一类共振条件下分数阶多点边值问题的可解性
一类含有时滞的分数阶Laplacian方程共振边值问题解的存在性
一类含有时滞的分数阶Laplacian方程共振边值问题解的存在性郑春华;马睿【摘要】This research studies the existence of the solution for the two-point boundary value problem at resonance and delay in a class of the fractional differential equation with a p-Laplace operator, and obtains some new results for the existence of the solution for this boundary value problem by using Mawhin's continuation theorem, and some previous researches are generalized.%研究了一类具有时滞的分数阶Laplacian方程两点共振边值问题, 利用Mawhin连续性定理获得了该边值问题解存在的充分条件, 得到了一些新的结果.【期刊名称】《云南民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(028)002【总页数】7页(P144-150)【关键词】分数阶微分方程;时滞;p-Laplace算子;共振;两点边值问题;连续性定理【作者】郑春华;马睿【作者单位】陕西工业职业技术学院基础部,陕西咸阳 712000;陕西工业职业技术学院基础部,陕西咸阳 712000【正文语种】中文【中图分类】O175.80 引言虽然分数阶微积分的讨论始于微积分的发明人莱布尼兹，但由于它刚开始出现时缺乏实际应用背景，关于分数阶微积分的研究一直进展缓慢并且主要局限于理论上的讨论.近几十年来，分数阶微积分特别是分数阶微分方程在粘弹性力学、电分析化学、生物电传导等科学与工程中的应用越来越广泛，分数阶微分方程的研究受到科研人员和数学工作者的青睐 [1-4].分数阶微分方程边值问题的研究作为微分方程边值问题研究中的一个新课题，由于其应用的广泛性，吸引了诸多科学研究人员和数学工作者的重视，已经出现了一些优秀的研究成果[5-9].文献[5]以Krasnoselskii不动点定理和Leggett-Williams不动点定理为工具研究了问题正解的存在性.以文献[6]的工作为基础，文献[7]的作者利用Krasnoselskii不动点定理研究了相同边值条件的含参数边值问题得到了其正解的存在性.鉴于p-Laplace算子丰富的应用背景， Laplacian方程边值问题的研究一直都是微分方程研究的热点问题.经过广大科研人员的努力，含有p-Laplace算子分数阶微分方程边值问题的研究结果已经出现了一些结果.陈太勇先生利用重合度理论在共振条件下讨论了分数阶微分方程两点边值问题解的存在性[10].刘锡平先生利用压缩映射原理研究了分数阶微分方程两点非共振边值问题解的存在性[11].由于时滞微分方程在实际应用中的重要作用，关于它的研究已经取得了大量的成果，但对于含有时滞的分数阶微分方程边值问题的研究工作还不是很多[12-18].在以上研究工作的基础上，我们利用Mawhin连续性定理讨论了具有时滞的两点共振边值问题(1)解的存在性，其中和均表示标准的Riemann-Liouville型分数阶导数.根据我们掌握的资料，即使边值问题(1)中未含有时滞时，也没有被现有研究结果讨论过.1 预备知识定义1[3] 设α>0，定义函数f(t)的α阶Riemann-Liouville型分数阶积分为定义2[3] 对于函数f(t)和α>0，定义f(t)的α阶Riemann-Liouville型分数阶导数为其中n=[α]+1.引理1[5] 对于α>0，u∈C(0,1)∩L(0,1)，则分数阶微分方程有唯一解u(t)=c1tα-1+c2tα-2+…+cntα-n，其中ci∈R(i=1,2…,n).引理2[5] 对于α>0，u∈C(0,1)∩L(0,1)，则存在ci∈R(i=1,2…,n)使得引理3[2] 当β≥0，α+β≥0，u∈L(0,1)时有引理4[8] 对于μ>0，N=[μ]+1，则在范数下为Banach空间.引理5[8] F⊂Cμ[0,1]为列紧集的充要条件是F一致有界且等度连续.引理6[19] 设X和Y为2个Banach空间，L:D(L)⊂X→Y为零指标的Fredholm 算子，Ω⊂X是一个有界开集，N：Ω×[0,1]→Y且L-紧，如果下列条件满足1) Lx≠λNx，∀(x,λ)∈[D(L)∩∂Ω]×(0,1)；2) Nx∉lm L，∀x∈∂Ω∩KerL，3) deg(JQN,Ω∩KerL,0)≠0，则方程Lx=Nx在上至少存在一个解.引理7 边值问题(1)等价于下面的边值问题(2)其中q>1，满足证明若x(t)为边值问题(1)的解，则由引理2和方程可知再根据可知c0=0，从而有故x(t)必为边值问题(2)的解.显然，问题(2)的解也为问题(1)的解.令则由引理4可知X和Y分别在范数和下成为Banach空间.定义算子其中引理8 对于算子L有Ker L={x|x∈X,x=ctα-1,t∈[0,1],c∈R}，证明设则由引理1和1<α≤2可得x(t)=c1tα-1+c2tα-2，t∈[0,1]，再结合条件可知c1∈R,c2=0，故Ker L={x|x∈X,x=ctα-1,t∈[0,1],c∈R}.对∀令易知再根据可知进而可得从而可知故y∈lm L，即⊆lm L.反之，对∀y∈lm L，则存在x∈D(L)使得由引理2和条件x(0)=0可知再利用引理3和边值条件及可得即也即故即lm L⊆.从而根据以上推理可知引理9 L为零指标的Fredholm算子.证明定义投影算子易知Ker Q=lm L，Y=lm L⊕lm Q.故L为零指标的Fredholm算子.定义投影算子容易验证lm P=Ker L，X=Ker L⊕Ker P.记LP=L D(L)∩KerP:D(L)∩KerP→lm L，则LP具有连续的逆算子LP-1且引理10 设Ω为X中的有界开集，则N在上L-紧.证明引例10的证明和参考文献[14]中引理9的证明完全类似，在此不再赘述.2 主要结果及证明定理1 设连续函数m(t),n(t)和常数t0>0,r0>0满足下列条件：A1) 对∀x,y∈R，t∈[0,1]有|f(t,x)|≤m(t)+n(t)|x|,A2)对∀x∈dom L且|x(t)|>r0,t∈[t0,1]，有A3) p>2或则边值问题(1)至少有一个解.证明考虑边值问题(2)对应的辅助问题(3)显然边值问题(3)等价于算子方程Lx=λNx.下面估计边值问题(3)解的先验界.令Ω1={x|x∈D(L)∩X,Lx=λNx,λ∈(0,1)}，对任意的x(t)∈Ω1，则有Lx=λNx，即λNx∈lm L=ker Q，进一步有QNx=0，即也即(4)则由(4)式和条件A2)可找到t1∈[t0,1]满足|x(t1)|≤r0，再利用引理2和条件x(0)=0可得故有所以从而可知进一步可得利用条件A1)可知利用条件A3)可知存在常数M1>0满足再利用f(t,x)的连续性可知存在常数M2>0使得显然Ω1有界，也即问题(3)的解有先验界.令Ω2={x|x∈Ker L,Nx∈lm L}，则对任意的x(t)∈Ω2，有其中c为常数.因为Nx∈lm L故QNx=0，从而可以得到由条件A2)可知存在t2∈[t0,1]满足| ct2α-1|≤r0,进而可得故有显然，Ω2有界.取有界集使得Ω1∪Ω2⊂Ω，由上面的讨论知，Ω满足引理6中的条件(1)和(2)，定义同构映射则由Ω的选择易知对∀(x,λ)∈[∂Ω∩Ker L]×[0,1]有不妨设QNx>0，r2>0.取同伦映射为H(x,λ)=λx+(1-λ)JQNx，显然有H(x,λ)=λr2tα-1+(1-λ)QNxtα-1=(λr2+(1-λ)QNx)tα-1≠0，因此，deg(JQN,Ω∩Ker L,0)=deg(H(x,0),Ω∩Ker L,0)=deg(H(x,1),Ω∩Ker L,0)≠0.由引理6知边值问题在中至少有一个解，再利用引理7可知定理1结论成立.参考文献:【相关文献】[1] MILLER K S, ROSS B. 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一类无穷区间上分数阶微分方程多点边值问题解的存在性
一类无穷区间上分数阶微分方程多点边值问题解的存在性黄燕萍;韦煜明【摘要】该文主要研究一类Riemann-Liouville分数阶微分方程在无穷区间上的多点边值问题,利用Leray-Schauder非线性抉择定理得到边值问题至少存在一个正解的结论.【期刊名称】《广西师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(035)002【总页数】9页(P9-17)【关键词】分数阶微分方程;多点边值问题;非线性抉择定理【作者】黄燕萍;韦煜明【作者单位】广西师范大学数学与统计学院 ,广西桂林 541004;广西师范大学数学与统计学院 ,广西桂林 541004【正文语种】中文【中图分类】O175.11 引言分数阶导数是整数阶导数的推广.近年来,分数阶导数及分数阶微分方程在科学、工程等领域得到了重要应用,例如已成功应用于粘弹性材料、信号处理、控制、生物等领域.分数阶微分方程的理论研究刚起步,分数阶微分方程边值问题作为分数阶微分方程理论研究的重要分支之一,得到研究者们的重视.[1]分数阶微分方程边值问题近年来成为学者们的研究热点,关于在有穷区间上特别是在区间[0,1]上讨论分数阶微分方程多点边值问题解的存在性的文献相对比较多,如文献[6～11].但是,对于无穷区间上分数阶微分方程多点问题的研究目前相对比较少,有文献[3,4,14].2010年,赵向奎等人在文献[14]中考虑了下面分数阶边值问题：,其中t∈[0,∞),1<α≤2,0<ξ<∞.该文通过不动点定理和Leray-Schauder非线性抉择定理,获得了边值问题解存在的充分条件.2011年,Liang等人在文献[4]中讨论了如下分数阶边值问题：,其中t∈[0,∞),α∈(2,3],0<ξi<1.此文利用锥上的算子不动点定理,得到了关于多点边值问题在无穷区间上正解存在和多解性的充分条件.2012年,白占兵在文献[3]中研究了如下无穷区间上分数阶微分方程多点边值问题：,其中t∈[0,∞), 1<α≤2,0<ξ<∞.该文通过Leray-Schauder二择一性来研究在无穷区间上边值问题解的存在性.受到以上文献的启发,本文研究如下一类无穷区间上分数阶微分方程多点边值问题：,(1.1)其中和是Riemann-Liouville分数阶导数,本文主要利用Leary-Schauder非线性抉择定理讨论多点边值问题(1.1)解的存在性.在本文中,我们作如下的假设:(A1) f∈C([0,+∞)×R×R)是连续函数,且当u在[0,+∞)上有界时,是有界的;(A2) a:[0,+∞)→[0,+∞)在[0,+∞)上不恒等于零,且设存在Q>0,使得0<a(s)ds<Q<+∞.2 预备知识为了方便,首先给出分数阶微积分的定义.定义2.1[3] 函数f:(0,∞)→R,f∈C(0,+∞)，的α>0阶Riemann-Liouville分数阶积分定义为等式的右端在(0,+∞)有定义.其中Γ(α)是Gamma函数，其定义为Γ(α)=e-ssα-1ds,α>0.定义2.2[3] 连续函数f:(0,∞)→R,f∈C(0,+∞)，的α>0阶Riemann-Liouville分数阶导数定义为等式的右端在(0,+∞)有定义.其中n=[α]+1,[α]为不超过α的最大整数.引理2.3[8] 设α>0,则方程在C(0,1)∩L(0,1)有解u(t)=C1tα-1+C2tα-2+… +Cntα-n,Ci∈R,i=1,2,…,n,其中n=[α]+1,[α]为不超过α的最大整数.引理2.4[2] 设α>0.若任意的u∈C(0,1)∩L(0,1)有α阶导数,且则对任意的Ci∈R,i=1,2,…,n,成立,其中n=[α]+1,[α]为不超过α的最大整数.引理2.5 设h(t)∈C[0,∞),则边值问题(2.1)的唯一解是u(t)=G(t,s)a(s)h(s)ds,其中.(2.2)证明由引理2.3和引理2.4可知,方程(2.1)等价于积分方程其中Ci∈R,i=1,2,…,n.于是的一般解为由边界条件u(0)=0,u(q)=0,可得C2=C3=…=Cn=0,从而-a(s)h(s)ds+C1Γ(α).再将边界条件代入得.故式(2.1)的唯一解为引理2.6 式(2.2)定义的格林函数G(t,s)具有如下性质: (1) 对任意的(t,s)∈[0,+∞)×[0,+∞),G(t,s)≥0且连续;(2) G(t,s)关于第一个变量t是单调递增的.证明 (1) 由于tα-1≥(t-s)α-1>0,Γ(α)>0,故,当0≤s≤min{t,ξi}<∞时,当0≤ξi≤s≤t<∞时,由有当0≤t≤s≤ξi <∞时,当0≤max{t,ξi}≤s <∞时,综上可得,G(t,s)≥0,且由G(t,s)的定义可知,格林函数G(t,s)是连续函数.(2) 由于tα-2≥(t-s)α-2>0,Γ(α)>0,所以当0≤s≤min{t,ξi} <∞ 时,同理可证当0≤ξi≤s≤t<∞时,当0≤t≤s≤ξi <∞时,当0≤max{t,ξi}≤s<∞时,综上,G(t,s)关于t是单调递增的.引理2.7[3] 令M⊆C∞有界,则M是C∞中的相对紧集,如果满足(1) u在[0,+∞)上局部等度连续;(2) V在+∞处等度收敛,即对∀ε>0,∃v=v(ε)>0,使得对任意的u∈V,t1,t2≥0,都有成立.定理2.8[3](Leray-Schauder型非线性抉择定理) 设E为Banach空间,C为E中的闭凸集,假设为C中的有界开子集,0∈Ω,且为连续紧映射,则(1) A在中有一个不动点,或(2) 存在u∈∂Ω,λ∈(0,1),使得u=λAu.3 主要结果定义C∞([0,∞),R,R)为存在,且存在},并赋予范数引理3.1 C∞([0,∞),R,R)是Banach空间.证明令是柯西列且在空间C∞上,则对任意的ε>0,存在N>0,使得对任意的t∈(0,+∞),n,m>N,有因此,一致收敛,即又由定义2.2得根据Beta函数的性质得由勒贝格控制收敛定理和一致收敛,以及得故C∞是Banach空间.考虑定义算子A:C∞→C∞为引理3.2 若假设条件(A1)、(A2)成立,则A:C∞→C∞是全连续算子.证明分四步证明.(1) 证A:C∞→C∞存在.由C∞的定义可知,存在,存在,故A:C∞→C∞存在.(2) 证A:C∞→C∞连续.在C∞中,令un收敛于u(n→∞),则有收敛于假设常数M>0,令则且由Lebesgue控制收敛定理和f的连续性知又因为所以A连续.(3) 证A等度连续.设Ω为C∞的有界子集,则A(Ω)⊂C∞有界且在[0,∞)上局部等度连续.因为Ω有界且f有界,故当u∈Ω时,有又所以A(Ω)一致有界.下证A(Ω)在[0,∞)的任何有界子区间上等度连续.对任意给定的ε1>0,取任意的t1,t2∈[0,+∞),且t2-t1<δ,使得令ε2=max{MQε1,MQδ},则有因此,A(Ω)在∞局部等度连续.(4) 证A(Ω)等度收敛.对任意的u∈Ω,有故A(Ω)在∞处等度收敛.由引理2.8及引理3.1可得,A:C∞→C∞全连续.证毕.定理3.3 假设条件(A1)和(A2)成立,且有(A3) 存在ρ>0,使得成立，则边值问题(1.1)有无界解u=u(t),使得证明考虑微分方程边值问题,(3.1)其中0<λ<1.求解方程(3.1)等价于求解不动点问题u=λAu.令假设存在u∈∂P,使得u=λAu,则由以上可得这与假设条件(A3)矛盾.故存在u∈∂P,使得u≠λAu.由引理3.2及非线性抉择定理可得,边值问题(1.1)有无界解u=u(t),使得参考文献：[1] KILBAS A, SRIVASTAVA A, TRUJILLO H M J. Theory and applications of fractional differential equations[M]. Amsterdam: Elsevier,2006.[2] 巴哈尔古力,张晓娜,胡卫敏.一类分数阶微分方程多点边值问题的多重正解[J].数学的实践与认识,2013,43(21):290-296.[3] 白占兵.分数阶微分方程边值问题理论及应用[M].北京:中国科学技术出版社,2012:1-210.[4] LIANG Sihua, ZHANG Jihui. Existence of multiple positive solutions for m-point fractional boundary value problems on an infinite interval[J]. Math Comput Model, 2011, 54(5):1334-1346.[5] 李炳宪.高阶分数阶微分方程多点边值问题解的存在性[D].济南:济南大学,2016.[6] 刘姣姣.分数阶微分方程非局部多点边值问题的解[D].曲阜:曲阜师范大学,2011.[7] 陆心怡.几类分数阶微分方程多点边值的正解[D].聊城:聊城大学,2013.[8] 刘文宁,严兴杰.分数阶微分方程多点边值问题解的存在性[J].江苏师范大学学报:自然科学版,2013,31(2):21-24.[9] LIU Yuji. Solvability of multi-point boundary value problems for multiple term Riemann-Liouville fractional differential equations[J]. Computers and Mathematics with Applications, 2012, 64(4):413-431. [10] WEI Suxin. Solutions to boundary value problem of fractional order on unbounded domains in a Banach space[J]. Nonlinear Anal, 2011,74(8):2844-2852.[11] 熊传霞.高阶微分方程多点边值问题正解的存在性[D].武汉：华中科技大学,2006.[12] XI Shouliang, JIA Mei, JI Huipeng. Multiple positive solutions for boundary value problems of second-order on differential equations system on the half-line[J]. Electron J Qual Theory Differ Equ, 2010,17:1-15. [13] 赵臣.几类分数阶微分方程的多点边值问题解的存在性[D].兰州：兰州大学,2012.[14] ZHAO Xiangkui, GE Weigao. Unbounded solutions for a fractional boundary value problem on the infinite interval[J]. Acta Applicandae Mathematicae, 2010, 109(2):495-505.。
一类高阶多点边值问题在共振条件下的可解性
一类高阶多点边值问题在共振条件下的可解性张海波;裴明鹤【摘要】考虑非线性高阶多点边值问题解的存在性,这里f:[0,1]×Rn→R是连续函数,e(t)∈L1[0,1],βj(j=1,2,…,m-2)为符号不全相同的实数,0<η1<η2<…<ηm-2<1.利用Mawhin连续性定理对于上述共振条件下的非线性n阶多点边值问题建立了解的存在性结果.【期刊名称】《北华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(012)001【总页数】8页(P29-36)【关键词】多点边值问题;Mawhin连续性定理;Fredholm算子;共振【作者】张海波;裴明鹤【作者单位】北华大学数学学院,吉林,吉林,132033;吉林化工学院理学院,吉林,吉林,132022;北华大学数学学院,吉林,吉林,132033:【正文语种】中文【中图分类】O175.81 引言本文研究如下n阶多点边值问题x(n)(t)=f(t，x(t)，x′(t)，…，x(n-1)(t))+e(t)，t∈(0，1)，(1.1)x(i)(0)=0， i=0，1，…，n-2，(1.2)(1.3)其中： f：[0，1]×n→是连续函数；e(t)∈L1[0，1]；βj(j=1，2，…，m-2)为符号不全相同的实数；0<η1<η2<…<ηm-2<1.常微分方程多点边值问题起源于各种不同的应用数学和物理学领域，有着重要的理论及实际意义.因此，近年来微分方程多点边值问题引起了微分方程学者的广泛关注，并得到了一系列很好的结果，如文献[1-13].关于非共振多点边值问题，杜增吉等[2-4]、Gupta[8]和马如云等[12]已做过许多研究.关于共振边值问题，Gupta[7]、刘彬等[9-10]、Feng等[6]已对二阶多点边值问题进行了深入的研究，但关于高阶多点共振边值问题的研究还较少见到[1，5，11].2005年，杜增吉等[1]讨论了如下共振条件下的三阶多点边值问题x‴(t)=f(t，x(t)，x′(t)，x″(t))+e(t)，t∈(0，1)，(1.4)x(0)=0，x′(0)=0， x(1)(1.5)的可解性，其中： f：[0，1]×3→是连续函数；e(t)∈L1[0，1]；βj(j=1，2，…，m-2)为符号不全相同的实数；0<η1<η2<…<ηm-2<1.2006年，林晓洁等[11]讨论了下述共振条件下的n阶多点边值问题x(n)(t)=f(t，x(t)，x′(t)，…，x(n-1)(t))+e(t)，t∈(0，1)，(1.6)x(i)(0)=0， i=0，1，…，n-2，(1.7)(1.8)其中： f：[0，1]×n→是连续函数；e(t)∈L1[0，1]；βj(j=1，2，…，m-2)为符号不全相同的实数；0<η1<η2<…<ηm-2<1.2007年，高云柱[5]研究了如下共振条件下的高阶多点边值问题x(n)(t)=f(t，x(t)，x′(t)，…，x(n-1)(t))+e(t)，t∈(0，1)，(1.9)x(i)(0)=0， i=0，1，…，n-2，(1.10)(1.11)的可解性，其中：βj(j=1，2，…，m-2)为符号不全相同的实数；0<η1<η2<…<ηm-2<1； f：[0，1]×n→是连续函数；e(t)∈L1[0，1].本文受文献[1，5，11]的启发，主要利用Mawhin的连续性定理研究n阶多点边值问题(1.1)-(1.2)、(1.3)的解的存在性.据我们所知，关于共振条件下的n阶多点边值问题(1.1)-(1.2)、(1.3)解的存在性还不曾有人讨论过.2 预备知识在本文里，我们记X=Cn-1[0，1]，其范数为x=max{x∞，x(n-1)∞}，∀x∈X，其中：x(t).记Y=L1[0，1]具有范数·1.我们还将用到Sobolev空间Wn，1(0，1)={x:[0，1]→x，x′，…，x(n-1)在[0，1]上绝对连续，x(n)∈L1[0，1]}.定义线性算子L：DomL⊂X→Y如下：(Nx)(t)=f(t，x(t)，x′(t)，…，x(n-1)(t))+e(t)，∀x∈X.则边值问题(1.1)-(1.2)、(1.3)就等价于算子方程Lx=Nx.定义2.1 设X,Y是实Banach空间，L：DomL⊂X→Y是一线性映射，称L是一个零指标的Fredholm映射，如果满足下列条件：ⅰ) ImL是Y的闭子空间；ⅱ) dim KerL=co dim ImL<+∞.易见，若L：DomL⊂X→Y为零指标的Fredholm映射，则存在线性连续投影算子P：X→X，Q:X→Y，满足ImP=KerL， KerQ=ImL .因此序列是恰当序列，并且X=KerL⊕KerP，Y=ImL⊕ImQ.于是LDomL∩KerP：DomL∩KerP→ImL是可逆的，记其逆映射为KP.由于dim ImQ=dim KerL，因此存在代数与拓扑同构J:ImQ→KerL.定义2.2 设L：DomL⊂X→Y是一零指标的Fredholm映射，Ω⊂X是一有界开集，DomL∩Ω≠∅.若和都是紧的，则称N：X→Y在上是L-紧的.引理2.1[4](Mawhin连续性定理) 设L是一个零指标的Fredholm算子，N在上是L-紧的.如果下列条件成立：ⅰ)Lx≠λNx，∀(x，λ)∈[(DomL\KerL)∩∂Ω]×(0，1)；ⅱ)N xImL，∀x∈KerL∩∂Ω；ⅲ)deg(JQNKerL，Ω∩KerL，0)≠0.则方程Lx=Nx在中至少有一个解.3 主要结果这里我们将利用Mawhin连续性定理研究边值问题(1.1)-(1.2)、(1.3)的解的存在性.为此，先给出一些引理.引理3.1 如果则KerL={x∈DomL：x=ctn-1，c∈，t∈[0，1]}，ImL=，(3.1)并且L是零指标的Fredholm算子.证明易证KerL={x∈DomL：x=ctn-1，c∈，t∈[0，1]}.现证明(3.1)成立.为此，证明方程x(n)(t)=y(t)(3.2)有解x(t)满足边界条件(1.2)～(1.3)，当且仅当(3.3)事实上，如果方程(3.2)有解x(t)满足边界条件(1.2)～(1.3)，则由式(3.2)、(1.2)可知从而有特别地而由边界条件(1.3)有=根据我们得到反之，如果式(3.3)成立，令其中c是任意常数，则显然x(t)是(3.2)的解.下证x(t)满足边界条件(1.2)～(1.3).事实上，x(t)显然满足边界条件(1.2).另外，由于以及所以即x(t)满足边界条件(1.3).于是由式(3.2)～(3.3)知式(3.1)成立.更进一步ImL为闭的. 下面，对于y∈Y，定义算子Q：Y→Y如下：∀y∈Y.则易证Q：Y→Y为线性连续投影算子.对∀y∈Y，令y1=y-Qy，则Qy1=Qy-Q2y=0，从而进而y1∈ImL.故Y=ImL+.而ImL∩={0}，所以Y=ImL⊕.于是dim KerL=1=dim=dimY\ImL=co dim ImL<+∞.故L是零指标的Fredholm算子.引理3.2 如果则线性算子KP：ImL→DomL∩Ke rP可以写成∀y∈ImL，并且KPy≤y1，∀y∈ImL.证明定义投影算子P：X→X如下：∀x∈X.则L的广义逆KP：ImL→DomL∩KerP可表示为事实上，一方面，对于y∈ImL，有(LKP)y(t)=[(KPy)(t)](n)=y(t);另一方面，对于x∈DomL∩KerP有而由x∈DomL∩KerP知x(0)=x′(0)=…=x(n-2)(0)=x(n-1)(0)=0，从而(KPL)x(t)=x(t).故∀y∈ImL.另外，对∀y∈ImL，有KPy∞=…y(τ1)dτ1dτ2…dτn≤…y(τ1)dτ1dτ2…dτn=y1.同理可证，对每一个i=1，2，…，n-1，有(KPy)(i)∞≤y1，故KPy≤y1.现在，我们给出并证明边值问题(1.1)-(1.2)、(1.3)解的存在性结果.定理3.1 设f：[0，1]×n→是连续函数，e(t)∈L1[0，1].如果下列条件成立：aiH2)存在函数a1(t),a2(t),…,an(t),b(t),r(t)∈L1[0，1]和常数θ∈[0，1)，使得∀(t，x1，x2，…，xn)∈[0，1]×n，满足下列条件之一：f(t，x1，x2，…，xn)xi+b(t)xnθ+r(t)，(3.4)f(t，x1，x2，…，xn)xi+b(t)xn-1θ+r(t)，⋮f(t，x1，x2，…，xn)≤ai(t)xi+b(t)x1θ+r(t).(3.6)H3)存在常数M>0，使得∀x∈DomL，若x(n-1)(t)>M，∀t∈[0，1]，则(3.7)H4)存在常数M*>0，使得∀c∈，如果c>M*，则下列不等式之一成立：(3.8)或(3.9)则边值问题(1.1)-(1.2)、(1.3)在Cn-1[0，1]上至少有一个解.证明首先，证明集合Ω1{x∈DomL\KerL：Lx=λNx，λ∈[0，1]}是有界的.为此，设x∈Ω1，则存在λ∈(0，1]，使得Lx=λNx，Nx∈ImL=KerQ.从而于是由H3)可知，存在t0∈[0，1]使得x(n-1)(t0)≤M.根据我们有又对x∈Ω1，x∈DomL\KerL，有(I-P)x∈DomL∩KerP， LPx=0.于是由引理3.2可得(I-P)x=(KP)L(I-P)x≤L(I-P)x1=Lx1≤Nx1. (3.11)从而由式(3.10)～(3.11)可得x≤Px+(I-P)x≤2Nx1+M.(3.12)如果式(3.4)成立，则由式(3.12)有x≤ 2f(t，x(t)，…，x(n-1)(t))+e(t)dt+M≤f(t，x(t)，…，x(n-1)(t))e(t)dt+M≤x(i-1)(t)+b(t)x(n-1)(t)θ+r(t)dt+2e1+M≤2ai(t)·b(t)·r(t)dt+e1+M≤2ai1x(i-1)∞+b1，其中C=r1+于是xai1x(i-1)∞+b1 .(3.13)再由x∞≤x和式(3.13)可得ai1x(i-1)∞+b1 .(3.14)又由x，式(3.13)～(3.14)可得xai1x(i-1)∞+b1 .于是有ai1x(i-1)∞+b1 .(3.15)类似可得.(3.16)因为θ∈[0，1)，所以由式(3.16)可知，存在M1>0，使得x(n-1)∞≤M1 .更进一步，由边界条件(1.2)得：存在Mi>0(i=2，…，n)，使得x(n-1)∞≤Mi (i=2，3，…，n).因此x=max{x∞，x(n-1)∞}≤max{M1，M2，…，Mn}.这就证明了Ω1是有界集.如果式(3.5)或(3.6)成立，则类似于上面的讨论，我们也可以证明集合Ω1是有界的.其次，证明集合Ω2{x∈KerL：Nx∈ImL}是有界集.为此，设x∈Ω2，则x∈KerL={x∈DomL：x=ctn-1，c∈，t∈[0，1]}，QNx=0.于是因此由H3)有c故Ω2是有界集.第三，由条件H4)，不妨设c>M*时，有(3.17)则集合Ω3{x∈KerL：-λx+(1-λ)JQNx=0，λ∈[0，1]}是有界集，其中J：ImQ→KerL是一个线性同构映射：J(c)=ctn-1，∀c∈.事实上，对x=c0tn-1∈Ω3，有.若λ=1，则c0=0.若λ∈[0，1)，则c0≤M*.事实上，若c0>M*，从而由式(3.17)有这与矛盾.故Ω3⊂{x∈KerL：x≤(n-1)!M*}是有界集.若c>M*时，有则类似于上面的讨论，我们仍可以证明集合Ω3{x∈KerL：λx+(1-λ)JQNx=0，λ∈[0，1]}是有界集.最后，我们将验证引理2.1的所有条件全部被满足.事实上，选取Ω是X的一个有界开子集，满足⊂Ω.则显然是紧的，并且由Arzela-Ascoli引理，易证也是紧的.因此，N在上是L-紧的.根据以上的讨论，有C1)Lx≠λNx，∀(x，λ)∈[(DomL\KerL)∩∂Ω]×(0，1)；C2)NxImL，∀x∈KerL∩∂Ω；C3)令H(x，λ)=∓λx+(1-λ)JQNx，则有H(x，λ)≠0，x∈KerL∩∂Ω .于是由度的同伦不变性，可得deg(JQNKerL，Ω∩KerL，0)= deg(H(·，0)，Ω∩KerL，0)=deg(H(·，1)，Ω∩KerL，0)=deg(∓I，Ω∩KerL，0)=∓1≠0.故由引理2.1，方程Lx=Nx在中至少有一个解，即边值问题(1.1)-(1.2)、(1.3)在Cn-1[0，1]中至少有一个解.【相关文献】[1] Du Zengji，Bai Zhanbing，Ge Weigao.Existence Results of Third Order Multi-Point Boundary Value Problem at Resonance[J].J Beijing Inst Technol，2005，14(4):449-452. 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关于具共振条件多点边值问题解的存在性
ｉ）ｄ ｇ （ Ｎ Ｌ ｎ Ｎ Ｋｅ ， ） ０ ｉ ｅ Ｑ ｆ ， ｒ ｉ Ｌ ０ ≠ ．
那 么 算子 方程 Ｌ ｘ— Ｎｘ在 ｄ ｍ ｏ Ｌ Ｎ历中至少有 一
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下 面简要 地 介 绍一 些 概念 和 一个 抽 象 的存 在
性定 理．
ｌ ．定 义线性 算子 Ｌ：ｏ Ｙ— ｚ为Ｌ ｌ ｌ ｌ ｚ ｄ ｍＬｃ ｘ一
，
其 中
ｄ ｏｍ ＝ Ｌ ＝
设 ｙ， 是 实 Ｂ ｎ ｃ Ｚ ａ ａ ｈ空 间 ， ｄ ｍ Ｙ— Ｚ Ｌ：ｏ Ｌ ｃ
共振 条件 下多 点边 值 问题解 的存 在 性 最初 是
子集 ， 使得 ｄ ｍ Ｌ Ｎ ｎ≠ Ｏ， 子 Ｎ： ｏ 算 ｙ— Ｚ在ｎ 上
是 Ｌ紧 的 ， 果 Ｑ （ 是 有 界 的且 Ｋ （ Ｑ） ： 如 Ｎ ｎ） 卜一 Ｎ
在 １９ ９ ７年 由 Ｗ． ｅ ｇ和 Ｊ Ｒ Ｌ Ｆｎ ． ． ．Ｗｅ ｂ在文 献［ ］ ｂ １
收稿 日期 ： ０ ７ ０ ８ ２ ０ —１ —０
基 金项 目 ： 河 南 省 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目 （ ｏ ７ ３ ０ １ ０ ０ ； 口 师 范 学 院 青 年 科 研 基 金 重 点 项 目 （ ｏ Ｎ ．０ ２ ０ ４ ０ ７ ） 周 Ｎ ．
Ｚ ＫＮＵＱＮ２ ０ ２ ） ０ ７ ７
作 者 简 介 ： 志 良（９ ９一 ，男 ， 肃定 西人 ，硕 士 ， 要 从 事 边 值 问题 与 非 线 性 分 析 研 究 ． 赵 １７ ） 甘 主
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具共振条件下多点边值问题解的存在性
具共振条件下多点边值问题解的存在性常微分方程起源于应用学科,诸如核物理学,气体动力学,流体力学,非线性光学等.常微分方程边值问题是常微分方程理论研究中最重要的课题之一.常微分方程边值问题在共振条件下解的存在性近十年来受到学者的关注.但是对于高阶复杂边值问题与含p-Laplacian算子型方程边值问题在共振情况的可解性的研究还不多见.针对这种情况本文作了如下研究:第一章我们着重介绍了问题的起源和相关背景,以及问题的发展现状和趋势.第二章,我们用Mawhin重合度定理研究了共振条件下一类四阶四点边值问题的可解性,在增长条件下得到解存在的充分条件.第三章,我们讨论了一类含p-Laplacian算子型多点边值问题在共振条件下的可解性,用Leray-Schauder度与Brouwer度得出解存在的两个充分条件,我们的结果推广改进了现有文献的一些结果.第四章,我们还用
Leray-Schauder度与Brouwer度讨论了一类含p-Laplacian算子型多点边值问题具有两个临界条件的可解性,这个讨论方法与已有的结果的讨论方法不同.今后,我们还可以结合其他的一些工具,讨论共振问题的正解与多解的存在性,得到更全面的结果.。
分数阶微分方程多点边值问题解的存在性
分数阶微分方程多点边值问题解的存在性
罗华;胡卫敏
【期刊名称】《海南师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2012(025)003
【摘要】In this paper, by employing the Leggett-Williams fixed point theorem, we study the existence of the three solutions for multi point boundary value problem of are integers,O〈ξ1〈ξ2〈…〈ξn〈1 are constants.%利用Leggett-Williams不动点定理，研究了下面这个多点边值问题三个解的存在性，这里2≤a≤3，优≥1是整数，O〈ξ1〈ξ2〈…〈ξn〈1是常数，ai〉0，1≤i≤m，并且--.
【总页数】5页(P254-258)
【作者】罗华;胡卫敏
【作者单位】伊犁师范学院数学与统计学院,伊宁新疆835000;伊犁师范学院数学与统计学院,伊宁新疆835000
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.分数阶微分方程多点边值问题在共振条件下解的存在性 [J], 谢秀娟;寇春海;刘瑞娟
2.带有p-Laplacian算子的分数阶微分方程多点边值问题正解的存在性 [J], 张艳;
马德香
3.一类无穷区间上分数阶微分方程多点边值问题解的存在性 [J], 黄燕萍;韦煜明
4.带p-Laplacian算子的分数阶微分方程多点边值问题的解的存在性 [J], 吕秋燕;刘文斌;唐敏;申腾飞;程玲玲
5.一类分数阶微分方程多点边值问题正解的存在性 [J], 赵微
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一类分数阶微分方程组多点边值问题正解的存在性
通讯作者 ： 陆心怡 ， Ｅ ｍａ ｉ ｌ ： ｌ ｉ ｎ ｄ ａ ｌ ！ ） ８ ９ ８ ９ ＠ｌ ２ ６ ． Ｃ Ｏ ｎ １ ．
第 ２ 期
陆心怡 ： 一 类 分 数 阶 微 分方 程 组 多 点 边 值 问题 正 解 的存 在 性
３ ７
Ｄ Ｇ （ ￡ ） 一
其 中 一 ］ ＋１ ， ［ 口 ］ 定 义 为 ａ的整 数部分 ．
引理 ２ ［ ４ ］ 对 于一 个 ａ （ ａ ＞０ ） 阶分 数 阶微 分 ， 给 出 ∈ｃ （ ｏ ， １ ） ｎＬ（ Ｏ ， １ ） ， 那 么
Ｉ ； ＋Ｄ ＋“ （ ） ＝ （ ￡ ） 一ｃ １ ｔ 一 十 ｃ ２ ｔ 。 ＋…＋ｃ ｎ ｔ 一 ， ｃ ∈Ｒ， ＝ １， ２， … ， ，
７ ／ ＂ Ｅｌ ＜ａ ， ｎ ， ｉ 为 固定 常数 ， ｉ ∈Ｎ， ≤ 一２ ， ａ ， ２ ． ｆ， ｇ： ［ ｏ ， １ ］ ×［ ｏ ， ｏ 。 ） 一Ｒ是 连续 函数 ， Ｄ ＋ 口 （ ） ， ＋ （ ｆ ） 都是黎 曼一 刘维 尔形 式 的 ， 其中
收 稿 日期 ： ２ Ｏ ｌ ２ 一 儿一 ３ ０ 基金项 目： 国 家 自然 科 学 基 金 资助 （ １ ０ ９ ７ ¨７ ９ ） ； 山东 省 优 秀 中青 年 科 学 家 奖励 基 金 （ Ｂ Ｓ ２ ０ １ ０ Ｓ Ｆ ０ ０ ４ ） ； 山东 省 高 等 学 校 科 技 发 展 计 划 资 助 项 目（ Ｊ １ ０ Ｉ Ａ５ ３ ）
一
类分 数 阶微 分 方程 组 多点边 值 问题 正 解 的存在 性
陆心怡
（ 聊 城 大学 数 学 科 学学 院 ， 山东 聊城 ２ ５ ２ ０ ５ ９ ）
摘 要 利 用 Ｋｒ ａ ｓ ｎ ｏ ｓ ｅ ｌ ｓ ｋ ｉ ｉ 锥压 缩拉伸 不动 点定理 ， 通过 讨论格 林 函数 的性 质 ， 得 到 一 类分 数
半无穷区间上具有共振的序列分数阶微分方程积分边值问题的可解性
半无穷区间上具有共振的序列分数阶微分方程积分边值问题的
可解性
周志恒;韦煜明
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2018(31)3
【摘要】本文研究半无穷区间上具有共振的分数阶微分方程积分边值问题.通过构造适当的Banach空间及算子,利用迭合度理论和Mawhin连续性定理获得上述边值问题解的存在性结论,推广了前人的结果.
【总页数】11页(P572-582)
【关键词】迭合度;共振;积分边值问题;半无穷区间
【作者】周志恒;韦煜明
【作者单位】广西师范大学数学与统计学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.无穷区间上含参数分数阶微分方程积分边值问题正解的存在性 [J], 李晓晨;刘锡平;李燕;张莎
2.一类半无穷区间上分数阶非线性微分方程边值问题多个正解的存在性 [J], 张海斌;贾梅;陈强
3.无穷区间上分数阶微分方程积分边值问题正解的存在性 [J], 薛婷;刘文斌;张伟
4.无穷区间上分数阶带p-Laplacian算子微分方程积分共振边值问题解的存在性（英文） [J], 刘宗宝;刘文斌;张伟
5.一类具有分数阶积分条件的分数阶微分方程组边值问题的可解性 [J], 李耀红因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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中 图 分 类 号 ：Ｏ１ ５８ ７ ．
多点 边 值 问题 解 的 存 在 性 ， 到 解 存 在 得
的 充 分 条 件 ，推 广 了整 数 阶 微 分 方 程 共 振 问 题 已有 的 结 果 ．
关 键 词 ： 分 数 阶 微 分 方 程 ； 多点 边 值 问题 ；迭 合 度 ；Ｍａ ｉ ｗｈｎ连 续 性 定 理 文 献 标 志 码 ：Ａ
第 ２ 卷 第 ３ ６ 期
２ １ 笠 ０２
五邑大学学报 （自然科 学版 ）
Ｊ Ｒ ＯＵ ＮＡＬ ＯＦ ＷＵＹ Ｕ ＶＥ ＩＹ （Ｎａ ｒ１ ｃ ｎ ｅ ｄｔ ｎ） ｌ ＮＩ ＲＳＴ ｔａ ｕ Ｓ ｉ ｃ Ｅ ｉｏ ｅ ｉ
Ｖｂ ．６ Ｎｏ ３ １ ２ ．
８ 月
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近 年 ，关 于分 数 阶 微 分 方 程 边 值 问 题 的 理 论研 究取 得 了不 少 成 果 【 心 ，共 振 条 件 下 分 数 阶 微 分 卜ｊ
方 程 多 点 边值 问题 作 为分 数 阶非 局 部 边 值 问 题 的一 种 特 殊情 况 ．也 受 到 了研 究 者 们 的 重 视 ，越 来 越
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２ １ ０２
文章 编 号 ：１ ０ ． ３ ２（ ０ ２ ３０ １ ．６ ０ ６ ７ ０ ２ １ ）０ ．０ ２０
一
类 共振 条 件 下 分 数 阶 多点 边 值 问题 的可 解 性
张宁 ’ 。史 小 艺 ’ 。张 娣 。
（ ．中 国矿 业 大 学 理 学 院 ， 江 苏 徐 州 ２ １１ ； １ ２ ６ １
２ ．中 国矿 业 大学 管理 学 院 ，江 苏 徐 州 ２ １ １ ） ２ １６
摘 要 ： 利 用 Ｍ ａ ｉ 的 连 续 性 定 理 及 迭 合 度 理 论 。 讨 论 了 共 振 条 件 下 分 数 阶 微 分 方 程 ｗｈ ｎ
ｆ磁 （ｆ Ｄ ｆ＝ ， ｆ Ｄ ｆＣ （）∈ 】 口） Ｌ（） ） 盆 （ 瑶 ｆ， （。 ） （， ）ｆ
多的人运用 Ｍａ ｈｎ的连续性定理来研究多点边值 问题 ，如文献【】 ｗｉ ６研究 了共振条件如下的分数 阶微
分 方 程 的 多 点边 值 问题 ：
收稿 日期 ：２ １ － ３ １ ０ ２ ０ —６ 基 金 项 目 ：国 家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目 （１ ７ １ １ ０ ７ ２ ２） 作 者 简 介 ：张 宁 （１ ８ 一 ） ９ ５ ，女 ， 山西 晋 城 人 ，在读 硕 士 生 ，研 究 方 向 为微 分 方程 边 值 问题
（． ｏｌｇ ｆ ｃｅ ｃ ｓ Ｃ ｉ ａＵｎｖ ｒｉ ｆ ｎｎ ｎ ｅ ｈ ｏｏ ｙ Ｘｕ ｈ ｕ２ １ ， ｈｎ ； ． ｏｌｇ ｆ １ Ｃ ｌ ｅｏ ｉｎ ｅ ， ｈ ｎ ｉｅｓｔ ｏ ｉｇａ ｄＴ ｃ ｎ ｌｇ ， ｚ ｏ ２１ ６ Ｃ ｉａ ２ Ｃ ｌ ｅｏ ｅ Ｓ ｙ Ｍｉ １ ｅ Ｍａ ａ ｅ ｎ， ｈｎ ｎ ｖ ｒｉ ｆ ｎｎ ｎ ｅ ｈ ｏｏ ｙ Ｘｕ ｈ ｕ２ １ ， ｉａ ｎ ｇ ｍｅ ｔ Ｃ ｉａＵ ｉｅｓｔ ｏ ｉｇａ ｄＴ ｃ ｎ ｌｇ ， ｚ ｏ ２ １ Ｃｈｎ ） ｙ Ｍｉ １ ６
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第２ ６卷
第 ３期
张 宁等 ：一 类共振条件下分数 阶多点边值问题 的可解 性
１ ３
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