行 ， 及 向 量 法 ．下 面 我 们 探 究 问 题 （Ｉ） 问 题 以 ，