高考文科数学专题练习三《基本初等函数》

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高考数学函数的概念与基本初等函数多选题练习题含答案

高考数学函数的概念与基本初等函数多选题练习题含答案一、函数的概念与基本初等函数多选题1．已知()f x 为定义在R 上且周期为5的函数，当[)0,5x ∈时，()243f x x x =-+.则下列说法中正确的是（）A ．()f x 的增区间为()()15,2535,55k k k k ++⋃++，k Z ∈B ．若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1C ．当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]1,4 D ．若()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，则k 的取值范围为12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】首先作出()f x 的图象几个周期的图象，由于单调区间不能并，可判断选项A 不正确；利用数形结合可判断选项B 、C ；举反例如1k =时经分析可得()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，可判断选项D 不正确，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A ：单调区间不能用并集，故选项A 不正确；对于选项B ：由图知若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1，故选项B 正确；对于选项C ：()10f =，()43f =，由图知当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]1,4，故选项C 正确；对于选项D ：当1k =时，直线为2y x =-过点()5,3，()f x 也过点()5,3，当10x =时，1028y =-=，直线过点()10,8，而点()10,8不在()f x 图象上，由图知：当1k =时，直线为2y x =-与()y f x =有3个交点，由排除法可知选项D 不正确，故选：BC 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.2．已知函数222,0()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论正确的是（） A ．x 1＋x 2＝－1 B ．x 3x 4＝1 C ．1<x 4<2 D ．0<x 1x 2x 3x 4<1【答案】BCD 【分析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有122x x +=-，341x x =，341122x x <<<<，即可知正确选项. 【详解】由()f x 函数解析式可得图象如下：∴由图知：122x x +=-，121x -<<-，而当1y =时，有2|log |1x =，即12x =或2， ∴341122x x <<<<，而34()()f x f x =知2324|log ||log |x x =：2324log log 0x x +=， ∴341x x =，21234121(1)1(0,1)x x x x x x x ==-++∈.故选：BCD 【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定1234,,,x x x x 的范围及关系.3．已知函数21,01()(1)1,1x x f x f x x ⎧-≤<=⎨-+≥⎩，方程()0f x x -=在区间0,2n ⎡⎤⎣⎦(*n N ∈)上的所有根的和为n b ，则（） A ．()20202019f = B ．()20202020f = C ．21122n n n b --=+D ．(1)2n n n b +=【答案】BC 【分析】先推导出()f x 在[)()*,1n n n N+∈上的解析式，然后画出()f x 与y x =的图象，得出()f x x =时，所有交点的横坐标，然后得出n b .【详解】因为当[)0,1x ∈时，()21xf x =-，所以当[)1,2x ∈时，[)10,1x -∈，则()1121x f x --=-，故()()11112112x x f x f x --=-+=-+=，即[)10,1x -∈时，[)10,1x -∈，()12x f x -= 同理当[)2,3x ∈时，[)11,2x -∈，()()21121x f x f x -=-+=+；当[)3,4x ∈时，[)12,3x -∈，则()()31122x f x f x -=-+=+；………故当[),1x n n ∈+时，()()21x nf x n -=+-，当21,2n nx ⎡⎤∈-⎣⎦时，()()()21222nx n f x --=+-.所以()20202020f =，故B 正确；作出()f x 与y x =的图象如图所示，则当()0f x x -=且0,2n⎡⎤⎣⎦时，x 的值分别为：0,1,2,3,4,5,6,,2n则()()121122101222221222n n n n n n n n b ---+=+++++==+=+，故C 正确.故选：BC.【点睛】本题考查函数的零点综合问题，难度较大，推出原函数在每一段上的解析式并找到其规律是关键.4．设函数g (x )=sinωx (ω＞0)向左平移5πω个单位长度得到函数f (x )，已知f (x )在[0，2π]上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（）A ．f (x )的图象关于直线2x π=对称B ．f (x )在(0，2π)上有且只有3个极大值点，f (x )在(0，2π)上有且只有2个极小值点C ．f (x )在(0,)10π上单调递增 D ．ω的取值范围是[1229,510) 【答案】CD 【分析】利用正弦函数的对称轴可知，A 不正确；由图可知()f x 在(0,2)π上还可能有3个极小值点，B 不正确；由2A B x x π≤<解得的结果可知，D 正确；根据()f x 在3(0,)10πω上递增，且31010ππω<，可知C 正确. 【详解】依题意得()()5f x g x πω=+sin[()]5x πωω=+sin()5x πω=+， 2T πω=，如图：对于A ，令52x k ππωπ+=+，k Z ∈，得310k x ππωω=+，k Z ∈，所以()f x 的图象关于直线310k x ππωω=+(k Z ∈)对称，故A 不正确；对于B ，根据图象可知，2A B x x π≤<，()f x 在(0,2)π有3个极大值点，()f x 在(0,2)π有2个或3个极小值点，故B 不正确，对于D ，因为5522452525A x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，22933555B x T ππππωωωω=-+=-+⨯=，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，所以D 正确；对于C ，因为1123545410T ππππωωωω-+=-+⨯=，由图可知()f x 在3(0,)10πω上递增，因为29310ω<<，所以33(1)0101010πππωω-=-<，所以()f x 在(0,)10π上单调递增，故C 正确；故选：CD. 【点睛】本题考查了三角函数的相位变换，考查了正弦函数的对称轴和单调性和周期性，考查了极值点的概念，考查了函数的零点，考查了数形结合思想，属于中档题.5．对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（） A ．,[]1x x x ∃∈+RB ．,,[][][]x y x y x y ∀∈++RC ．函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[0,1)D ．若t ∃∈R ，使得3451,2,3,,2nt t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦同时成立，则正整数n 的最大值是5 【答案】BCD 【分析】由取整函数的定义判断，由定义得[][]1x x x ≤<+，利用不等式性质可得结论．【详解】[]x 是整数，若[]1x x ≥+，[]1x +是整数，∴[][]1x x ≥+，矛盾，∴A 错误；,x y ∀∈R ，[],[]x x y y ≤≤，∴[][]x y x y +≤+，∴[][][]x y x y +≤+，B 正确；由定义[]1x x x -<≤，∴0[]1x x ≤-<，∴函数()[]f x x x =-的值域是[0,1)，C 正确；若t ∃∈R ，使得3451,2,3,,2n t t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦同时成立，则1t ≤<，t ≤<t ≤<t ≤<，，t ≤<=6n ≥，则不存在t 同时满足1t ≤<t <5n ≤时，存在t ∈满足题意，故选：BCD ．【点睛】本题考查函数新定义，正确理解新定义是解题基础．由新定义把问题转化不等关系是解题关键，本题属于难题．6．定义：若函数()F x 在区间[]a b ，上的值域为[]a b ，，则称区间[]a b ，是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间()F x 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-，则（）A ．[]0,1是()f x 的一个“完美区间”B ．⎣⎦是()f x 的一个“完美区间”C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+【答案】AC 【分析】根据定义，当[]0,1x ∈时求得()f x 的值域，即可判断A ；对于B ，结合函数值域特点即可判断；对于C 、D ，讨论1b ≤与1b >两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项. 【详解】对于A ，当[]0,1x ∈时，()2211f x x x =-=-，则其值域为[]0,1，满足定义域与值域的范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A 正确；对于B ，因为函数()210f x x =-≥，所以其值域为[)0,+∞，而102-<，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B 错误；对于C ，由定义域为[]a b ，，可知0a b ≤<，当1b ≤时，[][]0,1a b ，，此时()2211f x x x =-=-，所以()f x 在[]a b ，内单调递减，则满足()()2211f a a b f b b a⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，化简可得22a a b b -=-，即221122a b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1122a b -=-或1122a b -=-，解得a b =（舍）或1a b +=，由211a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1b =或0b =（舍），所以10a b =-=，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为[]0,1，则“复区间长度”为()22b a -=；当1b >时，①若01a ≤<，则[]1a b ∈，，此时()()min 10f x f ==.当()f x 在[]a b ，的值域为[]a b ，，则()0,a f b b ==，因为1b > ，所以()21f b b b =-=，即满足210b b --=，解得12b +=，12b =.所以此时完美区间为⎡⎢⎣⎦，则“复区间长度”为()12212b a +-=⨯=+ ②若1a ≤，则()21f x x =-，[]x a b ∈，，此时()f x 在[]a b ，内单调递增，若()f x 的值域为[]a b ，，则()()2211f a a af b b b⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，则,a b 为方程210x x --=的两个不等式实数根，解得112x =，212x =，所以a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，与1a ≤矛盾，所以此时不存在完美区间.综上可知，函数()21f x x =-的“复区间长度”的和为213++=C 正确，D 错误；故选：AC. 【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.7．下列选项中a 的范围能使得关于x 的不等式220x x a +--<至少有一个负数解的是（） A ．9,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．()2,3C ．1,2D ．0,1【答案】ACD【分析】将不等式变形为22x a x -<-，作出函数2,2y x a y x =-=-的图象，根据恰有一个负数解时判断出临界位置，再通过平移图象得到a 的取值范围. 【详解】因为220x x a +--<，所以22x a x -<-且220x ，在同一坐标系中作出2,2y x a y x =-=-的图象如下图：当y x a =-与22y x =-在y 轴左侧相切时，22x a x -=-仅有一解，所以()1420a ∆=++=，所以94a =-，将y x a =-向右移动至第二次过点()0,2时，02a -=，此时2a =或2a =-（舍），结合图象可知：9,24a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以ACD 满足要求. 故选：ACD. 【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，着重考查数形结合的思想，难度较难.利用数形结合可解决的常见问题有：函数的零点或方程根的个数问题、求解参数范围或者解不等式、研究函数的性质等.8．下列说法中，正确的有（） A ．若0a b >>，则b a a b> B ．若0a >，0b >，1a b +=，则11a b+的最小值为4 C ．己知()11212xf x =-+，且()()2110f a f a -+-<，则实数a 的取值范围为()2,1- D ．已知函数()()22log 38f x x ax =-+在[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是(]11,6--【答案】BCD 【分析】利用不等式的基本性质可判断A 选项的正误；将+a b 与11a b+相乘，展开后利用基本不等式可判断B 选项的正误；判断函数()f x 的单调性与奇偶性，解不等式()()2110f a f a -+-<可判断C 选项的正误；利用复合函数法可得出关于实数a 的不等式组，解出a 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，0a b >>，则1a bb a>>，A 选项错误；对于B 选项，0a >，0b >，1a b +=，()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时，等号成立，所以，11a b+的最小值为4，B 选项正确；对于C 选项，函数()f x 的定义域为R ，任取1x 、2x R ∈且12x x <，则21220x x >>，所以，()()()()211212121211111122021221221212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-=> ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x >，所以，函数()f x 为R 上的减函数，()()()()2211112212221212xxx xx f x -+-=-==+++，则()()()()()()21212212122212221x x x x x x x x f x f x --------====-+⋅++，所以，函数()f x 为R 上的奇函数，且为减函数，由()()2110f a f a-+-<可得()()()22111f a f a f a-<--=-，所以，211a a -<-，即220a a +-<，解得21a -<<，C 选项正确；对于D 选项，对于函数()()22log 38f x x ax =-+，令238u x ax =-+，由于外层函数2log y u =为增函数，则内层函数238u x ax =-+在[)1,-+∞上为增函数，所以min 16380au a ⎧≤-⎪⎨⎪=++>⎩，解得116a -<≤-，D 选项正确.故选：BCD. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.二、导数及其应用多选题9．对于定义域为R 的函数()f x ，()'f x 为()f x 的导函数，若同时满足：①()00f =；②当x ∈R 且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12x x =时，都有()()12f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（）A ．21()xx f x ee x =--B ．2()1xf x e x =+-C ．31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩D ．42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩【答案】ACD 【分析】结合“偏对称函数”的性质，利用导数的方法，分别讨论四个函数是否满足三个条件，即可得到所求结论．【详解】条件①()00f =；由选项可得：001(0)00f e e =--=，02(0)010f e =+-=，03(0)10f e =-=，4()ln(10)0f x =-=，即ABCD 都符合；条件②0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增；对于21()xx f x ee x =--，则()()21()11212x x x xf x e e e e =-+-=-'，由0x >可得，()()120(1)1x xf x e e '-=+>，即函数1()f x 单调递增；由0x <可得，()()120(1)1xxf x ee '-=+<，即函数1()f x 单调递减；满足条件②；对于2()1xf x e x =+-，则2()10x f x e =+>'显然恒成立，所以2()1xf x e x =+-在定义域上单调递增，不满足条件②；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，当0x <时，3()f x x =-显然单调递减；当0x ≥时，3()1x f x e =-显然单调递增；满足条件②；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，当0x ≤时，4()ln(1)f x x =-显然单调递减；当0x >时，4()2f x x =显然单调递增，满足条件②；因此ACD 满足条件②；条件③当120x x <<且12x x =时，12x x -=，都有()()12f x f x <，即()()()()21220f x f x f x f x -=-->，对于21()xx f x ee x =--，()()212122211211x x x x f x f x e e e e x x -=-+--+()()()()22222222222222x x x x x x x x x e e e e e e e x e ----=----=-+-，因为222x x e e -+≥=，当且仅当22x x e e -=，即20x =时，等号成立，又20x >，所以222x x e e -+>，则()()()()2222122211222xx x x f x f x e ee e xx ----=--->令()xxg x e ex -=--，0x >，所以()1110x x e e g x -'=+->=>在0x >上显然恒成立，因此()xxg x e ex -=--在0x >上单调递增，所以()()00g x g >=，即()()()222121120xx f x f x e ex -->-->，所以()()1211f x f x >满足条件③；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，()()2232311211x xf x f x e x x e -=--=-+，令()1xh x e x =--，0x >，则()10xh x e '=->在0x >上显然恒成立，所以()()00h x h >=，则()()23231210xf x f x e x --=>-，即()()3231f x f x >满足条件③；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，()()()()212122442ln 12ln 1f x f x x x x x -=--=-+，令()()2ln 1u x x x =-+，0x >，则()1221101u x x'=->-=>+在0x >上显然恒成立，所以()()00u x u >=，则()()()1422422ln 10f x f x x x -=-+>，即()()1442f x f x >满足条件③；综上，ACD 选项是“偏对称函数”，故选：ACD. 【点睛】思路点睛：求解此类函数新定义问题时，需要结合函数新定义的概念及性质，结合函数基本性质，利用导数的方法，通过研究函数单调性，值域等，逐项判断，即可求解.（有时也需要构造新的函数，进行求解.）10．已知实数a ，b ，c ，d 满足2111a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则()()22a cb d -+-的值可能是（） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】BCD 【分析】由题中所给的等式，分别构造函数()2xf x x e =-和()2g x x =-+，则()()22a cb d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),Ncd 的距离的平方，利用导数的几何意义可知当()01f x '=-时，切点到直线的距离最小，再比较选项.【详解】由212a a a e b a e b-=⇒=-，令()2x f x x e =-，()12xf x e '∴=-由1121cd c d -=⇒=-+-，令()2g x x =-+ 则()()22a cb d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),Ncd 的距离的平方，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y 由()0001210xf x e x '=-=-⇒=，∴切点为()00,2M -所以切点为()00,2M -到()y g x =的距离的平方为28=的距离为(),M a b 与(),N c d 的距离的平方的最小值.故选：BCD. 【点睛】本题考查构造函数，利用导数的几何意义求两点间距离的最小值，重点考查转化思想，构造函数，利用几何意义求最值，属于偏难题型.。

数学必修三文科练习题

数学必修三文科练习题一、集合与函数概念1. 判断下列各题中，集合A与集合B是否相等，并说明理由。

（1）A={x|x²3x+2=0}，B={1, 2}（2）A={x|0<x<3}，B={x|x²<9}（1）A={x|x属于M，且x为偶数}（2）B={x|x属于M，且x²3x+2=0}3. 已知函数f(x)=2x+1，求f(3)、f(1)和f(0)的值。

二、基本初等函数1. 判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=x³4x（2）g(x)=|x|x2. 求下列函数的定义域：（1）f(x)=√(4x²)（2）g(x)=1/(x²9)3. 已知函数f(x)=3x²2x+1，求f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值。

三、函数的性质1. 已知函数f(x)=x²4x+3，求f(x)的单调递增区间。

2. 设函数g(x)=1/x，判断g(x)在区间(0, +∞)上的单调性。

3. 已知函数h(x)=2x+3，求h(x)的周期性。

四、函数的应用1. 某企业的年产量Q（单位：万件）与年销售额P（单位：万元）之间的关系为P=5Q10，求企业的盈亏平衡点。

2. 已知某商品的成本函数C(x)=3x+20，其中x为生产数量（单位：件），销售价格为50元/件，求该商品的利润函数。

3. 一辆汽车以60km/h的速度行驶，行驶距离S（单位：km）与时间t（单位：h）之间的关系为S=60t。

求汽车行驶200km所需的时间。

五、数列的概念与性质（1）an=2n+1（2）bn=n²（1）an=1/n（2）bn=(1)^(n+1)/n3. 已知数列{an}的通项公式为an=3n2，求该数列的前n项和。

六、平面向量1. 已知向量a=(2, 3)，求向量a的模。

2. 已知向量b=(3, 4)，求向量b的单位向量。

3. 已知向量a=(4, 5)和向量b=(2, 3)，求向量a与向量b的夹角。

专题3 基本初等函数-1

高考数学题型归纳与精讲（文/理科）诸葛老师课堂基础+强化+冲刺高考数学题型归纳与精讲（文/理科）不择手段，得分才是硬道理专题三基本初等函数题型7 函数的概念及其表示题型8 求函数的定义域题型9 求函数的值域真题精讲答案详解真题精讲答案详解题型攻略易错指导真题精讲答案详解真题精讲答案详解题型攻略易错指导真题精讲答案详解真题精讲答案详解真题精讲答案详解真题精讲答案详解题型攻略易错指导精品课程上线安排课程编号课程目录课程内容大纲适用人群1高考数学一轮微专题系列①函数性质的综合应用②巧解零点问题③三角函数综合应用④平面向量的综合应用⑤数列及其综合应用⑥不等式与线性规划⑦导数及其综合应用●高中各阶段总结复习●高考数学一轮复习●高考数学二轮复习●高考强化阶段重点突破●高考冲刺阶段提分秘籍●高考数学成绩冲刺140+课程编号课程目录课程内容大纲适用人群2高考二轮重难点突破①三角函数与解三角形3大经典问题②立体几何与空间向量4大类经典问题③概率与统计3大经典问题④解析几何4大类经典问题⑤导数及其应用5大经典问题⑥极坐标与参数方程3大经典问题⑦不等式选讲3大经典问题●高考数学二轮复习●高考强化阶段重点突破●高考核心题型归纳●解答题冲刺60+课程编号课程目录课程内容大纲适用人群3高考冲刺大招须知①客观题得分技巧与策略②解答题答题模板归纳与应用③高考数学冲刺130+答题策略④高考数学常见误区与陷阱⑤高考数学试卷抢分秘籍●客观题得分率低●解答题得分率低●高分答题技巧欠缺●忽视常见命题陷阱●考前抢分策略薄弱预祝大家高考金榜题名！温馨提示：专题三基本初等函数2。

高中数学【基本初等函数、函数的应用】专题练习

高中数学【基本初等函数、函数的应用】专题练习1.已知55<84，134<85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( ) A.a <b <c B.b <a <c C.b <c <a D.c <a <b答案 A解析 ∵log 53－log 85＝log 53－1log 58＝log 53·log 58－1log 58<⎝ ⎛⎭⎪⎫log 53＋log 5822－1log 58＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52422－1log 58<⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52522－1log 58＝0，∴log 53<log 85.∵55<84，134<85，∴5log 85<4log 88＝4＝4log 1313<5log 138， ∴log 85<log 138，∴log 53<log 85<log 138，即a 0 B.ln(y －x ＋1)<0 C.ln|x －y |>0 D.ln|x －y |<0 答案 A解析设函数f (x )＝2x －3－x .因为函数y ＝2x 与y ＝－3－x 在R 上均单调递增，所以f (x )在R 上单调递增.原已知条件等价于2x －3－x <2y －3－y ，即f (x )<f (y )，所以x <y ，即y －x >0，y －x ＋1>1，所以A 正确，B 不正确. 因为|x －y |与1的大小不能确定，所以C ，D 不正确.3.设a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧cos （2πx －2πa ），x ＜a ，x 2－2（a ＋1）x ＋a 2＋5，x ≥a ，若f (x )在区间(0，＋∞)内恰有6个零点，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤2，94∪⎝ ⎛⎦⎥⎤52，114 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，114 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤2，94∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫114，3 答案 A解析因为x 2－2(a ＋1)x ＋a 2＋5＝0最多有2个根，所以c os (2πx －2πa )＝0至少有4个根.由2πx －2πa ＝π2＋k π，k ∈Z 可得x ＝k 2＋14＋a ，k ∈Z .由0＜k 2＋14＋a ＜a 可得－2a －12＜k ＜－12.①当x ＜a 时，当－5≤－2a －12＜－4时，f (x )有4个零点，即74＜a ≤94；当－6≤－2a －12＜－5时，f (x )有5个零点，即94＜a ≤114；当－7≤－2a －12＜－6时，f (x )有6个零点，即114＜a ≤134；②当x ≥a 时，f (x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋a 2＋5， Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2＋5)＝8(a －2)，当a ＜2时，Δ＜0，f (x )无零点；当a ＝2时，Δ＝0，f (x )有1个零点x ＝3；当a ＞2时，令f (a )＝a 2－2a (a ＋1)＋a 2＋5＝－2a ＋5≥0，则2＜a ≤52，此时f (x )有2个零点；所以当a ＞52时，f (x )有1个零点.综上，要使f (x )在区间(0，＋∞)内恰有6个零点，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧74＜a ≤94，2＜a ≤52或⎩⎪⎨⎪⎧94＜a ≤114，a ＝2或a ＞52或⎩⎨⎧114＜a ≤134，a ＜2.则可解得a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤2，94∪⎝ ⎛⎦⎥⎤52，114.4.已知f (x )＝|lg x |－kx －2，给出下列四个结论： (1)若k ＝0，则f (x )有两个零点； (2)∃k <0，使得f (x )有一个零点； (3)∃k <0，使得f (x )有三个零点； (4)∃k >0，使得f (x )有三个零点. 以上正确结论的序号是________. 答案 (1)(2)(4)解析令f (x )＝|lg x |－kx －2＝0，可转化成两个函数y 1＝|lg x |，y 2＝kx ＋2的图象的交点个数问题. 对于(1)，当k ＝0时，y 2＝2与y 1＝|lg x |的图象有两个交点，(1)正确；对于(2)，存在k <0，使y 2＝kx ＋2与y 1＝|lg x |的图象相切，(2)正确；对于(3)，若k <0，则y 1＝|lg x |与y 2＝kx ＋2的图象最多有2个交点，(3)错误；对于(4)，当k >0时，过点(0，2)存在函数g (x )＝lg x (x >1)图象的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故(4)正确.1.指数式与对数式的七个运算公式 (1)a m ·a n ＝a m ＋n ； (2)(a m )n ＝a mn ；(3)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (4)log a MN ＝log a M －log a N ；(5)log a M n ＝n log a M ； (6)a log a N ＝N ；(7)log a N ＝log b Nlog ba (注：a ，b >0且a ，b ≠1，M >0，N >0).2.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，当a >1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数. 3.函数的零点问题(1)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解. 4.应用函数模型解决实际问题的一般程序读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.热点一基本初等函数的图象与性质【例1】 (1)(多选)下列命题中正确的是( ) A.∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13xB.∀x ∈(0，1)，log 12x >log 13xC.∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >x 12D.∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 13x(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x ＞0，|x ＋2|，－3≤x ≤0(a ＞0且a ≠1)，若函数f (x )的图象上有且仅有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是( )A.(0，1)B.(1，3)C.(0，1)∪(3，＋∞)D.(0，1)∪(1，3)答案 (1)ABC (2)D解析 (1)对于A ，分别作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的图象，如图(1)，由图可知，当x ∈(0，＋∞)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，故A 正确；对于B ，分别作出y ＝log 12x ，y ＝log 13x 的图象，如图(2)，由图可知，当x ∈(0，1)时，log 12x >log 13x ，故B 正确；对于C ，分别作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，y ＝x 12的图象，如图(3)，由图可知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >x 12，故C 正确；对于D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，log 13x >log 1313＝1，所以D 错误.故选ABC.(2)y ＝log a x 的图象关于y 轴对称的图象对应的函数为y ＝log a (－x )，函数f (x )的图象上有且仅有两个点关于y 轴对称，等价于y ＝log a (－x )与y ＝|x ＋2|，－3≤x ≤0的图象有且仅有一个交点.当0＜a ＜1时，显然符合题意(图略).当a ＞1时，只需log a 3＞1，∴1＜a ＜3. 综上所述，a 的取值范围是(0，1)∪(1，3).探究提高 1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围. 2.基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化. 【训练1】 (1)函数f (x )＝x 2－1e x 的图象大致为( )(2)(多选)已知函数f (x )＝log 2(1＋4x )－x ，则下列说法正确的是( ) A.函数f (x )是偶函数 B.函数f (x )是奇函数C.函数f (x )在(－∞，0]上单调递增D.函数f (x )的值域为[1，＋∞) 答案 (1)A (2)AD解析 (1)易知f (x )在定义域R 上为非奇非偶函数，B 不合题意. 当x <0且x →－∞时，f (x )>0，且f (x )→＋∞，C 不合题意. 当x >0且x →＋∞时，f (x )→0，知D 不合题意，只有A 满足.(2)因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14x －(－x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋14x ＋x ＝log 2(4x ＋1)－log 24x ＋x ＝log 2(1＋4x )－2x ＋x ＝log 2(1＋4x )－x ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，故A 正确，B 不正确；f ′(x )＝4x ln 4（1＋4x）ln 2－1＝2×4x 4x ＋1－1＝4x －14x ＋1，则当x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x >0时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，故C 不正确；由以上分析知，f (x )min ＝f (0)＝1，所以函数f (x )的值域为[1，＋∞)，故D 正确.综上所述，选AD. 热点二函数的零点与方程考向1 确定函数零点个数【例2】 (1)设函数f (x )＝2|x |＋x 2－3，则函数y ＝f (x )的零点个数是( ) A.4 B.3 C.2D.1(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ＜0，4x 3－6x 2＋1，x ≥0，其中e 为自然对数的底数，则函数g (x )＝3[f (x )]2－10f (x )＋3的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6D.3答案 (1)C (2)A解析 (1)易知f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋x 2－3，所以x ≥0时，f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，所以x ＝1是函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上的唯一零点.根据奇偶性，知x ＝－1是y ＝f (x )在(－∞，0)内的零点，因此y ＝f (x )有两个零点.(2)当x ≥0时，f (x )＝4x 3－6x 2＋1的导数为f ′(x )＝12x 2－12x ，当0＜x ＜1时，f (x )单调递减，x ＞1时，f (x )单调递增，可得f (x )在x ＝1处取得最小值，最小值为－1，且f (0)＝1，作出函数f (x )的图象，如图. g (x )＝3[f (x )]2－10f (x )＋3，可令g (x )＝0，t ＝f (x )，可得3t 2－10t ＋3＝0，解得t ＝3或13.当t ＝13时，可得f (x )＝13有三个实根，即g (x )有三个零点；当t ＝3时，可得f (x )＝3有一个实根，即g (x )有一个零点. 综上，g (x )共有四个零点.探究提高判断函数零点个数的主要方法(1)解方程f (x )＝0，直接求零点；(2)利用零点存在性定理；(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图象，常会通过分解转化为两个能画出图象的函数，求其图象交点问题.【训练2】 (1)函数f (x )＝2sin x －sin 2x 在[0，2π]的零点个数为( ) A.2 B.3 C.4D.5(2)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，则关于x 的方程为f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2，6)上根的个数为( ) A.1 B.2 C.3D.4答案 (1)B (2)C解析 (1)令f (x )＝0，得2sin x －sin 2x ＝0，即2sin x －2sin x cos x ＝0，∴2sin x (1－cos x )＝0，∴sin x ＝0或cos x ＝1. 又x ∈[0，2π]，∴由sin x ＝0得x ＝0，π或2π，由cos x ＝1得x ＝0或2π. 故函数f (x )的零点为0，π，2π，共3个. (2)对于任意的x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )， ∴f (x ＋4)＝f [2＋(x ＋2)]＝f [2－(x ＋2)]＝f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )是一个周期函数，且T ＝4.又∵当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (6)＝f (－2)＝1，则函数y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2，6)上的图象如图所示，根据图象可得y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2，6)上有3个不同的交点，即f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2，6)上有3个根. 考向2 根据函数的零点求参数的值或范围【例3】 (1)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A.－12B.13C.12D.1(2)设a ，b ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <0，13x 3－12（a ＋1）x 2＋ax ，x ≥0.若函数y ＝f (x )－ax －b恰有3个零点，则( ) A.a <－1，b <0 B.a <－1，b >0 C.a >－1，b <0 D.a >－1，b >0答案 (1)C (2)C解析 (1)f (x )＝(x －1)2＋a (e x －1＋e 1－x )－1，令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t ＋e －t )－1. ∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t ＋e t )－1＝g (t )，且t ∈R ， ∴函数g (t )为偶函数.∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点. 又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12.(2)由题意，令y ＝f (x )－ax －b ＝0，得b ＝f (x )－ax ＝⎩⎨⎧（1－a ）x ，x <0，13x 3－12（a ＋1）x 2，x ≥0. 设y ＝b ，g (x )＝⎩⎨⎧（1－a ）x ，x <0，13x 3－12（a ＋1）x 2，x ≥0，则以上两个函数的图象恰有3个交点，根据选项进行讨论.①当a <－1时，1－a >0，可知在x ∈(－∞，0)上，g (x )单调递增，且g (x )<0；由g ′(x )＝x 2－(a ＋1)x ＝x [x －(a ＋1)](x ≥0)，a ＋1<0，可知在x ∈[0，＋∞)上，g (x )单调递增，且g (x )≥0.此时直线y ＝b 与g (x )的图象只有1个交点，不符合题意，故排除A ，B. ②当a >－1，即a ＋1>0时.因为g ′(x )＝x [x －(a ＋1)](x ≥0)，所以当x ≥0时，由g ′(x )<0可得0<x <a ＋1，由g ′(x )>0可得x >a ＋1，所以当x ≥0时，g (x )在(0，a ＋1)上单调递减，g (x )在(a ＋1，＋∞)上单调递增.如图，y ＝b 与y ＝g (x )(x ≥0)的图象至多有2个交点.当1－a >0，即－1<a <1时，由图象可得，若要y ＝g (x )与y ＝b 的图象有3个交点，必有b <0；当1－a ＝0时，y ＝g (x )与y ＝b 的图象可以有1个、2个或无数个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去；当1－a <0，即a >1时，y ＝g (x )与y ＝b 的图象可以有1个或2个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去. 综上，－1<a <1，b <0.故选C.探究提高 1.求解第(1)题关键是利用函数f (x )有唯一零点找到解题思路.借助换元法，构造函数g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t ＋e －t )－1，利用函数的性质求解. 2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.【训练3】设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a (a <1)有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43e －0.5 C.(－∞，1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43e －0.5 答案 A解析依题设，f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a 有两个零点，∴函数y ＝e x (2x －1)的图象与直线y ＝a (x －1)有两个交点. 令y ′＝[e x (2x －1)]′＝e x (2x ＋1)＝0，得x ＝－12.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12时，y ′<0，故y ＝e x(2x －1)为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞时，y ′>0，故y ＝e x (2x －1)为增函数，如图.设直线y ＝a (x －1)与y ＝e x (2x －1)相切于点P (x 0，y 0)， ∴y 0＝e x 0(2x 0－1). 则过点P (x 0，y 0)的切线为 y －e x 0(2x 0－1)＝e x 0(2x 0＋1)(x －x 0).将点(1，0)代入上式，得x 0＝0或x 0＝32(舍去). 此时，直线y ＝a (x －1)的斜率为1.故若直线y ＝a (x －1)与函数y ＝e x (2x －1)的图象有两个交点，应有0<a <1. 热点三函数的实际应用【例4】某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO ′为铅垂线(O ′在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离h 1(米)与D 到OO ′的距离a (米)之间满足关系式h 1＝140a 2；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离h 2(米)与F 到OO ′的距离b (米)之间满足关系式h 2＝－1800b 3＋6b .已知点B 到OO ′的距离为40米.(1)求桥AB的长度；(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)，桥墩CD每米造价32k(万元)(k＞0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？解(1)如图，设AA1，BB1，CD1，EF1都与MN垂直，A1，B1，D1，F1是相应垂足.由条件知，当O′B＝40时，BB1＝－1800×403＋6×40＝160，则AA1＝160.由140O′A2＝160，得O′A＝80.所以AB＝O′A＋O′B＝80＋40＝120(米).(2)以O为原点，OO′所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).设F(x，y2)，x∈(0，40)，则y2＝－1800x3＋6x，EF＝160－y2＝160＋1800x3－6x.因为CE＝80，所以O′C＝80－x.设D(x－80，y1)，则y1＝140(80－x)2，所以CD ＝160－y 1＝160－140(80－x )2＝－140x 2＋4x . 记桥墩CD 和EF 的总造价为f (x )万元，则f (x )＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫160＋1800x 3－6x ＋32k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－140x 2＋4x＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1800x 3－380x 2＋160(0＜x ＜40). f ′(x )＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫3800x 2－340x ＝3k 800x (x －20)，令f ′(x )＝0，得x ＝20或x ＝0(舍去). 列表如下：所以当x ＝20时，f (x )取得最小值. 答：(1)桥AB 的长度为120米；(2)当O ′E 为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低.探究提高 1.解决函数的实际应用问题时，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去.2.对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.【训练4】 “一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e ax ＋b (a ，b 为常数)，若该果蔬在6 ℃的保鲜时间为216小时，在24 ℃的保鲜时间为8小时，且该果蔬所需物流时间为3天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过( ) A.9 ℃ B.12 ℃ C.18 ℃ D.20 ℃答案 B解析当x ＝6时，e 6a ＋b ＝216；当x ＝24时，e 24a ＋b ＝8， ∴e 6a ＋be 24a ＋b ＝2168＝27，则e 6a ＝13. 若果蔬保鲜3天，则72＝13×216＝e 6a ·e 6a ＋b ＝e 12a ＋b ，故物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过12 ℃.一、选择题1.设a ＝log 2 0.3，b ＝log 120.4，c ＝0.40.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜c ＜aD.a ＜c ＜b答案 D解析 ∵log 20.3＜log 21＝0，∴a ＜0.∵log 120.4＝－log 20.4＝log 252＞log 22＝1，∴b ＞1.∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c ＜1， ∴a ＜c ＜b .2.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，满足f (x ＋1)＝－f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝cos π2x ，则函数y ＝f (x )－|x |的零点个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 A解析由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝f (x )，知周期T ＝2. 令f (x )－|x |＝0，得f (x )＝|x |.作出函数y ＝f (x )与g (x )＝|x |的图象如图所示.由图象知，函数y ＝f (x )－|x |有两个零点.3.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K 1＋e－0.23（t －53），其中K 为最大确诊病例数.当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( ) A.60 B.63 C.66 D.69答案 C 解析 ∵I (t )＝K 1＋e －0.23（t －53）， ∴当I (t *)＝0.95K 时，K1＋e －0.23（t *－53）＝0.95K ，则11＋e －0.23（t *－53）＝0.95⇒1＋e －0.23(t *－53)＝10.95⇒e －0.23(t *－53)＝10.95－1⇒e0.23(t *－53)＝19. ∴0.23(t *－53)＝ln 19，∴t *＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66.4.已知函数f (x )＝[x ]([x ]表示不超过实数x 的最大整数)，若函数g (x )＝e x －1e x －2的零点为x 0，则g [f (x 0)]等于( ) A.1e －e －2B.－2C.e －1e －2 D.e 2－1e 2－2答案 B解析因为g (x )＝e x －1e x －2，所以g ′(x )＝e x ＋1e x >0在R 上恒成立，即函数g (x )＝e x －1e x －2在R 上单调递增.又g(0)＝e0－1e0－2＝－2<0，g(1)＝e1－1e1－2>0，所以g(x)在(0，1)上必然存在零点，即x0∈(0，1)，因此f(x0)＝[x0]＝0，所以g[f(x0)]＝g(0)＝－2.5.(多选)若0<c<1，a>b>1，则()A.log a c>log b cB.ab c>ba cC.a log b c>b log a cD.a(b－c)>b(a－c) 答案AB解析对于A，因为0<c<1，a>b>1，所以log c a<log c b<0，所以log a alog a c<log b blog b c<0，即1 log a c<1log b c<0，所以0>log a c>log b c，故A正确；对于B，因为0<c<1，所以－1<c－1<0，所以当x>1时，函数y＝x c－1单调递减，所以b c－1>a c－1，又ab>0，所以由不等式的基本性质得ab c>ba c，故B正确；对于C，由A知log b c<log a c<0，又a>b>1，所以a log b cb>1，所以ac>bc，所以－ac<－bc，所以ab－ac<ab－bc，即a(b－c)<b(a－c)，故D不正确.综上所述，选AB.6.(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1＋x)＝f(1－x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则关于函数g(x)＝|f(x)|＋f(|x|)，下列说法正确的是()A.g(x)为偶函数B.g (x )在(1，2)上单调递增C.g (x )在[2 016，2 020]上恰有三个零点D.g (x )的最大值为2 答案 AD解析易知函数g (x )的定义域为R ，且g (－x )＝|f (－x )|＋f (|－x |)＝|－f (x )|＋f (|x |)＝|f (x )|＋f (|x |)＝g (x )，所以g (x )为偶函数，故A 正确；因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又f (x )是奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，所以f (x )是周期为4的函数，其部分图象如图所示，所以当x ≥0时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2f （x ），x ∈[4k ，2＋4k ]，0，x ∈（2＋4k ，4＋4k ]，k ∈N ，当x ∈(1，2)时，g (x )＝2f (x )，g (x )单调递减，故B 错误；g (x )在[2 016，2 020]上零点的个数等价于g (x )在[0，4]上零点的个数，而g (x )在[0，4]上有无数个零点，故C 错误；当x ≥0时，易知g (x )的最大值为2，由偶函数图象的对称性可知，当x <0时，g (x )的最大值也为2，所以g (x )在整个定义域上的最大值为2，故D 正确. 综上可知，选AD. 二、填空题7.已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________. 答案 (1，3]∪(4，＋∞)解析令f (x )＝0，当x ≥λ时，x ＝4.当x <λ时，x 2－4x ＋3＝0，则x ＝1或x ＝3.若函数f (x )恰有2个零点，结合图1与图2知，1<λ≤3或λ>4.8.为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒，出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25 mg/m 3时，顾客方可进入商场.已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y (单位：mg/m 3)与经过的时间t (单位：min)之间的函数关系为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1t ，0≤t <10，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t10－a，t ≥10(a 为常数)，函数图象如图所示.如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是________.答案 9：30解析由题图可得函数图象过点(10，1)，代入函数的解析式，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝1，解得a ＝1，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1t ，0≤t <10，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10－1，t ≥10. 设从喷洒药物开始经过t min 顾客方可进入商场，易知t >10，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12t10－1≤0.25，解得t ≥30，所以如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9：30.9.已知a ，b ，c 为正实数，且ln a ＝a －1，b ln b ＝1，c e c ＝1，则a ，b ，c 的大小关系是________. 答案 c ＜a ＜b解析 ln a ＝a －1，ln b ＝1b ，e c ＝1c .依次作出y ＝e x ，y ＝ln x ，y ＝x －1，y ＝1x 这四个函数的图象，如下图所示.由图象可知0＜c ＜1，a ＝1，b ＞1，∴c ＜a ＜b . 三、解答题10.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0).(1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b 且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b 的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求实数m 的取值范围. 解 (1)函数f (x )的图象如图所示.(2)因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），故f (x )在(0，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b ＝2.(3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根. 故实数m 的取值范围为(0，1).11.随着中国经济的快速发展，节能减耗刻不容缓.某市环保部门为了提高对所辖水域生态环境的巡查效率，引进了一种新型生态环保探测器，该探测器消耗能量由公式E n ＝M v n T 给出，其中M 是质量(常数)，v 是设定速度(单位：km/h)，T 是行进时间(单位：h)，n 为参数.某次巡查为逆水行进，水流速度为4 km/h ，行进路程为100 km.(逆水行进中，实际速度＝设定速度－水流速度，顺水行进中，实际速度＝设定速度＋水流速度)(1)求T 关于v 的函数关系式，并指出v 的取值范围；(2)①当参数n ＝2时，求探测器最低消耗能量；②当参数n ＝3时，试确定使该探测器消耗的能量最低的设定速度.解 (1)由题意得，探测器实际速度为100T ＝v －4，则T ＝100v －4(v >4). (2)①当参数n ＝2时，E 2＝100·M ·v 2v －4＝100M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤v －4＋16v －4＋8 ≥100M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（v －4）·16v －4＋8 ＝1 600M ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当v －4＝16v －4，即v ＝8时取等号. 因此，当参数n ＝2时，该探测器最低消耗能量为1 600M .②当参数n ＝3时，E 3＝100·M ·v 3v －4(v >4). 令f (v )＝v 3v －4(v >4)，则f ′(v )＝2v 2（v －6）（v －4）2，当4<v <6时，f ′(v )<0，f (v )单调递减，当v >6时，f ′(v )>0，f (v )单调递增.故当设定速度为6 km/h 时，该探测器消耗的能量最低.12.基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I (t )＝e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( )A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天答案 B解析由R 0＝1＋rT ，R 0＝3.28，T ＝6，得r ＝R 0－1T ＝3.28－16＝0.38.由题意，累计感染病例数增加1倍，则I (t 2)＝2I (t 1)，即e0.38t 2＝2e0.38t 1，所以e0.38(t 2－t 1)＝2，即0.38(t 2－t 1)＝ln 2，∴t 2－t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8. 13.(多选)方程e x ＋x －2＝0的根为x 1，ln x ＋x －2＝0的根为x 2，则( ) A.x 1x 2>12 B.x 1ln x 2＋x 2ln x 1<0 C.e x 1＋e x 2<2eD.x 1x 2<e 2 答案 BD解析令f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2，作出函数y ＝－x ＋2，y ＝e x ，y ＝ln x 的图象，其中y ＝e x 与y ＝ln x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，如图，则A (x 1，e x 1)，B (x 2，ln x 2).设直线y ＝x 与y ＝－x ＋2的交点为C ，则C (1，1)，且A ，B 关于点C 对称，∴e x 1＝x 2，x 1＋x 2＝2.∵f (0)＝－1<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －32>0，g (1)＝－1<0，g (2)＝ln 2>0， ∴0<x 1<12<1<x 2<2，∴x 1x 2<12，故A 错误； ∵x 1ln x 2＋x 2ln x 1<0等价于ln x 1x 1＋ln x 2x 2<0，易知h (x )＝ln x x 在(0，e)上单调递增， ∴h (x 1)<h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2ln 2，h (x 2)<h (2)＝12ln 2， ∴h (x 1)＋h (x 2)<－32ln 2<0，即ln x 1x 1＋ln x 2x 2<0，故B 正确； ∵x 1＋x 2＝2且x 1≠x 2，∴e x 1＋e x 2>2e x 1＋x 2＝2e ，故C 错误；∵e x 1＝x 2，∴x 1x 2＝x 1e x 1.易知φ(x )＝x e x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增， ∴φ(x 1)<φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即x 1e x 1<e 2，即x 1x 2<e 2，故D 正确. 故选BD.14.记f ′(x )，g ′(x )分别为函数f (x )，g (x )的导函数.若存在x 0∈R ，满足f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，则称x 0为函数f (x )与g (x )的一个“S 点”.(1)证明：函数f (x )＝x 与g (x )＝x 2＋2x －2不存在“S 点”；(2)若函数f (x )＝ax 2－1与g (x )＝ln x 存在“S 点”，求实数a 的值.(1)证明函数f (x )＝x ，g (x )＝x 2＋2x －2，则f ′(x )＝1，g ′(x )＝2x ＋2.由f (x )＝g (x )且f ′(x )＝g ′(x )，得⎩⎨⎧x ＝x 2＋2x －2，1＝2x ＋2，此方程组无解，因此，f (x )与g (x )不存在“S 点”.(2)解函数f (x )＝ax 2－1，g (x )＝ln x ，则f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝1x .设x 0为f (x )与g (x )的“S 点”，由f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 0＝1x 0，即⎩⎨⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 20＝1， (*) 得ln x 0＝－12，即x 0＝e －12，则a ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e －122＝e 2. 当a ＝e 2时，x 0＝e －12满足方程组(*)，即x 0为f (x )与g (x )的“S 点”.因此，a 的值为e 2.。

数学高考复习基本初等函数专题强化练习(附答案)

数学高考复习基本初等函数专题强化练习（附答案）初等函数包括代数函数和逾越函数，以下是基本初等函数专题强化练习，希望对考生温习数学有协助。

1.(文)(2021江西文，4)函数f(x)=(aR)，假定f[f(-1)]=1，那么a=()A. -1B.-2C.1D.2[答案] A[解析] f(-1)=2-(-1)=2，f(f(-1))=f(2)=4a=1，a=.(理)(2021新课标理，5)设函数f(x)=那么f(-2)+f(log212)=()A.3B.6C.9D.12[答案] C[解析] 考察分段函数.由得f(-2)=1+log24=3，又log2121，所以f(log212)=2log212-1=2log26=6，故f(-2)+f(log212)=9，应选C.2.(2021哈三中二模)幂函数f(x)的图象经过点(-2，-)，那么满足f(x)=27的x的值是()A. B.C. D.[答案] B[解析] 设f(x)=x，那么-=(-2)，=-3，f(x)=x-3，由f(x)=27得，x-3=27，x=.3.(文)命题p1：函数y=2x-2-x在R上为增函数，p2：函数y=2x+2-x在R上为减函数.那么在命题q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(p1)p2和q4：p1(p2)中，真命题是()A.q1，q3B.q2，q3C.q1，q4D.q2，q4[答案] C[解析] y=2x在R上是增函数，y=2-x在R上是减函数，y=2x-2-x在R上是增函数，所以p1：函数y=2x-2-x在R上为增函数为真命题，p2：函数y=2x+2-x在R上为减函数为假命题，故q1：p1p2为真命题，q2：p1p2是假命题，q3：(p1)p2为假命题，q4：p1(p2)是真命题.故真命题是q1、q4，应选C.[点拨] 1.由指数函数的性质首先判别命题p1、p2的真假是解题关键，再由真值表可判定命题q1、q2、q3、q4的真假.2.考察指、对函数的单调性是这一局部高考命题的主要考察方式之一.经常是判别单调性;单调性讨论参数值或取值范围;依据单调性比拟数的大小等.(理)实数a、b，那么2a2b是log2alog2b的()A.充沛不用要条件B.必要不充沛条件C.充要条件D.既不充沛也不用要条件[答案] B[解析] 由y=2x为增函数知，2ab;由y=log2x在(0，+)上为增函数知，log2alog2ba0，a/ a0，但a0ab，应选B.4.(文)(2021湖南理，5)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)，那么f(x)是()A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数[答案] A[解析] 考察函数的性质.由得-10，a1，xR)叫指数函数函数y=logax(a0，a1，x0)叫对数函数值域 (0，+) (-，+) 图象性质 (1)y(2)图象恒过点(0,1);(3)a1，当x0时，y当x0时，00时，01;(4)a1，在R上y=ax为增函数;00;(2)图象恒过点(1,0);(3)a1，当x1时，y当01时，y当00;(4)a1，在(0，+)上y=logax为增函数;0f(x)g(x)，且f(x)=axg(x)(a0，且a1)，+=.假定数列{}的前n项和大于62，那么n的最小值为()A.6B.7C.8D.9[答案] A[思绪剖析] 经过审题可以发现，标题中多处触及的方式，x=1时，即，x=-1时，即，x=n时，即，又=ax，故这是解题的切入点，结构函数F(x)=，那么效果迎刃而解.[解析] 令F(x)=，那么F(x)=ax，F(x)=0，F(x)单调递增，a1.∵F(1)+F(-1)=+==a+，a=2，F(x)=2x，{F(n)}的前n项和Sn=21+22++2n==2n+1-262，2n+164，n+16，n5，n的最小值为6.7.以下函数图象中不正确的选项是()[答案] D[解析] 由指数函数、对数函数的图象与性质知A、B正确，又C是B中函数图象位于x轴下方局部沿x轴翻折到x轴上方，故C正确.y=log2|x|=是偶函数，其图象关于y轴对称，故D错误. 8.(文)假定存在正数x使2x(x-a)1成立，那么a的取值范围是()A.(-，+)B.(-2，+)C.(0，+)D.(-1，+)[答案] D[解析] 由题意得，ax-()x (x0)，令f(x)=x-()x，那么f(x)在(0，+)上为增函数，f(x)f(0)=-1，a-1，应选D.(理)定义在R上的偶函数f(x)在[0，+)上是增函数，且f()=0，那么不等式f(logx)0的解集是()A.(0，)B.(2，+)C.(0，)(2，+)D.(，1)(2，+)[答案] C[解析] 解法1：偶函数f(x)在[0，+)上为增函数，f(x)在(-，0)上为减函数，又f()=0，f(-)=0，由f(logx)0得，logx或logx-，02，应选C.解法2：f(x)为偶函数，f(logx)0化为f(|logx|)0，f(x)在[0，+)上为增函数，f()=0，|logx|，|log8x|，log8x 或log8x-，x2或01，那么g(x)=x+lnx1，00且a1)的图象恒过点(0，-2);命题q：函数f(x)=lg|x|(x0)有两个零点.那么以下说法正确的选项是()A.p或q是真命题B.p且q是真命题C.p为假命题D.q为真命题[答案] A[解析] f(0)=a0-2=-1，p为假命题;令lg|x|=0得，|x|=1，x=1，故q为真命题，pq为真，pq为假，p为真，q为假，应选A.(理)函数f(x)=(其中aR)，函数g(x)=f[f(x)]+1.以下关于函数g(x)的零点个数的判别，正确的选项是()A.当a0时，有4个零点;当a0时，有2个零点，当a=0时，有有数个零点B.当a0时，有4个零点;当a0时，有3个零点，当a=0时，有2个零点C.当a0时，有2个零点;当a0时，有1个零点D.当a0时，有2个零点;当a=0时，有1个零点[答案] A[解析] 取a=1，令x+=-1得x=-，令log2x=-1得，x=.令x+=-得x=-2，令log2x=-得x=2-，令log2x=得x=，令x+=得x=0，由此可扫除C、D;令a=0，得f(x)=由log2x=-1得x=，由f(x)=知，对恣意x0，有f(x)=，故a=0时，g(x)有有数个零点.11.(文)(2021中原名校第二次联考)函数y=f(x+)为定义在R 上的偶函数，且当x时，f(x)=()x+sinx，那么以下选项正确的选项是()A.f(3)f(f(3)，f(2)f(3)，应选A.(理)函数f(x)=x3+ax2+bx+c，以下结论中错误的选项是()A.x0R，f(x0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.假定x0是f(x)的极小值点，那么f(x)在区间(-，x0)单调递减D.假定x0是f(x)的极值点，那么f (x0)=0[答案] C[解析] 由题意得，f(x)=3x2+2ax+b，该函数图象启齿向上，假定x0为极小值点，如图，f(x)的图象应为：故f(x)在区间(-，x0)不单调递减，C错，应选C.12.如图，过原点O的直线与函数y=3x的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数y=9x的图象于点C，假定AC 恰恰平行于y轴，那么点A的坐标为()A.(log94,4)B.(log92,2)C.(log34,4)D.(log32,2)[答案] D[解析] 此题考察指数函数的图象与性质，难度中等.设A(x1,3x1)，B(x2,3x2)，那么C(x1,3x2)在函数y=9x的图象上，所以3x2=9x1，所以x2=2x1 .又O，A，B共线，所以= ，联立解得x1=log32，故点A的坐标为(log32,2)，应选D.[易错剖析] 此题易犯两个错误：一是不能将直线与指数函数图象相交于A，B两点转化为OA，OB的斜率相等;二是不能运用指数的运算法那么求解.普通地，解指数方程时，将方程两边化为同底，或许应用指数式化为对数式的方法求解.二、填空题13.(文)函数f(x)=在区间[-1，m]上的最大值是1，那么m 的取值范围是________.[答案] (-1,1][解析] f(x)=2-x-1=()x-1在[-1,0]上为减函数，在[-1,0]上f(x)的最大值为f(-1)=1，又f(x)=x在[0，m]上为增函数，在[0，m]上f(x)的最大值为，f(x)在区间[-1，m]上的最大值为1，或-11，那么m的取值范围是________.[答案] (-，0)(2，+)[解析] 当m0时，由f(m)1得，log3(m+1)1，m+13，m当m0时，由f(m)1得，3-m1.-m0，m0.综上知m0或m2.16.(文)函数f(x)=假定函数g(x)=f(x)-m有3个零点，那么实数m的取值范围是________.[答案] (0,1)[解析] 函数f(x)的图象如下图：当0a-7对一切正整数n都成立，那么正整数a的最大值为________.[剖析] 要求正整数a的最大值，应先求a的取值范围，关键是求出代数式+++的最小值，可将其视为关于n的函数，经过单调性求解.[解析] 令f(n)=+++(nN*)，对恣意的nN*，f(n+1)-f(n)=++-=0，所以f(n)在N*上是增函数.又f(1)=，对一切正整数n，f(n)a-7都成立的充要条件是a-7，所以a，故所求正整数a的最大值是8.[点拨] 此题是结构函数法解题的很好的例证.假设对数列求和，那就会悬崖勒马.此题结构函数f(n)，经过单调性求其最小值处置了不等式恒成立的效果.应用函数思想解题必需从不等式或等式中结构出函数关系并研讨其性质，才干使解题思绪灵敏变通.基本初等函数专题强化练习及答案的全部内容就是这些，更多精彩内容请考生关注查字典数学网。

2019年全国版高考数学必刷题：第三单元基本初等函数

.第三单元基本初等函数(Ⅰ)考点一化简求值类1.(2017年北京卷)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是().(参考数据:lg 3≈0.48)A.1033B.1053C.1073D.1093【解析】由题意得,lg=lg=lg 3361-lg 1080=361lg 3-80lg 10≈361×0.48-80×1=93.28.又lg 1033=33,lg 1053=53,lg 1073=73,lg 1093=93,故与最接近的是1093.故选D.【答案】D2.(2015年浙江卷)若a=log43,则2a+2-a=.【解析】∵a=log43=lo3=log23=log2,∴2a+2-a=+-=+=+=.【答案】3.(2015年山东卷)已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=.【解析】当a>1时,函数f(x)=a x+b在[-1,0]上为增函数,由题意得--无解.当0<a<1时,函数f(x)=a x+b在[-1,0]上为减函数,由题意得--解得-所以a+b=-.【答案】-考点二比较大小类4.(2016年全国Ⅰ卷)若a>b>1,0<c<1,则().A.a cb>1,0<c<1时,a c>b c,选项A不正确.∵y=xα,α∈(-1,0)在(0,+∞)上是减函数,∴当a>b>1,0<c<1,即-1<c-1<0时,a c-1ba c,选项B不正确.∵a>b>1,∴lg a>lg b>0,∴a lg a>b lg b>0,∴>.又∵0<c<1,∴lg c<0.∴<,∴a log b clog b c,选项D不正确.【答案】C5.(2017年天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为().A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a【解析】a=g(-log25.1)=(-log25.1)·f(-log25.1)=log25.1f(log25.1)=g(log25.1).已知f(x)在R上是增函数,可设0<x1<x2,则f(x1)<f(x2).从而x1f(x1)<x2f(x2),即g(x1)<g(x2).所以g(x)在(0,+∞)上也为增函数.又log25.1>0,20.8>0,3>0,且log25.1<log28=3,20.8<21<3,20.8<21=log24<log25.1,所以3>log25.1>20.8>0,所以c>a>b.故选C.【答案】C6.(2017年全国Ⅰ卷)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则().A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z【解析】令t=2x=3y=5z,∵x,y,z为正数,∴t>1,则x=log2t=,同理,y=,z=.∴2x-3y=-=-=->0,∴2x>3y.又∵2x-5z=-=-=-<0,∴2x<5z,∴3y<2x<5z.故选D.【答案】D考点三函数应用类7.(2017年全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=().A.-B.C.D.1【解析】f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)=(x-1)2+a[e x-1+e-(x-1)]-1,令t=x-1,则g(t)=f(t+1)=t2+a(e t+e-t)-1.∵g(-t)=(-t)2+a(e-t+e t)-1=g(t),∴函数g(t)为偶函数.∵f(x)有唯一零点,∴g(t)也有唯一零点.又∵g(t)为偶函数,由偶函数的性质知g(0)=0,∴2a-1=0,解得a=.故选C.【答案】C其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m 8.(2016年山东卷)已知函数f(x)=-的取值范围是.【解析】作出f(x)的图象如图所示.当x>m时,x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,∴要使方程f(x)=b有三个不同的根,则有4m-m2<m,即m2-3m>0.又m>0,解得m>3.【答案】(3,+∞)高频考点:二次函数、指数函数、对数函数的图象和性质及其应用,关于指数函数、对数函数的复合函数,特别是涉及指数函数、对数函数、幂函数有关知识的大小关系的比较.命题特点:以选择题、填空题的形式考查,题目注重基础.§3.1二次函数与幂函数一二次函数1.二次函数解析式的三种形式一般式:f(x)=(a≠0).顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),顶点坐标为.两根式(交点式):f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2分别为f(x)=0的两个实根.(函数对应的方程有实根的情况)2.二次函数的图象与性质1.定义:形如(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.2.五种常见幂函数的图象☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)不可能是偶函数.()(2)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[a,b])的最值一定是-.()(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0).()(4)当α>0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上是增函数.()已知幂函数f(x)=xα的图象过点(4,2),若f(m)=3,则实数m的值为.函数y=的大致图象是().已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是.幂函数y=-(m∈Z)的图象如图所示,则m的值为.知识清单一、1.ax2+bx+c(h,k)二、1.y=xα基础训练1.【解析】(1)错误,当b=0时,二次函数y=ax2+c(x∈R)是偶函数.(2)错误,因为x∈[a,b],所以该函数的最值也可能在端点处取得.(3)错误,当α<0时,y=xα的图象不经过点(0,0).(4)正确,当α>0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上是增函数.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√2.【解析】由已知得2=4α,则α=,所以f(m)==3,解得m=9.【答案】93.【解析】取值验证可知,函数y=的大致图象是选项B中的图象.【答案】B4.【解析】因为f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,所以Δ=1-20a<0且a>0,解得a>.【答案】5.【解析】∵y=-(m∈Z)的图象与坐标轴没有交点,∴m2-4m<0,即0<m<4.又∵该函数的图象关于y轴对称,且m∈Z,∴m2-4m为偶数,∴m=2.【答案】2题型一二次函数的图象与性质【例1】已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].(1)若y=f(x)在[-4,6]上是单调函数,求实数a的取值范围;(2)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.【解析】(1)函数f(x)=x2+2ax+3的图象的对称轴为直线x=-=-a,∵f(x)在[-4,6]上为单调函数,∴-a≤-4或-a≥6,解得a≥4或a≤-6.故实数a的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞).(2)当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3=--其图象如图所示.又∵x∈[-4,6],∴f(|x|)的单调递减区间是[-4,-1)和[0,1),单调递增区间是[-1,0)和[1,6].【变式训练1】函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在[-1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是().A.[-3,0)B.(-∞,-3]C.[-2,0]D.[-3,0]【解析】当a=0时,f(x)=-3x+1,它在[-1,+∞)上单调递减,满足题意;当a≠0时,f(x)图象的对称轴为直线x=-,由f(x)在[-1,+∞)上单调递减,知-解得-3≤a<0.-综上可知,实数a的取值范围是[-3,0],故选D.【答案】D题型二二次函数最值的求法【例2】已知m∈R,函数f(x)=-x2+(3-2m)x+2+m.(1)若0<m≤,求|f(x)|在[-1,1]上的最大值g(m);(2)对任意的m∈(0,1],若f(x)在[0,m]上的最大值为h(m),求h(m).【解析】(1)函数f(x)图象的对称轴为直线x=-,∵0<m≤,∴-≥1.∴g(m)=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|3m-2|,|4-m|}=max{2-3m,4-m}.又∵(4-m)-(2-3m)=2+2m>0,∴g(m)=4-m.(2)函数f(x)图象的对称轴为直线x=-,且函数图象开口向下.∵m∈(0,1],∴->0.∴当-<m,即<m≤1时,h(m)=f-=m2-2m+;当-≥m,即0<m≤时,h(m)=f(m)=-3m2+4m+2.∴h(m)=--【变式训练2】已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在[0,1]上的最大值为2,求a的值.【解析】函数f(x)=-(x-a)2+a2-a+1的图象的对称轴为直线x=a,且开口向下,分三种情况讨论:当a≤0时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在[0,1]上是减函数,∴f(x)max=f(0)=1-a,由1-a=2,得a=-1;当0<a<1时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在[0,a]上是增函数,在[a,1]上是减函数,∴f(x)max=f(a)=a2-a+1,由a2-a+1=2,解得a=或a=-,∵0<a<1,∴两个值都不满足,舍去;当a≥1时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在[0,1]上是增函数,∴f(x)max=f(1)=a,∴a=2.综上可知,a=-1或a=2.题型三幂函数的图象和性质【例3】已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上函数值随着x的增大而减小,则满足(a+1-<(3-2a-的实数a的取值范围为.【解析】由题意可知该幂函数在(0,+∞)上单调递减,因此3m-9<0,即m<3,又m∈N*,故m=1或m=2.由函数y=x3m-9的图象关于y轴对称,得3m-9为偶数,所以m=1,故(a+1-<(3-2a-.因为函数y=-在(0,+∞)和(-∞,0)上单调递减,所以a+1>3-2a>0或3-2a<a+1<0或a+1<0<3-2a,解得<a<或a<-1.【答案】∪(-∞,-1)【变式训练3】已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)-(n∈Z)在(0,+∞)上是减函数,则n的值为().A.-3B.1C.2D.1或2【解析】因为f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3.当n=1时,f(x)=x-2=,它在(0,+∞)上是减函数.当n=-3时,f(x)=x18,它在(0,+∞)上是增函数.所以n=1符合题意,故选B.【答案】B方法一利用待定系数法求二次函数的解析式根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,但所给条件不同,选取的求解方法也不同,选择规律如下:【突破训练1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由题意得----解得-故所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.方法二分类讨论思想在求解含参数的二次函数的最值问题中的应用二次函数在某个区间上的最值问题的处理,常常要利用数形结合思想和分类讨论思想,若二次函数的表达式中含有参数或所给区间是变化的,则需要观察二次函数的图象特征(开口方向、对称轴与该区间的位置关系),抓住顶点的横坐标是否属于该区间,结合函数的单调性进行分类讨论.【突破训练2】已知函数f(x)=x2+mx+3,x∈[-1,5],求f(x)的最小值.【解析】函数f(x)=+3-(x∈[-1,5])的图象关于直线x=-对称.当-≤-1,即m≥2时,f(x)在[-1,5]上为增函数,∴f(x)min=f(-1)=1-m+3=4-m.当-1<-≤5,即-10≤m<2时,f(x)min=f-=3-.当->5,即m<-10时,f(x)在[-1,5]上为减函数,∴f(x)min=f(5)=25+5m+3=28+5m.综上可知,当m≥2时,f(x)min=4-m;当-10≤m<2时,f(x)min=3-;当m<-10时,f(x)min=28+5m.1.(江西赣州厚德外国语学校2018届检测)已知二次函数y=x2+2(a-2)x+5在(4,+∞)上是增函数,则a的取值范围是().A.a≤-2B.a≥-2C.a≤-6D.a≥-6【解析】由已知得该函数图象的对称轴为直线x=2-a.∵该函数在(4,+∞)上是增函数,∴2-a≤4,可得a≥-2,故选B.【答案】B2.(2017山东青岛模拟)若函数f(x)是幂函数,且满足f(4)=3f(2),则f的值为().A. B.C.D.【解析】设f(x)=x a,∵f(4)=3f(2),∴4a=3×2a,解得a=log23,∴f==.【答案】A3.(教材改编)已知函数y=ax2+bx+c,若a>b>c且a+b+c=0,则它的图象可能是().【解析】由a+b+c=0,a>b>c知a>0,c<0,排除A,C.又因为f(0)=c<0,所以排除B,故选D.【答案】D4.(2017浙江湖州模拟)如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的实数x,都有f(1+x)=f(-x),那么().A.f(-2)<f(0)<f(2)B.f(0)<f(-2)<f(2)C.f(2)<f(0)<f(-2)D.f(0)<f(2)<f(-2)【解析】由f(1+x)=f(-x)知f(x)的图象关于直线x=对称.又因为抛物线y=f(x)开口向上,所以结合图象(图略)可知,f(0)<f(2)<f(-2).【答案】D5.(山东临沂一中2018届月考)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax-5)的图象关于直线x=0对称,则f(x)的最大值是().A.-4B.4C.4或-4D.-5【解析】依题意,函数f(x)是偶函数,则y=x2+ax-5是偶函数,故a=0.因此f(x)=(1-x2)(x2-5)=-x4+6x2-5=-(x2-3)2+4,当x2=3时,f(x)取得最大值4.【答案】B6.(广东茂名2018届五大联盟联考)已知幂函数f(x)=x a的图象过点,则函数g(x)=(2x-1)f(x)在上的最小值是().A.-1B.0C.-2D.【解析】由题意知3a=,解得a=-1,故g(x)=(2x-1)x-1=2-,它在上单调递增,则当x=时,g(x)取得最小值,最小值是g=2-2=0.【答案】B7.(2017北京昌平区模拟)已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在[0,2]上是增函数,若f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是().A.[0,+∞)B.(-∞,0]C.[0,4]D.(-∞,0]∪[4,+∞)【解析】由f(2+x)=f(2-x)可知,函数f(x)的图象的对称轴为直线x=2.又因为函数f(x)在[0,2]上是增函数,所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4,故选C.【答案】C8.(2017湖北八校联考)已知二次函数的图象与x轴只有一个交点,对称轴为直线x=3,且与y轴交于点(0,3),则它的解析式为.【解析】由题意可设二次函数的解析式为y=a(x-3)2.因为其图象与y轴交于点(0,3),所以3=9a,得a=,所以y=(x-3)2=x2-2x+3.【答案】y=x2-2x+39.(2017河北保定期末)设a>0,若函数y=,当x∈[a,2a]时,y的取值范围为,则a的值为().A.2B.4C.6D.8【解析】由题意知解得a=4.【答案】B10.(2017广东揭阳第二次月考)若函数f(x)=x2+a|x|+a(x∈R)在[3,+∞)和[-2,-1]上均为增函数,则实数a的取值范围是().A.--B.[-6,-4]C.[-3,-2D.[-4,-3]【解析】∵f(-x)=x2+a|x|+a=f(x),∴f(x)在R上是偶函数.由函数f(x)在[3,+∞)和[-2,-1]上均为增函数,可知f(x)在[1,2]上是减函数,∴只需-∈[2,3],解得-6≤a≤-4,故选B.【答案】B11.(2017江西九江一中期中)函数f(x)=(m2-m-1)·--是幂函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2满足-->0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值().A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断【解析】由题意知函数f(x)在(0,+∞)上是增函数.∵f(x)=(m2-m-1)--是幂函数,∴m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,指数4×29-25-1=2015>0,满足题意;当m=-1时,指数4×(-1)9-(-1)5-1=-4<0,不满足题意.∴f(x)=x2015.∴幂函数f(x)=x2015是定义在R上的奇函数,且是增函数.又∵a,b∈R,且a+b>0,∴a>-b.又ab<0,不妨设b<0,则a>-b>0,∴f(a)>f(-b)>0.又f(-b)=-f(b),∴f(a)>-f(b),∴f(a)+f(b)>0.故选A.【答案】A12.(河南南阳一中2018届月考)已知f(x)=1+2x-x2,则g(x)=f(f(x))().A.在(-2,1)上单调递增B.在(0,2)上单调递增C.在(-1,1)上单调递增D.在(1,2)上单调递增【解析】令t=f(x),则g(x)=f(t).当x∈(-2,1)时,f(x)在(-2,1)上单调递增,t∈(-7,2),此时f(t)在(-7,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以g(x)在(-2,1)上不是单调函数,A错误;当x∈(0,2)时,t∈(1,2)且f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,f(t)在(1,2)上单调递减,所以g(x)在(0,2)上不是单调函数,B 错误;当x∈(-1,1)时,f(x)在(-1,1)上单调递增,t∈(-2,2),此时f(t)在(-2,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以g(x)在(-1,1)上不是单调函数,C错误;当x∈(1,2)时,t∈(1,2)且f(x)在(1,2)上单调递减,f(t)在(1,2)上也单调递减,所以g(x)在(1,2)上单调递增,D正确.【答案】D13.(保定市涞水中学2018届第一次调研)若函数f(x)=(x-a)(x+3)为偶函数,则f(2)=.【解析】因为函数f(x)=(x-a)(x+3)是偶函数,所以∀x∈R,f(-x)=f(x),即(-x-a)(-x+3)=(x-a)(x+3),即x2+(a-3)x-3a=x2-(a-3)x-3a,解得a=3,所以f(2)=(2-3)×(2+3)=-5.【答案】-514.(2017江苏南京模拟)直线l:x+y-3=0与x轴、y轴的交点分别为A、B,幂函数y=f(x)的图象经过点(2,4),若点P在y=f(x)的图象上,且△ABP的面积等于3,则所有满足要求的点P的横坐标的和为.【解析】由已知得点A(3,0),B(0,3),则|AB|=3.设幂函数f(x)=x a,将点(2,4)代入上式得a=2,∴f(x)=x2.设点P(x,x2),则点P到直线l的距离d=-.∴S△ABP=×3×=3,∴x2+x-3=±2,即x2+x-5=0或x2+x-1=0.由方程可知这样的点P有四个,其横坐标的和为-1-1=-2.【答案】-2§3.2指数与指数函数一分数指数幂1.规定:正数的正分数指数幂的意义是=(a>0,m,n∈N+,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是-=(a>0,m,n∈N+,且n>1);0的正分数指数幂等于;0的负分数指数幂.2.有理数指数幂的运算性质(1)a r a s=(a>0,r,s∈Q);(2)(a r)s=(a>0,r,s∈Q);(3)(ab)r=(a>0,b>0,r∈Q).二指数函数的图象与性质☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)=()n=a.()(2)(-1=(-1.()(3)函数y=a-x是R上的增函数.()已知函数f(x)=a x-2+2的图象恒过定点A,则点A的坐标为().A.(0,1)B.(2,3)C.(3,2)D.(2,2)设a=22.5,b=2.50,c=,则a,b,c的大小关系是().A.a>c>bB.c>a>bC.a>b>cD.b>a>c计算:-×-+×--=.若指数函数y=(2-a)x在定义域内是减函数,则a的取值范围是.设x+x-1=3,则x2+x-2的值为.知识清单一、1.0没有意义2.(1)a r+s(2)a rs(3)a r b r二、R(0,+∞)(0,1)1减函数基础训练1.【解析】(1)错误,当n是偶数时结论不成立.(2)错误,应为(-1==1.(3)错误,当a>1时,函数y=a-x是R上的减函数.【答案】(1)×(2)×(3)×2.【解析】由-得所以函数f(x)的图象恒过定点A(2,3).【答案】B3.【解析】因为a=22.5>1,b=2.50=1,c=<1,所以a>b>c.【答案】C4.【解析】原式=+2-=2.【答案】25.【解析】因为y=(2-a)x在定义域内是减函数,所以0<2-a<1,解得1<a<2.【答案】(1,2)6.【解析】因为x+x-1=3,所以x2+x-2=(x+x-1)2-2=7.【答案】7题型一指数幂的运算【例1】化简下列各式:(1)[(0.06)-2.5--π0;(2)-÷--·.【解析】(1)原式=---1=---1=--1=0.(2)原式=-÷-·=(-2)·-·=·a·=a2.【变式训练1】化简下列各式:(1)+2-2×--(0.01)0.5;(2)·b-2·(-3b-1)÷(4b-3.【解析】(1)原式=1+×-=1+×-=1+-=.(2)原式=-b-3÷(4b-3=-b-3÷(2-)=--=-.题型二指数函数的图象及其应用【例2】(1)已知实数a,b满足等式2017a=2018b,给出下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有().A.1个B.2个C.3个D.4个(2)已知函数f(x)=|2x-1|,a<b<c且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是().A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b≥0,c>0C.2-a<2cD.2a+2c<2【解析】(1)如图,观察易知a,b的关系为a<b<0或0<b<a或a=b=0,∴不可能成立的关系式的个数是2,故选B.(2)作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图.∵a<b<c且f(a)>f(c)>f(b),∴结合图象知,0<f(a)<1,a<0,0<c<1.∴f(a)=|2a-1|=1-2a,f(c)=|2c-1|=2c-1.又∵f(a)>f(c),∴1-2a>2c-1,∴2a+2c<2,故选D.【答案】(1)B(2)D函数f(x)=a x-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是().A.a>1,b<0B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0【解析】由图象可得函数f(x)=a x-b在定义域上单调递减,所以0<a<1.函数f(x)=a x-b的图象是由函数f(x)=a x的图象向左平移得到的,所以b<0.【答案】D题型三指数函数的性质及其应用【例3】已知函数f(x)=-.(1)若f(x)有最大值3,求a的值;(2)若f(x)的值域是(0,+∞),求不等式f(x)<-的解集.【解析】令g(x)=ax2-4x+3,则f(x)=.(1)因为f(x)有最大值3,所以g(x)应有最小值-1,因此必有-解得a=1,即当f(x)有最大值3时,a的值为1.-(2)由指数函数的性质知,要使f(x)=的值域为(0,+∞),应使g(x)=ax2-4x+3的值域为R,因此只能a=0(因为若a≠0,则g(x)为二次函数,其值域不可能为R).所以原不等式化为-<-,即x2-2x<-4x+3,解得-3<x<1.故所求不等式的解集为{x|-3<x<1}.【变式训练3】(1)下列大小关系正确的是().A.1.72.5>1.73B.0.6-1>0.62C.0.8-0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=1-2-x,则不等式f(x)<-的解集是.【解析】(1)选项B中,因为y=0.6x是减函数,所以0.6-1>0.62.(2)由1-2-x>,得2-x<=2-1,即x>1.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)<-的解集是(-∞,-1).【答案】(1)B(2)(-∞,-1)方法一利用换元法解决有关指数函数的问题【突破训练1】函数y=-+1在[-3,2]上的值域是.【解析】令t=,则t∈,故y=t2-t+1=-+.当t=时,y min=;当t=8时,y max=57.故所求函数的值域为.【答案】方法二数形结合思想在解题中的应用【突破训练2】已知x2-a x<(a>0且a≠1)对任意的x∈(-1,1)恒成立,求实数a的取值范围.【解析】由已知得x2-<a x对任意的x∈(-1,1)恒成立,令y1=x2-,y2=a x,在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象(如图).当a>1时,在(-1,1)上,要使y2=a x的图象落在y1=x2-的图象的上方,则a-1≥,解得a≤2,∴1<a≤2.当0<a<1时,在(-1,1)上,要使y2=a x的图象落在y1=x2-的图象的上方,则a≥,∴≤a<1.综上可知,实数a的取值范围是∪(1,2].1.(2017河北八所重点中学一模)设a>0,将表示成分数指数幂的形式,其结果是().A.B.C.D.【解析】=--=,故选C.【答案】C2.(教材改编)已知函数f(x)=3x-b(2≤x≤4,b为常数)的图象经过点(2,1),则f(x)的值域为().A.[9,81]B.[3,9]C.[1,9]D.[1,+∞)【解析】由f(x)的图象经过点(2,1)可知b=2,因为f(x)=3x-2在[2,4]上是增函数,所以f(x)min=f(2)=1,f(x)max=f(4)=9.故f(x)的值域为[1,9].【答案】C3.(2017徐汇区校级模拟)已知函数f(x)=a x+a-x,且f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)的值是().A.14B.13C.12D.11【解析】因为f(1)=a+=3,所以f(2)=a2+a-2=-2=7,f(0)=1+1=2,所以f(0)+f(1)+f(2)=2+3+7=12,故选C.【答案】C4.(2017湖南益阳六中模拟)若0<a<1,b>0,且a b+a-b=2,则a b-a-b等于().A.B.-2或2C.-2 D.2【解析】∵a b+a-b=2,∴a2b+a-2b=8-2=6,∴(a b-a-b)2=a2b+a-2b-2=4.∵0<a<1,b>0,∴a b<a-b,∴a b-a-b=-2,故选C.【答案】C5.(2017河南南阳、信阳等六市一模)设x>0,且10,∴b>1.∵b x<a x,∴>1.∵x>0,∴>1,∴a>b,∴1<b<a.【答案】C6.(2018届河北省保定市涞水县波峰中学第一次调研)已知a=,b=,c=2,则().A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b【解析】∵a==,b=,c=2=,∴b<a<c.【答案】A7.(2017石家庄模拟)函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)是指数函数,若以P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))为端点的线段的中点在y轴上,则f(x1)f(x2)=().A.1B.aC.2D.a2【解析】由题意得x1+x2=0.∵f(x)=a x,∴f(x1)f(x2)=·==a0=1,故选A.【答案】A8.(2016四川宜宾一诊)已知函数f(x)=x-4+,x∈(0,4),当x=a时,f(x)取得最小值b,则函数g(x)=a|x+b|的大致图象为().【解析】∵x∈(0,4),∴x+1>1,∴f(x)=x-4+=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x=2时取等号.∴a=2,b=1,∴g(x)=2|x+1|=--此函数的图象可以看成由函数y=的图象向左平移1个单位长度所得,结合指数函数的图象及选项可知A正确.【答案】A9.(教材改编)函数f(x)=-的定义域是.【解析】要使函数f(x)=-的解析式有意义,自变量x应满足-2≥0,解得x≤-1,故函数f(x)=-的定义域为(-∞,-1].【答案】(-∞,-1]10.(教材改编)已知f(x)=-+1,且f(a)=3,则f(-a)的值为.【解析】∵f(x)=-+1=-+1=3x-3-x+1,函数f(x)的定义域为R,∴对任意的x∈R,f(-x)=3-x-3-(-x)+1=3-x-3x+1,∴f(x)+f(-x)=(3x-3-x+1)+(3-x-3x+1)=2,∴f(a)+f(-a)=2,∴f(-a)=2-f(a)=2-3=-1.【答案】-111.(衡阳三中2018届月考)当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m的取值范围是().A.(-2,1)B.(-4,3)C.(-3,4)D.(-1,2)【解析】∵∀x∈(-∞,-1],(m2-m)·4x-2x<0,∴∀x∈(-∞,-1],(m2-m)<.∵f(x)=在(-∞,-1]上单调递减,∴当x≤-1时,f(x)≥2.∴m2-m<2,解得-1<m<2.【答案】D12.(山东潍坊2018届第二次月考)对于函数f(x)=4x-m·2x+1,若存在实数x0,使f(-x0)=-f(x0),则实数m的取值范围是().A.-B.C.(-∞,-1]D.[1,+∞)【解析】∵f(-x0)=-f(x0),∴--m·-=-+m·,即2m=+--.-令t=+-(t≥2),则2m=t-.∵h(t)=t-在[2,+∞)上单调递增,∴h(t)min=h(2)=1.根据题意,2m≥1,解得m≥,故选B.【答案】B13.(2017安徽江淮十校三模)函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则下列关于f(b x)和f(c x)的大小关系的判断中,正确的是().A.f(b x)≤f(c x)B.f(b x)≥f(c x)C.f(b x)>f(c x)D.大小关系随x的不同而不同【解析】∵f(1+x)=f(1-x),∴f(x)图象的对称轴为直线x=1,∴b=2.又∵f(0)=3,∴c=3.∴f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.若x≥0,则3x≥2x≥1,∴f(3x)≥f(2x).若x<0,则3x<2x<1,∴f(3x)>f(2x).综上可得,f(3x)≥f(2x).【答案】A14.(山东罗庄一中2018届第二次质检)设函数f(x)=-,a为常数,且f(3)=.(1)求a的值;(2)求使f(x)≥4的x的取值范围;(3)设函数g(x)=-x+m,对任意的x∈[3,4],不等式f(x)>g(x)恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)∵f(3)=,∴-=,∴10-3a=1,解得a=3.(2)由已知得-≥4=-,∴10-3x≤-2,解得x≥4,故f(x)≥4的x的取值范围为[4,+∞).(3)f(x)>g(x)在[3,4]上恒成立,即->-x+m在[3,4]上恒成立,即m<-+x在[3,4]上恒成立.设h(x)=-+x,则当x∈[3,4]时,m<h(x)min.∵函数y=-与y=x在[3,4]上都是增函数,∴h(x)在[3,4]上为增函数,∴当x∈[3,4]时,h(x)min=h(3)=+=2,∴m<2.故实数m的取值范围为(-∞,2).§3.3对数与对数函数一对数的概念一般地,如果a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫作以a为底N的对数,记作,其中叫作对数的底数,叫作真数.二对数的运算1.对数的运算性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:(1)log a(M·N)=;(2)log a=;(3)log a M n=(n∈R).2.对数的换底公式log a b==(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0,且b≠1).三对数函数的图象与性质指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数,它们的图象关于直线对称.☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)log a x·log a y=log a(x+y).()(2)对数函数y=log a x(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0).()(3)log2x2=2log2x.()(4)当x>1时,log a x>0.()已知a=-,b=log2,c=lo,则().A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b若函数y=f(x)是函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=.计算:2log510+log5=.若log a<1(a>0,且a≠1),求实数a的取值范围.知识清单一、x=log a N a N二、1.(1)log a M+log a N(2)log a M-log a N(3)n log a M三、(0,+∞)(1,0)10增函数减函数四、y=x基础训练1.【解析】(1)错误,如a=x=y=2,结论不成立.(2)正确,对数函数的图象恒过定点(1,0).(3)错误,当x<0时,结论不成立.(4)错误,当a=时,结论不成立.【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×2.【解析】因为0<a=-<1,b=log2<0,c=lo>1,所以c>a>b.【答案】D3.【解析】函数y=a x(a>0,且a≠1)的反函数是f(x)=log a x.因为f(2)=1,所以log a2=1,所以a=2,所以f(x)=log2x.【答案】log2x4.【解析】原式=log5102+log5=log525=2.【答案】25.【解析】由题意得log a<log a a,当a>1时,a>,即a>1;当0<a<1时,a<,即0<a<.故实数a的取值范围为∪(1,+∞).题型一对数的运算【例1】(1)设2a=5b=m,且+=2,则m等于().A.B.10C.20D.100(2)计算:-=.【解析】(1)∵2a=5b=m,∴a=log2m,b=log5m,∴+=+=log m2+log m5=log m10=2,∴m=.(2)原式==(log62+log618)=×2=1.【答案】(1)A(2)1【变式训练1】(1)计算:lg +2lg 2--=.(2)已知4a=2,lg x=a,则x=.【解析】(1)lg +2lg 2--=lg 5-lg 2+2lg 2-2=(lg 5+lg 2)-2=1-2=-1.(2)∵4a=2,∴a=log42=log44=.又∵lg x=a,∴lg x=,∴x=1=.【答案】(1)-1(2)题型二对数的图象及应用【例2】(1)函数y=2log4(1-x)的大致图象是().(2)已知0<m1<2<m2,a>0,且a≠1,若log a m1=m1-1,log a m2=m2-1,则实数a的取值范围是().A.2<a<3B.0<a<1C.1<a<2D.3<a<4【解析】(1)函数y=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A、B;函数y=2log4(1-x)在定义域内单调递减,排除D.故选C.(2)由题意知方程log a x=x-1有两个不相等的实根m1,m2.在同一个平面直角坐标系内,画出函数y=log a x与y=x-1的图象(如图).显然a>1,由图可知m1=1,要使m2>2,则应满足log a2>2-1,即a<2.综上可知,实数a的取值范围是1<a<2,故选C.【答案】(1)C(2)C【变式训练2】已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是().A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1【解析】由对数函数的性质及图象得0<a<1.因为函数y=log a(x+c)的图象在c>0时,是由函数y=log a x的图象向左平移c个单位长度得到的,所以根据题中图象可知0<c<1.故选D.【答案】D题型三对数的性质及应用【例3】已知函数f(x)=log a(x+1)-log a(1-x),a>0且a≠1.(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;(3)当a>1时,求使f(x)>0的x的解集.解得-1<x<1.【解析】(1)要使函数f(x)有意义,则-故函数f(x)的定义域为(-1,1).(2)由(1)知f(x)的定义域为(-1,1),又f(-x)=log a(-x+1)-log a(1+x)=-[log a(x+1)-log a(1-x)]=-f(x),故f(x)为奇函数.(3)因为当a>1时,f(x)在定义域(-1,1)内是增函数,所以f(x)>0,即>1,解得0<x<1,所以使f(x)>0的x的解集是{x|0<x<1}.-【变式训练3】已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间.(2)是否存在实数a,使得f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为f(1)=1,所以log4(a+5)=1,所以a+5=4,所以a=-1,此时f(x)=log4(-x2+2x+3).由-x2+2x+3>0,得-1<x<3,即函数f(x)的定义域为(-1,3).令g(x)=-x2+2x+3,则g(x)在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减.又因为y=log4x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,3).(2)假设存在实数a,使得f(x)的最小值为0,则h(x)=ax2+2x+3应有最小值1,即-解得a=,故存在实数a=,使得f(x)的最小值为0.方法一比较指数式、对数式的大小比较大小问题是每年高考的必考内容之一:(1)比较指数式和对数式的大小,可以利用函数的单调性,引入中间量;有时也可用数形结合的方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进行比较,若指数相同而底数不同,则构造幂函数;若底数相同而指数不同,则构造指数函数;若引入中间量,一般选0或1.【突破训练1】(1)若a=20.3,b=logπ3,c=log4|cos 2018|,则().A.b>c>aB.b>a>cC.a>b>cD.c>a>b(2)设正实数a,b,c分别满足2a3+a=2,b log2b=1,c log5c=1,则a,b,c的大小关系为().A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.a>c>b【解析】(1)因为20.3>20=1,0=logπ1<logπ3<logππ=1,c=log4|cos 2018|<log41=0,所以a>b>c,故选C.(2)令f(x)=2x3+x-2,则f(x)=2x3+x-2在R上单调递增,且f(0)·f(1)=(-2)×1=-2<0,即a∈(0,1).由已知得log2b=,log5c=,构造函数y1=,y2=log2x,y3=log5x,在同一个平面直角坐标系中画出它们的图象(如图),由图象得1<b<c,即c>b>a,故选C.【答案】(1)C(2)C方法二利用数形结合思想解决对数问题【突破训练2】如果不等式x2-log m x<0(m>0,且m≠1)在内恒成立,那么实数m的取值范围是.【解析】构造函数f(x)=x2,g(x)=log m x,要使不等式x2-log m x<0在内恒成立,只需f(x)在内的图象在g(x)图象的下方,由图可知m>1不满足,则所以≤m<1,故实数m的取值范围是.【答案】1.(2017江西八校联考)函数y=-的定义域是().A.[1,2]B.[1,2)C.D.【解析】lo(2x-1)≥0⇒0<2x-1≤1⇒<x≤1.【答案】D2.(山东寿光2018届三校联考)已知函数f(x)=若f=3,则b=().A.-1B.0C.2D.3【解析】因为f=log2=-1,所以f=f(-1)=(-1)2+b=1+b=3,即b=3-1=2.【答案】C3.(2017上海中学模拟)已知函数f(x)=a log2x+b log3x+2且f=4,则f(2018)的值为().A.-2B.0C.1D.2【解析】∵f(x)=a log2x+b log3x+2且f=4,∴f=a log2+b log3+2=4,∴-a log22018-b log32018+2=4,即a log22018+b log32018=-2.∴f(2018)=a log22018+b log32018+2=-2+2=0.【答案】B4.(2017石家庄模拟)已知a=log23+log2,b=log29-log2,c=log32,则a,b,c的大小关系是().A.a=b<cB.a=b>cC.a<b<cD.a>b>c【解析】因为a=log23+log2=log23=log23>1,b=log29-log2=log23=a,c=log32<log33=1,所以a=b>c.【答案】B5.(2017湖北八校联考)函数f(x)=+ln|x|的大致图象为().【解析】当x>0时,函数f(x)=+ln x,此时代入特殊值验证可排除A;当x<0时,函数f(x)=+ln(-x),因为函数y=与y=ln(-x)在(-∞,0)上都是减函数,所以函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,排除C、D.故选B.【答案】B6.(2017河北唐山期末)已知对数函数f(x)=log a x(a>0,且a≠1)在区间[2,4]上的最大值与最小值之积为2,则a=().A. B.或2 C.2D.2【解析】∵对数函数f(x)=log a x(a>0,且a≠1)在区间[2,4]上的最大值与最小值之积为2,∴当0<a<1时,log a2·log a4=2(log a2)2=2,∴log a2=±1,∴a=;当a>1时,log a4·log a2=2(log a2)2=2,∴log a2=±1,∴a=2.综上可知,a的值为或2.【答案】B7.(河北冀州中学2018届10月考)若函数f(x)=log a(a>0,且a≠1)在区间内恒有f(x)>0,则f(x)的单调递增区间为().A.(0,+∞)B.(2,+∞)C.(1,+∞)D.【解析】令M=x2+x,当x∈时,M∈(1,+∞),因为f(x)>0,所以a>1,所以函数y=log a M为增函数.又因为M=-,所以M的单调递增区间为-.因为x2+x>0,所以x>0或x<-,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).【答案】A8.(2017上海中学模拟)已知函数y=|log2x|的定义域为[a,b],值域为[0,2],则b-a的最小值为.【解析】∵y=|log2x|,∴x=2y或x=2-y.∵0≤y≤2,∴1≤x≤4或≤x≤1.∴(b-a)min=1-=.【答案】9.(2017江苏淮安新马一模)已知函数f(x)=lg-的定义域是,则实数a的值为.【解析】令1->0,则<1,∴a<2x,∴当a≤0时,x∈R;当a>0时,x>log2a.∵函数f(x)=lg-的定义域是,∴log2a=,解得a==.∴实数a的值为.【答案】10.(2017江西第一次联考)若函数f(x)=log2(x2-ax-3a)在区间(-∞,-2]上是减函数,则实数a的取值范围是().A.(-∞,4)B.(-4,4]C.(-∞,4)∪[2,+∞)D.[-4,4)【解析】令t=t(x)=x2-ax-3a=---3a,则由题意可得函数f(x)=log2t,其中t=t(x)在区间(-∞,-2]上是减函数且t(x)>0恒成立,∴--得-4≤a<4.【答案】D11.(2017山西联考)若函数f(x)=log0.2(5+4x-x2)在区间(a-1,a+1)上单调递减,且b=lg 0.2,c=20.2,则().A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c【解析】函数f(x)的定义域为{x|-1<x<5},令u=u(x)=5+4x-x2,因为u(x)在(-1,2)上为增函数,且y=log0.2u为减函数,所以f(x)在(-1,2)上为减函数,所以(a-1,a+1)⊆(-1,2),即--⇒0≤a≤1.又因为b=lg 0.2<0,c=20.2>20=1,所以c>a>b.故选D.【答案】D12.(2017东北三省四市一联)已知点(n,a n)(n∈N*)在y=e x的图象上,若满足当T n=ln a1+ln a2+…+ln a n>k时,n的最小值为5,则k的取值范围是().A.k<15B.k<10C.10≤k<15D.10<k<15【解析】因为点(n,a n)在y=e x的图象上,所以a n=e n,所以T n=ln(e1·e2·…·e n)=.由当>k时,n的最小值为5,得解得10≤k<15,故选C.【答案】C13.(2017杭州第二次质检)已知直线x=m(m>1)与函数f(x)=log a x(a>0,a≠1),g(x)=log b x(b>0,b≠1)的图象及x轴分别交于A,B,C三点,若AB=2BC,则().A.b=a2或a=b2B.a=b-1或a=b3C.a=b-1或b=a3D.a=b3【解析】A,B,C三点的坐标分别为(m,log a m),(m,log b m),(m,0).当a>1>b或b>1>a时,由AB=2BC,得|log a m-log b m|=2|log b m|,即log a m-log b m=-2log b m,所以log a m=-log b m,即=-,所以a=b-1;当b>a>1或b<a<1时,由AB=2BC,得|log a m-log b m|=2|log b m|,即log a m-log b m=2log b m,所以log a m=3log b m,即=,所以b=a3.综上可知,a=b-1或b=a3,故选C.【答案】C14.(2017江西七校联考一模)若函数f(x)=log a x+-4(a>0且a≠1)的值域为R,则实数a的取值范围是.【解析】若函数f(x)=log a-(a>0且a≠1)的值域为R,则- ⊇{y|y>0},即-≤0.∵当x<0时,显然函数f(x)没有意义,不符合题意;当x>0时,x+≥2,∴2≤4,解得a≤4.故实数a的取值范围是(0,1)∪(1,4].【答案】(0,1)∪(1,4]15.(2017浙江台州一模)已知a=2x,b=,则log2b=,满足log a b≤1的实数x的取值范围是.【解析】∵b==,∴log2b=.∵log a b===≤1,∴x<0或x≥.∴满足log a b≤1的实数x的取值范围是(-∞,0)∪.【答案】(-∞,0)∪阶段总结一微专题一空集的呐喊——“勿忘我”空集是任何集合的子集,即对于任何一个集合A,有⌀⊆A.空集是任何非空集合的真子集.当遇到“A⊆B”时,要注意是否需要讨论A=⌀或A≠⌀两种情况.在解题中,遇到空集,要遵循“⌀优先原则”.【例1】若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},且B⊆A,则m的取值组成的集合为.【分析】在解本题时,易出现两个典型错误.一是易忽略对空集的讨论,如B=⌀时,m=0;二是易忽略对字母的讨论,如-可以为-3或2.【解析】由题意可得A={-3,2}.当m=0时,B=⌀,满足B⊆A;当m≠0时,方程mx+1=0的解为x=-.由B⊆A,得-=-3或-=2,即m=或m=-.故所求集合为-.【答案】-【拓展训练1】已知全集U=R,集合A={x|1≤2x-1≤4},B=-.若集合C={x|4-a<x<a},且C⊆(A∪B),求实数a的取值-范围.【解析】由1≤2x-1≤4得1≤x≤3,∴A={x|1≤x≤3}.得2<x<4,∴B={x|2<x<4}.由--∴A∪B={x|1≤x<4}.当4-a≥a,即a≤2时,C=⌀,满足题意;当4-a<a,即a>2时,∵C⊆(A∪B),∴-解得2<a≤3.综上,实数a的取值范围是(-∞,3].微专题二“三个二次”间的转化二次函数、一元二次方程与一元二次不等式统称为“三个二次”,它们常有机结合在一起,而二次函数是“三个二次”的核心,通过二次函数的图象将“三个二次”贯穿为一体.因此,有关二次函数的问题,常利用数形结合法、分类讨论法转化为方程与不等式来解决.【例2】已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1).(1)求f(x)的最小值;(2)若f(x)≥-1恒成立,求a的取值范围;(3)若方程f(x)=0的两个根都在[0,1]内,求a的取值范围.【分析】(1)分a=0,a>0,a<0三种情况讨论;(2)转化为f(x)min≥-1求解;(3)先求出两个根,再根据根的取值范围求解.【解析】(1)若a=0,则f(x)=-2x,它在[0,1]上单调递减,∴f(x)min=f(1)=-2.若a>0,则f(x)=ax2-2x的图象开口向上,且对称轴为直线x=.当0<<1,即a>1时,f(x)在上单调递减,在上单调递增,∴f(x)min=f=-=-.当≥1,即0<a≤1时,f(x)在[0,1]上单调递减,∴f(x)min=f(1)=a-2.若a<0,则f(x)=ax2-2x的图象开口向下,且对称轴x=在y轴的左侧,∴f(x)=ax2-2x在[0,1]上单调递减,∴f(x)min=f(1)=a-2.综上所述,f(x)min=--(2)依题意,只需f(x)min≥-1即可.由(1)知,当a≤1时,a-2≥-1,即a≥1,∴a=1;当a>1时,-≥-1,即a≥1,∴a>1.综上,a的取值范围为[1,+∞).(3)由题意知,当f(x)=0时,x=0或x=(a≠0),。

高考数学复习专题三基本初等函数专项练习理(2021学年)

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专题三《基本初等函数》数学试卷考试范围:xxx;考试时间:100分钟；命题人：ｘxx学校：_______＿_＿_姓名:_＿＿_____＿__班级：＿＿_____＿___考号:____＿_____＿题号一二三四总分得分注意事项:1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上ﻫ第1卷评卷人得分一、选择题１、给出下列函数①；②;③;④；⑤.其中满足条件的函数的个数是( )A.1个B.2个C.３个ﻫD．4个2、函数的值域是( ）A。

B.C．ﻫＤ。

３、设函数,如果,则的取值范围是( )A。

B。

Ｃ.D。

4、设为正数,且，则( )A.Ｂ．C.D。

5、根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限约为,而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为。

则下列各数中与最接近的是( )（参考数据：)A。

ﻫ B.ﻫC。

ﻫD。

6、已知函数（且）过定点,则点坐标（) A.Ｂ．Ｃ．ﻫＤ．7、若函数，则 ( ）A．B。

ﻫC．ﻫＤ。

８、函数的最小值为( )Ａ.ﻫB。

ﻫＣ.ﻫD。

9、已知,则的大小关系为( )Ａ．B.Ｃ．ﻫＤ.10、已知奇函数在上是增函数,.若，,,则的大小关系为( )Ａ。

ﻫＢ。

C.ﻫD.11、已知函数,若，则实数的取值范围为( ) A。

ﻫＢ。

C.ﻫD。

高三数学一轮复习易错题3基本初等函数

综上可知所求的取值范围是1＜＜2
易错点7．公式运用不熟练没有得到最终解
【例7】已知求
【错解】∵ ∴
∴
错因：因对性质不熟而导致题目没解完.
【正解】∵ ∴
∴
易错点8．关于方程根考虑不全面
【例8】已知有且只有一根在区间（0,1）内，求的取值范围.
【错解】设 ∵ 有且只有一根在区间（0,1）内
∴ 得＜－2
所以，解得，此时，
综上，即的取值范围是，
故选：D.
10．函数在的图像大致为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以为奇函数，关于原点对称，故排除，又因为，，，，故排除、 ,
故选：D.
11．已知函数，若，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【正解】方法一：∵
＝＝＝－，∴ 是奇函数
方法二：∵
＝
∴ 是奇函数
易错点5．不理解定义域和单调性的联系
【例5】已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,求x的取值范围.
【错解】∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x2－3)=f(3－x2),
综上， .
故选：C
8．函数的零点个数为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】函数f(x)=ex|lnx|﹣2的零点可以转化为：|lnx| 的零点；
在坐标系中画出两个函数的图象，根据图象可得有两个交点；
故原函数有两个零点.
故选：B.
9．已知，函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（）

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专题三基本初等函数考点07：指数与指数函数（1—3题，8—10题，13,14题，17-19题）考点08：对数与对数函数（4—7题，8—10题，15题，17题，20-22题）考点09：二次函数与幂函数（11,12题，16题）考试时间：120分钟满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

） 1．考点07 易下列各式中成立的一项是( )A. 7177n n m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.=()34x y =+=2. 考点07 中难函数11x y a-=+，（0a >且1a ≠）的图像必经过一个定点，则这个定点的坐标是（）A. ()0,1B.()1,2C.()2,3D.()3,4 3．考点07 难函数2212x x y -⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为( )A. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D. [)0,2 4．考点08 易已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围是( ) A. (1,10)B. (5,6)C. (10,12)D. (20,24)5．考点08 易已知2log 0.3a =,0.12b =, 1.30.2c =,则,,a b c 的大小关系是( )A. a b c <<B.c a b <<C. a c b <<D. b c a << 6．考点08中难函数y = ）A ．(0,8]B ．(2,8]-C ．(2,8]D ．[8,)+∞ 7．考点08中难函数212log (617)y x x =-+的值域是( )A. RB. [8,)+∞C. (,3)-∞-D. [)3,+∞8．考点07，考点08 易函数()log (1)xa f x a x =++ (0a >且1a ≠)在[]0,1上的最大值与最小值之和为a ,则a的值为( )A.12 B. 14C. 2D. 49．考点07考点08，中难当102x <≤时, 4log xa x <,则a 的取值范围是( )A. 0,2⎛ ⎝⎭B. 2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C. (D. )210．考点07考点08，难当102x <≤时, 1log 4xa x ⎛⎫< ⎪⎝⎭,那么a 的取值范围是( )A. 10,4⎛⎫⎪⎝⎭B. 1,14⎛⎫⎪⎝⎭C. ()1,4D. ()2,411．考点09 易已知点(,9)m 在幂函数()(2)nf x m x =-的图象上，设131(),(ln ),32a f mb fc f -===则,,a b c 的大小关系为( )A ．a c b <-则实数a 的取值范围是__________。

14．考点07 中难设函数22,1,(),1,x x f x x x -⎧<=⎨≥⎩若()4f a >,则a 的取值范围__________.15．考点08 中难函数22()log ()f x x x a =-+在[2,)+∞上恒为正,则a 的取值范围是__________.16．考点09 难当()0,x ∈+∞时,幂函数()2531m y m m x --=--为减函数,则实数m 的值为__________ 三.解答题（共70分）17．（本题满分10分）考点07，考点08 易已知函数()()()2log 2x f x kk R =+∈的图象过点()0,1P .1.求k的值并求函数() f x 的值域;2.若关于 x 的方程()f x x m =+有实根,求实数 m 的取值范围.18．（本题满分12分）考点07 易已知函数()(0,1)xf x a a a =>≠. 1.若5(1)(1)2f f +-=,求(2)(2)f f +-的值. 2.若函数()f x 在[-1,1]上的最大值与最小值的差为83,求实数a 的值.19．（本题满分12分）中难已知函数()(0xf x a a =>且1)a ≠在区间[]1,2上的最大值为m 最小值为n1.若6m n +=,求实数a 的值2.若2m n =,求实数a 的值20．（本题满分12分）考点08 易已知函数()log (2)log (4)a a f x x x =-++ (0a >且1a ≠). 1.求函数()f x 的定义域;2.若函数()f x 的最小值为-2,求实数a 的值.21．（本题满分12分）考点08 中难已知函数()log(1)log (3)(01)a f x x x a =-++<<. 1.求函数f ()x 的定义域及零点;2.若函数f ()x 的最小值为4-,求a 的值。

22．（本题满分12分）考点08 难已知函数()log (4)a f x ax =-,(0a >且1a ≠).1.若()g x 是偶函数,当0x >时, ()()g x f x =,求0?x <时, ()g x 的表达式;2.若函数f()x在[]0,2上是减函数,求实数a的取值范围.参考答案1答案及解析：答案：D解析：A中应为777nn mm-⎛⎫=⎪⎝⎭,B中等式左侧为正数,右侧为负数,不成立,C中当1x y==时,等式不成立,D正确,故选D2答案及解析：答案：B解析：3答案及解析：答案：A解析：4答案及解析：答案：C解析：5答案及解析：答案：C 解析：6答案及解析：答案：C 解析：7答案及解析：答案：C 解析：8答案及解析：答案：A 解析：9答案及解析：答案：B 解析：当102x <≤时, 142x<≤,要使4log x a x <,则由对数函数的性质可得01a << 数形结合可知只需2log a x <,201log log a a a a x<<⎧⎨<⎩. 即201a a x<<⎧⎨>⎩对102x <≤恒成立 ∴201{12a a <<>,解得12a <<,故选B10答案及解析：答案：B11答案及解析：答案：A 解析：12答案及解析：答案：A 解析：13答案及解析：答案：1(,1)2解析：指数函数()(21),xf x a =-且(3).(2)f f --,所以函数()f x 单调递减,0211,a ∴<-<解得11,2a <<故答案为1(,1).214答案及解析：答案：()(),22,-∞-⋃+∞ 解析：15答案及解析：答案：()1,-+∞ 解析：16答案及解析：答案：2 解析：17答案及解析：答案：1.因为函数()()2log 2x f x k =+()k R ∈的图象过点()0,1P ,所以()01f =,即()2log 11k +=,所以1k =,所以()()2log 21x f x =+,因为20x >,所以211x +>,所以()()2log 210x f x =+>, 所以函数() f x 的值域为()0,?+∞.2.因为关于 x 的方程()f x x m =+有实根,即方程()2log 21x m x =+-有实根, 即函数()2log 21x y x =+-与函数 y m =有交点,令()()2g log 21x x x =+-, 则函数()y g x =的图象与直线 y m =有交点,又()()()22222211g log 21log 21log 2log log 122x xxxx xx x +⎛⎫=+-=+-==+ ⎪⎝⎭任取12,x x R ∈且12x x <,则12022x x<<,所以121122x x >,所以12111122x x +>+, 所以()()12g x g x -= 121log 12x ⎛⎫+⎪⎝⎭ 221log 102x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭ ()()12g x g x ∴>, 所以()g x 在R 上是减函数(或由复合函数判断()21g log 12xx ⎛⎫=+⎪⎝⎭为单调递减), 因为1112x +>,所以()()21g log 10,2xx ⎛⎫=+∈+∞ ⎪⎝⎭,所以实数m 的取值范围是()0,?+∞.解析：18答案及解析：答案：1.因为5(),(1)(1)2x f x a f f =+-=, 15(1)(1)2f f a a ∴+-=+=,解得: 2a =或12,当2a =时, ()2xf x =,2217(2)(2)224f f -+-=+=当12a =时, 2211117()(),(2)(2)()()2224x f x f f -=+-=+=,故17(2)(2)4f f +-=. 2.当1a >时, ()xf x a =在[-1,1]上单调递增,1max min 8()()(1)(1)3f x f x f f a a -∴-=--=-=, 化简得23830a a --=, 解得: 13a =- (舍去)或3a =.当01a <<时, ()xf x a =在[-1,1]上单调递减,1max min 8()()(1)(1)3f x f x f f a a -∴-=--=-=, 化简得23830a a +-= 解得: 3a =- (舍去)或13a =. 综上,实数a 的值为3或13. 解析：19答案及解析：答案：1.因为无论01a <<还是1a >,函数()f x 的最大值都是a 和2a 中的一个,最小值为另一个, 所以2+a=6a 解得2?a =或 3a =- (舍去), 故实数a 的值为2. 2.当01a <<时,函数()xf x a =在区间[]1,2上是减函数,其最大值为()1m f a ==,最小值为()22n f a ==所以由题意,得22a a =,解得0a = (舍去)或12a =,所以12a = 当1a >时,函数()xf x a =在区间[]1,2上是增函数,其最大值为()2=2=m f a ,最小值为()n=1=f a所以由题意,得22a a =,解得0a = (舍去)或2a =,所以2a = 综上,知实数a 的值为12或2. 解析：20答案及解析：答案：1.要使函数有意义,必有2040x x ->⎧⎨+>⎩得42x -<<所以()f x 定义域为{|42}x x -<<.2.∵()log [(2)(4)]a f x x x =-+Q ∴22()log (28)log [(1)9]a a f x x x x =--+=-++∴min ()log 92a f x ==-即29a -=∴13a =或13a =-又∵0a >且1a ≠∴13a =. 解析：21答案及解析：答案：1.定义域: ()3,1-;零点: 1-±2. 2解析：1.由已知得1030x x ->⎧⎨+>⎩, 解得31x -<<所以函数f ()x 的定义域为()3,1-, 2()log(1)log (3)log (1)(3)log (23)a a a f x x x x x x x =-++=-+=--+令()0f x =,得2231x x --+=,即2220x x +-=,解得1(3,1)x =-±-,∴函数f ()x 的零点是1-±2.由2知, 22()log (23)log (1)4,a f x x x x ⎡⎤=--+=-++⎣⎦∵31x -<<,∴20(1)44x <-++≤.∵01a <<,∴2log (1)4log 4,a a x ⎡⎤-++≥⎣⎦∴14min ()log 44,4a f x a -==-∴==22答案及解析：答案：1.∵()g x 是偶函数,所以()()g x g x -=, 又当0x >时, ()()log (4)a g x f x ax ==- ∴当0?x <时, 0x ->,∴()()()log (4)a g x g x f x ax =-=-=+, 所以当0?x <时, ()log (4)a g x ax =+.2.因为()4u x ax =-在[]0,2上是减函数,要使()log (4)a f x ax =-在[]0,2有意义,且为减函数,则需满足1420a a >⎧⎨-⨯>⎩解得12a <<∴所求实数a 的取值范围为()1,2 解析：。