【典型题】数学高考模拟试题(带答案)
2024年辽宁省高考数学模拟试题04(解析版)
2024年高考数学模拟试题04（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．某同学坚持夜跑锻炼身体，他用手机记录了连续10周每周的跑步总里程（单位：千米），其数据分别为17，21，15，8，9，13，11，10，20，6，则这组数据的75%分位数是（）A ．12B ．16C ．17D ．18.5【答案】C【分析】将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得.【详解】依题意这10个数据从小到大排列为：6，8，9，10，11，13，15，17，20，21，又1075%7.5⨯=，所以75%分位数为从小到大排列的第八个数，即为17.故选：C 2．若复数()412i 34iz +=+，则z =（）AB C ．5D ．253．2022年北京冬奥会期间，主办方需从3名高三学生、2名高二学生、1名高一学生中随机抽取两名学生参加接待外宾活动．若抽取的两名学生中必须有一名高三学生，则另一名是高二或高一学生的概率为（）A ．34B ．14C ．25D ．354．已知双曲线()22:10,0x y E a ba b-=>>的左、右焦点分别为12,,F FP 为E 上一点，且124PF PF b +≥，则E的离心率的取值范围为（）A ．B ．2⎤⎦C ．(D ．⎛ ⎝⎦5．已知数列{}n a 满足110a =，2110n n a a +=，若10110s t a a a ⋅=，则s t +的最大值为（）A ．10B ．12C ．16D ．186．已知函数()23log f x x =，正数,a b 满足()()310f a f b +-=，则ab+的最小值为（）A ．6B ．8C ．12D ．247．已知三棱锥,A BCD AB BC E-==为BC中点，A BC D--为直二面角，且AED∠为二面角A BC D--的平面角，三棱锥A BCD-的外接球O表面积为84π5，则平面BCD被球O截得的截面面积及直线AD与平面BCD所成角的正切值分别为（）A．4π5B．4π,55C．16π,55D．16π,55过F 作平面BCD 的垂线，过两垂线的交点即为三棱锥A 则四边形OHEF 是矩形，OF 连接,OB BF ，设BCD △外接圆半径设球O 半径为OB R =，因为球8．某地计划对如图所示的半径为a 的直角扇形区域ABC 按以下方案进行扩建改造，在扇形ABC 内取一点P使得BP =，以BP 为半径作扇形PBE ，且满足22PBE PBC θ∠=∠=，其中0π02θθ<≤<，0cos θ=则图中阴影部分的面积取最小值时θ的大小为（）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
2023届四川省南充市高三下学期高考考前数学(理)模拟训练(一)【含答案】
2023届四川省南充市高三下学期高考考前数学（理）模拟训练（一）一、单选题1．若集合，则（ ）{}10,lg 01x A x B x x x +⎧⎫=≤=≤⎨⎬-⎩⎭∣∣A B = A ．B ．C ．D ．[)1,1-(]0,1[)0,1()0,1【答案】D【分析】先化简集合A ，B ，再利用交集运算求解.【详解】解：由题意得，{11},{01}A xx B x x =-≤<=<≤∣∣，()0,1A B ∴= 故选：D.2．（ ）sin2023cos17cos2023sin17+=A ．B ．C ．D 1212-【答案】C【分析】根据诱导公式和正弦和角公式求解即可.【详解】解：因为3605182334020=⨯++所以，，()()4s 1in 8202n 3s 3605043sin 18s i 03i 4n 3=⨯++=+=-()()4c 1os 8202s 3c 3605043cos 18c o 03o 4s 3=⨯++=+=-所以，sin2023cos17cos2023sin17+.sin43cos17cos43sin17sin60=--=-= 故选:C.3．校园环境对学生的成长是重要的，好的校园环境离不开学校的后勤部门.学校为了评估后勤部门的工作，采用随机抽样的方法调查100名学生对校园环境的认可程度（100分制），评价标准如下：中位数m85m ≥8085m ≤<7080m ≤<70m <评价优秀良好合格不合格2023年的一次调查所得的分数频率分布直方图如图所示，则这次调查后勤部门的评价是（ ）A ．优秀B ．良好C ．合格D ．不合格【答案】B【分析】根据频率分布直方图求解中位数即可得答案.【详解】解：由频率分布直方图可知，前3组的频率分别为，第4组的频率为0.1,0.1,0.20.4所以，中位数，即满足，对应的评价是良好.0.1801082.50.4m =+⨯=m 8085m ≤<故选：B.4．双曲线 ）2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>A ．B ．2y x =±y =C ．D ．y x =12y x=±【答案】B【分析】根据.==ce a b a =【详解】由题意知，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>可得，解得，==ce a 22221()3a b b a a +=+=b a =所以双曲线的渐近线方程为.C by x a =±=故选：B.5．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，，则（ ）O ()3,4A --()5,12B -cos OAB ∠=A ．B ．CD ．33653365-【答案】D【分析】利用计算即得结果.cos AO ABOAB AO AB⋅∠=【详解】由题设，(3,4),(8,8)AO AB ==-所以cos AO AB OAB |AO ||AB |⋅∠== 故选：D6．一个四棱台的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为上底长为4，下底长为2，腰长为的等腰梯形，则该四棱台的体积为（）A ．BC ．28D ．283【答案】A4，下底长为2的正四棱台求解.因为上底长为4，下底长为2，所以该棱台的高为，1h=棱台的体积，∴(128416133V =⨯+⨯=故选：.A 7．为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO 的比赛，其中某位同学利用函数图像的一部分设计了如图的LOGO ，那么该同学所选的函数最有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．()sin x x xf -=()sin cos f x x x x=-()221f x x x =-()3sin f x x x =+【答案】B【分析】利用导数研究各函数的单调性，结合奇偶性判断函数图象，即可得答案.【详解】A ：，即在定义域上递增，不符合；()1cos 0f x x '=-≥()f x B ：，()cos (cos sin )sin f x x x x x x x '=--=在上，在上，在上，(2π,π)--()0f x '<(π,π)-()0f x '>(π,2π)()0f x '<所以在、上递减，上递增，符合；()f x (2π,π)--(π,2π)(π,π)-C ：由且定义域为，为偶函数，222211()()()()f x x x f x x x -=--=-=-{|0}x x ≠所以题图不可能在y 轴两侧，研究上性质：，故递增，不符合；(0,)+∞32()20f x x x +'=>()f x D ：由且定义域为R ，为奇函数，33()sin()()sin ()f x x x x x f x -=-+-=--=-研究上性质：，故在递增，(0,)+∞2()cos 30f x x x =+>'()f x (0,)+∞所以在R 上递增，不符合；()f x 故选：B8．将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Koch 曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．168120818271027【答案】A【分析】根据题意可知，每一次操作之后面积是上一次面积的，按照等比数列即可求得结果.23【详解】根据题意可知，每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的，13所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的，23由此可得，第次操作之后所得图形的面积是，n 213nn S ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭即经过4次操作之后所得图形的面积是.442161381S ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭故选：A9．将3个1和3个0随机排成一行，则3个0都不相邻的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．1202151512【答案】C【分析】先求出总数，再由插空法，得到满足题意的情况，由古典概型的公式即可得出答案.【详解】先考虑总的情况，6个位置选3个放1，有种，36C 再考虑3个0都不相邻的情况，将3个0插入3个1形成的4个空中，有种，34C 可得.3436C 1C 5P ==故选：C ．10．定义在上的函数满足，且为奇函数，则（ ）R ()f x ()()2=f x f x -()21f x +-()20231k f k ==∑A ．B ．C ．2022D ．20232023-2022-【答案】D【分析】利用抽象函数的轴对称与中心对称性的性质，得出函数的对称轴和中心对称点及周()f x 期，利用相关性质得出具体函数值，即可得出结果.【详解】∵，∴关于对称，()()2=f x f x -()f x 1x =∵为奇函数，∴由平移可得关于对称，且，()21f x +-()f x ()2,1()21f =，即(2)1(2)1f x f x ∴+-=--++(2)(2)2f x f x ++-=()()2=f x f x -(2)()2f x f x ∴++=(4)(2)2f x f x ∴+++=上两式比较可得()(4)f x f x =+∴函数是以4为周期的周期函数.，，()f x ()()()13222f f f +==()()421f f ==∴， ∴.()()()()12344f f f f +++=()()2023120244420234k f k f ==⨯-=∑故选：D.11．如图，在梯形ABCD 中，，，，将△ACD 沿AC 边折起，AB CD ∥4AB =2BC CD DA ===使得点D 翻折到点P ，若三棱锥P -ABC 的外接球表面积为，则（ ）20πPB=A ．8B ．4C ．D ．2【答案】C【分析】先找出两个三角形外接圆的圆心及外接球的球心，通过证明，可得12OO O M=12O M OO =四边形为平行四边形，进而证得BC ⊥面APC ，通过勾股定理可求得PB 的值.12OO MO【详解】如图所示，由题意知，，60ABC ︒∠=所以，AC =AC BC ⊥所以AB 的中点即为△ABC 外接圆的圆心，记为，2O 又因为，2PA PC ==所以，，120APC ︒∠=1PM =所以在中，取AC 的中点M ，连接PM ，则△APC 的外心必在PM 的延长线上，记为，APC △1O所以在中，因为，，所以为等边三角形，APC △160APO ︒∠=11O P O A =1APO △所以，12O P =（或由正弦定理得：）11242sin AC O P O P APC ===⇒=∠所以，11O M =在中，，，，ACB △2122O B AB ==2112O M BC ==2//O M BC 设外接球半径为R ，则，解得：，24π20πR =25R =设O 为三棱锥P -ABC 的外接球球心，则面ABC ，面APC ．2OO ⊥1OO ⊥所以在中，，2Rt OO B △21OO =又因为在，，1Rt OO P△11OO ===所以，，121OO O M ==121O M OO ==所以四边形为平行四边形，12OO MO 所以，12//OO O M 又因为，2//O M BC 所以，1OO //BC又因为面APC ，1OO ⊥所以BC ⊥面APC ，所以，BC PC ⊥所以，即：22222228PB PC CB =+=+=PB =故选：C.12．设函数，其中，是自然对数的底数（…），则（ ）()e ln x f x ax x=-R a ∈e e 2.71828≈A ．当时，B ．当时，1a =()e f x x≥3e 4a =()0f x >C ．当时，D ．当时，1a =-()e f x x≥3e 4a =-()0f x >【答案】B【分析】令，结合，判断AC ；将不等式转化为()e ln e x ax x xg x =--()10g =()1g a'=-()0f x >，，再构造函数求解最值即可判断B ；借助特殊值判断D.324e ln e x x x x ⋅>()1,x ∈+∞10e f ⎛⎫< ⎪⎝⎭【详解】解：令，则，且，，()e ln e x ax x xg x =--()e ln ex a x a g x '=---()10g =()1g a'=-当，，∴存在一个较小的正数使得都有，1a =()110g '=-<ε()1,1x ε∀∈+()0g x <当时，，∴存在一个较小的正数使得都有，1a =-()110g '=>ε()1,1x ε∀∈-()0g x <故A ，C 都不正确，对于选项B ，当，则显然成立，当时，即证明，(]0,1x ∈()1,x ∈+∞3e e ln 04xx x ->也即证明，，324e ln e x x x x ⋅>()1,x ∈+∞令，则，12e ()x h x x =()312e()xx h x x -'=所以，时，，单调递增，时，，单调递减，()2,x ∈+∞1()0h x '>1()h x ()0,2x ∈1()0h x '<1()h x 所以，的最小值为，12e ()x h x x =()21e 24h =令，则，()2ln xh x x =()221ln x h x x -'=所以，时，，单调递减，时，，单调递增，()e,x ∈+∞2()0h x '<()2h x ()0,e x ∈2()0h x '>()2h x 所以，的最大值为，()2ln xh x x =()21e e h =所以，，()()()()21122323334e 444e 1ln 2e e e e e 4e x xh x h h h x x x ⋅=≥=⋅==≥=因为不同时取等，所以，，即选项B 正确，324e ln e x x x x ⋅>对于选项D ，当时，（成立），即1e x =11132243e e 2e 11e e e e ln e e 0e 16e 4e e 4416+⋅=-<-<⇔<⇔<，所以选项D 不正确．10e f ⎛⎫< ⎪⎝⎭故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据不同选项，构造不同的函数，利用函数值的大小，特殊值等，实现大小比较.二、填空题13．设是虚数单位，复数的模长为__________.i 2i1i +【分析】先根据复数的除法化简，然后由模长公式可得.【详解】解：()()()2i 1i 2i 1i,1i 1i 1i -==+∴++-=.14．某班有48名学生，一次考试的数学成绩X （单位：分）服从正态分布，且成绩在()280,N σ上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为____________.[]80,90【答案】8【分析】根据正态分布的对称性即可求解.【详解】由X （单位：分）服从正态分布，知正态密度曲线的对称轴为，成绩在()280,N σ80x=上的学生人数为16，[]80,90由对称性知成绩在80分上的学生人数为24人，所以90分以上的学生人数为.24168-=故答案为：815．如图，在中，.延长到点，使得，则ABCπ3AC ACB ∠==BA Dπ2,6AD CDA ∠==的面积为__________.ABC 【分析】根据正弦定理和面积公式求解即可.【详解】解：因为在中，，，ADC △π3AC ACB ∠==π2,6AD CDA ∠==所以，由正弦定理得，sin sin AD AC ACD CDA ∠∠=sin ACD ∠=π4ACD ∠=所以，，5ππ,124CAB ABC ∠∠==在中，由正弦定理可得ABC sin sin AB ACACB CBA ∠∠=AB =因为ππππππsin sin sin cos cos sin 464646CAB ⎛⎫∠=+=+=⎪⎝⎭所以，1sin 2ABC S AB AC CAB ∠=⨯⨯⨯=16．《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知双曲线的右焦点到渐近线的距离记为，双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>d 的两条渐近线与直线，以及双曲线的右支围成的图形（如图中阴影部分所示）绕C 1y =1y =-C（其中），则双曲线的离心率为______.yπ222c a b =+C 【分析】先利用条件求出，直线与渐近线及双曲线的交点，从而求出截面积，再利题设所给d 1y =信息建立等量关系，从而求出结果.【详解】由题意知渐近线方程为，右焦点为，所以，by xa =±(),0F c 22bc d b a b ==+由，得，1y b y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩a xb =由，得()2222110y x y x a b =⎧⎪⎨-=>⎪⎩x ==所以截面面积为，()2222221ππa b a a b b ⎛⎫+ ⎪-= ⎪⎝⎭由题知，阴影部分绕y 轴转一周所得几何体的体积等于底面积与截面面积相等，高为2的圆柱的体积，∴，22πππV a ===2bc =所以，即，()4222226a b c c a c ==-44226a c a c =-∴，解得，所以42e e 60--=2e 3=e =三、解答题17．据世界田联官方网站消息，原定于2023年5月日在中国广州举办的世界田联接力赛延期1314､至2025年4月至5月举行.据了解，甲､乙､丙三支队伍将会参加2025年4月至5月在广州举行的米接力的角逐.接力赛分为预赛､半决赛和决赛，只有预赛､半决赛都获胜才能进入决赛.已知4400⨯甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；23343445丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和.2356(1)甲､乙､丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；(2)设甲､乙､丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列.ξξ【答案】(1)乙进入决赛的可能性最大(2)答案见解析【分析】（1）根据相互独立事件同时发生的概率公式计算得解；（2）根据（1）及相互独立事件同时发生的概率公式计算，列出分布列.【详解】（1）甲队进入决赛的概率为，231342⨯=乙队进入决赛的概率为，343455⨯=丙队进入决赛的概率为，255369⨯=显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大．（2）由（1）可知：甲､乙､丙三队进入决赛的概率分别为，135,,259的可能取值为，ξ0,1,2,3，()1354011125945P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()135********2(1(1)(1)25952995290P ξ==-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯=，()135132596P ξ==⨯⨯=，()()()()43711110231459063P P P P ξξξξ==-=-=-==---=所以的分布列为：ξξ0123P4451337901618．已知分别为三个内角的对边，且.,,a b c ABC ,,A B C ()sin 2sin A B C-=(1)证明:；2222a b c =+(2)若，，，求AM 的长度.2π3A =3a =3BC BM =【答案】(1)证明见解析(2)1AM =【分析】（1）先利用三角形的内角和定理结合两角和差的正弦公式化简，再利用正弦定理和余弦定理化角为边，整理即可得证；（2）在中，由（1）结合余弦定理求出，再在中，利用余弦定理即可得解.ABC ,b c ABM 【详解】（1）由，()()sin 2sin 2sin A B C A B -==+得，sin cos cos sin 2sin cos 2cos sin A B A B A B A B -=+则，sin cos 3cos sin 0A B A B +=由正弦定理和余弦定理得，2222223022a c b b c a a b ac bc +-+-⋅+⋅=化简得；2222a b c =+（2）在中，，ABC 2229a b c bc =++=又因为，所以，所以2222a b c =+222229b c b c bc +=++=b c ==所以，π6B C ==由，得，3BC BM = 13a BM ==在中，，ABM 2222cos 313133a a AM c c B ⎛⎫=+-⨯⋅=+-= ⎪⎝⎭19．如图，正三棱柱的体积为P 是面内不同于顶点的一点，111ABC A B C -AB =111A B C 且．PAB PAC ∠=∠(1)求证：；⊥AP BC (2)经过BC 且与AP 垂直的平面交AP 于点E ，当三棱锥E -ABC 的体积最大时，求二面角平面角的余弦值．1P BC B --【答案】(1)证明见解析．【分析】（1）由线面垂直的判定定理即可证明；（2）由分析知，三棱锥E -ABC 的体积最大，等价于点E 到面ABC 的距离最大，由分析知，∠PFD为二面角的平面角，以F 为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面和，代入1P BC B --FP FD即可得出答案.【详解】（1）设线段BC 的中点为F ，则，AF BC ⊥∵，，AP 为公共边，AB AC =PAB PAC ∠=∠∴，PAB PAC △△≌∴，PB PC =∴，又，面APF ，PF BC ⊥AF PF F = ,AF PF ⊂∴BC ⊥面APF ，面APFAP ⊂（2）设线段的中点为D ，由题意，点P 在线段上，11B C 1A D由，111ABC A B C V -=AB =12AA =∴三棱锥E -ABC 的体积最大，等价于点E 到面ABC 的距离最大，∵AP ⊥面BCE ，面BCE ，∴，EF ⊂AP EF ⊥∴点E 在以AF 为直径的圆上，如图，易知，3AF =从而，45EAF EFA ∠=∠=︒由（1）知PF ⊥BC ，DF ⊥BC ，平面，DF 平面，PF ⊂PBC ⊂1BCB 平面平面，PBC1BCB BC =∴∠PFD 为二面角的平面角，1P BC B --如图，以F 为原点建立空间直角坐标系，则，，，，()0,0,0F 330,,22E ⎛⎫⎪⎝⎭()B ()0,1,2P ，()0,0,2D于是，，从而，()0,1,2FP =()0,0,2FD =cos ,FP FD <>==∴二面角．1P BC B --20．已知，两点分别在x 轴和y 轴上运动，且，若动点G 满足()0,0M x ()00,N y 1MN =，动点G 的轨迹为E .2OG OM ON =+(1)求E 的方程；(2)已知不垂直于x 轴的直线l 与轨迹E 交于不同的A 、B 两点，总满足，Q ⎫⎪⎪⎭AQO BQO ∠=∠证明：直线l 过定点.【答案】(1)；2214x y +=(2)证明见解析.【分析】(1)根据平面向量的坐标运算可得，结合和两点坐标求距离公式可得002xx y y ==、1MN =，将代入计算即可；22001x y +=002x x y y ==、(2)设直线l 的方程为：、，联立椭圆方程并消去y ，根据韦达定理表y kx m =+()()1122A x y B x y ，、，示出，利用两点求斜率公式求出，结合题意可得，列出关于k 和m1212+、x x x x AQ BQk k 、AQ BQk k =-的方程，化简计算即可.【详解】（1）因为，即，2OG OM ON =+0000(,)2(,0)(0,)(2,)x y x y x y =+=所以，则，002x x y y ==，002xx y y ==又，得，即，1MN =22001x y +=22()12x y +=所以动点G 的轨迹方程E 为：；2214x y +=（2）由题意知，设直线l 的方程为：，，y kx m =+()()1122A x y B x y ，，，则，1122y kx m y kx m=+=+，，消去y ，得，2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩222(41)8440k x kmx m +++-=由，得，22226416(41)(1)0k m k m ∆=-+->2241m k <+，21212228444141km m x x x x k k --+==++，直线的斜率为，直线的斜率为，AQAQ k =BQ BQ k =又，所以AQO BQO ∠=AQk =BQk-=整理，得，1212120y x x y y y +=12122()()0kx x m x x ++=，2222228(1)80414141km km k mk k k --+=+++由，化简得，2410k +≠m =所以，(y kx k x ==故直线过定点.21．已知函数为的导函数．1()ln (0,0),()f x kx a x x a f x x ->'=-+>()f x (1)当时，求函数的极值；1,2a k ==()f x (2)已知，若存在，使得成立，求证：()1212,(0,)x x x x ∈+∞≠k ∈R ()()12f x f x =．()()120f x f x ''+>【答案】(1)极大值为，无极小值．3-(2)证明见解析【分析】（1），求导，利用函数的单调性及极值的定义求解；1()2ln f x x xx =--+（2）不妨设，因为，所以，结合12x x >()()12f x f x =121212ln 1x x a kx x x x +=-，得()()1222121211112f x f x a k x x x x ⎛⎫''+=+++- ⎪⎝⎭，设， 构造函数()()()2121211222121221212ln x x x x x f x f x ax xx x x x x -⎛⎫''+=+-- ⎪-⎝⎭12(1,)x t x =∈+∞，结合函数的单调性，可证得结论.1()2ln (1)t t t t tϕ=-->【详解】（1）当时，此时，1,2a k ==1()2ln f x x xx =--+则，2211(21)(1)()2x x f x x x x +-'=-+=-当时，，则在单调递增；01x <<()0f x '>()f x (0,1)当时，，则在单调递减；1x >()0f x '<()f x (1,)+∞所以的极大值为，无极小值．()f x (1)3f =-（2）不妨设，因为，12x x >()()12f x f x =则，11221211ln ln kx a x kx a x x x --+=--+即，所以，()12112122ln x x x a k x x x x x -+=-121212ln1x x a k x x x x +=-由，则，21()a f x k x x '=+-()()1222121211112f x f x a k x x x x ⎛⎫''+=+++- ⎪⎝⎭，()()12122212121212ln111112x x f x f x a ax x x x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪''+=+++-+ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭即，()()12122212121212ln 112112x x f x f x a x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪''+=+-++-- ⎪ ⎪⎝⎭所以()()()222121211222121212212ln x x x x x f x f x a x x x x x x x -⎛⎫-''+=+-⎪-⎝⎭即，()()()2121211222121221212ln x x x x x f x f x ax x x x x x x -⎛⎫''+=+-- ⎪-⎝⎭设， 构造函数，12(1,)x t x =∈+∞1()2ln (1)t t t t t ϕ=-->则，2221221()10t t t t t t ϕ-+'=+-=>所以在上为增函数，()t ϕ(1,)+∞所以，()(1)0t ϕϕ>=因为，()21222121210,0,0x x a x x x x ->>>-所以．()()120f x f x ''+>【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见解题策略：（1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数．一般思路为利用条件将问题逐步转化，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数，再通过导数研究函数的性质进行证明．22．“太极图”是关于太极思想的图示，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”．在平面直角坐标系中，“太极图”是一个圆心为坐标原点，半径为的圆，其中黑、白区域xOy 4分界线，为两个圆心在轴上的半圆，在太极图内，以坐标原点为极点，轴非负半1C 2C y (2,2)P -x轴为极轴建立极坐标系．(1)求点的一个极坐标和分界线的极坐标方程；P 1C (2)过原点的直线与分界线，分别交于，两点，求面积的最大值．l 1C 2C M N PMN 【答案】(1)，：3π4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭1C 24sin 0ρρθ-=(2)4【分析】（1）由直角坐标和极坐标的互化公式转化即可；（2）由图形对称性知，，在极坐标系中，求，并求其最大值即可.2PMN POM S S = POM S 【详解】（1）设点的一个极坐标为，，，P (),P P P ρθ0P ρ>[)0,2πP θ∈则，P ρ===2tan 12P P P y x θ===--∵点在第三象限，∴，∴点的一个极坐标为.P 3π4P θ=P 3π4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵“太极图”是一个圆心为坐标原点，半径为的圆，4∴分界线的圆心直角坐标为，半径为，1C ()10,2C 2r =∴的直角坐标方程为（），即（），1C ()2224x y +-=0x ≥2240x y y +-=0x ≥将，，代入上式，得，，cos x ρθ=sin y ρθ=222x y ρ+=24sin 0ρρθ-=π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦化简，得分界线的极坐标方程为，.1C 4sin ρθ=π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）∵在上，∴设点的极坐标为，则，，M 1C M (),M M M ρθ4sin MM ρθ=π0,2M θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴的面积POM ()11sin sin 22POM P M P M S OP OM POM ρρθθ=⋅⋅∠=⋅⋅- 13π4sin sin 24M M θθ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭24sin cos 4sin M M Mθθθ=+()2sin 221cos 2M M θθ=+-2sin 22cos 22M M θθ=-+π224M θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∵，∴，π0,2M θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ3π2,444M θ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦∴当，即时，的面积的最大值为.ππ242M θ-=3π8M θ=POM ()max 2POM S = ∵直线过原点分别与，交于点，，∴由图形的对称性易知，，l 1C 2C M N OM ON =∴面积，PMN 2PMN POM S S =∴面积的最大值为.PMN ()()max max 24PMN POM S S == 23．已知，且，证明：0,0,1a b c >>>222422a b c c ++-=(1)；24a b c ++≤(2)若，则.2a b =1131b c +≥-【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由柯西不等式即可证明；（2）由均值的不等式可得，由（1）可得()()11112141911a b c b c b c b c ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+++-=++-≥ ⎪ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎝⎭，即可证明.11213a b c ≥++-1131b c +≥-【详解】（1）由，得，222422a b c c ++-=2224(1)3a b c ++-=由柯西不等式有，()2222222(2)(1)111(21)a b c a b c ⎡⎤++-++≥++-⎣⎦，当且仅当时等号成立，213a b c ∴++-≤211a b c ==-=，当且仅当时等号成立；24a b c ∴++≤11,,22a b c ===（2）由可得2a b =，()()1111412141559111b c a b c b c b c b c c b -⎛⎫⎛⎫⎡⎤+++-=++-=++≥+= ⎪ ⎪⎣⎦---⎝⎭⎝⎭当且仅当时取等，12c b -=由（1）可得，当且仅当时等号成立，11213a b c ≥++-11,,22a b c ===从而，当且仅当时等号成立.11193121b c a b c +≥⋅≥-++-11,,22a b c ===。
高考数学模拟试题与解析 专题16 等差数列(解析版)
专题16等差数列目录 (1)基础题型一：判断（证明）等差数列 ...................................................................................................................... 1 基础题型二：等差数列通项公式基本量计算 .......................................................................................................... 5 基础题型三：等差中项（下标和性质） .................................................................................................................. 7 基础题型四：等差数列前n 项和基本量计算 .......................................................................................................... 9 基础题型五：两个等差数列前n 项和比的问题 . (11) (14)提升题型一：等差数列单调性 ................................................................................................................................ 14 提升题型二：含绝对值的等差数列前n 项和 ........................................................................................................ 17 提升题型三：等差数列奇数项或偶数项和 ............................................................................................................ 21 提升题型四：n a 与n S的关系 ................................................................................................................................. 23 提升题型五：等差数列片段和性质 ........................................................................................................................ 26 提升题型六：等差数列前n 项和最值 .................................................................................................................... 27 提升题型七：根据等差数列前n 项和最值求参数 (31)基础题型一：判断（证明）等差数列1．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）若数列{an }的前n 项和为232n S n n a =++，则“0a =”是“数列{an }为等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】∵232n S n n a =++，则115S a a ==+，n，1n=．112n，23=，3a=不是等差数列.基础题型二：等差数列通项公式基本量计算基础题型三：等差中项（下标和性质）【详解】2n n a a ++129151115,a a a a =+++12915292942a +⨯=⨯=故答案为：116.7．（2022·上海市西南位育中学高二期末）等差数列{}n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则28a a +=_________ 【答案】180【详解】因为等差数列{}n a 中，3456755450++++==a a a a a a ， 所以590a =， 所以2852180+==a a a . 故答案为：180.基础题型四：等差数列前n 项和基本量计算【详解】2n n a a ++129151115,a a a a =+++12915292942a +⨯=⨯=故答案为：116.2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高二期中）根据下列条件，求相应的等差数列基础题型五：两个等差数列前n 项和比的问题1．（2022·河南新乡·一模（文））设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若3542n n S n T n +=-，则88a b =（ ） A ．2528B ．3539C ．5558D ．25292．（2022·宁夏·银川二中高三阶段练习（理））设等差数列n 与等差数列n 的前n 项和分别为n S ，n T ，若对任意自然数n 都有2343n n S n T n -=-，则935784a a b b b b +++的值为（ ）A ．37B ．79C ．1941D ．1-3．（2022·江苏·北大附属宿迁实验学校高二期中）已知两个等差数列n a 和n b 的前n 项和分别为Sn 和Tn ，且n n S T =2703n n ++，则76a b 的值为（ ） A ．487B ．425C ．849D ．144．（2022·全国·高二课时练习）两等差数列{}n a 和{}n b ，前n 项和分别为n S ，n T ，且3n n T n =+，则220715a ab b ++的值为（ ）A ．14924B ．7914C ．165D ．51105．（2022·广东·南海中学高二阶段练习）已知等差数列n a 、n b ，其前项和分别为n S 、n T ，2331n n a n b n +=-，则1111S T = A ．1517B ．2532C ．1D ．26．（2022·云南昭通·高三期末（理））等差数列,n n a b 的前n 项和分别为132,,,221n n n n S n S T a T n -==+，则{}n b 的公差为___________. 【详解】32n n S n T n -=又112a S k ===⨯2(21)4=+=n T n n 116420=+==b 即{}n b 的公差为8. 故答案为：8.7．（2022·上海·高三专题练习）已知数列n 、n 均为正项等比数列，n 、n 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项积，且ln 57ln 2n n P n Q n-=，则33ln ln a b 的值为___________.53,21n n A n B n +=-求这两个数列的第9项之比99.a b9．（2022·全国·高二课时练习）已知两个等差数列n a 和n b 的前n 项和分别为n 和n ，311n n A n B n +=+，求25837a a a b b +++的值．提升题型一：等差数列单调性1．（2022·全国·高二课时练习）设{}n a 是等差数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】由题意可得公差21320d a a a a =-=->，所以数列{}n a 是递增数列，即充分性成立； 若数列{}n a 是递增数列，则必有123a a a <<，即必要性成立． 故选：C ．【详解】∵等差数列{}n a 是递增数列，且1233a a a ++≤，∴21,0a d ≤>，又∵()731113863228a a a d a d a -≤=+-+=-≤，∴14a ≥-，2105d a a <=-≤，4134a a d =+>-，42211011a a d =+≤+=，即4a 的取值范围为(]4,11-，故答案为(]4,11-.提升题型二：含绝对值的等差数列前n 项和2678,(6,N*)(+),(7,n n a a n n a a a a n n +++≤∈++-++≥∈2252=-n n n S ， 78，N*)，||.n a +27+，前,19216,10n n ，n ∈）设等差数列{}n a 的公差是是递减数列，因为512a a +舍去)，3d =-，解得d 9，则当9n 时，0n a ；当n >3)108=； 21)351(3)22n n ⨯-=-+9n 时，n T 235122n n -+，9n >时，T 11a ++…a +235122n n -+综上可得，19216,10n T n ，n ∈昆明一中高三阶段练习）已知数列12220n n a -++-.求数列{}n a 的通项公式；求数列{}n a 的前【答案】(1)16n a =22214,214n n n n -+-+12n n a -++12220+-=(2126n n a --++=-()12062n n +---+164n n =-，(1212162n n n a a a a +++=+++=0n a <，易知112a =，28a =，234523415n na a a a a a a a a a a +++++=+++---)()32314n a a a a a +-+++()()121642128402n n +-=⨯+++-2214n n =-4>. 高二期中）已知数列{}a 的前n 项和为{}a 的前n 项和为S n a ++，求(1231315n n n a a a a a S +++=++++==()123123789n n a a a a a a a a a a ++++=++++-+++)()27123789721498n n a a a a a a a a S S n n ++-++++++++=-=-+.综2,171498,7n n n n -≤≤+> 山西省浑源中学高二阶段练习）表示n S 等差数列{}n a 的前n 项的和，且4S S =的通项n a 及n S ； n a ++14，n S n =78n ≤≥）解：设等差数列{综上所述，2213,171384,8nn n nTn n n⎧-≤≤=⎨-+≥⎩.提升题型三：等差数列奇数项或偶数项和23na-+++23n a -+++531a a -+++)(2321n n a a --++++上海南汇中学高二期末）在等差数列9960a ++=100a ++=__________.145【详解】等差数列{n a 12， 10013599246100a a a a a a a a a ++=+++++++++24610013599a a a a a d a d a d a d ++++=++++++++605085d =+=1231001260501452a a a a ++++=⨯+⨯=. 故答案为：145.5．（2022·江苏·高二课时练习）已知等差数列{}n a 中，前m （m 为奇数）项的和为中偶数项之和为33，且323=-+n提升题型四：na 与nS 的关系(2)90-(1)解：由题意可得()()22142132a S S k k k =-=---=-=，解得1k =，所以，2n S n n =-. 当1n =时，110a S ==，当2n ≥时，()()()2211122n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦， 10a =也满足22n a n =-，故对任意的N n *∈，22n a n =-.(2)解：()221010222120n n S a n n n n n -=---=-+，所以，当10n =或11时，n S 取得最小值，且最小值为90-.3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+，n ∈*N ，数列{}n b 满足24log 3n n a b =+，*n ∈N ．求,n n a b ；【答案】41n a n =-；12n n b -=【详解】由于n S =22n n +，当n ≥2时，1n n n a S S -=-=2222(1)(1)41n n n n n ⎡⎤+--+-=-⎣⎦，*n ∈N ．当n =1时，113a S ==；41n a n ∴=-， 由24log 3n n a b =+， 12n n b -∴=，*n ∈N ．4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()()1131n n n S n S n ++-+=+．（1）求证：{}n a 为等差数列； 【答案】（1）证明见解析；【详解】证明：（1）∵()()1131n n n S n S n ++-+=+， ∴()()12,2n n nS n S n n --+=≥，两式做差得：()()()1112321n n n n S n S n S +-+-+++=， ∴()()()()1111221n n n n n S n S n S n S +-+-+++-+=， ∴()()1121n n n a n a ++-+= ∴()111n n na n a --+=，两式做差得：()()()1112210n n n n a n a n a +-+-+++=， ∴1120n n n a a a +--+=， 即：112n n n a a a -+=+， ∴{}n a 为等差数列．n a ++，求77>(2N*n n -∈(1231315n n n a a a a a S +++=++++==()123123789n n a a a a a a a a a a ++++=++++-+++)()27123789721498n n a a a a a a a a S S n n ++-++++++++=-=-+.2,171498,7n n n n n -≤≤-+> 重庆市云阳县高阳中学高三阶段练习（理））已知数列{}n a 的前n 项和为12n S a =，)2112n n S nS n n --=+-．的通项公式;提升题型五：等差数列片段和性质4．（2022·宁夏·吴忠中学高二期中（理））设等差数列的前n 项和为48,8,20n S S S ==若，则9101112a a a a +++= . 【答案】16【详解】由等差数列性质知：484128,,S S S S S --也成等差， 所以1288,12,S S -成等差，即12816S S -=， 因此910111212816a a a a S S +++=-=,故答案为16.5．（2022·江苏南通·高二期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1020S =，3090S =，则20S =___________ 【答案】50【详解】由题设1020103020,,S S S S S --成等差数列， 所以20101030202()S S S S S -=+-，则20103033150S S S =+=， 所以2050S =. 故答案为：50提升题型六：等差数列前n 项和最值提升题型七：根据等差数列前n 项和最值求参数1．（2022·安徽·淮南第二中学高二开学考试）在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，已知678125a a a a ++=，且10a >，当n S 取得最大值时，n 的值为（ ） A ．17 B ．18C ．19D ．20【答案】C【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，12n na n -++的前n 项和为解得1202a≤≤，由于1a是整数，所以1a的可能取值是18,19,20.。
【必考题】高考数学模拟试卷(带答案)
【必考题】高考数学模拟试卷(带答案)一、选择题1．某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，则他第2次，第3次两次均命中的概率是( ) A ．310B ．25C ．12D ．352．()22x xe ef x x x --=+-的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．设5sin7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<4．设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 A ．23B ．43C ．32D ．35．设集合2{|20,}M x x x x R =+=∈，2{|20,}N x x x x R =-=∈，则M N ⋃=（ ） A ．{}0 B ．{}0,2 C ．{}2,0- D ．2,0,26．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ）A ．28B ．32C ．33D ．277．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）A ．34 B ．16 C ．1112D ．25248．2n n +<n+1(n∈N *),某同学应用数学归纳法的证明过程如下: (1)当n=1时211+不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N *)时,不等式成立,2k k +<k+1. 那么当n=k+1时()()()2222(k 1)k 1k 3k 2k3k 2k 2(k 2)+++=++<+++++所以当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)和(2),可知对于任何n∈N *,不等式均成立. 则上述证法（ ） A ．过程全部正确 B ．n=1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n=k 到n=k+1的证明过程不正确9．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10B ．20C ．40D ．8010．函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列数值排序正确是（ ）A ．()()()()02332f f f f ''<<<-B ．()()()()03322f f f f ''<<-<C ．()()()()03232f f f f ''<<<-D ．()()()()03223f f f f ''<-<<11．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A 2B 3C ．2D 512．若双曲线22221x y a b-=3，则其渐近线方程为（ ）A ．y=±2xB ．y=2xC ．12y x =±D ．22y x =±二、填空题13．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．14．已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______． 15．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1()tan 2g x x =的图象交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为__________．16．在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边AB ，AD 的长分别为2和1，若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点,且满足CN CDBM BC=，则AM AN ⋅的取值范围是_________．17．若9 ()a xx -的展开式中3x的系数是84-，则a=．18．双曲线22221x ya b-=(0a>，0b>)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2，则a=_______________.19．幂函数y=xα,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα,y=xβ的图像三等分,即有BM=MN=NA,那么,αβ等于_____.20．()sin5013tan10+=________________.三、解答题21．选修4-5：不等式选讲设函数()|2||1|f x x x=-++.（1）求()f x的最小值及取得最小值时x的取值范围；（2）若集合{|()10}x f x ax+->=R，求实数a的取值范围.22．在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为2+,,x ty kt=⎧⎨=⎩（t为参数），直线l2的参数方程为2,,x mmmyk=-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin20lρθθ+-=，M为l3与C的交点，求M的极径.23．如图，边长为2的正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边的中点，将AED，DCF分别沿DE，DF折起，使得A，C两点重合于点M．(1)求证：MD EF⊥；(2)求三棱锥M EFD-的体积．24．随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。
备战2024年高考数学模拟卷(新高考Ⅰ卷专用)含解析
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新高考Ⅰ卷专用）黄金卷（答案在最后）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要A．51 62 a b+C．51 63 a b+【答案】CA ．242B ．24【答案】B【详解】如图所示，在正四棱锥P ABCD -连接OP ，则底面边长32AB =，对角线又5BP =，故高224OP BP BO =-=故该正四棱锥体积为()21323V =⨯⨯故选：B5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果可以表示为两个素数的和身外没有其他因数的自然数）中，随机选取两个不同的数，其和等于将APQ △翻折后，PQ A Q '⊥，PQ BQ ⊥，又平面平面A PQ ' 平面BCPQ PQ =，A Q '⊂平面A PQ '，BQ ⊂平面BCPQ ，于是A Q '⊥平面显然A P '，BP 的中点D ，E 分别为A PQ ' ，四边形BCPQ 则DO ⊥平面A PQ '，EO ⊥平面BCPQ ，因此//DO BQ 取PQ 的中点F ，连接,DF FE 则有////EF BQ DO ，DF 四边形EFDO 为矩形，设A Q x '=且023x <<，DO 设球O 的半径R ，有22223324A P R DO x x '⎛⎫=+=-+⎪⎝⎭当23x =时，()22R =，所以球O 表面积的最小值为故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
A ．正方体11ABCD A B C -B ．两条异面直线1D C 和C ．直线BC 与平面ABC D ．点D 到面1ACD 的距离为【答案】BC【分析】根据正方体和内切球的几何结构特征，可判定的角的大小即为直线1D C 和进而求得直线BC 与平面ABC 判定D 错误.【详解】对于A 中，正方体所以内切球的半径12R =，所以对于B 中，如图所示，连接因为11//AB C D 且11AB C D =所以异面直线1D C 和1BC 所成的角的大小即为直线又因为112AC AD D C ===对于C 中，如图所示，连接B 因为AB ⊥平面11BB C C ，1B C 又因为1AB BC B =I ，AB ⊂所以1B C ⊥平面11ABC D ，所以直线所以C 正确；对于D 中，如图所示，设点D 所以111πsin 23ACD S AC AD =⨯⨯V 又因为12ACD S AD CD =⨯⨯=V 即111133ACD ACD S h S DD ⨯⨯=⨯⨯ 故选：BC.10．已知函数321()3f x x x =-A ．()f x 为奇函数C ．()f x 在[1,)-+∞上单调递增【答案】BC【分析】根据奇函数的定义判断12．已知函数()f x 及其导函数f 则（）A ．(1)(4)f f -=B ．g ⎛- ⎝【答案】ABD【分析】由题意分析得到()f x 关于直线【详解】因为3(2)2f x -为偶函数，所以所以()f x 关于直线32x =对称，令因为33()()22f x f x -=+，所以f '所以()()21g x g x +=--，因为所以()()21g x g x -=--，即(g 则()g x 的一个周期为2.因为(f x 所以33022g f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ '⎪⎝⎭⎝⎭，所以g 因为()()1g x g x +=-，所以(2g 设()()h x f x c =+（c 为常数），定义域为3322h x f x c ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又f ⎛ ⎝显然()()h x f x c =+也满足题设，即()f x 上下平移均满足题设，显然()0f 的值不确定，故C 错误.故选：ABD第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年全国高考数学模拟试卷(附答案)
2023年全国高考数学模拟试卷一、单选题1．设全集U={1 2 3 4 5 6 7 8} 集合S={1 3 5} T={3 6} 则∁U （S∁T ）等于（ ） A ．∁B ．{2 4 7 8}C ．{1 3 5 6}D ．{2 4 6 8}2．在四边形ABCD 中＝ ＋则四边形ABCD 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形3．已知复数 z =(2+i)(a +2i 3) 在复平面对应的点在第四象限 则实数 a 的取值范围是（ ） A ．(−∞,−1)B ．(4,+∞)C ．(−1,4)D ．[-1,4]4．在直三棱柱 ABC −A ′B ′C ′ 中 侧棱长为2 底面是边长为2的正三角形 则异面直线 AB ′ 与BC ′ 所成角的余弦值为（ ） A ．12B ．√33C ．14D ．√555．一个袋子中有5个大小相同的球 其中有3个黑球与2个红球 如果从中任取两个球 则恰好取到两个同色球的概率是（ ） A ．15B ．310C ．25D ．126．已知 f(x)=√3sin2020x +cos2020x 的最大值为A 若存在实数 x 1 x 2 使得对任意的实数x 总有 f(x 1)≤f(x)≤f(x 2) 成立 则 A|x 1−x 2| 的最小值为（ ）A ．π2020B ．π1010C ．π505D ．π40407．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数 其最小正周期为3 且x∁（-320）时 f(x)=log 2(-3x+1)则f(2011）=（ ） A ．4B ．2C ．-2D ．log 278．已知函数f(x)={1−x ，0≤x ≤1lnx ，x >1 若f(a)=f(b) 且a ≠b 则bf(a)+af(b)的最大值为（ ） A ．0 B ．(3−ln2)⋅ln2 C ．1D ．e二、多选题9．下列命题中正确的命题的是（）A．已知随机变量服从二项分布B(n，p)若E(x)=30D(x)=20则p=23；B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后方差恒不变；C．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)若P(ξ>1)=p则P(−1<ξ≤0)=12−P；D．某人在10次射击中击中目标的次数为X X~B(10，0.8)则当x=8时概率最大．10．已知抛物线C：x2=4y的焦点为F准线为l P是抛物线C上第一象限的点|PF|=5直线PF 与抛物线C的另一个交点为Q 则下列选项正确的是（）A．点P的坐标为（4 4）B．|QF|=54C．S△OPQ=103D．过点M(x0，−1)作抛物线C的两条切线MA，MB其中A，B为切点则直线AB的方程为：x0x−2y+2=011．已知函数f(x)=e x g(x)=ln x2+12的图象与直线y=m分别交于A、B两点则（）A．|AB|的最小值为2+ln2B．∃m使得曲线f(x)在A处的切线平行于曲线g(x)在B处的切线C．函数f(x)−g(x)+m至少存在一个零点D．∃m使得曲线f(x)在点A处的切线也是曲线g(x)的切线12．已知正n边形的边长为a 内切圆的半径为r 外接圆的半径为R 则（）A．当n=4时R=√2a B．当n=6时r=√32aC．R=a2sinπ2n D．R+r=a2tanπ2n三、填空题13．某学校有教师300人男学生1500人女学生1200人现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为150人的样本进行某项调查则应抽取的女学生人数为．14．在（2x2﹣√x）6的展开式中含x7的项的系数是．15．函数f(x)=|2x−1|−2lnx的最小值为.16．定义max{a,b}={a,a≥bb,a<b已知函数f(x)=max{(12)x,12x−34}则f(x)最小值为不等式f(x)<2的解集为.四、解答题17．记S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>06S n=a n2+3a n−4.（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=a n2+a n+12a n a n+1求数列{b n}的前n项和T n.18．已知数列{a n}的前n项和为S n a1=2n(a n+1−2a n)=4a n−a n+1.（1）证明：{a nn+1}为等比数列；（2）求S n.19．记△ABC的内角A B C的对边分别为a b c﹐已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．（1）若A=2B求C；（2）证明：2a2=b2+c2.20．受突如其来的新冠疫情的影响全国各地学校都推迟2020年的春季开学某学校“停课不停学” 利用云课平台提供免费线上课程该学校为了解学生对线上课程的满意程度随机抽取了100名学生对该线上课程评分、其频率分布直方图如图.（1）求图中a的值；（2）求评分的中位数；（3）以频率当作概率若采用分层抽样的方法从样本评分在[60,70)和[90,100]内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果再从中选取2人进行跟踪分析求这2人中至少一人评分在[60,70)内的概率.21．已知椭圆与双曲线x 22−y2=1有相同的焦点坐标且点(√3,12)在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）设A、B分别是椭圆的左、右顶点动点M满足MB⊥AB垂足为B连接AM交椭圆于点P（异于A）则是否存在定点T使得以线段MP为直径的圆恒过直线BP与MT的交点Q若存在求出点T的坐标；若不存在请说明理由.22．已知函数f(x)=e x(x−2),g(x)=x−lnx.（1）求函数y=f(x)+g(x)的最小值；（2）设函数ℎ(x)=f(x)−ag(x)(a≠0)讨论函数ℎ(x)的零点个数.答案解析部分1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】B,C,D 10．【答案】A,B,D 11．【答案】A,B,D 12．【答案】B,D 13．【答案】60 14．【答案】240 15．【答案】116．【答案】14；(−1,112)17．【答案】（1）解：当 n =1 时 6S 1=a 12+3a 1−4 所以 a 1=4 或 −1 （不合 舍去）. 因为 6S n =a n 2+3a n −4① 所以当 n ⩾2 时 6S n−1=a n−12+3a n−1−4② 由①－②得 6a n =a n 2+3a n −a n−12−3a n−1所以 (a n +a n−1)(a n −a n−1−3)=0 . 又 a n >0 所以 a n −a n−1=3 .因此 {a n } 是首项为4 公差为3的等差数列. 故 a n =4+3(n −1)=3n +1 .（2）解：由（1）得 b n =(3n+1)2+(3n+4)2(3n+1)(3n+4)=2+33n+1−33n+4所以 T n =2+34−37+2+37−310+⋯+2+33n+1−33n+4=2n +(34−37+37−310+⋯+33n +1−33n +4)=2n +9n4(3n +4)18．【答案】（1）证明：∵n(a n+1−2a n )=4a n −a n+1∴na n+1−2na n =4a n −a n+1 即(n +1)a n+1=2⋅a n (n +2)∴a n+1n+2=2⋅a nn+1 故{a nn+1}为等比数列. （2）解：由（1）知 a nn+1=1×2n−1⇒a n =(n +1)⋅2n−1 S n =2×20+3×2+4×22⋅⋅⋅+(n +1)⋅2n−1 2S n =2×21+3×22+4×23⋅⋅⋅+(n +1)⋅2n∴−S n =2+2+22+⋯+2n−1−(n +1)⋅2n=2+2−2n−1×21−2−(n +1)⋅2n=−n ⋅2n∴S n =n ⋅2n19．【答案】（1）解：∵sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A)且 A =2B∴sinCsinB =sinBsin(C −A) ∵sinB ＞0∴sinC =sin(C −A)∴C=C-A （舍）或C+（C-A ）=π 即：2C-A=π又∵A+B+C=π A=2B ∴C= 5π8（2）证明：由 sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A) 可得sinC(sinAcosB −cosAsinB)=sinB(sinCcosA −cosCsinA) 再由正弦定理可得 accosB −bccosA =bccosA −abcosC 然后根据余弦定理可知12(a 2+c 2−b 2)−12(b 2+c 2−a 2)=12(b 2+c 2−a 2)−12(a 2+b 2−c 2) 化简得： 2a 2=b 2+c 2 故原等式成立．20．【答案】（1）解：由题意 (0.005+0.010+0.030+a +0.015)×10=1所以 a =0.040 ；（2）解：由频率分布直方图可得评分的中位数在 [80,90) 内 设评分的中位数为x则 (0.005+0.010+0.030)×10+0.040×(x −80)=0.5 解得 x =81.25 所以评分的中位数为81.25；（3）解：由题知评分在 [60,70) 和 [90,100] 内的频率分别为0.1和0.15 则抽取的5人中 评分在 [60,70) 内的为2人 评分在 [90,100] 的有3人记评分在 [90,100] 内的3位学生为a b c 评分在 [60,70) 内的2位学生为D E 则从5人中任选2人的所有可能结果为：(a,b) (a,c) (a,D) (a,E) (b,c) (b,D) (b,E) (c,D) (c,E) (D,E) 共10种；其中 这2人中至少一人评分在 [60,70) 内可能结果为：(a,D) (a,E) (b,D) (b,E) (c,D) (c,E) (D,E) 共7种；所以这2人中至少一人评分在 [60,70) 的概率 P =710.21．【答案】（1）解：因为双曲线 x 22−y 2=1 的焦点坐标为 (±√3,0)所以设所求的椭圆的方程为 x 2a 2+y 2b2=1 （ a >b >0 ）则 {a 2=b 2+33a 2+14b 2=1 解得 a 2=4,b 2=1 所以椭圆的标准方程是 x 24+y 2=1（2）解：设直线AP 的方程是 y =k(x +2) （ k ≠0 ）将其与 x 24+y 2=1 联立 消去y 得 (4k 2+1)x 2+16k 2x +16k 2−4=0 设 P(x 1,y 1)则 −2⋅x 1=16k 2−44k 2+1所以 x 1=2−8k 24k 2+1,y 1=4k 4k 2+1 所以 P(2−8k 24k 2+1,4k4k 2+1) 易知 M(2,4k)设存在点 T(x 0,y 0) 使得以MP 为直径的圆恒过直线BP 、MT 的交点Q ⇔MT ⊥BP ⇔4k−y 02−x 0⋅4k−16k2=−1 对于任意 k ≠0 成立 即 4k(1−x 0)+y 0=0 对于任意 k ≠0 成立 x 0=1,y 0=0 所以存在 T(1,0) 符合题意.22．【答案】（1）解：令 φ(x)=f(x)+g(x)φ′(x)=e x(x−1)+(1−1x)=(x−1)(e x+1x)令φ′(x)=0,x=1φ′(x)>0,x>1,φ′(x)<0,0<x<1所以φ(x)的单调递增区间是(1,+∞)单调递减区间是(0,1)所以x=1时φ(x)取得极小值也是最小值所以φ(x)min=φ(1)=1−e（2）解：g′(x)=1−1x=x−1x令g′(x)=0,x=1g′(x)<0,0<x<1,g′(x)>0,x>1 g(x)的递减区间是(0,1)递增区间是(1,+∞)所以g(x)的极小值为g(1)也是最小值g(x)≥g(1)=1>0.所以ℎ(x)=0⇔a=e x(x−2)x−lnx=s(x)因为s′(x)=e x(x−1)(x−lnx−1+2x)(x−lnx)2令k(x)=x−lnx−1+2x⇒k′(x)=(x+1)(x−2)x2令k′(x)=0,x=2k′(x)<0,0<x<2,k′(x)>0,x>2k(x)的递减区间是(0,2)递增区间是(2,+∞)所以k(x)的极小值为k(2)也是最小值所以k(x)≥k(2)=2−ln2>0所以s(x)的递减区间是(0,1)递增区间是(1,+∞)又因为x→0+,s(x)→0,x→+∞,s(x)→+∞且s(1)=−e 所以当a<−e时ℎ(x)有0个零点；当a=−e或a>0时ℎ(x)有1个零点；当−e<a<0时ℎ(x)有2个零点.。
(完整word版)高考数学模拟试题及答案
高考数学模拟试题 (一)一、选择题（本题共12个小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把符合要求一项的字母代号填在题后括号内.）1.已知集合M={x∣-3x -28 ≤0},N = {x|-x-6＞0}，则M∩N 为（）A.{x| 4≤x＜-2或3＜x≤7}B. {x|-4＜x≤-2或3≤x＜7 }C.{x|x≤-2或x＞3 }D. {x|x＜-2或x≥3}2.在映射f的作用下对应为，求-1+2i的原象（）A.2-iB.-2+iC.iD.23.若，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a4.要得到函数y=sin2x的图像，可以把函数的图像（）A.向左平移个单位B. 向右平移个单位C.向左平移个单位D. 向右平移个单位5. 如图，是一程序框图，则输出结果中（）A. B.C. D.6．平面的一个充分不必要条件是（）A.存在一条直线B.存在一个平面C.存在一个平面D.存在一条直线7．已知以F1（-2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（）A． B． C． D．8.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则p的轨迹一定通过△ABC的（）A.外心B. 重心C.内心D. 垂心9.设{a n}是等差数列，从{a1,a2,a3,…,a20}中任取3个不同的数，使这3个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列最多有（）A．90个 B．120个C．180个 D．200个10．下列说法正确的是 ( )A．“x2=1”是“x=1”的充分不必要条件B．“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件C．命题“使得”的否定是：“均有”D．命题“若α=β，则sinα=sinβ”的逆否命题为真命题11.设等比数列的公比q=2，前n项和为，则（）A. 2B. 4C.D.12．设曲线在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．-2 C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案直接填在题中的横线上.）13. 已知，，则的最小值．14. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得几何体的表面积为．15. 已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x+…+a n x n，若a1+a2+…+a n-1=29-n,则自然数n等于．16.有以下几个命题：①曲线x2-(y+1)2=1按a=(-1,2)平移可得曲线(x+1)2-(y+3)2=1②与直线相交，所得弦长为2③设A、B为两个定点，m为常数，，则动点P的轨迹为椭圆④若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P是该椭圆上的任意一点，则点F2关于∠F1PF2的外角平分线的对称点M的轨迹是圆其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）求函数y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值与最小值.18.（本小题满分12分）同时抛掷3个正方体骰子，各个面上分别标以数（1，2，3，4，5，6），出现向上的三个数的积被4整除的事件记为A.（1）求事件A发生的概率P(A)；（2）这个试验重复做3次，求事件A至少发生2次的概率；（3）这个试验反复做6次，求事件A发生次数ξ的数学期望.19.（本小题满分12分）如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形, ∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面PBC⊥底面ABCD,O是BC的中点，AO交BD于E.(1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面PAD⊥平面PAB；(3)求二面角P-DC-B.20. （本小题满分12分）如图，M是抛物线y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB.（1）若M为定点，证明直线EF的斜率为定值；（2）若M为动点，且∠EMF=90°,求△EMF的重心G的轨迹方程.21.（本小题满分12分）已知函数的图象与直线相切，切点的横坐标为1.（1）求函数f(x)的表达式和直线的方程；（2）求函数f(x)的单调区间；（3）若不等式f(x)≥2x+m对f(x)定义域内的任意x恒成立，求实数m的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22．（本小题满分10分）[几何证明选讲]如图，E是圆内两弦AB和CD的交点，直线EF//CB，交AD的延长线于F，FG切圆于G，求证：（1）∽；（2）EF＝FG.23.[选修4－4：坐标系与参数方程]已知曲线C：（t为参数）， C：（为参数）.（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求PQ中点M到直线（t为参数）距离的最小值.24.【不等式选讲】解不等式：参考答案1.A2.D3.A4.A5.D6.D7.C8.B9.C 10.D 11.C 12.B13. 3 14. 12π15.4 16.④17．解：y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x=7-2sin2x+4cos2x(1-cos2x)=7-2sin2x+4cos2xsin2x=7-2sin2x+sin22x=(1-sin2x)2+6.由于函数z=(u-1)2+6在[-1,1]中的最大值为z max=(-1-1)2+6=10，最小值为z min=(1-1)2+6=6,故当sin2x=-1时y取得最大值10，当sin2x=1时y取得最小值6.18.解：（1）解法1先考虑事件A的对立事件，共两种情况：①3个都是奇数；②只有一个是2或6，另两个都是奇数，.解法2 事件的发生有以下五种情况：三个整数都是4：；有两个整数是4，另一个不是4：；只有一个数是4，另两个不是4：；三个数都是2或6：；有两个数是2或6，另一个数是奇数：故得.（2）.（3）.19.解法一：（1）证明：∵PB=PC,∴PO⊥BC.又∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，∴PO⊥平面ABCD.在梯形ABCD中，可得Rt△ABO≌Rt△BCD,∴∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC＋∠DBA=90°,即AO⊥BD.∵PA在平面ABCD内的射影为AO，∴PA⊥BD.（2）证明：取PB的中点N，连接CN.∵PC=BC, ∴CN⊥PB.①∴AB⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD.∴AB⊥平面PBC.∵AB平面PAB，∴平面PBC⊥平面PAB.②由①、②知CN⊥平面PAB，连接DM、MN，则由MN∥AB∥CD，得四边形MNCD为平行四边形，∴DM⊥平面PAB.∵DC⊥BC，且平面PBC⊥平面ABCD，∴DC⊥平面PBC，∵PC平面PBC.∴DC⊥PC.∴∠PCB为二面角P-DC-B的平面角.∵三角形PBC是等边三角形，∴∠PCB=60°，即二面角P-DC-B的大小为60°.∵DM平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.解法二：取BC的中点O，因为三角形PBC是等边三角形，由侧面PBC⊥底面ABCD，得PO⊥底面ABCD.以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立空间直角坐标系O-xyz.（1）证明：∵C D=1，则在直角梯形中，AB=BC=2,在等边三角形PBC中，.（2）证明：，（3）显然所夹角等于所示二面角的平面角.20. 解：（1）设M(y02,y0),直线ME的斜率为k(k＞0)，则直线MF的斜率为-k，所以直线ME的方程为y-y0=k(x-y02).....所以直线EF的斜率为定值.（2）当∠EMF=90°时，∠MAB=45°，所以k=1.∴直线ME的方程为：y-y0=x-y02..同理可得.设重心消去得21.解：（1）. ∴f(1)=1.∴节点为(1,1).∴1=-2×1+c.∴c=3.∴直线l的方程为y=-2x+3.（2）.（3）令，由得，在上是减函数，在上是增函数...22．解： EF//CB，∽.FG是圆的切线.故FG=EF.23.解：（Ⅰ）.为圆心是，半径是1的圆，为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.（Ⅱ）当时，，故，为直线.M到的距离 .从而当时，d取得最小值.24.解：（1）时，得，解得，所以，；（2）时，得，解得，所以，；（3）时，得，解得，所以，无解.综上，不等式的解集为.。
2024届东北三省四市教研联合体高考模拟(二)数学试题(解析版)
2024年东北三省四市教研联合体高考模拟（二）数学试卷（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上.2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}2N 60B x x x =∈--<，则A B = （）A.{}1,2 B.{}0,1,2 C.{}1,0,1- D.{}1,0,1,2-【答案】B 【解析】【分析】本题解出一元二次不等式，再取解集范围内的自然数，从而求得B 集合的解集，再求其与集合A 的交集即可得出结果.【详解】{}{}{}2N 60N 230,1,2B x x x x x =∈--=∈-= ＜＜＜，又{}1,0,1,2,3A =-，{}0,1,2A B ∴⋂=.故选：B2.已知复数z 满足236i z z -=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解.【详解】设()i ,R z a b a b =+∈，则i z a b =-，因为236i z z -=+，所以()()2i i 36i a b a b --+=+，即3i 36i a b -=+，所以3,2a b ==-，所以z 在复平面内对应的点坐标为()3,2，位于第一象限.故选：A .3.已知角α的终边与单位圆的交点34,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭，则πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.45-B.35-C.35D.45【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知3cos 5α=，利用诱导公式运算求解.【详解】因为角α的终边与单位圆的交点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可知3cos 5α=，所以π3sin cos 25αα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭.故选：B.4.根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得2 2.826χ=，依据0.05α=的独立性检验，结论为（）参考值：α0.10.050.01x α2.7063.8416.635A.x 与y 不独立B.x 与y 不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05C.x 与y 独立D.x 与y 独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05【答案】C 【解析】【分析】利用独立性检验的基本思想即可得解.【详解】零假设0H 为：x 与y 独立，由2 2.826 3.841χ=<，依据0.05α=的独立性检验，可得0H 成立，故可以认为x 与y 独立.故选：C .5.函数()31f x x =+在=1x -处的切线方程为（）A.46y x =+B.26y x =-+C.33y x =--D.31y x =--【答案】D 【解析】【分析】当0x <时()31f x x =-+，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程.【详解】因为()31f x x =+，则()()31112f -=-+=，当0x <时()31f x x =-+，则()23f x x '=-，所以()()21313f '-=-⨯-=-，所以切点为()1,2-，切线的斜率为3-，所以切线方程为()231y x -=-+，即31y x =--.故选：D6.等差数列{}n a 中，12020a =，前n 项和为n S ，若101221210S S -=-，则2023a =（）A.2026-B.2024- C.2- D.3-【答案】B 【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列求和公式得到()112n n d S a n -=+，由101221210S S -=-求出d ，即可得到通项公式，再由通项公式计算可得.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()112n n n dS na -=+，所以()112n n d S a n -=+，因为101221210S S -=-，即()()11121101222dd a a ⎡⎤--+-+=-⎢⎥⎣⎦，解得2d =-，所以()1122022n a a n d n =+-=-+，所以20232202320222024a =-⨯+=-.故选：B7.已知函数||12x y a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象经过原点，且无限接近直线2y =，但又不与该直线相交，则ab =（）A.1-B.2-C.4-D.9-【答案】C 【解析】【分析】由题意可得0a b +=且2b =，求出a ，即可求解.【详解】因为函数1()(2xy f x a b ==+图象过原点，所以01()02a b +=，得0a b +=，又该函数图象无限接近直线2y =，且不与该直线相交，所以2b =，则2a =-，所以4ab =-.故选：C8.已知正四棱锥P ABCD -的侧棱长为2，且二面角P AB C --，则它的外接球表面积为（）A.16π3 B.6πC.8πD.28π3【答案】A 【解析】【分析】设正方形ABCD 中心为O ，取AB 中点H ，连接PO 、PH 、OH ，由正四棱锥的性质可知PH AB ⊥，OH AB ⊥，PO ⊥平面ABCD ，则PHO ∠为二面角P AB C --的平面角，设正方形ABCD 的边长为()0a a >，利用锐角三角函数求出a ，即可求出PO ，AO ，再设球心为G ，则球心在直线PO 上，设球的半径为R ，利用勾股定理求出R ，最后再由球的表面积公式计算可得.【详解】设正方形ABCD 中心为O ，取AB 中点H ，连接PO 、PH 、OH ，则PH AB ⊥，OH AB ⊥，PO ⊥平面ABCD ，所以PHO ∠为二面角P AB C --的平面角，即tan POPHO OH∠==，设正方形ABCD 的边长为()0a a >，则62PO a =，又122AO AC ==，2PA =，所以222PO AO PA +=，即2262422a a ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得a =，则PO =，1AO =，设球心为G ，则球心在直线PO 上，设球的半径为R ，则)2221R R=+，解得233R =，所以外接球的表面积22164π4ππ33S R ⎛==⨯= ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是确定二面角的平面角，利用锐角三角函数求出底面边长与高，再由正四棱锥的性质确定球心在PO 上.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.四名同学各投掷骰子5次，分别记录骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可能出现点数6的是（）A.平均数为5，中位数为2B.众数为2，中位数为3C.平均数为2，方差为2.4D.平均数为3，方差为2.8【答案】BD 【解析】【分析】推出A 、C 数据矛盾，利用特例说明B 、D.【详解】对于A ，若平均数为5，则点数和为5525⨯=，又中位数为2，则从小到大排列的前3个数不能大于2，即和不超过6，后2个数的和最大为12，显然不满足条件，故不可能出现平均数为5且中位数为2的数据，故A 错误；对于B ，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，所以B 正确；对于C ，若平均数为2，且出现点数6，则方差221(62) 3.2 2.45s >-=>，所以当平均数为2，方差为2.4时，一定不会出现点数6，所以C 错误；对于D ，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为1(12336)35++++=，方差为2222221(13)(23)(33)(33)(63) 2.85s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦，所以可以出现点6，所以D 正确，故选：BD10.抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为4，过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，与抛物线C 分别交于点A ，B 和点M ，N ，则（）A.抛物线C 的准线方程是4x =-B.过抛物线C 的焦点的最短弦长为8C.若弦MN 的中点为()m,2，则直线MN 的方程为24y x =-D.四边形AMBN 面积的最小值为128【答案】BCD 【解析】【分析】首先表示出焦点坐标与准线方程，依题意求出p ，即可得到抛物线方程，从而判断A ，根据焦点弦的性质判断B ，利用点差法求出MN k ，即可判断C ，设直线AB 为()()20y k x k =-≠，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，由焦点弦公式表示出AB ，MN ，再由12AMBN S AB MN =及基本不等式计算面积最小值，即可判断D.【详解】抛物线()2:20C y px p =>焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2px =-，依题意可得4p =，则抛物线方程为28y x =，所以准线方程为2x =-，故A 错误；过抛物线C 的焦点且与x 轴垂直时弦长最短，最短弦长为28p =，故B 正确；设()11,M x y ，()22,N x y ，则2118y x =，2228y x =，所以()2212128y y x x -=-，即()()()1212128y y yy x x -+=-，又弦MN 的中点为(),2m ，所以124y y +=，所以12121282y y x x y y -==-+，即2MN k =，又弦MN 过焦点()2,0F ，所以弦MN 的方程为()22y x =-，即24y x =-，故C 正确；依题意直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 为()()20y k x k =-≠，由()228y k x y x⎧=-⎨=⎩，消去y 整理得()22224840k x k x k -++=，显然0∆>，所以2248A B k x x k ++=，所以22248848A B k AB x x p k k+=++=+=+，同理可得288MN k =+，所以()2222118188832222AMBN S AB MN k k k k ⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭322128⎛≥+= ⎝，当且仅当221k k=，即1k =±时取等号，故D 正确.故选：BCD11.阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，截角四面体是阿基米德多面体其中的一种．如图所示，将棱长为3a 的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a 的截角四面体，则下列说法中正确的是（）A.点E 到平面ABC 的距离为263a B.直线DE 与平面ABC 所成角的正切值为2C.该截角四面体的表面积为2D.该截角四面体存在内切球【答案】AC 【解析】【分析】如图，将该截角四面体补成正四面体P MNQ -.对于A ：由平面ABC ∥平面MNQ 可知点E 到平面ABC 的距离即为点S 到平面ABC 的距离，运算求解即可；对于B ：由DE ∥PN ，可知直线DE 与平面ABC 所成角即为PN 与平面MNQ 所成角PNS ∠，运算求解即可；对于C ：根据正三角的面积结合比例关系运算求解；对于D ：假设存在内切球根据对称性可知该球心为正四面体P MNQ -的中心O ，求点O 到平面ABC 的距离即可判断.【详解】如图，将该截角四面体补成正四面体P MNQ -，取底面MNQ 的中心S ，连接,PS NS ，可知PS ⊥平面MNQ ，则2sin 60QMNS ==︒，可得PS ==，对于选项A ：由题意可知：平面ABC ∥平面MNQ ，则点E 到平面ABC 的距离即为点S 到平面ABC 的距离233d PS a ==，故A 正确；对于选项B ：由题意可知：DE ∥PN ，则直线DE 与平面ABC 所成角即为PN 与平面MNQ 所成角PNS ∠，可得tan PSPNS SN∠==，所以直线DE 与平面ABC ，故B 错误；对于选项C ：由题意可知：2139399224MNQ QEF S S a a a ==⨯⨯⨯⨯=△△，则23332EFHILK MNQ QEF S S S =-=△△，所以该截角四面体的表面积为222333334424EFHILK QEF S S a a +=⨯+⨯=△，故C 正确；对于选项D ：若该截角四面体存在内切球，根据对称性可知该球心为正四面体P MNQ -的中心O ，可知OP ON OS ==-，因为222ON NS OS =+，即)2223OSa OS -=+，解得64OS a =，由选项A 可知：点S 到平面ABC 的距离22633d PS a ==，则点O 到平面ABC 的距离为12d OS a OS -=≠，所以该截角四面体不存在内切球，故D 错误；故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将该截角四面体补成正四面体P MNQ -，结合正四面体的性质分析求解.三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．12.已知向量()1,a m = ，(),6b n = ，若3b a = ，则a b ⋅= ______．【答案】15【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示求出m 和n ，再利用向量数量积的坐标表示求解即可.【详解】 3b a =，即()(),,633n m =，∴3n =，2m =，∴()1,2a =，()3,6b =r ，∴132615a b ⋅=⨯+⨯= .故答案为：15.13.以双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点A 为圆心的圆与x 轴恰好相切于双曲线的右焦点F ，且与y 轴交于B ，C 两点．若ABC 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是______．【答案】2【解析】【分析】由题设可得2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，根据圆A 与坐标轴的位置关系及ABC 为等腰直角三角形得到关于a 和c的齐次方程，即可求离心率.【详解】A 为双曲线上一点，不妨设A 在第一象限，(),0Fc ，A 与x 轴相切于双曲线的焦点F ，∴A 的横坐标为c ，将x c =代入22221x y a b -=得，22221c y a b -=，又222c a b =+，解得2b y a =±，∴2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴A 的半径r 为2b AF a =，点A 到y 轴的距离为AN c =,ABC 为等腰直角三角形，所以22cos 2AN c BAN b ABa∠===，所以2c =，即2c =所以210e -=，解得262e =， 1e >，∴2e =，即双曲线的离心率为262.故答案为：2+.14.已知函数()f x 满足：()1tan cos 2f x x=，则111(2)(3)(2024)232024f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．【答案】0【解析】【分析】借助三角恒等变换公式可得()1tan 0tan f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可得解.【详解】()2222221cos sin 1tan tan cos 2cos sin 1tan x x x f x x x x x++===--，则()222222221111tan 1tan tan 1tan tan 01tan 1tan 1tan tan 11tan x x x x f x f x x x x x ++++⎛⎫+=+== ⎪---⎝⎭-，则111(2)(3)(2024)232024f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()111232024232024f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦0000=+++=L .故答案为：0.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为2，M 是BC 的中点，N 是1AB 的中点，P 是11B C的中点．（1）证明：//MN 平面1A CP ；（2）求点P 到直线MN 的距离．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）建立如图空间直角坐标系A xyz -，设平面1A CP 的一个法向量为(,,)n x y z =，利用空间向量法证明0MN n ⋅= 即可；（2）利用空间向量法即可求解点线距.【小问1详解】由题意知，1AA ⊥平面ABC ，60BAC ︒∠=，而AB ⊂平面ABC ，所以1AA AB ⊥，在平面ABC 内过点A 作y 轴，使得AB ⊥y 轴，建立如图空间直角坐标系A xyz -，则11(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2),(2,0,2)A B C A B，得33((1,0,1),(2222M N P ，所以11312),((,22AC A P MN =-==-- ，设平面1A CP 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则112033022n A C x z n A P x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，得1y z ==-，所以(1,1)n =- ，所以11()(1(1)022MN n ⋅=-⨯+-⨯+⨯-= ，又MN 不在平面1A CP 内即//MN 平面1A CP ；【小问2详解】如图，连接PM ，由（1）得(0,0,2)PM =- ，则2MN PM ⋅=-，2MN PM == ，所以点P 到直线MN的距离为d =16.近日，H 市流感频发，主要以1L 型流感为主，据疾控中心调查，全市患病率为5%．某单位为加强防治，通过验血筛查患1L 型流感的员工．已知该单位共有5000名员工，专家建议随机地按k （1k >且为5000的正因数）人一组分组，然后将各组k 个人的血样混合再化验．如果混管血样呈阴性，说明这k 个人全部阴性，其中每个人记作化验1k次；如果混管血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就要对该组每个人再分别化验一次．设每个人平均化验X 次．（1）若10k =，求和均值()E X ；（2）若按全市患病率估计，试比较4k =与5k =时哪一种情况下化验总次数更少.（参考数据：40.950.815≈，50.950.774≈，100.950.599≈）【答案】（1）分布列见解析，()0.501E X =（2）5k =时化验总次数更少【解析】【分析】（1）根据独立重复试验的概率计算公式、对立事件的概率计算公式求出X 的分布列即可；（2）根据独立重复试验的概率计算公式、对立事件的概率计算公式求出X 的分布列和均值()E X ，比较当4k =与5k =时()E X 的大小即可.【小问1详解】10k =，如果混管血样呈阴性，则110X =；如果混管血样呈阳性，则11111010X =+=，∴X 的所有可能取值为110，1110，1010.950.59910P X ⎛⎫==≈ ⎪⎝⎭，101110.950.40110P X ⎛⎫==-≈ ⎪⎝⎭，∴X 的分布列为X1101110P 0.5990.401()1110.5990.4010.5011010E X =⨯+⨯=；【小问2详解】如果混管血样呈阴性，则1X k =；如果混管血样呈阳性，则11X k =+，∴X 的所有可能取值为1k ，11k +，10.95k P X k ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1110.95k P X k ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，∴X 的分布列为X1k 11k +P 0.95k 10.95k-()()1110.95110.9510.95k k k E X k k k ⎛⎫=⨯++⨯-=+- ⎪⎝⎭，当4k =时，()4110.950.4354E X =+-≈，当5k =时，()5110.950.4265E X =+-≈， 0.4260.435<，∴当5k =时化验总次数更少.17.某校为激发学生对冰雪运动的兴趣，丰富学生体育课活动项目，设计在操场的一块扇形区域内浇筑矩形冰场.如图，矩形内接于扇形，且矩形一边AB 落在扇形半径OP 上，该扇形半径50OP =米，圆心角π3POQ ∠=．矩形的一个顶点C 在扇形弧上运动，记POC α∠=.（1）当π4α=时，求OCD 的面积；（2）求当角α取何值时，矩形冰场面积最大？并求出这个最大面积．【答案】（1）(62533-（2）当π6α=时，矩形ABCD 的面积最大为【解析】【分析】（1）先在Rt OBC △中求出BC ，再在Rt OAD △中求出OD ，根据差角的正弦公式求出sin DOC ∠，利用面积公式求解即可.（2）在Rt OBC △中用α表示BC 和OB ，在Rt ADO △中求出OA ，则AB OB OA =-，将矩形的面积写成关于α的三角函数的形式，转化为三角函数求最值即可求解.【小问1详解】在Rt OBC △中，50OC =，π4BOC POC ∠=∠=，∴250sin 2BO BC OC C ⨯⋅∠===，∴AD =，在Rt OAD △中，sin AD DOA OD ∠=，即32522OD =，解得5063OD =， πππ3412DOC DOP POC ∠=∠-∠=-=，∴πππππππ62sin sin sin sin cos cos sin 123434344DOC -⎛⎫∠==-=-= ⎪⎝⎭，∴(62531150662sin 5022343OCD S OD OC DOC =⋅⋅⋅∠=⨯ ；【小问2详解】在Rt OBC △中，50sin BC α=，50cos OB α=，在Rt ADO △中，tan 3AD OA π==，所以OA AD α===，所以50cosAB OB OA αα=-=-，设矩形ABCD 的面积为S ，则S AB BC=⋅50cos 50sinααα⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭22500sin cosααα⎛⎫=- ⎪⎝⎭132500sin 2226αα⎛=+- ⎝⎭3π25003n(2)366α=+-⎥⎣⎦，由π03α<<，得ππ5π2666α<+<，所以当ππ262α+=，即π6α=时，max 33125032500363S ⎛=-= ⎝⎭，因此，当π6α=时，矩形ABCD 的面积，最大面积为125033.18.如图，圆I 的半径为4，圆心()1,0I -，G 是圆I 上任意一点，定点()1,0K ，线段GK 的垂直平分线和半径IG 相交于点H ，当点G 在圆上运动时，动点H 运动轨迹为Γ．（1）求点H 的轨迹Γ的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与轨迹Γ有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ，试探究：在x 轴上是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）22143x y Γ+=：（2）存在，且()1,0M 【解析】【分析】（1）借助垂直平分线的性质、圆的半径与椭圆定义即可得；（2）联立曲线，消去y ，借助Δ0=可得k 与m 的关系，借助k 与m 可表示点Q 坐标，结合圆上的点的性质可得0MP MQ ⋅= ，代入数据计算即可得.【小问1详解】连接HK ，由题意可得HG HK =，又4IG HI GH =+=，故4HI HK +=，即点H 到定点()1,0I -、()1,0K 的距离之和为4，即点H 的轨迹为以()1,0I -、()1,0K 为焦点，4为长轴长的椭圆，即有2a =，1c =，则b ==22143x y Γ+=：；【小问2详解】由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理，得()2224384120k x kmx m +++-=，因为直线l ：y kx m =+与椭圆Γ有且只有一个公共点P ，所以()()()222Δ84434120km k m =-+-=，即22430k m -+=，所以0m ≠，此时24443P km k x k m =-=-+，22443P k k m y k m m m m -+⎛⎫=-+== ⎪⎝⎭，所以43,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由4y kx m x =+⎧⎨=⎩，得()4,4Q k m +，假设存在定点()00,M x y ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ，则0MP MQ ⋅= ，又0043,k MP x y m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()004,4MQ x k m y =-+- ，所以()()000043440k MP MQ x x y k m y m m ⎛⎫⎛⎫⋅=---+-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得()22000004314430k x m k y x y x m m ⎛⎫⋅-+---++-+= ⎪⎝⎭，所以0022000100430x y x y x -=⎧⎪=⎨⎪+-+=⎩，解得0010x y =⎧⎨=⎩，故存在定点()1,0M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M .【点睛】方法点睛：求解直线或曲线过定点问题的方法指导：（1）把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．（2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式00()y y k x x -=-，则直线必过定点00(,)x y ；若得到了直线方程的斜截式y kx m =+，则直线必过定点(0,)m ．19.南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第1n +层球数是第n 层球数与1n +的和，设各层球数构成一个数列{}n a ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：当0x >时，()ln 11xx x+>+（3）若数列{}n b 满足2ln(2)2ln n n n b a n=-，对于*n ∈N ，证明：11232n n b b b b n +++++<⨯ ．【答案】（1）()12n n n a +=（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得1n n a a n --=()2n ≥，利用累加法计算可得；（2）设()()ln 11x f x x x=+-+()0,x ∈+∞，利用导数说明函数的单调性，即可得证；（3）由（2）令1x n =()*n ∈N 即可得到11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，从而得到()12n n b n <+⨯，再利用错位相减法计算可得.【小问1详解】根据题意，12341,3,6,10,a a a a ==== ，则有213212,3,,n n a a a a a a n --=-=-= ，当2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ()()()112212n n n n n +=+-+-+++=，又11a =也满足，所以()12n n n a +=.【小问2详解】设()()ln 11x f x x x=+-+，()0,x ∈+∞，则()()()22110111x f x x x x =-=>+++'，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，则()()00f x f >=，即()ln 101x x x+->+，即当0x >时，()ln 11x x x +>+.【小问3详解】由（2）可知当0x >时，()ln 11x x x +>+，令1x n =()*n ∈N ，则11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，所以()()()222222121ln(2)2ln ln 1ln 1ln 1ln n n n n n n n b n a n n n n n n n n ====<+⨯-+-+⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎣⎦+ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，所以()31122322324212n n b n b b b +++⨯⨯+⨯+++<++⨯ ，令()12322324212nn T n =⨯+⨯++++⨯⨯L ，则()2341222324212n n T n +=⨯+⨯+⨯+++⨯L ，所以()12312222212n n n T n +-=+++++-+⨯ ()()11212212212n n n n n ++-=+-+⨯=-⨯-，所以12n n T n +=⨯，所以11232n n b b b b n +++++<⨯ .【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是结合（2）的结论，令1x n =()*n ∈N 得到11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭，从而得到()12n n b n <+⨯.。
【三模】数学高考试卷(附答案解析)
C. D.
6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于”松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 ， 分别为5，2，则输出的 等于（）
A 2B. 3C. 4D. 5
7.已知抛物线 的焦点为 ，过点 且倾斜角为 的直线与抛物线 的准线交于点 ，则线段 的长为
C.点 是函数 图象的一个对称中心
D.函数 在区间 上为增函数
10.已知圆 ： 与中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线 的一条渐近线相切，则双曲线 的离心率为（）
A. 或4B. 或2C. D.2
11.已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为 ，三视图如图所示，则其侧视图的面积为
A. B.2C.4D.6
由题意得 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
当双曲线的焦点在y轴上时， ，
则 ，
故选：B
11.已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为 ，三视图如图所示，则其侧视图的面积为
A. B.2C.4D.6
【答案】D
【解析】
【详解】分析：根据正三棱锥的性质可得球心在正三棱锥的高上，由正棱锥的性质可得顶点在底面的射影是正三角形的中心，列方程可解得棱锥的高，从而可得结果.
14.若实数 、 满足约束条件 ，则 的最小值是_______．
15.《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：今有良马与驽马发长安，至齐.齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里;驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马.问几何日相逢?其大意是：现有良马和劣马同时从长安出发去齐地，已知齐地离长安有3000里远，良马第一天可行193里，之后每天比前一天多行13里;劣马第一天可行97里，以后每天比前一天少行半里路.良马先到达齐地后，马上返回去迎接劣马，问：________天后两马可以相遇?(结果填写整数值)
2023-2024学年安徽省高考数学仿真模拟试题卷(三模)含解析
2023-2024学年安徽省高考数学仿真模拟试题卷（三模）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数0z ≠，则“1z =”是“1R z z +∈”的（）条件.A.充分不必要B.必要不充分C 充要 D.既不充分也不必要【正确答案】A【分析】当1z ==时，即221a b +=，12R z a z+=∈，充分性；取2z =，则15R 2z z +=∈，2z =，不必要，得到答案.【详解】设i z a b =+，,R a b ∈，当1z ==时，即221a b +=，2211i i i 2R i a b z a b a b a z a b a b-+=++=++=∈++，充分性；取2z =，则15R 2z z +=∈，2z =，不必要性.综上所述：“1z =”是“1R z z +∈”的充分不必要条件.故选：A2.若函数sin cos y a x b x =+（其中,a b R ∈，且,0a b >）可化为)y x ϕ=-，则ϕ应满足条件（）A.tan ba ϕ=B.cos ϕ=C.tan a bϕ=D.sin ϕ=【正确答案】C【分析】先逆用两角和的正弦公式进行化简，再结合诱导公式，得到22k πϕθπ-=+，进而求得tan a bϕ=.【详解】sin cos y a x b x=+x x ⎫=+⎪⎭)x θ=+，其中tan baθ=，函数sin cos y a x b x =+（其中,a b R ∈，且,0a b >）可化为)y x ϕ=-，∴()sin()cos x x θϕ+=-，即sin()sin 2x x πθϕ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，∴22k πϕθπ-=+()k Z ∈，∴()tan tan 22k πϕθπ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，即cot tan ϕθ=，∴1tan tan a b ϕθ==，故选：C.本题考查了两角和的正弦公式以及诱导公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，需熟记公式，属于基础题.3.某种品牌手机的电池使用寿命X （单位：年）服从正态分布()()24,0N σσ>，且使用寿命不少于2年的概率为0.9，则该品牌手机电池至少使用6年的概率为（）A.0.9B.0.7C.0.3D.0.1【正确答案】D【分析】根据正态分布的对称性求解即可.【详解】由题得：()20.9P x ≥=，故()20.1P x <=，因为6242+=，所以根据对称性得.()()620.1P x P x ≥=<=故选：D.4.中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意为粮食满园、称心如意、十全十美．下图为一种婚庆升斗的规格，把该升斗看作一个正四棱台，忽略其壁厚，则该升斗的容积约为（）39.6,1L 1000cm ≈=，参考公式：(13V S S h 下上棱台=++⋅）A.1.5LB.2.4LC.5.0LD.7.1L【正确答案】B【分析】由勾股定理算出高h ，即可由公式求体积.【详解】由题意，正四棱台中，设棱台的高为h ，则22222202112239236711.591.752224h 骣骣琪琪琪=-=-==琪琪琪桫桫桫，故(223120112371.2cm 2.4L 3V 棱台=⨯+≈≈.故选：B5.已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A ，B 如图所示.其中()()()()12,6,4,8,n n A n B n A B Ω===⋃=则事件A 与事件B （）A.是互斥事件，不是独立事件B.不是互斥事件，是独立事件C.既是互斥事件，也是独立事件D.既不是互斥事件，也不是独立事件【正确答案】B【分析】由()4n A B = 可判断事件是否为互斥事件，由()()()P AB P A P B =可判断事件是否为独立事件.【详解】因为()12,()6,()4,()8n n A n B n A B Ω==== ，所以()2n A B = ，()4n A B = ，()8n B =，所以事件A 与事件B 不是互斥事件，所以()41123P AB ==，()()68112123P A P B =⨯=，所以()()()P AB P A P B =，所以事件A 与事件B 是独立事件.故选：B.6.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =--，且函数()1f x +是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()21f x x =-，则20235f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.925B.1625C.3425D.4125【正确答案】C【分析】由函数(1)f x +是偶函数，可得函数()f x 的图像关于直线1x =对称，从而有()(2)f x f x -=+，再结合()2()f x f x =--可得函数()f x 的周期为4，然后利用周期和()2()f x f x =--将20235化到[]1,0-上即可求解.【详解】因为函数(1)f x +是偶函数，所以(1)(1)f x f x -=+，所以()(2)f x f x -=+，因为()2()f x f x =--，所以()(2)2f x f x ++=，所以(2)(4)2f x f x +++=，所以()(4)f x f x =+，所以函数()f x 的周期为4，所以33()(101204)()53525f f f =⨯+=，因为233334()2(21()55525f f ⎡⎤=--=---=⎢⎥⎣⎦，所以202334525f ⎛⎫=⎪⎝⎭.故选：C.7.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的两条弦AB CD ，相交于点P （点P 在第一象限），且AB x ⊥轴，CD y ⊥轴.若:::1:3:1:5PA PB PC PD =，则椭圆E 的离心率为（）A.5B.105C.5D.5【正确答案】B【分析】设(),,P m n PA t =，进而得,,,A B C D 的坐标，进而根据对称性得()()3,,2,2A t t C t t ，再代入椭圆方程整理得2235b a =，最后求解离心率即可.【详解】解：设(),,P m n PA t =，则()(),,,3A m n t B m n t +-，()(),,5,C m t n D m t n +-，由题知,A B 关于x 轴对称，,C D 关于y 轴对称，所以30n t n t ++-=，50m t m t ++-=，即n t =，2m t =，所以()()3,,2,2C t t A t t ，所以2222222291441t t a b t t a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即22229144a b a b +=+，所以2253a b=，即2235b a =，所以椭圆E的离心率为5e ===.故选：B8.已知0a b >>，1ab =，设2ab x =，2log ()y a b =+，1z a b=+，则log 2x x ，log 2y y ，log 2z z 的大小关系为（）A.log 2log 2log 2x y z x y z >>B.log 2log 2log 2y z x y z x >>C.log 2log 2log 2x z y x z y >>D.log 2log 2log 2y x z y x z>>【正确答案】B【分析】由已知0a b >>，1ab =，可得1=a b，且a ＞1＞b ＞0，不难判断x ，y ，z 的大小关系01x y z <<<<，再根据对数运算法则及对数函数性质可得大小关系.【详解】∵a ＞b ＞0，1ab =，∴可得1=a b ，且a ＞1＞b ＞0，∴11222a ab x a ==<⋅，222log ()log log 21y a b =+>==，122z a a a a b=+=+=>，又()()22log (1)z y a a b f a a -=-+=＞，()120f a a b'=-+＞，()f a 单调递增，()()212log (1)0f a f b =-+>＞，∴z y -＞0，∴01x y z <<<<，∵log 2=log 21x x x +，log 2log 21y y y =+，log 2=log 2+1z z z ，根据对数函数性质可得log 2log 2log 2x z y <<，∴log 2log 2log 2y z x y z x >>．故选B ．本题考查对数函数的性质及运算定律，涉及基本不等式和不等式性质的应用，属于综合题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在9x⎛+ ⎝的展开式中，下列结论正确的是（）A.第6项和第7项的二项式系数相等B.奇数项的二项式系数和为256C.常数项为84D.有理项有2项【正确答案】BC【分析】根据二项式展开式的特征，即可结合选项逐一求解.【详解】9x⎛⎝的展开式中共有10项，由二项式系数的性质可得展开式中的第5项和第6项的二项式系数相等，故A 错误；由已知可得二项式系数之和为92，且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，所以奇数项的二项式系数和为82256=，故B 正确；展开式的通项为139922199C C ,09,N rr r r rr T x x x r r ---+⎛⎫==≤≤∈ ⎪⎝⎭，令3902r -=，解得6r =．故常数项为6399C C 84==，故C 正确；有理项中x 的指数为整数，故0r =，2，4，6，8，故有理项有5项，故D 错误．故选：BC10.下列说法正确的是（）A.若直线a 不平行于平面α，a α⊄，则α内不存在与a 平行的直线B.若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则αβ∥C.设l ，m ，n 为直线，m ，n 在平面α内，则“lα⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的充要条件D.若平面α⊥平面1α，平面β⊥平面1β，则平面α与平面β所成的二面角和平面1α与平面1β所成的二面角相等或互补【正确答案】AB【分析】对于选项ABC ，可根据线面平行的判定定理，面面平行的判定定理和线面垂直的判定定理进行判定；对于选项D ，可在长方体中寻找特殊平面进行排除.【详解】选项A ，若存在直线，则由直线和平面平行的判定定理知直线a 与平面α平行，与条件相矛盾，故选项A 正确；选项B ，由面面平行的判定定理可知选项B 正确；选项C ，当直线,m n 不相交时，由线面垂直的判定定理知：l m ⊥且l n ⊥时，得不到l α⊥，故选项C 错误；选项D ，当11//αβ，αβ⊥时，可满足题设条件，此时平面α与平面β所成的二面角为90︒,平面1α与平面1β所成的二面角为0︒，故选项D 错误.故选：AB11.定义在R 上的函数()()π2sin N 3f x x ωω*⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭满足在区间ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法不正确．．．的是（）A.()f x 的最小正周期为π2B.将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后关于原点对称C.()f x 图象的一个对称中心为π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()f x 在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增【正确答案】ABC【分析】根据题意可求出ω的值，从而可得到()f x 的解析式，再根据解析式逐项分析即可．【详解】依题可知π23T T <<，于是36ω<<，于是πππ0263ππ3ππ632ωω⎧-≤-+<⎪⎪⎨⎪<+≤⎪⎩，∴45ω<≤，又N ω*∈，∴5ω=，∴()π2sin 53f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，由2π2π==5T ω，则()f x 的最小正周期为25π，故A 错误；对于B ，因为ππ4π4π2π2sin 52sin 52sin 52π2sin 533333x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以将()f x 的图象向右平移π3个单位长度后得()2π2sin 53g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()2π02sin 3g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()g x 不关于原点对称，故B 错误；对于C ，由π7π2sin 166f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭不是()f x 图象的一个对称中心，故C 错误；对于D ，由π,06x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则πππ5,323x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故D 正确．故选：ABC ．12.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)M -，(2,0)N ，动点P 满足||||5PM PN ⋅=，则下列结论正确的是（）A.点P 的横坐标的取值范围是⎡⎣B.OP 的取值范围是[]1,3C.PMN 面积的最大值为52D.PM PN +的取值范围是⎡⎤⎣⎦【正确答案】BC【分析】设出点P 的坐标，列出方程并化简整理，放缩解不等式判断A ；利用几何意义并结合求函数值域判断B ；利用三角形面积公式计算判断C ；取点计算判断D 作答.【详解】设点(,)P x y ，依题意，2222[(2)][(2)]25x y x y ++-+=，对于A ，2222222225[(2)][(2)](2)(2)(4)x y x y x x x =++-+≥+-=-，当且仅当0y =时取等号，解不等式22(4)25x -≤得：33x -≤≤，即点P 的横坐标的取值范围是[3,3]-，A 错误；对于B ，2222[(4)4][(4)4]25x y x x y x +++++-=，则224x y ++=显然209x ≤≤，因此||[1,3]OP ==，B 正确；对于C ，PMN 的面积115||||sin ||||222S PM PN MPN PM PN =∠≤=，当且仅当90MPN ∠= 时取等号，当90MPN ∠= 时，点P 在以线段MN 为直径的圆224x y +=上，由222244x y x y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩解得39454x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩，所以PMN 面积的最大值为52，C 正确；对于D ，因为点(3,0)在动点P 的轨迹上，当点P 为此点时，516PM PN +=+=，D 错误.故选：BC易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()()()()1,2,3,4,2,2,3,5A B C D --，则AB 在CD上的投影为______.【正确答案】2105【分析】先求AB ，CD，再求AB ，CD ，AB CD ⋅ ，利用向量夹角余弦公式求夹角，再由投影向量的模长公式求解.【详解】因为()()()()1,2,3,4,2,2,3,5A B C D --，所以()2,2AB =，()1,3CD =- ，所以AB ==，CD == ，264AB CD ⋅=-+= ，设向量AB 与CD 的夹角为θ，5cos 5|||AB CD AB CD θ⋅===，那么AB 在CD上的投影为5210cos 55AB θ==|故答案为.514.已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为20π的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为__________．【正确答案】10π【分析】先求出半径，根据条件列出圆柱底面半径和母线的关系，即可得到侧面积表达式，然后用基本不等式即可求解最大值.【详解】解：设球的半径为R ，圆柱的底面半径为r ，母线为l ，由题意可知，24π20πR R =⇒=，又圆柱的两个底面的圆周都在球面上，则满足22252l r R ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，而圆柱的侧面积2πS rl =，0l >，因为22222l l r r lr ⎛⎫+≥⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当2l r =，即102r =，l =时等号成立，所以5lr ≤，2π10πS rl =≤，故10π15.已知实数a b c d ,,,成等比数列，且函数()ln 2y x x =+-，当x b =时取到极大值c ，则ad 等于______.【正确答案】1-【分析】通过导函数，求出极值，再利用等比数列的性质，即可求解.【详解】令()()ln 2f x x x =+-，则函数()()ln 2f x x x =+-的定义域为()2,-+∞，导函数11()122x f x x x --'=-=++，当()2,1x ∈--时，()0f x '>，函数()f x 在()2,1--上单调递增，当()1,x ∈-+∞时，()0f x '<，函数()f x 在()1,-+∞上单调递减，所以当=1x -时，函数()ln 2y x x =+-取极大值，极大值为1，所以1,1b c =-=，故bc 1=-，又a b c d ,,,成等比数列，所以1ad bc ==-，故答案为.1-16.如图为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻（上、下相邻或左、右相邻）的开关改变状态.若从这十六个开关中随机选两个不同的开关先后各按1次（例如：先按()1,1，再按()4,4），则()2,3和()4,1的最终状态都未发生改变的概率为______.()1,1()1,2()1,3()1,4()2,1()2,2()2,3()2,4()3,1()3,2()3,3()3,4()4,1()4,2()4,3()4,4【正确答案】41120【分析】根据开关阵列的性质，结合古典概型的概率公式进行求解即可.【详解】要使得()2,3的状态发生改变，则需要按()1,3，()2,2，()2,3，()2,4，()3,3这五个开关中的一个，要使得()4,1的状态发生改变，则需要按()3,1，()4,1，()4,2这三个开关中的一个，所以要使得()2,3和()4,1的最终状态都未发生改变，则需按其他八个开关中的两个或()1,3，()2,2，()2,3，()2,4，()3,3中的两个或()3,1，()4,1，()4,2中的两个，故所求概率为222853216A A A 41A 120++=.故41120关键点睛：根据开关阵列的判断出：要使得()2,3和()4,1的最终状态都未发生改变，则需按其他八个开关中的两个或()1,3，()2,2，()2,3，()2,4，()3,3中的两个或()3,1，()4,1，()4,2中的两个，是解题的关键.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知{}n a 为等差数列，且11a =，()6423a a a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：()*12na nb n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，{}n b 的前n 项和为n S ，求127128n S ≤成立的n 的最大值.【正确答案】（1）n a n =（2）7【分析】（1）代入公式求出公差即可求通项公式；（2）代入等比数列的前n 项和公式即可.【小问1详解】设数列{}n a 的公差为：d ，()6423a a a =-，11a =∴()111533a d a d a d +=+--，∴1d =.∴()1111n a a n d n n =+-=+-=，即n a n =.【小问2详解】()*12na nb n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，nan =，∴12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴数列{}n b 为等比数列，所以11112211212n n nS ⎛⎫- ⎪⎝⎭==--由127128nS ≤，即112712128n -≤，化简得：111282n ≤，解得17n ≤≤，()*n ∈N ，所以，要使127128nS ≤成立的n 的最大值为：7.18.已知函数()()sin 0,π2,0f x M x M ϕωϕω⎛⎫>>⎭<⎪⎝＝＋）的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若()2cos cos a c B b C -=，求2f A ⎛⎫ ⎪⎝⎭的取值范围.【正确答案】（1）()π26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）1,12⎛⎤⎥⎝⎦.【分析】（1）利用最大值和最小值，求出M ，通过函数的周期求出ω，由经过π,16⎛⎫⎪⎝⎭，求出φ，即可求出()f x 的解析式；（2）利用()2cos cos a c B b C －＝，结合正弦定理，求出cos B ，利用函数的解析式2f A ⎛⎫ ⎪⎝⎭的表达式，通过A 的范围求出函数的取值范围.【小问1详解】由图象知函数()f x 的最大值为1，最小值为1-，所以1M =由图象知函数()f x 的周期5ππ4π126T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以ω2=，将点π,16⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式得πsin φ13⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为πφ2<，所以πφ6=，所以()π26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由()2cos cos a c B b C -=得：()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，所以()2sin cos sin A B B C =+，2sin cos sin A B A =，因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =，π3B =，2π3A C +=，由（1）πsin 26A f A ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2π03A <<，ππ5π666A <+<，所以π1sin 62A ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以1,122A f ⎛⎫⎛⎤∈⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.所以2f A ⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围为1,12⎛⎤⎥⎝⎦.19.如图，已知多面体EABCDF 的底面ABCD 是边长为2的正方形，EA ⊥底面ABCD ，//FD EA ，且112FD EA ==.（1）记线段BC 的中点为K ，在平面ABCD 内过点K 作一条直线与平面ECF 平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明；（2）求直线EB 与平面ECF 所成角的正弦值.【正确答案】（1）答案见解析（2）6【分析】（1）根据线面平行性质定理，可得所作直线必平行面ABCD 与面ECF 的交线，因此先作两平面交线，再在平面ABCD 内作交线的平行线.（2）建立空间直角坐标系，求直线EB 的方向向量和平面ECF 的法向量，利用向量夹角公式求直线EB 与平面ECF 所成角的正弦值.【小问1详解】延长,AD EF ，设其交点为N ，连接CN ，则CN 为平面ABCD 与平面ECF 的交线，取线段CD 的中点M ，连接KM ，直线KM 即为所求．证明如下：延长,AD EF ，设其交点为N ，连接CN ，则CN 为平面ABCD 与平面ECF 的交线，因为//FD EA ，所以FDA EAN ∽，又12FD EA =，所以12ND NA =，所以ND DA BC ==，又//ND BC ，所以四边形BCND 为平行四边形，所以//CN BD ，取CD 的中点M ，连接KM ，∵,K M 分别为,BC CD 的中点，∴//KM BD ，∴//KM CN ．∵CN ⊂平面EFC ，KM ⊄平面EFC ，∴//KM 平面EFC．【小问2详解】以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图.由已知可得()()()()()0,0,0,0,0,2,2,0,0,2,2,0,0,2,1A E B C F ，所以()()()2,2,2,2,0,2,0,2,1EC EB EF =-=-=-，设平面ECF 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0.n EC n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得020x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取1y =得，1,2x z ==，平面ECF 的一个法向量(1,1,2)n =.设直线EB 与平面ECF 所成的角为θ，则3sin cos ,6E EB n E B B n nθ⋅====⋅.所以直线EB 与平面ECF所成角的正弦值为6.20.放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数i x 与该机场飞往A 地航班放行准点率i y （1210i =L ，，，）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过初步处理后得到的一些统计量的值.xyt1021ii x=∑101iii x y=∑1021ii t=∑101iii t y=∑2017.580.4 1.5.0.227.71226.8其中()ln 2012i i t x =-，101110i i t t ==∑（1）根据散点图判断，y bx a =+与()ln 2012y c x d =-+哪一个适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，由此预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率.（2）已知2023年该机场飞往A 地､B 地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作为2023年该机场飞往A 地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B 地及其他地区（不包含A 、B 两地）航班放行准点率的估计值分别为80%和75%，试解决以下问题：（i ）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；（ii ）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由.附：（1）对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()112211ˆnni ii i i i n ni ii i u u vv u vnu v u u unu β====---⋅==--∑∑∑∑，ˆˆv u αβ=-参考数据：ln10 2.30≈，ln11 2.40≈，ln12 2.48≈.【正确答案】（1）()ln 2012y c x d =-+适宜，预测2023年该机场飞往A 地的航班放行准点率84%（2）（i ）0.778；（ii ）可判断该航班飞往其他地区的可能性最大，理由见解析【分析】（1）根据线性回归方程的计算公式，选择合适的模型计算即可；（2）利用全概率公式和条件概率公式，即可根据概率判断可能性最大的情况.【小问1详解】由散点图判断()ln 2012y c x d =-+适宜作为该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于年份数x 的经验回归方程类型.令()ln 2012t x =-，先建立y 关于t 的线性回归方程.由于101102212101226.8101.580.4ˆ427.7101.510i iii i t y t yctt =--=--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ804415744...dy ct =-=-⨯=，该机场飞往A 地航班放行准点率y 关于t 的线性回归方程为ˆ4744.yt =+，因此y 关于年份数x 的回归方程为()ˆ4ln 201274.4yx =-+所以当2023x =时，该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为()ˆ4ln 202320127444ln11744424074484....y=-+=+≈⨯+=.所以2023年该机场飞往A 地航班放行准点率y 的预报值为84%.【小问2详解】设1A =“该航班飞往A 地”，2A =“该航班飞往B 地”，3A =“该航班飞往其他地区”，C =“该航班准点放行”，则()10.2P A =，()20.2P A =，()30.6P A =，()10.84P C A =，()20.8P C A =，()30.75P C A =.（i ）由全概率公式得，()()()()()()()112232P C P A P C A P A P C A P A P C A =++0.840.20.80.20.750.60.778=⨯+⨯+⨯=，所以该航班准点放行的概率为0.778.（ii ）()()()()()()11110.20.840.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，()()()()()()22220.20.80.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===，()()()()()()33330.60.750.778P A P C A P A C P A C P C ⨯===，因为0.60.750.20.840.20.8⨯>⨯>⨯，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.21.已知双曲线C ：()22221,0x y a b a b-=>，直线1l ：2y x =+线C 仅有一个公共点.（1）求双曲线C 的方程（2）设双曲线C 的左顶点为A ，直线2l 平行于1l ，且交双曲线C 于M ，N 两点，求证：AMN 的垂心在双曲线C 上.【正确答案】（1）2211616x y -=（2）证明见解析【分析】（1可得a b =，再联立直线与双曲线利用判别式可得C 的方程；（2）设2l 方程，及M N ，的坐标，由过A 引MN 的垂线交C 于另一点H ，可得点H 为2016,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.再证AN MH ⊥即可.【小问1详解】因为双曲线C 2222a b a+=，即22a b =，所以双曲线C 的方程为222x y a -=，联立直线1l 与双曲线C 的方程2222y x x y a⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得(2222x x a -+=，即))2216480a +++=，因为1l 与双曲线C 仅有一个公共点，所以()22164480a ∆=-+=，解得216a =,故双曲线C 的方程为2211616x y -=.【小问2详解】设(2:2l y x m m =+≠，()11,M x y ，()22,N x y 则M N 、满足222,16,y x m x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得2234160x mx m +++=，所以1243x x m +=-，212163m x x +=，如图所示，过A 引MN 的垂线交C 于另一点H ，则AH 的方程为122y x =--.代入2216x y -=得238800x x --=，即4x =-（舍去）或203x =.所以点H 为2016,33⎛⎫-⎪⎝⎭.所以()()()()()()21122122116322162320320443AN MHy y x m x m x m k k x x x x ⎛⎫+ ⎪++++⎝⎭==-+⎛⎫+- ⎪⎝⎭()()()2222212122212122241683163212632316312328016163280m m m m x x x m x x x m m x x x x x m m x +-++++++++==++--+---，22221632611632644m m x m m x -++==----+所以MH AN ⊥，故H 为AMN 的垂心，得证.关键点睛：本题考察直线与圆锥曲线的位置关系，属于压轴题.先求AMN 一条垂线与双曲线的交点H ，再证另两条过交点H 的直线互相垂直，由此得证，其中化简斜率关系是关键，用到了转化及整体消元的思想.22.已知()21ln 22f x a x x x =+-（R a ∈且0a ≠），()cos sin g x x x x =+．（1）求()g x 在[],ππ-上的最小值；（2）如果对任意的[]1,x ππ∈-，存在21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()212f x ag x x -≤成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】（1）-1（2）()1,00,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）对()g x 求导，因为()g x 为偶函数，求出()g x 在()0,x π∈的单调性，即可求出[],ππ-上的最小值；（2）由（1）知，()g x 在[],ππ-上的最小值为1-，所以21,x e e⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()221f x a x --≤成立，即()222221ln 2a x x x x --≥成立，即2222212ln x x a x x --≥，设()212ln x xx x xϕ-=-，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即只需()min a x ϕ≥即可．【小问1详解】()sin sin cos cos g x x x x x x x '=-++=，显然()g x 为偶函数，当0x >时，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x x >，()0g x '>，∴()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增；,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x x <，()0g x '<，∴()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；()01g =，22g ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1g π=-，∴()g x 在()0,π上的最小值为1-．由偶函数图象的对称性可知()g x 在(),ππ-上的最小值为1-．【小问2详解】先证ln 1≤-x x ，设()ln 1h x x x =-+，则()111x h x x x-'=-=，令()001h x x '>⇒<<，令()01h x x '⇒，∴()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．()()10h x h ≤=故ln 1≤-x x ①恒成立．由题意可得21,x e e ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()221f x a x --≤成立，即()222221ln 2a x x x x --≥成立．由①可知22ln 10x x ->≥，参变分离得2222212ln x x a x x --≥，设()212ln x x x x xϕ-=-，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即只需()min a x ϕ≥即可．()()()()()()2221111ln 1ln 122'ln ln x x x x x x x x x x x x x x x ϕ-⎛⎫⎛⎫----⋅--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==--由①知ln 1≤-x x 得ln 1x x -≥-，∴1114ln 111202222xx x x x x --++-+=-=>≥令()'01x x e ϕ>⇒<<，令()1'01x x eϕ<⇒<<，∴()x ϕ在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,e 上单调递增．∴()()min 112x ϕϕ==-，∴12a ≥-，又已知0a ≠故a 的取值范围为()1,00,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．。
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五个类别： A 、 0 2000 步，（说明：“ 0 2000 ”表示大于或等于 0，小于 2000，以 下同理）， B 、 2000 5000 步， C 、 5000 8000 步， D 、 8000 10000 步， E 、 10000 12000 步，且 A 、 B 、 C 三种类别的人数比例为1: 4 : 3 ，将统计结果绘制如图所
，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
9．已知双曲线 C： x2 a2
y2 b2
1
(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为 y
5 x ，且与椭圆 2
x2 y2 1有公共焦点，则 C 的方程为（ ） 12 3
A． x2 y2 1 8 10
B． x2 y2 1 45
AQ 1 AC R ，若 BQ CP 3 ，则 （ ）
2
A． 1 2
B． 1 2 2
C． 1 10 2
D． 3 2 2 2
12．设集合 M x log2 x 1 0，集合 N x x 2，则 M N （ ）
A．x 2 x 2 B．x x 2
C．x x 2
D．x 1 x 2
A．2
B．3
C．5
D．7
4．设 0 p 1 ，随机变量 的分布列如图，则当 p 在 0,1 内增大时，（ ）
0
1
2
1 p
1
p
P
2
2
2
A． D 减小
B． D 增大
C． D 先减小后增大
D． D 先增大后减小
5．设集合U {1,2,3,4,5,6}， A {1, 2, 4} ， B {2,3,4}，则 CU A B 等于（ ）
三、解答题
21．如图，在四棱锥 P−ABCD 中，AB//CD，且 BAP CDP 90 .
（1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD；
（2）若 PA=PD=AB=DC， APD 90 ，求二面角 A−PB−C 的余弦值. 22．“微信运动”是手机 APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生 M 的微信好友
取 6 人进行身体状况调查，然后再从这 6 位微信好友中随机抽取 2 人进行采访，求其中至 少有一位女性微信好友被采访的概率． 23．△ABC 在内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知 a=bcosC+csinB． （Ⅰ）求 B； （Ⅱ）若 b=2，求△ABC 面积的最大值.
x 2t
24．在平面直角坐标系
C． x2 y2 1 54
D． x2 y2 1 43
10．已知非零向量
AB
与
AC
满足
AB AB
AC AC
BC 0 且
AB AB
AC AC
1 2
，则
ABC
的形状是（ ）
A．三边均不相等的三角形 C．等边三角形
B．等腰直角三角形 D．以上均有可能
11．已知 ABC 为等边三角形， AB 2 ，设 P ， Q 满足 AP AB ，
动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，① A 不在散 步，也不在打篮球；② B 不在跳舞，也不在散步；③“ C 在散步”是“ A 在跳舞”的充分 条件；④ D 不在打篮球，也不在散步；⑤ C 不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命 题，那么 D 在_________. 20．已知四棱锥 S ABCD 的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球 O 的球面 上，则球 O 的表面积等于_________.
3cosx
3 4
（
x
0,Байду номын сангаас
2
）的最大值是__________．
15．若函数 f (x) 1 x3 1 x2 2ax 32
在
2 3
,
上存在单调增区间，则实数
a
的取值
范围是_______.
16． ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b 2 ， c 3， C 2B ，则
xOy
中，直线
l
的参数方程为
y
1
at
（
二、填空题
13．有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了
乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙
的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的
数字是________．
14．函数 f x sin2x
【典型题】数学高考模拟试题(带答案)
一、选择题
1．已知长方体的长、宽、高分别是 3，4，5，且它的 8 个顶点都在同一球面上，则这个球
的表面积是（ ）
A． 25
B． 50
C．125
D．都不对
2．
f
x
ex ex x2 x 2
的部分图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
3．设集合 M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则 M N 中元素的个数为( )
ABC 的面积为______．
17．已知复数 z=1+2i（i 是虚数单位），则|z|= _________ ．
18．如图，长方体 ABCD A1B1C1D1 的体积是 120，E 为 CC1 的中点，则三棱锥 E-BCD 的
体积是_____.
19．高三某班一学习小组的 A, B, C, D 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活
A． {5, 6}
B．{3,5, 6}
C．{1, 3, 5, 6}
D．{1, 2,3, 4}
6．已知 a 与 b 均为单位向量，它们的夹角为 60 ，那么 a 3b 等于（ ）
A． 7
B． 10
C． 13
7．函数 f (x) x ln x 的大致图像为 （ ）
D．4
A．
B．
C．
D．
8．已知复数
示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）若以大学生 M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动” 的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生 M 的参与“微信运动”的 400 位 微信好友中，每天走路步数在 2000 8000 的人数； （Ⅱ）若在大学生 M 该天抽取的步数在 8000 10000 的微信好友中，按男女比例分层抽