内蒙古2020届高三数学模拟统一考试试题(一)理(含解析)

高三数学模拟统一考试试题（一）理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}2log 1A x x =>，{}1B x x =≥，则A B =U （） A. (]1,2B. ()1,+∞C. ()1,2D.[)1,+∞【答案】D 【解析】 【分析】解出对数不等式可得集合A ，根据并集的运算即可得结果.【详解】由{}{}2log 12A x x x x =>=>，{}1B x x =≥，则[)1,A B ∞=+U ， 故选D.【点睛】本题主要考查了对数不等式的解法，并集的概念，属于基础题.2.复数z 满足()11z i -=，则复数z 等于（） A. 1i - B. 1i +C. 2D. -2【答案】B 【解析】 【分析】通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可.【详解】复数z 满足()112z i -==， ∴()()()2121111i z i i i i +===+--+，故选B.【点睛】本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题．3.等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）A. 18B. 24C. 36D. 72【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622a a a aS ++=⨯=⨯可得结果.【详解】∵等差数列{}n a 中，1510a a +=，∴3210a =，即35a =，∴163465766636222a a a a S +++=⨯=⨯=⨯=， 故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题.4.已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u r u u u r（）A. 4B. 6C. 23D. 43【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果． 【详解】如图所示，菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，∴120C ∠=︒，∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=，∴BD =30BDC ∠=︒，∴||| 30|26BD CD BD CD cos =⨯⨯︒==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r， 故选B ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.．5.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的距离，则双曲线的渐近线方程为（）A. y =B. y =C. y x =±D.2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>，求出a ，b 的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．【详解】双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的焦点(),0c 到渐近线0bx ay +=的距离为，可得：2c =，可得2b c =，b a =C 的渐近线方程为y =．故选A ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出,a b 的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.6.定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2019f =（） A. -1 B. 0C. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】推导出()()()()220194035441log 2f f f f =⨯+==-=，由此能求出()2019f 的值．【详解】∵定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，∴()()()()22019403544211log f f f f =⨯+=-===，故选C ．【点睛】本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题.7.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2⨯勾⨯股+(股-勾)24=⨯朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2．设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A. 866B. 500C. 300D. 134【答案】D 【解析】由题意，大正方形的边长为231，则所求黄色图形内的图钉数大约为21000134⨯≈⎝⎭，故选D.8.函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后关于原点对称，则函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为（）A. C.12D. 12-【答案】B 【解析】 【分析】由条件根据函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得3πφk π-+=，k z ∈，由此根据||2ϕπ<求得ϕ的值，得到函数解析式即可求最值． 【详解】函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后， 得到函数sin 2sin 263ππy x φx φ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象， 再根据所得图象关于原点对称，可得3πφk π-+=，k z ∈， ∵||2ϕπ<，∴3πϕ=，()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由题意,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，得42,333πππx ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，∴21,32πsin x ⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，∴函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 故选B ．【点睛】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了正弦函数最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值，属于基础题．9.过抛物线24y x =的焦点F 且倾斜角为60︒的直线交抛物线于A 、B 两点，以AF 、BF 为直径的圆分别与y 轴相切于点M ，N ，则MN =（）B. 【答案】D 【解析】 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，则112OM y =，212ON y =，1212MN y y =-，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理即可求解． 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则112OM y =，212ON y =，直线AB 的方程为：)1y x =-，联立)21 4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，可得23120y --=，∴12y y +=，124y y =-，∴1212MN y y =-==D ． 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题，属于中档题.10.已知函数1()ln 1f x x x =--，则=()y f x 的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用特殊值，对函数图像进行排除，由此得出正确选项.【详解】由于1221112ln1ln2222f⎛⎫==>⎪⎝⎭---，排除B选项.由于()()2222,23f e f ee e==--，()()2f e f e>，函数单调递减，排除C选项.由于()10010020101f ee=>-，排除D选项.故选A.【点睛】本小题主要考查已知具体函数的解析式，判断函数的图像，属于基础题.11.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥外接球表面积是（）A. 43πB. 20πC. 4πD. 12π【答案】D【解析】 【分析】首先把三视图转换为几何体，求出三棱锥外接球的半径，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果．【详解】根据几何体的三视图，把几何体转换为：所以该几何体的球心为O ，()222+1=3R =24312S ππ==，故选D ．【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，属于基础题型．12.已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A. a b ab += B. 4a b +>C. ()()22112a b -+-< D.228a b +>【答案】C 【解析】 【分析】根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132⋅=，33log log 222+>，即可判断出结果．【详解】∵236a b ==；∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；()()()()2322223211log log 2log 323log 22a b =>⋅-+-+=，故C 错误；∵()()()22232223log log 2log 2323log 2a b =+++++232l 23og log 82>+=⋅，故D 正确故C ．【点睛】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：a b +≥和不等式222a b ab +≥的应用，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.二项式6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项的值为______.【答案】240 【解析】 【分析】利用通项公式()()666163621()212rr r rr r rr T x x C xC ---+=-=-，令630r -=，解得2r =，即可得出．【详解】()()666163621()212rr r rr r r r T x x C xC ---+=-=-， 令630r -=，解得2r =． ∴常数项的值是()24426651222402C ⨯-=⨯=， 故答案为240．【点睛】本题主要考查了二项式定理的通项公式、常数项的求法，属于基础题．14.若满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数2z y x =-的最大值为______.【答案】-1 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由约束条件32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩作出可行域如图，化目标函数2z y x =-为2y x z =+，由图可得，当直线2y x z =+过点B 时，直线在y 轴上的截距最大，由2x y x y +=⎧⎨=⎩得11x y =⎧⎨=⎩即()11B ，，则z 有最大值121z =-=-，故答案为1-．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四件参赛作品，只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“C 或D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”； 丙说：“A ，D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“C 作品获得一等奖”。