高考理科数学专题复习题型数列
第8讲数列
[考情分析]数列为每年高考必考内容之一，考查热点主要有三个方面：(1)对等差、等比数列基本量和性质的考查，常以客观题的形式出现，考查利用通项公式、前n项和公式建立方程(组)求解，利用性质解决有关计算问题，属于中、低档题；(2)对数列通项公式的考查；(3)对数列求和及其简单应用的考查，主、客观题均会出现，常以等差、等比数列为载体，考查数列的通项、求和，难度中等.
热点题型分析
热点1等差、等比数列的基本运算及性质
1.等差(比)数列基本运算的解题策略
(1)设基本量a1和公差d(公比q)；
(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.
2.等差(比)数列性质问题的求解策略
(1)解题关键：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解；
(2)牢固掌握等差(比)数列的性质，可分为三类：①通项公式的变形；②等差(比)中项的变形；③前n项和公式的变形．比如：等差数列中，“若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q(m，n，p，q∈N*)”；等比数列中，“若m＋n＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q(m，n，p，q∈N*)”.
1.已知在公比不为1的等比数列{a n }中，a 2a 4＝9，且2a 3为3a 2和a 4的等差中项，设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T 8＝( )
A.12×37－16 B ．310 C.318 D ．320
答案 D
解析 由题意得a 2a 4＝a 23＝9.设等比数列{a n }的公比为q ，由2a 3为3a 2和a 4
的等差中项可得4a 3＝3a 2＋a 4，即4a 3＝3a 3
q ＋a 3q ，整理得q 2－4q ＋3＝0，由公比
不为1，解得q ＝3.所以T 8＝a 1·a 2·…·a 8＝a 81q 28＝(a 81q 16
)·q 12＝(a 1q 2)8·q 12＝a 83·
q 12＝94×312＝320.故选D.
2.(2019·江苏高考)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5
＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________.
答案 16
解析 解法一：由S 9＝27?9(a 1＋a 9)
2＝27?a 1＋a 9＝6?2a 5＝6?2a 1＋8d ＝6
且a 5＝3.又a 2a 5＋a 8＝0?2a 1＋5d ＝0，
解得a 1＝－5，d ＝2.故S 8＝8a 1＋8×(8－1)
2d ＝16.
解法二：同解法一得a 5＝3.
又a 2a 5＋a 8＝0?3a 2＋a 8＝0?2a 2＋2a 5＝0?a 2＝－3. ∴d ＝a 5－a 2
3＝2，a 1＝a 2－d ＝－5. 故S 8＝8a 1＋8×(8－1)
2
d ＝16.
3.在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8·a 9＝－98，则1a 7
＋1a 8
＋1a 9
＋1
a
10
＝________.
答案 －53
解析 由等比数列的性质可得，a 7·a 10＝a 8·a 9＝－98，∴1a 7
＋1a 8
＋1a 9
＋1
a 10
＝
? ????1a 7＋1a 10＋? ????1a 8＋1a 9＝a 7＋a 10a 7·
a 10＋a 8＋a 9a 8·a 9＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10
a 8·a 9＝－
53.
在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．如第1题要注意整体代换思想的运用，避免繁杂的运算出错；第3题易忽视等比数列性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q (m ，n ，p ，q ∈N *)”，而导致计算量过大.
热点2 求数列的通项公式
1.已知S n 求a n 的步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；
(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；
(3)注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并. 2.由递推关系式求数列的通项公式
(1)对于递推关系式可转化为a n ＋1
a n
＝f (n )的数列，并且容易在求数列{f (n )}前n
项的积时，采用叠乘法求数列{a n }的通项公式；
(2)对于递推关系式可转化为a n ＋1＝a n ＋f (n )的数列，通常采用叠加法(逐差相加法)求其通项公式；
(3)对于递推关系式形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0)的数列，采用构造法求数列的通项公式.
1.(2019·长沙雅礼中学、河南实验中学联考)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1n ＋1＝a n n ＋
ln ? ?
?
??1＋1n ，则a n 等于( ) A.2＋n ln n B ．2n ＋(n －1)ln n C.2n ＋n ln n D ．1＋n ＋n ln n
答案 C
解析 由题意得a n ＋1n ＋1－a n
n ＝ln (n ＋1)－ln n ，n 分别用1,2,3，…，(n －1)取代，
累加得a n n －a 11＝ln n －ln 1＝ln n ，a n
n ＝2＋ln n ，∴a n ＝(ln n ＋2)n ，故选C.
2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝2S n ，则数列{a n }的通项公
式为________.
答案 a n ＝???
1，n ＝1，
2·
3n －2，n ≥2
解析 当n ≥2时，a n ＝2S n －1，∴a n ＋1－a n ＝2S n －2S n －1＝2a n ，即a n ＋1＝3a n ，∴数列{a n }的第2项及以后各项构成等比数列，a 2＝2a 1＝2，公比为3，∴a n ＝2·3n
－2
，n ≥2，当n ＝1时，a 1＝1，
∴数列{a n }的通项公式为a n ＝???
1，n ＝1，
2·
3n －2，n ≥2.
(1)利用a n ＝S n －S n －1求通项时，应注意n ≥2这一前提条件．第2题易错解为a n ＝2·3n －2.
(2)利用递推关系式求数列通项时，要合理转化确定相邻两项之间的关系．第1题易错点有二：一是已知条件的转化不明确导致无从下手；二是叠加法求通项公式不熟练导致出错.
热点3 数列求和问题
1.分组求和的常用方法
(1)根据等差、等比数列分组；
(2)根据正、负项分组，此时数列的通项式中常会有(－1)n等特征.
2.裂项相消的规律
(1)裂项系数取决于前后两项分母的差；
(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多.
3.错位相减法的关注点
(1)适用题型：等差数列{a n}与等比数列{b n}对应项相乘{a n·b n}型数列求和；
(2)步骤
①求和时先乘以等比数列{b n}的公比；
②把两个和的形式错位相减；
③整理结果形式.
1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋1＋m ，且a 1，a 4，a 5－2成等差数列，b n ＝a n (a n －1)(a n ＋1－1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，则满足T n >2017
2018的最小正整数n
的值为( )
A.11 B ．10 C ．9 D ．8 答案 B 解析 根据S n ＝2
n ＋1
＋m 可以求得a n ＝???
m ＋4，n ＝1，
2n ，n ≥2，
所以有a 1＝m ＋4，a 4＝16，a 5＝32，根据a 1，a 4，a 5－2成等差数列， 可得m ＋4＋32－2＝32，从而求得m ＝－2， 所以a 1＝2满足a n ＝2n ，从而求得a n ＝2n (n ∈N *)，
所以b n ＝a n (a n －1)(a n ＋1－1)＝2n (2n －1)(2n ＋1－1)＝12n －1－1
2n ＋1－1
，
所以T n ＝1－13＋13－17＋17－115＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－1
2n ＋1－1，令1－
12n ＋1
－1
>2017
2018，整理得2n ＋1>2019，解得n ≥10. 2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝n ·2n ，则S n ＝________. 答案 (n －1)2n ＋1＋2
解析 由a n ＝n ·2n 且S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 得， S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ， ∴2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1. 两式相减得，
－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1
∴S n ＝n ×2n ＋1－2n ＋1＋2＝(n －1)2n ＋1＋2.
裂项相消后一般情况下剩余项是对称的，即前面剩余的项和后面剩余的项是对应的．第1题易搞错剩余项，导致求和出错．第2题错位相减法求和时，易出现以下两种错误：一是两式错位相减时最后一项n×2n＋1没有变号；二是对相减后的和式的结构认识模糊，把项数数错.
热点4数列的综合应用
1.解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.
2.数列与函数综合问题的注意点
(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，在求数列最值或不等关系时要特别注意；
(2)利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化.
1.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝4
5，a n ＋
1＝?????
2a n ，0≤a n ≤1
2，2a n －1，1