高中数学排列组合经典题型全面总结版
排列组合经典题型及解法
排列组合是组合数学中的一个重要概念，涉及到对一组对象进行排列或组合的方式。
下面列举几个经典的排列组合题型及解法：
1. 排列问题：
-题型：从n个不同元素中选取m个元素，有多少种排列方式？
-解法：使用排列数的公式P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n!表示n 的阶乘。
2. 组合问题：
-题型：从n个不同元素中选取m个元素，有多少种组合方式？
-解法：使用组合数的公式C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n!表示n的阶乘。
3. 重复排列问题：
-题型：从n个元素中选取m个元素进行排列，允许元素重复，有多少种排列方式？
-解法：使用重复排列数的公式P'(n, m) = n^m，其中^n表示n的m次方。
4. 重复组合问题：
-题型：从n个元素中选取m个元素进行组合，允许元素重复，有多少种组合方式？
-解法：使用重复组合数的公式C'(n, m) = C(n+m-1, m)，其中C(n, m)表示组合数。
5. 圆排列问题：
-题型：将n个不同的物体围成一个圆圈，有多少种不同的排列方式？
-解法：使用圆排列数的公式P(n) = (n-1)!。
以上是一些常见的排列组合题型及其解法。
在实际问题中，可能会出现更加复杂和变化的情况，需要根据具体问题进行分析和推导解法。
高中 排列组合 知识点+例题 全面分类
辅导讲义―排列组合教学内容1．分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．1．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过3次传递后，毽子又被踢回给甲．则不同的传递方式共有()A．5种B．2种C．3种D．4种2．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243 B．252 C．261 D．2793．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14 B．13 C．12 D．104．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)题型一分类加法计数原理的应用例1高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人．(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？分类计数原理与分步计数原理(2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？题型二分步乘法计数原理的应用例2有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．思维升华(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，则：(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数；(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数．题型三两个原理的综合应用例3如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有()A．30种B．27种C．24种D．21种方法与技巧1．分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．2．分类标准要明确，做到不重复不遗漏．3．混合问题一般是先分类再分步．4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．失误与防范1．切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．2．分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．3．确定题目中是否有特殊条件限制．A 组 专项基础训练1．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．82．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有( ) A ．4种 B ．5种 C ．6种 D ．9种3．集合P ＝{x,1}，Q ＝{y,1,2}，其中x ，y ∈{1,2,3，…，9}，且P ⊆Q .把满足上述条件的一对有序整数对(x ，y )作为一个点的坐标，则这样的点的个数是( ) A ．9 B ．14 C ．15 D ．214．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( ) A ．9 B ．10 C ．18 D ．205．从－2、－1、0、1、2、3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数a 、b 、c ，则可以组成顶点在第一象限且过原点的抛物线条数为( ) A ．6 B ．20 C ．100 D ．120. B 组 专项能力提升1．已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{1,2,3,4}，定义函数f ：M →N .若点A (1，f (1))、B (2，f (2))、C (3，f (3))，△ABC 的外接圆圆心为D ，且DA →＋DC →＝λDB →(λ∈R )，则满足条件的函数f (x )有( ) A ．6种 B ．10种 C ．12种 D ．16种2．直角坐标xOy 平面上，平行直线x ＝n (n ＝0,1,2，…，5)与平行直线y ＝n (n ＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有( )A ．25个B ．36个C ．100个D ．225个3.如图，一环形花坛分成A ，B ，C ，D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为( ) A ．96 B ．84 C ．60 D ．484．五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有________种．1．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．3．排列数、组合数的公式及性质公式(1)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！(2)C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！性质(1)0！＝1；A n n＝n！.(2)C m n＝C n－mn；C m n＋1＝C m n＋C m－1n.1．用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数为()A．8 B．24 C．48 D．1202．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120 C．72 D．243．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()4．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有________种．排列组合题型一排列问题例1有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男女相间．由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数，求：(1)有多少个含有2,3，但它们不相邻的五位数？(2)有多少个数字1,2,3必须由大到小顺序排列的六位数？题型二组合问题例2某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？从10位学生中选出5人参加数学竞赛．(1)甲必须入选的有多少种不同的选法？(2)甲、乙、丙不能同时都入选的有多少种不同的选法？题型三排列与组合的综合应用问题例34个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？思维升华排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列．其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．(1)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()A．12种B．18种C．36种D．54种(2)(2014·重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120C．144 D．168排列、组合问题计算重、漏致误典例：有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法有________种．温馨提醒(1)排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向．同时解答组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题．(2)“至少、至多”型问题不能利用分步乘法计数原理求解，多采用分类求解或转化为它的对立事件求解．方法与技巧1．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数．2．排列、组合问题的求解方法与技巧：(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件．失误与防范求解排列与组合问题的三个注意点：(1)解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理做最后处理．(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决，分类标准应统一，避免出现重复或遗漏．(3)对于选择题要谨慎处理，注意等价答案的不同形式，处理这类选择题可采用排除法分析选项，错误的答案都有重复或遗漏的问题.A组专项基础训练1．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A．192种B．216种C．240种D．288种2．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A．12种B．10种C．9种D．8种3．10名同学合影，站成了前排3人，后排7人．现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为()A．C27A55B．C27A22C．C27A25D．C27A354．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()A．36种B．42种C．48种D．54种5．如图所示，要使电路接通，开关不同的开闭方式有()1。
排列组合题型总结
排列组合题型总结排列组合是高中数学中的一个重要知识点，也是各类数学竞赛常见的题型之一。
它在实际生活中有着广泛的应用，如排队、选材、抽奖等。
因此，对排列组合的掌握至关重要。
下面将对排列组合的概念、性质、计数原理以及常见题型进行总结。
一、排列与组合的概念1. 排列：对给定的一组元素，按照一定的顺序进行排列。
有放回的排列叫做重复排列，不放回的排列叫做不重复排列。
2. 组合：从给定的一组元素中，取出一部分元素进行组合，不考虑元素的顺序。
有放回的组合叫做重复组合，不放回的组合叫做不重复组合。
二、排列组合的性质1. 排列性质：(1) 重复排列：对于n个不同元素，重复排列数为P(m, n) =n^m。
(2) 不重复排列：对于n个不同元素取m个元素进行不重复排列数为A(m, n) = n! / (n-m)!2. 组合性质：(1) 重复组合：对于n个不同元素，从中取出m个元素进行重复组合，共有C(m+n-1, m)种组合方式。
(2) 不重复组合：对于n个不同元素取m个元素进行不重复组合，共有C(m, n)种组合方式。
三、排列组合的计数原理1. 乘法原理：当某件事情分为几个步骤进行，并且每个步骤的选择数目不受前一步骤选择的限制时，总的选择数目等于各个步骤选择数目的乘积。
2. 加法原理：当某件事情可以分为几种情况进行，并且这些情况没有重叠部分，总的选择数目等于各种情况选择数目的和。
3. 减法原理：当某件事情总的选择数目已知，但其中某些选择数目不符合要求时，可以采用总的选择数目减去不符合要求的选择数目得到符合要求的选择数目。
四、常见排列组合题型1. 对于排列问题，常见的题型有：(1) 从n个元素中取m个元素进行排列有多少种方法？(2) 字母排列问题，例如：用字母ABCDF构成几位无重复、有重复的排列？(3) 位置固定的排列问题，例如：某实验有4个步骤，进行3次，每个步骤有多少种选择方法？(4) 特殊位置的排列问题，例如：某分队有4名队员，第一、二名只能选A或B，第三名只能选C或D，第四名只能选E 或F，共有多少种分队方法？2. 对于组合问题，常见的题型有：(1) 从n个元素中取m个元素进行组合有多少种方法？(2) 元素重复的组合问题，例如：甲、乙、丙、丁四个人挑选队员，队员不多于2人，共有多少种选择方法？(3) 特定条件下的组合问题，例如：某公司有5个经理、7个主管、10个员工，要从中选取3个人组成考核小组，其中至少一人是经理，共有多少种选择方法？(4) 若干元素组成一个团队，其中必须包含A，B两人，并且团队至少需要5人，共有多少种选择方法？以上只是排列组合题型的几个常见例子，实际应用中还会出现更复杂的题型。
高中排列组合知识点汇总及典型例题(全)
一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A mn -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-；(3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nm nm mm ==--+=-11……!!!! 10=nC 规定：组合数性质：.2 nn n n n m n m n m n m n n mnC C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①；②；③；④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12mm 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
排列组合题型总结
排列组合题型总结排列组合是数学中的一种常见的问题类型，它涉及到对一组元素进行不同排列或组合的情况计算。
在解决排列组合问题时，可以采用不同的方法和公式，以下是一些常见的排列组合题型及其解决方法的总结。
1. 排列问题：排列是从一组元素中抽取若干个元素按照一定的顺序组成不同的序列。
解决排列问题时，可以使用如下的排列公式。
公式：P(n, k) = n! / (n-k)!其中，n表示一组元素中的总个数，k表示抽取的个数。
示例：从4个元素中选取2个元素进行排列，可以得到的排列数为：P(4, 2) = 4! / (4-2)! = 4*3 = 12。
2. 组合问题：组合是从一组元素中抽取若干个元素按照任意顺序组成的不同子集。
解决组合问题时，可以使用如下的组合公式。
公式：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n表示一组元素中的总个数，k表示抽取的个数。
示例：从4个元素中选取2个元素进行组合，可以得到的组合数为：C(4, 2) = 4! / (2! * (4-2)!) = 4*3 / 2 = 6。
3. 重复排列问题：重复排列是从一组元素中进行有放回地抽取若干个元素，按照一定的顺序组成的不同序列。
解决重复排列问题时，可以使用如下的重复排列公式。
公式：P'(n, k) = n^k其中，n表示一组元素中的总个数，k表示抽取的个数。
示例：从4个元素中选取2个元素进行重复排列，可以得到的不同序列数为：P'(4, 2) = 4^2 = 16。
4. 重复组合问题：重复组合是从一组元素中进行有放回地抽取若干个元素，按照任意顺序组成的不同子集。
解决重复组合问题时，可以使用如下的重复组合公式。
公式：C'(n, k) = C(n+k-1, k)其中，n表示一组元素中的总个数，k表示抽取的个数。
示例：从4个元素中选取2个元素进行重复组合，可以得到的不同子集数为：C'(4, 2) = C(4+2-1, 2) = C(5, 2) = 5! / (2! * (5-2)!) = 5*4 / 2 = 10。
高中数学排列组合典型题大全含答案
排列组合典型题大全一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A 、38 B、83 C、38A D 、38C 【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。
所以选A1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？3、4个同学参加3项不同的比赛（1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？（2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少？5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？6、（全国II 文）5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共(A)10种(B) 20种(C) 25种(D) 32种7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组，每个兴趣小组只能有一个人来负责，负责人可以兼职，则不同的负责方法有多少种？8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，不同的分法有多少种？思考：4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，每班至少一个人的不同的分法有多少种？二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A种例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合知识总结+经典题型
(1)知识梳理1．分类计数原理（加法原理）:完成一件事,有几类办法,在第一类中有m1种有不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法……在第n类型有m3种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。
2．分步计数原理（乘法原理）:完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有种不同的方法。
特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类"与“类"之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步"有关，要注意“步"与“步"之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏.3．排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 4．排列数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素排成一列,称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号表示.5．排列数公式：特别提醒：（1）规定0！= 1（2)含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,….。
.an其中限重复数为n1、n2……nk，且n =n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于。
例如:已知数字3、2、2，求其排列个数又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数.6．组合:从n个不同的元素中任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
7．组合数公式：8．两个公式：①②特别提醒：排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素。
区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组"，前者有顺序关系，后者无顺序关系。
（2）典型例题考点一：排列问题例1.六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1）甲不站两端；（2)甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；(4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；(6）甲不站左端，乙不站右端。
(完整)高中数学排列组合题型总结,推荐文档
又乘法原理满足条件的排法有： A44 × A44 =576
练习 1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（
C
2 4
A33
）
2． 某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学
校人数较多，要安排连续参观
2
天，其余只参观一天，则植物园
二． 间接法 当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法
A64 2 A53 A42 =252
例 2 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与 9，将它们任意三张 并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？ 分析：此例正面求解需考虑 0 与 1 卡片用与不用，且用此卡片又分使用 0 与使用 1，类别较复杂，
排列组合题型总结
排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列 组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得 以快速准确求解。
一．直接法
1． 特殊元素法 例 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少 个 （1）数字 1 不排在个位和千位 （2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。
30
天内不同的安排方法有（
C
1 29
A19 28
）
（注意连续参观
2
天，即需把
30
天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有
C
1 29
其余的就是
19
所学校选 28 天进行排列）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学排列与组合（一）典型分类讲解一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 510C五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法练习题：1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42 443允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为nm 种2.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法87六.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120七.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有24A种,再排后4个位置上的特殊元素丙有14A种,其余的5人在5个位置上任意排列有5A种,则共有215A A A种前 排后 排练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有44A种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A种排法，再排小集团内部共有2222A A种排法，由分步计数原理共有222222A A A种排法练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为254254A A A2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255255A A A种十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。
相邻名额之间形成９个空隙。
在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C种分法。
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有1mnAn 一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.二班七班练习题：1． 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ 49C 2 .100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数 3103C十一.正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。
这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有35C ,只含有1个偶数的取法有1255C C ,和为偶数的取法共有123555C C C +。
再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有1235559C C C +-练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?十二.平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解: 分三步取书得222642C C C 种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF ，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF 该分法记为(AB,CD,EF),则222642C C C 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有33A 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有22236423/C C C A 种分法。
练习题：1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（544213842/C C C A ）2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法 （1540）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______ （22224262/90C C A A =）十三. 合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。
选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有2233C C 种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员112534C C C 种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有2255C C 种，由分类计数原理共有 22112223353455C C C C C C C ++种。
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34 2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27） 本题还有如下分类标准：*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准 *以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果 将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n 个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为11m n C --有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰. 平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以n n A (n 为均分的组数)避免重复计数。
十四.构造模型策略例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？ 解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有3C 种十五.实际操作穷举策略例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法解：从5个球中取出2个与盒子对号有25C 种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有252C 种号盒练习题：1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72种54321十六. 分解与合成策略例16. 30030能被多少个不同的偶数整除分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13，依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：1234555555C C C C C ++++练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共481258C -=,每个四面体有3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成358174⨯=对异面直线十七.化归策略例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？ 解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有111321C C C 种。