(人教a版)必修一同步课件：3.1.1方程的根与函数的零点

方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为
判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反 .
2.除应具备函数零点存在的两个条件外，还需要函数在此区
间上单调.
【解析】1.选C.∵f(0)=－1<0，f(1)=-1<0，f(2)=5>0，
∴f(1)·f(2)<0，此零点一定在(1,2)内. 2.选D.函数f(x)在区间［a,b］上单调且图象连续，故其图象 与x轴至多有一个交点，又f(a)·f(b)<0，所以必有一个交点.
零点不是点，而是一个实数.
2.函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根.
【解析】1.选B.令x2－3x－4=0，得x=4或x=－1. 2.f(x)=ax+b有一个零点是2，得2a+b=0，则g(x)=bx2－ax= －2ax2－ax，令－2ax2－ax=0，则g(x)的零点为0和－ .
1 2
【典型例题】
1.函数f(x)=x2－3x－4的零点是(
A.1，-4 B.4，-1 C.1，3
)
D.不存在
2.函数f(x)=ax+b有一个零点是2，求函数g(x)=bx2－ax的零点.
【解题探究】1.函数的零点的本质是什么？ 2.函数的零点与方程的根有何对应关系?
探究提示：
1.函数的零点的本质是方程f(x)=0的实数根，因此，函数的
【拓展提升】函数零点的两种求法 (1)代数法:求方程f(x)=0的实数根. (2)几何法:画出函数y=f(x)的图象,则图象与x轴的交点的横 坐标即为函数的零点.
【变式训练】判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出. (1)f(x)=x2+2x+4. (2)f(x)=2x-3. 【解析】(1)令x2+2x+4=0，由于Δ=22-4×1×4=-12<0，所以方 程x2+2x+4=0无实数根，所以函数f(x)=x2+2x+4不存在零点. (2)令2x-3=0，解得x=log23，所以函数f(x)=2x-3的零点是log23.
A.至少有三个零点
C.没有零点
B.可能有两个零点
D.必有唯一零点
【解题探究】1.函数零点存在性定理的两个必备条件是什么？ 常采用怎样的策略来解决函数零点所在区间问题？ 2.函数在区间(a,b)上存在唯一零点应具备什么条件？
探究提示： 1.两个必备条件是：(1)函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象 是连续不断的一条曲线.(2)f(a)·f(b)<0.确定函数的零点、
可知f(x)有两个零点.
2.选B.∵Δ=b2－4ac，a·c<0，∴Δ>0，∴方程ax2+bx+c=0 有两个根，故函数有两个零点. 3.方法一:因为f(3)=ln2+0.03>0, f(1.5)=-ln2+0.015<0,所 以f(3)·f(1.5)<0, 说明函数f(x)=ln(x－1)+0.01x在区间(1.5,3)内有零点.又 y=ln(x－1)与y=0.01x在(1,+∞)上都是增函数,所以f(x)在 (1,+∞)上是增函数,所以该函数只有一个零点.
【拓展提升】解决一元二次方程根的分布问题的方法
(1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题. (2)结合草图考虑三个方面：①Δ与0的大小关系；②对称轴 与所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系. (3)写出由题意得到的不等式(组). (4)由得到的不等式(组)去验证图象是否符合题意. 这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根 就是函数的零点.在写不等式(组)时，要注意条件的完备性.
所以函数没有零点，故选A.
x 2 2x－3, x 0， 【类题试解】1.函数 f x 的零点的个数 －2 lnx, x 0
为()A.0 NhomakorabeaB.1
C.2
D.3
【解析】选C.当x≤0时，令x2+2x－3=0，解得x=-3；当x>0
2 x 2x－3, x 0， 时，令－2+lnx=0，解得x=e2，所以函数 f x －2 lnx, x 0
类型 二
函数零点个数的判定
【典型例题】 1.若函数f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,+∞)，且f(x)为偶函 数，又f(x)在(0,+∞)上是减函数，f(2)=0，则函数f(x)的零 点有( A.一个 C.至少两个 ) B.两个 D.无法判断
2.二次函数f(x)=ax2+bx+c中，a·c<0，则函数的零点个数 是( A.1 ) B.2 C.0 D. 无法确定
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)只要方程有实数根，则相对应的函数图象一定与x轴有交 点.( )
(2)若函数f(x)在区间［2,6］上有f(2)·f(6)<0，则函数在 此区间内有零点.( )
(3)设f(x)在区间［a,b］上是连续的且是单调函数,且 f(a)·f(b)<0,则方程f(x)=0在闭区间［a,b］内有唯一实数
3.求函数f(x)=ln(x－1)+0.01x的零点的个数.
【解题探究】1.偶函数图象有何特征？函数图象与函数零点
个数有何关系？
2.对于二次函数的零点个数的判定，解决此问题的关键点是
什么？
3.题3中能否直接求出函数零点的个数？若不能，可以考虑利 用什么来判断零点的个数？
探究提示：
1.偶函数的图象关于y轴对称，函数图象与x轴交点个数与对
1 ［a,b］上使用该定理，如本例f(x)=x+ 在［-1，1］上不连 x
【拓展提升】确定函数零点个数的方法 (1)分解因式法:可转化为一元n次方程根的个数问题，一般采 用分解因式法来解决. (2)判别式法:可转化为一元二次方程根的个数问题，通常用 判别式法来判断根的个数. (3)图象法:指数函数和对数函数零点个数问题一般用图象法
来解决.
(4)单调性法:常规方法不易判断时,可利用函数的单调性来判
(3)方程有几个解,则其对应的函数就有几个零点. 如果方程
有二重实数根，可以称函数有二重零点.若函数y=f(x)有零点,
则零点一定在其定义域内.
2.从三方面正确把握函数零点存在的判断方法 (1)并不是所有的函数都有零点，如函数 y . (2)一个函数y=f(x)在区间［a,b］内若具备两个条件：
第三章 函数的应用
3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点
一、函数的零点
1.定义 f(x)=0 若实数x是函数y=f(x)的零点，则需满足条件_______. 2.方程的根、函数的图象、函数的零点三者之间的关系 交点 ⇔函数 方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有_____
【易错误区】忽视函数零点的存在性定理的条件致误 【典例】(2012·衡阳高一检测)函数f(x)=x+ 为( A.0 ) B.1 C.2 D.3
1 的零点的个数 x
【解析】选A.函数f(x)的定义域为{x|x≠0}①，
当x>0时，f(x)>0；
当x<0时，f(x)<0，
但此函数在定义域内的图象不连续，
)
A.(－2,－1)
C.(1,2)
B.(0,1)
D.(－1,0)
2
1 x － 【解析】选D.令f(x)=2 +x，∵f(－1)·f(0)=( )×1<0，
∴f(x)=2x+x的零点在区间(－1,0)内，故2x+x=0在区间(－1,0)
内有实数根.
一元二次方程的区间根问题 【典型例题】 1.已知函数f(x)=(x－a)(x－b)+1(a<b)，且m，n是方程 f(x)=0的两个根(m<n)，则实数a，b，m，n的大小关系可能 是( ) B.a<m<n<b D.a<m<b<n
1 x
①函数在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线;
②f(a)·f(b)<0.则该函数在(a,b)内有零点，反之则不一定成
立.
(3)对于任意的一个函数，即使它的图象是连续不断的，当它
通过零点时，函数值也不一定变号，如函数y=x2有零点0，但
显然当它通过零点时函数值没有变号.
类型 一
求函数的零点
应方程的根的个数相等，方程的根的个数与相应函数零点个
数相等，所以函数图象与x轴交点个数与函数零点个数相等.
2.解决关于二次函数的零点个数的判定问题，关键是利用判
别式来判断相应方程的根的个数. 3.不能.根据零点的含义，可以借助函数的图象来判断零点的 个数.
【解析】1.选B.依据给出的函数性质，易知f(－2)=0，画出 函数的大致图象如图：
【知识点拨】 1.对函数零点概念的认识 (1)函数的零点的本质是方程f(x)=0的实数根，因此，函数的 零点不是点，而是一个实数,当函数的自变量取这个实数时, 函数值为零.
(2)函数是否有零点是针对对应方程是否有实数根而言的 ,若
方程没有实数根,则函数没有零点,反映在图象上就是函数图
象与x轴无交点,如函数y=3, y=x2+1就没有零点.
方法二:在同一坐标系内作出h(x)=ln(x－1)和g(x)=-0.01x的 图象,如图.
由图象知h(x)=ln(x－1)和g(x)=-0.01x有且只有一个交点,即 f(x)=ln(x－1)+0.01x有且只有一个零点.
【互动探究】若题2中二次函数改为“f(x)=cx2+bx+a”，条件 “a·c<0”不变，则函数的零点个数是______. 【解析】∵Δ=b2－4ac，a·c<0，∴Δ>0，∴函数有两个零点. 答案：2
根.(