方程的根与函数的零点ppt课件
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方程的根与函数的零点说课课件ppt
设计意图:为 “用二分法求方程的近似解”的学习做准 备.
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
3板书设计
§3.1 方程的根与函数的零点
1、零点概念：
练习：
…………………………
…………………………
2、方程的根与函数零点的关系 …………………………
函数的图象与x 两个交点 轴的交点 (-1,0)，(3,0)
一个交点 (1,0)
没有交点
上述一元二次方程的实数根二次函数图象与x轴交点的横坐标
意图：引起认知冲突；了解本课主旨； 通过熟悉情境，形成初步结论．
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
正反例证，熟悉定理
5、零点存在性定理的辨析与应用.
函数零点存在性定理：
y
ac O
y
y
ac
O
bx
bx
c Oa
y
c Oa
b x
b x
例1如判果断函正数误y=，f(若x)不在正区确间，[a,请b]上使的用图函象数是图连象续举不出断反的例一条曲线， 并 （且 1）有已f(知a)函·f(数b)<y=0f，(x那)在么区，间函[数a,by]=上f(连x)在续区，间且(fa(,ab)) ·内f(b有) <零0点，．则
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—— 说课过程 ——
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3板书设计
§3.1 方程的根与函数的零点
1、零点概念：
练习：
…………………………
…………………………
2、方程的根与函数零点的关系 …………………………
函数的图象与x 两个交点 轴的交点 (-1,0)，(3,0)
一个交点 (1,0)
没有交点
上述一元二次方程的实数根二次函数图象与x轴交点的横坐标
意图：引起认知冲突；了解本课主旨； 通过熟悉情境，形成初步结论．
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正反例证，熟悉定理
5、零点存在性定理的辨析与应用.
函数零点存在性定理：
y
ac O
y
y
ac
O
bx
bx
c Oa
y
c Oa
b x
b x
例1如判果断函正数误y=，f(若x)不在正区确间，[a,请b]上使的用图函象数是图连象续举不出断反的例一条曲线， 并 （且 1）有已f(知a)函·f(数b)<y=0f，(x那)在么区，间函[数a,by]=上f(连x)在续区，间且(fa(,ab)) ·内f(b有) <零0点，．则
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1.函数的零点与方程的根
a>0 ∆ = 8a 2 + 24a + 4 > 0 1 −1 < − <1 2a f (1) ≥ 0 f ( −1) ≥ 0 a<0 ∆ = 8a 2 + 24a + 4 > 0 1 或 −1 < − <1 2a f (1) ≤ 0 f ( −1) ≤ 0
定义证明.(2)因在 为增函数, 解:(1)定义证明 因在 ( −1,+∞ ) 为增函数 定义证明 为增,又 故在 (0,+∞ ) 为增 又 f(0)= -1<0,f(1)=2.5,所 所 以在(0,1)有且只有一个正根 下用二分法 有且只有一个正根.下用二分法 以在 有且只有一个正根 列表,区间 中点,中点函数值 约为 0.28(列表 区间 中点 中点函数值 列表 区间,中点 中点函数值)
一、一元二次函数与一元二次方程 内容复习
知识归纳： 一元二次函数、不等式、 知识归纳：、一元二次函数、不等式、方程的关系 1、
∆ = 0
∆ = 0
∆ < 0
二次函数
y = ax
2
+ bx + c
（ a > 0 ）的 图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根
(a
ax
2
> 0) 的根
+ bx + c = 0
3.方程有一正根一负根 ⇔ ac < 0
如果两根都大于2乍办？ 如果两根都大于 乍办？ 乍办
2.方程有两个不相等的负实数根 ⇔
∆ = b − 4 ac > 0 b x1 + x 2 = − > 0 a c x1 x 2 = > 0 a
定义证明.(2)因在 为增函数, 解:(1)定义证明 因在 ( −1,+∞ ) 为增函数 定义证明 为增,又 故在 (0,+∞ ) 为增 又 f(0)= -1<0,f(1)=2.5,所 所 以在(0,1)有且只有一个正根 下用二分法 有且只有一个正根.下用二分法 以在 有且只有一个正根 列表,区间 中点,中点函数值 约为 0.28(列表 区间 中点 中点函数值 列表 区间,中点 中点函数值)
一、一元二次函数与一元二次方程 内容复习
知识归纳： 一元二次函数、不等式、 知识归纳：、一元二次函数、不等式、方程的关系 1、
∆ = 0
∆ = 0
∆ < 0
二次函数
y = ax
2
+ bx + c
（ a > 0 ）的 图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根
(a
ax
2
> 0) 的根
+ bx + c = 0
3.方程有一正根一负根 ⇔ ac < 0
如果两根都大于2乍办？ 如果两根都大于 乍办？ 乍办
2.方程有两个不相等的负实数根 ⇔
∆ = b − 4 ac > 0 b x1 + x 2 = − > 0 a c x1 x 2 = > 0 a
函数的零点与方程的根.ppt
例 6 （ 上 海 02 高 考 ）、 已 知 函 数
f
(x)
ax
x2 x 1
a
1。
(1)求 f(x)单调区间。
(2)若 a=3,求证方程 f(x)=0 有且仅有一个正根。
解:(1)定义证明.(2)因在 (1,) 为增函数,
故在 (0,) 为增,又 f(0)= -1<0,f(1)=2.5,所 以在(0,1)有且只有一个正根.下用二分法 约为 0.28(列表,区间,中点,中点函数值)
求函数F( x) f ( x) g( x)的零点可转化为 求函数y f ( x)与y g( x)图像交点的横坐标
一、一元二次函数与一元二次方程 内容复习
知识归纳：1、一元二次函数、不等式、方程的关系
0
0
0
二次函数
y ax2 bx c
（ a 0 ）的 图象
一元二次方程
ax2 bx c 0
a 0的根
有两相异实根 有两相等实根
x1, x2 (x1 x2 )
x1
x2
b 2a
ax2 bx c 0
(a 0)的解集
x x x1或x x2
x
x
b 2a
无实根 R
ax2 bx c 0
例7 已知函数 f(x)＝－x2＋2ex＋m
－1，g(x)＝x＋ex2(x>0)． (1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范
围； (2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)
＝0有两个相异实根．
y f (x) 有零点（即横坐标）。
若函数f(x)的图像在x=x0处与x轴相切，则零点 x0为不变号零点若函数f(x)的图像在x=x0处与x 轴相交，则零点x0为变号零点
高一数学新人教A版必修1课件：第3章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点
阅读教材 P86～P87“探究”以上部分，完成下列问题． 1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与根的关系
Δ>0
Δ＝0
二次函数y＝ax2 ＋bx＋c(a>0)的 图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
Δ<0 无交点
2.函数的零点
对于函数 y＝f(x)，把使 f(x)＝0的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．
法二 由x2－1x＝0，得x2＝1x. 令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1x. 在同一坐标系中分别画出h(x)和g(x)的图象，如图所示．可知两函数图象只有 一个交点，故函数f(x)＝x2－1x只有一个零点．
判断函数存在零点的 3 种方法 1．方程法：若方程 f(x)＝0 的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判
函数零点个数的判断
判断下列函数零点的个数． (1)f(x)＝x2－7x＋12；(2)f(x)＝x2－1x. 【精彩点拨】 (1)中f(x)为二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程 的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法或转化为两个熟知的基本初等函数y＝ x2与y＝1x的图象交点的个数．
【自主解答】 (1)由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f(x)有两个零点． (2)法一 令f(x)＝0，即x2－1x＝0. ∵x≠0，∴x3－1＝0.∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0. ∴x＝1或x2＋x＋1＝0. ∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3<0， ∴方程x2＋x＋1＝0无实数根． ∴函数f(x)只有一个零点．
【答案】 B
人教A版数学必修1课件：3.1.1方程的根和函数的零点(1、2)
例1 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数.
解法1 用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表： x f ( x) 1 2 3 4 5 6 7
y
8
9
-4 -1.3 1.1
3.4 5.6 7.8 10.0 12.1 14.2
10 f(x8)=lnx+2x－ 6 6 4 2
x
由表可知f(2)<0，f(3)>0，从而f(2)· f(3)<0，
解法2： 数形结合
lnx+2x－6=0的根
y 6
lnx=-2x+6的根 可看成y=lnx与y=-2x+6 图像交点的横坐标
y=Байду номын сангаасlnx
O 1234 x
作业展示
又如：自主学习册P91 T2 T3
y=－2x +6
3. 零点存在性定理的应用
题型3：如何求函数零点所在的区间
如：自主学习册P92 T2 P94 T1
y y 1 函数是连续的。
y
a
2 定理不可逆。
O
O a b x O x b b 3 至少存在一个零点，不排除更多。
a
x
3. 零点存在性定理的应用
题型1：如何求函数零点
2 (1)f(x)=-x +3x+5 |x| (2)f(x)=2 -8
(3)f(x)=log2x
3. 零点存在性定理的应用
题型2：如何求函数零点的个数
归纳整理，整体认识 一个关系：函数零点与方程根的关系:
函数 方程
数 值 零点 存在性 根
个 数
两种思想：函数方程思想；数形结合思想． 三种题型：求函数零点、确定零点个数、 求零点所在区间．
新教材人教版B版必修一 函数与方程 课件(10张)
x m, 其中m>0.若
x m,
存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是
. 解题导引
解析 f(x)的大致图象如图所示:
若存在b∈R,使得方程f(x)=b有三个不同的根,只需A点在B点的下 方,即4m-m2<m,又m>0,所以m>3. 答案 (3,+∞)
2
∴f(1)·f(2)<0,
根据零点存在性定理知f(x)=ln
x-
2 x2
的零点所在的区间为(1,2).故选B.
答案 B
考向二 函数零点的应用
例2 (2017江西赣州一模,11)已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x
1,x2(x1>x2),则下列结论正确的是 ( )
A.1<x1<2,x1+x2<2
第三步,计算f(x1): (i)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点; (ii)若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1)); (iii)若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)); 第四步,判断是否达到精确度ε,即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否 则,重复第二、三、四步.
与方程的根
1.函数的零点
(1)函数零点的定义:对于函数y=f(x),把使① f(x)=0 的实数x叫做函数
y=f(x)的零点.
(2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与② x轴
有交点⇔函数y=f(x)有③ 零点 .
2.函数零点存在性定理
注意 零点存在性定理只能判断函数在某区间上是否存在零点,并不能 判断零点的个数,但如果函数在区间上是单调函数,则该函数在区间上 至多有一个零点. 3.二分法 (1)对于区间[a,b]上连续不断的,且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把 函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点, 从而得到零点近似值的方法,叫做二分法. (2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步,确定区间[a,b],验证④ f(a)·f(b)<0 ,给定精确度ε; 第二步,求区间(a,b)的中点x1;
3.1.1方程的根和函数的零点
例1：求函数f(x)=lnx+2x-6 的零点的个数
解：函数 f ( x) ln x 2x 6 的定义域为 (0,)
又函数 y ln x在（0， ）上为增函数 函数 y 2 x 6 在 (0,) 上为增函数
单调性的判断
所以函数 f ( x) ln x 2 x 6 在 (0,) 上为增函数 又 f (1) 0 2 6 4 0, f (3) ln 3 6 6 ln 3 0 所以函数 f ( x) ln x 2 x 6 在（1,3）上至少有一个零点 所以函数 f ( x) ln x 2 x 6 上存在唯一的零点
零点存在性判断
零点个数说明(0,) 在
例1：求函数f(x)=lnx+2x-6 的零点的个数
分析：函数f ( x) ln x 2 x 6的零点个数即为 方程 ln x 2 x 6 0的根的个数即为 方程 ln x -2 x 6的根的个数即为 两个函数y ln x, y 2 x 6的图像交点个数 图像如图所示：
练习：
1.二次函数 y ax bx c(a 0) ， c 0 a
2
则函数的零点个数是（ ） 2.求下列函数的零点个数
1、f ( x) x x 4x 4 2、f ( x) log3 x 2x 4
3 2
例2：
1.若方程 2ax 2 x 1 0 在（0，1）内恰有一解， 求实数a的取值范围。
3.1.1方程的根与函数的零点
先来观察几个具体的一元二次方程的根及 其相应的二次函数的图象：
一元二次方程 方程的根 二次函数 图象与x轴的 交点
x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0
课件高一数学《方程的根与函数的零点》PPT课件_优秀版
方程x2－2x+1=0与函数y=x2－2x+1
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
1方程的根与函数的零点
函数
的零点是（ ）
（1）当 时，一元二次方程有两个不等的实数
求出下列一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象，并说出方程的根和函数图象的关系。
3、 函数零点存在的条件
方程x2－2x+3=0与函数y=x2－2x+3
方程的根与函数零点的关系
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
练习：判断函数 f(x)2x23x2有几个零点。
注 意：
• 函数的零点并不是以坐标形式出现的“点” 而是实数。
• 函数的零点亦即函数y=f（x）的图像与x轴 交点的横坐标。
问题3
对于任意的函数，如何判定这个函数是否有零点，有 几个零点？
• 若f（a）·f（b）＜0，能推出y=f（x）在 (a，b)有一个零点？
• 若在（a,b)上函数y=f（x）有零点，能否 推出 f（a）·f（b）＜0？
1方程的根与函数的零点
说明这个函数在区间(2,3)内
根
，相应的二次函数的图象与 轴有唯一的
即存在
，使得
，这个 也就是方程
的根。
3、 函数零点存在的条件
样的结 论或者 感受？
结 论？
一般地，如果函数 y f (x)在区间 [a , b ] 上的图 象满足 f(a)f(b)0 那么，函数 y f (x) 在区间 (a, b) 内有一个零点。
即存在 c(a,b) ，使得 f (c)0 ，这个 c也就
是方程 f (x)0的根。
思考
• 对于函数y=f（x）在[a，b] 不是一条连续 不断的曲线？
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f(a)·f(b成)<立0 ，那么函数在区间(a,b)上有零点。
二、函数零点存在性定理：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象
是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，
那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点。 即存在 c∈(a,b) ，使得 f(c) =0， 这
个c也就是方程 f(x)=0 的根。
零点是否存在某种关系？
观察函数f(x)的图像： 1. 在区间(a,b)上___有_(有/无)零点；
y
f(a)·f(b) ____ 0（填＜或＞）．
<
0
x 2 .在区间(b,c)上____(有/无)零点； f(b)·f(c)____ 0（填有＜或＞）．
<
猜想：
若函数在区间[a,b]上图象是连续的，如果有
3.1.1方程的根与函数的零点
预习课本 P86～88，思考并完成以下问题 (1)函数零点的定义是什么？
(2)函数零点存在性定理要具备哪两个条件？
(3)方程的根、函数的图象与 x 轴的交点、函数的零点三者 之间的联系是什么？
.
2
兴趣导入：
解方程： 1 x2 − 2x − 3 = 0 2 x2 − 2x + 1 = 0 3 x2 − 2x + 3 = 0
∴在(1,2)内f(x)无零点，A错；
又f(3)＝ln 3－32＞0，
∴f(2)·f(3)＜0，
∴f(x)在(2,3)内有零点．
[答案] B
.
14
判断函数零点所在区间的 3 个步骤 (1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断． (3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数， 则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区 间内至少有一个零点．
0
x
ax2+bx+c=0 的根
两个不相等的 实数根x1 、x2
有两个相等的 实数根x1 = x2 没有实数根
函数的图象与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)即
b 2a
,0
没有交点
一、函数零点的定义：
对于函数 y f(x),把使 f (x) 0的实数 x
叫做函数 y f (x)的零点.
.
19
[法二 判定定理法] 由于 f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0， f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0， 所以 f(1)·f(2)＜0，又 f(x)＝ln x＋x2－3 的图象在(1,2)上是不间 断的，所以 f(x)在(1,2)上必有零点， 又 f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．
(4) f (x)＝1－log3x.
.
7
[解] (1)令x＋x 3＝0，解得 x＝－3，所以函数 f(x)＝x＋x 3的零 点是 x＝－3.
(2) 令 x2＋2x＋4＝0，由于 Δ＝22－4×1×4＝－12<0， 所以方程 x2＋2x＋4＝0 无实数根， 所以函数 f(x)＝x2＋2x＋4 不存在零点． (3) 令 2x－3＝0，解得 x＝log23. 所以函数 f(x)＝2x－3 的零点是 x＝log23. (4) 令 1－log3x＝0，解得 x＝3， 所以函数 f(x)＝1－log3x 的零点是 x＝3.
.
3
思考：一元二次方程 a2xb xc0(a0)
的根与二次函数 ya2xb xc(a0) 的图像有什么关系？
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根与二次函数 y= ax2+bx+c(a>0)的图象有如下关系：
判别式
>0
0
<0
y=ax2+bx+c 的图象
y
x1 0
x2 x
y 0 x1 x
y
思考:零点是不是点？零点指的是一个实数.
方程 f (x) 0的实数根
⟺ 函数 yf(x)图象x与 轴交点的横 ⟺ 函数 yf(x)的零点
求函数的零点
[例 1] 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1) f (x)＝x＋x 3；
(2) f (x)＝x2＋2x＋4；
(3) f (x)＝2x－3；
)
A．3
B．2
C．1
D．0
(2)判断函数 f(x)＝ln x＋x2－3 的零点的个数．
(1)[解析] 当 x≤0 时，由 f(x)＝x2＋2x－3＝0 得 x1＝－3，
x2＝1(舍去)； 当 x＞0 时，由 f(x)＝－2＋ln x＝0 得 x＝e2.
∴函数的零点个数为 2.
[答案] B
.
18
(2) [解] [法一 图象法] 函数对应的方程为 ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即 为函数 y＝ln x 与 y＝3－x2 的图象交点个数． 在同一坐标系下，作出两函数的图象 (如图)． 由图象知，函数 y＝3－x2 与 y＝ln x 的 图象只有一个交点，从而 ln x＋x2－3＝0 有一个根， 即函数 y＝ln x＋x2－3 有一个零点．
0
Hale Waihona Puke xb函数零点存在定理的三个注-意2 点：
1 函数是连续的。
-4
2 定理不可逆。
3 至少- 存6 在一个零点。
判断函数零点所在的区间
[例 2] 函数 f(x)＝ln x－x2的零点所在的大致区间是
A．(1,2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(e，＋∞)
[解析] ∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln 2－1＜0，
.
8
函数零点的求法 求函数 f(x)的零点时，通常转化为解方程 f(x)＝0，若 方程 f(x)＝0 有实数根，则函数 f(x)存在零点，该方程的根 就是函数 f(x)的零点；否则，函数 f(x)不存在零点．
.
9
观察二次函数f(x)=x2-2x-3图象 探究活动
1. f(-2)= 5 ，f(1) = -4
.
15
三、求函数零点或零点个数的方法：
(1)定义法：解方程 f(x)=0，
√ 得出函数的零点。
(2)图象法：画出y= f(x)的图象，其图象
√ 与x轴交点的横坐标。
(3)定理法：函数零点存在性定理。
教材88页 例1题
求函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点的个数。
.
17
判断函数零点的个数
[例 3] (1) f (x)＝x－2＋2＋2xln－x3，，xx＞≤00， 的零点个数为(
y
2
f(-2) f(1) < 0 (填“>”或“<”)－2 1
发现在区间(-2，1)上有零点
-1
－1 0 1 2 －1 －2
－3
2. f(2)= -3 ，f(4) = 5
－4
34x
f(2) f(4) < 0 (填“>”或“<”)
发现在区间(2，4)上有零点 3
思考：函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数
.
20
【总一总★成竹在胸】
➢ 一元二次方程的根及其相应
二次函数的图象与x轴交点的关系;
➢ 函数零点的概念;
➢ 函数零点与方程的根的关系.
➢函数零点存在性定理
.
21
定理理解：判断正误 （1） f(a)·f(b)<0则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。 错
（2） 函数y=f(x)在区间(a,b)内零点，则f(a)·f(b)<0。 错
（3） f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点。错
y
y
y
2
a
a
-10
0b
-5
x
a 0 x 1b x
二、函数零点存在性定理：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象
是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，
那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点。 即存在 c∈(a,b) ，使得 f(c) =0， 这
个c也就是方程 f(x)=0 的根。
零点是否存在某种关系？
观察函数f(x)的图像： 1. 在区间(a,b)上___有_(有/无)零点；
y
f(a)·f(b) ____ 0（填＜或＞）．
<
0
x 2 .在区间(b,c)上____(有/无)零点； f(b)·f(c)____ 0（填有＜或＞）．
<
猜想：
若函数在区间[a,b]上图象是连续的，如果有
3.1.1方程的根与函数的零点
预习课本 P86～88，思考并完成以下问题 (1)函数零点的定义是什么？
(2)函数零点存在性定理要具备哪两个条件？
(3)方程的根、函数的图象与 x 轴的交点、函数的零点三者 之间的联系是什么？
.
2
兴趣导入：
解方程： 1 x2 − 2x − 3 = 0 2 x2 − 2x + 1 = 0 3 x2 − 2x + 3 = 0
∴在(1,2)内f(x)无零点，A错；
又f(3)＝ln 3－32＞0，
∴f(2)·f(3)＜0，
∴f(x)在(2,3)内有零点．
[答案] B
.
14
判断函数零点所在区间的 3 个步骤 (1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断． (3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数， 则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区 间内至少有一个零点．
0
x
ax2+bx+c=0 的根
两个不相等的 实数根x1 、x2
有两个相等的 实数根x1 = x2 没有实数根
函数的图象与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)即
b 2a
,0
没有交点
一、函数零点的定义：
对于函数 y f(x),把使 f (x) 0的实数 x
叫做函数 y f (x)的零点.
.
19
[法二 判定定理法] 由于 f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0， f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0， 所以 f(1)·f(2)＜0，又 f(x)＝ln x＋x2－3 的图象在(1,2)上是不间 断的，所以 f(x)在(1,2)上必有零点， 又 f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．
(4) f (x)＝1－log3x.
.
7
[解] (1)令x＋x 3＝0，解得 x＝－3，所以函数 f(x)＝x＋x 3的零 点是 x＝－3.
(2) 令 x2＋2x＋4＝0，由于 Δ＝22－4×1×4＝－12<0， 所以方程 x2＋2x＋4＝0 无实数根， 所以函数 f(x)＝x2＋2x＋4 不存在零点． (3) 令 2x－3＝0，解得 x＝log23. 所以函数 f(x)＝2x－3 的零点是 x＝log23. (4) 令 1－log3x＝0，解得 x＝3， 所以函数 f(x)＝1－log3x 的零点是 x＝3.
.
3
思考：一元二次方程 a2xb xc0(a0)
的根与二次函数 ya2xb xc(a0) 的图像有什么关系？
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根与二次函数 y= ax2+bx+c(a>0)的图象有如下关系：
判别式
>0
0
<0
y=ax2+bx+c 的图象
y
x1 0
x2 x
y 0 x1 x
y
思考:零点是不是点？零点指的是一个实数.
方程 f (x) 0的实数根
⟺ 函数 yf(x)图象x与 轴交点的横 ⟺ 函数 yf(x)的零点
求函数的零点
[例 1] 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1) f (x)＝x＋x 3；
(2) f (x)＝x2＋2x＋4；
(3) f (x)＝2x－3；
)
A．3
B．2
C．1
D．0
(2)判断函数 f(x)＝ln x＋x2－3 的零点的个数．
(1)[解析] 当 x≤0 时，由 f(x)＝x2＋2x－3＝0 得 x1＝－3，
x2＝1(舍去)； 当 x＞0 时，由 f(x)＝－2＋ln x＝0 得 x＝e2.
∴函数的零点个数为 2.
[答案] B
.
18
(2) [解] [法一 图象法] 函数对应的方程为 ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即 为函数 y＝ln x 与 y＝3－x2 的图象交点个数． 在同一坐标系下，作出两函数的图象 (如图)． 由图象知，函数 y＝3－x2 与 y＝ln x 的 图象只有一个交点，从而 ln x＋x2－3＝0 有一个根， 即函数 y＝ln x＋x2－3 有一个零点．
0
Hale Waihona Puke xb函数零点存在定理的三个注-意2 点：
1 函数是连续的。
-4
2 定理不可逆。
3 至少- 存6 在一个零点。
判断函数零点所在的区间
[例 2] 函数 f(x)＝ln x－x2的零点所在的大致区间是
A．(1,2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(e，＋∞)
[解析] ∵f(1)＝－2＜0，f(2)＝ln 2－1＜0，
.
8
函数零点的求法 求函数 f(x)的零点时，通常转化为解方程 f(x)＝0，若 方程 f(x)＝0 有实数根，则函数 f(x)存在零点，该方程的根 就是函数 f(x)的零点；否则，函数 f(x)不存在零点．
.
9
观察二次函数f(x)=x2-2x-3图象 探究活动
1. f(-2)= 5 ，f(1) = -4
.
15
三、求函数零点或零点个数的方法：
(1)定义法：解方程 f(x)=0，
√ 得出函数的零点。
(2)图象法：画出y= f(x)的图象，其图象
√ 与x轴交点的横坐标。
(3)定理法：函数零点存在性定理。
教材88页 例1题
求函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点的个数。
.
17
判断函数零点的个数
[例 3] (1) f (x)＝x－2＋2＋2xln－x3，，xx＞≤00， 的零点个数为(
y
2
f(-2) f(1) < 0 (填“>”或“<”)－2 1
发现在区间(-2，1)上有零点
-1
－1 0 1 2 －1 －2
－3
2. f(2)= -3 ，f(4) = 5
－4
34x
f(2) f(4) < 0 (填“>”或“<”)
发现在区间(2，4)上有零点 3
思考：函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数
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【总一总★成竹在胸】
➢ 一元二次方程的根及其相应
二次函数的图象与x轴交点的关系;
➢ 函数零点的概念;
➢ 函数零点与方程的根的关系.
➢函数零点存在性定理
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定理理解：判断正误 （1） f(a)·f(b)<0则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。 错
（2） 函数y=f(x)在区间(a,b)内零点，则f(a)·f(b)<0。 错
（3） f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点。错
y
y
y
2
a
a
-10
0b
-5
x
a 0 x 1b x