沪教版高中三年级奥数《概率》精讲
数学17.1古典概率教案2沪教版高中三级第二学期
17.1古典概率（2）一、教学内容分析本节课是高中数学古典概率的第二课时，是在学生学习古典概率第一节课情况下的教学.学生已经掌握了古典概率的基本概念，并且会求简单的古典概率.学好古典概率可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中常见的一些问题.二、教学目标设计在前面教学的基础上进一步加深对古典概率的理解，会运用古典概率的公式解决一些概率问题.三、教学重点及难点重点是求随机事件的概率，难点是运用前面学过的排列组合的知识解决随机事件的基本事件数及试验中所有的基本事件数.四、教学用具准备多媒体设备五、教学过程设计一、课堂复习回顾上节课的基本概念，包括基本事件、随机现象、随机事件，复习古典概率的概念，及其求古典概率的公式.二、学习新课例1：一枚硬币连掷四次，试求恰好出现两次是正面的概率？最后两次出现正面的概率？解：一枚硬币连掷四次会有24=16种结果，我们可以将恰好出现两次是正面记为随机事件A，最后两次出现正面记为随机事件B.则随机事件A所包含的基本事件数就为24C，即四次中选择两次为正面，其余两次则为反面，故244C3P(A)28==.随机事件B所包含的基本事件数为22，即前两次有22个结果，后两次均为正面，故2421P(B)24==.例2：一批产品共有82只，其中6只特级品，现拿出2只; （1）全是特级品的概率? （2）只有1只特级品的概率？ （3）都不是特级品的概率？解：从82只产品中拿出2只会有282C 种结果，全是特级品记为随机事件A ，只有1只特级品记为随机事件B ，都不是特级品记为随机事件C.（1） 随机事件A 包含的基本事件数为26C ，故26282C 5P(A)C 1107==（2） 随机事件B 包含的基本事件数为11676C C ，故11676282C C 152P(B)C 1107== （3） 随机事件C 包含的基本事件数为276C ，故276282C P(C)C =.例3：现有一批产品共10件，其中8个正品，2个次品；（1）若从中取1件，然后放回，再取1件，再放回，再取1件，求连续3次都是正品的概率？（2）若从中1次取3件，求3件都是正品的概率 解：我们可以将产品编号为1至10号.（1） 三次放回地取产品会有103个结果，连续三次都是正品记为随机事件A ，随机事件A所包含的基本事件数为83，则33864P(A)10125==.（2） 从中一次取3件，会有310C 种结果，3件都是正品记为随机事件B ，随机事件B 所包含为的基本事件数为38C，则38310C 7P(B)C 15==.例4：某单位36人，A 型血12人，B 型血10人，AB 型血8人，O 型血6人，现任取2人，求同一血型概率.解:从36人中选2人，会有236C 种结果.所选2人为同一血型记为随机事件A ，随机事件A 包括同为A 型，同为B 型，同为AB 型，同为O 型.同为A 型有212C 人，同为B 型有210C 人，同为AB 型有28C 人，同为O 型有26C 人.随机事件A 包括的基本事件数为212C +210C +28C +26C .故2222121086236C C C C 11P(A)=C 25+++= 例5：从一副牌（52）张中，任取4张，求下列情况： （1）取出4张全是“A ”; （2）取出4张的数字相同; （3）取出4张全是黑桃; （4）取出4张的花色相同; （5）取出4张的花色各不相同. 解：取出4张有452C 个结果.（1）4张全是“A ”记为随机事件A ，只有一个结果，4张为4个花色的A ，故45211P(A)C 270725== （2）取出4张的数字相同记为随机事件B ，52张牌中共有13种数字，每种数字有4个花色，所以随机事件B 包括113C 个基本事件，故所求随机事件概率为 113452C 1P(B)C 20825==. （3）取出4张全是黑桃记为随机事件C ，13张黑桃中取出4张，所以有413452C 11P(C)=C 4165=.（4）取出4张相同花色记为随机事件D ，4种花色选一种14C ，在选出的花色中13张牌再选出4张相同花色413C ，故随机事件D 共有14413C C个基本事件，故14413452C C P(D)=C =444165. 例6：有九张卡片分别写着数字1、2、3、4、5、6、7、8、9，甲、乙两人依次从中各抽取一张卡片（不放回）.（1）求甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字的概率； （2）求甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片的概率.解：（1）甲、乙二人一次从九张卡片中各抽取一张的结果有1198C C ，甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字记为随机事件A ，随机事件A 包含的基本事件数为1154C C ，故115429C C 205P(A)=P 728==.（2）甲、乙二人至少抽到一张奇数数字卡片记为随机事件B ，随机事件B 包括“甲抽到奇数，乙抽到偶数”、“甲抽到偶数，乙抽到奇数”、“甲乙均抽到奇数”，故111125445529C C C C P 605P(B)=P 726++== 例7：从1到9九个数字中不重复地取出3个组成3位数，求： （1）这个3位数是偶数的概率； （2）这个3位数是5的倍数的概率； （3）这个3位数是4的倍数的概率； （4）这个3位数是3的倍数的概率.解：9个数字中取出3个组成3位数，有39P 个结果.（1）“3位数是偶数”记为随机事件A ，有1248P P 个结果，124839P P P(A)=P =49;（2）“3位数是5的倍数”记为随机事件B ，末尾须是5，故随机事件B 包含28P 个结果，所以2839P 1P(B)=P 9=;（3）“3位数是4的倍数”记为随机事件C ，3位数是4的倍数须后两位能被4整除，后两位可以是12、16、24、28、32、36、48、52、56、64、68、72、76、84、94、98，只要定下百位即可，所以随机事件C 包含1716P个结果，故173916P P(C)=P 29=.（4）“3位数是3的倍数”记为随机事件D ，3位数是3的倍数须各个位置上的数字之和能被3整除，9个数字，其中3、6、9能被3整除，1、4、7被3除余1，2、5、8被3除余2，所以3位数被3整除包括4种情况：三个数字均被3整除；三个数字都被3除余1；三个数字都被3除余2；三个数字一个被3整除、一个被3除余1、一个被3除余2，故333111333333339P (C +C +C +C C C )5P(D)P 14==. 三、课堂小结学习古典概率需要了解所求随机事件所包含的基本事件数，在这过程中，简单问题我们可以通过列举法、图表法简单得可以数出，但相对于复杂问题，就需要大家利用排列组合的知识来加以解决，我们既要搞清楚基本事件的总数，又要搞清楚随机事件的基本事件数，只有这样才能准确地求随机事件的概率. 四、作业布置(略)五、教学设计说明这是古典概率的第二节课，在前面一节课中学生们已经对概率有了一定了解，会计算一些简单概率问题，本节课是对概率学习的一个提高.学生在前面一个阶段学习过排列组合，所以对于本节课的学习一方面是巩固古典概率，另一方面也是对前面排列组合学习的复习和实际应用.在课程设计中以讲解例题为主，题目由简到难，层层递进，既有数字问题，也有扑克牌问题，对于例题的选取注意了相对的全面性，在方法上注意以排列组合为主，还加了隔板法的问题，希望对学生们学习古典概率有帮助.。
频率与概率(课件)高二数学课件(沪教版2020必修第三册)
因之外 ， 是否还有其他解释呢？
实际上 ， 概率可以从频率的角度来检验 ． 频率也是一个生活中常
用的词 ． 如果一个随机试验只有两种可能的结果 ， 一个是“ 成
功 ”， 概率是 P （ ０＜ P ＜１ ）， 一个是 “ 失败 ”， 概率是
１－ P ， 那么这个随机试验称为 伯努利试验 ． 如果抛掷一枚硬币 ，
注意 ， 伯努利大数定律的成立有一个条件 ， 即 “ 假设我们可 以独立地重复一个伯努利试验 ”， 这个条件非常关键 ． 抛掷硬币 、 掷骰子这类随机试验可以独立地重复 ， 然而许多随机现象是不可 以独立地重复的 ． 例如 ， 某人今年会不会得流感是随机的 ， 每个
人的高考成绩也是随机的 ， 但这些现象都不能独立地重复 ． 可以 独立地重复的才称得上是一个试验 ． 虽然人们对于不能独立地重 复的随机现象也谈论概率 ， 但那是主观的概率 ， 并不能检验 ．
6、下面是某批乒乓球质量检查结果表： （1）在上表中填上优等品出现的频率； （2）估计该批乒乓球优等品的概率是多少？
抽取球数 优等品数 优等品出现的频率
50
100
200
500
1 000
45
92
194
470
954
2 000 1 902
【解析】如下表所示： （2）从表中数据可以看出，这批乒乓球优等品的概率是0.95；
机的数
通过大量的观察 ， 人们发现了下面这个定律 ， 它说明频率具有稳定性 ， 在试验次数足够多时 ， 会稳定地趋向于概率 ． 这给出了由概率来表示 可能性大小的理由 ， 或者说概率在某种意义上是可以检验的 ．
这个结论之所以被称为定律 ， 或许是因为它直观地像是一个自然定 律 ． 它很早就被数学家观察到 ， 并在瑞士数学家雅各布 ·伯努利 １ ７１３ 年出版的书中首次给出了证明 ．
26.利用概率公式求概率PPT课件(沪科版)
求x和y的值.
解:(1)
x
x
y
83，5x
3
y.
(2)∵
x
x
10 y 10
1， 2
即y
5 3
x.
∴x+10=y， 又5x=3y，
∴x=15，y=25.
(2)P(摸到白球) 3 3 1 . 135 9 3
(3)P(摸到黄球)=
5
5 =.
1+3+5 9
拓展与延伸
1.盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其
他差别. D
(1)从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率
的 83(，2)写往出盒表中示再x放和进y关10系枚的黑表棋达，式取；得黑棋的概率变为 1 ，
解：根据题意可得，直角三角形的斜边长为
32 42 5,
阴影部分的面积为52＝25， ∵图形的总面积为(3＋4)2＝49， ∴飞镖落在阴影区域的概率是 25 .
49
课堂小结
一般地，如果在一次实验中，有n种可能的结
果，并且这些结果产生的可能性相等，其中使事
件A产生的结果有m（m≤n）种，那么事件A产生的
概率P（A）=
m n
.
必然事件A: P(A)=1 不可能事件B: P(B)=0 随机事件C: 0＜P(C)＜1
当堂小练
1.在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的
3个红球和2个白球，从中任意摸出一个球，则摸出
白球的概率是( B )
A. 1 B. 2 C. 1
3
5
2
D. 3
5
2.如图所示，在平行四边形纸片上作随机扎针实
第二十六章 概率初步
26.2 等可能情形下的概率计算
数学171《古典概率》教案(沪教版高中三年级第二)
17.1古典概率（1）一、教学内容分析本节课是高中数学古典概率的第一课时，是在学生学习了排列组合情况下的教学.古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位.学好古典概率可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中常见的一些问题.二、教学目标设计1．理解随机事件和古典概率的概念 .2．会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.三、教学重点及难点重点是求随机事件的概率，难点是如何判断一个随机事件是否是古典概型，搞清随机事件所包含的基本事件的个数及其总数.四、教学用具准备多媒体设备五、教学流程设计六、教学过程设计一、课前准备在课前，教师布置任务，以数学小组为单位，完成下面两个模拟试验，试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币，分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数，要求每个数学小组至少完成30次（最好是整十数），最后由课代表汇总.试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子，分别记录“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”的次数，要求每个数学小组至少完成30次，最后由课代表汇总.二、学习新课1．引入：课堂提问：在我们所做的每个实验中，有几个结果，每个结果出现的概率是多少？学生回答：在试验一中结果只有两个，即“正面朝上”和“反面朝上”，并且他们都是相互独立的，由于硬币质地是均匀的，因此出现两种结果的可能性相等，即它们的概率都是12.在试验二中结果有六个，即“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”，并且他们都是相互独立的，由于骰子质地是均匀的，因此出现六种结果可能性相等，即它们的概率都是16.2．引入新的概念：基本事件：我们把试验可能出现的结果叫做基本事件.古典概率：把具有以下两个特点的概率模型叫做古典概率.（1）一次试验所有的基本事件只有有限个.例如试验一中只有“正面朝上”和“反面朝上”两种结果，即有两个基本事件.试验二中结果有六个，即有六个基本事件.（2）每个基本事件出现的可能性相等.试验一和试验二其基本事件出现的可能性均相同.随机现象：对于在一定条件下可能出现也可能不能出现，且有统计规律性的现象叫做随机现象.试验一抛掷硬币的游戏中，可能出现“正面朝上”也可能出现“反面朝上”，这就是随机现象.随机事件：在概率论中，掷骰子、转硬币……都叫做试验，试验的结果叫做随机事件.例如掷骰子的结果中“是偶数”、“是奇数”、“大于2”等等都是随机事件.随机事件“是偶数”就是由基本事件“2点”、“4点”、“6点”构成.随机事件一般用大写英文字母A 、B 等来表示.必然事件：试验后必定出现的事件叫做必然事件，记作Ω.例如掷骰子的结果中“都是整数”、“都大于0”等都是必然事件.不可能事件：实验中不可能出现的事件叫做不可能事件，记作∅.例1：从字母a b c d ，，，中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？ 分析：为了解基本事件，我们可以按照字典排序的顺序，把所有可能的结果都列出来.利用树状图可以将它们之间的关系列出来.我们一般用列举法列出所有基本事件的结果，画树状图是列举法的基本方法，一般分布完成的结果(两步以上)可以用树状图进行列举.（树状图）解：所求的基本事件共有6个：{,}A a b =，{,}B a c =，{,}C a d =，{,}D b c =，{,}E b d =，{,}F c d =例2：（1）向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概率吗?为什么？答：不是古典概型，因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满足古典概率的第一个条件.（2）某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环……命中5环和不中环.你认为这是古典概率吗？为什么？答：不是古典概率，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环……命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概率的第二个条件.3．概率公式推导：随机事件A出现的概率记作P（A）基本事件有如下的两个特点：（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.例3：掷骰子试验中，结果为奇数的概率是多少？问题1：掷骰子试验中，随机事件“结果是奇数”包含哪些基本事件？随机事件“结果是奇数”包含基本事件“1点”、“3点”、“5点”.问题2：掷骰子试验中，所有基本事件由哪些？所有的基本事件有“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”、“6点”.问题3：掷骰子试验中，随机事件“结果是奇数”记为事件A，事件A的概率是多少？P（A）=31 62例4：同时掷两个骰子，计算：（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？（3）向上的点数之和是5的概率是多少？分析：我们用一个“有序实数对”来表示组成同时掷两个骰子的一个结果，其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2号骰子的结果：（1，1）、（1、2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，1）、（2、2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，1）、（3、2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，1）、（4、2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（4，6）、（5，1）、（5、2）、（5，3）、（5，4）、（5，5）、（5，6）、（6，1）、（6、2）、（6，3）、（6，4）、（6，5）、（6，6），共包含了36件基本事件. 解答：（1）有36种不同结果.（2）点数之和为5可以记作随机事件A ，它所包含的基本事件有：（1，4）、(2、3)、（3，2）、（4，1），故共有4种结果. （3）随即事件A 的概率是：41P A 369==（） 学生思考并推导概率计算公式：A P A =事件所包含的基本事件数（）试验中所有的基本事件数用集合语言表示：设12n ωωω，，，表示所有的基本事件，基本事件的集合就是必然事件，记为12n {}ωωωΩ=，，，，所以随机事件A 看作Ω的某个子集，则A P A ωω=Ω所包含的的个数（）中元素的总个数三、巩固练习例5：一个袋中装有6只球，其中4只是白球,2只是红球.求下列事件的概率：（1）摸出的两球都是白球；（2） 摸出的两球1只是白球、另1只是红球解：设4只白球的编号为1，2，3，4，两只红球的编号为5，6.从袋中的6只球中任意摸出两只，可能的结果（记“摸出1，2号球”为（1，2））有:（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15个结果，即共有15个基本事件（1） 从袋中的6只球中任意摸出两只，有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种基本事件满足“两球都是白球”的条件，记随机事件“两球都是白球”为字母A ，故62P(A)=155=. （2） 从袋中的6只球中任意摸出两只，有：（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），共8种可能的结果满足“1只是白球、1只是红球”的条件，记随机事件“1只是白球、一只是红球”为字母B ，它包含8个基本事件，故8P(B)15=例6：( 涂漆问题)把一个体积为64cm 3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成64个体积均为1cm 3的小正方体，并从中任取一块，试求：（1） 这一块没有涂红漆的概率；（2） 这一块恰有一面涂红漆的概率；（3） 这一块恰有两面涂红漆的概率；（4） 这一块恰有三面涂红漆的概率； （5） 这一块恰有四面涂红漆的概率解：把体积为64cm 3的正方体木块锯成64块体积为1cm 3的小正方体，其中没有涂红漆的有8块，恰有一面涂红漆的有24块（6个面，每面2⨯2块），恰有两面涂红漆的有24块（12条棱，每条棱2块），恰有三面涂红漆的有8块（8个顶点），恰有四面涂红漆的木块不存在，所以：（1）“这一块没有涂红漆”记为随机事件A ，则概率为81P(A)=648=（2）“这一块恰有一面涂红漆”记为随机事件B ，则随机事件B 的概率为243P(B)648==（3）“这一块恰有两面涂红漆”记为随机事件C ，则随机事件C 的概率为243P(C)648==（4）“这一块恰有三面涂红漆”记为随机事件D ，则随机事件D 的概率为81P(D)=648=（5）“这一块恰有四面涂红漆”是不可能事件，其概率为P()0∅=.对于必然事件Ω、不可能事件∅和随机事件，下面4个事实值得我们注意： （1）不可能事件的概率为零，即P()0∅=； （2）必然事件的概率为1，即P()1Ω=； （3）对任意随机事件E ，有0P(E)1≤≤； （4）若12n {,,,}ωωωΩ=，则12n P()P()P()1ωωω+++=四、课堂小结1．古典概型： 我们将具有：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性） （2）每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性） 这样两个特点的概率模型称为古典概率概型，简称古典概型. 2．古典概型计算任何事件的概率计算公式为：3．求某个随机事件A 发生的概率，要先求出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数，注意做到不重不漏. 五、作业布置(略)六、教学设计说明本节课的教学通过提出问题，引导学生发现问题，经历思考交流概括归纳后得出古典概型的概念，由两个问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解；再通过学生观察类比推导出古典概型的概率计算公式.这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.学生在教师创设的问题情景中，通过观察、类比、思考、探究、概括、归纳和动手尝试相结合，体现了学生的主体地位，培养了学生由具体到抽象，由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神.A A P 所包含的基本事件的个数（）＝基本事件的总数。
沪教版高中三年级数学：概率统计实验
得到阴影部分面积（抛物线与 x 轴组成的封闭图形的面 积）：
第一次 第二次 第 三 次
三次试验结
投点数 N 试 验 结 试 验 结 试 验 结
果平均值
果
果
果
1000 10 000 100 000
10.768 10.663 6 10.673 0
10.784 10.628 8 10.655 8
10.688 10.747 10.582 4 10.624 9 10.633 9 10.654 2
注：（1）rand(1,2)是 1 行 2 列随机数组，其中数
的值均在 0 与 1 之间.
（2）s 是 1 行 2 列的数组（行向量）.
（3）norm(s)表示向量的模.
对于 N=1000,10 000,100 000,三种实验结果列 表如下：
三次试验
第一次试 第二次试 第三次试
投点数 N
结果平均
本节我们在理解几何概率和随机数的前 提下进行了一些有趣的实验，知道了利 用Scilab语言进行概率统计试验的重要性， 了解了随机投点法在实际问题中的基本 应用.
例 2：用随机投点法求抛物线 y 4 x2 与 x 轴组 成的封闭图形的面积.
解：在正方形中随机投 N 个点，如果其
中有 n 个点落在所求得封闭图形（阴影
部分）内，考虑到投点是等可能的，所
阴影部分的面积
以 正方形ABCD的面积
n N
，
正方形 ABCD 的面积是 16，所以
阴影部分的面积= 16n . N
一维随机数：等可能地落在内的点所对应的实 数叫做一维随机数.
二维随机数：直角坐标系的平面上边长为1， 其一个顶点在坐标原点，两边分别பைடு நூலகம்轴上的正 方形内均匀分布点的坐标是二维随机数.
第26章概率初步期末复习PPT课件(沪科版)
5 000 4 005 0.801
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概
率约为___0_.8__(精确到0.1)．
17. 在军事选拔赛中，某部队一名战士射击
了160次，其成绩记录如下：
射击次数
射中9环以上 的次数
射中9环以上 的频率
20 40 60 80 100 120 140
16 31 49 63 81 97 110
沪科版
第26章 概率初步 期末复习
复习要点
1.事件产生的可能性
必然事件 确定事件
不可能事件
(1)事件按可能性分类：事件
随机事件
(2)相关定义
①必然事件：在一定的条件下，必定 会产生的事件. ②不可能事件：在一定的条件下，必然 不 产生的事件. ③确定事件： 必然 事件和 不可能事件统称确定事件．
④随机事件：在一定条件下，可能 产生 也可能不产生 的事件.
A.
1 27
B.
1 3
C.
1 9
D.
2 9
11.在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻 璃球共 40 个，除颜色外其他完全相同．小明通过 多次摸球实验后发现，其中摸到红色球的概率稳
定在 15％ 左右，则口袋中红色球可能有( B )．
A.4个 B.6个 C.34个 D.36个
12.一个口袋中有 3 个红球和若干个黄球，在不 允许将球倒出来数的前提下，小强为估计其中的黄 球数，采用如下的方法：从口袋中随机摸出一球， 记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸 出一球，记下颜色，……不断重复上述过程．小强 共摸了 100 次，其中 20 次摸到红球．根据上述数
例2.在数学课上，老师拿出4张牌，牌面分别 是1、2、3和4. 老师提出以下两个问题： (1)若随机抽取两张牌，则抽出牌面数字刚好
第12章 概率初步 高二数学单元复习(沪教版2020必修第三册)
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
上述事件中，是对立事件的是
A.①
B.②④
√
C.③
D.①③
3 考点突破 考点1、互斥事件、对立事件与独立事件
3 考点突破
对应练习
考点2、事件的概率
甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，
方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲
先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.
(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间；
解
方片4用4′表示，试验的样本空间为Ω＝{(2,3)，(2,4)，
题者进入下一轮，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三
4 3 2
轮的问题的概率分别为 ， ， ，
5 5 5
且各轮问题能否正确回答互不影响.
(2)求该选手至多进入第二轮考核的概率.
3 考点突破
对应练习
考点3、独立事件的概率
1.设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知
在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率
(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共15个样本点，且每个样本点出现
的可能性相同.
“从袋中的6个球中任取2球，所取的2球全是白球”为事件A，则A＝{(1,2)，
6 2
(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共含有6个样本点.所以P(A)＝ ＝ .
沪教版高三C专题(三轮复习：概率统计3星)
专题：概率统计★★★教学目标1.理解概率的意义，了解频率和概率的区别；2.理解古典概型及其计算公式：()=mP A n（n 和m 分别表示基本事件总数和事件A 包含的基本事件数）； 3.理解统计，掌握抽样调查和统计实习.知识梳理5min1.事件A 的概率()P A 的取值范围0()1P A ≤≤. “()0P A =”⇔事件A 是不可能事件； “()1P A =”⇔事件A 是必然事件.2.事件A 的频率m n 是事件A 的概率()P A 的估计值，当n 越大，mn作为()P A 的估计值越精确. 3.如果某次试验共有N 种等可能的结果，其中事件A 包含的结果有K 种，那么事件A 的概率()KP A N=. 4.求方差2σ时注意运用恒等式：22222222121211=[()()()]()N N x x x x x x N N σμμμμ-+-++-=+++-.求标准差σ时注意运用恒等式：2222222121211=[()()()]()N N x x x x x x NNσμμμμ-+-++-=+++-.5.用样本估计总体，这时的方差2σ应该用公式：222212()()()=1n x x x n μμμσ-+-++--用样本估计总体，这时的标准差σ应该用公式：22212()()()=1n x x x n μμμσ-+-++--.典例精讲33min例1（★★★）一个袋子装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. （1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求2n m <+的概率.【解】（1）从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个. 从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个.因此所求事件的概率2163P ==. （2）先从袋子中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(,)m n 有：(1,2),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3), (3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16个.又满足条件2n m ≥+的事件为(1,3),(1,4),(2,4)，共3个.所以满足条件2n m ≥+的事件的概率为1316P =. 故满足条件2n m <+的事件的概率为1313111616P -=-=. 【点评】弄清基本事件个数古典概型的两个特点及概率的计算公式是解这类题目的关键.例2（★★★）储蓄存单上的密码一般由6位数字组成，如果任意确定一个密码，求：（1）密码前两位数都是6的概率； （2）密码前两位数都不超过6的概率.【分析】本题旨在考察古典概型的概率公式.存单上的密码每位上的数字都可以从0,1,2,9这10个数字中选取，试验基本事件总数为610；问题（1）包含的基本事件数为441111010m =⨯⨯=；问题（2）包含的基本事件数为457710 4.910m =⨯⨯=⨯. 【解析】存单上的密码每位上的数字都可以从0,1,2,9这10个数字中选取，试验基本事件总数为610n =.（1）记“前两位数密码都是6”为事件A ，由题意事件A 的前两位数密码只能是6，后4位各有10种选法，故事件A 包含的基本事件数为441111010m =⨯⨯=，由古典概型的概率公式得41610()0.0110m P A n ===（2）记“前两位数密码都不超过6”为事件B ，由题意事件B 的前两位数密码都有7种选法，后4位各有10种选法，故事件B 包含的基本事件数457710 4.910m =⨯⨯=⨯，由古典概型的概率公式得5264.910()0.4910m P B n ⨯===. 【点评】解决古典概型问题要紧扣古典概型的定义.像这样每位数密码都可重复选取的问题，不要漏掉事件所包含的基本事件；对含有“不超过”，“不大于”，“不小于”，“至多”，“至少”等字眼的题目应仔细揣摩.例3（★★）（1）某小区所有263户家庭人口数分组列表如下： 家庭人口数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 家庭数20294850463619843求总体平均数，总体中位数，总体方差和标准差；（2）若某小区有2630户，从中抽取263户所得的家庭人口数的分布列同（1）中的表格，求该小区2630户家庭人口数的总体方差.【解题策略】该题通过表格给出总体中各个体的数值，即家庭人口数，从中可知；如果将263户家庭的人口数从小到大排列，可得数列：2012923101,1,,12,2210,10,10个个个，，，，，共263个个体数值，由此根据各统计量的定义求解.【解析】（1）①总体平均数，即平均每户人口数为120+229++103=4.3263μ⨯⨯⨯≈人.②=263N 是奇数，+1263+1==132.22N 那么132为数列：2012923101,1,,12,2210,10,10个个个，，，，，的正中位置.因为2029485014713220294897+++=>>++=， 所以第132个数属于每户4个的每个组.故总体中位数4ξ=. ③总体方差：2222121=[()()()]N x x x N σμμμ-+-++- 2222121()N x x x N μ=+++-22221(120229103) 4.3263=⨯+⨯++⨯- 3.87≈.④总体标准差： 3.87 1.97σ=≈.（2）该小区2630户家庭人口数的总体方差为222212()()()=1n x x x n μμμσ-+-++--22212()()()1n x x x n nn μμμ-+-++-=⋅-2633.872631=⋅- 3.88=.课堂检测1、 （★★★）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是__________（结果用最简分数表示）. 【解析】每位同学都可以从三个项目中选择两个，因此基本事件是222333C C C ；有且仅有两人选择的项目完全相同122233C C C ，则所求概率为12223322233323C C C C C C =.2.（★★★）已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,,,12,13.7,18.3,20a b ，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a b 、的取值分别是_________. 【解析】因为总体的中位数为10.5，所以10.52a b+=， 进而总体的平均数为10.所以总体的方差为222222222221[8773(10)(10)2 3.78.310]10a b σ=++++-+-++++ 因为222(1010)1(10)(10)22a b a b -+--+-≥=（当且仅当10.5a b ==时等号成立），所以要使该总体的方差最小，a b 、的取值分别是10.510.5、.3.（★★★）随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为______（默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）.【解析】本题可以从反面考虑，由于每个同学都可能在1到12月份中任一列对应一个基本事件，即基本事件共有912，每个基本事件发生的概率相等. 9位同学在不同月份出生共有912P 种可能，“至少有2位同学在同一月份出生”这一事件的对立事件是“没有同学在同一月份出生”，因此，所求概率为912910.98512P -=.4.（★★★）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”。