实对称矩阵的相似矩阵
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矩阵相似的充要条件
矩阵相似的充要条件
比如：A与B相似的充要条件是相同的jordan标准形
A与B相似的充要条件是相同的初等因子
似推特征值一样很容易，按定义来。
实对称矩阵的特征值相同，那么两矩阵的特征多项式相同。
由实对称矩阵可以相似对角化，假设这2个矩阵分别为A,B，那么分别存在正交矩阵T,P，使得A,B分别相似于同一个对角矩阵，进行适当变换，可以找到可逆矩阵S，使得A相似于B。
比如两个具有相同特征值的方阵，一个可对角化，一个不可对角化，这样它们就不相似。
但是有相同的特征值是两矩阵相似的必要条件的。
而两矩阵相似的充要条件则为它们拥有相同的若尔当标准型，或者说有相同的初等因子
一个矩阵对应着一个线性变换，两矩阵相似其实就是说同一个空间的同一个线性变换在不同坐标系下的表示(矩阵)不同。
两矩阵相似就意味着存在可逆矩阵P使得P^-1AP=B则A与B相似其实就是说A和B相似于同一个对角阵(当然了，前提是可以相似对角化，也就是说，A 和B都有列数个或行数个线性无关的特征向量)
这个结论等价于A与B有完全相同的特征值。
第四节 实对称矩阵的相似矩阵
1 2 1 3. 设 2为非奇异矩阵A的一个特征值， 则矩阵( A ) 有一个 3 特征值等于( ).( 93年) 4 3 1 1 答案：B ( A ) ， ( B ) ， (C) ， ( D) . 3 4 2 4 4. 向量组 1 (1， 1，， )， 2 (0，，， )， 3 ( 3，，，4)， 2 4 31 2 0 7 1 4 (1， 2，， )， 5 ( 2，，， )的极大线性无关组为( ).(94年) 2 0 1 5 10 ( A ) 1， 2， 3，B ) 1， 2， 4，C) 1， 2， 5，D) 1， 2， 4， 5 . 答案： . ( ( ( B
第五章 相似矩阵
第四节 实对称矩阵的相似矩阵
1. 实对称矩阵的性质：
(1) 实对称矩阵的特征值必为实数. 证: 设为对称矩阵 的特征值 对应的特征向量为, A , x 则 Ax x , x 0. Ax x, A x x， A x x,
( A x )T ( x )T , x T A x T , x T Ax x T x , x T x x T x , ( ) x T x 0.
( 3) 设A为 n阶对称矩阵, 是A的 k重特征值, 则R(E A) n k , 从而对应 恰有k个线性无关的特征向量.
2. 实对称矩阵相似对角化 ：
(1) 实对称矩阵必与对角矩 阵相似， 即可对角化. 如果把对应特征值i ( i 1，， ，)的k i 个线性无关的特征向量 2 r pi 1， i 2， ， iki p p ei 1，i 2， ，iki ， e e 正交规范化得 则ei 1，i 2， ，iki 为i的两两正交的单位特征 e e 向量. 令P (e11，12， ，rk r )， 则P为正交矩阵，且P 1 AP ， e e 其中为对角矩阵， 且该矩阵主对角线上元 素为A的特征值. ( 2) 设A为实对称矩阵， 则存在正交矩阵P， P 1 AP为对角矩阵. 使
6-3实对称矩阵的相似对角化
1 = (2 λ )(4 λ ) , 3λ
2
0
得特征值 λ1 = 2, λ2 = λ3 = 4.
0 对 λ1 = 2,由( A 2 E ) x = 0, 得基础解系 ξ1 = 1 1 对 λ 2 = λ 3 = 4,由( A 4 E ) x = 0, 得基础解系
1 0 ξ 2 = 0 , ξ 3 = 1 . ξ 2与ξ 3 恰好正交 , 0 1
α Tα1 α Tα1 α Tα1 1 2 n T α 2 α Tα 2 α Tα 2 2 n α1 =E T α α α Tα α Tα 1 n 2 n n n
1, 当 i = j; α α i = δ ij = 0, 当i ≠ j
T j
( i , j = 1, 2, , n )
§6.3
实对称矩阵的相似 对角化
一,实对称矩阵特征值与特征向量的性质
定理1 定理1 的特征值为实数. 实对称矩阵 ( AT = A) 的特征值为实数.
证明 设复数 λ为对称矩阵 A的特征值 , 复向量 x为
对应的特征向量 , Ax = λx , x ≠ 0. 即
用 λ 表示λ的共轭复数, x表示x的共轭复向量, 表示 则 A x = A x = ( Ax ) = (λx ) = λ x .
定理 2 设λ1 , λ 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量 , 若λ1 ≠ λ 2 , 则p1与p2正交 .
证明 λ1 p1 = Ap1 , λ2 p2 = Ap2 , λ1 ≠ λ2 ,
∵ A对称, A = AT ,
∴ λ1 p1 = (λ1 p1 ) = ( Ap1 ) = p1 T AT = p1 T A,
范正交化.
定理5 定理5 设 α1 , α 2 , L , α s 是一组线性无关的向 量,则可以找到一组正交的向量 β 1 , β 2 , L , β s 等价. 使得向量组 α1 , α 2 , L , α s 与 β 1 , β 2 , L , β s 等价. 证明 首先, 首先,令 β 1 = α1 再令 β2 = α2 + kβ1 及 β 1 , β 2 = 0 即 β 1 , α 2 + k β 1 , β 1 = 0 从而求出
相似矩阵
k 1 k 2 k m
(k = 1,2,L, m − 1)
把上列各式合写成矩阵形式，得
m ⎛ 1 λ1 L λ1 −1 ⎞ ⎜ ⎟ m −1 ⎜ 1 λ2 L λ2 ⎟ ( x1 p1 , x2 p2 ,L, xm pm )⎜ ⎟ = (0,0,L,0 ) M ⎟ ⎜M M ⎜1 λ L λm − 1 ⎟ ⎝ m m ⎠
5.1 方阵的特征值与特征向量 5.2 相似矩阵 5.3 实对称矩阵的相似矩
第五章
相似矩阵
从花斑猫头鹰说起
一九九0年六月，美国鱼类和野生动物管理局终 于将花斑猫头鹰列为濒危物种，并据此而划出了总 数达六百九十万英亩的花斑猫头鹰栖息保护区。做 出这一决定的根据纯粹是科学性的。 八十年代伐木业的增长正使这个地区的古代森林急 剧减少，不仅严重威胁着花斑猫头鹰的生存，甚至 也威胁到这个地区的生态环境。
~
⎛1 0 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 2 ⎟, ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠
得基础解系
⎛ − 1⎞ ⎜ ⎟ p2 = ⎜ − 2 ⎟ , ⎜ 1 ⎟ ⎠ ⎝
所以k
p (k ≠ 0)是对应于λ = λ
2 2
3
= 1的全部特征向量 .
⎛ − 2 1 1⎞ ⎟ ⎜ 例３ 设 A = ⎜ 0 2 0 ⎟ ,求A的特征值与特征向量． ⎜ − 4 1 3⎟ ⎠ ⎝
数理生态学家们为了搞清楚花斑猫头鹰的数量动 态，他们把猫头鹰的生命周期划分为三个阶段： 雏鸟期(1岁以前)，接近成年期(1-2岁)，成年期 (2岁以后)。 猫头鹰在未成年期或成年期寻找配偶并终身生活 在一起大约20年，每一对需要约4平方英里生活领 地，最危险的时刻在雏鸟离开巢穴时。要想存活 并成长接近成年，雏鸟必须能够找到新的生活空 间及配偶。
(k = 1,2,L, m − 1)
把上列各式合写成矩阵形式，得
m ⎛ 1 λ1 L λ1 −1 ⎞ ⎜ ⎟ m −1 ⎜ 1 λ2 L λ2 ⎟ ( x1 p1 , x2 p2 ,L, xm pm )⎜ ⎟ = (0,0,L,0 ) M ⎟ ⎜M M ⎜1 λ L λm − 1 ⎟ ⎝ m m ⎠
5.1 方阵的特征值与特征向量 5.2 相似矩阵 5.3 实对称矩阵的相似矩
第五章
相似矩阵
从花斑猫头鹰说起
一九九0年六月，美国鱼类和野生动物管理局终 于将花斑猫头鹰列为濒危物种，并据此而划出了总 数达六百九十万英亩的花斑猫头鹰栖息保护区。做 出这一决定的根据纯粹是科学性的。 八十年代伐木业的增长正使这个地区的古代森林急 剧减少，不仅严重威胁着花斑猫头鹰的生存，甚至 也威胁到这个地区的生态环境。
~
⎛1 0 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 1 2 ⎟, ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠
得基础解系
⎛ − 1⎞ ⎜ ⎟ p2 = ⎜ − 2 ⎟ , ⎜ 1 ⎟ ⎠ ⎝
所以k
p (k ≠ 0)是对应于λ = λ
2 2
3
= 1的全部特征向量 .
⎛ − 2 1 1⎞ ⎟ ⎜ 例３ 设 A = ⎜ 0 2 0 ⎟ ,求A的特征值与特征向量． ⎜ − 4 1 3⎟ ⎠ ⎝
数理生态学家们为了搞清楚花斑猫头鹰的数量动 态，他们把猫头鹰的生命周期划分为三个阶段： 雏鸟期(1岁以前)，接近成年期(1-2岁)，成年期 (2岁以后)。 猫头鹰在未成年期或成年期寻找配偶并终身生活 在一起大约20年，每一对需要约4平方英里生活领 地，最危险的时刻在雏鸟离开巢穴时。要想存活 并成长接近成年，雏鸟必须能够找到新的生活空 间及配偶。
第二节实对称矩阵的相似对角化（精品）
−3 1
1 −3
⎥ ⎥ ⎦
⎢ ⎢ ⎣
x x
3 4
⎥ ⎥ ⎦
⎢0⎥
⎢⎣0
⎥ ⎦
解得基础解系
ζ1 = [1 −1 −1 1]′
当λ2 = λ3 = λ4 = 1时，有
⎡ 1 1 1 −1⎤⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤
⎢ ⎢
1
1 −1
1⎥⎥
⎢⎢x
2
⎥ ⎥
=
⎢⎢0⎥⎥
⎢ 1 −1 ⎢⎣−1 1
1 1
1⎥ ⎥
⎢ ⎢
x
⎡ 2⎤
p2 =
ζ2 ζ2
⎢⎥
=
⎢ ⎢
⎢
2⎥
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎡ 1⎤
p3 =
ζ3 ζ3
=
1 6
⎢⎢− 1⎥⎥ ⎢ 2⎥
,
⎢⎥
⎣ 0⎦
⎡− 1⎤
p4 =
ζ4 ζ4
=
1
⎢ ⎢
1
⎥ ⎥
2 3⎢1⎥
⎢⎥
⎣3⎦
令
P = [p1 p2 p3 p4 ]
则P是正交阵，且满足
⎡− 3
⎤
⎢ P−1AP = Λ = ⎢
ζ3
=
ξ2
−
[ξ2 , ζ2 [ζ 2 , ζ2
] ]ζ2
=
⎢⎢0⎥⎥ ⎢1⎥ ⎢⎥
−
1 2
⎢⎢1⎥⎥ ⎢0⎥ ⎢⎥
=
1 2
⎢⎢− 1⎥⎥ ⎢ 2⎥ ⎢⎥
⎣0⎦ ⎣0⎦ ⎣ 0⎦
ζ4
=
ξ3
−
[ξ3 [ζ 3
, ,
ζ ζ
3 3
] ]
ζ
3
ch5-4 实对称矩阵的相似矩阵
2 1 1 2 ( 1)( 3)
解: 由 A E
1 1 1 对1 1,由A E ~ 0 0 , 得 1 1 ; 1 1 1 对2 3,由A 3 E ~ 0 0 , 得 2 1
1
素的对角矩阵.
福 州 大 学
2013-7-21
4
三、利用正交矩阵将实对称矩阵 对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将实对称矩阵 化为对角矩阵，其具体步骤为： 1. 求A的特征值 1 , 2 ,, n ; 2. 由 A i E x 0, 求出A的特征向量 ; 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化得 P1 , P2 ,, Pn . 5。写出正交阵 P P 1
征向量，求A的属于特征值 1的特征向量。
T 解 设A的属于特征值 1的特征向量为 3 x1，x2，x3） , （
3与1 , 2正交， [3 ,1] [3 ,2 ] 0
x1 x2 x3 0 2 x1 2 x2 x3 0
1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 令 x2 = 1 x1 x2 T 3 11 0 （ ，） ， x3 0
福Hale Waihona Puke 州 大 学2013-7-21
3
性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无 关的特征向量恰有k个。 由此推出：实对称矩阵A一定能对角化。
二、实对称矩阵的相似对角化：
定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。
实
定理2： A为n阶对称矩阵, 则必有正交矩阵P , 使 设
P AP , 其中 是以 A的 n 个特征值为对角元
解: 由 A E
1 1 1 对1 1,由A E ~ 0 0 , 得 1 1 ; 1 1 1 对2 3,由A 3 E ~ 0 0 , 得 2 1
1
素的对角矩阵.
福 州 大 学
2013-7-21
4
三、利用正交矩阵将实对称矩阵 对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将实对称矩阵 化为对角矩阵，其具体步骤为： 1. 求A的特征值 1 , 2 ,, n ; 2. 由 A i E x 0, 求出A的特征向量 ; 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化得 P1 , P2 ,, Pn . 5。写出正交阵 P P 1
征向量，求A的属于特征值 1的特征向量。
T 解 设A的属于特征值 1的特征向量为 3 x1，x2，x3） , （
3与1 , 2正交， [3 ,1] [3 ,2 ] 0
x1 x2 x3 0 2 x1 2 x2 x3 0
1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 令 x2 = 1 x1 x2 T 3 11 0 （ ，） ， x3 0
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3
性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无 关的特征向量恰有k个。 由此推出：实对称矩阵A一定能对角化。
二、实对称矩阵的相似对角化：
定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。
实
定理2： A为n阶对称矩阵, 则必有正交矩阵P , 使 设
P AP , 其中 是以 A的 n 个特征值为对角元
实对称矩阵的相似矩阵
4 0 0 | A–E |= 0 3 1 = (2–)(4–)2=0
0 1 3
得A的特征值1=2, 2=3=4.
第二步, 由(A–iE)x=0, 求A的特征向量.
对1=2,由(A–2E)x=0, 得
2x1
x2
x3
0 0
,
得基础解系
x2 x3 0
0
1
1 1
对2=3=4,由(A–4E)x=0, 得
1. 求A的特征值1, 2 , ···, s ; 2. 由(A–iE)x=0求出i 的ri 个特征向量; 3. 将i 的ri 个特征向量正交化;
4. 将所有特征向量单位化.
例1:对实对称矩阵A, 求正交矩阵P, 使P-1AP =为
对角阵.
A022
2 1
2
020.
解: 第一步, 求A的特征值.
2 2 0 | A–E |= 2 1 2 =(4–)(–1)( +2)=0
§5.4 实对称矩阵的相似矩阵
一、实对称矩阵的性质
说明: 本节所提到的对称矩阵, 除非特别说明, 均 指实对称矩阵.
定理5: 实对称矩阵的特征值为实数. 证明: 设向量x(x0)为实对称矩阵A的对应复特征
值的特征向量, 即 Ax =x,
用 表示的共轭复数, 用 x表示x的共轭复向量.
AxAx A xxx.
0 2
得A的特征值1=4, 2=1, 3=–2.
第二步, 由(A–iE)x=0, 求A的特征向量.
对1=4,由(A–4E)x=0, 得
22xx11
2x2 3x2
2x3
0 0,
2x2 4x3 0
得基础解系 1
2 2 1
.
对2=1,由(A–E)x=0, 得
第五篇第四节实对称矩阵的相似矩阵
2 ( p1' p2 ).
(1 2 )( p1' p2 ) 0.
1 2 , 即 1 2 0.
p1' p2 0. 即 p1与 p2 正交. 证毕.
3
返回
定理八. 设是实对称阵A的k重特征值,
那么对应与的所有特征向量中, 其最大线
性无关组所包含的向量个数恰为k.
推论. 实对称矩阵必与对角矩阵相似.
2
返回
性质2.设1 , 2是 实 对 称 阵A的 两 个 特 征 值, p1, p2 是相应的特征向量, 若1 2 ,
则 p1与 p2 正交.
证明: Ap1 1 p1, Ap2 2 p2 .
1( p1' p2 ) (1 p1') p2 ( Ap1 )' p2
( p1' A') p2 p1'( Ap2 ) p1 '(2 p2 )
求出A的特征向量.
对于 1 2, 解方程组 (2E A)X 0.
2
2E
A
0
0
0 1 1
0
1 1
r1
(
1 2
)
r3 r2
1
0 0
0 1 0
0
1. 0
取同解方程组:
x1 x2
0 x3
0.
7
返回
x1 x2
0 k1
x3 k1
x1 0
x2
k1
1
.
x3 1
8
返回
0
基础解系:
1
1
.
1
对于 2 3 4, 解方程组 (4E A)X 0.
0
4E A 0 0
0 1 1
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P
1
,2
,3
1
0 2
1 0 0 1 2
1 2 0 1 2
则
P 1 AP
2 0
0 4
0 0.
0 0 4
利用对角化可求方阵的幂
例2 设 A为3阶实对称矩阵,A的特征值为
1 2 1, 3 1. 求 A2008 .
解: 由于A是实对称矩阵,故A必可对角化,且
1
A ～ 1 1
1
i 1
i 1
即 , 由此可得是实数.
定理1的意义
由于对称矩阵A的特征值i为实数, 所以齐次 线性方程组 ( A i E)x 0
是实系数方程组,由 A i E 0知必有实的基础解
系, 从而对应的特征向量可以取实向量.
定理2 设1, 2 是实对称矩阵A的两个特征值, p1, p2是对应的特征向量, 若1 2,则p1与p2正交.
定理3 设 A为 n阶对称矩阵, 是A的特征方程的r 重根,则矩阵 A E 的秩 R( A E) n r,从而 对应特征值 恰有 r 个线性无关的特征向量.
二、实对称矩阵的相似理论
定理4 任意实对称矩阵 A 都与对角矩阵相似。
证明：设 A 的互不相等的特征值为 1,2 ,L ,s
它们的重数依次为 r1, r2 ,L , rs 其中 r1 r2 L rs n
由于1,2 ,3是属于A的3个不同特征值1, 2 ,
3的 特 征 向 量, 故 它 们 必 两 两 正 交.
第四步 将特征向量单位化
令
i
i i
,
i 1,2,3.
得
2 3
1 2 3 ,
2 3
2 1 3 ,
1 3
2 3
1 3
3 2 3.
2 3
2 2 1
作
P
1, 2 , 3
第四节 教学要求
1、掌握实对称矩阵特征值的性质 2、熟练掌握实对称矩阵对角化的方法
一、实对称矩阵特征值的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵．
定理1 实对称矩阵的特征值为实数.
证明 设复数为对称矩阵A的特征值 ,复向量x为
对应的特征向量,
即
Ax x , x 0.
用 表示的共轭复数, x表示x的共轭复向量,
则 Ax x , A x x, 即A x x
于是有 xT Ax xT Ax xT x xT x,
及 xT Ax xT AT x Ax T x xT x xT x.
两式相减，得
xT x 0.
但因为 x 0,
n
n
所以 xT x xi xi xi 2 0 0,
1
对 2 1,由A E x 0,得
2
x1 x1
2 x2 2 x3
0 0
2x2 x3 0
2
解之得基础解系
2
1
.
2
对 3 2,由A 2E x 0,得
2
x1
4 x1 3x2
2x2 2x3
0
0
解之得基础解系 3
1 2.
2x2 2x3 0
2
第三步 将特征向量正交化
1
对 2 3 4,由 A 4E x 0,得基础解系
1
2 0,
0
0
3 1.
1
2与3恰好正交 ,
所以 1, 2 , 3两两正交.
再将 1, 2 , 3单位化,令i
i i
i
1,2,3得
0
1 1 2 ,
1 2
1
2 0,
0
0
3 1 2.
1 2
于是得正交阵
证明 1 p1 Ap1, 2 p2 Ap2 , 1 2 ,
A对称, A AT ,
1 p1T 1 p1 T Ap1 T p1T AT p1T A,
于是 1 p1T p2 p1T Ap2 p1T 2 p2 2 p1T p2 ,
1 2 p1T p2 0.
1 2 , p1T p2 0. 即p1与p2正交.
量一定正交,故
p1T0即 1Fra bibliotekx2 x3 0 0
解之得基础解系
p2
0 0
,
p3
11
又 A 的对应于二重特征值 1 的线性无关的特
A E 2 1 2 4 1 2 0
0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
第二步 由A i E x 0,求出A的特征向量
对 1 4,由A 4E x 0,得
2
2x1 2x2 0 x1 3 x2 2 x3
0
解之得基础解系
1
2 2 .
2x2 4x3 0
角元素的对角矩阵。
三. 实对称矩阵对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 1. 求A的特征值;
2. 由A i Ex 0,求出A的特征向量;
3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化.
5.将求出的n个正交规范的特征向量构成矩阵P， 则P为正交矩阵使得P1AP 。
由定理3，对应于特征值 i (i 1, 2,L , s),
恰有 ri 个线性无关的特征向量， 又由定理2及 r1 r2 L rs n 知，A 有 n个线性无 关的特征向量， 从而 A 与对角矩阵相似。
定理5 设 A 为 n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵P
使 P 1 AP ，其中 是以 A 的 n 个特征值为对
即存在正交矩阵P ,使得P1 AP
1 1
A2008
P P 1
2008
P2008 P1
PEP1
E
例3 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为-1,1,1,与特
征值-1对应的特征向量为 p1 (0,1,1)T
,求 A x1
解:设与特征值
1
对应的特征向量为
x2
由于实对称矩阵不同特征值所对应的特征向 x3
其中对角矩阵 的主对角元的排列顺序与 P 中列向量的排列顺序相对应.
例1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P， 使 P1AP为对角阵.
2 2 0
4 0 0
(1)A 2 1 2, (2) A 0 3 1
0 2 0
0 1 3
解 (1)第一步 求 A 的特征值
2 2 0
1
3
2 1
1 2
2, 2
4 0 0
则
P
1
AP
0
1
0 .
0 0 2
4 0 0 (2) A 0 3 1
0 1 3
4 0 A E 0 3
0
1 2 4 2,
0 1 3
得特征值 1 2, 2 3 4.
0
对 1 2,由A 2E x 0,得基础解系
1 1