2020年高考文科数学易错题《 基本初等函数》题型归纳与训练

2020年高考文科数学《 基本初等函数》题型归纳与训练

【题型归纳】

题型一 幂函数的图像与性质

例1 已知幂函数()x f y =的图象过点

），（2

221，则()2log 2f 的值为( ) A.

2

1

B ．2

1

-

C ．1-

D ．1

【答案】A

【解析】由幂函数()a

x x f =的图象过点），（2221，得22)21()21(==αf ，2

1=a ，则幂函数()21

x x f =， ∴()2

1

22=f ，∴()2

1

2log 2=

f .故选A . 【易错点】幂函数的运算法则，以及对数的运算公式. 【思维点拨】熟练掌握幂函数的函数类型()a

x x f =.

例2 如果幂函数()2

3212++-=p p x x f ()Z p ∈是偶函数，且在()+∞,0上是增函数，求p 的值，并写出相应的

函数()x f 的解析式.

【答案】1=p ，()2

x x f =.

【解析】因为()x f 在()+∞,0上是增函数，

所以02

3

212>++-

p p ，

，所以31<<-p . 又因为()x f 是偶函数且Z p ∈，所以1=p ，故()2

x x f =.

【易错点】易忘记Z p ∈这一关键条件，以及幂函数在()+∞,0递增时指数的特征.

【思维点拨】熟练掌握幂函数的函数()a

x x f =的奇偶性特征，以及幂函数在()+∞,0上是单调递增时幂函

数的指数恒为正数.

题型二 二次函数的图像和性质（最值）

例1 已知()532

-+=x x x f ，[]1,+∈t t x ，若()x f 的最小值为()t h ，写出()t h 的表达式 .

2

【答案】????

??

???->-+-≤<---≤-+=)23(53)2325

(4

29)25(15)(2

2

t t t t t t t t h

【解析】如图所示，函数图像的对称轴为2

3

-=x （1）当231-≤+t ，即2

5-≤t 时，()()1512

-+=+=t t t f t h . （2）当123+≤-≤t t ，即23

25-≤<-t 时，()42923-=??

?

??-=f t h .

（3）当2

3-

>t 时，()()532

-+==t t t f t h . 综上可得22551,

22953(),42

2335.

2

t t t h t t t t t ??

?+-- ?????

???=--<-? ??????

?+->-? ????

≤≤ 【易错点】首先要注意二次函数的开口方向，然后才可以根据二次函数的对称轴去进行分类讨论. 【思维点拨】所求二次函数解析式（所以图像也）固定,区间变动,可考虑区间在变动过程中,二次函数的单调性,从而利用二次函数的单调性求函数在区间上的最值.

例2 已知函数()?????<-≥+-=020222

x x

x x x x x f ，若关于x 的不等式()[]()02

2<-+b x af x f 恰有1个整数解，则

实数a 的最大值是( )

A ．2

B ．3

C ．5

D ．8

【答案】D

【解析】作出函数()x f 的图象如图实线部分所示，由

()[]()0

22<-+b x af x f 得

()2

4242

222b a a x f b a a ++-<<+--，若0≠b ，则()0=x f 满足不等式，即不等式有2个整数解，

不满足题意，所以0=b ，所以()0<<-x f a ，且整数解x 只能是3，当42<

【易错点】这是二次函数的复合函数，务必理清楚和掌握函数的图像.

【思维点拨】根据数型结合画出函数的图像，然后利用方程的求根公式进行解题. 题型三 指数函数 例1 已知奇函数

()f x 在R 上是增函数.若21log 5

a f ??

=- ??

?

，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c

的大小关系为（ ）.

A.a b c <<

B.b a c <<

C.c b a <<

D.c a b << 【答案】C

【解析】因为()f x 在R 上是奇函数，所以()2

2211log log log 555a f f f ???

?=-=-= ? ????

?，又因为()f x 在

R 上是增函数，且0.8

22202

2log 4log 4.1log 5<<=<<，所以()()0.82212log 4.1log 5

f f f ?

?<<- ??

?

，即

c b a <<.故选C ．

【思维点拨】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算，为基础题。首先根据奇函数的性质和对数

运算法则，，再比较比较大小.

例2 设函数1,0()2,0

x

x x f x x +?=?

>?≤，则满足1

()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________． 【答案】

()2log 5a f =0.8

22log 5,log 4.1,2

1,4??

-

+∞ ???

4

【解析】

当12

x >时，不等式为1

2221x x

-+>恒成立；

当102x <≤

，不等式1

2112

x x +-+>恒成立； 当0x ≤时，不等式为11112x x ++-+>，解得14x >-，即1

04

x -<≤；

综上，x 的取值范围为1

(,)4

-+∞．

【思维点拨】本题以分段函数（含指数函数）为载体，求解不等式。考查了分类思想。解题需注意； (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式

求值，当出现()()a f f 的形式时，应从内到外依次求值.

(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.

题型四 对数函数

例1 已知函数log ()a y x c =+（,a c 为常数，其中0,1a a >≠）的图象如图，则下列结论成立的是

A ．0,1a c >>

B ．1,01a c ><<

C ．01,1a c <<>

D ．01,01a c <<<< 【答案】 D

【解析】由图象可知01a <<，当0x =时，log ()log 0a a x c c +=>，得01c <<．

例2 若函数2

1

2

log ,0()log (),0x x f x x x >??=?--,则实数a 的取值范围是（ ）

A ．(1,0)(0,1)-U

B ．(,1)(1,)-∞-+∞U

C ．(1,0)(1,)-+∞U

D ．(,1)(0,1)-∞-U 【答案】 C

【解析】由分段函数的表达式知，需要对a 的正负进行分类讨论

.

2112

22

0<0()()log log log ()log ()

a a f a f a a a a a >????

>-???>->-????或

01101

12a a a a a a a

<>??????>-<????或或．

例3 若函数x

a y =,0(>a 且)1≠a 的值域为{}1|≥y y ，则函数x y a log =的图象大致是( )

【答案】 B

【解析】由于x

a y =的值域为{}1|≥y y ，∴ 1>a ，则x y a log =在()+∞,0上是增函数，

又 函数x y a log =的图象关于y 轴对称.因此x y a log =的图象应大致为选项B .

【思维点拨】指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围. 题型五 函数的应用

例1 某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系b

kx e

y +=(718.2≈e 为自

然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时. 【答案】24

【解析】由已知条件，得b e =192，

又()

2

112248e e e b b k ==+， ∴2

1

11=

k e ，设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时， 则2433==+b

k e

t . 【思维点拨】重点考察对指数函数应用题的理解和计算.

【巩固训练】

幂函数的图像与性质

1.函数()()

m

x m m x f 12

--=是幂函数，且在()+∞∈,0x 上为增函数，则实数m 的值是(

)

6

A ．－1

B ．2

C ．3

D ．－1或2

【答案】B

【解析】由题知?

??>=--01

12m m m ，解得2=m .故选B .

2.已知11{2,1,,,1,2,3}22

α∈---，若幂函数()α

=f x x 为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则α=_____． 【答案】1-

【解析】由题意()f x 为奇函数，所以α只能取1,1,3-，又()f x 在(0,)+∞上递减，所以1α=-． 3.已知幂函数()a

x x f =的部分对应值如下表：

则不等式()

2≤x f 的解集是 . 【答案】[]4,4-

【解析】由2

1

22)21(=?=

αf ，故()4221

≤??≤x x x f ，故其解集为[]4,4-. 题型二 二次函数的图像和性质（最值）

1.已知,,a b c R ∈，函数()2

f x ax bx c =++.若()()()041f f f =>，则（ ）.

A. 0a >，40a b +=

B. 0a <，40a b +=

C. 0a >，20a b +=

D. 0a <，20a b += 【答案】A

【解析】 因为()()()041f f f =>，所以函数图象应开口向上，即0a >，且其对称轴为2x =，即22b

a

-=，所以40a b +=，故选A .

2.已知函数()?

??≤-->-=0201

22x x x x x x f ，若函数()()m x f x g -=有3个零点，则实数m 的取值范围是_______．

【答案】[)1,0

【解析】若函数()()m x f x g -=有3个零点，即()x f y =与m y =有3个不同的交点，作出()x f 的图象和

m y =的图象，可得出m 的取值范围是[)1,0．

3.已知对任意的[]1,1-∈a ，函数()()a x a x x f 2442

-+-+=的值总大于0，则x 的取值范围是( )

A ．(1,3)

B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)

C ．(1,2)

D ．(－∞，2)∪(3，＋∞)

【答案】B

【解析】()()4422442

2

+-+-=-+-+x x a x a x a x .令()()4422

+-+-=x x a x a g ，则由题知，当

[]1,1-∈a 时，()0>a g 恒成立，则须?

??>>-0)1(0

)1(g g ，解得1x .故选B .

题型三 指数函数

1. 已知，则函数和在同一坐标系中的图象只可能是图中的（ ）

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】根据题意，由，函数在R 上为减函数，可排除选项A 、C ，又，则

函数的图象是开口向下.故选D.

2.已知函数（且）的图象如下图所示，则的值是________．

01a <

y a =2

(1)y a x =-01a <

y a =110a -<-<2

(1)y a x =-2

y a b =+0a >1a ≠a b

-

B

8

【答案】6

【解析】由函数（且）过点代入表达式得： ，

所以

3.与函数 的图象有且仅有两个公共点，则实数的取值范围是____.

【答案】

【解析】的图象由的图象向下平移一个单位，再将轴下方的图象翻折到

轴上方得到，分和两种情况分别作图，如图所示，当时不合题意；时，需要，即，故答案为.

题型四 对数函数

1.若点(,)a b 在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是（ ）

A ．1

(,)b a B ．(10,1)a b - C ．10

(,1)b a

+ D ．2(,2)a b 【答案】D

x

y a b =+0a >1a ≠(2,0),(0,3)-2,4a b ==-6a b -=2y a =()101x y a a a =->≠且a 10,2?? ???

()101x

y a a a =->≠且x

a y =x x 1>a 10<a 1

0<

?

【解析】当2x a =时，2lg 2lg 2y a a b ===，所以点2

(,2)a b 在函数lg y x =图象上．

2.如果,0log log 2

12

1<

A ．1y x <<

B ．1x y <<

C ．1x y <<

D ．1y x <<

【答案】D

【解析】根据对数函数的性质得1x y >>． 3.当102

x <≤

时，4log x

a x <，则a 的取值范围是 （ ） A

．(0,

2 B

．2

C

． D

．2) 【答案】B

【解析】由指数函数与对数函数的图像知1201

1log 4

2

a a <??

，解得12a <<，故选B. 4已知1a b >>，若5

log log 2

a b b a +=，b a a b =，则a =________，b =_______. 【答案】4 2

【解析】设log b a t =，则1t >，因为215

22

t t a b t +=?=?=，

因此2

2222, 4.b a b b a b b b b b b a =?=?=?==

6.在同一直角坐标系中,函数()a

x x f =,()x x g a log =的图象可能是( )

【答案】D

【解析】因为0>a ,所以()a

x x f =在()+∞,0上为增函数,故A 错.在B 中,由()x f 的图象知1>a ,由()

x g 的图象知10<a ,矛盾,故C 错.在D 中,由()x f 的图象知10<

D.

10