函数零点与方程的根练习题
函数与方程-高考真题复习-高考复习
设m(x)=-x3+3xx2+a1x-a,x∈(0,1),1a>0x,
则m(0)=-a<0,m(1)=2>0⇒m(0)·m(1)<0,
又m(x)的图象在(0,1)上连续不断,
∴m(x)在(0,1)上有零点,
则h(x)在(0,1)上有零点.
因此,对任意a>0,存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”.
2.(2014山东,8,5分)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是 ( )
A.
0,
1 2
B.
1 2
,1
C.(1,2)
D.(2,+∞)
答案 B f(x)=
x 3
1, x,
x如图2,,作出y=f(x)的图象,其中A(2,1),则kOA= x 2.
同时要满足
y
(x
2)在2 , x>2时有两个不同的解,即x2-5x+8-b=0有两个大于2的不同实根,令
y b2 x2
h(x)=x2-5x+8-b,需
h(2) 0,
即
h
5 2
0,
2 b 解 0得, <b<2.
8
25 4
b
0,
7 4
综上所述,满足条件的b的取值范围是 <b<2,故7选D.
4
y 2 x,
则
Δ1
Δ2Байду номын сангаас
a2 a2
4a 8a
∴04,<a<8. 0,
情况二:
则
(必修第一册)函数的零点与方程的解(同步练习)(含解析)
4.5.1函数的零点与方程的解一、单选题1．以下函数在区间（0，12）上必有零点的是（ ） A ．y ＝12xB ．y ＝143x -C ．y ＝ln （x +45）D ．y ＝2x +12．若曲线224,43,x x ay x x x a ⎧->=⎨-+≤⎩与x 轴有且只有2个交点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a ≤≤B ．3a ≥C ．12a ≤≤或3a ≥D ．12a ≤<或3a ≥3．函数lg ,010()16,102x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若f （a ）＝f （b ）＝f （c ）且a ，b ，c 互不相等，则abc 的取值范围是（ ）A ．（1，10）B ．（10，12）C ．（5，6）D ．（20，24）4．设f (x )＝0.8x －1，g (x )＝ln x ，则函数h (x )＝f (x )－g (x )存在的零点一定位于下列哪个区间（ ） A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，e )D ．(e ，3)5．定义在R 上的奇函数()f x 满足：当0x >时，()20212021log xf x x =+，则在R 上方程()0f x =的实根个数为（ ） A ．1B ．3C ．2D ．2021二、多选题 6．在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”，下列函数的图象中存在完美点的是（ ） A ．y =﹣2xB ．y =x ﹣6C ．y =3xD ．y =x 2﹣3x +47．已知函数2()log (1)(0)=-->f x x m m 的两个零点为12,x x 12()x x <，则（ ） A ．122x x << B ．12111x x += C ．124x x <D．1223+≥+x x 8．已知函数2ln ,0,()=4,0.x x f x x x x >⎧⎨--≤⎩关于x 的方程()0f x t -=的实数解个数，下列说法正确的是（ ）A ．当0t ≤时，方程有两个实数解B ．当4t >时，方程无实数解C ．当04t <<时，方程有三个实数解D ．当4t =时，方程有两个实数解 三、填空题9．若函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间1(,3)2上有零点，则实数a 的取值范围是________．10．已知函数()y f x =在区间[]16，上的图像是一段连续的曲线，且有如下的对应值表：设函数y f x =在区间16，上零点的个数为，则的最小值为________. 11．方程22x x +=的根为a ，方程2log 2x x +=的根为b ，则a b +=__________四、解答题12．已知函数()|1|||f x x x a =+-+.若方程()f x x =有三个不同的解，求实数a 的取值范围.13．已知函数1122()log (2)log f x x x =-+．（1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的零点．14．若函数()221,1log ,1x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩．（1）在所给的坐标系内画出函数()f x 图像；（2）求方程()f x m =恰有三个不同实根时的实数m 的取值范围．参考答案1．C 【分析】根据题意，依次分析选项中函数在区间（0，12）上有没有零点，综合即可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ：，y ＝12x 0，12）单调递增，且y ＞0恒成立，在区间（0，12）上没有零点，不符对于B ，y ＝143x -x 0，12）单调递增，且有y ＞0恒成立，在区间（0，12）上没有零点，不符合题意;对于C ，y ＝ln （x +45），当x ＝15时，y ＝ln1＝0，区间（0，12）上有零点，符合题意;对于D ，y ＝2x +1，在区间（0，12）单调递增，且y ＞0恒成立，在区间（0，12）上没有零点，不符合题意. 故选：C ． 2．D 【分析】作出函数24x y =-与243y x x =-+的图象，对参数分类讨论，得出结论.【详解】作出函数24x y =-与243y xx =-+的图象，令240x y =-=，即2x =，故()2,0B ，令2430y x x =-+=，即1x =或3x =，故1,0A 或()3,0C ,当1a <时，只有B 一个零点；当12a ≤<时，有A ,B 两个零点；当23a ≤<时， 有A 一个零点；当3a ≥时，有A,C 两个零点；综上，实数a 的取值范围是：12a ≤<或3a ≥， 故选：D.【分析】先画出分段函数的图象，根据图象确定字母a 、b 、c 的取值范围，再利用函数解析式证明ab ＝1，最后数形结合写出其取值范围即可 【详解】解：函数lg ,010()16,102x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩的图象如图：∵f （a ）＝f （b ）＝f （c ）且a ，b ，c 互不相等 ∵a ∵（0，1），b ∵（1，10），c ∵（10，12）∵由f （a ）＝f （b ）得|lg a |＝|lg b |，即﹣lg a ＝lg b ，即ab ＝1 ∵abc ＝c由函数图象得abc 的取值范围是（10，12） 故选：B ．4．A 【分析】通过等价转化，把函数的零点转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象交点的横坐标，然后画出函数的图象，通过图象即可判断出零点所在的区间. 【详解】函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点等价于方程f (x )－g (x )＝0的根，即为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象交点的横坐标， 画出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象，从图象可知它们仅有一个交点A ，且交点横坐标的范围为()0,1.故选：A.【分析】当0x >时，作出函数2021x y =，2021log y x =-的示意图，由图象交点个数得到方程根的个数，再根据奇函数图象的对称性以及(0)0f =，即可求出方程所有根的个数. 【详解】①当0x >时，令()0f x =，即20212021log xx =-，在同一坐标系中作出函数12021xy =，22021log y x =-的示意图，如下图：函数12021xy =为单调增函数，22021log y x =-为单调减函数，可知两个图象有且只有一个交点P ，横坐标记为0x . 即0x >时方程()0f x =有且只有一个实根0x ， ②因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以当0x <时，方程()0f x =也有一个实根0x -，③又∵()f x 是R 上的奇函数，(0)0f =，∵即0也是方程()0f x =的根， 综上所述，方程()0f x =有3个实根. 故选：B. 6．AC 【分析】横纵坐标相等的函数即y x =，与y x =有交点即存在完美点，依次计算即可. 【详解】横纵坐标相等的函数即y x =，与y x =有交点即存在完美点，对于A,2y x y x =⎧⎨=-⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，即存在完美点()0,0，对于B,6y x y x =⎧⎨=-⎩，无解，即不存在完美点，对于C,3y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，(对于D,234y x y x x =⎧⎨=-+⎩， 24x x x -+=,即2240x x -+=，解得2(2)44120∆=--⨯=-<，即不存在完美点， 故选：AC. 7．ABD 【分析】函数2()log (1)(0)=-->f x x m m 即为函数函数2log (1)y x =-，y m =，交点的横坐标，作出函数图像，根据图像，易判断A ；根据()12()0f x f x ==，化简整理即可判断B ； 结合基本不等式将和化为积的形式即可判断C ； 利用整体代换结合基本不等式即可判断D. 【详解】解：令2()log (1)0f x x m =--=，()1x >则2log (1)x m -=， 令2log (1)y x =-，y m =，则函数2()log (1)(0)=-->f x x m m 的两个零点为12,x x 12()x x <，即为函数2log (1)y x =-，y m =交点的横坐标，作图如下图所示：故1212x x <<<，故A 正确；根据题意得()12()0f x f x ==，即2122log (1)log (1)x x -=-， 因为1212x x <<<，所以2122log (1)0,log (1)0x x -<->， 故2122log (1)log (1)0x x -+-=，即212log (1)(1)0x x --=， 所以12(1)(1)1x x --=，即()12120x x x x -+=， 所以12111x x +=，故B 正确；因为12x x +≥，所以()121212x x x x x x -+≤-120x x -≥， 所以124x x ≥，当且仅当12x x =时取等号， 又因1212x x <<<，所以124x x >，故C 错误； ()21121212122112233x xx x x x x x x x ⎛⎫+++=+++ ≥⎪⎝⎭=当且仅当21122x x x x =，即21x 时，取等号，故D 正确. 故选：ABD. 8．CD 【分析】方程()0f x t -=即()f x t =，作出函数()f x 的简图，数形结合可得结果. 【详解】方程()0f x t -=即()f x t =，作出函数()f x 的简图，由图可知：当0t <时，函数()y f x =的图象与直线y t =有2个交点，即方程()0f x t -=有2个实数解；当0t =时，函数()y f x =的图象与直线y t =有3个交点，即方程()0f x t -=有3个实数解，故A 错误；当4t >时，函数()y f x =的图象与直线y t =有1个交点，即方程()0f x t -=有1个实数解，故B 错误； 当04t <<时，函数()y f x =的图象与直线y t =有3个交点，即方程()0f x t -=有3个实数解，故C 正确； 当4t =时，函数()y f x =的图象与直线y t =有2个交点，即方程()0f x t -=有2个实数解，故D 正确. 故选：CD.9．102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】通过参变分离，转化为1a x x =+在1(,3)2上有解，转化为求函数t ＝x ＋1x ，x ∵1(,3)2的值域. 【详解】由题意知方程ax ＝x 2＋1在1(,3)2上有解，即1a x x =+在1(,3)2上有解．设t ＝x ＋1x ，x ∵1(,3)2，则t 的取值范围是102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以实数a 的取值范围是102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.10．3 【分析】根据函数零点存在定理，判断函数值的符号，即可判断函数零点个数． 【详解】解：由题意，因为()()230f f <，()()450f f <，()()560f f <，所以根据函数零点存在性定理，在区间（2，3）和（4，5）及（5，6）内至少有一个零点，故函数()y f x =在区间[]16，上的零点至少有3个，即n 的最小值为3， 故答案为：3． 11．2 【分析】利用方程的根于函数图象的交点之间的关系，结合指数函数和对数函数互为反函数的关系，作出图象即可求解【详解】a 是方程22x x +=的根，就是2x y =和2y x =-图象交点的横坐标；b 是方程2log 2x x +=的根，就是2log y x =和2y x =-图象交点的横坐标；在同一坐标系中画出函数2x y =，2log y x =，2y x =-的图象，如图所示：由图可知，a 是2x y =和2y x =-图象交点A 的横坐标，b 是2log y x =和2y x =-图象交点B 的横坐标，因为2x y =与2log y x =互为反函数， 所以图象关于直线y x =对称， 故点A ，B 也关于直线y x =对称， 所以点A ，B 为(),A a b ，(),B b a ， 而点A ，B 又在2y x =-上， 所以2b a =-，2a b =-， 即2a b +=， 所以2a b +=， 故答案为：2 12．10a -<<． 【分析】用分离参数法变形方程为1a x x x =-++，引入函数()1g x x x x =-++，作出函数()g x 的图象，由图象与直线y a =有三个交点可得结论． 【详解】方程()f x x =可化为1a x x x =-++，设()1g x x x x =-++，则1,0()1,101,1x x g x x x x x -≥⎧⎪=---≤<⎨⎪+<-⎩，函数图象如下：由图象知()y g x =的图象与直线y a =有三个交点时，10a -<<． 13．（1）(0,2)；（2）1. 【分析】（1）根据真数大于0即可. （2）令()0f x =即可. 【详解】（1）由已知可得200x x ->⎧⎨>⎩，解得02,()x f x <<∴的定义域为(0,2)．（2）()()()212log 20,2f x x x x =-+∈，，由()0f x =得221x x -+=，即2210x x -+=，解得1x =， ()f x ∴的零点是1．14．(1)图象见解析；(2)01m <<. 【分析】(1)结合二次函数的图象与性质，对数函数的图象与性质利用描点法作函数的图象，(2)观察()f x 图象,根据()y f x =的图象与y m =的图象有三个交点确定m 的范围.【详解】 (1)作图如下：11(2)方程()f x m =有3个解等价于函数()y f x =的图象与y m =的图象有三个交点， 观察图象可得01m <<.。
新人教A版必修1 3.1.1 方程的根与函数的零点
)
解析：易知 f(x)在其定义域上为增函数． 3 ∵f(6)＝lg 6－ <0， 2 9 f(7)＝lg 7－ <0， 7 9 f(8)＝lg 8－ <0， 8 f(9)＝lg 9－1<0， 9 f(10)＝lg 10－ >0， 10 ∴f(9)· f(10)<0，∴零点在区间(9,10)内．
答案：D
＋1＝0 －2x＋1
Δ＝ 0
(1,0)
x2＝1
方程
对应 判别 方程 函数 式 的根
函数的图象
图象与x轴 交点坐标 无交点
x2－ f(x)＝
2x＋
x2－
Δ＝ 无实
3＝0 2x＋3 2x－4 f(x)＝
－8
数根
x＝ 2
(2,0)
＝0
2x－4
问题2：方程的根与对应函数的图象有何关系？ 提示：方程的根是使函数值等于零的自变量值， 也就是函数图象与x轴交点的横坐标．
函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 连续不断 的 f(b)<0 ，那么，函数y＝f(x)在区间 一条曲线，并且有 f(a)·
(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c 也就是方程f(x)＝0的根．
1．函数的零点是一个实数，当自变量取该值 时，其函数值等于零． 2．根据函数零点的定义可知，函数f(x)的零
[精解详析]
(1)∵f(x)＝－x2－2x＋3
＝－(x＋3)(x－1)，
∴方程－x2－2x＋3＝0的两根分别是－3和1. 故函数的零点是－3,1. (2)∵f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)， ∴方程x4－1＝0的实数根是－1或1.
方程的根与函数的零点(最终版)
10
8
6
函数图象
方程的根
7
x2 2x 36 0
5
f
(x)
x2
4
2x
3
3
2
1
4
-3
2
-1
1
2
1
2
8
6
3 -3
4 -4
y5
x1 3
x2 1
2x 1 0
f ( x) 5 2x 1
4
3
2
4
6
1
8
10
4
2 15
0
1
2
3
4
2 10
4
x0
函数图象与x轴 的交点坐标
(-3, 0) (1, 0)
(0, 0)
例二、已知函数 y f (x) 是R上的连续函数，观
察下表，判断函数在哪些区间内一定存在零点， 并简述理由。
x123456789
f(x) 0.2 0.4 -0.4 -0.3 1 6 8 -3 -1
例三、试判断函数 f (x) ex x 4是否有零点， 若有，有几个？
解：因为 f (1) e 3 0 且 f (2) e2 2 0 所以函数在区间(1, 2) 存在零点；
零点：对于函数 y f (x)，我们把使 f (x)=0的 实数x叫做函数 y f (x)的零点。
代数方面：零点就是方程 f (x)=0 的实根 图形方面：零点就是函数 y f (x) 的图象
与x轴交点的横坐标
判断方程 f (x) 0 是否有实根 判断函数 y f (x) 的图象与x轴是否有交点
判断函数 y f (x) 是否有零点
1
f (x) x2 x 6
函数的零点与方程的解(经典导学案及练习答案详解)
§2.9函数的零点与方程的解学习目标1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．知识梳理1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(×)(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(×)(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac<0，则f(x)无零点．(√)教材改编题1．(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x 1234567f(x)－4－2142－1－3在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A．(1,2) B．(2,3) C．(5,6) D．(5,7)答案 BCD解析 由所给的函数值表知， f (1)f (2)>0，f (2)f (3)<0，f (5)f (6)<0， f (5)f (7)<0，∴f (x )在区间(2,3)，(5,6)，(5,7)内各至少有一个零点．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0，则f (x )的零点为________．答案 －2，e解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.3．方程2x ＋x ＝k 在(1,2)内有解，则实数k 的取值范围是________． 答案 (3,6)解析 设f (x )＝2x ＋x ， ∴f (x )在(1,2)上单调递增， 又f (1)＝3，f (2)＝6， ∴3<k <6.题型一 函数零点所在区间的判定例1 (1)(多选)(2022·菏泽质检)函数f (x )＝e x －x －2在下列哪个区间内必有零点( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案 AD解析 f (－2)＝1e 2>0，f (－1)＝1e －1<0，f (0)＝－1<0，f (1)＝e －3<0， f (2)＝e 2－4>0，因为f (－2)·f (－1)<0，f (1)·f (2)<0， 所以f (x )在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．(2)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )·(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 答案 A解析 函数y ＝f (x )是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a <b <c ，则a －b <0，a －c <0，b －c <0，因此f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.所以f (a )f (b )<0，f (b )f (c )<0，即f (x )在区间(a ，b )和区间(b ，c )内各有一个零点． 教师备选(2022·湖南雅礼中学月考)设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 答案 D解析 f (x )的定义域为{x |x >0}， f ′(x )＝13－1x ＝x －33x，令f ′(x )>0⇒x >3，f ′(x )<0⇒0<x <3，∴f (x )在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增， 又f ⎝⎛⎭⎫1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点．又f (e)＝e3－1<0，∴f (x )在(1，e)内有零点．思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 跟踪训练1 (1)(2022·太原模拟)利用二分法求方程log 3x ＝3－x 的近似解，可以取的一个区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)答案 C解析 设f (x )＝log 3x －3＋x ， 当x →0时，f (x )→－∞，f (1)＝－2， 又∵f (2)＝log 32－1<0， f (3)＝log 33－3＋3＝1>0， 故f (2)·f (3)<0，故方程log 3x ＝3－x 在区间(2,3)上有解，即利用二分法求方程log 3x ＝3－x 的近似解，可以取的一个区间是(2,3)．(2)已知2<a <3<b <4，函数y ＝log a x 与y ＝－x ＋b 的交点为(x 0，y 0)，且x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________. 答案 2解析 依题意x 0为方程log a x ＝－x ＋b 的解， 即为函数f (x )＝log a x ＋x －b 的零点， ∵2<a <3<b <4，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 又f (2)＝log a 2＋2－b <0， f (3)＝log a 3＋3－b >0， ∴x 0∈(2,3)，即n ＝2. 题型二 函数零点个数的判定例2 (1)(2022·绍兴模拟)若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，已知函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，e x ，x <0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－6,6]内的零点个数为( )A ．14B ．13C ．12D ．11 答案 C解析 因为f (x ＋1)＝－f (x )，所以函数y ＝f (x )(x ∈R )是周期为2函数， 因为x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，所以作出它的图象，则y ＝f (x )的图象如图所示．(注意拓展它的区间)再作出函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，e x ，x <0的图象，容易得出交点为12个．(2)函数f (x )＝36－x 2·cos x 的零点个数为______． 答案 6解析 令36－x 2≥0，解得－6≤x ≤6， ∴f (x )的定义域为[－6,6]．令f (x )＝0得36－x 2＝0或cos x ＝0， 由36－x 2＝0得x ＝±6， 由cos x ＝0得x ＝π2＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－6,6]，∴x 为－3π2，－π2，π2，3π2.故f (x )共有6个零点． 教师备选函数f (x )＝2x |log 2x |－1的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 C解析 令f (x )＝0，得|log 2x |＝⎝⎛⎭⎫12x ，分别作出y ＝|log 2x |与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象(图略)， 由图可知，y ＝|log 2x |与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象有两个交点，即原函数有2个零点． 思维升华 求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f (x )＝0，方程有多少个解，则f (x )有多少个零点； (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．跟踪训练2 (1)函数f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，当0≤x <2时f (x )＝x 2－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案 B解析 令f (x )＝x 2－x ＝0，所以x ＝0或x ＝1，所以f (0)＝0，f (1)＝0， 因为函数的最小正周期为2， 所以f (2)＝0，f (3)＝0，f (－2)＝0，f (－1)＝0，f (－3)＝0.所以函数y ＝f (x )的图象在区间[－3,3]上与x 轴的交点个数为7.(2)(2022·泉州模拟)设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为( ) A ．3 B ．7 C ．5 D ．6 答案 B解析 根据题意，令2f 2(x )－3f (x )＋1＝0， 得f (x )＝1或f (x )＝12.作出f (x )的简图：由图象可得当f (x )＝1和f (x )＝12时，分别有3个和4个交点，故关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为 7. 题型三 函数零点的应用命题点1 根据函数零点个数求参数例3 (2022·武汉模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋2x |，x ≤0，1x ，x >0，若关于x 的方程f (x )－a (x ＋3)＝0有四个不同的实根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4－23) B ．(4＋23，＋∞) C ．[0,4－23] D ．(0,4－23)答案 D解析 画出f (x )的函数图象，设y ＝a (x ＋3)，该直线恒过点(－3,0)， 结合函数图象，若y ＝a (x ＋3)与y ＝－x 2－2x 相切，联立得x 2＋(a ＋2)x ＋3a ＝0， Δ＝(a ＋2)2－12a ＝0， 得a ＝4－23(a ＝4＋23舍)， 若f (x )＝a (x ＋3)有四个不同的实数根， 则0<a <4－2 3.命题点2 根据函数零点范围求参数例4 (2022·北京顺义区模拟)已知函数f (x )＝3x －1＋axx .若存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，43 B.⎝⎛⎭⎫0，43 C ．(－∞，0) D.⎝⎛⎭⎫43，＋∞ 答案 B解析 由f (x )＝3x －1＋ax x ＝0，可得a ＝3x －1x，令g (x )＝3x －1x ，其中x ∈(－∞，－1)，由于存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围即为函数g (x )在(－∞，－1)上的值域．由于函数y ＝3x ，y ＝－1x 在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g (x )在(－∞，－1)上单调递增．当x ∈(－∞，－1)时， g (x )＝3x －1x <3－1＋1＝43，又g (x )＝3x －1x>0，所以函数g (x )在(－∞，－1)上的值域为⎝⎛⎭⎫0，43. 因此实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，43. 教师备选1．函数f (x )＝xx ＋2－kx 2有两个零点，则实数k 的值为________．答案 －1解析 由f (x )＝xx ＋2－kx 2＝x ⎝⎛⎭⎫1x ＋2－kx ，函数f (x )＝x x ＋2－kx 2有两个零点，即函数y ＝1x ＋2－kx 只有一个零点x 0，且x 0≠0.即方程1x ＋2－kx ＝0有且只有一个非零实根．显然k ≠0，即1k＝x 2＋2x 有且只有一个非零实根．即二次函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 有且只有一个交点(横坐标不为零)．作出二次函数y ＝x 2＋2x 的图象，如图．因为1k ≠0，由图可知，当1k>－1时，函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k 有两个交点，不满足条件．当1k＝－1，即k ＝－1时满足条件． 当1k <－1时，函数y ＝x 2＋2x 的图象与直线y ＝1k无交点，不满足条件． 2．若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫14，12解析 依题意，结合函数f (x )的图象分析可知，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，(m －2－m ＋2m ＋1)(2m ＋1)<0，(m －2＋m ＋2m ＋1)·[4(m －2)＋2m ＋2m ＋1]<0， 解得14<m <12.思维升华 已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围． (2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．跟踪训练3 (1)(多选)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，e x (x ＋1)，x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 可取的值可能是( ) A ．0 B.13 C.12 D ．1答案 BCD解析 函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有三个不同的交点， 当x ≤0时，f (x )＝(x ＋1)e x ， 则f ′(x )＝e x ＋(x ＋1)e x ＝(x ＋2)e x ，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0]上单调递增，且f (－2)＝－1e 2，f (0)＝1，x →－∞时，f (x )→0，从而可得f (x )的图象如图所示，通过图象可知，若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有三个不同的交点，则b ∈(0,1]． (2)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x ＋m 在区间(1,3]上有零点，则m 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－53，0 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－53∪(0，＋∞) C.⎝⎛⎦⎤－∞，－53∪(0，＋∞) D.⎣⎡⎭⎫－53，0 答案 D解析 由于函数y ＝log 2(x ＋1)，y ＝m －1x 在区间(1,3]上单调递增，所以函数f (x )在(1,3]上单调递增，由于函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1x＋m 在区间(1,3]上有零点，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，f (3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ＋53≥0，解得－53≤m <0.因此，实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－53，0.课时精练1．函数f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案 B解析 由题意知，f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2，f (0)＝－4，f (1)＝－1，f (2)＝7，因为f (x )在R 上连续且在R 上单调递增，所以f (1)·f (2)<0，f (x )在(1,2)内有唯一零点．2．设函数f (x )＝4x 3＋x －8，用二分法求方程4x 3＋x －8＝0近似解的过程中，计算得到f (1)<0，f (3)>0，则方程的近似解落在区间( )A.⎝⎛⎭⎫1，32 B.⎝⎛⎭⎫32，2 C.⎝⎛⎭⎫2，52 D.⎝⎛⎭⎫52，3 答案 A解析 取x 1＝2，因为f (2)＝4×8＋2－8＝26>0，所以方程近似解x 0∈(1,2)，取x 2＝32， 因为f ⎝⎛⎭⎫32＝4×278＋32－8＝7>0， 所以方程近似解x 0∈⎝⎛⎭⎫1，32. 3．(2022·武汉质检)若函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫2，52 D.⎣⎡⎭⎫2，103 答案 D解析 由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝⎛⎭⎫12，3上有实数解，即a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3上有解， 设t ＝x ＋1x，x ∈⎝⎛⎭⎫12，3， 则t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. 所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2，103. 4．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4(x －1)，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－3,0)B ．[－1,0)C ．[0,1)D ．[－3，＋∞)答案 A 解析 因为函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 4(x －1)，x >1，－3x －m ，x ≤1存在2个零点， 当且仅当f (x )在(－∞，1]上有一个零点，x ≤1时，f (x )＝0⇔m ＝－3x ，即函数y ＝－3x 在(－∞，1]上的图象与直线y ＝m 有一个公共点，而y ＝－3x 在(－∞，1]上单调递减，且有－3≤－3x <0，则当－3≤m <0时，直线y ＝m 和函数y ＝－3x (x ≤1)的图象有一个公共点．5．(2022·重庆质检)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2x ，设0<a <b <c ，且满足f (a )·f (b )·f (c )<0，若实数x 0是方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是( )A ．x 0<aB ．x 0>cC ．x 0<cD ．x 0>b答案 B解析 f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2x 在(0，＋∞)上单调递减，由f (a )·f (b )·f (c )<0， 得f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0或f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0.∴x 0<a 或b <x 0<c ，故x 0>c 不成立．6．(2022·北京西城区模拟)若偶函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )且x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的根的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．多于4答案 C解析 f (x )＝log 3|x |的解的个数，等价于y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象的交点个数，因为函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，所以周期T ＝2，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且f (x )为偶函数，在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象，如图所示．显然函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象有4个交点．7．(多选)函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 的交点个数可能是( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案 ABC解析 由题意知，f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π]， 在坐标系中画出函数f (x )的图象如图所示．由其图象知，直线y ＝k 与y ＝f (x )的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.8．(多选)(2022·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f (x )，存在一个点x 0，使得f (x 0)＝x 0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )A ．f (x )＝2x ＋xB ．g (x )＝x 2－x －3C ．f (x )＝12x ＋1D ．f (x )＝|log 2x |－1答案 BCD解析 选项A ，若f (x 0)＝x 0，则02x ＝0，该方程无解，故A 中函数不是“不动点”函数；选项B ，若g (x 0)＝x 0，则x 20－2x 0－3＝0，解得x 0＝3或x 0＝－1，故B 中函数是“不动点”函数；选项C ，若f (x 0)＝x 0，则120x ＋1＝x 0，可得x 20－3x 0＋1＝0，且x 0≥1，解得x 0＝3＋52，故C 中函数是“不动点”函数； 选项D ，若f (x 0)＝x 0，则|log 2x 0|－1＝x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，作出y ＝|log 2x |与y ＝x ＋1的函数图象，如图，由图可知，方程|log 2x |＝x ＋1有实数根x 0，即|log 2x 0|＝x 0＋1，故D 中函数是“不动点”函数．9．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f (x )＝________.答案 x 3－x (答案不唯一)解析 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 为奇函数，故a ＝c ＝0，f (x )＝x 3＋bx ＝x (x 2＋b )有三个不同零点，∴b <0，∴f (x )＝x 3－x 满足题意．10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，若函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．答案 (1,2)解析 画出函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象，如图所示，注意当x ＝－1时，f (－1)＝－1＋2＋1＝2，f (0)＝1，∵函数y ＝f (x )－m 有三个不同的零点，∴函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象有3个交点，由图象可得m 的取值范围为1<m <2.11．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝|ln x |，若函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，则实数a 的取值范围是______________．答案 ⎣⎡⎭⎫2e 2，1e 解析 ∵函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，e 2]上有三个零点，∴y ＝f (x )的图象与直线y ＝ax 在区间(0，e 2]上有三个交点，由函数y ＝f (x )与y ＝ax 的图象可知，k 1＝2－0e 2－0＝2e2， f (x )＝ln x (x ＞1)，f ′(x )＝1x， 设切点坐标为(t ，ln t )，则ln t －0t －0＝1t ， 解得t ＝e.∴k 2＝1e. 则直线y ＝ax 的斜率a ∈⎣⎡⎭⎫2e 2，1e .12．(2022·济南质检)若x 1是方程x e x ＝1的解，x 2是方程x ln x ＝1的解，则x 1x 2＝________. 答案 1解析 x 1，x 2分别是函数y ＝e x ，函数y ＝ln x 与函数y ＝1x的图象的交点A ，B 的横坐标，所以A ⎝⎛⎭⎫x 1，1x 1，B ⎝⎛⎭⎫x 2，1x 2两点关于y ＝x 对称，因此x 1x 2＝1.13．已知函数f (x )＝2x ＋x －1，g (x )＝log 2x ＋x －1，h (x )＝x 3＋x －1的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小为( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．c >a >bD ．a >c >b答案 B解析 令f (x )＝0，则2x ＋x －1＝0，得x ＝0，即a ＝0，令g (x )＝0，则log 2x ＋x －1＝0，得x ＝1，即b ＝1，因为函数h (x )＝x 3＋x －1在R 上为增函数，且h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，所以h (x )在区间(0,1)上存在唯一零点c ，且c ∈(0,1)，综上，b >c >a .14．(2022·厦门模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))的所有零点之和为________．答案 12 解析 当x ≤0时，x ＋1＝0，x ＝－1，由f (x )＝－1，可得x ＋1＝－1或log 2x ＝－1，∴x ＝－2或x ＝12；当x >0时，log 2x ＝0，x ＝1，由f (x )＝1，可得x ＋1＝1或log 2x ＝1，∴x ＝0或x ＝2；∴函数y ＝f (f (x ))的所有零点为－2，12，0,2，∴所有零点的和为－2＋12＋0＋2＝12.15．若关于x 的方程|x |x ＋4＝kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为() A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫14，1C.⎝⎛⎭⎫14，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 C解析 因为|x |x ＋4＝kx 2有四个实数解，显然，x ＝0是方程的一个解，下面只考虑x ≠0时有三个实数解即可．若x >0，原方程等价于1＝kx (x ＋4)，显然k ≠0，则1k ＝x (x ＋4)．要使该方程有解，必须k >0，则1k ＋4＝(x ＋2)2，此时x >0，方程有且必有一解；所以当x <0时必须有两解，当x <0时，原方程等价于－1＝kx (x ＋4)，即－1k＝x (x ＋4)(x <0且x ≠－4)，要使该方程有两解， 必须－4<－1k<0， 所以k >14. 所以实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 16．已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”．若f (x )＝32－x －1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎦⎤1e ，4e 2解析 由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减，所以函数f (x )只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g (x )＝x 2－a e x 在区间(1,3)上存在零点．由g (x )＝x 2－a e x ＝0，得a ＝x 2e x . 令h (x )＝x 2e x ，则h ′(x )＝2x －x 2e x ＝x (2－x )e x，所以h (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且h (1)＝1e ，h (2)＝4e 2，h (3)＝9e 3>1e，要使函数g (x )在区间(1,3)上存在零点，只需a ∈⎝⎛⎦⎤1e ，4e 2.。
讨论函数零点或方程根的个数问题-高考数学专练
讨论函数零点或方程根的个数问题-高考数学专练【方法总结】判断、证明或讨论函数零点个数的方法利用零点存在性定理求解函数热点问题的前提条件为函数图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0．①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f (a )·f (b )<0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f (a )·f (b )<0．【例题选讲】[例1]已知f (x )＝e －x (ax 2＋x ＋1)．当a >0时，试讨论方程f (x )＝1的解的个数．[破题思路]讨论方程f (x )＝1的解的个数，想到f (x )－1的零点个数，给出f (x )的解析式，用f (x )＝1构造函数，转化为零点问题求解(或分离参数，结合图象求解)．[规范解答]法一：分类讨论法方程f (x )＝1的解的个数即为函数h (x )＝e x －ax 2－x －1(a >0)的零点个数．而h ′(x )＝e x －2ax －1，设H (x )＝e x －2ax －1，则H ′(x )＝e x －2a ．令H ′(x )>0，解得x >ln 2a ；令H ′(x )<0，解得x <ln 2a ，所以h ′(x )在(－∞，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增．所以h ′(x )min ＝h ′(ln 2a )＝2a －2a ln 2a －1．设m ＝2a ，g (m )＝m －m ln m －1(m >0)，则g ′(m )＝1－(1＋ln m )＝－ln m ，令g ′(m )<0，得m >1；令g ′(m )>0，得0<m <1，所以g (m )在(1，＋∞)上单调递减，在(0，1)上单调递增，所以g (m )max ＝g (1)＝0，即h ′(x )min ≤0(当m ＝1即a ＝12时取等号)．①当a ＝12时，h ′(x )min ＝0，则h ′(x )≥0恒成立．所以h (x )在R 上单调递增，故此时h (x )只有一个零点．②当a >12时，ln 2a >0，h ′(x )min ＝h ′(ln 2a )<0，又h ′(x )在(－∞，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增，又h ′(0)＝0，则存在x 1>0使得h ′(x 1)＝0，这时h (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，x 1)上单调递减，在(x 1，＋∞)上单调递增．所以h (x 1)<h (0)＝0，又h (0)＝0，所以此时h (x )有两个零点．③当0<a <12时，ln 2a <0，h ′(x )min ＝h ′(ln 2a )<0，又h ′(x )在(－∞，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增，又h ′(0)＝0，则存在x 2<0使得h ′(x 2)＝0．这时h (x )在(－∞，x 2)上单调递增，在(x 2，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以h (x 2)>h (0)＝0，h (0)＝0，所以此时f (x )有两个零点．综上，当a ＝12时，方程f (x )＝1只有一个解；当a ≠12且a >0时，方程f (x )＝1有两个解．法二：分离参数法方程f (x )＝1的解的个数即方程e x －ax 2－x －1＝0(a >0)的解的个数，方程可化为ax 2＝e x －x －1．当x ＝0时，方程为0＝e 0－0－1，显然成立，所以x ＝0为方程的解．当x ≠0时，分离参数可得a ＝e x －x －1x2(x ≠0)．设函数p (x )＝e x －x －1x 2(x ≠0)，则p ′(x )＝(e x －x －1)′·x 2－(x 2)′·(e x －x －1)(x 2)2＝e x (x －2)＋x ＋2x 3．记q (x )＝e x (x －2)＋x ＋2，则q ′(x )＝e x (x －1)＋1．记t (x )＝q ′(x )＝e x (x －1)＋1，则t ′(x )＝x e x ．显然当x <0时，t ′(x )<0，函数t (x )单调递减；当x >0时，t ′(x )>0，函数t (x )单调递增．所以t (x )>t (0)＝e 0(0－1)＋1＝0，即q ′(x )>0，所以函数q (x )单调递增．而q (0)＝e 0(0－2)＋0＋2＝0，所以当x <0时，q (x )<0，即p ′(x )>0，函数p (x )单调递增；当x >0时，q (x )>0，即p ′(x )>0，函数p (x )单调递增．而当x →0时，p (x →0＝e x －12xx →0＝(e x －1)′(2x )′x →0＝e x 2x →0＝12(洛必达法则)，当x →－∞时，p (x －∞＝e x －12xx →－∞＝0，故函数p (x )的图象如图所示．作出直线y ＝a ．显然，当a ＝12时，直线y ＝a 与函数p (x )的图象无交点，即方程e x －ax 2－x －1＝0只有一个解x ＝0；当a ≠12且a >0时，直线y ＝a 与函数p (x )的图象有一个交点(x 0，a )，即方程e x －ax 2－x －1＝0有两个解x ＝0或x ＝x 0．综上，当a ＝12时，方程f (x )＝1只有一个解；当a ≠12且a >0时，方程f (x )＝1有两个解．[注]部分题型利用分离法处理时，会出现“0”型的代数式，这是大学数学中的不定式问题，解决这类问题有效的方法就是洛必达法则．法则1若函数f (x )和g (x )满足下列条件：(1)li m x →a f (x )＝0及li m x →a g (x )＝0；(2)在点a 的去心邻域内，f (x )与g (x )可导且g ′(x )≠0；(3)li m x →af ′(x )g ′(x )＝l ．那么li m x →a f (x )g (x )＝li m x →a f ′(x )g ′(x )＝l ．法则2若函数f (x )和g (x )满足下列条件：(1)li m x →a f (x )＝∞及li m x →a g (x )＝∞；(2)在点a 的去心邻域内，f (x )与g (x )可导且g ′(x )≠0；(3)li m x →a f ′(x )g ′(x )＝l ．那么li m x →af (x )g (x )＝li m x →a f ′(x )g ′(x )＝l ．[题后悟通]对于已知参数的取值范围，讨论零点个数的情况，借助导数解决的办法有两个．(1)分离参数：得到参数与超越函数式相等的式子，借助导数分析函数的单调区间和极值，结合图形，由参数函数与超越函数的交点个数，易得交点个数的分类情况；(2)构造新函数：求导，用单调性判定函数的取值情况，再根据零点存在定理证明零点的存在性．[例2]设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0．(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．[规范解答](1)函数的定义域为(0，＋∞)．由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)，得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx．由f ′(x )＝0，解得x ＝k (负值舍去)．f ′(x )与f (x )在区间(0，＋∞)上随x 的变化情况如下表：x (0，k )k (k ，＋∞)f ′(x )－0＋f (x )↘k (1－ln k )2↗所以，f (x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)．f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2，无极大值．(2)由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k (1－ln k )2．因为f (x )存在零点，所以k (1－ln k )2≤0，从而k ≥e ，当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e]上单调递减且f (e)＝0，所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点；当k >e 时，f (x )在区间(1，e]上单调递减且f (1)＝12>0，f (e)＝e －k 2<0，所以f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．[例3]已知函数f (x )＝a ln x ＋bx(a ，b ∈R ，a ≠0)的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为－a .(1)求f (x )的单调区间；(2)讨论方程f (x )＝1根的个数．[规范解答](1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －b －a ln xx 2，由f ′(1)＝a －b ＝－a ，得b ＝2a ，所以f (x )＝a (ln x ＋2)x ，f ′(x )＝－a (ln x ＋1)x2.当a >0时，由f ′(x )>0，得0<x <1e ；由f ′(x )<0，得x >1e .当a <0时，由f ′(x )>0，得x >1e ；由f ′(x )<0，得0<x <1e.综上，当a >0时，f (x )a <0时，f (x )的单调递增(2)f (x )＝1，即方程a ln x ＋2a x ＝1，即方程1a ＝ln x ＋2x ，构造函数h (x )＝ln x ＋2x，则h ′(x )＝－1＋ln x x 2，令h ′(x )＝0，得x ＝1e ，h ′(x )>0，h ′(x )<0，即h (x )h (x )max ＝ e.h (x )单调递减且h (x )＝ln x ＋2x >0，当x 无限增大时，h (x )无限接近0；h (x )单调递增且当x 无限接近0时，ln x ＋2负无限大，故h (x )负无限大．故当0<1a <e ，即a >1e 时，方程f (x )＝1有两个不等实根，当a ＝1e 时，方程f (x )＝1只有一个实根，当a <0时，方程f (x )＝1只有一个实根．综上可知，当a >1e 时，方程f (x )＝1有两个实根；当a <0或a ＝1e 时，方程f (x )＝1有一个实根；当0<a <1e 时，方程f (x )＝1无实根．[例4]已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)若直线y ＝kx 与f (x )的反函数的图象相切，求实数k 的值；(2)若m <0，讨论函数g (x )＝f (x )＋mx 2零点的个数．[规范解答](1)f (x )的反函数为y ＝ln x ，x >0，则y ′＝1x．设切点为(x 0，ln x 0)，则切线斜率为k ＝1x 0＝ln x 0x 0，故x 0＝e ，k ＝1e.(2)函数g (x )＝f (x )＋mx 2的零点的个数即是方程f (x )＋mx 2＝0的实根的个数(当x ＝0时，方程无解)，等价于函数h (x )＝e xx 2(x ≠0)与函数y ＝－m 图象交点的个数．h ′(x )＝e x (x －2)x 3.当x ∈(－∞，0)时，h ′(x )>0，h (x )在(－∞，0)上单调递增；当x ∈(0,2)时，h ′(x )<0，h (x )在(0,2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )在(2，＋∞)上单调递增．∴h (x )的大致图象如图：∴h (x )在(0，＋∞)上的最小值为h (2)＝e 24.∴当－m m －e 24，h (x )＝e xx 2与函数y ＝－m 图象交点的个数为1；当－m ＝e 24，即m ＝－e 24时，函数h (x )＝e xx2与函数y ＝－m 图象交点的个数为2；当－m m ∈－∞，－e 24时，函数h (x )＝e xx 2与函数y ＝－m 图象交点的个数为3.综上所述，当m ∞g (x )有三个零点；当m ＝－e 24时，函数g (x )有两个零点；当m ∈－e 24，0时，函数g (x )有一个零点．[例5]已知函数f (x )＝－x 3＋ax －14，g (x )＝e x －e(e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线与曲线y ＝g (x )在(0，g (0))处的切线互相垂直，求实数a 的值；(2)设函数h (x )x )，f (x )≥g (x )，(x )，f (x )<g (x )，试讨论函数h (x )零点的个数．[规范解答](1)f ′(x )＝－3x 2＋a ，g ′(x )＝e x ，所以f ′(0)＝a ，g ′(0)＝1，由题意，知a ＝－1．(2)易知函数g (x )＝e x －e 在R 上单调递增，仅在x ＝1处有一个零点，且x <1时，g (x )<0，又f ′(x )＝－3x 2＋a ，①当a ≤0时，f ′(x )≤0，f (x )在R f (－1)＝34－a >0，即f (x )在x ≤0时必有一个零点，此时y ＝h (x )有两个零点；②当a >0时，令f ′(x )＝－3x 2＋a ＝0，得两根为x 1＝－a3<0，x 2＝a3>0，则－a3是函数f (x )的一个极小值点，a3是函数f (x )的一个极大值点，而＋－14＝－2a 3a 3－14<0．现在讨论极大值的情况：＋aa 3－14＝2a 3a 3－14，当，即a <34时，函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上恒小于零，此时y ＝h (x )有两个零点；当0，即a ＝34时，函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上有一个零点x 0＝a 3＝12，此时y ＝h (x )有三个零点；当，即a >34时，函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上有两个零点，一个零点小于a3，一个零点大于a 3，若f (1)＝a －54<0，即a <54时，y ＝h (x )有四个零点；若f (1)＝a －54＝0，即a ＝54时，y ＝h (x )有三个零点；若f (1)＝a －54>0，即a >54时，y ＝h (x )有两个零点．综上所述：当a <34或a >54时，y ＝h (x )有两个零点；当a ＝34或a ＝54时，y ＝h (x )有三个零点；当34<a <54时，y ＝h (x )有四个零点．[例6]已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋2)x ＋2ln x (a ∈R )．(1)若a ＝0，求证：f (x )<0；(2)讨论函数f (x )零点的个数．[破题思路](1)当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2ln x (x >0)，f ′(x )＝－2＋2x ＝2(1－x )x，设g (x )＝1－x ，根据g (x )的正负可画出f (x )的图象如图(1)所示．(2)f ′(x )＝(x －1)(ax －2)x (x >0)，令g (x )＝(x －1)(ax －2)，当a ＝0时，由(1)知f (x )没有零点；当a >0时，画g (x )的正负图象时，需分2a ＝1，2a >1，2a <1三种情形进行讨论，再根据极值、端点走势可画出f (x )的图象，如图(2)(3)(4)所示；当a <0时，同理可得图(5)．综上，易得f (x )的零点个数．[规范解答](1)当a ＝0时，f ′(x )＝－2＋2x ＝2(1－x )x，由f ′(x )＝0得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(0,1)上单调递增；当x >1时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减．所以f (x )≤f (x )max ＝f (1)＝－2，即f (x )<0.(2)由题意知f ′(x )＝ax －(a ＋2)＋2x ＝ax 2－(a ＋2)x ＋2x ＝(x －1)(ax －2)x (x >0)，当a ＝0时，由第(1)问可得函数f (x )没有零点．当a >0时，①当2a ＝1，即a ＝2时，f ′(x )≥0恒成立，仅当x ＝1时取等号，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝－12a －2＝－12×2－2<0，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上有一个零点．②当2a >1，即0<a <2时，若0<x <1或x >2a ，则f ′(x )>0，f (x )在(0,1)若1<x <2a ，则f ′(x )<0，f (x )又f (1)＝12a －(a ＋2)＋2ln 1＝－12a －2<0，则f (1)<0，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以函数f (x )③当0<2a <1，即a >2时，若0<x <2a x >1，则f ′(x )>0，f (x )(1，＋∞)上单调递增；若2a<x <1，则f ′(x )<0，f (x )因为a >2，所以＝－2a －2＋2ln 2a <－2a －2＋2ln 1<0，又x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以函数f (x )仅有一个零点在区间(1，＋∞)上．当2a<0，即a <0时，若0<x <1，f ′(x )>0，f (x )在(0,1)上单调递增；若x >1，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减．当x →0时，f (x )→－∞，当x →＋∞时，f (x )→－∞，又f (1)＝12a －(a ＋2)＋2ln 1＝－12a －2＝－a －42.当f (1)＝－a －42>0，即a <－4时，函数f (x )有两个零点；当f (1)＝－a －42＝0，即a ＝－4时，函数f (x )有一个零点；当f (1)＝－a －42<0，即－4<a <0时，函数f (x )没有零点．综上，当a <－4时，函数f (x )有两个零点；当a ＝－4时，函数f (x )有一个零点；当－4<a ≤0时，函数f (x )没有零点；当a >0时，函数f (x )有一个零点．[题后悟通]解决本题运用了分类、分层的思想方法，表面看起来非常繁杂．但若能用好“双图法”处理问题，可回避不等式f ′(x )>0与f ′(x )<0的求解，特别是含有参数的不等式求解，而从f ′(x )抽象出与其正负有关的函数g (x )，画图更方便，观察图形即可直观快速地得到f (x )的单调性，大大提高解题的效率．[对点训练]1．(2018·全国Ⅱ)已知函数f (x )＝13x 3－a (x 2＋x ＋1)．(1)若a ＝3，求f (x )的单调区间；(2)证明：f (x )只有一个零点．1．解析(1)当a ＝3时，f (x )＝13x 3－3x 2－3x －3，f ′(x )＝x 2－6x －3．令f ′(x )＝0解得x ＝3－23或x ＝3＋2 3.当x ∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(3－23，3＋23)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)单调递增，在(3－23，3＋23)单调递减．(2)由于x 2＋x ＋1>0，所以f (x )＝0等价于x 3x 2＋x ＋1－3a ＝0.设g (x )＝x 3x 2＋x ＋1－3a ，则g ′(x )＝x 2（x 2＋2x ＋3）（x 2＋x ＋1）2≥0，仅当x ＝0时g ′(x )＝0，所以g (x )在(－∞，＋∞)单调递增．故g (x )至多有一个零点，从而f (x )至多有一个零点．又f (3a －1)＝－6a 2＋2a －13＝－－16<0，f (3a ＋1)＝13>0，故f (x )有一个零点．综上，f (x )只有一个零点．2．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝x ＋x ，其中e 是自然对数的底数，e ＝2.71828…．(1)证明：函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间(1，2)上有零点；(2)求方程f (x )＝g (x )的根的个数，并说明理由．2．解析(1)由题意可得h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －1－x －x ，所以h (1)＝e －3＜0，h (2)＝e 2－3－2＞0，所以h (1)h (2)＜0，所以函数h (x )在区间(1，2)上有零点．(2)由(1)可知h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －1－x －x ．由g (x )＝x ＋x 知x ∈[0，＋∞)，而h (0)＝0，则x ＝0为h (x )的一个零点．又h (x )在(1，2)内有零点，因此h (x )在[0，＋∞)上至少有两个零点．h ′(x )＝e x －12x －12－1，记φ(x )＝e x －12x －12－1，则φ′(x )＝e x ＋14x －32．当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )＞0，因此φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，易知φ(x )在(0，＋∞)内只有一个零点，则h (x )在[0，＋∞)上有且只有两个零点，所以方程f (x )＝g (x )的根的个数为2．3．设函数f (x )＝ln x ＋mx，m ∈R ．(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数．3．解析(1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex ，则f ′(x )＝x －e x2，∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e)上单调递减；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增，∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee ＝2，∴f (x )的极小值为2．(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x >0)，令g (x )＝0，得m ＝－133＋x (x >0)．设φ(x )＝－13x 3＋x (x >0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)．当x ∈(0，1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点，∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23．又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知，①当m >23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点．综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点．4．已知函数f (x )＝ln x ＋1ax －1a，a ∈R 且a ≠0.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当x ∈1e ，e时，试判断函数g (x )＝(ln x －1)e x ＋x －m 的零点个数．4．解析(1)f ′(x )＝ax －1ax 2(x >0)，当a <0时，f ′(x )>0恒成立，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，由f ′(x )>0，得x >1a ；由f ′(x )<0，得0<x <1a ，∴函数f (x )综上所述，当a <0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，函数f (x )(2)∵当x ∈1e ，e时，函数g (x )＝(ln x －1)e x ＋x －m 的零点，即当x ∈1e ，e时，方程(ln x －1)e x ＋x ＝m 的根．令h (x )＝(ln x －1)e x ＋x ，则h ′(x )ln x －x＋1.由(1)知当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋1x －1(1，e)上单调递增，∴当x ∈1e ，e 时，f (x )≥f (1)＝0．∴1x＋ln x －1≥0在x ∈1e ，e 上恒成立．∴h ′(x )ln x －x ＋1≥0＋1>0，∴h (x )＝(ln x －1)e x ＋x 在x ∈1e ，e上单调递增．∴h (x )min ＝2e 1e ＋1e，h (x )max ＝e.∴当m <－2e 1e＋1e或m >e 时，函数g (x )在1e ，e 上没有零点；当－2e 1e＋1e≤m ≤e 时，函数g (x )在1e ，e 上有且只有一个零点．5．设函数f (x )＝e x －2a －ln(x ＋a )，a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)若a >0，且函数f (x )在区间[0，＋∞)内单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若0<a <23，试判断函数f (x )的零点个数．5．解析(1)∵函数f (x )在[0，＋∞)内单调递增，∴f ′(x )＝e x －1x ＋a≥0在[0，＋∞)内恒成立．即a ≥e －x －x 在[0，＋∞)内恒成立．记g (x )＝e －x －x ，则g ′(x )＝－e －x －1<0恒成立，∴g (x )在区间[0，＋∞)内单调递减，∴g (x )≤g (0)＝1，∴a ≥1，即实数a 的取值范围为[1，＋∞)．(2)∵0<a <23，f ′(x )＝e x －1x ＋a (x >－a )，记h (x )＝f ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋1(x ＋a )2>0，知f ′(x )在区间(－a ，＋∞)内单调递增．又∵f ′(0)＝1－1a <0，f ′(1)＝e －1a ＋1>0，∴f ′(x )在区间(－a ，＋∞)内存在唯一的零点x 0，即f ′(x 0)＝0e x－1x 0＋a ＝0，于是0e x＝1x 0＋a，x 0＝－ln (x 0＋a )．当－a <x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >x 0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．∴f (x )min ＝f (x 0)＝0e x －2a －ln (x 0＋a )＝1x 0＋a －2a ＋x 0＝x 0＋a ＋1x 0＋a－3a ≥2－3a ，当且仅当x 0＋a ＝1时，取等号．由0<a <23，得2－3a >0，∴f (x )min ＝f (x 0)>0，即函数f (x )没有零点．6．已知函数f (x )＝ln x －12ax 2(a ∈R )．(1)若f (x )在点(2，f (2))处的切线与直线2x ＋y ＋2＝0垂直，求实数a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)讨论函数f (x )在区间[1，e 2]上零点的个数．6．解析(1)f (x )＝ln x －12ax 2的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －ax ＝1－ax 2x ，则f ′(2)＝1－4a2．因为直线2x ＋y ＋2＝0的斜率为－2，所以(－2)×1－4a2＝－1，解得a ＝0．(2)f ′(x )＝1－ax 2x ，x ∈(0，＋∞)，当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0′(x )>0，>0得0<x <aa ；由f ′(x )<0得x >aa ，所以f (x )综上所述：当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，f (x )(3)由(2)可知，(ⅰ)当a <0时，f (x )在[1，e 2]上单调递增，而f (1)＝－12a >0，故f (x )在[1，e 2]上没有零点．(ⅱ)当a ＝0时，f (x )在[1，e 2]上单调递增，而f (1)＝－12a ＝0，故f (x )在[1，e 2]上有一个零点．(ⅲ)当a >0时，①若aa ≤1，即a ≥1时，f (x )在[1，e 2]上单调递减．因为f (1)＝－12a <0，所以f (x )在[1，e 2]上没有零点．②若1<aa ≤e 2，即1e 4≤a <1时，f (x )在1，a a 上单调递增，在a a ，e 2上单调递减，而f (1)＝－12a <0，f ＝－12ln a －12，f (e 2)＝2－12a e 4，若f＝－12ln a－12<0，即a>1e时，f(x)在[1，e2]上没有零点；若f＝－12ln a－12＝0，即a＝1e时，f(x)在[1，e2]上有一个零点；若f＝－12ln a－12>0，即a<1e时，由f(e2)＝2－12a e4>0，得a<4e4，此时，f(x)在[1，e2]上有一个零点；由f(e2)＝2－12a e4≤0，得a≥4e4，此时，f(x)在[1，e2]上有两个零点；③若aa≥e2，即0<a≤1e4时，f(x)在[1，e2]上单调递增，因为f(1)＝－12a<0，f(e2)＝2－12a e4>0，所以f(x)在[1，e2]上有一个零点．综上所述：当a<0或a>1e时，f(x)在[1，e2]上没有零点；当0≤a<4e4或a＝1e时，f(x)在[1，e2]上有一个零点；当4e4≤a<1e时，f(x)在[1，e2]上有两个零点．。
函数的零点与方程根的关系
函数的零点与方程根的关系
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
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函数的零点与方程的解
4.5 函数的应用(二) 4.5.1 函数的零点与方程的解1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)函数f (x )＝x －1的零点为(1,0)．( × )(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，则f (a )f (b )<0.( × ) (3)函数f (x )＝2x 的零点为0.( √ )题型1 求函数的零点2．函数f (x )＝3x －2的零点为( A ) A ．log 32B ．312C ．213D ．log 23解析：由f (x )＝3x －2＝0，得3x ＝2，即x ＝log 32. 3．函数f (x )＝x －x 2的零点为( D ) A ．0 B ．1 C ．0和2D ．0和1解析：令f (x )＝x －x 2＝0，解得x ＝0或x ＝1，所以函数f (x )＝x －x 2的零点为0和1. 4．函数f (x )＝log 2(x －1)的零点是( D ) A ．(1,0) B ．(2,0) C ．1D ．2解析：令log 2(x －1)＝0，解得x ＝2. 题型2 判断函数零点的个数5. 已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：则函数y A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个解析：依题意，f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，根据零点存在定理可知，f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)上均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个．6．函数y ＝2x －3x ＋4的零点个数为( C )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由2x －3x ＋4＝0，得3x ＝2x ＋4，设y ＝3x ，y ＝2x ＋4，作出它们的图象如图所示． 由图可知，两个图象有2个交点，所以原函数的零点个数为2.7．函数f (x )＝2|x |＋x －2的零点个数为__2__.解析：由f (x )＝2|x |＋x －2＝0，得2|x |＝2－x ，显然y ＝2|x |与y ＝2－x 的交点个数即为原函数零点个数，作出函数y ＝2|x |与y ＝2－x 的图象如图所示，由图象可得，函数y ＝2|x |与y ＝2－x 有两个交点，因此函数f (x )＝2|x |＋x －2的零点个数为2.题型3 判断函数零点所在的区间8．函数f (x )＝log 2x ＋x －4的零点所在的区间是( C ) A ．⎝⎛⎭⎫12，1 B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析：因为f (2)＝3－4<0，f (3)＝log 23－1>0，所以根据零点的存在定理知，函数f (x )在(2,3)上至少有一个零点．故选C.9．设函数f (x )＝13x －ln x (x ＞0)，则函数f (x )( D )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点解析：因为f ⎝⎛⎭⎫1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13－0>0，所以函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点．因为f (1)＝13－0>0，f (e)＝e3－1<0，所以函数f (x )在区间(1，e)内有零点．10．函数f (x )＝log 2x ＋3x －k 的零点所在的区间是(1,2)，则k 的取值范围是__(3,10)__．解析：f (1)＝3－k ，f (2)＝1＋9－k ＝10－k .因为函数f (x )的零点所在的区间是(1,2)，所以由零点存在定理可知f (1)·f (2)＝(3－k )(10－k )<0，解得3<k <10.易错点1 画错函数的图象致错11．已知0<a <1，则方程a |x |＝|log a x |根的个数为( B ) A ．1 B ．2C ．3D ．1或2或3解析：作出f (x )＝a |x |，g (x )＝|log a x |的图象如图所示，由图象可知，f (x )，g (x )有两个交点，所以方程a |x |＝|log a x |根的个数为2.[误区警示] 由函数的性质画图时要准确，这样才能在应用图象解题时不出错． 易错点2 忽视零点存在定理的条件致错12．对于函数f (x )，若f (－1)f (3)<0，则下列判断中正确的是( D ) A ．方程f (x )＝0一定有根 B ．方程f (x )＝0一定无根 C ．方程f (x )＝0一定有两根 D ．方程f (x )＝0可能无根解析：因为函数f (x )的图象不一定是连续的一条曲线，所以方程f (x )＝0可能无根． [误区警示] 函数零点存在定理是判断函数是否有零点的充分条件，解题时要注意条件的完备性，本题就易忽略图象是连续的这一条件．(限时30分钟)一、选择题1．函数y ＝1x －x 的零点是( D )A ．1B ．－1C ．(1,0)，(－1,0)D ．1，－1解析：由y ＝0，即1x－x ＝0，解得x ＝1或x ＝－1.所以函数的零点为1，－1.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x <0，x 2－1，x >0的零点个数是( C )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：当x <0时，令x ＋2＝0，解得x ＝－2；当x >0时，令x 2－1＝0，解得x ＝1.所以函数有两个零点．3．函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋c (a ≠0)的一个零点为－3，则它的另一个零点是( B ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2解析：由根与系数的关系得方程f (x )＝0的两根x 1，x 2满足x 1＋x 2＝－2aa ＝－2，所以方程的另一个根为1.故选B.4．函数f (x )＝log 2x －3x 的零点所在区间为( B )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)解析：因为f (1)＝log 21－31＝－3<0，f (2)＝log 22－32＝－12<0，f (3)＝log 23－33＝log 23－1>0，所以f (2)f (3)<0，所以函数f (x )在区间(2,3)内存在零点．5．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)>0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上的零点( C ) A ．至多有一个 B ．有一个或两个 C ．有且仅有一个D ．一个也没有解析：若a ＝0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是一次函数，由已知f (1)·f (2)<0，得只有一个零点；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，若有两个零点，则应有f (1)·f (2)>0，与已知矛盾．故仅有一个零点．6．(多选题)函数y ＝(x －1)·|x －5|的图象与直线y ＝k 的交点的个数可以为( BCD ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：函数y ＝(x －1)·|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋5，x ≥5，－x 2＋6x －5，x <5，作出函数y ＝(x －1)·|x －5|的图象，根据图象，知直线y ＝k 与y ＝(x －1)·|x －5|的图象可以有1个或2个或3个交点．二、填空题7．已知函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是 －12，－13. 解析：由题意知，方程x 2－ax －b ＝0的两根为2,3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3＝a ，2×3＝－b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－6，所以方程bx 2－ax －1＝－6x 2－5x －1＝0的根为－12，－13，即函数g (x )的零点是－12，－13.8．函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则a 的取值范围是 (－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ .解析：由零点存在定理得f (－1)f (1)<0，即(－3a ＋1－2a )(3a ＋1－2a )<0，整理得(－5a ＋1)(a ＋1)<0，解得a <－1或a >15.9．函数f (x )＝(2x －2)·ln(x －2)的零点个数为__1__.解析：函数的定义域为{x |x >2}．令(2x －2)·ln(x －2)＝0，因为2x －2>0，可得ln(x －2)＝0，解得x ＝3.所以函数的零点只有1个．三、解答题10．已知一次函数f (x )的图象过点(1,5)，且2f (3)＝f (2)＋11. (1)求f (x )的解析式；(2)求函数h (x )＝x 2－f (x )的零点． 解：(1)设f (x )＝ax ＋b .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝5，2(3a ＋b )＝2a ＋b ＋11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，所以f (x )＝2x ＋3.(2)h (x )＝x 2－f (x )＝x 2－2x －3，令x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3， 所以函数h (x )＝x 2－f (x )的零点为－1或3. 11．已知f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1. (1)当m 满足什么条件时，函数f (x )有两个零点？(2)若函数f (x )有两个零点x 1，x 2，且x 1<0<x 2，求实数m 的取值范围． 解： (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2(m ＋1)≠0，(4m )2－4×2(m ＋1)×(2m －1)>0，解得m <1且m ≠－1.(2)根据二次函数的图象，可知函数f (x )的两个零点满足x 1<0<x 2，有两种情况(如图)：开口向上与开口向下．因此⎩⎪⎨⎪⎧ 2(m ＋1)>0，f (0)＝2m －1<0或⎩⎪⎨⎪⎧2(m ＋1)<0，f (0)＝2m －1>0，解得－1<m <12.所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，12. 12．已知函数f (x )＝x 2－2|x |.(1)用分段函数的形式表示函数f (x )，并作出函数f (x )的草图； (2)若方程f (x )＝m 有4个不等的实数根，求实数m 的取值范围．解：(1)f (x )＝x 2－2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x <0，其草图如下：(2)要使方程f (x )＝m 有4个不等的实数根，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m 有4个不同的交点，由图可知－1＜m ＜0，故实数m 的取值范围为(－1,0).。
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方程的根与函数的零点
1、函数()⎩
⎨
⎧>+-≤-=1,341
,442
x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 2、函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（ ）
A.⎪⎭
⎫
⎝⎛41,81
B.⎪⎭
⎫
⎝⎛21,41
C.⎪⎭
⎫
⎝⎛1,21 D.(1,2)
3、函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是（ ）
A. ()41f x x =-
B. ()2(1)f x x =-
C. ()1x f x e =-
D.)2
1
ln()(-=x x f
4．若0x 是方程31
)2
1
(x x =的解，则0x 属于区间（ ）
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32 .
B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,21 .
C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,31
D ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛31,0 5．若0x 是方程式lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ ）
A ．（0，1）.
B ．（1，1.25）.
C ．（1.25，1.75）
D ．（1.75，2） 6．函数()x x f x 32+=的零点所在的一个区间是（ ）
A ．()1,2--
B ．()0,1-
C ．()1,0
D ．()2,1 7．函数()2-+=x e x f x 的零点所在的一个区间是（ ）
A ．()1,2--
B ．()0,1-
C ．()1,0
D ．()2,1 8.已知0x 是函数()x
x f x -+
=11
2的一个零点，若()01,1x x ∈，()+∞∈,02x x ，则（ ） A ．()01<x f ，()02<x f B ．()01<x f ，()02>x f C ．()01>x f ，()02<x f D ．()01>x f ，()02>x f
9.已知以4T =为周期的函
数(1,1]
()12,(1,3]
x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >。
若方程
3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ）
A
．8)3 B
． C ．48(,)33 D
．4
(3
10.函数()⎩⎨⎧>+-≤-+=0
,ln 20
,322x x x x x x f 的零点个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
11．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,
, 1.
a a
b a b b a b -≤⎧⊗=⎨
->⎩ 设函数
()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，
则实数c 的取值范围是
A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭
B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃-- ⎪⎝⎭
C ．111,,44
⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．311,,44
⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭
12.设m ，k 为整数，方程220mx kx -+=在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为
（A ）-8 （B ）8 (C)12 (D) 13
13、若函数a x a x f x --=)( (0>a 且1≠a )有两个零点，则实数a 的取值范围 是 .
14、方程 96370x x -•-=的解是 ．.
15、已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程)0()(>=m m x f 在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则
1234_________.x x x x +++=
16.已知函数32
,
2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩
若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同的实根，则数k
的取值范围是_______
17.方程223x x -+=的实数解的个数为 ．
18.直线y ＝1与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 。
1．函数2()41f x x x =--+的零点为（ ） A
、12-+
B
、1-- C
、1-±、不存在 2．函数32()32f x x x x =-+的零点个数为（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
3. 函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间（ ）.
A. (1, 2)
B. (2 , 3)
C. (3, 4)
D. (4, 5)
4. 求证方程231
x x
x -=
+在(0,1)内必有一个实数根. 5. （1）若方程2210ax -=在(0,1)内恰有一解,则实数a 的取值范围是 .
（2）已知函数()34f x mx =-，若在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =，则实数m 的取值范围是 .
6. 已知关于x 的方程x 2
＋2mx ＋2m ＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m 的取值范围．
7. 已知函数f (x )=|x 2-2x -3|-a 分别满足下列条件，求实数a 的取值范围.
(1) 函数有两个零点; (2)函数有三个零点; (3)函数有四个零点. 8. 已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 有三个零点，分别是0、1、2,如图所示，求证:b <0.
【答案】1.C 2.D
3.易知函数()f x 在定义域(0,)+∞内是增函数.
∵(1)ln12640f =+-=-<，(2)ln 246ln 220f =+-=-<，(3)ln366ln30f =+-=>. ∴ (2)(3)0f f <，即函数()f x 的零点在区间(2,3). 所以选B.
4. 证明：设函数2()31
x x
f x x -=-+. 由函数的单调性定义，可以证出函数()f x 在
(1,)-+∞是减函数.
而0(0)3210f =-=-<，115
(1)3022
f =-=>，即(0)(1)0f f <，说明函数()f x 在区间
(0,1)内有零点，且只有一个. 所以方程231
x x
x -=
+在(0,1)内必有一个实数根. 5. 解：（1）设函数2()21f x ax =-，由题意可知，函数()f x 在(0,1)内恰有一个零点.
∴ (0)(1)1(21)0f f a =-⨯-<， 解得1
2
a >.
（2）∵在[2,0]-上存在0x ，使0()0f x =， 则(2)(0)0f f -≤，
∴ (64)(4)0m --⨯-≤，解得2
3m ≤-.
所以， 实数m 的取值范围是2
(,]3
-∞-.
点评：根的分布问题，实质就是函数零点所在区间的讨论，需 要运用零点存在定理，转化得到有关参数的不等式。
6. 解：令
2
()223f x x mx m =+++有图像特征可知方程f （x ）=0的两根都在（0，2）内需满足的条件是
解得35
14m -
<<-。
7. 因为函数f (x )=|x 2-2x -3|-a 的零点个数不易讨论，所以可转化为方程|x 2-2x -3|-a =0根的个数来讨论，即转化为方程|x 2-2x -3|=a 的根的个数问题,再转化为函数f (x )=|x 2-2x -3|与函数f (x )=a 交点个数问题.
解：设f (x )=|x 2-2x -3|和f (x )=a 分别作出这两个函数的图象(图
3-1-1-5)，它们交点的个数，即函数f (x )=|x 2
-2x -3|-a 的零点个数.
(1)若函数有两个零点，则a =0或a >4. (2)若函数有三个零点，则a =4. (3)函数有四个零点,则0<a <4.
8.证：因为f (0)=f (1)=f (2)=0,所以d =0,a +b +c =0,4a +2b +c =0.
所以a =3b -,c =32-b .所以f (x )=3b -x (x 2-3x +2)=3
b
-x (x -1)(x -2).
当x <0时，f (x )<0，所以b <0.
证法二：因为f (0)=f (1)=f (2)=0,所以f (x )=ax (x -1)(x -2). 当x >2时,f (x )>0,所以a >0.比较同次项系数，得b =-3a .所以b <0.。