高考文科数学练习题高考常考的6大题型
第3课时 题型上——全析高考常考的6大题型
题型一 圆锥曲线中的定点问题
圆锥曲线中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆过定点的问题(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一般可分为以下三步：
一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)．
二求：求出定点所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程．
三定点：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标．
[典例] (2019·成都一诊)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (3，0)，长半轴
的长与短半轴的长的比值为2.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
[解] (1)由题意得，c ＝3，a
b ＝2，a 2＝b 2＋
c 2， ∴a ＝2，b ＝1，
∴椭圆C 的标准方程为x 24
＋y 2
＝1.
(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
联立，得?
????
y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y 可得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. ∴Δ＝16(4k 2＋1－m 2)＞0，x
1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－4
4k 2＋1
. ∵点B 在以线段MN 为直径的圆上， ∴BM ―→·BN ―→
＝0.
∵BM ―→·BN ―→＝(x 1，kx 1＋m －1)·(x 2，kx 2＋m －1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2
＝0，
∴(k 2＋1)
4m 2－44k 2
＋1＋k (m －1)－8km
4k 2＋1
＋(m －1)2＝0， 整理，得5m 2－2m －3＝0， 解得m ＝－3
5
或m ＝1(舍去)．
∴直线l 的方程为y ＝kx －3
5
.
易知当直线l 的斜率不存在时， 不符合题意． 故直线l 过定点，且该定点的坐标为????0，－35. [方法技巧]
求解圆锥曲线中定点问题的2种方法
(1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．
(2)直接推理法：①选择一个参数建立方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常数k 当成变量，将变量x ，y 当成常数，将原方程转化为kf (x ，y )＋g (x ，y )＝0的形式；②根据曲线(包含直线)过定点时与参数没有关系(即方程对参数的任意值都成立)，得
到方程组?
????
f (x ，y )＝0，
g (x ，y )＝0；③以②中方程组的解为坐标的点就是曲线所过的定点，若定点具备
一定的限制条件，可以特殊解决．
[针对训练]
如图，已知直线l ：y ＝kx ＋1(k ＞0)关于直线y ＝x ＋1对称的直线为l 1，直线l ，l 1与椭圆E ：x 24＋y 2
＝1分别交于点A ，M 和A ，N ，
记直线l 1的斜率为k 1.
(1)求k ·k 1的值；
(2)当k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．
解：(1)设直线l 上任意一点P (x ，y )关于直线y ＝x ＋1对称的点为P 0(x 0，y 0)， 直线l 与直线l 1的交点为(0,1)， ∴l ：y ＝kx ＋1，l 1：y ＝k 1x ＋1， k ＝
y －1x ，k 1＝y 0－1x 0，由y ＋y 02＝x ＋x 0
2
＋1， 得y ＋y 0＝x ＋x 0＋2，① 由
y －y 0
x －x 0
＝－1，得y －y 0＝x 0－x ，② 由①②得?
????
y ＝x 0＋1，
y 0＝x ＋1，
∴k ·k 1＝yy 0－(y ＋y 0)＋1
xx 0
＝
(x ＋1)(x 0＋1)－(x ＋x 0＋2)＋1
xx 0
＝1.
(2)由????
?
y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0，
设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )， ∴x M ＝－8k 4k 2＋1，y M ＝1－4k 2
4k 2＋1
.
同理可得x N ＝－8k 14k 21＋1＝－8k 4＋k 2，y N ＝1－4k 214k 21＋1＝k 2
－4
4＋k
2. k MN ＝y M －y N x M －x N ＝1－4k 24k 2＋1－
k 2－4
4＋k 2－8k 4k 2＋1－
－8k 4＋k 2＝8－8k 48k (3k 2－3)
＝－k 2＋13k ，
直线MN ：y －y M ＝k MN (x －x M )， 即y －1－4k 24k 2＋1
＝－k 2＋13k ? ?
???x －－8k 4k 2＋1， 即y ＝－k 2＋13k x －8(k 2＋1)3(4k 2＋1)＋1－4k 24k 2＋1＝－k 2＋13k x －5
3.
∴当k 变化时，直线MN 过定点?
???0，－5
3. 题型二 圆锥曲线中的定值问题
圆锥曲线中的定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量(斜率、距离、面积、比值等)与变量(斜率、点的坐标等)无关的问题.其求解步骤一般为：
一选：选择变量，一般为点的坐标、直线的斜率等.
二化：把要求解的定值表示成含上述变量的式子，并利用其他辅助条件来减少变量的个数，使其只含有一个变量(或者有多个变量，但是能整体约分也可以).
三定值：化简式子得到定值.由题目的结论可知要证明为定值的量必与变量的值无关，故求出的式子必能化为一个常数，所以只须对上述式子进行必要的化简即可得到定值.
[典例] (2019·沈阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点为F 1，F 2，离心率为1
2，
点P 为其上一动点，且三角形PF 1F 2的面积最大值为3，O 为坐标原点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若点M ，N 为C 上的两个动点，求常数m ，使OM ―→·ON ―→
＝m 时，点O 到直线MN 的距离为定值，求这个定值．
[解]
(1)依题意知???
??
c 2＝a 2－b 2，
bc ＝3，
c a ＝12，
解得???
a ＝2，
b ＝3，
所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝m ，
当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋n ，则点O 到直线MN 的距离d ＝ |n |
k 2＋1
＝
n 2
k 2＋1
， 联立，得?
????
3x 2＋4y 2＝12，
y ＝kx ＋n ，消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋8knx ＋4n 2－12＝0, 由Δ＞0得4k 2
－n 2＋3＞0，则
x 1＋x 2＝－8kn 4k 2＋3，x 1x 2＝4n 2－12
4k 2＋3
，
所以x 1x 2＋(kx 1＋n )(kx 2
＋n )＝(k 2＋1)x
1x 2＋kn (x 1＋x 2
)＋n 2＝m ，整理得
7n 2
k 2＋1
＝12＋m (4k 2＋3)
k 2＋1
.
因为d ＝
n 2
k 2＋1为常数，则m ＝0，d ＝ 127＝2217
， 此时7n 2
k 2＋1
＝12满足Δ＞0.
当MN ⊥x 轴时，由m ＝0得k OM ＝±1，
联立，得?
????
3x 2＋4y 2＝12，y ＝±x ，消去y ，得x 2＝127，
点O 到直线MN 的距离d ＝|x |＝
221
7
亦成立． 综上，当m ＝0时，点O 到直线MN 的距离为定值，这个定值是221
7.
[方法技巧]
圆锥曲线中定值问题的特点及2大解法
(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值． (2)两大解法：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②引进变量法：其解题流程为
[针对训练]
已知F 1，F 2分别为椭圆Ω：x 24＋y 2
b
2＝1(b ＞0)的左、右焦点．
(1)当b ＝1时，若P 是椭圆Ω上一点，且P 位于第一象限，PF 1―→·PF 2―→
＝－54，求点P 的
坐标；
(2)当椭圆Ω的焦距为2时，若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆Ω相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，且3x 1x 2＋4y 1y 2＝0，证明：△AOB 的面积为定值(O 为坐标原点)．
解：(1)当b ＝1时，椭圆方程为x 24＋y 2
＝1，则F 1(－3，0)，F 2(3，0)．
设P (x ，y )(x ＞0，y ＞0)，则PF 1―→＝(－3－x ，－y )，PF 2―→
＝(3－x ，－y )， 由PF 1―→·PF 2―→
＝－54，得x 2＋y 2＝74
.
结合x 24＋y 2＝1，x ＞0，y ＞0，解得x ＝1，y ＝3
2，
所以点P 的坐标为??
?
?1，
32. (2)当椭圆Ω的焦距为2时，c ＝1，则
b 2＝a 2－
c 2＝3，椭圆
Ω的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
由????
?
y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1消去y 并整理，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 则Δ＝64k 2m 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)＝48(3＋4k 2－m 2)＞0，即3＋4k 2－m 2＞0. 又x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2，
所以
y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝
3m 2－12k 2
3＋4k 2
，
由3x 1x 2＋4y 1y 2＝0，得3×4(m 2－3)3＋4k 2＋4×3m 2－12k 2
3＋4k 2
＝0，即2m 2＝3＋4k 2. 因为|AB |＝
1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·
48(3＋4k 2－m 2)
(3＋4k 2)2
＝
1＋k 2
·
48(2m 2－m 2)(2m 2)2
＝1＋k 2
·12m 2，
点O 到直线AB 的距离d ＝|m |1＋k 2＝m 2
1＋k 2
，
所以S △AOB ＝12·|AB |·d ＝12·1＋k 2
·12m 2·m 21＋k 2＝3，
即△AOB 的面积为定值，其定值为 3.
题型三 构造目标不等式解决范围问题
欲求变量的取值范围，可设法构造含有变量的不等式(组)，通过解不等式(组)来达到目的. [典例] 已知A 是椭圆E ：x 2t ＋y 2
3＝1(t ＞3)的左顶点，斜率为k (k ＞0)的直线交E 于A ，
M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .
(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围．
[解] (1)由|AM |＝|AN |，可得M ，N 关于x 轴对称，由MA ⊥NA ，可得直线AM 的斜率k 为1.
因为t ＝4，所以A (－2，0)， 所以直线AM 的方程为y ＝x ＋2，
代入椭圆方程E ：x 24＋y 2
3＝1，可得7x 2＋16x ＋4＝0，
解得x ＝－2或x ＝－2
7
，
所以M ????－27，127，N ????－27，－127， 则△AMN 的面积为12×247×????－27＋2＝144
49
. (2)由题意知t ＞3，k ＞0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 2
3＝1得
(3＋tk 2)x 2＋2ttk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.
设M (x 1，y 1)，则x 1·(－t )＝t 2k 2－3t
3＋tk 2，
即x 1＝t (3－tk 2)
3＋tk 2，
故|AM |＝|x 1＋t |
1＋k 2＝
6t (1＋k 2)
3＋tk 2
.
由题设知，直线AN 的方程为y ＝－1
k (x ＋t )， 故同理可得|AN |＝6k t (1＋k 2)
3k 2＋t .
由2|AM |＝|AN |得
2
3＋tk 2＝k 3k 2＋t
， 即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．
当k ＝3
2时上式不成立，因此t ＝3k (2k －1)k 3－2.
由t ＞3，得3k (2k －1)
k 3－2
＞3，
所以k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝(k －2)(k 2＋1)k 3－2＜0，即k －2k 3－2
＜0.
由此得????? k －2＞0，k 3－2＜0或?????
k －2＜0，k 3－2＞0，
解得3
2＜k ＜2.
因此k 的取值范围是(3
2，2)． [方法技巧]
圆锥曲线中范围问题的5个解题策略
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
[针对训练]
(2019·豫南九校联考)设椭圆x 2a 2＋y 2
3＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知|OA |－
|OF |＝1，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．
(1)求椭圆的方程及离心率e 的值；
(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围．
解：(1)由题意可知|OF |＝c ＝a 2－3， 又|OA |－|OF |＝1，
所以a －a 2－3＝1，解得a ＝2，
所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，离心率e ＝c a ＝1
2
.
(2)设M (x M ，y M )，易知A (2,0)，在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ?MA ≤MO ，
即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1.
设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．
设B (x B ，y B )，由?????
x 2
4＋y 2
3＝1，
y ＝k (x －2)消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，
解得x ＝2或x ＝8k 2－6
4k 2＋3
.
由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k
4k 2＋3.
由(1)知F (1,0)，设H (0，y H )，
则FH ―→＝(－1，y H )， BF ―→＝? ????9－4k 2
4k 2＋3，12k 4k 2＋3.
由BF ⊥HF ，得BF ―→·FH ―→
＝0，
即4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k ，
所以直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k 2
12k .
由?????
y ＝k (x －2)，y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，得x M ＝20k 2＋9
12(k 2＋1).
由x M ≥1，得20k 2＋912(k 2＋1)≥1，
解得k ≤－
64或k ≥64
， 所以直线l 的斜率的取值范围为??
??－∞，－
64∪???
?64，＋∞. 题型四 构造函数模型解决最值问题
若题目中的条件和要求的结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，然后根据其结构特征，构建函数模型求最值，一般情况下，常构建的函数模型有：(1)二次型函数；(2)双曲线型函数；(3)多项式型函数.
[典例] (2019·河南郑州一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，
F 2，以F 1F 2为直径的圆与直线ax ＋2by －3ab ＝0相切．
(1)求椭圆C 的离心率e ；
(2)如图所示，过F 1作直线l 与椭圆分别交于P ，Q 两点，若△P Q F 2
的周长为42，求F 2P ―→·F 2Q ―→的最大值．
[解] (1)由题意知
|－3ab |a 2＋4b 2
＝c ，则3a 2b 2＝c 2(a 2＋4b 2)，
即3a 2(a 2－c 2)＝c 2[a 2＋4(a 2－c 2)]，所以a 2＝2c 2，所以e ＝2
2
. (2)因为△P Q F 2的周长为42， 所以4a ＝42，即a ＝ 2.
由(1)知b 2
＝c 2
＝1，故椭圆C 方程为x 22
＋y 2
＝1，且焦点F 1(－1，0)，F 2(1,0)．
①若直线l 的斜率不存在，则可得l ⊥x 轴，方程为x ＝－1，P ??
??－1，22，Q ???
?－1，－22， F 2P ―→＝????－2，22，F 2Q ―→＝????－2，－22，
故F 2P ―→·F 2Q ―→＝7
2
.
②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，
由?
????
y ＝k (x ＋1)，x 2＋2y 2＝2消去y ， 得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝－4k 2
2k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1
.
因为F 2P ―→·F 2Q ―→
＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝(x 1－1)·(x 2－1)＋y 1y 2， 所以F 2P ―→·F 2Q ―→＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1，
则F 2P ―→·F 2Q ―→＝(k 2＋1)2k 2－22k 2＋1＋(k 2－1)????－4k 22k 2＋1＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1＝72－92(2k 2＋1)，
令t ＝2(2k 2＋1)，则F 2P ―→·F 2Q ―→＝72－9
t (t ＞2)，
所以F 2P ―→·F 2Q ―→
∈?
???－1，72. 结合①②，得F 2P ―→·F 2Q ―→
∈????－1，72， 所以F 2P ―→·F 2Q ―→
的最大值是72.
[方法技巧]
求解圆锥曲线中最值问题的2种方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法： (1)利用几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；
(2)利用代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
[针对训练]
(2019·安康质检)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，由M (－a ，
b )，N (a ，b )，F 2和F 1这4个点构成了一个高为3，面积为33的等腰梯形．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点F 1的直线和椭圆交于A ，B 两点，求△F 2AB 面积的最大值． 解：(1)由已知条件，得b ＝3，且
2a ＋2c
2
×3＝33， ∴a ＋c ＝3.又a 2－c 2＝3，∴a ＝2，c ＝1， ∴椭圆的方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)显然，直线的斜率不能为0，
设直线的方程为x ＝my －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 联立方程，得?????
x 2
4＋y 2
3＝1，
x ＝my －1，消去x 得，
(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0. ∵直线过椭圆内的点，
∴无论m 为何值，直线和椭圆总相交． ∴y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－9
3m 2＋4.
∴S △F 2AB ＝1
2|F 1F 2||y 1－y 2|＝|y 1－y 2|
＝
(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12
m 2＋1
(3m 2＋4)2
＝4
m 2＋1
?
???m 2＋1＋132
＝4
1
m 2＋1＋
23＋
19(m 2＋1).
令t ＝m 2＋1≥1，设f (t )＝t ＋1
9t ，易知t ∈()1，＋∞时，函数f (t )单调递增，
∴当t ＝m 2＋1＝1，即m ＝0时，f (t )取得最小值，f (t )min ＝10
9
，此时，S △F 2AB 取得最大值3.
题型五 圆锥曲线中的证明问题
圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接法证明，但有时也会用到反证法．
[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C ：x 22＋y 2
＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，
B 两点，点M 的坐标为(2,0)．
(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB .
[解] (1)由已知得F (1,0)，l 的方程为x ＝1. 则点A 的坐标为??
??1，22或???
?1，－22. 又M (2,0)，
所以直线AM 的方程为y ＝－
22x ＋2或y ＝2
2
x －2， 即x ＋2y －2＝0或x －2y －2＝0.
(2)证明：当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°. 当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线， 所以∠OMA ＝∠OMB .
当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为 y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＜2，x 2＜2，直线MA ，MB 的斜率之和为 k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2
x 2－2.
由y 1＝kx 1－k ，y 2＝kx 2－k ，
得k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k
(x 1－2)(x 2－2).
将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2
＝1，
得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 2
2k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.
则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k
2k 2＋1＝0.
从而k MA ＋k MB ＝0， 故MA ，MB 的倾斜角互补． 所以∠OMA ＝∠OMB .
综上，∠OMA ＝∠OMB 成立． [方法技巧]
证明两角相等问题的方法
圆锥曲线中的两角相等问题，其实就是有公共边的两个角(公共边所在直线垂直于坐标轴)的不相同的边所在直线的倾斜角互补的问题，即已知点B ，D 在垂直于坐标轴的同一直线上，若要证明∠ABD ＝∠CBD ，需证k AB ＋k BC ＝0.
[针对训练]
(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1交于A ，B 两点，线段AB
的中点为M (1，m )(m ＞0)．
(1)证明：k ＜－1
2
；
(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP ―→＋FA ―→＋FB ―→＝0.证明：|FA ―→|，|FP ―→|，|FB ―→
|成等差数列，并求该数列的公差．
证明：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 214＋y 213＝1，x 22
4＋y 2
23
＝1. 两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.
由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－3
4m .①
由题设得0＜m ＜32，故k ＜－1
2.
(2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，
则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)． 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1， y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m ＜0. 又点P 在C 上，所以m ＝3
4，
从而P ????1，－32，|FP ―→|＝32， 于是|FA ―→
|＝(x 1－1)2＋y 21＝
(x 1－1)2＋3
????1－x 2
14＝2－x 12.同理|FB ―→|＝2－x 22
. 所以|FA ―→|＋|FB ―→
|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.
故2|FP ―→|＝|FA ―→|＋|FB ―→|，
即|FA ―→|，|FP ―→|，|FB ―→
|成等差数列． 设该数列的公差为d ，
则2|d |＝||FB ―→|－|FA ―→||＝1
2|x 1－x 2|
＝12
(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.②
将m ＝3
4代入①得k ＝－1，
所以l 的方程为y ＝－x ＋7
4
，
代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋1
4＝0.
故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝
128，代入②解得|d |＝32128
. 所以该数列的公差为32128或－321
28
.
题型六 圆锥曲线中的存在性问题
存在性问题一般分为探究条件和探究结论两种类型，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在.若探究结论，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.
[典例] (2019·吉林五校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点与短轴的一个
端点连线构成等边三角形，且椭圆C 的短轴长为2 3.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)是否存在过点P (0,2)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，且满足OM ―→·ON ―→
＝2(O 为坐标原点)？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由题意得????
?
2b ＝23，
a ＝2c ，
a 2＝
b 2＋
c 2，
解得???
a ＝2，
b ＝ 3.
∴椭圆C 的标准方程是x 24＋y 2
3
＝1.
(2)当直线l 的斜率不存在时，M (0，3)，N (0，－3)，OM ―→·ON ―→
＝－3，不符合题意． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由?????
x 2
4＋y 2
3＝1，y ＝kx ＋2消去y 整理得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0， 则Δ＝(16k )2－16(3＋4k 2)＞0，解得k ＜－12或k ＞12.
x 1＋x 2＝－16k 3＋4k 2，x 1x 2
＝4
3＋4k 2
， ∴OM ―→·ON ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2
)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝4(1＋k 2)3＋4k 2－32k 23＋4k 2＋4＝16－12k 23＋4k 2.
∵OM ―→·ON ―→
＝2，∴16－12k 23＋4k 2＝2，
解得k ＝±2
2
，满足Δ＞0，
故存在符合题意的直线，其方程为k ＝±2
2
x ＋2.
[方法技巧]
圆锥曲线中存在性问题的求解方法
(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．
(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法． [针对训练]
(2019·福州四校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，短轴
的一个端点为P ，△PF 1F 2内切圆的半径为b
3，设过点F 2的直线l 被椭圆C 截得的线段为RS ，
当l ⊥x 轴时，|RS |＝3.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)在x 轴上是否存在一点T ，使得当l 变化时，总有TS 与TR 所在直线关于x 轴对称？若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)由内切圆的性质，
得12×2c ×b ＝1
2×(2a ＋2c )×b 3，得c a ＝12. 将x ＝c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，所以2b 2
a ＝3.
又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝3， 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)当直线l 垂直于x 轴时，显然x 轴上任意一点T 都满足TS 与TR 所在直线关于x 轴对称．
当直线l 不垂直于x 轴时，假设存在T (t,0)满足条件，设l 的方程为y ＝k (x －1)，R (x 1，y 1)，S (x 2，y 2)．
联立方程，得?
????
y ＝k (x －1)，
3x 2＋4y 2－12＝0，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 由根与系数的关系得?????
x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2
，
x 1x 2
＝4k 2
－12
3＋4k
2
，①
其中Δ＞0恒成立，
由TS 与TR 所在直线关于x 轴对称，得k TS ＋k TR ＝0(显然TS ，TR 的斜率存在)，
即
y 1x 1－t ＋y 2
x 2－t
＝0.② 因为R ，S 两点在直线y ＝k (x －1)上， 所以y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，代入②得 k (x 1－1)(x 2－t )＋k (x 2－1)(x 1－t )
(x 1－t )(x 2－t )
＝
k [2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ]
(x 1－t )(x 2－t )
＝0，
即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，③ 将①代入③得
8k 2－24－(t ＋1)8k 2＋2t (3＋4k 2)3＋4k 2＝6t －24
3＋4k 2
＝0，④
则t ＝4，综上所述，存在T (4,0)，使得当l 变化时，总有TS 与TR 所在直线关于x 轴对称．
[课时跟踪检测]
1．(2019·唐山联考)已知F 为抛物线E ：y 2＝4x 的焦点，过点P (0,2)作两条互相垂直的直线m ，n ，直线m 交E 于不同的A ，B 两点，直线n 交E 于不同的两点C ，D ，记直线m 的斜率为k .
(1)求k 的取值范围；
(2)设线段AB ，CD 的中点分别为点M ，N ，证明：直线MN 过定点Q (2,0)． 解：(1)由题设可知k ≠0， 所以直线m 的方程为y ＝kx ＋2， 与y 2＝4x 联立，整理得ky 2－4y ＋8＝0.① 由Δ1＝16－32k ＞0，解得k ＜1
2
.
直线n 的方程为y ＝－1
k x ＋2，与y 2＝4x 联立， 整理得y 2＋4ky －8k ＝0，
由Δ2＝16k 2＋32k ＞0，解得k ＞0或k ＜－2. 所以?????
k ≠0，k ＜12，
k ＞0或k ＜－2，
故k 的取值范围为(－∞，－2)∪????0，1
2. (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)．
由①得，y 1＋y 2＝4k ，则y 0＝2k ，x 0＝2k
2－2k ，则M ????2k 2－2k ，2k .同理可得N (2k 2
＋2k ，－2k )．
直线M Q 的斜率k M Q ＝2k 2k 2－2k －2＝－k
k 2＋k －1，
直线N Q 的斜率k N Q ＝
－2k 2k 2＋2k －2＝－k
k 2＋k －1＝k M
Q ，
所以直线MN 过定点Q (2,0)．
2．已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为
3
2
. (1)求椭圆C 的方程；
(2)如图所示，点D 为x 轴上一点，过点D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过点D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为45
.
解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，
由题意得????
?
a ＝2，c a ＝3
2，解得c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24
＋y 2
＝1.
(2)证明：设D (x 0,0)，M (x 0，y 0)，N (x 0，－y 0)，－2＜x 0＜2，所以k AM ＝y 0
x 0＋2，
因为AM ⊥DE ，所以k DE ＝－2＋x 0
y 0
， 所以直线DE 的方程为y ＝－2＋x 0
y 0
(x －x 0)． 因为k BN ＝－
y 0
x 0－2
， 所以直线BN 的方程为y ＝－y 0
x 0－2(x －2)． 由???
y ＝－2＋x
0y
(x －x 0
)，y ＝－
y
0x 0
－2(x －2)，
解得E ????45
x 0＋25，－4
5y 0， 所以S △BDE ＝12|BD |·|y E |，S △BDN ＝1
2|BD |·|y N |，
所以S △BDE S △BDN ＝1
2|BD |·|y E |
1
2
|BD |·|y N |＝
???
?－45y 0|－y 0|
＝45，
结论成立．
3．(2019·南昌模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，y 1y 2＝－4.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)如图，点B 在准线l 上的正投影为E ，D 是C 上一点，且AD ⊥EF ，求△ABD 面积的最小值及此时直线AD 的方程．
解：(1)依题意知F ????p 2，0，
当直线AB 的斜率不存在时，y 1y 2＝－p 2＝－4，解得p ＝2. 当直线AB 的斜率存在时，设l AB ：y ＝k ????x －p
2(k ≠0)， 由?????
y ＝k ????x －p 2，y 2＝2px ，消去x 并整理，得y 2－2p k y －p 2＝0，
则y 1y 2＝－p 2，由y 1y 2＝－4得p 2＝4，解得p ＝2. 综上所述，抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)设D (x 0，y 0)，B ???
?t
2
4，t ， 则E (－1，t )，又由y 1y 2＝－4，可得A ????
4t 2，－4t . 因为k EF ＝－t 2
，AD ⊥EF ，所以k AD ＝2
t ，
则直线AD ：y ＋4t ＝2t ????x －4t 2，化简得2x －ty －4－8
t
2＝0. 由?????
2x －ty －4－8t 2＝0，y 2＝4x ，消去x 并整理，得y 2－2ty －8－16
t 2＝0，Δ＝(－2t )2－4????－8－16t 2＝4t 2＋
64
t 2
＋32＞0恒成立， 所以y 1＋y 0＝2t ，y 1y 0＝－8－16t 2
. 于是|AD |＝ 1＋t 2
4
|y 1－y 0|
＝
1＋t 24
(y 1＋y 0)2－4y 1y 0＝4＋t 2
t 2＋
16
t 2
＋8， 设点B 到直线AD 的距离为d ，则d ＝
????t 2
2－t 2－4－8t 24＋t 2
＝
???
?t 2＋16t 2
＋824＋t 2
.
所以S △ABD ＝12|AD |·d ＝1
4
???
?t 2＋16t 2＋83
≥16， 当且仅当t 4＝16，即t ＝±2时取等号，即△ABD 的最小值为16.
当t ＝2时，直线AD ：x －y －3＝0；当t ＝－2时，直线AD ：x ＋y －3＝0.
4．(2019·昆明调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为4，P ????2，55是椭圆C 上的点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)O 为坐标原点，A ，B 是椭圆C 上不关于坐标轴对称的两点，设OD ―→＝OA ―→＋OB ―→
，证明：直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值．
解：(1)由题意知2c ＝4，即c ＝2， 则椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
a 2－4＝1，
因为点P ???
?
2，
55在椭圆C 上， 所以4a 2＋15(a 2－4)＝1，解得a 2＝5或a 2＝165(舍去)，
所以椭圆C 的方程为x 25
＋y 2
＝1.
(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2且x 1＋x 2≠0， 由OA ―→＋OB ―→＝OD ―→
得，D (x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 所以直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2
x 1－x 2
， 直线OD 的斜率k OD ＝
y 1＋y 2
x 1＋x 2
， 由???
x 21
5
＋y 21＝1，x
22
5＋y 22
＝1，
得15(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2
＝－1
5，所以k AB ·k OD ＝－1
5
.
故直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值－1
5
.
5．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2，0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；
(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．
从而有????? c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝8，解得?????
c ＝2，a ＝4.
又a 2
＝b 2
＋c 2
，所以b 2
＝12.故椭圆C 的方程为x 216＋y 2
12
＝1.
(2)假设存在符合题意的直线l ， 设其方程为y ＝3
2
x ＋t .
由???
y ＝3
2
x ＋t ，x 2
16＋y
2
12＝1，
得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.
因为直线l 与椭圆C 有公共点，
所以Δ＝(3t )2－4×3(t 2－12)＝144－3t 2≥0， 解得－43≤t ≤4 3.
另一方面，由直线OA 与l 的距离等于4，可得
|t |
94
＋1＝4，从而t ＝±213.由于±213?[－43，4 3 ]，
所以符合题意的直线l 不存在．
6．(2019·新疆乌鲁木齐联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2，且过点
?
???1，22.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点M (2,0)的直线交椭圆C 于A ，B 两点，P 为椭圆C 上一点，O 为坐标原点，且满足OA ―→＋OB ―→＝t OP ―→，其中t ∈
???
?263，2，求|AB |的取值范围． 解：(1)依题意得?????
a 2＝
b 2＋1，1a 2＋1
2b 2
＝1，解得?????
a 2＝2，
b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22
＋y 2
＝1.
(2)由题意可知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝k (x －2)．由????
?
y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1得(1
＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，
∴Δ＝8(1－2k 2)＞0，解得k 2＜1
2
.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)＝－4k
1＋2k 2. 由OA ―→＋OB ―→＝t OP ―→，得P ? ??
??8k 2
t (1＋2k 2
)，－4k t (1＋2k 2)， 代入椭圆C 的方程得t 2＝
16k 2
1＋2k 2
. 由
263＜t ＜2，得14＜k 2＜1
2
， ∴|AB |＝1＋k 2
·22·1－2k 21＋2k 2
＝22(1＋2k 2)2＋1
1＋2k 2
－1.
令u ＝
11＋2k 2
，则u ∈????12，23， ∴|AB |＝22u 2＋u －1∈????0，
253.
∴|AB |的取值范围为?
???0，
253.
三年高考(2017-2019)各地文科数学高考真题分类汇总：概率
概率 1.（2019全国II文4）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只 兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 A．2 3 B． 3 5 C． 2 5 D． 1 5 2.(2019全国III文3）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A．1 6 B． 1 4 C． 1 3 D． 1 2 3．(2018全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3 4．(2018全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7 5．（2017新课标Ⅰ）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A．1 4 B． 8 π C． 1 2 D． 4 π 6．（2017新课标Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A． 1 10 B． 1 5 C． 3 10 D． 2 5 7．（2017天津）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
A ．45 B ．35 C ．25 D ．15 8．(2018江苏)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰 好选中2名女生的概率为 ． 9．（2017浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4 人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答） 10．（2017江苏）记函数()f x =的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个 数x ，则x D ∈ 的概率是 ． 11．（2018北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； (3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论） 12．（2018天津）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现 采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动． (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2)设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； (ii)设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率． 13．（2017新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元， 售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求
2018年高考文科数学分类汇编：专题九解析几何
《2018年高考文科数学分类汇编》 2 x —2?y 2 =2上，贝U △ ABP 面积的取值范围是 和d 2，且d 1 d 2 =6，则双曲线的方程为 2 2 x ■丄=1 4 12 2 x D — 9 、选择题 1.【2018全国一卷 4】 已知椭圆C : 第九篇：解析几何 X 2 V 2 評廿1的一个焦点为(2 ,0)，则C 的离心率为 1 A.- 3 2.【2018全国二卷 6】 1 B.- 2 2 x 2 双曲线 2-爲=1(a 0,b 0)的离心率为,3，则其渐近线方程为 a b A . y 二 2x B . y = 3x D . y 3 x 2 3.【2018全国 11】已知F , F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PR_ PF 2 , 且.乙PF 2F 1 =60，则C 的离心率为 A . J 2 B . 2-3 C. D . .3-1 4.【2018全国 三卷 8】直线x y *2=0分别与x 轴，y 轴交于A , B 两点，点P 在圆 A . 2,61 B . 4,8〕 D . 5.【2018全国三卷10】已知双曲线 C : 三卷 =1(a 0 , b 0)的离心率为 .2 ，则点(4,0) 到C 的渐近线的距离为 B . 2 C. 2 D . 2,2 2 x 6.【2018天津卷7】已知双曲线 — a =1(a 0, b 0)的离心率为2，过右焦点且垂直 于x 轴的直线与双曲线交于 A , B 两点. 设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d 1 12 4 =1
8. 4 2 7. 【 2018 浙江卷2 】双曲线「宀的焦点坐标是 之和为（） D.4魂 二、填空题 【2018全国一卷15】直线y =x ? 1与圆x 2 y 2 2^^0交于A ，B 两点，则 A ? (- 2 , 0), ( .2 , 0) B ? (-2, 0), (2, 0) C . (0, - . 2 ), (0 , ,2) D . (0, -2), (0, 2) 8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 呂+以=1 5 3 上的动点，贝U P 到该椭圆的两个焦点的距离 1. 2. 【2018北京卷10】已知直线I 过点（1,0）且垂直于 轴，若 I 被抛物线 y 2 = 4ax 截得的线 3. 段长为4,则抛物线的焦点坐标为 2 2 【2018北京卷12】若双曲线 笃-丿 1（a 0）的离心率为 a 4 -1，则 2 4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中，经过三点（ 0，0） 1），（ 2，0）的圆 的方程为 5. 2 x 【2018江苏卷8】在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 2 与=1(a 0,b 0)的右焦点 b 6. F （c,0）到一条渐近线的距离为乜 2 12】在平面直角坐标系 则其离心率的值是 【2018江苏卷 xOy 中，A 为直线I: y = 2x 上在第一象限内的点, B(5,0)，以 AB 为直径的圆C 与直线 l 交于另一点D .若AB CD =0，则点A 的横坐标 7. 【2018浙江卷 17】已知点P （0，1），椭圆^+y 2=m （m>1）上两点A ，B 满足AP =2"P B ，则 4 当m= 时，点B 横坐标的绝对值最大.
历年高考全国1卷文科数学真题分类汇编-概率与统计含答案
历年高考新课标Ⅰ卷试题分类汇编—概率与统计 1、(2012年第19题)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。 （Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式。 （Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 (i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； (ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率。 2、(2013年第3题) 从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ B ） （A ）错误!未找到引用源。 （B ）错误!未找到引用源。 （C ）1 4 错误!未找到引用源。（D ） 16 3、(2013年第19题) 为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A 药，B 药）的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h ），试验的观测结果如下： 服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间： 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 （1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ （2）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
[高考数学]高考数学函数典型例题
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③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ） 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 ， 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。 34 ．（ 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长） 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . （Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围； （Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .
2020高考文科数学概率与统计专项练习
概率与统计专项练习 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．[2019·山东滨州模考]若复数(1－a i)2 －2i 是纯虚数，则实数a ＝( ) A ．0 B ．±1 C ．1 D ．－1 答案：C 解析：(1－a i)2 －2i ＝1－a 2 －2a i －2i ＝1－a 2－(2a ＋2)i. ∵(1－a i)2 －2i 是纯虚数，∴? ?? ?? 1－a 2 ＝0，2a ＋2≠0，解得a ＝1，故选C. 2．[2019·广东广州执信中学测试]从某社区65户高收入家庭，280户中等收入家庭，105户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某一项指标，应采用的最佳抽样方法是( ) A ．系统抽样 B ．分层抽样 C ．简单随机抽样 D ．各种方法均可 答案：B 解析：因为社会购买力的某一项指标受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以应采用分层抽样的方法，故选B. 3．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3 ＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A ．方程x 3 ＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 答案：A 解析：因为“方程x 3 ＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3 ＋ax ＋b ＝0的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是“方程x 3 ＋ax ＋b ＝0没有实根”． 4．[2019·山东烟台模拟]将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽到的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( ) A ．26,16,8 B ．25,17,8
高考数学文科分类--集合与简易逻辑
2014年高考数学文科分类------集合与简易逻辑 （安徽）2命题“0||,2 ≥+∈?x x R x ”的否定是（ ） A.0||,2<+∈?x x R x B. 0||,2≤+∈?x x R x C. 0||,2000<+∈?x x R x D. 0||,2000≥+∈?x x R x 北京1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则A B =I （ ） A.{}0,1,2,3,4 B.{}0,4 C.{}1,2 D.{}3 5.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分不必要条件 （福建卷）1若集合}42|{<≤=x x P ，}3|{≥=x x Q ，则=Q P I 等于（ ） A ．}43|{<≤x x B ．}43|{< 指数函数 1．指数函数的定义： 函数)1 (≠ > =a a a y x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质： 在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 的图象. 我们观察y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 图象特征，就可以得到)1 (≠ > =a a a y x且的图象和性质。 a>10 ()x f c 的大小关系是_____． 分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-， ∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中 间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得1 4x >．∴x 的取值范围是14 ??+ ??? ， ∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-， ∞． 令26x t -=，则y =， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． 高考文科数学试题分类汇编11：概率与统计 一、选择题 1 ．（2013年高考安徽（文））若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人,这五人被录用的 机会均等,则甲或乙被录用的概率为 （ ） A ． 23 B ． 25 C ． 35 D ． 910 【答案】D 2 ．（2013年高考重庆卷（文））下图是某公司10个销售店某月销售某 产品数量(单位:台)的茎叶图,则数据落在区间[20,30)内的概率为（ ） A ．0.2 B ．0.4 C ．0.5 D ．0.6 【答案】B 3 ．（2013年高考湖南（文））已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P,使△APB 的最大边是AB”发 生的概率为.2 1 ,则 AD AB =____ （ ） A ． 12 B ． 14 C D 【答案】D 4 ．（2013年高考江西卷（文））集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B 中各取任意一个数,则这两数之和等于4的 概率是 （ ） A ． 2 3 B ． 1 3 C ． 12 D ． 16 【答案】C 5 ．（2013年高考湖南（文））某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件. 为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=___ （ ） A ．9 B ．10 C ．12 D ．13 【答案】D 6 ．（2013年高考山东卷（文））将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均 分为91,现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以x 表示: 则7个剩余分数的方差为 （ ） A ． 116 9 B ． 367 C ．36 D 【答案】B 7 ．（2013年高考四川卷（文））某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎 叶图如图所示.以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是 8 7 7 9 4 0 1 0 9 1 x 对数函数图像和性质及经典例题 第一部分：回顾基础知识点 对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 对数函数的图象和性质 ○ 1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象； （1） x y 2log = （2） x y 2 1log = （3） x y 3log = （4） x y 3 1log = ○ 2 对数函数的性质如下： 图象特征 函数性质 1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<< 函数图象都在y 轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞） 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 向y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为R 函数图象都过定点（1，1） 11=α 自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0 0log ,1>>x x a 0log ,10>< 第二部分：对数函数图像及性质应用 例1．如图，A ，B ，C 为函数x y 2 1log =的图象上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t ≥1). (1)设?ABC 的面积为S 。求S=f (t ) ； (2)判断函数S=f (t )的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值 . 解：（1）过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x 轴，垂足为A 1,B 1,C 1， 则S=S 梯形AA 1B 1B +S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C . )44 1(log )2(4log 2 3223 1t t t t t ++=++= （2）因为v =t t 42+在),1[+∞上是增函数,且v ≥5, [)∞++=.541在v v 上是减函数，且1 主观题专项练习：概率 1．[2019·吉林长春市实验中学开学考试]针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示： (1)支持”态度的人中抽取了30人，求n 的值； (2)在参与调查的人中，有10人给这项活动打分，打出的分数如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,8.3,9.7，把这10个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率． 解析：(1)参与调查的总人数为8 000＋4 000＋2 000＋1 000＋2 000＋3 000＝20 000. 因为持“不支持”态度的有2 000＋3 000＝5 000(人)，且从其中抽取了30人，所以n ＝20 000×305 000 ＝120. (2)总体的平均数x －＝1 10×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2＋8.3＋9.7)＝ 9， 与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数有8.2,8.3,9.7， 所以任取一个数，该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率P ＝3 10 . 2．[2019·安徽示范高中联考]某市为了鼓励居民节约用水，拟确定一个合理的月用水量阶梯收费标准，规定一位居民月用水量不超过a 吨的部分按平价收费，超出a 吨的部分按议价收费．为了解居民的月均用水量(单位：吨)，现随机调查1 000位居民，并对收集到的数据进行分组，具体情况见下表： (2)若该市希望使80%的居民月均用水量不超过a吨，试估计a的值，并说明理由； (3)根据频率分布直方图估计该市居民月用水量的平均值． 解析：(1)由已知得6x＝1 000－(50＋80＋220＋250＋80＋60＋20)，解得x＝40. 则月均用水量的频率分布表为 月均 用水 量/吨 [0， 0．5) [0.5， 1) [1， 1．5) [1.5， 2) [2， 2．5) [2.5， 3) [3， 3．5) [3.5， 4) [4， 4．5) 频率0.050.080.200.220.250.080.060.040.02 (2)由(1)知前5组的频率之和为0.05＋0.08＋0.20＋0.22＋0.25＝0.80，故a＝2.5. (3)由样本估计总体，该市居民月用水量的平均值为0.25×0.05＋0.75×0.08＋1.25×0.20＋1.75×0.22＋2.25×0.25＋2.75×0.08＋3.25×0.06＋3.75×0.04＋4.25×0.02＝1.92. 3．[2019·河北唐山摸底]某厂分别用甲、乙两种工艺生产同一种零件，尺寸(单位：mm)在[223,228]内的零件为一等品，其余为二等品，在使用两种工艺生产的零件中，各随机抽取10个，其尺寸的茎叶图如图所示． (1)分别计算抽取的用两种工艺生产的零件尺寸的平均数； (2)已知用甲工艺每天可生产300个零件，用乙工艺每天可生产280个零件，一等品利润为30元/个，二等品利润为20元/个，视频率为概率，试根据抽样数据判断采用哪种工艺生产该零件每天获得的利润更高． 解析：(1)使用甲工艺生产的零件尺寸的平均数x － 甲＝ 1 10 ×(217＋218＋222＋225＋226 经典函数测试题及答案 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编11：概率与统计 一、选择题 1 ．（2013年高考安徽（文））若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人,这五人被录用的机 会均等,则甲或乙被 录用的概率为 （ ） A ． 23 B ． 25 C ． 35 D ． 910 【答案】D 2 ．（2013年高考重庆卷（文））下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位:台)的茎叶图,则数据落 在区间[20,30)内的概率为 （ ） A ．0.2 B ．0.4 C ．0.5 D ．0.6 【答案】B 3 ．（2013年高考湖南（文））已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P,使△APB 的最大边是AB”发生 的概率为.2 1 ,则 AD AB =____ （ ） A ． 12 B ． 14 C D 【答案】D 4 ．（2013年高考江西卷（文））集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B 中各取任意一个数,则这两数之和等于4的概 率是 （ ） A ． 2 3 B ． 1 3 C ． 12 D ． 16 【答案】C 5 ．（2013年高考湖南（文））某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件. 为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查,其中从 丙车间的产品中抽取了3件,则n=___ D ．____ （ ） A ．9 B ．10 C ．12 D ．13 【答案】D 6 ．（2013年高考山东卷（文））将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分 为91,现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以x 表示: 则7个剩余分数的方差为 （ ） A ． 116 9 B ． 367 C ．36 D 【答案】B 8 7 7 9 4 0 1 0 9 1 x 2013年高考解析分类汇编16：选修部分 一、选择题 1 ．（2013年高考大纲卷（文4））不等式 222x -<的解集是 （ ） A ．()-1,1 B ．()-2,2 C ．()()-1,00,1U D ．()()-2,00,2U 【答案】D 2|2|2 <-x ，所以?????->-<-222222 x x ，所以402 < 常考题型大通关：第19题统计概率 1、2018年10月17日是我国第5个扶贫日，也是第26个国际消除贫困日。射洪某企业员工共500人参加“精准扶贫”活动，按年龄分组：第一组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示． （1）下表是年龄的频数分布表，求正整数a，b的值； （2）根据频率分布直方图，估算该企业员工的平均年龄及年龄的中位数； （3）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率． 2、某高校在2014年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示. （1）请先求出频率分布表中①、②、③、④位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图； （2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？ 3、随着生活水平的提高,人们对空气质量的要求越来越高,某机构为了解公众对“车辆限行”的态度,随机抽查40人,并将调查情况进行整理后制成下表: 年龄(岁) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,60] 频数 5 10 10 5 10 赞成人数 4 6 8 4 9 1.完成被调查人员年龄的频率分布直方图,并求被调查人员中持赞成态度人员的平均年龄约为多少岁? 15,25,45,55的被调查人员中各随机选取1人进行调查.请写出所有的基2.若从年龄在[)[) 本亊件,并求选取2人中恰有1人持不赞成态度的概率. 4、某中学为弘扬优良传统,展示80年来的办学成果,特举办“建校80周年教育成果展示月”活动。现在需要招募活动开幕式的志愿者,在众多候选人中选取100名志愿者,为了在志愿者 . 组号分组频数频率 160,165 5 0.05 第1组[) 第2组[165,170)0.35 第3组[170,175) 第4组[175,180)20 0.20 第5组[180,185)10 合计100 1.00 1.请补充频率分布表中空白位置相应数据,再完成下列频率分布直方图; 高中数学导数典型例题 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 （1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 2. 已知).(323 2)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当41||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 题型二：利用导数解决恒成立的问题 例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ） ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈ 有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2g x f x '= ． （1）证明：当t <时，()g x 在R 上是增函数； （2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ， 上是减函数； （3）证明： 3()2 f x ≥． 例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 （2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围 题型三：利用导数研究方程的根 例4：已知函数a x ax x f 313)(23-+-=. （Ｉ）讨论函数)(x f 的单调性； （Ⅱ）若曲线()f x 上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实 数a 的取值范围. 达濠侨中高三数学（文科）第二轮复习题 概率与统计 一 选择题 1．(2015·新课标全国卷Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( ) A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显着 B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 2.为了解某社区居民的家庭收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( ) A ．11.4万元 B ．11.8万元 C ．12.0万元 D ．12.2万元 3.一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，若样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则估计样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数共为( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．19 4. 【2015高考新课标文】如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） （A ） 310 （B ）15 （C ）110 （D ）1 20 5． 设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率（ ） A ．3142π+ B ． 112π+ C ．1142π- D ． 112π - 6.某班级有50名学生，现用系统抽样的方法从这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号为1～50号，并按编号顺序平均分成10组（1～5号，6～10号，…，46～50号），若在第三组抽到的编号是13，则在第七组抽到的编号是（ ） A ．23 B ．33 C ．43 D ．53 7.在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等 2012年高考试题分类汇编：导数 1.【2012高考重庆文8】设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是 【答案】C 2.【2012高考浙江文10】设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数 A. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＞b B. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜b C. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞b D. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b 【答案】A 3.【2012高考陕西文9】设函数f （x ）=2x +lnx 则 （ ） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=12 为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点 D ．x=2为 f(x)的极小值点 【答案】D. 4.【2012高考辽宁文8】函数y=12 x 2-㏑x 的单调递减区间为 （A）（-1,1] （B）（0,1] （C.）[1，+∞）（D）（0，+∞） 【答案】B 5.【2102高考福建文12】已知f（x）=x3-6x2+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0.现给出如下结论： ①f（0）f（1）＞0；②f（0）f（1）＜0；③f（0）f（3）＞0； ④f（0）f（3）＜0. 其中正确结论的序号是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 【答案】C． 6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q为抛物线x2=2y上两点，点P,Q 的横坐标分别为4，-2，过P,Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为 (A) 1 (B) 3 (C) -4 (D) -8【答案】C 7.【2012高考新课标文13】曲线y=x(3ln x+1)在点)1,1(处的切线方程为________ 【答案】3 4- =x y 8.【2012高考上海文13】已知函数() y f x =的图像是折线段ABC，其 中(0,0) A、 1 (,1) 2 B、(1,0) C，函数() y xf x =（01 x ≤≤）的图像及x轴围成 的图形的面积为【答案】 4 1。 ……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 四统计概率(A) 1.(2018·大庆模拟)某人租用一块土地种植一种瓜类作物,根据以往的年产量数据,得到年产量频率分布直方图如图所示,以各区间中点值作为该区间的年产量,得到平均年产量为455 kg.已知当年产量低于450 kg时,单位售价为12元/kg,当年产量不低于450 kg时,单位售价为10元/kg. (1)求图中a,b的值; (2)估计年销售额大于3 600元小于6 000元的概率. 2.(2018·沈阳三模)根据相关数据统计,沈阳市每年的空气质量优良天数整体好转,2013年沈阳优良天数是191天,2014年优良天数为178 天,2015年优良天数为193天,2016年优良天数为242天,2017年优良天数为256天,把2013年年份用代码1表示,以此类推,2014年用2表示,2015年用3表示,2016年用4表示,2017年用5表示,得到如下数据: 1 ……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… (1)试求y关于x的线性回归方程(系数精确到0.1); (2)试根据(1)求出的线性回归方程,预测2018年优良天数是多少天 (精确到整数). =3 374,=55. x附:y参考数据ii -==. ,参考公式: 3.(2018·厦门一模)为了解学生的课外阅读时间情况,某学校随机抽取了50人进行统计分析,把这50人每天阅读的时间(单位:分钟)绘制成频数分布表,如表所示: 2 ……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 若把每天阅读时间在60分钟以上(含60分钟)的同学称为“阅读达人”,根据统计结果中男女生阅读达人的数据,制作出如图所示的等高条 形图.指数函数经典例题(标准答案)
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