2015高考数学(文)一轮方法测评练：2-方法强化练——函数与基本初等函数
2015届高考数学文科一轮总复习资源包第2篇函数与基本初等函数I-2-3
第3讲 函数的奇偶性与周期性基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2013·温州二模)若函数f (x )＝sin x (x ＋a )2是奇函数，则a 的值为________． 解析 由f (－1)＝－f (1)，得sin (－1)(－1＋a )2＝－sin 1(1＋a )2， ∴(－1＋a )2＝(1＋a )2解得a ＝0.答案 02．(2014·温岭中学模拟)f (x )为奇函数，当x ＜0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝________.解析 f (3)＝－f (－3)＝－log 24＝－2.答案 －23．(2013·重庆卷改编)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝________.解析 ∵f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4，①∴f (－x )＝a (－x )3＋b sin(－x )＋4，即f (－x )＝－ax 3－b sin x ＋4，②①＋②得f (x )＋f (－x )＝8，③又∵lg(log 210)＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg 2＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)， ∴f (lg(log 210))＝f (－lg(lg 2))＝5，又由③式知f (－lg(lg 2))＋f (lg(lg 2))＝8，∴5＋f (lg(lg 2))＝8，∴f (lg(lg 2))＝3.答案 34．函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为______．解析 f (x )的图象如图．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0，得x ∈(－1,0)；当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0，得x ∈∅；当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0，得x ∈(1,3)．∴x ∈(－1,0)∪(1,3)．答案 (－1,0)∪(1,3)5．(2014·武汉一模)已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)＝________.解析 依题意知f (－x )＋g (－x )＝g (x )－f (x )＝a －x －a x ＋2，联立f (x )＋g (x )＝a x－a －x ＋2，解得g (x )＝2，f (x )＝a x －a －x ，故a ＝2，f (2)＝22－2－2＝4－14＝154.答案 1546．(2013·青岛二模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )对任意x ∈R 成立，当x ∈(－1,0)时f (x )＝2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________. 解析 因为f (x ＋2)＝f (x )，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1. 答案 17．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________．解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．∴不等式f (1－m )＜f (m )⇔f (|1－m |)＜f (|m |)．又当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数．∴⎩⎨⎧ |1－m |＞|m |，－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，解得－1≤m ＜12.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 8．(2013·临沂模拟)下列函数①y ＝x 3；②y ＝|x |＋1；③y ＝－x 2＋1；④y ＝2x 中既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是________．解析 因为①是奇函数，所以不成立．③在(0，＋∞)上单调递减，不成立，④为非奇非偶函数，不成立，所以填②.答案 ②二、解答题9．f (x )为R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－2x 2＋3x ＋1，求f (x )的解析式．解 当x ＜0时， －x ＞0，则f (－x )＝－2(－x )2＋3(－x )＋1＝－2x 2－3x ＋1.由于f (x )是奇函数，故f (x )＝－f (－x )，所以当x ＜0时，f (x )＝2x 2＋3x －1.因为f (x )为R 上的奇函数，故f (0)＝0.综上可得f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧ －2x 2＋3x ＋1，x ＞0，0，x ＝0，2x 2＋3x －1，x ＜0.10．设f (x )是定义域为R 的周期函数，且最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1,2]上的表达式．解 (1)∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (－x )＝f (2＋x )．又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)当x ∈[0,1]时，－x ∈[－1,0]，则f (x )＝f (－x )＝x ；进而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故f (x )＝⎩⎨⎧ －x ，x ∈[－1，0)，x ，x ∈[0，1)，－x ＋2，x ∈[1，2].能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．(2013·昆明模拟)已知偶函数f (x )对∀x ∈R 都有f (x －2)＝－f (x )，且当x ∈[－1,0]时f (x )＝2x ，则f (2 013)＝________.解析 由f (x －2)＝－f (x )得f (x －4)＝f (x )，所以函数的周期是4，故f (2 013)＝f (4×503＋1)＝f (1)＝f (－1)＝2－1＝12.答案 122．(2014·郑州模拟)已知函数f (x ＋1)是偶函数，当1＜x 1＜x 2时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＞0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析 ∵f (x ＋1)是偶函数，∴f (x ＋1)＝f (－x ＋1)，∴y ＝f (x )关于x ＝1对称．又1＜x 1＜x 2，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＞0，知y ＝f (x )在[1，＋∞)是增函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，且2＜52＜3，∴f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (3)，即b ＜a ＜c .答案 b ＜a ＜c3．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ，则： ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3.其中所有正确命题的序号是________．解析 由已知条件：f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x ≤0时0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x ， 函数y ＝f (x )的图象如图所示：当3＜x ＜4时，－1＜x －4＜0，f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，因此②④正确，③不正确． 答案 ①②④二、解答题4．已知函数f (x )在R 上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )，且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0.(1)试判断函数y ＝f (x )的奇偶性；(2)试求方程f (x )＝0在闭区间[－2 014,2 014]上根的个数，并证明你的结论． 解 (1)若y ＝f (x )为偶函数，则f (－x )＝f [2－(x ＋2)]＝f [2＋(x ＋2)]＝f (4＋x )＝f (x )，∴f (7)＝f (3)＝0，这与f (x )在闭区间[0,7]上只有f (1)＝f (3)＝0矛盾；因此f (x )不是偶函数．若y ＝f (x )为奇函数，则f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0，这与f (x )在闭区间[0,7]上只有f (1)＝f (3)＝0矛盾；因此f (x )不是奇函数．综上可知：函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)由⎩⎨⎧ f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )⇒⎩⎨⎧f (x )＝f (4－x )，f (x )＝f (14－x )⇒ f (4－x )＝f (14－x )⇒f (x )＝f (x ＋10)，从而知函数y ＝f (x )的周期T ＝10.由f (3)＝f (1)＝0，得f (11)＝f (13)＝f (－7)＝f (－9)＝0.故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有两个解，从而可知函数y＝f(x)在[0,2 014]上有404个解，在[－2 014,0]上有402个解，所以函数y＝f(x)在[－2 014,2 014]上共有806个解.。
(江苏专用)高三数学一轮总复习 第二章 函数与基本初等函数Ⅰ 第七节 对数与对数函数课时跟踪检测 理
课时跟踪检测（十） 对数与对数函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．(2015·某某调研)函数y ＝log 232x －1的定义域是________．解析：由log 23(2x －1)≥0⇒0<2x －1≤1⇒12<x ≤1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为________．解析：函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )是由y ＝log 12t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．答案：(－∞，－2)3．(2016·某某模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1.答案：a ＝b >c4．(2015·某某高考)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.解析：lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1. 答案：－15．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为______，单调递增区间为______． 解析：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内零点的个数为________． 解析：在同一坐标系中分别作函数y ＝|x －2|与y ＝ln x 的图象如图所示．由图可知y ＝|x －2|与y ＝ln x 有2个交点，所以函数f (x )零点的个数为2.答案：22．(2016·某某五校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312的值是________．解析：由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝331-log 2＋1＝33log 2＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5.答案：53．设a ＝log 323，b ＝log 525，c ＝log 727，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：因为log 323＝log 32－1，log 525＝log 52－1，log 727＝log 72－1，log 32>log 52>log 72，故a >b >c .答案：a >b >c4．计算：log 2.56.25＋lg 0.001＋ln e ＋2－1＋log 23＝______. 解析：原式＝log 2.5(2.5)2＋lg 10－3＋ln e 12＋2log 232 ＝2－3＋12＋32＝1.答案：15．若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________．解析：令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1.所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)6．如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log22x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎪⎫22x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．解析：由条件得，点A 在函数y ＝log22x 的图象上，从而由2＝2，得x A ＝12.而点B 在函数y ＝x 12上，从而2＝x 12，解得x B ＝4.于是点C 的横坐标为4.又点C 在函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎫22x上，从而y C ＝14，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值X 围是______．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.答案：(1，＋∞)8．(2016·某某四市调研)函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为______．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.答案：－149．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12－x ，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集． 解：(1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)证明：由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的解集是(0,1). 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值X 围是________．解析：当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－a >0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 2．(2016·某某中学月考)已知函数f (x )＝log a 1－xb ＋x (0<a <1)为奇函数，当x ∈(－1，a ]时，函数f (x )的值域是(－∞，1]，则a ＋b 的值为________．解析：由1－xb ＋x >0，解得－b <x <1(b >0)．又奇函数定义域关于原点对称，故b ＝1.所以f (x )＝log a 1－x 1＋x (0<a <1)．又g (x )＝1－x x ＋1＝－1＋2x ＋1在(－1，a ]上单调递减，0<a <1，所以f (x )在(－1，a ]上单调递增．又因为函数f (x )的值域是(－∞，1]，故f (a )＝1，此时g (a )＝a ，即1－a a ＋1＝a ，解得a ＝2－1(负根舍去)，所以a ＋b ＝ 2. 答案： 23．已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)当x ∈[1,4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1,4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，某某数k 的取值X 围．解：(1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2， 因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]， 故函数h (x )的值域为[0,2]． (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )， 得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ＝log 2x ∈[0,2]， 所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0,2]时，k <3－4t 3－tt恒成立，即k <4t ＋9t－15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t－15的最小值为－3.综上，实数k 的取值X 围为(－∞，－3)．。
【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版)：第二章-函数和基本初等函数2-1-Word版含解析
基础达标检测一、选择题1．下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x[答案] C[解析] 本题考查了代入法求函数解析式．f (x )＝kx 与f (x )＝k |x |均满足：f (2x )＝2f (x )得：A ，B ，D 满足条件，故选C.代入法求函数解析式是最基本的求解析式的方法．2．(文)(2013·重庆高考)函数y ＝1log 2(x －2)的定义域是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞) [答案] C[解析] 本题考查函数的定义域．⎭⎬⎫x －2>0x －2≠1⇒x >2且x ≠3，故选C.(理)已知f (x )＝π(x ∈R )，则f (π2)等于( ) A ．π2 B ．π C.π D ．不确定[答案] B[解析] f (x )＝π为常数函数，所以f (π2)＝π.3．(文)(教材改编题)下列各组函数中是同一函数的是( ) A ．y ＝|x |x 与y ＝1 B ．y ＝xx 与y ＝x 0C ．y ＝|x －1|与y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1(x >1)1－x (x <1)D ．y ＝|x |＋|x －1|与y ＝2x －1 [答案] B[解析] 当两个函数的解析式和定义域完全相同时，这两个函数为同一函数．同时满足这两个条件的只有B ，A 中第一个函数x ≠0，第二个函数x ∈R ，C 中第二函数x ≠1，第一个函数x ∈R ，D 当x <0时，第一个函数为y ＝－2x ＋1，显然与第二函数不是同一函数．(理)下列四组函数，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝log a a x ，g (x )＝a log a x (a >0，a ≠1) B ．f (x )＝(x )2，g (x )＝3x 3C ．f (x )＝2x －1(x ∈R )，g (x )＝2x －1(x ∈Z )D ．f (x )＝x 2－4x －2，g (t )＝t 2－4t －2[答案] D[解析] 选项A 、B 、C 中函数的定义域不同．4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0x 2，x >0，若f (α)＝4，则实数α＝( )A. －4或－2B. －4或2 C ．－2或4 D ．－2或2[答案] B[解析] 本题主要考查分段函数求函数值等基础知识． 当α≤0时，f (α)＝－α＝4，∴α＝－4； 当α>0时，f (α)＝α2＝4，∴α＝2. 综上可得：α＝－4或2，选B.5．(2013·全国大纲)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1)B ．(－1，－12) C ．(－1,0) D ．(12，1)[答案] B[解析] 本题考查复合函数定义域的求法． f (x )的定义域为(－1,0) ∴－1<2x ＋1<0，∴－1<x <－12.6．在给定的映射f ：(x ，y )→(2x ＋y ，xy )(x ，y ∈R )作用下，点(16，－16)的原像是( )A ．(16，－136)B ．(13，－12)或(－14，23)C ．(136，－16)D ．(12，－13)或(－23，14) [答案] B[解析]由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝16xy ＝－16解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13y ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－14y ＝23故选B.二、填空题7．函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________． [答案] (0，6][解析] 本题考查函数定义域的求法，此题应该让被开方数大于或等于零．由题意知1－2log 6x ≥0，∴log 6x ≤12，∴log 6x ≤log 6 6. ∴0<x ≤6，∴函数的定义域为(0，6]．求函数的定义域要根据函数的解析式的不同表达形式分别对待，另外此题易错点为对数的真数x >0.8．图中的图像所表示的函数的解析式f (x )＝________.[答案]f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1≤x ≤2[解析] 由图像知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，(1，32)和(1，32)，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.9．已知函数f (x )、g (x )分别由下表给出则f [g (1)]的值为x )]>g [f (x )]的x 的值是________．[答案] 2 2[解析] f [g (1)]＝f (3)＝2.故f [g (x )]>g [f (x )]的解为x ＝2. 三、解答题10．已知扇形周长为10cm ，求扇形半径r 与扇形面积S 的函数关系S ＝f (r )，并确定其定义域．[解析] 设弧长为l ，则l ＝10－2r ， 所以S ＝12lr ＝(5－r )r ＝－r 2＋5r .由⎩⎨⎧r >0，l >0，l <2πr得5π＋1<r <5. ∴S ＝f (r )＝－r 2＋5r ，其定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π＋1，5. 能力强化训练一、选择题1．(文)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≤12x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23 D.139[答案] D[解析] 本题考查分段函数“代入问题”，f (3)＝23， f (f (3))＝f (23)＝(23)2＋1＝139.(理)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1lg x ，x >1，则f (f (10))＝( )A ．lg101B ．2C ．1D ．0[答案] B[解析] 本题考查了分段函数与函数值的求解．f (10)＝lg10＝1，f (1)＝1＋1＝2，故选B ，分段函数是由于定义域的不同引起函数的表达式不同，它是一个函数，解分段函数问题要注意函数的定义域与解析式的对应．2．(改编题)设f (x )＝1＋x1－x ，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，k ＝1,2，…，则f 2015(x )＝( )A.1＋x 1－xB.x －1x ＋1 C ．x D ．－1x[答案] B[解析] 由已知条件得到f 2(x )＝f [f 1(x )]＝1＋f 1(x )1－f 1(x )＝1＋1＋x 1－x 1－1＋x1－x ＝－1x ，f 3(x )＝f [f 2(x )]＝1＋f 2(x )1－f 2(x )＝1－1x 1＋1x ＝x －1x ＋1， f 4(x )＝f [f 3(x )]＝1＋f 3(x )1－f 3(x )＝1＋x －1x ＋11－x －1x ＋1＝x ，f 5(x )＝f [f 4(x )]＝1＋x1－x，易知f n (x )是以4为周期的函数，而2 015＝503×4＋3， 所以f 2015(x )＝f 3(x )＝x －1x ＋1.二、填空题3．(2013·安徽高考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.[答案] －x (x ＋1)2[解析] 本题主要考查了求函数解析式． ∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1∴f (x )＝f (x ＋1)2＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)] ＝－(x ＋1)2·x .4．(文)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A ，且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数，下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数； ②指数函数f (x )＝2x (x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是________(写出所有真命题的编号) [答案] ②③④[解析] 该题为信息考查题，考查学生迁移知识的能力，考查“单函数”的意义．由x 21＝x 22，未必有x 1＝x 2，故①不正确；对于f (x )＝2x ，当f (x 1)＝f (x 2)时一定有x 1＝x 2，故②正确；当f (x )为单函数时，有f (x 1)＝f (x 2)⇒x 1＝x 2，则其逆否命题f (x )为单函数时，x 1≠x 2⇒f (x 1)≠f (x 2)为真命题，故③正确；当函数在其定义域上单调时，一定有f (x 1)＝f (x 2)⇒x 1＝x 2，故④正确．(理)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A ，且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数，下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原像； ④函数f (x )在某区间上具有单调性，则f (x )一定是单函数． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号) [答案] ②③[解析] 当f (x )＝x 2时，不妨设f (x 1)＝f (x 2)＝4，有x 1＝2，x 2＝－2，此时x 1≠x 2，故①不正确；由f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2可知，当x 1≠x 2时，f (x 1)≠f (x 2)，故②正确；若b ∈B ，b 有两个原像时，不妨设为a 1，a 2，可知a 1≠a 2，但f (a 1)＝f (a 2)，与题中条件矛盾，故③正确；函数f (x )在某区间上具有单调性时在整个定义域上不一定单调，因而f (x )不一定是单函数，故④不正确．故答案为②③.三、解答题5．求下列函数的定义域： (1)y ＝25－x 2＋lgcos x ； (2)y ＝log 12(x 2－1)；(3)y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x .[解析](1)由⎩⎨⎧25－x 2≥0，cos x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧－5≤x ≤5，2k π－π2<x <2k π＋π2(k ∈Z ).∴函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－5，－32π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤3π2，5. (2)由log 12(x 2－1)≥0，得0<x 2－1≤1， ∴－2≤x <－1或1<x ≤ 2.∴函数的定义域为{x |－2≤x <－1或1<x ≤2}．(3)由1－1x >0，得x >1或x <0，∴函数的定义域为{x |x >1或x <0}．6．已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且f (x )最小值是－1，函数g (x )与f (x )的图像关于原点对称．(1)求f (x )和g (x )的解析式；(2)若h (x )＝f (x )－λg (x )在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．[解析] (1)依题意，设f (x )＝ax (x ＋2)＝ax 2＋2ax (a >0)．f (x )图像的对称轴是x ＝－1，∴f (－1)＝－1，即a －2a ＝－1，∴a ＝1，∴f (x )＝x 2＋2x .∵函数g (x )的图像与f (x )的图像关于原点对称，∴g (x )＝－f (－x )＝－x 2＋2x .(2)由(1)得h (x )＝x 2＋2x －λ(－x 2＋2x )＝(λ＋1)x 2＋2(1－λ)x .①当λ＝－1时，h (x )＝4x 满足在区间[－1,1]上是增函数；②当λ<－1时，h (x )图像对称轴是x ＝λ－1λ＋1，则λ－1λ＋1≥1，又λ<－1，解得λ<－1； ③当λ>－1时，同理需λ－1λ＋1≤－1， 又λ>－1，解得－1<λ≤0.综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]．。
江苏省2015届高三数学一轮复习基础版：第二章 函数与基本初等函数Ⅰ18_【检测与评估答案】 PDF
f
1 2
>0,由零点存在定理知,存在c∈
1 2
,
3
,使得f(c)=0,即函数f(x)在(0,+∞)上
有唯一零点,由奇函数图象的特点知,函数f(x)在(-∞,0)上也有一个零点,故方程
f(x)=0的根的个数为2.
9. 设每天从报社买进x份(250≤x≤400).
数量(份) 价格(元) 金额(元)
g1 区间,所以f(x)=lo 2 (x2-4)的单调增区间为(-∞,-2).
1 7. - 4
解析:f(x)=
1 2
log2x·[2(log2x+1)]=(log2x)2+log2x=
log 2 x
1 2
2
-
1 4
,所以
1
2
1
当log2x=- 2 ,即x= 2 时,f(x)取得最小值- 4 .
8. 2 解析:由于函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且 f(- 3 )=-f( 3 )>0,故有f( 3 )<0,因为函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,且
1 ax2 10. 因为函数f(x)= x b 是奇函数,
1 ax2 1 ax2 所以f(-x)=-f(x),即 -x b =- x b , 因为a≠0,所以-x+b=-x-b,所以b=0.
1 a 又函数f(x)的图象经过点(1,3),所以f(1)=3, 1 b =3, 因为b=0,所以a=2.
11. (1) 因为f(x)=(x-a)2+5-a2(a>1), 所以f(x)在[1,a]上是减函数,
f(1) a, 又定义域和值域均为[1,a],所以 f(a) 1,
2015年高考数学试题专题练习：函数概念与基本初等函数doc
2015年高考数学试题专题练习：函数概念与基本初等函数1.函数f(x)=ln(x 2-x)的定义域为( )A.(0,1)B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞)2.已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax 2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=( )A.1B.2C.3D.-1 3.函数f(x)=1)(log 122-x 的定义域为( )A. B.(2,+∞) C.∪(2,+∞) D.∪[2,+∞) 4.已知函数f(x)=则下列结论正确的是( )A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)5.若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a 的值为( )A.5或8B.-1或5C.-1或-4D.-4或86.设函数f(x)=若f(f(a))≤2,则实数a 的取值范围是 .7.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A.1+=x y B.y=(x-1)2 C.y=2-xD.y=log 0.5(x+1) 8.已知实数x,y 满足a x <a y (0<a<1),则下列关系式恒成立的是( )A.111122+>+y x B.ln(x 2+1)>ln(y 2+1) C.sin x>sin y D.x 3>y 3 9.下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( )A.f(x)=B.f(x)=x 3C.f(x)=D.f(x)=3x10.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是.11.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数12.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=( )A.-3B.-1C.1D.313.设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x.当0≤x<π时, f(x)=0,则 f=( )A. B. C.0 D.-14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若∀x∈R, f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.15.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时, f(x)=则f= .16.已知函数f(x)=e x+e-x,其中e是自然对数的底数.(1)证明:f(x)是R上的偶函数;(2)若关于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;(3)已知正数a满足:存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(-+3x0)成立.试比较e a-1与a e-1的大小,并证明你的结论.17.对于c>0,当非零实数a,b 满足4a 2-2ab+4b 2-c=0且使|2a+b|最大时, - + 的最小值为 .18.若函数f(x)=cos 2x+asin x 在区间是减函数,则a 的取值范围是 . 19.在同一直角坐标系中,函数f(x)=x a (x>0),g(x)=log a x 的图象可能是( )20.已知a=,b=log 2,c=lo ,则( ) A.a>b>c B.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a21.函数f(x)=)4(log 221-x 的单调递增区间为( )A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)22.若函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( )23.已知f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x∈(-1,1).现有下列命题:①f(-x)=-f(x);②f =2f(x);③|f(x)|≥2|x|. 其中的所有正确命题的序号是( )A.①②③B.②③C.①③D.①② 24.已知4a =2,lg x=a,则x= .25.函数f(x)=)2(log log 22x x ⋅的最小值为 .26.如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M,将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为( )27.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是( ) A. B. C.(1,2) D.(2,+∞)28.已知函数f(x)=x 2+e x 21 (x<0)与g(x)=x 2+ln(x+a)的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( ) A. B.(-∞,) C. D.29.已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时, f(x)=.若函数y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 .30.已知函数f(x)=|x 2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为 .31.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A. B. C. D.-1 32.如图,某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB,某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小.若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,则tan θ的最大值是 .(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)33.已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:①f(0)=f(1)=0;②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)-f(y)|<|x-y|.若对所有x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|<k恒成立,则k的最小值为( )A. B. C. D.34.设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a, f(a)),(b,-f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为M f(a,b).例如,当f(x)=1(x>0)时,可得M f(a,b)=c=,即M f(a,b)为a,b的算术平均数.(1)当f(x)= (x>0)时,M f(a,b)为a,b的几何平均数;(2)当f(x)= (x>0)时,M f(a,b)为a,b的调和平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)35.已知函数y=f(x)(x∈R),对函数y=g(x)(x∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:对任意x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称.若h(x)是g(x)=关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是.36.以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sin x时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D, f(a)=b”;②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B;④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>-2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)参考答案1. C2. A3. C4. D5. D6. (-∞,]7. A 8. D 9. D 10. (-1,3)11. C 12. C 13. A 14. B 15. 116.解析(1)证明:因为对任意x∈R,都有f(-x)=e-x+e-(-x)=e-x+e x=f(x),所以f(x)是R上的偶函数.(2)由条件知m(e x+e-x-1)≤e-x-1在(0,+∞)上恒成立,令t=e x(x>0),则t>1,所以m≤-=-对任意t>1成立.因为t-1++1≥2+1=3,所以-≥-,当且仅当t=2,即x=ln 2时等号成立.因此实数m的取值范围是.(3)令函数g(x)=e x+-a(-x3+3x),则g'(x)=e x-+3a(x2-1).当x≥1时,e x->0,x2-1≥0,又a>0,故g'(x)>0,所以g(x)是[1,+∞)上的单调增函数,因此g(x)在[1,+∞)上的最小值是g(1)=e+e-1-2a.由于存在x0∈[1,+∞),使+-a(-+3x0)<0成立,当且仅当最小值g(1)<0,故e+e-1-2a<0,即a>.令函数h(x)=x-(e-1)ln x-1,则h'(x)=1-.令h'(x)=0,得x=e-1.当x∈(0,e-1)时,h'(x)<0,故h(x)是(0,e-1)上的单调减函数;当x∈(e-1,+∞)时,h'(x)>0,故h(x)是(e-1,+∞)上的单调增函数.所以h(x)在(0,+∞)上的最小值是h(e-1).注意到h(1)=h(e)=0,所以当x∈(1,e-1)⊆(0,e-1)时,h(e-1)≤h(x)<h(1)=0;当x∈(e-1,e)⊆(e-1,+∞)时,h(x)<h(e)=0.所以h(x)<0对任意的x∈(1,e)成立.①当a∈⊆(1,e)时,h(a)<0,即a-1<(e-1)ln a,从而e a-1<a e-1;②当a=e时,e a-1=a e-1;③当a∈(e,+∞)⊆(e-1,+∞)时,h(a)>h(e)=0,即a-1>(e-1)ln a,故e a-1>a e-1.综上所述,当a∈时,e a-1<a e-1;当a=e时,e a-1=a e-1;当a∈(e,+∞)时,e a-1>a e-1.17. -2 18. (-∞,2] 19. D 20. C21. D 22. B 23. A 24. 25. -26. C 27. B 28. B 29.30. (0,1)∪(9,+∞) 31. D 32. 33. B 34. (1)(2)x 35. (2,+∞) 36. ①③④。
2015届高考数学一轮复习单元检测：函数概念与基本初等函数 (苏教版必修1)
2015届高考数学一轮复习单元检测：函数概念与基本初等函数(测试时间：120分钟 评价分值：150分)一、选择题(每题5分，共40分)1．若二次函数y ＝f (x )满足f (5＋x )＝f (5－x )，且方程f (x )＝0有两个实根x 1，x 2，则x 1＋x 2等于( )A ．5B ．10C ．20 D.52解析：∵f (x ＋5)＝f (5－x )，∴f (x )的对称轴为x 0＝5，x 1＋x 2＝2x 0＝10. 答案：B2．下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2＋x B ．y ＝－x 3C ．y ＝e xD ．y ＝ln x 2＋1解析：选项A ，C 为非奇非偶函数，选项B 为奇函数． 答案：D3．（2014·湛江模拟）已知函数y ＝log a (2－ax )在区间[0,1]上是关于x 的减函数，则a 的取值范围是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (0,2)D. (2，＋∞)解析：由题意可知，a >0，故内函数y ＝2－ax 必是减函数，又复合函数是减函数，所以a >1，同时在[0,1]上2－ax >0，故2－a >0，即a <2，综上可知，a ∈(1,2)．答案：B4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 解析：由f (0)＝0得b ＝－1.∴f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2×1－1)＝－3. 答案：A5．若奇函数f (x )在区间[3,7]上是减函数且有最大值4，则f (x )在区间[－7，－3]上是( )A ．增函数且最小值为－4B ．增函数且最大值为－4C ．减函数且最小值为－4D ．减函数且最大值为－4 解析：奇函数的图象关于原点对称．答案：C6．已知定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：则函数f (x )一定存在零点的区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3，＋∞) 解析：∵f (2)·f (3)＜0， ∴f (x )在(2,3)内一定存在零点． 答案：C7．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x |解析：选项A 为奇函数，选项C ，D 在(0，＋∞)是减函数． 答案：B8．下列函数中，是奇函数且定义域与值域相同的函数是( )A ．y ＝12(e x ＋e －x )B ．y ＝lg 1－x 1＋xC ．y ＝－x 3D ．y ＝－|x |解析：A 项和D 项为偶函数，B 项和C 项为奇函数，而B 项的定义域与值域不同，只有C 项的定义域和值域均为R.答案：C9.（2014·太原模拟）函数y ＝(12)x 2＋2x －1的值域是( )A. (－∞，4)B. (0，＋∞)C. (0,4]D. [4，＋∞)解析：设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝(12)t .因为t ＝(x ＋1)2－2≥－2，y ＝(12)t 为关于t 的减函数，所以0<y ＝(12)t ≤(12)－2＝4，故所求函数的值域为(0,4]． 答案：C二、填空题(每题5分，共30分)10．若关于x 的方程x 2－32x －k ＝0在(－1,1)上有实根，则k 的取值范围是__________．解析：k ＝x 2－32x ＝234⎛⎫ ⎪⎝⎭x-－916，x ∈(－1,1)，k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－916，52.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－916，52 11．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 解析：∵y ＝f (x )＋x 2为奇函数，∴f (－x )＋(－x )2＝－f (x )－x 2，在此式中令x ＝1得f (－1)＝－3.∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－3＋2＝－1. 答案：－1 12．函数y ＝(13logx )2＋13logx ＋1的单调增区间为__________．解析：定义域为(0，＋∞)，令u ＝13logx ，则y ＝u 2＋u ＋1.u 在(0，＋∞)上是减函数，而y 在u ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12上是减函数， u ＝13logx ≤－12，则13l og x ≤13log 1213-⎛⎫ ⎪⎝⎭，即x ≥ 3.故原函数的单调增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)13．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．解析：∵f (x )为奇函数，x ≤0时，f (x )＝－f (－x )＝－x 2－4x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，－x 2－4x >x ⇒－5<x <0，由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2－4x >x⇒x >5.答案：(－5,0)∪(5，＋∞)14．已知函数x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝12e-，则x ，y ，z 从小到大排列为________．解析：ln π>ln e ＝1，y ＝log 52＝1log 25<12，z ＝1-2e＝1e ，12<1e<1.∴y <z <x .答案：y <z <x15．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)(x ∈R)是奇函数，则实数a ＝________. 解析：由条件知，g (x )＝e x ＋a e －x为奇函数，故g (0)＝0，得a ＝－1. 答案：－1三、解答题(共80分)16．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；解析：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]， ∴x ＝1时，f (x )的最小值为1；x ＝－5时，f (x )的最大值为37.(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． 解析：(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为x ＝－a ，∵f (x )在区间[－5,5]上是单调函数，－a ≤－5或－a ≥5，∴a ≥5或a ≤－5. 即a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．17．(12分)已知函数f (x )＝bxax 2＋1(b ≠0，a ＞0)． (1)判断f (x )的奇偶性；解析：(1)f (x )的定义域为R ，f (－x )＝－bxax 2＋1＝－f (x )，故f (x )是奇函数． (2)若f (1)＝12，log 3(4a －b )＝12log 24，求a ，b 的值．解析：(2)由f (1)＝ba ＋1＝12，则a －2b ＋1＝0， 又log 3(4a －b )＝12log 24＝1，即4a －b ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＋1＝0，4a －b ＝3解得a ＝1，b ＝1.18.(14分)对于函数f (x )，若存在x 0∈R 使f (x 0)＝x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点，已知f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0)．(1)当a ＝1，b ＝－2时，求f (x )的不动点； 解析：(1)∵a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－x －3， 由f (x )＝x ⇒x 2－2x －3＝0⇒x ＝－1或x ＝3， ∴f (x )的不动点为－1和3.(2)若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围．解析：(2)由题设知ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1＝x 有两个不等实根，即为ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不等实根，∴Δ＝b 2－4a (b －1)>0⇒b 2－4ab ＋4a >0恒成立．∴(－4a )2－4×4a <0⇒0<a <1. 故a 的取值范围是(0,1)．19．(14分)设海拔x m 处的大气压强是 y Pa ，y 与 x 之间的函数关系式是 y ＝c e kx，其中c ，k 为常量，已知某地某天在海平面的大气压为1.01×105Pa,1 000 m 高空的大气压为0.90×105Pa ，求600 m 高空的大气压强(结果保留3个有效数字)．解析：将x ＝0，y ＝1.01×105；x ＝1 000 , y ＝0.90×105,代入y ＝c e kx 得：⎩⎪⎨⎪⎧1.01×105＝c e k ·00.90×105＝c e k ·1 000 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1.01×105， ①0.90×105＝c e 1 000k. ②将①代入②得： 0．90×105＝1.01×105e1 000k⇒k ＝11 000×ln 0.901.01，计算得：k ＝－1.15×10－4. ∴y ＝1.01×105×e－1.15×10－4x . 将 x ＝600 代入，得：y ＝1.01×105×41.1510600e⨯⨯－－，计算得：y ＝0.943×105(Pa)．答：在600 m 高空的大气压约为0.943×105Pa.20.(14分)某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1、1.2、1.3万件，为了预测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y ＝ab x＋c (其中a ，b ，c 为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．解析：根据题意，该产品的月产量y 是月份x 的函数，可供选用的函数有两种，其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量越接近于1.37万件，哪种函数作为模拟函数就较好，故应先确定这两个函数的具体解析式．设y 1＝f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ，q ，r 为常数，且p ≠0)，y 2＝g (x )＝ab x＋c ，根据已知有⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＋r ＝1，4p ＋2q ＋r ＝1.2，9p ＋3q ＋r ＝1.3和⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，ab 2＋c ＝1.2，ab 3＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7和⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4.所以f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7，g (x )＝－0.8×0.5x＋1.4.所以f (4)＝1.3，g (4)＝1.35.显然g (4)更接近于1.37，故选用y ＝－0.8×0.5x＋1.4作为模拟函数较好． 21．(14分)已知函数f (x )＝3x 2－6x －5.(1)设g (x )＝f (x )－2x 2＋mx ，其中m ∈R，求g (x )在[1,3]上的最小值； 解析：(1)g (x )＝x 2＋(m －6)x －5，对称轴方程为x ＝6－m 2，分6－m 2<1,1≤6－m 2≤3，6－m2>3三种情况分类讨论，易得，g min(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3m －14，m <0，－m 2＋12m －564，0≤m ≤4，m －10，m >4.(2)若对于任意的a ∈[1,2]，关于x 的不等式f (x )≤x 2－(2a ＋6)x ＋a ＋b 在区间[1,3]上恒成立，求实数b 的取值范围．解析：(2)不等式可化为2x 2＋2ax －(a ＋b ＋5)≤0， 令φ(x )＝2x 2＋2ax －(a ＋b ＋5)，对称轴x ＝－a2.由已知得－a 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12，∴φmax(x )＝φ(3)＝5a －b ＋13，∴只要当a ∈[1,2]时，5a －b ＋13≤0恒成立即可，而当a ∈[1,2]时，b ≥5a ＋13恒成立， ∴b 的取值范围是[23，＋∞)．。
江苏省2015届高三数学一轮复习基础版：第二章 函数与基本初等函数Ⅰ18_【要点导学】 PDF版
设函数f(x)= 2,x 0,
其中b>0,c∈R.当且仅当x=-2时,函数f(x)取
得最小值-2.
(1) 求函数f(x)的表达式;
(2) 若方程f(x)=x+a(a∈R)至少有两个不相等的实数根,求a的取值范围.
[解答](1) 因为当且仅当x=-2时,函数f(x)取得最小值-2,二次函数y=x2+bx+c
1. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为
.(填序号)
①y=x+1;
②y=-x2;
1 ③y= x ;
④y=x|x|.
[答案]④
2. 若x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则下面关于定义域在R上的函数
f(x)=x-[x]的说法正确的是
. (填序号)
①奇函数; ②偶函数; ③单调增函数; ④周期函数.
(ⅰ) 方程①有且仅有一个实数根a<2,方程①没有实数根a≥2. (ⅱ) 方程②有且仅有两个不相等的实数根,即方程x2+3x+2-a=0有两个不相等的
非正实数根,
所以
Δ 2-a
9-4(2-a) 0,
0,
解得-
1 4
<a≤2;
(例2)
方程②有且仅有一个实数根,即方程x2+3x+2-a=0有且仅有一个非正实数根,所
(3) 由(2)知,当a>1时,f(x)在(1,+∞)上为单调减函数.同理,f(x)在(-∞,-1)
上也为单调减函数.
当(t,a)(-∞,-1)时,f(a)<f(x)<f(t)<0,与已知矛盾,舍去.(12分)
当(t,a)(1,+∞)时,因为函数f(x)的值域为(1,+∞),
2015届高考数学文科一轮总复习资源包第2篇函数与基本初等函数I-2-7
第7讲 函数的图象及其应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是________．解析 把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，得y ＝[(x ＋1)－2]2＋2＝(x －1)2＋2，再向上平移1个单位长度，得y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3.答案 y ＝(x －1)2＋32．函数f (x )＝x ＋1x 的图象的对称中心为________．解析 f (x )＝x ＋1x ＝1＋1x ，故f (x )的对称中心为(0,1)．答案 (0,1)3．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析 在函数g (x )的图象上任取一点(x ，y )，这一点关于x ＝1的对称点为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧x 0＝2－x ，y 0＝y . ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132－x ＝3x －2. 答案 g (x )＝3x －24．函数y ＝(x －1)3＋1的图象的对称中心是________．解析 y ＝x 3的图象的对称中心是(0,0)，将y ＝x 3的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，即得y ＝(x －1)3＋1的图象，所以对称中心为(1,1)． 答案 (1,1)5．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图，则不等式f (x )＜0的解集是________．解析 利用函数f (x )的图象关于原点对称．∴f (x )＜0的解集为(－2,0)∪(2,5)．答案 (－2,0)∪(2,5)6．若函数f (x )在区间[－2,3]上是增函数，则函数f (x ＋5)的单调递增区间是________．解析 ∵f (x ＋5)的图象是f (x )的图象向左平移5个单位得到的．∴f (x ＋5)的递增区间就是[－2,3]向左平移5个单位得到的区间[－7，－2] 答案 [－7，－2]7．若方程|ax |＝x ＋a (a >0)有两个解，则a 的取值范围是________．解析 画出y ＝|ax |与y ＝x ＋a 的图象，如图．只需a >1.答案 (1，＋∞)8．(2013·泰州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x (x ＞0)，2x (x ≤0)，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的范围是________．解析 当x ≤0时，0＜2x ≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实根，即f (x )＝a 有两个交点，所以由图象可知0＜a ≤1.答案 (0,1]二、解答题9．已知函数f (x )＝x 1＋x . (1)画出f (x )的草图；(2)指出f (x )的单调区间．解 (1)f (x )＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，函数f (x )的图象是由反比例函数y ＝－1x 的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示．(2)由图象可以看出，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)．10．设函数f (x )＝x ＋1x 的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标．解 (1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2,1)对称的点为P ′(4－x,2－y )，代入f (x )＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x ＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4， ∴g (x )＝x －2＋1x －4. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝m ，y ＝x －2＋1x －4，消去y 得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0，Δ＝(m ＋6)2－4(4m ＋9)， ∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点，∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；当m ＝4时，经检验合理，交点为(5,4)．能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是________．解析 作出函数y ＝log 2(－x )及y ＝x ＋1的图象．其中y ＝log 2(－x )与y ＝log 2x 的图象关于y 轴对称，观察图象知(如图所示)，－1＜x ＜0，即x ∈(－1,0)．答案 (－1,0)2．函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为________．解析 当x ∈(0,1)时，cos x >0，f (x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2时，cos x >0，f (x )<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4时，cos x <0，f (x )<0， 当x ∈(－1,0)时，cos x ＞0，f (x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1时，cos x ＞0，f (x )＜0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，－π2时，cos x ＜0，f (x )＜0. 故不等式f (x )cos x <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －π2<x <－1，或1<x <π2. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π2＜x ＜－1，或1＜x ＜π2 3．(2013·宿迁模拟)已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝k x ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是________．解析 由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如图，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)．记B (2,0)，由图象知，方程有四个根，即函数y ＝f (x )与y ＝k x ＋k ＋1的图象有四个交点，故k AB ＜k ＜0，k AB ＝0－12－(－1)＝－13，∴－13＜k ＜0. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 二、解答题4．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．解 f (x )＝⎩⎨⎧ (x －2)2－1，x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)－(x －2)2＋1，x ∈(1，3)作出图象如图所示．原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a .于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象．如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎨⎧ y ＝x ＋a ，y ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0. 由Δ＝9－4(3＋a )＝0，得a ＝－34.由图象知当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－34时方程至少有三个不等实根.。
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方法强化练——函数与基本初等函数(建议用时：75分钟)一、填空题1．(2014·珠海模拟)函数y ＝(x ＋1)02x ＋1的定义域为______．解析 由⎩⎨⎧x ＋1≠0，2x ＋1＞0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞2．(2013·金华十校联考)下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是________． ①y ＝2|x |；②y ＝lg(x ＋x 2＋1)；③y ＝2x ＋2－x ；④y ＝lg1x ＋1. 解析 根据奇偶性的定义易知①、③为偶函数，②为奇函数，④的定义域为{x |x ＞－1}，不关于原点对称． 答案 ④3．(2013·山东省实验中学诊断)已知幂函数f (x )的图象经过(9,3)，则f (2)－f (1)＝________.解析 设幂函数为f (x )＝x α，则f (9)＝9α＝3，即32α＝3，所以2α＝1，α＝12，即f (x )＝ ＝x ，所以f (2)－f (1)＝2－1.答案2－14．(2014·无锡调研)已知方程2x ＝10－x 的根x ∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 解析 设f (x )＝2x ＋x －10，则由f (2)＝－4＜0，f (3)＝1＞0，所以f (x )的零点在(2,3)内． 答案 25．(2014·天水调研)函数f (x )＝(x ＋1)ln x 的零点有________个．解析 函数的定义域为{x |x ＞0}，由f (x )＝(x ＋1)ln x ＝0得，x ＋1＝0或ln x ＝0，即x ＝－1(舍去)或x ＝1，所以函数的零点只有一个． 答案 16．(2014·烟台月考)若a ＝log 20.9，b ＝，c ＝ ，则a 、b 、c 大小关系为________．解析 a ＝log 20.9＜0，b ＝＝c ＞0.答案 a ＜c ＜b7．(2013·潍坊二模)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|的大致图象为________．解析 因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，x ≥－1，2x ＋1，x ＜－1，所以图象为②.答案 ②8．(2013·长沙期末考试)设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ＜0，2x ，x ≥0，则f [f (－1)]＝________.解析 f (－1)＝(－1)2＝1，所以f [f (－1)]＝f (1)＝21＝2. 答案 29．(2013·湖南卷改编)函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为________．解析 因为g (x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，所以作出函数f (x )＝ln x 与g (x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2的图象，由图象可知两函数图象的交点个数有2个．答案 210．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为________．解析 由题意f (0)＝0，即1＋m ＝0， 所以m ＝－1，f (－log 35)＝－f (log 35) ＝－(53log 3－1)＝－4. 答案 －411．(2014·衡水模拟)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________．解析 设在甲地销售x 辆车，则在乙地销售15－x 辆车，获得的利润为 y ＝5.06x －0.15x 2＋2×(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30， 当x ＝－3.062×(－0.15)＝10.2时，y 最大，但x ∈N ，所以当x ＝10时，y max ＝－15＋30.6＋30＝45.6. 答案 45.612．(2013·陕西卷改编)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有________．①[－x ]＝－[x ]；②⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝[x ]；③[2x ]＝2[x ]；④[x ]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝[2x ]．解析 特值法 对①，设x ＝－1.8，则[－x ]＝1，－[x ]＝2，所以①为假；对②，设x ＝1.8，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝2，[x ]＝1，所以②为假；对③，设x ＝－1.4，[2x ]＝[－2.8]＝－3,2[x ]＝－4，所以③为假． 答案 ④13．(2014·郑州模拟)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． 解析 g (x )＝|x －a |的增区间为[a ，＋∞)， ∴f (x )＝e |x －a |的增区间为[a ，＋∞)． ∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴[1，＋∞)⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. 答案 (－∞，1]14．(2013·滨州一模)定义在R 上的偶函数f (x )，且对任意实数x 都有f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1)时，f (x )＝x 2，若在区间[－1,3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是________．解析 由f (x ＋2)＝f (x )得函数的周期为2.由g (x )＝f (x )－k x －k ＝0，得f (x )＝k x ＋k ＝k (x ＋1)，分别作出函数y ＝f (x )，y ＝k (x ＋1)的图象，设A (3,1), B (－1,0)，要使函数有4个零点，则直线y ＝k (x ＋1)的斜率0＜k ≤k AB ，因为k AB ＝1－03－(－1)＝14，所以0＜k ≤14，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1415．(2014·扬州质检)对于函数f (x )＝x |x |＋px ＋q ，现给出四个命题： ①q ＝0时，f (x )为奇函数； ②y ＝f (x )的图象关于(0，q )对称；③p ＝0，q ＞0时，方程f (x )＝0有且只有一个实数根； ④方程f (x )＝0至多有两个实数根． 其中正确命题的序号为________．解析 若q ＝0，则f (x )＝x |x |＋px ＝x (|x |＋p )为奇函数，所以①正确；由①知，当q ＝0时，f (x )为奇函数，图象关于原点对称，f (x )＝x |x |＋px ＋q 的图象由函数f (x )＝x |x |＋px 向上或向下平移|q |个单位，所以图象关于(0，q )对称，所以②正确；当p ＝0，q ＞0时，f (x )＝x |x |＋q ＝⎩⎨⎧x 2＋q ，x ≥0，－x 2＋q ，x ＜0，当f (x )＝0，得x ＝－q ，只有一解，所以③正确；取q ＝0，p ＝－1，f (x )＝x |x |－x ＝⎩⎨⎧x 2－x ，x ≥0， －x 2－x ，x ＜0，由f (x )＝0，可得x ＝0，x ＝±1有三个实根，所以④不正确．综上正确命题的序号为①②③. 答案 ①②③ 二、解答题16．(2013·贵阳诊断)函数f (x )＝m ＋log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(8,2)和(1，－1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值． 解 (1)由⎩⎨⎧ f (8)＝2，f (1)＝－1，得⎩⎨⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1， 解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f (x )＝－1＋log 2x . (2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)] ＝log 2x 2x －1－1(x ＞1)．∵x 2x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥ 2(x －1)·1x －1＋2＝4.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立．而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，则log 2 x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1.17．(2014·齐齐哈尔调研)对于函数f (x )，若存在x 0∈R ，使f (x 0)＝x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点，已知函数f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求f (x )的不动点；(2)若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－x －3，由题意可知x ＝x 2－x －3，得x 1＝－1，x 2＝3.故当a ＝1，b ＝－2时，f (x )的不动点是－1,3.(2)∵f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0)恒有两个不动点，∴x ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1，即ax 2＋bx ＋b －1＝0恒有两相异实根，∴Δ＝b 2－4ab ＋4a ＞0(b ∈R )恒成立． 于是Δ′＝(－4a )2－16a ＜0解得0＜a ＜1，故当b ∈R ，f (x )恒有两个相异的不动点时的a 的范围是(0,1)．18．(2014·湖州调研)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． (1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大？ 解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得，当0＜x ＜80时，L (x )＝0.05×1 000x －13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－51x －10 000x ＋1 450－250＝1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x . 所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250(0＜x ＜80)，1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x (x ≥80).(2)当0＜x ＜80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元． 当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ≤1 200－2x ·10 000x ＝1 200－200＝1 000.此时，当x ＝10 000x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元．因为950＜1000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元.。