2020年高考理科数学易错题《排列组合》题型归纳与训练
排列组合知识点汇总及典型例题(全)
一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A mn -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-；(3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nm nm mm ==--+=-11……!!!! 10=nC 规定：组合数性质：.2 nn n n n m n m n m n m n n mnC C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，，①；②；③；④11112111212211r r r r r r r rr r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12mm 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=L L L 注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
【高考数学 易错专练】知识点 排列组合综合 易错点5 混淆分堆与分配问题(学生版)
知识点排列组合综合易错点5 混淆分堆与分配问题知识点排列组合综合易错点5 混淆分堆与分配问题【易错诠释】（1）分堆与分配问题：将一组n个不同元素平均分给A、B、C等不同的单位，每个单位m个，可先从n个中选取m个给A，再从剩下的n－m个中选取m个给B，…，依次类推，不同方法种数为C C…C个；将一组n个不同元素平均分成k堆，每堆m个，由于某m个元素先选和后选分堆结果是一样的，故不同分堆方法数为．（2）相同元素分配，每单位至少含有一个元素，可用插板法；相同元素分组，按元素最多的组分类，用数数法．【典例】有12本不同的书，分成4堆．(1)若每堆3本，有几种方法？(2)若4堆依次为1本，3本，4本，4本，有几种分法？(3)若4堆依次为1本，2本，3本，6本，有几种分法？(只要求列出算式)【错解】(1)有C C C C种分法；(2)有C C C C种分法；(3)有C C C C种分法．【错因】A、B、C、D四本书平均为分两堆，只有AB，CD；AC，BD；AD，BC三种分法，而C·C＝6，显然计数错误，原因是先从4本书中选取AB，再取CD和先取CD，再取AB 是同一种分法，上述错解犯了相同的错误．【正解】(1)有分法种．(2)有分法种．(3)有分法C C C C种【针对练习】1．从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________（用数字作答）．2．有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有______种不同的借法.3．若将五本不同的书全部分给三个同学，每人至少一本，则有________种不同的分法. 4．将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教.（最后结果用数字表示）（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？（2）一所学校安排4个人，一所学校安排2个人，一所学校1个人，有多少种不同的分配方案？（3）其中有两所学校都各安排3个人，另一所学校安排1个人，有多少种不同的分配方案？5．（1）4本不同的书平均分成两堆，每堆两本，有几种分法？（2）10人坐成一排，要求甲、乙、丙三人按从左到右的顺序就坐（不一定要相邻），有几种坐法？。
排列组合十种解题技巧与易错题归纳总结
排列组合问题十种题型及其解题技巧、易错归纳（一）至少变恰好例题1 某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘2名，乙单位招聘2名，丙单位招聘1名，并且甲单位要至少招聘一名男生，现有3男3女参加三所单位的招聘，则不同的录取方案种数为（ ） A ．36B ．72C ．108D ．144【解析】根据题意，分3步进行分析：①单位甲在6人中任选2人招聘，要求至少招聘一名男生，有226312C C -=种情况，②单位乙在剩下的4人中任选2人招聘，有246C =种情况，③单位丙在剩下的2人中任选1人招聘，有122C =种情况， 则有1262144⨯⨯=种不同的录取方案，选D巩固1 2019年高考结束了，有5为同学（其中巴蜀、一中各2人，八中1人）高考发挥不好，为了实现“南开梦”来到南开复读，现在学校决定把他们分到123、、三个班，每个班至少分配1位同学，为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（ ） A ．84B ．48C ．36D ．28【解析】设这五人分别为1212,,,,A B B C C ,若A 单独为一组时，只要2种分组方法；若A 组含有两人时，有11428C C ⋅=种分组方法；若A 组含有三人时，有11224C C ⋅=种分组情况；于是共有14种分组方法，所以分配方案总数共有331484A =,故选A. （二）插空法例题2 电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）A ．5424A A ⋅B ．5424C C ⋅C ．4267A A ⋅ D ．4267C C ⋅【解析】先排4个商业广告，有44A 种排法，然后利用插空法，4个商业广告之间有5个空，插2个公益广告，有25A 种排法，根据分步计数原理，所以共有5424A A ⋅种排法，选A.巩固2 某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩下的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为（ ） A ．18B ．24C ．32D ．64【解析】首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当三辆车都在最左边时，有车之间的一个排列33A ，当左边两辆，最右边一辆时，有车之间的一个排列33A ， 当左边一辆，最右边两辆时，有车之间的一个排列33A ，当最右边三辆时，有车之间的一个排列33A ，总上可知，共有不同的排列法33424A ⨯=种结果，所以选B（三）特殊元素优先例题3 某所大学在10月份举行秋季越野接力赛，每个专业四人一组，其中计算机专业的甲、乙、丙、丁四位大学生将代表本专业参加拉力赛，需要安排第一棒到第四棒的顺序，四个人去询问教练的安排，教练对甲说：“根据训练成绩，你和乙都不适合跑最后一棒”；然后又对乙说：“你还不适合安排在第一棒”，仅从教练回答的信息分析，要对这四名同学讲行合理的比赛棒次安排，那么不同情形的种数共有（ ） A ．6B ．8C ．12D ．24【解析】根据条件乙只能安排在第二棒或第三棒；若“乙”安排在第二棒，此时有：1222C A 4=种，若“乙”安排在第三棒，此时有：1222C A 4=种，则一共有8种，选B.（四）捆绑法例题4 为迎接双流中学建校80周年校庆，双流区政府计划提升双流中学办学条件.区政府联合双流中学组成工作组，与某建设公司计划进行6个重点项目的洽谈，考虑到工程时间紧迫的现状，工作组对项目洽谈的顺序提出了如下要求：重点项目甲必须排在前三位，且项目丙、丁必须排在一起，则这六个项目的不同安排方案共有（） A ．240种B ．188种C ．156种D ．120种【解析】第一类：当甲在第1位时，第一步，丙、丁捆绑成的整体有4种方法，第二步，丙、丁内部排列用22A 种方法，第三步，其他三人共33A 种方法，共23234A A 42648=⨯⨯=种方法；第二类：当甲在第2位时，第一步，丙、丁捆绑成的整体有3种方法， 后面两步与第一类方法相同，共23233A A 32636=⨯⨯=种方法； 第三类：当甲在第3为时，与第二类相同，共36种方法； 总计，完成这件事的方法数为483636120N =++=，故选D.巩固3 某校迎新晚会上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A ．120种B ．156种C ．188种D ．240种【解析】先考虑将丙、丁排在一起的排法种数，将丙、丁捆绑在一起，与其他四人形成五个元素，排法种数为25252120240A A =⨯=，利用对称性思想，节目甲放在前三位或后三位的排法种数是一样的， 因此，该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有2401202=种，选A. （五）不在问题的间接法例题5 某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是（ ） A ．320B ．313C ．79D ．1778【解析】设事件A ：数学不排第一节，物理不排最后一节. 设事件B ：化学排第四节.()41134333555578A C C A P A A A +==，()31123222555514A C C A P AB A A +==，故满足条件的概率是()()739P AB P A =.故选C.巩固4 某公司安排五名大学生从事A B C D 、、、四项工作,每项工作至少安排一人且每人只能安排一项工作，A 项工作仅安排一人，甲同学不能从事B 项工作,则不同的分配方案的种数为（ ） A ．96B ．120C ．132D ．240【解析】若甲同学在A 项工作，则剩余4人安排在B 、C 、D 三项工作中，共有1211342136C C C C =种 若甲同学不在A 项工作，，则在C 或D 工作，共有111112423323()96C C C C C C ++=种，共36+96=132种，选C 巩固5 某次文艺汇演为，要将A ，B ，C ，D ，E ，F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：序号 1 2 3 4 5 6 节目如果A ，B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有 A ．192种B ．144种C ．96种D ．72种【解析】由题意知A ，B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置， 可以把这两个元素看做一个，再让他们两个元素之间还有一个排列，A ，B 两个节目可以排在1，2两个位置，可以排在4，5两个位置，可以排在5，6两个位置， 这两个元素共有种排法，其他四个元素要在剩下的四个位置全排列，节目单上不同的排序方式有，选B ．（六）走街道问题例题6 如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿途中路线前进，则从M 到N 不同的走法共有（ ）A ．10B ．13C ．15D ．25【解析】因为只能向东或向北两个方向，向北走的路有5条，向东走的路有3条，走路时向北走的路有5种结果，向东走的路有3种结果，根据分步计数原理知共有3515⨯=种结果，选C （七）隔板法例题7 设有1n +个不同颜色的球，放入n 个不同的盒子中，要求每个盒子中至少有一个球，则不同的放法有（ ）A ．()1!n +种B ．()1!n n ⋅+种C ．()11!2n +种 D ．()11!2n n ⋅+种 【解析】将两个颜色的球捆绑在一起，再全排列得21!(1)!2n n C n n +=+ 选D巩固6 将4个大小相同，颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）种． A ．7B ．10C ．14D ．20【解析】根据题意，每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号， 分析可得，1号盒子至少放一个，最多放2个小球，分情况讨论： ①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有C 41＝4种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有C 42＝6种方法；则不同的放球方法有4+6=10种，选B ． （八）回归原始的方法例题8 某次演出共有6位演员参加，规定甲只能排在第一个或最后一个出场， 乙和丙必须排在相邻的顺序出场，请问不同的演出顺序共有（ ） A ．24种B ．144种C ．48种D ．96种【解析】第一步，先安排甲有12A 种方案；第二步，安排乙和丙有2124A A 种方案；第三步，安排剩余的三个演员有33A 种方案，根据分步计数原理可得共有1213224396A A A A =种方案.故选D.巩固7 如图，下有七张卡片，现这样组成一个三位数：甲从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在百位，然后把卡片放回；乙再从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在十位，然后把卡片放回；丙又从这七张卡片中随机抽出一张，把卡片上的数字写在个位，然后把卡片放回。
排列组合知识点归纳总结高考题
排列组合知识点归纳总结高考题编号一：排列组合基础知识在高考数学中，排列组合是一个重要的考点。
掌握排列组合知识对于解决相关题目至关重要。
本文将对排列组合的基础知识进行归纳总结，并配以高考题进行实例分析。
1. 排列排列是从若干个元素中取出一部分元素，按照一定的顺序进行排列，形成不同的序列。
排列有两种情况：有重复元素的排列和无重复元素的排列。
1.1 有重复元素的排列当从 n 个元素中取出 r 个进行排列时（r ≤ n），若这些元素中有重复元素，则排列的总数为 P(n;r) = n! / (n1! × n2! × ... × nr!)，其中 ni 表示第 i 个元素的个数。
【例题1】：某班上有 10 名学生，其中 5 名男生和 5 名女生，现要从这 10 人中选出 3 人组成一支足球队。
求不同的组队方案数。
解：由于男生和女生分别占一定数量，该问题属于有重复元素的排列。
根据公式可知，解法为 P(5;3) = 5! / (2! × 3!) = 10 种。
1.2 无重复元素的排列当从 n 个不同元素中取出 r 个进行排列时（r ≤ n），排列的总数为P(n;r) = n! / (n-r)!。
【例题2】：有 9 个不同的球队参加一场篮球比赛。
其中第一名和第二名分别获得冠军和亚军。
请问这 9 支球队的比赛有多少种可能的结果？解：由于每个球队的位置是不同的，问题属于无重复元素的排列。
根据公式可知，解法为 P(9;2) = 9! / 7! = 72 种。
2. 组合组合是从若干个元素中取出一部分元素，不考虑顺序，形成不同的组合。
同样地，组合也有两种情况：有重复元素的组合和无重复元素的组合。
2.1 有重复元素的组合当从 n 个元素中取出 r 个进行组合时（r ≤ n），若这些元素中有重复元素，则组合的总数为 C(n;r) = (n+r-1)! / (r! × (n-1)!)。
排列组合题型总结及易错点提示
八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C 种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒有44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再排小集团部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222222A A A 种排法 练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行列,要求同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有列方式的种数为254254A A A2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255255A A A 种十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。
相邻名额之间形成９个空隙。
在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C 种分法。
二班七班练习题：1．10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ 49C2 .100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数 3103C十一.正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。
《排列组合》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
排列组合考纲要求1.了解排列的意义，理解排列数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.2.了解组合的意义，理解组合数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.3. 了解组合数性质. 知识点一：排列1.排列的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.若m <n ，这样的排列叫选排列；若m ＝n ,这样的排列叫全排列.2.排列数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有排列的个数，从n 个不同元素中取出m 元素的排列数，记作mn P .(1) P m n ＝n (n －1)(n －2) … (n －m ＋1)； (2) ==!P n n n n (n －1)(n －2) … 3×2×1； (3) P m n ＝()!!n n m -； 规定：0！＝1.知识点二：解决排列问题的基本方法.1. 优限法：即先排特殊的元素，或者特殊的位置.2．捆绑法：相邻问题，把相邻的元素看成一个整体，然后再参与其他元素的排列. 3．插空法：对元素互不相邻的排列问题，常常采用插空法，首先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中.4. 排除法：即从正面难以考虑时可以考虑它的对立面，用全部结果数减去对立事件的方法数.5.枚举法：即将所有排列按照一定的规律，一一列举出来的方法. 知识点三：组合1.组合的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，组成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.组合数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有组合的个数，从n个不同元素中取出m 元素的组合数，记作mn C .(1)()()()121P C P !mm nnmn n n n n m m ---+==;(2)()!C !!mn n m n m =-(n ，*N ∈m ，且m ≤n ).3. 组合数性质：(1) C =C m n mn n-； (2) 111C +C C m m m n n n +++=.知识点四：解组合问题的方法1.分类讨论：即分析题中的限定条件将所给元素按性质适当分类，并侧重其中一类，相应各类分类讨论，分类时要做到不重不漏.2.等价转化：即把所求问题转化为与之等价的组合问题去解决.3.排除法.4.枚举法.知识点五：计数需注意问题1.排列为有序问题，组合为无序问题，两者都是不重复问题.2.排列包括两个要素，一个是不同的元素，另一个是确定的顺序. 即排列可分成两步，第一步取出元素，第二步排列顺序.3.组合只有一个要素，就是取出元素即可，与元素的排列顺序无关.4.要注意区分分类和分步计数原理，排列和组合，元素允许重复是直接用计数原理，而元素不允许重复的是排列和组合问题. 题型一 排列定义例1 五个同学站一排照相，共多少种排法？分析：把5个元素放在5个位置上，相当于5的全排列，也共有120P 55=种排法. 解答：N =120P 55=种排法题型二 排列数公式例2 设x N *∈，10x <，(20)(21)(30)().x x x --⋅⋅⋅-=A. 1020P x -B. 1120P x -C. 1030P x -D. 1130P x -分析：排列数公式 P m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)的特点: （1）等号右边最大的数是n ; （2）等号右边最小的数是n -m +1; （3）共有m 个连续自然数相乘. 解答：30n x =-,(30)(20)111m x x =---+=,∴ (20)(21)(30)x x x --⋅⋅⋅-=1130P x -题型三 解决排列应用题 例3 用1、2、3、4、5、6个数. （1）可以组成多少个五位数？（2）可以组成多少个没有重复数字的五位数？ （3）可以组成多少个1和2相邻的六位数？ （4）可以组成多少个1和2不相邻的六位数？分析：先考虑是用分类分步还是用排列组合，就是要观察一下数字是否允许重复，数字允许重复用分类分步计数原理，数字不允许重复用排列组合，数字相邻用捆绑法，数字不相邻用插空法.解答：（1）数字可以重复，所以用分步计数原理，每个数位上都有6个数字可选，因此共有5666666⨯⨯⨯⨯=个.（2）数字不可以重复，还有顺序，所以用排列,共720P 56==N 个.（3）1和2相邻，用捆绑法，先排1和2共22P 种，与余下的4个元素共有55P 种，则共有240P P 5522=个.（4）1和2不相邻，插空法，先排余下的4个元素44P 种，,再从5个空中挑选2个即25P 种，则共有480P P 2544=个.题型四 组合定义及组合数公式例4 从8名男生2名女生中任选5人， （1）共有多少种不同的选法？ （2）恰好有一名女生的不同选法？ 分析：选取元素干同一件事就组合问题.解答：（1）所有不同选法数就从10人中任选5人的组合数即252C 510=种.（2）从2名女生中任选1人的选法有12C 种，从8名男生中选出4人的选法有48C 种，由分步计数原理，恰有一名女生的选法有140C C 4812=种.题型五 组合数公式例5 （1）已知321818C C -=x x 则x =____. （2）=+97999899C C _____.分析：灵活运用组合数性质.解答：（1）根据题意得 23x x =-或(23)18x x +-=则3x =或7x =.（2）4950299100C C C C 21009810097999899=⨯===+. 题型六 解组合应用题例6 从8件不同的服装快递，2件不同的食品快递中任选5件. （1）至少有一件食品快递的不同选法总数？ （2）最多有一件食品快递的不同选法总数？分析：解决带有限制条件的组合应用题要根据题意正确地分类或分步,巧妙运用直接法或间接法.解答：（1）法一（直接法）分两类情况求解，第一类恰有一件食品快递选法有4812C C 种，第二类恰有两件食品快递选法有3822C C 种，由分类计数原理得至少有一件食品快递的不同选法共有196C C C C 38224812=+种.法二（排除法）从10件快递中任选5件选法总数减去选出的5件全为服装快递的总数即至少有一件为食品快递的不同选法有55108196C C -=种.（2） 最多有一件食品快递可分为以下两类，第一类选出的五件快递中恰有一件食品快递有1428C C 种选法，第二类选出的五件快递中恰有0件食品快递，有0528C C 种选法,由分类计数原理知最多有一件食品快递的选法有14052828196C C C C +=种.一、选择题1.设*x N ∈，10x <，则(10)(11)(17)x x x --⋅⋅⋅-用排列数符号表示为（ ）.A.x x --1017PB.817P x -C. 717P x -D. 810P x -2.从4人中任选2人担任正副班长，结果共有（ ）种.A. 4B. 6C. 12D. 243.将5本不同的笔记本分配给4个三好学生（每个学生只能拥有一本笔记本），则所有的分法种数为（ ）.A. 5！B. 20C. 54D. 454.5名学生报考4所不同的学校（每名学生只能报考一所学校），则所有的报考方法有（ ）种.A. 5！B. 20C. 54D. 455.将6名优秀教师分配到4个班级，要求每个班有1名教师，则不同的分法种数有（ ）种.A. 46PB. 46C. 46CD. 646.为抗击郑州水患，某医院派3名医生和6名护士支援郑州，他们被分配到郑州的三所医院，每个医院分配1名医生和2名护士，共有（ ）种不同的分配方法.A. 24122613P P P P +B. 221124122613P P P P P P ++ C. 121212362412C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅ D. 121212362412C C C C C C ⋅+⋅+⋅7.从4名男生和5名女生中任取3人，其中男生至多有一人,则不同的取法共有（ ）种 . A. 30 B. 50 C. 70 D. 808.某小组有男生7人，女生3人，选出3人中有1名男生，2名女生的不同选法有（ ）种.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅9.10件产品中有2件次品，任取3件至少有1件次品的不同抽法为（ ）种.A. 1229C C ⋅ B. 312828C C C +⋅ C. 33108C C - D. 12122928C C C C ⋅-⋅10.式子(1)(2)(15)16!x x x x ++⋅⋅⋅+（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C. 16x CD. 17x C妙记巧学，归纳感悟 二、判断题：1. 34567⨯⨯⨯⨯等于37P .（ ）2. 从甲、乙、丙、丁中任选两人做正、副班长，共有12种.（ ）3. 6个座位，3个人去坐，每人坐一个座位，则共36C 种.（ ） 4. 6个点最多可确定26C 条直线.（ ） 5. 6个点最多可确定26C 条有向线段.（ ） 6. 某铁路有十个站点，共需准备210P 种车票.（ ）7. 某铁路有十个站点，有210P 种不同票价（同样的两个站点的票价相同）.（ ） 8. 某组学生约定，假期每两人互通一封信，共计12封，这个小组学生有5人.（ ） 9. 把语文、数学、英语、美术、历史这五门课排在一天的五节课中，数学必须比美术先上的排法总数为44C 种.（ ）10.从3、5、7、9中任选两个，可以组成12个不同的分数值.（ ） 妙记巧学，归纳感悟 三、填空题1.若57n n C C =，则n =_______..2.若56P 2=n ，则n =_______.3.从数字0、1、2、3、4、5中任选3个数，可组成______个无重复数字的三位偶数.4.将4本同样的书分给5名同学，每名同学至多分一本，而且书必须分完则不同的分法总数有______种.5.2名教师和5名学生中选3人去旅游，教师不能不去，也不能全去，则共有______种选法. 妙记巧学，归纳感悟 四、解答1.将5名学生排成一排照相，其中3名男生，2名女生，则以下情况各有多少种不同的排法？（1）甲乙必须相邻； （2）甲乙互不相邻； （3）甲乙必须站两端； （4）甲乙不在两端； （5）男女相间.2. 将6本不同的书,在下列情况下有多少种分法？ （1）分成相等的三份； （2）平均分给甲乙丙三位同学；（3）分成三份，一份一本，一份两本，一份三本； （4）甲分一本，乙分两本，丙分三本；（5）如果一人分一本，一人分两本，一人分三本，分给甲乙丙. 高考链接1.（2018）某年级有四个班，每班组成一个篮球队，每队分别同其他三个队比赛一场，共需要比赛（ ）场.A. 4B. 6C. 5D. 7 2. 某段铁路共有9个车站，共需准备（ ）种不同的车票. A. 36 B. 42 C.64 D. 723. 甲袋中装有6个小球，乙袋中装有4个小球，所有小球颜色各不相同，现从甲袋中取两个小球，乙袋中取一个小球，则取出三个小球的不同取法共有（ ）种. A. 30 B. 60 C.120 D. 3604. 某学校举行元旦曲艺晚会，有5个小品节目，3个相声节目,要求相声节目不能相邻，则不同的出场顺序有______种. 积石成山10件产品中有2件次品任取3件，至多有一件次品的不同取法总数为（ ）种.A. 312828C C C +B. 1229C C C. 33108C C - D. 12122928C C C C -2. 从4名男生和5名女生中任取3人，其中至少有男生，女生各一名，则不同的取法有（ ）种.A. 140B. 84C. 70D. 353. 某医疗小队有护士7人，医生3人，任选3人的不同选法有（ ）.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅4. 将4名优秀教师分配到3个班级，每个班至少分到一名教师，则不同的分配方案有（ ）种.A. 72B. 36C. 18D. 125. 5个人站成一排照相，甲不站排头，乙不站排尾的排法总数有（ ）种. A. 36 B. 78 C. 60 D. 486. 5个人站成一排照相，甲站中间的排法总数有（ ）种. A .24 B. 36 C. 60 D. 487. 5个人站成2排照相，第一排2人，第二排3人则不同的排法总数有（ ）种. A. 48 B. 78 C. 60 D. 1208. 从1、2、3、4中任选2个，再从5、6、7、8、9中任选2个可组成无重复的四位数的个数是（ ）个.A .720 B. 2880 C. 1440 D .1449. 某工作小组有9名工人，3名优秀工人，各抽5人参加比赛，要求优秀工人都参加不同的选法共有（ ）种.A. 12B.15C. 30D. 36 10. 式子(1)(2)(15)1!x x x x x ++⋅⋅⋅+-（）（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C.16x C D .17x C排列组合答案一、选择题二、判断题三、填空题1．12 解析：根据组合数性质1得5712n =+=2．8 解析：2(1)56n P n n =-= 8n ∴=3. 52 解析:分两类，第一类个位是零则有2520P =个；第二类，个位不是零，则有11124432P P P =个，所以共有20+32=52个.4．5 解析:只需在五人中选四人得到书即可，书相同无需排序,则有455C =种. 5．20 解析:老师不能不去，也不能全去，则只能去一人即122520C C =种.妙记巧学，归纳感悟：答案全，结果简. 四、解答题1.解：（1）把甲乙捆绑在一起有22P 种，与余下的3名学生共有44P 种，则甲乙必须相邻，有242448P P =种排法.（2）先把余下的3名学生排好有33P 种，再从形成的4个空中任选两个甲乙来排有24P 种，则甲乙不相邻有323472P P =种排法.（3）甲乙必须站两端，先排甲乙有22P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙必须站两端有323212P P =种排法.（4）先从3个位置中选2个甲乙来排有23P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙不在两端有233336P P =种. （5）男女相间则有323212P P =种排法.2. 解：（1）平均分堆问题.有2226423315C C C P =种方法. （2）平均分配问题，每人均分得2本.甲先取两本26C 种，乙再取两本24C 种，丙最后取两本22C 种，由分步计数原理得222642C C C =90种方法.（3）不平均分堆问题，第一份16C 种，第二份25C 种，第三份33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（4）不平均分配问题，甲先选一本16C 种，乙再选两本25C 种，丙最后选三本33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（5）不平均分配问题，且没有指定对象，先分三份123653C C C 种，再把这三份分给甲乙丙三人有33P 种，则共有种12336533360C C C P =方法.妙记巧学，归纳感悟： 排列组合来相遇，先组后排无争议. 高考链接1.B2.D3.B4.2400 解析:相声节目不相邻，则用插空法先排5个小品节目共有55P 种,五个小品节目共形成六个空选三个空插入相声节目有36P 种,则共有53562400P P =种.积石成山。
(完整版)排列组合知识点总结+典型例题及答案解析
排列组合知识点总结+典型例题及答案解析一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。
2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。
注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。
二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1.公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2.规定：0!1=(1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3)111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。
1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m nmn m mm ==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④11112111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=L L L 注：若12m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。
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2020年高考理科数学《排列组合》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一 计数原理的基本应用
例1 某校开设A 类选修课2门，B 类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有
A ．3种
B ．6种
C ．9种
D ．18种
【答案】 C .
【解析】 可分以下2种情况：①A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，有
62312=⋅C C 种不同的选法；②A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，有31322=⋅C C 种不同的选法．所以根据分类计数原理知不同的选法共有6+3=9种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有9种．故选：C
【易错点】注意先分类再分步
【思维点拨】两类课程中各至少选一门，包含两种情况：A 类选修课选1门，B 类选修课选2门；A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，写出组合数，根据分类计数原理得到结果. 题型二 特殊元素以及特殊位置
例 1 将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法有（ ）种.（用数字作答）
【答案】 480
【解析】考虑到C B A ,,要求有顺序地排列，所以将这三个字母当作特殊元素对待。
先排F
E D ,,三个字母，有12036
=A 种排法；再考虑C B A ,,的情况：C 在最左端有2种排法，最右端也是2种排法，所以答案是4804120=⨯种.
【易错点】注意特殊元素的考虑
【思维点拨】对于特殊元素与特殊位置的考量，需要瞻前顾后，分析清楚情况，做到“不重复不遗漏”；如果情况过于复杂，可以考虑列举法，虽然形式上更细碎一些，但是情况分的越多越细微，每种情况越简单，准确度就越高.
题型三 捆绑型问题以及不相邻问题
例1 由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ）个.
A ．72种
B ．96种
C ．108种
D ．144种
【答案】 C
【解析】要求是偶数，所以先确定末尾数字，有2，4，6一共3种情况；然后再确定5这个特殊数字的位置，本身有5种情况，但是考虑到要与1，3不相邻，所以根据5的左右两侧情况，分为5这个特殊数字在十万位以及十位（只有1个相邻的位置），以及其它的3个位置；然后
再考虑后面的情况.分析清楚情况后，答案就出来了：108(22221333121213
=+⋅）A A C A C C C 种. 【易错点】需要考虑到不同位置对于后面步骤的不同影响，进行分类讨论.
【思维点拨】对于相邻问题的捆绑法，以及不相邻问题的隔离法，需要考虑到先分类再分步的基本原则，以及瞻前顾后的原则，需要考虑到选择的不同带来的对于后续安排的不同影响.对于本题，5这个数字本身有五种安排方法，但是需要注意到五个位置带来的，相邻位置的不同：如果5这个数字在首位，以及在十位时，只有1个邻位；但是如果在其它位置，就有两个邻位，所以需要分开讨论.
【巩固训练】
题型一 计数原理的基本应用
1.如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A ．24种
B ．18种
C ．12种
D ．9种
【答案】B
【解析】这是个分步计数的灵活应用。
注意一下问题的分析，从E 到F 的步骤，水平方向的情况确定了，整体的路径也就确定了。
水平方向如果沿一条路，有3种可能；如果沿两条路，有3种可能（注意由于要求最短路径，所以没有顺序）：所以从E 到F 有3+3=6种情况；而从F 到G 有3种可能，所以可能的情况一共有3*6=18种情况。
2.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方
式共有（ ）
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
【答案】 D
【解析】 首先确定事情如何安排：要满足条件要求，得有1个人选择2项工作.哪两项工作24C ,
哪个人来做13C ，剩下2个人2项工作22A ：所以总的安排形式共有36221324
=A C C 种情况. 3.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
A ．12种
B ．10种
C ．9种
D ．8种
【答案】A
【解析】首先确定事情如何安排：安排好甲地的情况，乙地也就唯一确定了.对于甲地的安排，
需要1名教师2名学生，所以共有122412
=C C 种情况. 题型二 特殊元素以及特殊位置
1.将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为
A ．72种
B ．120种
C ．192种
D ．240种
【答案】 D
【解析】 注意到题中要求得到的是偶数，所以特殊位置为末位，要求末位是个偶数；另外注意到题中给出的数字，有两个4，所以需要考虑到特殊元素4以及特殊位置末位；如果末位数
字为4，则前面元素可以任意排列，共有12055
=A 种情况；如果末位数字不是4，则必然是2，6中选择1个，前面的数字中，两个4是没有先后顺序的，或者只排列剩余的3个数字即可，
所以有1203512
=A C 种情况；两者合在一起，所以最后的答案为D. 2.我们把各位数字之和为7的四位数称为“北斗数”（如2014是“北斗数”），则“北斗数”中千位为2的共有 （ ）个 .
【答案】21
【解析】给出的是个新定义，但是难度不大，需要认真读题仔细分析。
千位为2，要求后三位的和为5，三个数都相同的不存在，有两位相同的005，113，221，考虑先安排特殊的元素（如005为例，5的位置有3种情况，5排定后，就唯一确定了，所以有3种情况）各有3种，所
以有3*3=9种情况；三个元素都不相同的有014，023两种，进行全排列，各有633
=A 种情况，共有2*6=12种情况。
综合可知，符合要求的所谓“北斗数”共有9+12=21种情况.
3.某天下午要排物理，化学，生物和两节自习课共5节课，如果第一节不排生物，最后一节不排物理，那么不同的排法共有（ ）
A ．36种
B ．39种
C ．60种
D ．78种
【答案】B
【解析】注意到特殊元素有生物，物理，以及自习课（2节），特殊位置是第一节和最后一节.所以首先考虑事情如何安排，物理，化学，生物确定后，自习课也就唯一确定了.所以先安排课程，尤其是特殊的课程.首先安排生物，第一节不排，所以共有4种，但考虑到最后一节属于特殊位置，所以分成两种情况：①生物课排在中间位置，有3种情况，再安排物理，有3种情况，再安排化学，有3种情况，自习课也就唯一确定了，所以这种情况的可能性有3*3*3=27
种情况；如果生物课安排在最后一节，物理，化学就可以任意排列了，所以有123*424
==A 种可能.所以共有27+12=39种情况.
题型三 捆绑型问题以及不相邻问题
1.《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撒侨任务的故事．撒侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E 、F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( )
A ．240种
B ．188种
C ．156种
D ．120种
【答案】 D
【解析】考虑到特殊元素A 、E 、F 以及特殊位置前三位，所以首先规划事件的安排：①可以先分析特殊元素A ，考虑到要求E 、F 相邻以及前三位情况比较少，所以可以列举法：A 在首位时，E 、F 有4种情况，再加上可以调换位置，所以有4*2=8种情况，余下的三个元素进
行全排列633
=A 种情况，所以共有8*6=48种情况；同样，A 在第二位时的情况有3*2*33A =36种情况；A 在第三位时的情况有3*2*33A =36种情况；所以不同的安排方案共有48+36+36=120种情况.②也可以先考虑E 、F 的情况，由于要求E 、F 必须排在一起，所以共有5种情况，但注意到这5种情况有些属于一类的，考虑到是不是占了前三位的位置，所以分为三种情况（一二位和二三位情况相同，三四位一种情况，四五位和五六位情况相同），以一二位为例，E 、F 可以调换位置，有2种情况，A 只有1种情况，余下的三个位置进行全排列，所以共有2*1*33A =12种情况；同样E 、F 排在三四位有2*2*33A =24种情况；E 、F 排在四五位有2*3*33A =36
种情况；所以共有12*2+24+36*2=120种情况.
2.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( )
A ．18
B ．24
C ．30
D ．36
【答案】C
【解析】4个人分到3个班，必然有2个人在一起，共有624=C 种情况；要求甲、乙两名学生不能分到同一个班，再排除1种，所以有5种情况，再进行全排列，所以不同分法的种数为30)1(3324=⋅-A C 种情况.
3.7个人排成一列，其中甲乙两人相邻且与丙不相邻的方法总数是（ ）.（结果用数字表示）
【答案】 960
【解析】由于要求甲乙两人相邻，所以可以用捆绑法；由于与丙不相邻，所以需要考虑到甲乙的相邻位置，这样就得分情况讨论，如果甲乙在首位或者末位，则相邻位置只有1个；如果在中间的话，相邻位置有2个，所以总的情况有2*3*44A *4+2*4*44A *2=576+384=960个.。