高考理科数学专题复习题型数列

第8讲数列
[考情分析]数列为每年高考必考内容之一,考查热点主要有三个方面:(1)对等差、等比数列基本量和性质的考查,常以客观题的形式出现,考查利用通项公式、前n项和公式建立方程(组)求解,利用性质解决有关计算问题,属于中、低档题;(2)对数列通项公式的考查;(3)对数列求和及其简单应用的考查,主、客观题均会出现,常以等差、等比数列为载体,考查数列的通项、求和,难度中等.
热点题型分析
热点1等差、等比数列的基本运算及性质
1.等差(比)数列基本运算的解题策略
(1)设基本量a1和公差d(公比q);
(2)列、解方程(组):把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组),然后求解,注意整体计算,以减少运算量.
2.等差(比)数列性质问题的求解策略
(1)解题关键:抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手选择恰当的性质进行求解;
(2)牢固掌握等差(比)数列的性质,可分为三类:①通项公式的变形;②等差(比)中项的变形;③前n项和公式的变形.比如:等差数列中,“若m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q(m,n,p,q∈N*)”;等比数列中,“若m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q(m,n,p,q∈N*)”.

1.已知在公比不为1的等比数列{a n }中,a 2a 4=9,且2a 3为3a 2和a 4的等差中项,设数列{a n }的前n 项积为T n ,则T 8=( )
A.12×37-16 B .310 C.318 D .320
答案 D
解析 由题意得a 2a 4=a 23=9.设等比数列{a n }的公比为q ,由2a 3为3a 2和a 4
的等差中项可得4a 3=3a 2+a 4,即4a 3=3a 3
q +a 3q ,整理得q 2-4q +3=0,由公比
不为1,解得q =3.所以T 8=a 1·a 2·…·a 8=a 81q 28=(a 81q 16
)·q 12=(a 1q 2)8·q 12=a 83·
q 12=94×312=320.故选D.
2.(2019·江苏高考)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5
+a 8=0,S 9=27,则S 8的值是________.
答案 16
解析 解法一:由S 9=27?9(a 1+a 9)
2=27?a 1+a 9=6?2a 5=6?2a 1+8d =6
且a 5=3.又a 2a 5+a 8=0?2a 1+5d =0,
解得a 1=-5,d =2.故S 8=8a 1+8×(8-1)
2d =16.
解法二:同解法一得a 5=3.
又a 2a 5+a 8=0?3a 2+a 8=0?2a 2+2a 5=0?a 2=-3. ∴d =a 5-a 2
3=2,a 1=a 2-d =-5. 故S 8=8a 1+8×(8-1)
2
d =16.
3.在等比数列{a n }中,若a 7+a 8+a 9+a 10=158,a 8·a 9=-98,则1a 7
+1a 8
+1a 9
+1
a
10
=________.
答案 -53
解析 由等比数列的性质可得,a 7·a 10=a 8·a 9=-98,∴1a 7
+1a 8
+1a 9
+1
a 10
=
? ????1a 7+1a 10+? ????1a 8+1a 9=a 7+a 10a 7·
a 10+a 8+a 9a 8·a 9=a 7+a 8+a 9+a 10
a 8·a 9=-
53.
在求解数列基本量运算中,要注意公式使用时的准确性与合理性,更要注意运算的准确性.如第1题要注意整体代换思想的运用,避免繁杂的运算出错;第3题易忽视等比数列性质“若m +n =p +q ,则a m ·a n =a p ·a q (m ,n ,p ,q ∈N *)”,而导致计算量过大.
热点2 求数列的通项公式
1.已知S n 求a n 的步骤 (1)先利用a 1=S 1求出a 1;
(2)用n -1替换S n 中的n 得到一个新的关系,利用a n =S n -S n -1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式;
(3)注意检验n =1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并. 2.由递推关系式求数列的通项公式
(1)对于递推关系式可转化为a n +1
a n
=f (n )的数列,并且容易在求数列{f (n )}前n
项的积时,采用叠乘法求数列{a n }的通项公式;
(2)对于递推关系式可转化为a n +1=a n +f (n )的数列,通常采用叠加法(逐差相加法)求其通项公式;
(3)对于递推关系式形如a n +1=pa n +q (p ≠0,1,q ≠0)的数列,采用构造法求数列的通项公式.
1.(2019·长沙雅礼中学、河南实验中学联考)在数列{a n }中,a 1=2,a n +1n +1=a n n +
ln ? ?
?
??1+1n ,则a n 等于( ) A.2+n ln n B .2n +(n -1)ln n C.2n +n ln n D .1+n +n ln n
答案 C
解析 由题意得a n +1n +1-a n
n =ln (n +1)-ln n ,n 分别用1,2,3,…,(n -1)取代,
累加得a n n -a 11=ln n -ln 1=ln n ,a n
n =2+ln n ,∴a n =(ln n +2)n ,故选C.
2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,a n +1=2S n ,则数列{a n }的通项公
式为________.
答案 a n =???
1,n =1,
2·
3n -2,n ≥2
解析 当n ≥2时,a n =2S n -1,∴a n +1-a n =2S n -2S n -1=2a n ,即a n +1=3a n ,∴数列{a n }的第2项及以后各项构成等比数列,a 2=2a 1=2,公比为3,∴a n =2·3n
-2
,n ≥2,当n =1时,a 1=1,
∴数列{a n }的通项公式为a n =???
1,n =1,
2·
3n -2,n ≥2.
(1)利用a n =S n -S n -1求通项时,应注意n ≥2这一前提条件.第2题易错解为a n =2·3n -2.
(2)利用递推关系式求数列通项时,要合理转化确定相邻两项之间的关系.第1题易错点有二:一是已知条件的转化不明确导致无从下手;二是叠加法求通项公式不熟练导致出错.
热点3 数列求和问题
1.分组求和的常用方法
(1)根据等差、等比数列分组;
(2)根据正、负项分组,此时数列的通项式中常会有(-1)n等特征.
2.裂项相消的规律
(1)裂项系数取决于前后两项分母的差;
(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多.
3.错位相减法的关注点
(1)适用题型:等差数列{a n}与等比数列{b n}对应项相乘{a n·b n}型数列求和;
(2)步骤
①求和时先乘以等比数列{b n}的公比;
②把两个和的形式错位相减;
③整理结果形式.
1.已知数列{a n }的前n 项和为S n =2n +1+m ,且a 1,a 4,a 5-2成等差数列,b n =a n (a n -1)(a n +1-1),数列{b n }的前n 项和为T n ,则满足T n >2017
2018的最小正整数n
的值为( )
A.11 B .10 C .9 D .8 答案 B 解析 根据S n =2
n +1
+m 可以求得a n =???
m +4,n =1,
2n ,n ≥2,
所以有a 1=m +4,a 4=16,a 5=32,根据a 1,a 4,a 5-2成等差数列, 可得m +4+32-2=32,从而求得m =-2, 所以a 1=2满足a n =2n ,从而求得a n =2n (n ∈N *),
所以b n =a n (a n -1)(a n +1-1)=2n (2n -1)(2n +1-1)=12n -1-1
2n +1-1
,
所以T n =1-13+13-17+17-115+…+12n -1-12n +1-1=1-1
2n +1-1,令1-
12n +1
-1
>2017
2018,整理得2n +1>2019,解得n ≥10. 2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n =n ·2n ,则S n =________. 答案 (n -1)2n +1+2
解析 由a n =n ·2n 且S n =a 1+a 2+…+a n 得, S n =1×21+2×22+3×23+…+(n -1)×2n -1+n ×2n , ∴2S n =1×22+2×23+…+(n -1)×2n +n ×2n +1. 两式相减得,
-S n =21+22+23+…+2n -n ×2n +1 =2(1-2n )1-2-n ×2n +1=2n +1-2-n ×2n +1
∴S n =n ×2n +1-2n +1+2=(n -1)2n +1+2.
裂项相消后一般情况下剩余项是对称的,即前面剩余的项和后面剩余的项是对应的.第1题易搞错剩余项,导致求和出错.第2题错位相减法求和时,易出现以下两种错误:一是两式错位相减时最后一项n×2n+1没有变号;二是对相减后的和式的结构认识模糊,把项数数错.
热点4数列的综合应用
1.解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.
2.数列与函数综合问题的注意点
(1)数列是一类特殊的函数,其定义域是正整数集,在求数列最值或不等关系时要特别注意;
(2)利用函数的方法研究数列中相关问题时,应准确构造函数,注意数列中相关限制条件的转化.
1.设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=4
5,a n +
1=?????
2a n ,0≤a n ≤1
2,2a n -1,1