奇特征有限域上二次函数的Walsh变换的值分布

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4_神奇的Walsh函数

Walsh函数的逻辑运动函数的逻辑运动
例1：用0表示白天，用1表示黑夜，是地球上某处：
的人所感觉到的时间概念，如果对这个时间模2加 1，则0变成1，1变成0，即白天变为黑夜，黑夜变为白天。从逻辑上讲，模2加1，是作用一个否定，那么原来肯定的就变为否定了，原来否定的就变为肯定了。从物理上看，模2加1，就相当于从地球上某处转到另一处去了，另一处与原处恰好是地球直径上的两个端点。
内容提要
Walsh函数研究的历史背景函数研究的历史背景
Walsh函数的概念引入 Walsh函数的性质 Walsh函数与正弦余弦函数比较 Walsh函数的逻辑运动
Walsh函数研究的历史背景函数研究的历史背景
19世纪，通信中的函数主要是矩形脉冲。 19世纪末20世纪初，由于电容器和电感的出现，产生了正弦波的谐振电路，正、余弦函数逐渐成为通信理论的数学基础。 20世纪50年代，由于半导体工艺的产生，又使人们寻求新的函数代替正、余弦函数。
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郭硕贺主相燕肖轶张欣怡朱昊 2002011413(gglemon@Free) 2002011401(Catouch@Free) 2002011387(vittata@Free) 2002011382(redstorm@Free) 2002011402(xxyyzz@Free) 2002011395(zoohow@Free)
内容提要
Walsh函数研究的历史背景
Walsh函数的概念引入函数的概念引入
Walsh函数的性质 Walsh函数与正弦余弦函数比较 Walsh函数的逻辑运动
Walsh函数的引入——数制与编码函数的引入

一般二次型函数的Walsh谱值

一般二次型函数的Walsh谱值
彭丽
【期刊名称】《湖北大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2005(27)4
【摘要】基于一个二次型方程与一个线性方程公共解的个数问题和二次型的某些理论,计算和分析了在不同的有限域上一般二次型函数的Walsh谱,由此得到了此类函数的较好的谱值.
【总页数】5页(P305-309)
【作者】彭丽
【作者单位】湖北大学,数学与计算机科学学院,湖北,武汉,430062
【正文语种】中文
【中图分类】O157.4
【相关文献】
1.一类二次APN函数的Walsh谱 [J], 谢涛;陈芬;朱志锋
2.模2n数乘运算的向量Walsh谱“1”值点分布特性 [J], 张少武;郑磊
3.T函数Walsh谱值与差分转移概率快速算法 [J], 刘燕;胡斌;徐立平
4.密码学中3类具有特殊Walsh谱值布尔函数的关系 [J], 胡斌;金晨辉;邵增玉
5.布尔函数性质Walsh谱和算术Walsh谱 [J], 赵庆兰;郑东
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布尔函数性质

对二次型函数的算术 Walsh 变换系数进行了
国家自然基金资助（ 61272037 ， 61070249 ）资助
2013 年 3 月 1 日收到
∑ a∈ F W f 2 。
第一作者简介：赵庆兰（ 1981 —），女，山东人，博士研究生。研究方 mail： qlz@ snnu. edu. cn。向：密码学与信息安全。E-
…，成立，则 F 是最终 p周期的。如果任意 a = （ a1 ， a n ） ∈ 瓔 n ； a i ≥ k， i = 1， …， n， F 在集合｛ a + b： b = （ b1 ， …， b2 ）， 0 ≤ b i ＜ p； i = 1 ， …， n｝的值称为 F 的一个完整的周期。假设 F ∈ R n ，是严格 2周期的函数，则在式（ 2 ）中得
Klapper［4］新提出的一种的带进位的 Walsh 谱，为了两者的区别，故把之前的 Walsh 变换称为经典的 Walsh 变换，算术 Walsh 变换是对经典 Walsh 变换 5］证明了布尔函数和的带进位运算的模拟，文献［他们的算术 Walsh 变换是一一对应的，每一个布尔函数都可以由它的算术 Walsh 变换唯一的确定，并计算了线性函数，仿射函数的算术 Walsh 谱系数。文献
2
算术 Walsh 变换的定义
［ 4］
定义 3
布尔函数 f 的不平衡度为 Z （ f），Z （ f） =
17 期
赵庆兰，等：布尔函数性质 Walsh 谱和算术 Walsh 谱
4809
a∈ V n
∑（
－ 1）
f （ a）
。

二次函数的变换与图像特征

二次函数的变换与图像特征二次函数是高中数学中的一个重要概念，其变换和图像特征也是学习二次函数的重要内容。

在本文中，我们将探讨二次函数的变换与图像特征，并通过实例来加深理解。

一、二次函数的变换二次函数的标准形式为：y = ax^2 + bx + c其中，a，b，c为常数，且a ≠ 0。

二次函数的变换主要是对a，b，c的改变，从而使函数的图像发生对应的变化。

1. 对a的变换当a > 0时，二次函数的图像开口向上；当a < 0时，二次函数的图像开口向下。

a的绝对值的大小决定了图像的开口程度，绝对值越大，开口越窄。

例子：考虑函数y = 2x^2，我们分别取不同的a值进行变换，得到如下图像：（插入图像）2. 对b的变换b的正负决定了函数图像的对称性，即关于y轴的对称性。

当b > 0时，函数图像右移；当b < 0时，函数图像左移。

例子：考虑函数y = x^2和y = x^2 + 2，我们分别取不同的b值进行变换，得到如下图像：（插入图像）3. 对c的变换c的取值决定了二次函数图像的纵轴平移，即上下平移。

例子：考虑函数y = x^2和y = x^2 + 2，我们分别取不同的c值进行变换，得到如下图像：（插入图像）二、二次函数的图像特征二次函数的图像除了受到上述变换的影响外，还有一些固定的特征。

1. 曲线的顶点对于二次函数y = ax^2 + bx + c，曲线的顶点坐标为：x = -b/2a，y = c - b^2/4a顶点坐标决定了图像的最低（或最高）点。

2. 曲线的对称轴对于二次函数y = ax^2 + bx + c，曲线的对称轴为：x = -b/2a对称轴将图形分为两个对称的部分。

3. 拉伸和压缩当二次函数的a的绝对值变大时，图像变得更瘦长，即发生了纵向的压缩；当a的绝对值变小时，图像变得更矮胖，即发生了纵向的拉伸。

例子：考虑函数y = x^2和y = 2x^2，我们可以观察到图像在纵向上的压缩。

《二次函数的图象和性质》PPT课件 (公开课获奖)2022年苏科版 (10)

x 2 2 x 1 （ 1 ） 2 2 （ 1 ） 1 1 （ 2 ） 1
0
求代数式值的方法是:
先代入后计算.
（1）要指明字母的取值；（2）要按照代数式指明的运算顺序进行计算；（3）代入数值后，“×”要添上；（4）当字母取值是分数或负数时，适当加括号。
问题：小明的爸爸存入3年期的教育储蓄8500元（3年期教育储蓄的年利率为3.96%，免缴利息税），到期后本息和（本金和利息的和）自动转存3年期的教育储蓄，像这样至少要储蓄几次才能使本息和超过10000元？
且x2< x4<0, 0<x3< x1, |x2|>|x1|, |x3|>|x4|,
则
(B )
1>y2>y3>y4 2>y1>y3>y4
3>y2>y4>y1
4>y2>y3>y1
y2 y1
y3 y4
x2 x4
x3 x1
代数式的值（2）
复习：当x = -1时，求代数式 x22x1的值。
解：当x= -1时，
代数式？
求当x分别为-3、0、2时代数式 2[5x+(-2)] 的值。
2、在下列计算程序中填写适当的数或转换步骤:
4或-6
5 ( )2 +3 ×2 -5
3、小明编制了一个如图所示的计算程序，当输入2后，最后输出的结果是 37 。
输入
计算2n+3
>30 Yes No
输出
4、写出数值转换机示意图的转换步骤，并按要求填写下表：
你记清楚了吗？考考你！
练一练
（1）抛物线y=-3x2+5的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0,5)，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，当x= 0 时，取得最大值，这个值等于 5 。

北大医学数字图像处理2.3离散沃尔什变换(DWT, Discrete Walsh Transform)

其中 bi ( z ) ：z 的二进制数的第 i＋1 位的值（即 0 或 1）。
例如，N＝2n=8 时的变换核和反变换核用矩阵形式表示为
n −1
1
u=0 ⎡1 ⎢1 ⎢ ⎢1 ⎢ 1 ⎢1 G8 = 8⎢1 ⎢ ⎢1 ⎢1 ⎢ ⎢ ⎣1
1
2
3 1 ( −1) 1
4
5
6
7 1 −1 −1
x= 0 1 2 3 4 5 6 7 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
∑ ∑ W (u, v)h( x, u, y, v)
(x = 0,1, 2,L , M − 1 y = 0,1, 2,L , N − 1)
③
m 这里假定了 M = 2 ,
N = 2n
● 变换核具有可分离性质从①式可知：
g ( x, u, y, v) = h( x, u, y, v) = g 1 ( x, u ) g 2 ( y, v) = h1 ( x, u )h2 ( y, v)
2.3.1
One-D Walsh Transform[4]
( x = 0,1, 2,L , N − 1) 的 Walsh T
假如 N = 2n ，则离散 f ( x)
W (u ) = f ( x) =
其变换核：
1 1
f ( x)(−1) ∑ N
x =0 N −1
N −1
∑ bi ( x )bn −1− i ( u )
⎡1 ⎢0 W =⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
0 0 0 0
0 0 0 0
0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦
这说明，假如输入的原始图像均匀分布，那么 Walsh 变换后的数据会集中于矩阵的边角上，可见此变换可以用于图像信息压缩。 ● 快速 WT 运算可采用与快速傅里叶变换类似的计算，将其中 exp ⎡ ⎢− j

数字图像处理 03图像变换(沃尔什变换)

6
数字图像处理讲义，2006，陈军波©中南民族大学
3.2.2 Walsh函数
WW (0,t) = 1 WW (1, t ) = R (1, t ) WW (2, t ) = R (2, t ) ⋅ R (1, t ) WW (3, t) = R (2, t)
W W ( 0 , t ) +1
-1 W W (1, t ) +1
t 1
WaWlsWh(序7,的t ) W= Ral(s3h,函t ) 数的特点: R(数1(1)的,是t )是完+-11偶备函的数正,交序函号数为,奇序数号1的为t是偶
WW (4,t) WW (5, t)
t 1 1t
R奇( 2函, t )数+1;可用于正交变换。 t
-1
1
WW (6,t)
1t
R(2(3),一t ) 个+1周期内,过零点数与序号
WW (0, t ) = R (3, t ) 0 ⋅ R ( 2, t ) 0 ⋅ R (1, t ) 0 = 1
5 101 111
WW (1, t ) = R (3, t ) 0 ⋅ R ( 2, t ) 0 ⋅ R (1, t )1 = R (1, t )
6 110 101 7 111 100
WW ( 2, t ) = R (3, t ) 0 ⋅ R ( 2, t )1 ⋅ R (1, t )1 = R ( 2, t ) ⋅ R (1, t )
WW (0,t) =1 WW (1,t) = R(1,t) WW (2,t) = R(2,t)⋅ R(1,t) WW (3,t) = R(2,t) WW (4,t) = R(3,t)⋅ R(2,t) WW (5,t) = R(3,t)⋅ R(2,t)⋅ R(1,t) WW (6,t) = R(3,t)⋅ R(1,t) WW (7,t) = R(3,t)

WALSH序列产生及特性分析实验

实验三、WALSH 序列产生及特性分析实验一、实验目的1、了解WALSH 序列的性质和特点。

2、熟悉WALSH 序列的产生方法。

二、实验内容1、熟悉WALSH 序列的产生方法；2、测试WALSH 序列的波形；三、实验原理1.Walsh 序列的基本概念Walsh 序列是正交的扩频序列，是根据Walsh 函数集而产生。

Walsh 函数的取值为+1或者-1。

Walsh 函数集的特点是正交和归一化，正交是同阶不同的Walsh 函数相乘，在指定的区间积分，其结果为0；归一化是两个相同的Walsh 函数相乘，在指定的区间上积分，其平均值为1。

Walsh 函数的自相关特性并不理想，但是互相关特性很好，为了改善自相关特性，实际系统中，序列经Walsh 函数调制后，再自相关特性好的PN 序列进行扩频。

由于Walsh 函数之间额正交性，可以使用不同的Walsh 序列对不同的信道进行调制，在接收端再用相同的Walsh 序列提取信号，从而接收到所发送的信息。

用这种方法，我们可以使多个信道在同一频率上发送而不会互相干扰，这也正是码分多址得以实现的基础。

2.Walsh 序列的产生生成Walsh 序列有很多种方法，通常是通过哈达玛矩阵来产生Walsh 序列。

四、W ALSH 序列产生框图五、实验步骤1、观测现有的WALSH 序列波形。

打开移动实验箱电源，等待实验箱初始化完成。

先按下“菜单”键，再按下数字键“1”，选择“一、伪随机序列”再按下数字键“3”选择“3WALSH 序列的产生”，则产生四个级数为16的WALSH 序列。

2、在测试点TP201测试输出的时钟，在测试点TP202、TP203、TP204、TP205测试16位的WALSH 序列。

DSP CPLD电平转换与隔离时钟 Walsh 序列 Walsh 序列 Walsh 序列 Walsh 序列TP201 TP202TP203 TP204TP205六、实验总结WALSH 函数集是完备的非正弦型正交函数集，相应的离散WALSH 函数简称为WALSH 序列或WALSH 码，可由Hadamard 矩阵的行（或列）构成。

有限域上的二次特征与多项式的值集

２引
理
在本文中，固定ｇ为Ｆ的生成元，即Ｆ一（ｇ＞．利用ｇ的性质，易证以下引理：
引理２．１（ｉ）Ｑ一｛ｇ：０≤ ｉ ≤ｑ一２，２Ｉｉ｝，Ｑ一｛ｇ：０≤ ｉ ≤ｑ一２，２ｉ｝；
第３１卷第５期２０１５年１０月
大学数学
ＣＯＩＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ
Ｖｏ１．３１， №．５
Ｏｃｔ．２０１５
有限域上的二次特征与多项式的值集
昝海侠，曹炜
（宁波大学数学系，宁波３１５２１１）
［摘要］利用有限域Ｆ上的二次特征，研究了几类特殊多项式在ｑ一± １（ｍｏｄ４）时的值集
［关键词］二次剩余；二次特征；多项式的值集［中图分类号］Ｏ１５６．１［文献标识码］Ａ［文章编号］１６７２ — １４５４（２０１５）０５ — ００２０ — ０３
（ｉｉｉ）若２Ｊｚ，Ａ（Ｆ，口，一１，１）一｛４ｇ。／（ｇ一一口一），尼Ｅ＾一｝；
（ｉｖ）若２ｚ，Ｍ（Ｆ， “ ，１，一１）一｛４ｇ／（ｇ一ｎ一），ｋＥＭ１｝，
引理２．３当口一士１时，有
（ｉ）ＩＭ（ ’ １）Ｉ＿ｌ（ｑ－３）／４Ｊ＝｛Ｉ（ｑ－一 — — ５３）Ｊ／４，口ｑ￣三－ｌ３（ｍｏｄｌ４）．，ｉｉ－ＭｃＦ，ｎ，一，一－一Ｌ（ｑ－１）／４．Ｊ＝＝｛（ｑ－一１３）／４，：：：：；

walis公式

walis公式Walsh公式是一种用于计算傅里叶变换的公式，它是一种二进制函数序列的变换公式。

具体来说，Walsh公式将一个函数f(x)表示为一组矩阵或者向量的乘积。

设f(x)是一个n维二元函数，x=(x_1, x_2, ..., x_n)，其中x_i表示二进制序列x的第i位。

那么Walsh变换将f(x)表示为一组二进制函数序列的点积的和，即：f(x) = Σ (W(x) · f(W^T), W ∈ {-1, 1}^n其中，W(x)表示Walsh函数，W^T表示W的转置，f(W^T)表示f(x)在Walsh函数下的点积。

Walsh函数是一组正交的二进制函数序列，其特点是具有单位长度为n的自相关函数和互相关函数。

Walsh函数是由Hadamard矩阵得到，通过对Hadamard矩阵的不同行进行变换而得到的。

Walsh公式在许多领域有广泛应用，例如图像处理、通信系统等。

它可以将一个函数表示为一组正交函数的线性组合，能够提供有关信号的频域特性，进而实现信号压缩、降噪和频域滤波等操作。

拓展：除了Walsh变换，还有许多其他类型的变换公式被用于傅里叶分析和信号处理。

其中最著名的是傅里叶变换和离散傅里叶变换（DFT）。

傅里叶变换将一个连续时间域信号转换为连续频率域信号，而DFT将离散时间域信号转换为离散频率域信号。

除此之外，小波变换、离散余弦变换（DCT）、Hilbert变换等也是常用的变换方法。

不同的变换方法适用于不同类型的信号和应用场景。

在数字图像处理中，小波变换可以提供更好的时频局部化特性，广泛应用于压缩、边缘检测和图像增强等领域。

DCT常用于音频和视频信号的压缩编码，其提供了更好的信号压缩性能。

而Hilbert变换则可以对信号进行解析，提取信号的瞬时属性。

这些变换公式在信号处理和傅里叶分析中扮演着重要的角色。

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Ｖｏ．１２７Ｎｏ２．
Ｊ．０８ｕｎ２０
奇特征有限域上二次函数的Ｗａｓｌｈ变换的值分布
夏永波
（中南民族大学计算机科学学院，汉４０７）武３０４
摘要
设户为奇素数，为一个正整数，）有限域ＦＱ是上的任意一个二次型．用有关二次型的理论确定出了运
ＷａｓｒｎｆｒｏｎｕｄａｉｕｃｉｎｏｅｌｈｔａｓｏｍｆａｙｑａｒｔｆｎｔｏｖｒＦｆｓｏｔｉｅ．ｉｒｓｌｃｎｂｓｄｔｏｖｈｒｂｅｕｈｃｉｂａｎｄＴｈｓｅｕｔａｅｕｅｏｓｌｅｔｅｐｏｌｍｓｓｃａｅｅｍｉｇｔｅｃｒｅａｉｎｄｓｒｂｔｎｆｓｑｅｃａｌｓｅｅｍｉｉｇｔｅｗｅｇｔｄｓｒｂｔｎｆｉｅｒｃｄｓｓｄｔｒｎｈｏｒｌｔｉｔｉｕｉｓｏｅｕｎｅｆｍｉｅ，ｄｔｒｎｎｈｉｈｉｔｉｕｉｓｏｎａｏｅｏｏｉｏｌ
上的维向量空间Ｆ；有如下关系：
ｚ一
∑ｚ￣Ｆ，Ｅ，ＥｆＥＦ．ｚ，２… ｚ）；
ａＯｏｎ．ｎｄＳ
Ｋｅｗｏｄｑａｒｔｏｍ；Ｗａｓｒｎｆｒ；ｖｌｅｄｓｒｂｔｎ；ｆｉｅｆｅｄｙｒｓｕｄａｉｆｒｃｌｈｔａｓｏｍａｕｉｔｉｕｉｏｉｔｉｌｓｎ
有限域上的二次型和二次函数在密码学中有非常重要的应用．次型和二次函数经常用于构造具二
ＡｂｔａｔＬｅｅａｄｒｍｅｂｏｉｉｅｉｔｇｒａｄＱ（ｓｒｃｔＰｂｎｏｄｐｉ，ｅａｐｓｔｖｎｅｅｎｚ）ｂｎａｂｔａｙｑａｒｔｏｍｖｒＦｆ．Ｔｈｅａｒｉｒｕｄａｉｆｒｏｅｒｃｅ
０１２２文献标识码５．Ａ文章编号１７ — ３１２０）２０１ — ３６２４２（０８０ — １１０中图分类号
ＯｎｔｅＶａｕｓｒｂｔｎｏｈａｓｒｎｆｒｏａｒｔｈｌｅＤｉｔｉｕｉｆｔｅＷｌｈＴａｓｏｍｆＱｕｄａｉｏｃ
ＦｏｍｓｏｅｎｉｅＦｉｌｔｄｒｖｒＦｉｔｅｄｓｗｉｈＯｄＣｈａａｔｒｓｉｒｃｅｉｔｃ
ＸｉｎｇｂａＹｏｏ
（ｌｅｅｏｏＣｏｌｇｆＣｍｐｔｒＳｉｎｅｏｔ — ｎｒｌＵｎｖｒｉｏｔｎｌｉｓｕｅｃｅｃ，ＳｕｈＣｅｔａｉｅｓｔｆｒＮａｉａｉｅ，Ｗｕａ３０４，Ｃｈｎ）ｙｏｔｈｎ４０７ｉａ
Ｑ（）ｚ的ｗａｓｌｈ变换的值分布，进而得到了Ｆ上任意一个二次函数Ｑ（）ｒ（ｚ的Ｗａｓｚ＋丁：口）ｌｈ变换的值分布・此结果可以用于确定序列集的相关分布以及线性码的权重分布等问题的研究．
关键词二次型；ｌＷａｓ换；分布；限域ｈ变值有
，
）表示Ｆ在其子域上的一组基，Ｆ则与
的问题就是确定其ｗａｓ变换的值分布引ｌｈ．ＨｅｌｓｔＫｕｒ文献［］ｌｅｈ和ｅｍａ在２中确定了特征２的有
限域上的二次函数的Ｗａｓｌｈ变换的值分布．文运本用文献Ｅ３有关二次型的理论确定出了奇特征有６中限域上二次函数的Ｗａｓｌｈ变换的值分布．
ｖｌｅｄｓｒｂｔｏｆｔｅＷａｓｒｎｆｒｏ（ａｕｉｔｉｕｉｎｏｈｌｈｔａｓｏｍｆＱｚ）ｉｄｔｒｎｄＡｓａｃｎｅｕｎｅｈａｕｉｔｉｕｉｎｏｈｓｅｅｍｉｅ．ｏｓｑｅｃ，ｔｅｖｌｅｄｓｒｂｔｆｔｅｏ
维普资讯
第２第２期７卷
２０年６月０８
中南民族大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｏｕｈＣｅｔａｉｅｓｔｏｔｏａｉｉｓＮａ．ｅ．ｉｉｎｏｒａｆＳｏｔ — ｎｒｌＵｎｖｒｉｙｆｒＮａｉｎｌｅ（ｔＳｉＥｄｔｏ）ｔ
一
正整数．
设Ｆ表示含有Ｐ个元素的有限域，ｎ（・）表示从有限域ｎ到其子域Ｆｐ的迹函数．｛。，令，
…
有较好密码学性质的序列集及编码［］将二次型和１．二次函数应用于序列及编码构造中时，个很关键一